24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 1/17

Un tensor de segundo orden, en tres dimensiones.

Cálculo tensorialDe Wikipedia, la enciclopedia libre

En matemáticas y en física, un tensor es cierta clase de entidad algebraica de variascomponentes, que generaliza los conceptos de escalar, vector y matriz de una manera quesea independiente de cualquier sistema de coordenadas elegido. En adelante utilizaremos elconvenio de sumación de Einstein.

Una vez elegida una base vectorial, las componentes de un tensor en una base vendrándadas por una multimatriz. El orden de un tensor será el número de índices necesario paraespecificar sin ambigüedad una componente de un tensor: un escalar será consideradocomo un tensor de orden 0; un vector, un tensor de orden 1; y dada una base vectorial, lostensores de segundo orden pueden ser representados por una matriz.

Índice

1 Historia

2 Características y uso

2.1 Uso de tensores

2.2 Conceptos básicos

2.3 Tratamiento clásico de los tensores

2.4 Enfoque moderno

3 Definición de tensor

3.1 Definición clásica

3.2 Como aplicación multilineal

3.3 Usando producto tensorial de espacios vectoriales

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 2/17

3.3 Usando producto tensorial de espacios vectoriales

4 Ejemplos de tensores de distinto orden

4.1 Tensores de orden cero: escalares

4.2 Tensores de orden uno: vectores y covectores

4.3 Tensores de orden dos: matrices y formas cuadráticas

4.4 Tensores de orden m generalizados

5 Notación y nomenclatura

5.1 Covarianza y contravarianza

5.2 Convenio de sumación de Einstein

5.3 Notación en cálculo en variedades

6 Álgebra de tensores

7 Operaciones con tensores

7.1 Producto tensorial y producto exterior

7.2 Subir y bajar índices

7.3 Contracción

7.4 Producto Interno

7.5 Dual de Hodge

8 Cálculo tensorial en variedades

8.1 Pushforward y Pullback

8.2 Tensor métrico

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 3/17

8.2 Tensor métrico

8.3 Derivada covariante

8.4 Derivada de Lie

8.5 Derivación exterior

9 Véase también

10 Referencias

10.1 Bibliografía

11 Enlaces externos

Historia

La palabra "tensor" se utiliza a menudo como abreviatura de campo tensorial, que es un valor tensorial definido en cada punto en una variedad.El primero en utilizar esta palabra fue William Rowan Hamilton en 1846, empleándola para lo que actualmente se conoce como módulo y fueWoldemar Voigt en 1899 quien la empleó en su acepción actual. La palabra tensor proviene del latín tensus, participio pasado de tendere'estirar, extender'. El nombre se extendió porque la teoría de la elasticidad fue una de las primeras aplicaciones físicas donde se usarontensores.

Gregorio Ricci­Curbastro en 1890 desarrolló la notación actual con el nombre de geometría diferencial absoluta, y se popularizó con lapublicación de Cálculo Diferencial Absoluto de Tullio Levi­Civita en 1900. Con la introducción de la teoría de la relatividad general por partede Albert Einstein alrededor de 1915 se encontró su aplicación más pragmática. La Relatividad General es netamente tensorial. Einstein habíaaprendido del mismo Levi­Civita el uso de tensores con gran dificultad.

Características y uso

Las cantidades geométricas y físicas pueden ser categorizadas considerando los grados de libertad inherentes a su descripción. Las cantidadesescalares son las que se pueden representar por un solo número, por ejemplo masa y temperatura. Hay también cantidades tipo vector, porejemplo fuerza, que requieren una lista de números para su descripción. Finalmente, las cantidades tales como formas cuadráticas requierennaturalmente una matriz con índices múltiples para su representación. Estas últimas cantidades se pueden concebir solamente como tensores.

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 4/17

Realmente, la noción tensorial es absolutamente general. Los escalares y los vectores son casos particulares de tensores. La propiedad quedistingue un escalar de un vector, y distingue ambos de una cantidad tensorial más general es el número de índices en la matriz de larepresentación. Este número se llama rango de un tensor. Así, los escalares son los tensores de rango cero (sin índices), y los vectores son lostensores de rango uno.

