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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
CALIBRACIÓN DE SENSORES DE FUERZA
BAJO ESTÍMULOS SINUSOIDALES: CONTRIBUCIONES A SU
CARACTERIZACIÓN
TESIS DOCTORAL
Mª Nieves Medina Martín
Licenciada en Física
2015
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA A LA INGENIERÍA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES
CALIBRACIÓN DE SENSORES DE FUERZA BAJO
ESTÍMULOS SINUSOIDALES: CONTRIBUCIONES A SU CARACTERIZACIÓN
Mª Nieves Medina Martín
Licenciada en Física
Director: Jesús de Vicente y Oliva
Doctor Ingeniero Industrial
2015
II
CALIBRACIÓN DE SENSORES DE FUERZA BAJO ESTÍMULOS
SINUSOIDALES: CONTRIBUCIONES A SU CARACTERIZACIÓN
ÍNDICE GENERAL
RESUMEN ....................................................................................................................... 1
ABSTRACT ..................................................................................................................... 2
1. INTRODUCCIÓN........................................................................................................ 3
1.1 Objetivo ...................................................................................................................... 5
1.2 Principio de medida .................................................................................................... 7
1.3 Estado del arte ............................................................................................................ 9
1.4 Sensores de fuerza .................................................................................................... 13
1.4.1 Sensores de fuerza mecánicos ............................................................................ 13
1.4.1.1 Palanca simple ............................................................................................. 14
1.4.1.2 Palanca compuesta ....................................................................................... 14
1.4.1.3 Péndulo ........................................................................................................ 14
1.4.1.4 Deformación de un elemento elástico (Resorte, anillo)............................... 15
1.4.2 Sensores de fuerza hidráulicos y neumáticos..................................................... 17
1.4.2.1 Hidráulicos................................................................................................... 17
1.4.2.3 Neumáticos .................................................................................................. 17
1.4.3 Sensores de fuerza eléctricos.............................................................................. 18
1.4.3.1 Capacitivos................................................................................................... 18
1.4.3.2 Compensación electromagnética ................................................................. 19
1.4.3.3 Inductivos..................................................................................................... 20
1.4.3.4 Piezoeléctricos ............................................................................................. 20
1.4.3.5 Potenciométricos.......................................................................................... 23
1.4.3.6 Reluctivos .................................................................................................... 24
1.4.3.7 Magneto-elásticos ........................................................................................ 25
1.4.3.8 Cuerda vibrante............................................................................................ 27
1.4.3.9 Piezorresistivos ............................................................................................ 28
1.4.3.10 Resistivos ................................................................................................... 28
1.4.3.10.1 Configuración y principio de medida .................................................. 32
III
1.4.3.10.2 Puente de Wheatstone.......................................................................... 35
1.5 Sensores de fuerza dinámicos................................................................................... 37
1.5.1 Amplificación de carga ...................................................................................... 38
1.5.2 Amplificación de tensión ................................................................................... 40
1.6 Modelo de medida .................................................................................................... 41
1.6.1 Modelo para la sensibilidad ............................................................................... 43
1.6.2 Determinación de parámetros............................................................................. 43
2.1 Dispositivo experimental.......................................................................................... 48
2.1.1 Generador de vibraciones................................................................................... 48
2.1.2 Vibrómetro láser................................................................................................. 50
2.1.3 Acelerómetro auxiliar......................................................................................... 54
2.1.4 Masas.................................................................................................................. 54
2.1.5 Sistema de adquisición de datos......................................................................... 55
2.2 Método...................................................................................................................... 56
2.2.1 Desarrollo y evolución ....................................................................................... 56
2.2.2 Descripción del método...................................................................................... 57
2.2.3 Factores de influencia ........................................................................................ 59
2.2.3.1 Lugar geométrico del haz............................................................................. 61
2.2.3.2 Efecto del montaje del sistema .................................................................... 85
2.2.3.3 Efectos del movimiento del excitador de vibraciones ................................. 93
2.2.3.3.1 Mediciones de aceleración transversal .................................................. 93
2.2.3.3.2 Resonancias del excitador ................................................................... 101
2.2.3.4 Efectos de los campos magnéticos generados por el excitador ................. 112
2.2.3.4.1 Estudio inicial de la sensibilidad para el rango de bajas frecuencias .. 112
2.2.3.4.2 Estudio inicial de la influencia de los campos magnéticos para el rango
de bajas frecuencias ............................................................................................ 119
2.2.3.4.3 Justificación teórica del efecto magnético........................................... 127
2.2.3.4.4 Una forma de evitar las influencias magnéticas del excitador ............ 134
2.2.4 Correcciones a realizar ..................................................................................... 142
2.2.4.1 Corrección por la masa interna del sensor ................................................. 143
2.2.4.2 Corrección por acoplamiento de elementos de carga ................................ 145
2.2.4.3 Corrección por la rigidez de las masas ...................................................... 151
2.2.4.4 Método para la realización de las correcciones ......................................... 157
2.3 Determinación de la incertidumbre ........................................................................ 158
IV
2.3.1 Vibrómetro láser............................................................................................... 158
2.3.2 Masa ................................................................................................................. 161
2.3.3 Acondicionador de señal .................................................................................. 165
2.3.4 Sistema de adquisición de señales.................................................................... 166
2.3.4.1 Calibración eléctrica .................................................................................. 167
2.3.4.1.1 Calibración en amplitud ...................................................................... 167
2.3.4.1.2 Calibración en fase .............................................................................. 169
2.3.4.2 Contribución a la incertidumbre por la aproximación a seno .................... 170
2.3.4.3 Contribución a la incertidumbre por la repetibilidad de las mediciones ... 175
2.3.5 Contribución a la incertidumbre del efecto del lugar geométrico del haz ....... 175
2.3.6 Contribución la incertidumbre por la influencia de la temperatura en el sensor
................................................................................................................................... 178
2.3.7 Resumen de las contribuciones ........................................................................ 179
2.3.7.1 Contribuciones a la incertidumbre para el módulo de la sensibilidad ....... 179
2.3.7.2 Contribuciones a la incertidumbre para la fase de la sensibilidad ............. 180
2.3.7.3 Contribución a la incertidumbre por las correcciones a aplicar por la masa
interna del sensor, acoplamiento de elementos de carga y la rigidez de las masas 181
2.3.7.4 Incertidumbre expandida ........................................................................... 183
3. RESULTADOS ........................................................................................................ 184
3.1 Sensor KISTLER 9175B ........................................................................................ 184
3.1.1 Corrección por la masa interna del sensor ....................................................... 184
3.1.2 Corrección por acoplamiento de elementos de carga....................................... 185
3.1.3 Corrección por la rigidez de las masas............................................................. 186
3.1.4 Resultados para el módulo de la sensibilidad................................................... 186
3.1.5 Resultados para la fase de la sensibilidad ........................................................ 187
3.2 Sensor HBM U9B................................................................................................... 189
3.2.1 Corrección por la masa interna del sensor ....................................................... 189
3.2.2 Corrección por acoplamiento de elementos de carga....................................... 190
3.2.3 Correcciones por la rigidez de las masas ......................................................... 191
3.2.4 Resultados para el módulo de la sensibilidad................................................... 191
3.2.5 Resultados para la fase de la sensibilidad ........................................................ 192
3.3 Sensor HBM U2B................................................................................................... 193
3.3.1 Corrección por la masa interna del sensor ....................................................... 194
V
3.3.2 Corrección por acoplamiento de elementos de carga....................................... 195
3.3.3 Corrección por la rigidez de las masas............................................................. 195
3.3.4 Resultados para el módulo de la sensibilidad................................................... 196
3.3.5 Resultados para la fase de la sensibilidad ........................................................ 197
3.4 Sensor INTERFACE 1610 ..................................................................................... 198
3.4.1 Corrección por la masa interna del sensor ....................................................... 198
3.4.2 Corrección por acoplamiento de elementos de carga....................................... 199
3.4.3 Corrección por la rigidez de las masas............................................................. 200
3.4.5 Resultados para el módulo de la sensibilidad................................................... 200
3.4.4 Resultados para la fase de la sensibilidad ........................................................ 201
3.5 Caracterización del sensor ...................................................................................... 202
3.5.1 Caracterización del módulo de la sensibilidad................................................. 202
3.5.2 Caracterización de la fase de la sensibilidad.................................................... 208
3.6 Caracterización de la resonancia ............................................................................ 214
3.7 Comparación de resultados con calibraciones en estático...................................... 219
3.7.1 Sensor HBM U2B ............................................................................................ 221
3.7.2 Sensor INTERFACE 1610............................................................................... 224
4. DISCUSIÓN............................................................................................................. 228
5. CONCLUSIONES.................................................................................................... 234
6. LÍNEAS FUTURAS................................................................................................. 238
7. BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 240
1
RESUMEN
El presente trabajo tiene como objetivo el desarrollo de un patrón primario para la
calibración de sensores de fuerza bajo excitaciones sinusoidales. Con consecuencia de
dicho desarrollo se establecerá un método de calibración de sensores de fuerza en
condiciones dinámicas que permitirá la caracterización de estos sensores en dichas
condiciones y determinar la incertidumbre asociada.
