Problema No. 11

11.- Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El perímetro de la ventana es de 3 metros. ¿Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana tenga el área máxima?

Paso 1.Se señalan con letras las longitudes de la ventana.

𝑥

𝑥

𝑦 𝑦

ℎ

A1

𝐴2X ×

𝑃 = 3

•Se sabe que el área de la ventana es la suma de las áreas del triangulo y rectángulo.

Paso 2.

Saber que:

• 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑋 𝑥 𝑌

• 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑋 𝑥 ℎ

2

𝑋𝑋

𝑋

Y Y

𝑋

H

𝐴1

𝐴2

•Área Total = 𝐴 =𝑋×𝑌 + 𝑋 𝑥 ℎ

2

Paso 3.

Se sabe que el perímetro es tres por lo tanto:

2𝑌 + 3𝑋 = 3

Se despeja Y

y =3−3𝑥

2

Después se sustituye Y en la formula del área total

𝐴 = 𝑥3 − 3𝑥

3+𝑋 × ℎ

2

5.Se utiliza el teorema de Pitágoras:𝐶2 = 𝐴2 + 𝐵2

𝑋2 = 𝐻2 +𝑋

2

2

𝐻2 = 𝑋2 −𝑋

4

2

𝑋 𝑋

𝑋

2𝑋

2

𝐻

1𝑥2

1−

1𝑥2

4=

4𝑥2 − 𝑥2

4=

3

4𝑥2

𝐻 =3

4𝑥2 𝐻 =

3

2𝑥

6.Se sustituye H en la ecuación:

𝐴 = 𝑥3−3𝑋

3+

𝑋×𝐻

2

𝐴 = 𝑥3 − 3𝑋

3+𝑋(

32 𝑋)

2

𝐴 =3

2𝑥 −

3

2𝑥2 +

3𝑥2

2÷2

1

𝐴 =3

2𝑥 −

3

2𝑥2 +

3

4𝑥2

𝐴 =3

4𝑥2 −

3

2𝑥2 = −1.0669𝑥2

𝐴 = −1.0669𝑥2 +3

2𝑥

7. La derivada se iguala a cero para encontrar sus valores

críticos.

−2.1339𝑥 + 1.5 = 0−2.1339𝑥 = −1.5

𝑋 = −1.5 ÷ −2.1339𝑋 = 0.7029

8.Sustituir para encontrar Y

𝑌 =3 − 3𝑥

2

𝑌 =3 − 3(0.7029)

2

𝑌 =0.8913

2𝑌 = 0.4456

Por lo tanto la longitud que debe tener la base del rectángulo para que tenga el área máxima es:

𝑋 = 0.7029