Uso de tensores

No todas las relaciones en la naturaleza son lineales, pero la mayoría es diferenciable y así se pueden aproximar localmente con sumas defunciones multilineales. Así la mayoría de las magnitudes en física se pueden expresar como tensores.

Un ejemplo simple es la descripción de una fuerza aplicada al movimiento de una nave en el agua. La fuerza es un vector, y la nave responderácon una aceleración, que es también un vector. La aceleración en general no estará en la misma dirección que la fuerza, debido a la formaparticular del cuerpo de la nave. Sin embargo, resulta que la relación entre la fuerza y la aceleración es lineal. Tal relación es descrita por untensor del tipo (1, 1), es decir, que transforma un vector en otro vector. El tensor se puede representar como una matriz que cuando esmultiplicada por un vector, dé lugar a otro vector. Así como los números que representan un vector cambiarán si uno cambia el conjunto decoordenadas, los números en la matriz que representa el tensor también cambiarán cuando se cambie el conjunto de coordenadas.

En la ingeniería, las tensiones en el interior de un sólido rígido o líquido también son descritas por un tensor. Si un elemento superficialparticular dentro del material se selecciona, el material en un lado de la superficie aplicará una fuerza en el otro lado. En general, esta fuerza noserá ortogonal a la superficie, sino que dependerá de la orientación de la superficie de una manera lineal. Esto es descrito por un tensor del tipo(2, 0), o más exactamente por un campo tensorial del tipo (2, 0) puesto que las tensiones pueden cambiar punto a punto.

Algunos ejemplos bien conocidos de tensores en geometría son las formas cuadráticas, y el tensor de curvatura. Algunos ejemplos de tensoresfísicos son el tensor de energía­momento, el tensor de polarización y el tensor dieléctrico.

Conceptos básicos

En un sentido práctico un tensor es objeto matemático representado por un cierto conjunto de componentes. Para definir un tensor es necesariopartir de un espacio físico o variedad diferenciable que define cuál es el espacio vectorial base V sobre el que se construirán tensores dediferente tipo y orden. En mecánica clásica por ejemplo el espacio es , aunque en la teoría de la relatividad especial el espacio base esisomorfo a y en la teoría general de la relatividad es el espacio tangente a una variedad lorentziana de cuatro dimensiones. En matemáticaslo más usual es construir la teoría sobre una variedad riemanniana o variedad pseudoriemanniana n­dimensional.

Tratamiento clásico de los tensores

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 5/17

El enfoque clásico visualiza los tensores como "matrices" de orden superior que son generalizaciones n­dimensionales de los escalares,vectores de 1 dimensión y matrices de 2 dimensiones. En este enfoque los números reales que aparecen en dichas "matrices" son lascomponentes del tensor en una base concreta. Si bien para los casos prácticos este modo de representación puede ser muy intuitivo dificulta lamanipulación formal para otros fines menos prácticos.

Las "componentes" tensoriales son los índices del arreglo. Esta idea puede ser generalizada aún más a los campos tensoriales, donde loselementos del tensor son funciones, o incluso diferenciales. La teoría del campo tensorial se puede ver, grosso modo, en este enfoque, comootra extensión de la idea del jacobiano.

Enfoque moderno

El enfoque moderno visualiza los tensores inicialmente como objetos abstractos, construidos sobre espacios vectoriales abstractos, en los quese define un producto tensorial que permite construir estructuras típicas del álgebra multilineal. Sus propiedades bien conocidas se puedenderivar de sus definiciones, como funciones lineales o incluso más generales; y las reglas para las manipulaciones de tensores se presentancomo extensión del álgebra lineal al álgebra multilineal.

Este tratamiento ha sustituido en gran parte el tratamiento basado en componentes para el estudio avanzado, a la manera en que el tratamientolibre de componentes más moderno de vectores substituye el tratamiento basado en componentes tradicional aunque el tratamiento basado encomponentes se haya utilizado para proporcionar una motivación elemental para el concepto de un vector. Se podría decir que el lema es'tensores son elementos de un cierto espacio tensorial'.

El enfoque moderno está más estrechamente asociado al tratamiento que los matemáticos han hecho del cálculo tensorial en el que lasnotaciones generalmente representan el objeto tensorial y secundariamente las componentes. Esto contrasta con el tratamiento clásico de lostensores en las ciencias físicas y la ingeniería que suele representar los tensores mediante sus componentes y enfatiza mucho las propiedadesasociadas a la transformación de coordenadas al pasar de un sistema de referencia a otro, o cuando se cambian las coordenadas.