Este patrón se basa en la definición directa de fuerza como masa por aceleración. Para
ello se carga el sensor con distintas cargas calibradas y se somete a distintas
aceleraciones mediante un excitador de vibraciones. Dichas aceleraciones se generan
para frecuencias desde 5 Hz a 2400 Hz. La aceleración se mide mediante un vibrómetro
láser con trazabilidad a la unidad de longitud (longitud de onda del láser). Al ser una
medición completamente dinámica se necesita un sistema de adquisición de datos
multicanal para la toma de datos en tiempo real. Este sistema adquiere las señales
eléctricas provenientes del vibrómetro láser, del sensor a caracterizar y del acelerómetro
para mediciones auxiliares. Se ha dispuesto de cuatro sensores de fuerza para realizar
ensayos, un sensor piezoeléctrico y tres sensores resistivos.
En este trabajo se han estudiado los factores de influencia y se ha implementado un
método de calibración para minimizar los mismos, así como también se han establecido
las correcciones a realizar.
Para la caracterización dinámica del sensor se ha partido de un modelo de oscilador
armónico amortiguado forzado, se ha establecido la metodología para la determinación
de sus parámetros de caracterización y se ha estudiado su validez.
También se ha realizado una comparación entre los resultados obtenidos para
condiciones estáticas y dinámicas.
2
ABSTRACT
The aim in the current work is the development of a primary standard for force sensors
calibration under sinusoidal excitations. As consequence of this development a method
for force sensors calibration under dynamic conditions will be established that will
allow these sensors characterization for such conditions and the determination of their
associated uncertainty.
This standard is based on the direct definition of force as mass multiplied by
acceleration. To do so, the sensor is loaded with different calibrated loads and is
maintained under different accelerations by means of a vibration shaker. These
accelerations are generated with frequencies from 5 Hz up to 2400 Hz. The acceleration
is measured by means of a laser vibrometer with traceability to the unit of length (laser
wavelength). As the measurement is totally dynamic a multiple channel data acquisition
system is required for data acquisition in real time. This system acquires the electrical
signals outputs coming from the laser vibrometer, the sensor to be characterised and two
accelerometers for additional measurements. Four force sensors, one piezoelectric
sensor and three resistive sensors, have been available to perform the tests.
During this work the influence factors have been studied and a calibration method to
minimise these factors have been implemented as well as the corrections to be
performed have been established.
As the starting point for the sensor dynamic characterization, a model for a forced
damped harmonic oscillator has been used, a method for the characterizing parameters
determination has been established and its validity has been studied.
A comparison between results for static and dynamic conditions has been performed as
well.
3
1. INTRODUCCIÓN
Hasta ahora sólo se han calibrado los sensores de fuerza para cargas estáticas (la fuerza
aplicada es constante en el tiempo), pero su utilización posterior, por ejemplo, en
máquinas de ensayo, es en condiciones dinámicas (la fuerza depende del tiempo). De
hecho existen muchos más ejemplos donde los sensores de fuerza se utilizan en
condiciones dinámicas. Un ejemplo son las pruebas de impacto que se realizan las
industrias automovilística y aeroespacial. El ejemplo clásico es el ensayo de choque de
un vehículo. En las fotografías se ven típicos ensayos de choque de vehículos frente a
un muro.
Figura 1: Ensayo de impacto a 120 km/h Figura 2: Ensayo de impacto con “dummy”
Es clara la necesidad de realizar este tipo de ensayos para evaluar la protección de los
ocupantes del vehículo, y también de los peatones, frente a imprevistos. En la
legislación europea existen varias directivas y reglamentos sobre los requisitos que se
han de cumplir y a nivel internacional existen también regulaciones de la Organización
de Naciones Unidas. Algunos ejemplos se citan en la tabla siguiente:
Directivas europeas Regulaciones de la ONU
96/79/CE: Impacto Frontal
96/27/CE: Impacto Lateral
74/297/CE; 91/662/CE: Columna de Dirección
R94: Impacto Frontal
R95: Impacto Lateral
R12 (13/05/91): Columna de Dirección
R32: Impacto Trasero
4
97/019/CE: Protección Trasera
74/408/CE; 96/037/CE: Asientos
76/115/CE: Anclajes Cinturón Seguridad
2000/3/CE: Cinturones de Seguridad
2001/85/CE: Autobuses y Autocares
R17 (07/06/77): Asientos
R14 (20/07/73): Anclajes Cinturón Seguridad
R16 (06/05/73): Cinturones de Seguridad
R44 (02/04/96): Sistemas de Retención para niños
Otros ejemplos son los ensayos modales de las estructuras y los materiales. Esto es
importante para comprobar los posibles efectos sísmicos en los mismos.
Figura 3: Simulador de ensayos sísmicos y ensayo modal en estructura de hormigón
Otro campo donde se pueden encontrar sensores de fuerzas utilizados en condiciones
dinámicas es en el control de procesos. Un ejemplo típico es la perforación de túneles
para todo tipo de utilizaciones.
Figura 4: Perforación de pozos Figura 5: Tuneladora
5
Un campo de aplicación más novedoso es la utilización de sensores de fuerza en
dinámico para sistemas robotizados.
Figura 6: Brazo robotizado
Es sabido que el comportamiento de un sensor, en general, puede no ser el mismo en
condiciones dinámicas que en estático. En el caso estático los sensores se caracterizan
de acuerdo a la UNE EN-ISO 376 [1] mediante parámetros como el “creep” (deriva de
la señal de salida en el tiempo bajo la misma carga) o la reversibilidad. Esta
aproximación ya no es válida en el caso dinámico y hay que establecer nuevos métodos
y directrices de medición.
1.1 Objetivo
El objetivo del presente trabajo es el desarrollo de un patrón primario para la
caracterización de sensores de fuerza bajo excitaciones sinusoidales.
Dicho objetivo está plenamente justificado ya que el comportamiento mecánico de un
sensor no tiene porque ser igual para condiciones estáticas, esto es, el estímulo es
estable en el tiempo, que para condiciones dinámicas.
Un patrón de medida [2] es la realización de la definición de una magnitud dada, con un
valor determinado y una incertidumbre de medida asociada, que se toma como
referencia. Así, en nuestro caso se va a desarrollar un sistema que va a realizar fuerzas
sinusoidales determinadas a partir de la definición de la magnitud fuerza F como:
6
amF ⋅= (1)
donde m es la masa y a es la aceleración.
La determinación de una magnitud nunca es “perfecta”, esto es, siempre tiene una
incertidumbre de medida asociada.
La incertidumbre [2] de medida se define como un parámetro no negativo que
caracteriza la dispersión de los valores atribuidos a un mensurando (lo que se mide). Es
un reflejo de la imposibilidad de conocer exactamente el valor del mensurando. Este
parámetro deriva de un grupo de componentes; algunas de ellas pueden evaluarse a
partir de la distribución estadística de los resultados de series de medidas, y otras se
evalúan a partir de la asunción de determinadas distribuciones de probabilidad basadas
en la experiencia o en otras fuentes de información. En la práctica de la medición
existen numerosas fuentes potenciales de incertidumbre. A continuación se enumeran
algunas de ellas:
a) la definición incompleta del mensurando,
b) la realización imperfecta o ambigua de la definición del mensurando,
c) el conocimiento incompleto de los efectos de las condiciones ambientales sobre
la medición, o la medición imperfecta de dichas condiciones ambientales,
d) la resolución finita del instrumento de medida, o el umbral de discriminación,
e) la falta de exactitud de los patrones de medida,
f) las aproximaciones e hipótesis establecidas en el procedimiento de medida,
g) las variaciones en las observaciones del mensurando al repetir las mediciones en
condiciones aparentemente idénticas.
El procedimiento para determinar la incertidumbre de medida en este trabajo está
basado en una guía ampliamente utilizada e internacionalmente reconocida: Evaluation
of measurement data – Guide to the expression of uncertainty in measurement, JCGM
100:2008, cuya traducción al español es la referencia [3]. El desarrollo de este
procedimiento de determinación de incertidumbre se encuentra en el apartado 2.3.
Una característica fundamental del patrón que se desarrolla en este trabajo es que es un
patrón primario, eso es, que los valores que realiza no están relacionados con ningún
7
patrón de la misma magnitud. En nuestro caso esto quiere decir que nuestro patrón no
tiene como referencia a otro patrón de fuerzas sinusoidales, esto es, que los valores que
realiza no se han comparado con los de otro patrón de fuerzas sinusoidales; por el
contrario, la realización de nuestro patrón está basada en la definición de la magnitud
fuerza y está referenciado a patrones de longitud, masa y tiempo, como se explica en
más detalle en el apartado 1.2.
La importancia de que sea un patrón primario radica en que la contribución a la
incertidumbre de medida asociada a la caracterización del sensor de fuerza será menor
que si no lo fuera. De hecho, si estuviera referido a otro patrón de fuerzas sinusoidales,
este otro patrón habría de estar referido, directa o indirectamente a través de otros
patrones de fuerzas sinusoidales, a un patrón primario, por lo que siempre han de existir
patrones primarios como referencia, de los cuales se derivan los demás. Estas
sucesiones de patrones que se comparan entre sí hasta llegar a los patrones primarios se
conocen como cadenas de trazabilidad [2].
Hay que señalar también que este patrón está referido a magnitudes básicas, esto es,
magnitudes que no se derivan de otras. De acuerdo al Sistema Internacional de
Unidades [4] las unidades básicas son siete: masa, longitud, tiempo, intensidad
luminosa, cantidad de sustancia, intensidad de corriente eléctrica y temperatura
termodinámica, estando el patrón objeto de este trabajo referido a las tres primeras.
Por otra parte, hay que destacar que el presente trabajo no sólo ha consistido en el
montaje y puesta en marcha del patrón, sino también en el estudio pormenorizado de
todos los factores de influencia de las mediciones realizadas con el mismo. De este
estudio, que ha sido una parte esencial del trabajo, se obtienen los resultados que
permiten el establecimiento de un adecuado procedimiento de medida y una correcta
estimación de su incertidumbre, todo ello imprescindible para una adecuada
caracterización del sensor de fuerza en estudio.
1.2 Principio de medida
Ya se comentado que el patrón de fuerzas sinusoidales desarrollado en este trabajo se
basa en la definición de fuerza como el producto de masa por aceleración (ecuación 1).
Evidentemente para que la fuerza sea sinusoidal es necesario que lo sea la aceleración.
Para generar una aceleración sinusoidal en el laboratorio se necesita un excitador de
8
vibraciones sinusoidales capaz de generar aceleraciones conocidas a frecuencias
determinadas al cual se conectará el sensor. Por otra parte, el sensor se cargará con
masas de valor conocido, de forma que el movimiento de las masas sometidas a la
aceleración sinusoidal generará las fuerzas de interés.
Para medir la fuerza generada y compararla con la salida del sensor es necesario, por un
lado, determinar el valor de las masas y, por otro lado, medir la aceleración con una
referencia adecuada.
La determinación del valor de las masas se ha de realizar mediante una balanza con
referencia a la unidad de masa.
La aceleración se podría medir con un acelerómetro, pero en este trabajo se va a utilizar
un vibrómetro láser. La parte fundamental del vibrómetro láser es un interferómetro con
un láser de He-Ne, que tiene referencia a la unidad de longitud por definición de su
longitud de onda. El vibrómetro láser mide la velocidad del movimiento, por lo que
dispone de una base de tiempos, que tiene referencia a la unidad de tiempo.
Por otra parte, el patrón necesita un sistema de adquisición de datos para adquirir la
señal del sensor a caracterizar y la señal del vibrómetro láser, así como para determinar
la frecuencia del movimiento, por lo que también dispone de una base de tiempos
referenciada a la unidad de tiempo.
De lo explicado anteriormente se deduce que se tiene un patrón primario referenciado a
las unidades de masa, longitud y tiempo.
9
Figura 7: Esquema del principio de medida
La magnitud a caracterizar de los sensores de fuerza se conoce como sensibilidad y es la
relación entre la salida eléctrica del sensor y la aceleración aplicada al mismo. La
respuesta del sensor en principio puede depender de la frecuencia de la vibración, por lo
que durante la calibración se determina la sensibilidad para cada frecuencia de interés.
Dado que la salida del sensor puede no estar en fase con la fuerza aplicada, la
sensibilidad S es una magnitud compleja que consta de una amplitud, el módulo de S, y
una fase ϕ de acuerdo a la expresión siguiente:
ϕiSS e⋅= (2)
1.3 Estado del arte
Este trabajo surge de la participación del Centro Español de Metrología (CEM) en un
proyecto de investigación cuyo objetivo era proporcionar trazabilidad a la medición
dinámica de tres magnitudes mecánicas: la fuerza, la presión y el par de torsión. El
proyecto se ha enfocado en el desarrollo de métodos trazables de calibración en
10
dinámico, de modelos matemáticos y de la evaluación de la incertidumbre de medida,
considerando tanto los sensores mecánicos como los amplificadores eléctricos.
Este proyecto con código EMRP IND09 se tituló “Medición dinámica trazable de
magnitudes mecánicas” y fue financiado por el “European Metrology Research
Programme (EMRP)” [5] de la Unión Europea con un 46 % de un volumen total de casi
3,6 millones de euros. El proyecto comenzó en 2011 y terminó en 2014. En el mismo
han participado nueve Institutos Nacionales de Metrología europeos y ha tenido como
colaboradores a importantes fabricantes de sensores de fuerza, presión y par de torsión.
El proyecto se dividió en siete paquetes de trabajo de los cuales cuatro son técnicos, uno
interdisciplinario y dos administrativos. Estos paquetes eran: fuerza dinámica, presión
dinámica, par de torsión dinámico, amplificadores, matemáticas y estadística, impacto y
coordinación. Para obtener más información general del proyecto se puede consultar las
referencias [6] y [7].
El paquete de fuerza dinámica se enfocó hacia la medición de las fuerzas dinámicas
usando dos tipos de excitación, de choque y sinusoidal. La parte de excitación de choque
se ha llevado a cabo en el Physikalisch- Technische Bundesanstalt (PTB, Alemania), y la
parte de excitación sinusoidal se ha llevado a cabo en el PTB, en el Laboratoire National
de Métrologie et d’Essais (LNE, Francia) y en el CEM.
El sistema para proporcionar trazabilidad a las fuerzas de choque consta de dos masas, la
masa de reacción y la masa de impacto. Ambas masas se desplazan horizontalmente
sobre guías lineales de cojinetes de aire para minimizar la fricción. El sensor de fuerza se
acopla a la masa de reacción de forma que la masa de impacto al desplazarse choca con
el sensor. Para proporcionar trazabilidad de forma primaria se ha de medir el
desplazamiento de ambas masas mediante vibrómetros láser. Éste es el sistema utilizado
por el PTB [8, 9].
11
Figura 8: Esquema de la calibración primaria con fuerzas de choque
Aparte de éste a nivel internacional se están trabajando en otros sistemas. Así, por
ejemplo, en el National Metrology Institute (NIM, China) [10] han trabajado en un
sistema vertical donde la masa de impacto cae sobre el sensor de fuerza, midiéndose este
desplazamiento mediante un vibrómetro láser. Otro ejemplo es el sistema desarrollado
por el National Metrology Institute South Africa (NMISA, Sudáfrica) [11], donde la
masa de impacto se mueve accionada por un excitador horizontal y la masa de reacción
es un péndulo. En este caso en el movimiento de las masas se mide mediante
acelerómetros.
Para la calibración con fuerzas sinusoidales cada uno de los participantes ha utilizado su
propio sistema, que utiliza un excitador electrodinámico y una masa de carga montada
encima del sensor bajo calibración. Para la medida de la aceleración tanto el PTB como
el CEM han utilizado vibrómetros láser y el LNE ha utilizado un acelerómetro. Las
principales características de los tres sistemas se resumen en la siguiente tabla.
Instituto Medida de la aceleración Carga máxima Frecuencia máxima
de excitación
CEM Vibrómetro láser puntual 12 kg 2,4 kHz
LNE Acelerómetro 2 kg 5 kHz
PTB Vibrométro láser de escaneo 11 kg 2 kHz
A continuación se explicarán más en detalle las diferencias entre los sistemas.
Respecto a la medida de la aceleración hay que explicar la diferencia entre un
vibrómetro láser de escaneo y uno puntual. Un vibrómetro láser puntual mide el
movimiento de un punto de una superficie (en el apartado 2.1.2 se explica en detalle el
12
funcionamiento de un vibrómetro láser). Por el contrario el vibrómetro de escaneo
realiza un escaneo muy rápido de una región angular de 50º × 40º en la que es capaz de
medir el movimiento de hasta 100 puntos de una superficie. Dispone de un software de
interpolación que permite determinar el movimiento de la superficie directamente. Esto
es una gran ventaja, por ejemplo, para el estudio del efecto del lugar geométrico del haz
(véase el apartado 2.2.3.1); pero puede ser un gran inconveniente, ya que la máxima
velocidad de escaneo es de 50 puntos por segundo, lo que implica que tarda unos 2
segundos en volver a medir en el mismo punto. Ello implica que el software tiene que
hacer interpolaciones entre movimientos de puntos que se han medido en distintos
momentos, con una diferencia en tiempo de hasta 2 segundos. Esto puede ser un grave
problema si el movimiento no es lo suficientemente estable en el tiempo, esto es, si la
amplitud de la aceleración o la frecuencia del movimiento que genera el excitador no son
lo suficientemente estables. Por ejemplo, la presencia de armónicos o ruido importantes
podría ser crítica.