Definición de tensor

Hay varias maneras de definir un tensor, que resultan en enfoques equivalentes:

la manera clásica, forma usual en física de definir los tensores, en términos de objetos cuyos componentes se transforman bajo cambiosde coordenadas según ciertas reglas, introduciendo la idea de transformaciones covariantes o contravariantes.la manera usual de la matemática, que implica definir ciertos espacios vectoriales definidos a partir de un espacio vectorial dado, sin fijarcualesquiera conjuntos de coordenadas hasta que las bases se introduzcan por necesidad. Existen dos definiciones de este tipo:

La de tensores como aplicaciones multilineales, que nos obliga a usar el dual de un espacio vectorial.La que usa una operación definida axiomáticamente llamada producto tensorial de espacios vectoriales.

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 6/17

Definición clásica

Los físicos e ingenieros, especialmente en tratamientos informales de los tensores, consideran que un tensor es simplemente una magnitudfísica multi­índice dada por un conjunto de números reales o "componentes" del tensor que se transforman de "manera adecuada". Es decir, sien un determinado sistema de referencia una magnitud tensorial está dada por un conjunto de componentes al cambiar a un

sistema de referencia diferente tendrá componentes con valores numéricos diferentes siendo la relación entre las componentes dela magnitud en uno y otro sistema de referencia la siguiente:

donde en la última expresión se ha usado el convenio de sumación de Einstein y además:

es la matriz del cambio de base de coordenadas

es la matriz del cambio de base inverso, que es la matriz traspuesta de la anterior.

Las magnitudes escalares de la física en general son tensores de orden cero, y varios de los tensores físicos importantes (tensor de inercia,tensor de tensiones, etc.) son tensores de segundo orden.

Como aplicación multilineal

Dado un espacio vectorial de dimensión sobre un cuerpo , recordemos que su espacio dual es el conjunto de todas las aplicacioneslineales . El espacio dual es un espacio vectorial de la misma dimensión que . Nos referiremos normalmente a los elementosde y de como vectores y covectores, respectivamente.

Un tensor es una aplicación multilineal, es decir, una aplicación lineal en cada uno de sus argumentos, de la forma:

De este modo, un tensor asocia cada covectores y vectores , un escalar

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 7/17

Llamamos tipo del tensor al par .

Usando producto tensorial de espacios vectoriales

En el enfoque más matemático del cálculo tensorial se considera un espacio vectorial V y se considera su espacio dual V*. Si es unabase del espacio vectorial V y la correspondiente base dual de V*, se construye el espacio vectorial producto de r copias de V y scopias de V*, es decir, o producto tensorial de espacios vectoriales. Un tensor es un elemento de dicho espacio vectorial:

Las propiedades de transformación de los tensores se siguen de las propiedades de transformación de los vectores de la base de manera trivial.

Ejemplos de tensores de distinto orden

A los tensores se los puede clasificar por su orden, es decir el número de arreglos que requiere para ser descrito. En general, si n es ladimensión del tensor (dimensión del espacio vectorial sobre el que se construye) y r+s el orden, un tensor requiere de componentes paraser descrito.

Tensores de orden cero: escalares

Como se dijo anteriormente, un escalar es una cantidad que requiere solo un número real en cualquier sistema de coordenadas para serdescrito. Es decir es invariante ante cualquier cambio de coordenadas en cualquier sistema. De esta manera si es un escalar en un sistema decoordenadas y es el mismo escalar en otro sistema de coordenadas entonces Un escalar es un tensor de orden cero porque requiereun solo número para ser descrito: .

Tensores de orden uno: vectores y covectores

En general, un vector requiere n componentes para ser descrito. En un espacio tridimensional, un vector se define mediante tres componentes.La transformación de coordenadas de un vector de un espacio a otro se realiza mediante una transformación lineal. De esta manera, un vectores un tensor de orden uno porque requiere n números para definirlo.