Por otra parte, el cabezal del vibrómero láser de escaneo es pesado y de grandes
dimensiones. El cabezal del vibrómetro láser puntual es más pequeño y ligero, lo cual ha
permitido colocarlo en otras posiciones distintas para estudiar, por ejemplo, los
movimientos laterales del sistema (véase el apartado 2.2.3.3.1 sobre mediciones de
aceleración transversal).
Respecto a las características de los excitadores hay que indicar que el del LNE permitía
un rango de frecuencia de excitación muy grande, hasta 5 kHz, pero sólo podría cargarse
hasta 2 kg. Los excitadores del PTB y del CEM tenían un rango de frecuencias más
reducido, pero podían soportar cargas mucho mayores. En realidad en ambos institutos
sólo se ha ensayado hasta 11- 12 kg debido a la dificultad del montaje de masa sobre el
sensor.
Hay que señalar que el LNE pidió voluntariamente una reducción de su participación en
el paquete de trabajo de fuerza dinámica y no ha proporcionado ningún resultado de su
sistema.
Respecto al PTB sus resultados se recogen en las referencias [12-15]. En el apartado 4 se
discuten sus contribuciones a la materia.
13
1.4 Sensores de fuerza
Como primer paso en este trabajo se ha realizado un estudio sobre los tipos de sensores
de fuerza que existen en función de su principio físico de funcionamiento. Una posible
clasificación de los sensores de fuerza existentes es la siguiente:
- Mecánicos
– Palanca simple
– Palanca compuesta
– Péndulo
– Deformación de un elemento elástico (resorte, anillo)
- Hidráulicos y neumáticos
- Eléctricos
– Capacitivos
– Electromagnéticos
– Inductivos
– Piezoeléctricos
– Potenciométricos
– Reluctivos
– Hilo vibrante
– Magnetoelásticos
– Piezorresistivos
– Resistivos
Como referencia se han utilizado [16] y [17], que son además dos fuentes importantes
de información sobre el tema.
1.4.1 Sensores de fuerza mecánicos
El principio de estos sensores está basado en la medición de la fuerza a partir de otras
fuerzas y/u otras magnitudes mecánicas.
14
1.4.1.1 Palanca simple
Se basan en un principio de oposición de momentos respecto a un punto fijo. Una fuerza
desconocida que actúe en un extremo de una palanca apoyada sobre un pivote puede
equilibrarse aplicando una fuerza conocida en el otro extremo. Cuando la palanca esté
en equilibrio serán iguales los momentos de las dos fuerzas con relación al punto de
pivote.
m
F
L1L2
mm
F
L1L2
1
2
LmgLF =
Figura 9: Palanca simple
1.4.1.2 Palanca compuesta
Partiendo de la palanca simple se obtiene la palanca compuesta introduciendo una serie
de pivotes y palancas adicionales. Este tipo de máquinas es capaz de generar mayores
fuerzas que la palanca simple.
1.4.1.3 Péndulo
La fuerza, después de una posible reducción por medio de sistemas de palancas, ejerce
un tiro vertical que causa que el péndulo se mueva un arco comprendido entre su punto
de reposo y el punto donde la fuerza se equilibra.
Dependiendo de dónde se aplique la fuerza se tienen dos casos, denotados como F1 y F2,
de acuerdo a la figura siguiente:
15
αα
Figura 10: Péndulo
La masa m y las longitudes r, l y L son constantes. Se igualan los momentos respecto al
origen del sistema de la fuerza aplicada y del peso de la masa inercial del péndulo, por
lo que las fuerzas se obtienen de las expresiones siguientes:
αsen1 ⋅⋅⋅=⋅ LgmrF αsen1 ⋅⋅⋅=rLgmF
αα
sencos2 ⋅⋅⋅=⋅ LgmlF αtg2 ⋅⋅⋅=
lLgmF
(3)
1.4.1.4 Deformación de un elemento elástico (Resorte, anillo)
Todo cuerpo bajo la acción de una fuerza se deforma. La deformación de un cuerpo
elástico dentro de su campo elástico es reversible y función lineal de la fuerza aplicada.
Al aplicar una fuerza a un elemento elástico, éste se deforma hasta que las tensiones
generadas por la deformación igualan a la fuerza aplicada. La deformación elástica
sufrida es por tanto proporcional a la fuerza aplicada.
A continuación se presentan algunos ejemplos de este tipo de sensores donde E es el
módulo de elasticidad longitudinal, G es el módulo de elasticidad transversal, σ es la
tensión normal, τ es la tensión de cortadura, k es la constante de elasticidad y x es la
deformación.
16
334
EaeFlx =
26
aeFl=σ (en la empotradura)
33
4lEaek =
33
2EaeFlx =
223
aeFl=σ (en la mitad)
332
lEaek =
332
EaeFlx =
23
aeFl=σ
33
2lEaek =
3212
EaeFlLx =
26
aeFL=σ
23
4lLEaek =
4364
GdFnRx =
316
dFR
πτ =
34
64nRGdk =
17
3
38,1Eae
Flx = (en el reloj)
( )2π
2π3ae
Fl−=σ
33
81 l,Eaek =
Figura 11: Ejemplos de sensores tipo resorte/anillo
1.4.2 Sensores de fuerza hidráulicos y neumáticos
El principio de estos sensores está basado en convertir una fuerza en una presión
hidráulica o neumática proporcional que pueda ser transmitida por tuberías a
dispositivos indicadores, impresores o controladores.
1.4.2.1 Hidráulicos
Un sensor hidráulico es básicamente un conjunto pistón-cilindro conteniendo un fluido
hidráulico. Una fuerza que actúe sobre el pistón producirá una presión en el fluido que
procederemos a medir y que es proporcional a la fuerza aplicada.
1.4.2.3 Neumáticos
El sensor neumático consta de una cámara a la que se le aplica un flujo de gas constante
conectada al exterior por medio de una válvula de fuga. Esta cámara también está
conectada a un medidor de presión y en la parte superior de la misma está cerrada
mediante una placa sobre la que se aplica la fuerza que se quiere medir. Esta placa está
soportada por un diafragma que se deforma por efecto de la fuerza aplicada de forma
que la posición de la placa varía por efecto de la fuerza. La placa está conectada a la
válvula de fuga de forma que la posición de la misma hace que salga más o menos gas
al exterior. Ello hace que la presión en la cámara aumente de forma proporcional a la
fuerza aplicada sobre la placa. Esto se mide mediante el medidor de presión conectado a
la misma.
18
Válvula de fuga
Flujo de gas a presión constante
A medidor de presión
PlacaFuerza
Diafragma
Válvula de fuga
Flujo de gas a presión constante
A medidor de presión
PlacaFuerza
Diafragma
Válvula de fuga
Flujo de gas a presión constante
A medidor de presión
PlacaFuerza
Diafragma
Figura 12: Esquema de sensor neumático
1.4.3 Sensores de fuerza eléctricos
El principio de estos sensores está basado en convertir una fuerza en una salida de
naturaleza eléctrica.
1.4.3.1 Capacitivos
En un sensor capacitivo el valor del mesurando es obtenido midiendo la variación de
capacidad. En nuestro caso el mensurando es una fuerza que se convierte en un cambio
de capacidad.
El condensador consiste esencialmente en dos placas conductoras separadas por un
aislante dieléctrico. El desplazamiento del elemento sensor causado por la fuerza que se
quiere medir hace que la superficie conductora móvil se mueva acercándose o
alejándose de la superficie conductora fija produciendo una variación de la capacidad.
19
dAC r0εε=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Δ+−=Δ
ddA
dAC r0εε
Figura 13: Esquema de sensor capacitivo
La variación de capacidad frecuentemente es convertida en el correspondiente cambio
de una tensión de salida mediante circuitos acondicionadores de señal.
1.4.3.2 Compensación electromagnética
La teoría de electromagnetismo nos dice que, si se hace pasar una corriente I a través de
un hilo conductor de longitud l en el seno de campo magnético de densidad de flujo B,
se genera una fuerza F de acuerdo a la siguiente expresión:
BIF ×= l (4)
Este principio de medida da una relación lineal entre la corriente I y la fuerza F
generada, siempre que el campo magnético y la longitud del hilo conductor se
mantengan constantes.
A continuación se presenta un esquema de este tipo de sensores y se explica su
funcionamiento.
20
1 = Fuerza aplicada
2 = Bobina (hilo conductor)
3 = Imán permanente
4 = Sensor de posición (ajuste de cero), usualmente un sensor capacitivo o una fotocélula
5 = Servo-amplificador
6 = Resistencia de precisión (resistencia de medida)
7 = Indicador digital
Figura 14: Esquema de sensor de compensación electromagnética
La fuerza aplicada (1) sobre el dispositivo receptor es compensada por la fuerza
generada al atravesar la corriente por la bobina sometida al campo magnético del imán
(3). Esta corriente es regulada por el sensor de posición (4) y el servo-amplificador (5) y
medida en la resistencia de precisión (6) por el convertidor analógico-digital. Así pues,
el sensor mide el diferencial de corriente necesaria para mantener el receptor de carga
en su posición de referencia cuando se aplica la fuerza y esta corriente es proporcional a
dicha fuerza.
1.4.3.3 Inductivos
En un sensor inductivo el mensurando es convertido en un cambio de la inductancia
propia de una bobina. Este cambio en la inductancia de la bobina produce una fuerza
electromotriz que se mide por medio de un acondicionador de señal. Se efectúa
usualmente por el desplazamiento del núcleo de la bobina que se encuentra unido a un
elemento sensor mecánico en contacto con la fuerza a medir.
1.4.3.4 Piezoeléctricos
Pierre y Jacques Curie publicaron en 1880 un artículo en el que describían que
determinados materiales (blenda, topacio, turmalina, cuarzo, azúcar de caña, sal de
Rochelle,…) presenta una polarización eléctrica cuando son sometidos a una tensión
21
mecánica. En los experimentos que realizaron se observaba la aparición de carga
eléctrica en las superficies de algunos cristales. De esta forma, aparece una diferencia de
potencial eléctrico entre las dos caras del material cuando se le comprime y la diferencia
de potencial opuesta cuando se le estira. Además, esta diferencia de potencial es
proporcional a la presión realizada sobre el cristal. Cuando esto ocurre se produce una
variación de la polarización, P, dentro del material sin que exista ningún campo
eléctrico externo que induzca esta variación. Si dentro del material piezoeléctrico ya
había una polarización ésta cambiará y si no lo había, se creará, de acuerdo a la
siguiente expresión:
TP ⋅=Δ α (5)
donde ΔP es la variación de la polarización, T es la tensión mecánica aplicada sobre la
muestra y α una constante que dependerá del material. Esta polarización supone la
aparición de un campo eléctrico E en el interior del material, ya que:
EP ⋅⋅= χε0 (6)
donde χ es la susceptibilidad del medio y ε0 es la permitividad del vacío. Como
consecuencia surge aparece una densidad superficial de carga de polarización σ en el
límite de la superficie del material con el conductor que lo recubre de forma que:
PE +⋅= 0εσ (7)
Así pues, en los sensores piezoeléctricos el mensurando es convertido en un cambio en
la carga electrostática generado por ciertos cristales cuando sufren un tensión mecánica.
22
Figura 15: Sensores piezoeléctricos
De los numerosos materiales piezoeléctricos que existen, el cuarzo (SiO2) es el más útil
en el campo de la fuerza por su estabilidad.
La polaridad e intensidad de la carga eléctrica resultante es función del plano de corte
del cristal y de la dirección de la fuerza actuante. Según sea el plano de corte del
material, se obtienen elementos que son sensibles a las presiones (efecto longitudinal) o
bien a las fuerzas de cizalladura de una determinada dirección.
La fuerza se puede realizar en forma de fuerza de tracción, compresión o flexión
ejercida sobre el cristal directamente por un elemento sensor o por un miembro
mecánico unido al elemento sensor.
Los sensores piezoeléctricos consisten básicamente en finas arandelas cortadas en una
orientación precisa de los ejes del cristal para que sean sensibles a fuerzas de
compresión o cortadura. Las arandelas usualmente se montan en paquetes y se
comprimen a través de un dispositivo de apriete. El conjunto formado por las arandelas
de cuarzo genera una señal de carga que es directamente proporcional a la fuerza
aplicada sobre él.
23
Figura 16: Esquema de montaje de un sensor piezoeléctrico multicomponente
Para medir fuerzas de tracción, se procede a la precompresión de un cristal de efecto
longitudinal de modo que la tracción actúa como descompresión.
1.4.3.5 Potenciométricos
En los sensores potenciométricos la fuerza es convertida en un cambio de la posición de
un cursor móvil de un potenciómetro de alta sensibilidad que va unido a un elemento
elástico. El desplazamiento del cursor del potenciómetro causa un cambio en la relación
de resistencias del circuito.
VlxV =0
Figura 17: Principio de medida potenciométrico
V
V0 xl
24
Es usual que el sensor sea excitado por fuentes de alterna o continua y la salida obtenida
sea la relación de tensiones.
1.4.3.6 Reluctivos
En los sensores reluctivos la fuerza es convertida en un cambio de tensión AC por un
cambio en la reluctancia entre dos o más bobinas con una excitación aplicada al sistema
de bobinas.
El cambio en la reluctancia usualmente se realiza por medio del movimiento de un
núcleo magnético.
Un caso particular de estos sensores son los LVDT (linear variable differential
transformer). El LVDT es un transformador diferencial lineal que consta de un primario,
dos secundarios idénticos conectados en serie-oposición y un núcleo magnético de
ferrita móvil.
Cuando el primario es alimentado con una corriente alterna, se induce una tensión en las
bobinas secundarias.
Un desplazamiento del núcleo supone una variación de la inductancia mutua de cada
secundario respecto al primario. Debido al sistema de conexión de los secundarios, las
tensiones inducidas van en oposición de fase. Así, cuando el núcleo está centrado, la
tensión de salida resultante es nula y en cualquier otra posición se producirá un
desequilibrio a favor de uno de los secundarios, apareciendo una resultante proporcional
a la diferencia y con la fase de la tensión predominante.
25
( ) ( ),tvktv in1S1=
( ) ( )tvktv in2S2=
( ) ( ) ( )tvtvtv21 SSout −=
Figura 18: Principio de funcionamiento de un sensor LVDT
1.4.3.7 Magneto-elásticos
Los sensores magneto-elásticos basan su principio de medida en la variación de las
propiedades magnéticas de un material ferromagnético cuando se le somete a esfuerzos
mecánicos, siendo esta variación proporcional al esfuerzo aplicado.
A causa de su estructura electrónica característica, en un material ferromagnético la
mayoría de los átomos tienen un momento magnético, igual que una aguja imantada.
Los elementos ferromagnéticos (hierro, cobalto, níquel) en estado sólido forman áreas
continuas de tamaño macroscópico (1 – 10 μm) en la que los momentos magnéticos de
los átomos actúan en la misma dirección. Estas áreas son llamadas “dominios de Weiss”
y cada una ejerce un intenso flujo magnético en una cierta dirección. Normalmente la
orientación mutua de los dominios es tal que el material externamente es no magnético.
Figura 19: Dominios magnéticos
S1
S2
P vin(t)
vout(t) +
–
+
+
–
–
ferrita
S1
S2
Pvin(t)
vout(t)+
–
+
+
–
–
26
Al someter un material ferromagnético a un campo magnético intenso los dominios se
alinean con éste, dando lugar a un monodominio. Al eliminar el campo, el dominio
permanece durante cierto tiempo.
Figura 20: Alineación de los dominios bajo un campo magnético
De igual forma, cuando un sólido es sometido a un esfuerzo mecánico, la energía
acumulada en el cuerpo da lugar a una cierta deformación. Los elementos
ferromagnéticos cambian los momentos magnéticos de los dominios cuando son
sometidos a un esfuerzo, resultando un cambio en sus características magnéticas en la
dirección en que la fuerza mecánica actúa.
H
B
H
B
H
B
H
B
H
B
H
B
H
B
Figura 21: Variación de la densidad de flujo magnético (B) bajo un esfuerzo
El sensor magneto-elástico consiste en un bloque de láminas ferromagnéticas unidas en
el que hay cuatro agujeros por los que penetran dos bobinas formando noventa grados
entre ellas. Una bobina se alimenta con una corriente alterna y la otra actúa como
bobina de medida. Dado que las dos bobinas están montadas a noventa grados entre
27
ellas, no existe acoplamiento magnético entre ellas mientras no exista carga sobre el
cuerpo del sensor.
Figura 22: Esquema constructivo del sensor magneto-elástico
Si una fuerza actúa sobre el cuerpo del sensor, la distribución del campo magnético
cambia. La permeabilidad se reduce en la dirección de la fuerza y aumenta en sentido
perpendicular a la dirección de la misma. El resultado es un cambio en la simetría del
flujo magnético, ya que parte del flujo induce una tensión en el enrollamiento
secundario. La tensión inducida es proporcional a la fuerza aplicada.
Utilizando el efecto magneto-elástico la tensión mecánica en el cuerpo causada por la
fuerza externa se mide por una variación en la corriente que fluye por la bobina de
medida. Esta variación de corriente es proporcional a la fuerza aplicada.