Si tenemos un vector expresado por sus componentes en un sistema y en otro sistema, la transformación de coordenadas para que elvector se mantenga invariante se puede expresar:

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 8/17

Representación del Tensor de Levi­Civita, tensor deorden tres.

donde es el coseno del ángulo entre el i­ésimo eje de coordenadas y el k­ésimo.

Tensores de orden dos: matrices y formas cuadráticas

Siguiendo la misma lógica, el siguiente elemento es el que requiere x componentes para ser descrito. Se denomina tensor de ordendos al objeto, normalmente representado por una matriz nxn, que representado en un sistema de coordenadas como su transformacióninvariante en otro sistema con componentes es:

donde es el coseno del ángulo entre el i­ésimo eje de un sistema con el l­ésimo eje del otro sistema.

Tensores de orden m generalizados

Finalmente, la generalización de los tipos anteriores viene dada por un elemento quenecesita coordenadas para ser especificado. Como generalización de lastransformaciones anteriores tenemos:

donde son las componentes del tensor en un sistema de coordenadas, son las componentes del mismo tensor en otros coordenadas y los son los cosenos delos ángulos entre los ­ésimos ejes del un sistema y los ­ésimos en el otro sistema.

Notación y nomenclatura

Covarianza y contravarianza

El concepto de covarianza y contravarianza está arraigado en la descripción de un elemento en dos sistemas de coordenadas. Para simplificarsu descripción se puede tomar un vector en un espacio tridimensional. La posición de un punto arbitrario en este espacio puede ser expresadoen términos de tres coordenadas y si es el vector posición de ese punto entonces en P existen dos conjuntos devectores base:

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 9/17

y donde

En general, estos vectores no son unitarios ni forman una base ortogonal. Sin embargo los conjuntos y son sistemas recíprocos devectores y por eso:

En el cálculo tensorial es usual denotar al conjunto de vectores base como , el cual lo diferencia de la base . Con esta notación, larelación de reciprocidad anterior sería:

donde es la delta de Kronecker.

Así, dadas dos bases y se puede escribir un vector general en términos de estas bases:

Los se los llama componentes contravariantes del vector y los se los llama componentes covariantes. De igual manera, se los llamabase contravariante y se los llama base covariante.

Convenio de sumación de Einstein

Existe una convención para escribir tensores, conocida como convenio de sumación de Einstein. En esta notación todo subíndice que aparecedos veces en cualquier término de una expresión indica que éstos deben ser sumados sobre todos los valores que ese índice toma. Por ejemplo,en un caso tridimensional:

implica que implica que

Notación en cálculo en variedades

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 10/17

Otra notación ampliamente usada en el cálculo tensorial es la forma usada para los vectores de la base. Cuando se hace cálculo tensorial en unavariedad diferencial o superficie curva, el espacio básico que sirve para definir las magnitudes es el espacio tangente a dicha variedad en cadapunto. Cuando se emplean coordenadas curvilíneas , dada la relación isomórfica que existe entre derivaciones sobre la variedad y elconjunto de elementos del espacio tangente, se puede construir una base del espacio vectorial tangente formada por las derivadas direccionalessegún las direcciones dadas por las coordenadas; así una base vectorial del espacio tangente en cada punto p viene dada por:

Por otra parte la base del espacio cotangente, que es el espacio dual del espacio tangente, se puede expresar mediante la diferencial exterior delas coordenadas consideradas como funciones reales sobre la variedad:

Álgebra de tensores

Debido a que las operaciones de los tensores de orden cero (escalares), uno (vectores) y dos (matrices) son conocidas, para los tensores seespera que solo se generalicen algunas operaciones. El conjunto de todos los tensores p­veces covariantes y q­veces contravariantes definidossobre el espacio vectorial V se denota como (algunos autores usan la notación inversa ) forman un espacio vectorial con la suma y la resta definidas como, ya que la suma está bien definida para tensores de los mismos órdenes y ; así su suma yresta estaría dada por:

Este espacio vectorial es de dimensión donde es la dimensión del espacio vectorial V.