1.4.3.8 Cuerda vibrante
El principio de medida de este sensor está basado en que, cuando a un hilo situado entre
un par de imanes permanentes estirado entre dos puntos de un elemento elástico sensor
de fuerza se le hace vibrar a su frecuencia propia por medio de un oscilador, la
frecuencia de oscilación del hilo cambiará con la tensión aplicada al mismo.
La frecuencia propia de un hilo de longitud L y masa por unidad de longitud m1,
tensionado por la fuerza F, viene dada por la expresión:
l21
mF
Lf = (8)
28
El sensor de cuerda vibrante está constituido por dos hilos emplazados cada uno entre
dos imanes permanentes y conectados a sendos circuitos osciladores de forma que las
cuerdas oscilen a su frecuencia propia.
Los hilos están precargados a través de una masa de referencia. Cuando la fuerza
desconocida es aplicada a través de un hilo con un cierto ángulo se le aumenta la fuerza
de tracción (tensión), lo cual incrementa su frecuencia propia, mientras que el otro hilo
disminuye su tensión y disminuye su frecuencia propia. La diferencia entre las dos
frecuencias es función de la fuerza aplicada.
1.4.3.9 Piezorresistivos
Están basados en la variación de la resistencia de un conductor bajo deformación,
siendo esta variación proporcional al cambio de volumen de acuerdo a la siguiente
expresión:
vvc dd
=ρρ
(9)
siendo ρ la resistencia específica, v el volumen y c la constante de Bridgman, que
depende del material.
Figura 23: Esquema de sensor piezorresistivo
1.4.3.10 Resistivos
En este tipo de sensores la fuerza es convertida en un cambio de resistencia.
29
El principio de medida de este tipo de sensores, también llamados extensométricos, se
basa en la variación de la resistencia eléctrica con la deformación mecánica. El
elemento sensor del sensor son las bandas extensométricas (galgas).
Figura 24: Bandas extensométricas
El principio físico está basado en la variación de la resistencia eléctrica con la
deformación mecánica elástica (Lord Kelvin, 1856).
La resistencia de un hilo metálico conductor uniforme es directamente proporcional a la
longitud de dicho hilo y a la resistividad del material de que está constituido e
inversamente proporcional a la superficie de sección transversal del referido hilo. Esto
lo podemos expresar como:
ALR ρ= (10)
siendo ρ la resistividad del material, A la superficie de la sección transversal y L la
longitud del hilo.
A través de un artilugio matemático, podemos desarrollar la fórmula de la siguiente
manera. Si diferenciamos y dividimos por R se obtiene:
AA
LL
RR dddd
−+=ρρ (11)
30
En la ecuación obtenida el término dA representa el cambio en la superficie de la
sección transversal del conductor, resultante de haber sometido al hilo a una fuerza.
Según la teoría de la elasticidad, para un estado de deformación uniaxial, las
deformaciones unitarias axial y transversal obtenidas en el hilo se expresan como:
LLd
a =ε LLd
at νενε −=⋅−= (12)
donde εa es la deformación unitaria axial en el conductor, εt es la deformación unitaria
transversal en el conductor y v es el coeficiente de Poisson del metal usado como
conductor. Teniendo esto en cuenta se puede expresar la variación de la superficie de la
sección transversal del hilo como:
LL
DD
AA d22d2d
t νε −=== (13)
siendo D el diámetro del conductor, luego:
( )νρρ 21ddd
++=LL
RR (14)
que puede escribirse como:
( )νερρ
ε21
dd
aaA ++== R
R
S (15)
siendo SA definido como la sensibilidad del metal utilizado como conductor. Como
podemos apreciar, la sensibilidad de deformación de un metal está influenciada por dos
factores:
31
- Cambio en las dimensiones del conductor expresado por el término (1 +2v)
- Cambio en la resistividad del conductor expresado por el término a
d
ερρ
Es de observar que el posible cambio de la resistividad se le puede imputar a la
variación del número de electrones libres y al incremento de su movilidad con la
deformación aplicada. Experimentalmente se ha obtenido:
- SA varía de 2 a 4 para la mayoría de las aleaciones metálicas.
- SA varía de -12.1 (níquel) a 6.1 (platino) para metales puros.
Material Composición/% SA
Advance o Constantan
Nichrome V
Isoelastic ( Elinvar)
Karma
Armour D
Platinum tungsten
45 Ni, 55 Cu
80 Ni, 20 Cr
36 Ni, 8 Cr, 0.5 Mo, 55.5 Fe
74 Ni, 20 Cr, 3 Al, 3 Fe
70 Fe, 20 Cr, 10 Al
92 Pt, 8 W
2.1
2.1
3.6
2.0
2.0
4.0
Una galga es fundamentalmente una resistencia eléctrica fabricada como una parrilla de
hilos paralelos o láminas finas de metal embebidas en una base aislante de material
epóxico.
32
bornes de conexión
soporte
conductor
longitudactiva bornes de
conexión
soporte
conductor
longitudactiva
Figura 25: Bandas (galgas) extensométricas
Las bandas extensométricas muestran una resistencia al cambio ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Δ
RR referida a la
deformación ε en la dirección de las líneas de la parrilla expresada por:
ε⋅=Δ SgRR (16)
donde Sg es el factor de galga. El factor de galga Sg es siempre menor que la
sensibilidad de la aleación SA, ya que la configuración de la parrilla es menos sensible a
la deformación que un conductor uniforme.
1.4.3.10.1 Configuración y principio de medida
Un sensor de fuerza resistivo está compuesto en general por:
- un elemento elástico,
- unas bandas extensométricas (galgas) adheridas al elemento elástico y conectadas en
puente de Wheatstone,
- resistencias de compensación de temperatura, efectos de hilos, módulo de Young, etc.
- una cubierta exterior.
A continuación el principio de medida de un sensor extensométrico se explica en
grandes rasgos.
33
Al aplicar una fuerza sobre el sensor, se produce una deformación del elemento elástico,
que es transmitida a las galgas pegadas solidariamente al mismo. Una deformación
mecánica en la geometría de las galgas producirá una variación de las resistencias
eléctricas de las mismas, proporcional a la fuerza aplicada sobre el sensor.
La conversión de la fuerza mecánica a un cambio de resistencia medible se puede
sintetizar en el siguiente supuesto.
Sea una columna a la cual se le aplica axialmente una fuerza F. En esta dirección se
causará una tensión σ dada por la siguiente expresión:
AF
=σ (17)
siendo A el área transversal de la columna.
De acuerdo a la Ley de Hooke:
E⋅= εσ (18)
siendo
LLΔ
=ε (19)
la deformación unitaria y E el módulo de elasticidad de la columna (módulo de Young).
34
Figura 26: Aplicación de fuerzas sobre elemento de carga
La galga que está pegada sobre la superficie de la columna en sentido axial está
sometida a un cambio de longitud y en ella se producirá un cambio en su resistencia de
acuerdo a la siguiente expresión:
LLSg
RR Δ=
Δ (20)
combinando las expresiones:
RR
SgEE
LLE
AF Δ
⋅=⋅Δ
=⋅== εσ (21)
y finalmente:
FAE
SgRR
⋅⋅
=Δ (22)
que muestra que el cambio de resistencia ΔR es directamente proporcional a la fuerza F
aplicada (dentro del límite de proporcionalidad o elástico).
35
1.4.3.10.2 Puente de Wheatstone
La forma usual de conectar las galgas de un sensor es mediante un circuito puente de
Wheatstone. Éste permite transformar la variación de resistencia en una variación de
tensión medible.
Una configuración sencilla de puente de Wheatstone consta de cuatro brazos con
resistencias Rl a R4 conectados en anillo.
Figura 27: Circuito puente de Wheatstone
Si se aplica una tensión SV a los puntos de alimentación del puente 2 y 3, éste se divide
en las dos ramas del puente Rl, R2 y R4, R3 en proporción de las correspondientes
resistencias del puente.
Asumiremos que la impedancia de la fuente de alimentación R6 es muy pequeña
( )06 →R y que la impedancia interna del instrumento de medida conectado a la salida
del puente es muy alta y no causa carga en el puente.
La tensión parcial 1V en el nodo 1 del puente se calcula como:
S21
11 V
RRRV ⋅+
= (23)
y la tensión parcial 4V en el nodo 4:
36
S43
44 V
RRRV ⋅+
= (24)
La diferencia entre las dos tensiones parciales es la tensión de salida 0V del puente:
( )4143
4
21
1S0 VV
RRR
RRR
VV −=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+
= (25)
Si el desequilibrio del puente se define como la tensión de salida relativa ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
S
0
VV :
( ) ( )4321
4231
43
4
21
1
S
0
RRRRRRRR
RRR
RRR
VV
+⋅+⋅−⋅
=+
−+
= (26)
Para que el puente esté balanceado o en equilibrio se debe cumplir 00 =V , para ello
puede ocurrir:
- que todas las resistencias del puente sean iguales,
Rl = R2 = R3 = R4 = R (27)
- que la relación de resistencias en las dos ramas del puente sea la misma.
3
4
2
1
RR
RR
= (28)
En estos casos:
37
0S
0 =VV
(29)
y el circuito está equilibrado. Si las resistencias Rl a R4 cambian sus valores en una
cantidad RΔ , el puente se desequilibra y entre los puntos 1 y 4 se presenta una tensión
de salida 0V :
4433
44
2211
11
S
0
RRRRRR
RRRRRR
VV
Δ++Δ+Δ+
−Δ++Δ+
Δ+= (30)
Considerando que:
- En la técnica de bandas extensométricas todos los brazos del puente deberán
tener la misma resistencia, al menos las dos ramas del puente 1R , 2R y 3R , 4R .
- Las bandas extensométricas sufren muy poca variación en resistencia
RΔ comparadas con la resistencia básica ( )00 RRR <<Δ
Entonces la fórmula anterior se simplifica a la expresión siguiente:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ−
Δ+
Δ−
Δ=
4
4
3
3
2
2
1
1
S
0
41
RR
RR
RR
RR
VV
(31)
Por todo lo visto anteriormente es claro que mediante un sensor resistivo se puede medir
la fuerza a partir de mediciones de tensión eléctrica de acuerdo a todas las expresiones
vistas anteriormente.
1.5 Sensores de fuerza dinámicos
De todos los sensores de fuerza vistos anteriormente sólo unos pocos sirven para la
medición de fuerzas dinámicas. Ello es debido a que se necesita un tiempo de respuesta
adecuado y la mayor parte de ellos tienen un tiempo de respuesta alto. Es por ello que
los sensores de fuerza susceptibles de ser calibrados dinámicamente son los siguientes
38
sensores eléctricos: los piezoeléctricos, los capacitivos, los resistivos, los reluctivos, los
magnetoelásticos, los piezorresistivos y los inductivos.
En el presente trabajo debido a su disponibilidad sólo se han realizado mediciones sobre
sensores resistivos y piezoeléctricos. Hay que tener en cuenta además que se ha de
disponer de acondicionadores de señal que permitan una adquisición de datos lo
suficientemente rápida. Los acondicionadores de señal tienen alguna o varias de las
siguientes funciones:
- alimentación eléctrica,
- amplificación de carga,
- amplificación de tensión,
- linealización,
- filtrado.
Existe mucha información disponible sobre los acondicionadores de señal, dada su
complejidad y múltiples aplicaciones. Una posible referencia fácilmente accesible es
[18].
1.5.1 Amplificación de carga
Es necesaria para la lectura de los sensores piezoeléctricos. Se basa en un circuito
capacitivo retroalimentado:
Figura 28: Acondicionador de carga
39
Se tiene que la carga de entrada qin se distribuye entre la capacidad del cable Cc, la
capacidad de entrada del amplificador Cinp y el condensador de retroalimentación Cf. La
ecuación del nodo es, por lo tanto, la siguiente:
finpcin qqqq ++= (32)
Utilizando la ecuación de electrostática:
Cuq ⋅= (33)
y sustituyendo qc, qinp y qf se tiene:
( ) ffinpcinpin CuCCuq ⋅++⋅= (34)
El amplificador operacional diferencial se encarga de cargar el condensador Cf con la
carga qf de tal forma que uinp = 0 con lo que se puede simplificar la ecuación de la
siguiente forma:
ffin Cuq ⋅= (35)
y obtener la tensión de salida:
f
infout C
quV == (36)
El resultado muestra claramente que la tensión de salida de un acondicionador de carga
sólo depende de la carga de entrada y la capacidad de retroalimentación. Las
40
capacidades de entrada y del cable no tienen ningún efecto en la señal de salida en
principio.
La necesidad del uso de acondicionadores de carga hace que la utilización de sensores
de fuerza piezoeléctricos sea principalmente en condiciones dinámicas, ya que las
propiedades no ideales del dieléctrico del condensador de retroalimentación hacen que
el condensador se vaya descargando con un decaimiento exponencial en el tiempo. Este
hecho se discute en el apartado 2.3.3.
1.5.2 Amplificación de tensión
El caso es igual al anterior, pero en este caso se tiene resistencias en vez de
condensadores. Para ver el resultado se sustituye qx por Ix y Cx por 1/Rx.
Figura 29: Acondicionador de tensión
Del sensor se obtiene una tensión Vin que genera una corriente de entrada Iin = Vin/Rin. El
amplificador operacional diferencial se encarga de proporcionar una corriente Iout de
forma que V2 − V1 = 0 con lo que se tiene:
ininin RIV =
FFout RIV =
Fin II −=
(37)
En consecuencia se tiene que la amplificación vendrá dada por:
41
F
in
out
in
RR
VV
−= (38)
que es una amplificación de la tensión que da el sensor en función del cociente de la
resistencia de retroalimentación y la resistencia interna del amplificador.
En principio la amplificación produce un desfase en las señales de 180º, pero ello no
tiene ningún efecto, ya que el método de medición tiene una indeterminación en la fase
de múltiplos de 180º, de acuerdo a lo expuesto en el apartado 2.2.2.
1.6 Modelo de medida
Un sensor sometido a una fuerza sinusoidal se comportará en principio como un
oscilador armónico amortiguado donde la salida eléctrica del mismo es proporcional a la
deformación que sufre por efecto de la fuerza, xs. El modelo viene descrito por la figura
siguiente:
Masa
Generador de vibraciones
Acelerómetro
Haz láser
downx&&
upx&&
Sensor
Masa
Generador de vibraciones
Acelerómetro
Haz láser
downx&&
upx&&
Sensor
Figura 30: Esquema del modelo de medida
Las ecuaciones dinámicas del sistema son las siguientes:
42
downups xxx −=
( ) ( )downupdownupup xxbxxkxm &&&& −⋅−−⋅−=⋅ (39)
donde xs es la deformación del sensor, upx&& es la aceleración medida por el vibrómetro
láser, downx&& es la aceleración generada por el excitador de vibraciones, m es la masa que
causa la deformación en el sensor, b es la constante de amortiguamiento del sensor y k
su constante de elasticidad.
Es claro que en un movimiento sinusoidal se tendrá:
xxx 2i ωω −== &&& (40)
Luego resolviendo la ecuación se tiene:
ωωbk
mxx
i
2
up
s
+=
2
2
down
s
i ωωω
mbkm
xx
−+=
2down
up
ii
ωωωmbk
bkxx
−++
=
(41)
Expresando los resultados anteriores en módulo y fase se tiene:
222
2
up
s
ωωbk
mxx
+= ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=− k
bωϕ atanups
( ) 2222
2
down
s
ωω
ω
bmk
mx
x
+−= ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
=− 2downs atanωωϕ
mkb
(42)
43
( ) 2222
222
down
up
ωω
ω
bmk
bkxx
+−
+= ; upsdowns −−− −= ϕϕϕ downup
1.6.1 Modelo para la sensibilidad
Se espera entonces que la sensibilidad del sensor cumpla las siguientes expresiones, ya
que es, por definición, proporcional al cociente entre la deformación del sensor
sometido a la fuerza entre la aceleración a la que está sometida la masa:
222up
s 1ωbkxm
xS+
=∝&&
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
kbωϕ atan
(43)
donde ϕ es el desfase respecto de la aceleración a la que está sometida la masa.
Las ecuaciones anteriores muestran el típico comportamiento resonante. Por lo tanto, va
a ser interesante medir la aceleración generada por el generador de vibraciones con un
acelerómetro auxiliar a parte de medir la aceleración en la parte superior de las masas
con el vibrómetro láser. Ello permitirá caracterizar el comportamiento resonante del
sistema (determinar k y b) y ver si este modelo ideal es el adecuado.
1.6.2 Determinación de parámetros
Para determinar los parámetros k y b será interesante estudiar la potencia del sistema. La
potencia instantánea P se define como el producto de la fuerza generadora F por la
velocidad del sistema. En este caso será:
sxFP &= (44)
Dado que el excitador genera un movimiento sinusoidal de fuerza F0eiωt y considerando
los resultados anteriores se tiene:
44
t
mbkFx ω
ωωi
20
s ei −+−
=
( ) ωωω
ωωω ωω
bmkF
mbkFix
tt
−−=
−+−
= 2
i0
2
i0
s ie
ie
&
( ) ( )222
0s
ωω
ω
bmk
Fx+−
=& ; ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
ωωϕ
bmk 2
atan
(45)
Considerando sólo la parte real la potencia instantánea tendrá la expresión siguiente:
( ) ( )PP coscos ϕωω += ttAP
( ) ( )222
2
Pωω
ω
bmk
FA+−
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
ωωϕ
bmk 2
P atan
(46)
Lo que es interesante no es la potencia instantánea, sino la potencia promedio, que es la
potencia promediada en un periodo de oscilación T.