Otro conjunto de operaciones importantes tienen que ver con el cambio de orden de los índices de un tensor. Si son las componentes deun tensor, de la misma manera el conjunto formado por el intercambio de dos índices, es decir , también lo es. En términos de esosintercambios de índices pueden identificarse subespacios vectoriales:

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 11/17

Se dice que el tensor es simétrico si el intercambio de cualquier par de índices no altera el tensor:

el conjunto de todos los tensores simétricos del espacio forma un subespacio del mismo denotado como

Se dice que el tensor es antisimétrico si el intercambio de cualquier par de índices altera el signo del tensor:

el conjunto de todos los tensores antisimétricos de orden k de un espacio tensorial también forma un subespaciodenotado como es de dimensión

Por otra parte, un tensor arbitrario no es simétrico ni antisimétrico. Un tensor de orden 2 siempre puede expresarse como la suma de un tensorsimétrico ( ) y uno antisimétrico ( ):

. Esto no es posible para tensores de orden superior a 2.

Operaciones con tensores

Producto tensorial y producto exterior

Dados dos tensores se puede definir entre ellos el llamado producto tensorial cuyo resultado es un tensor de tipo más complejo cuyascomponentes pueden obtenerse a partir de los tensores originales.

El producto de dos tensores es un tensor cuyo rango es la suma de los rangos dados por los dos tensores. Este producto implica lamultiplicación ordinaria de los componentes de un tensor y es llamado producto exterior.

Por ejemplo:

Subir y bajar índices

En una variedad riemanniana existe la posibilidad de definir una operación sobre tensores, que en general no puede realizarse en una variedadcualquiera. Esa operación permite sustituir en los cálculos un tensor de tipo por otro de tipo con tal que . Estaoperación se denomina usualmente ley de subir o bajar índices. Esa operación se basa en la existencia de un isomorfismo entre espacios de

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 12/17

tensores covariantes y contravariantes definidos sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana . Por tanto para emplear lasubida y bajada de índices es necesario usar el tensor métrico (y su inverso , llamado co­tensor métrico).

Estas operaciones resultan muy útiles en la teoría general de la relatividad donde cualquier magnitud física puede ser representada por tensorescovariantes o contravariantes indistintamente, y sin alterar el significado físico, según las necesidades del problema planteado. Así paracualquier magnitud física representada por un tensor de tercer rango, puede ser representado por varios conjuntos de magnitudes relacionablesgracias a la operación de "subir y bajar índices":

Contracción

La contracción de tensores es una operación que reduce el orden total de un tensor. Esta operación reduce un tensor tipo a otro tipo . En términos de componentes, esta operación se logra sumando el índice de un tensor contravariante y un covariante. Por

ejemplo, un tensor (1,1) puede ser contraído a un escalar a través de ; donde el convenio de sumación de Einstein es empleado. Cuandoel tensor (1,1) se interpreta como un mapeo lineal, esta operación es conocida como la traza.

La contracción se utiliza usualmente con el producto tensorial para contraer el índice de cada tensor. La contracción puede también entenderseen términos de la definición de un tensor como un elemento de un producto tensorial de copias del espacio con el espacio ,descomponiendo primero el tensor en una combinación lineal de tensores más simples, y posteriormente aplicando un factor de a un factorde . Por ejemplo

puede ser escrito como la combinación lineal de

La contracción de en el primero y último espacio es entonces el vector

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 13/17

Producto Interno

El producto interno de dos tensores se produce al contraer el producto exterior de los tensores. Por ejemplo, dados dos tensores y suproducto externo es . Igualando índices, , se obtiene el producto interno: .

Dual de Hodge

Cálculo tensorial en variedades

Tanto la geometría diferencial avanzada como la teoría general de la relatividad requieren el uso de tensores construidos sobre espaciosvectoriales diferentes. Esto sucede porque tanto en las superficies curvas como en el espacio­tiempo curvo el espacio tangente de diferentespuntos no coincide y es necesario "conectarlos" o construir aplicaciones entre ellos de alguna manera. Una manera de hacer cálculo tensorialen esas situaciones es definir una conexión matemática que permita definir la derivación covariante. Además la estructura diferenciablepermite construir la aplicación diferencial tangente que permite construir isomorfismo entre los diferentes espacios tangentes. El cálculotensorial en esas situaciones se construye a partir de secciones sobre fibrados tangentes asociados a cada tipo de tensor.

Pushforward y Pullback

Dadas dos variedades diferenciables de dimensión m y de dimensión n y una aplicación entre ellas el concepto de aplicacióndiferencial tangente (o pushforward) es una aplicación lineal entre los fibrados tangentes de ambas variedades.

Una aplicación entre variedades se dice diferenciable si dada una carta local que contenga al punto y quecontenga a , la aplicación es diferenciable como función de a .

La aplicación lineal tangente (llamada frecuentemente pushforward) se puede definir para una aplicación diferenciable entre variedades.Dado un vector del espacio tangente en un punto, queda definida una aplicación sobre el conjunto de funciones definidas en el entorno dedicho punto, que asigna a cada función (a valores reales) la derivada direccional de la función según el vector :

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 14/17

Teniendo presente la anterior operación de vectores sobre funciones y dada la aplicación diferenciable se define la aplicación linealtangente:

Tal que a un vector en p le asigna el único vector que hace que se cumpla que:

Donde:

Una vez definda la aplicación lineal tangente puede definirse la aplicación (diferencial) cotangente (o pullback) sobre 1­formas como:

Tensor métrico

Si la variedad diferenciable tiene estructura de variedad riemanniana o pseudoriemanniana entonces se pueden definir estructuras máscomplejas y enriquecer el conjunto de herramientas del cálculo tensorial sobre esa variedad. Un tensor métrico g es en esencia un tensor 2­covariante y simétrico definido sobre toda la variedad y no degenerado:

1. 2.

Derivada covariante

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 15/17

Puede probarse que una variedad riemanniana o pseudoriemanniana es localmente isométrica al espacio euclídeo si y sólo si sutensor de curvatura de Riemann se anula. Si la variedad tiene curvatura no nula puede demostrarse que la particularización de las derivadasdireccionales de no tienen las propiedades de invariancia esperadas, en concreto la derivada no covariante de un vector tangente en generalno resulta en un vector tangente también a la variedad, y por tanto, no da lugar a un objeto tensorial definible sobre la variedad.

Para resolver esos problemas se define una conexión que permita relacionar el espacio tangente en puntos diferentes de la variedad (adiferencia del caso euclídeo si la variedad es curva la orientación del espacio tangente, considerado como subconjunto de , variará de unpunto a otro.

Derivada de Lie

Derivación exterior

Dada una n­forma (tensor n­covariante totalmente antisimétrico):

La diferenciación exterior es una aplicación en el álgebra graduada de n­formas que opera según:

De forma que la diferenciación exterior es una combinación lineal de n+1 derivadas parciales de las componentes de la n­forma original. Esinteresante notar que la diferenciación exterior generaliza las operaciones de gradiente, rotacional o divergencia, así cuando se considera elcálculo tensorial sobre :

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 16/17

Donde denota el operador dual de Hodge.

Véase también

Convenio de sumación de EinsteinÁlgebra multilinealTensor métricouno­formaProducto tensorialDensidad tensorialCurvaturaGeometría de RiemannTensor de tensionesElasticidad linealSimetrización y antisimetrización

Referencias

Bibliografía

A. I. Borisenko, I. E. Tarapov (1979), Vector and Tensor Analysis With Applications, Worth Publishers, ISBN 9780486638331.K. F. Riley, M. P. Hobson, S. J. Bence (2006), Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press,ISBN 9780521861533.Tai L. Chow (2000), Mathematical Methods for Physicists: A Concise Introduction, Cambridge University Press, ISBN 9780521652278.

Enlaces externos

Introducción a tensores para estudiantes de Física e Ingeniería (http://www.grc.nasa.gov/WWW/k­12/Numbers/Math/documents/Tensors_TM2002211716.pdf)Weisstein, Eric W. «Tensores» (http://mathworld.wolfram.com/Tensor.html). En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). WolframResearch.Concepto simple de tensor (http://www.physlink.com/education/askexperts/ae168.cfm%7C)Tensores en PlanetMath (http://planetmath.org/encyclopedia/Tensor.html)

24/11/2015 Cálculo tensorial ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial 17/17

Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Cálculo_tensorial&oldid=85396981»

Categoría: Cálculo tensorial

Esta página fue modificada por última vez el 27 sep 2015 a las 14:34.El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0; podrían ser aplicables cláusulasadicionales. Léanse los términos de uso para más información.Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, Inc., una organización sin ánimo de lucro.