( ) ( )∫ +=T
tttAT
P0
PP dcoscos1 ϕωω (47)
Por las propiedades de las funciones trigonométricas se tiene
( ) ( )( ) ( )PP
0P
P cos2
d2coscos2
ϕϕωϕ AttT
APT
P∫ =++= (48)
El resultado anterior se puede expresar también como
45
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
+−=
ωω
ωω
ωbmk
bmk
F,P2
222
20 atancos50v
( ) ( ) 22222
20
1
150
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+
+−=
ωωωω
ω
bmkbmk
F,Pv
( ) ( )222
20
250ωω
ω
bmkbF,P
+−=
(49)
dado que ( )PPcos ϕA es la parte real de P.
De la expresión anterior se deduce que la potencia será máxima cuando ϕ = 0. Ello
implica que la frecuencia ω0 y la potencia 0P para este caso vendrán dadas por las
siguientes expresiones:
mk
=0ω
bFP2
20
0 =
(50)
Para estas condiciones se habla de resonancia, por lo cual 0ω y 0P son respectivamente
la frecuencia de resonancia y la potencia de resonancia. Es claro entonces que la
medición de la frecuencia 0ω proporciona el valor de k conocida la masa m.
Para determinar el valor del otro parámetro, b, hay que definir otro parámetro auxiliar, el
factor de calidad Q, que se define como
21
0
ωωω−
=Q (51)
donde 0ω es la frecuencia de resonancia y 1ω y 2ω son respectivamente las frecuencias a
las cuales la potencia es la mitad de la potencia de resonancia 0P . El factor de calidad,
46
Q, es una medida de la agudeza de la resonancia, ya que a mayor Q la resonancia es más
aguda y viceversa.
Se tiene también que la diferencia 1ω - 2ω va a estar relacionada con el otro parámetro
del sistema, b. 1ω y 2ω cumplen la siguiente condición por definición.
( ) ( )22122
21
20
221
200 50
42,,
,
bmk
bF,b
FP
ωω
ω
+−==
(52)
o lo que es lo mismo
( ) ( )2221
221 ,, mkb ωω −= (53)
De la ecuación anterior se deduce que
mb
=− 21 ωω (54)
Con lo que tenemos caracterizado el otro parámetro del sistema. También se puede
expresar b en función del factor de calidad Q, la masa m y la constante de elasticidad k
como:
Qmkb = (55)
Para la determinación de estos parámetros no se determinará la potencia promedio tal
cual, sino que se determinará la relación de la potencia promedio del sistema respecto a
la potencia generada por el excitador, R. Esto es más sencillo desde el punto de vista de
la adquisición de datos y, dado que la potencia generada por el excitador es
nominalmente la misma para todas las frecuencias, la caracterización de la resonancia de
47
R tendrá los mismos resultados que la de la potencia promedio del sistema respecto a 0ω
y 1ω - 2ω . Esto es, con las notaciones ya utilizadas en esta sección,
( )
( )( ) 1e1d
eiei1d1 downup
downupi
down
up
0i
i
down
up
0 down
s −=−⋅== −−+
∫∫ϕϕ
ω
ϕϕω
ωω
xx
txx
Tt
xFxF
TR
T
t
tT
&
& (56)
Tomando la parte real y considerando que es desplazamiento y la aceleración son
proporcionales con factor multiplicativo - ω2 se tiene,
( ) 1cos downupdown
up −−= ϕϕxx
R&&
&& (57)
Luego éste es el parámetro que se utilizará para la caracterización de k y b.
48
2. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL Y MÉTODO
2.1 Dispositivo experimental
Como se ha visto las partes del dispositivo experimental esenciales son un generador de
vibración, un vibrómetro láser y sistema de adquisición de datos multicanal para la toma
de datos en tiempo real. Para la caracterización del comportamiento resonante del sensor
se utilizará un acelerómetro auxiliar.
El sistema de adquisición de datos multicanal ha de adquirir las señales eléctricas
provenientes del vibrómetro láser, del sensor a caracterizar y del acelerómetro auxiliar
para la medición.
A continuación se describirán cada una de las partes y la evolución sufrida durante el
desarrollo del trabajo. Una referencia para esta sección es la [19].
2.1.1 Generador de vibraciones
Todo generador de vibraciones tiene tres partes:
- Generador de frecuencia
Establece la frecuencia y la amplitud de la vibración generada.
- Amplificador de potencia
Amplifica la señal del generador.
- Excitador
A partir de la señal del amplificador genera la vibración.
Muchas veces se habla de excitador refiriéndose al generador de vibración. Un excitador
tiene las siguientes partes:
- Armadura
La armadura es la parte en contacto con el sensor, que es la que se va a mover durante la
vibración. Las características que ha de tener una armadura son masa pequeña y gran
rigidez. La masa ha de ser pequeña porque con la misma fuerza impulsora se generará
más aceleración cuanto más pequeña sea la masa. El material elegido, por lo tanto,
tendrá que ser de baja densidad. Por otra parte, el material ha de tener gran rigidez para
que toda la superficie se desplace igual durante la vibración.
49
- Suspensión
La funcionalidad de la suspensión es asegurar que la armadura se mueve sólo con un
grado de libertad, sin fricciones ni deslizamientos.
Se usan dos tipos de suspensión:
- Cojinete neumático, que es el que mejor evita la existencia de vibraciones
transversales y la distorsión, aunque es la opción más cara.
- Suspensión mediante muelles, que tiene la ventaja de que se asegura siempre la
posición de la armadura.
- Elemento impulsor
Este elemento se encarga de ejercer una fuerza armónica sobre la armadura. Pueden ser:
- Piezoeléctricos, que se usan para altas frecuencias.
- Hidráulicos y neumáticos, que se usan para bajas frecuencias.
- Electrodinámicos, que son los más utilizados y se basan en la fuerza de Lorentz.
En los electrodinámicos la fuerza F está generada por una bobina de N espiras de
longitud l, por la que pasa una corriente i, en un campo magnético de densidad de flujo B
perpendicular a la bobina. Su módulo viene dado por la siguiente expresión:
ilBNF ⋅⋅⋅= (58)
Dicha bobina está unida a la armadura de forma que, si la corriente i tiene una frecuencia
f, la armadura se moverá a dicha frecuencia.
50
Figura 31: Principio de funcionamiento del excitador electrodinámico
En nuestro caso se dispone del excitador LDS 726 con amplificador PA 2000, que tiene
el generador de señales integrado. El excitador es electrodinámico y la suspensión se
realiza mediante un cojinete neumático. El control se realiza mediante un bucle
realimentado basado en la salida de un acelerómetro externo. Este sistema permite la
generación de vibraciones desde 5 Hz hasta 2400 Hz hasta cargas de 600 kg.
La mayor parte de las mediciones de este trabajo se han realizado para aceleraciones de
10 m/s2. Ello ha sido debido a que efectos no deseados tales como la distorsión y el ruido
aumentan con la aceleración. De todas formas se ha comprobado en algunos casos y se
han obtenido resultados equivalentes. Ello es esperable ya que, dadas las incertidumbres
que se consiguen, la dependencia de la sensibilidad con la fuerza es despreciable en el
caso de mediciones dinámicas, por lo que los resultados finales presentados se
consideran sólo para aceleraciones de 10 m/s2.
2.1.2 Vibrómetro láser
El vibrómetro láser del que se dispone es de la marca Polytec con modelo CLV 2534.
Permite mediciones de velocidad de frecuencias hasta 100 kHz.
El cabezal láser está acoplado a una mesa posicionadora, que está colocada a su vez en
un soporte que lo coloca en la parte superior del sistema y lo aisla del excitador de
vibraciones. La mesa posicionadora permite el posicionamiento adecuado del haz sobre
la superficie de las masas de acuerdo a coordenadas esféricas (radio, colatitud y azimut)
respecto de un eje z del que también se puede ajustar su inclinación.
Imán
Bobina
Armadura
Imán
Bobina
Armadura
51
Un vibrómetro láser [20] es una forma común de llamar a un interferómetro heterodino
dedicado a la medición de vibraciones. Este sistema interferométrico es de tipo Mach-
Zehnder modificado y está dotado de una célula de Bragg. El esquema del sistema
interferométrico es el de la figura siguiente:
Figura 32: Esquema del sistema interferométrico de un vibrómetro láser
El láser He-Ne emite luz coherente que se divide en dos haces (medida y referencia) por
medio del divisor de haz A. El haz de referencia va al espejo y atraviesa la célula de
Bragg y el divisor de haz C. El haz de medida va hacia el objeto en vibración pasando
por el divisor de haz B, una lente focalizadora y una lámina λ/4. La parte del haz
reflejada por el objeto en vibración realiza el camino inverso hasta el divisor de haz B y
de ahí pasa al divisor de haz C para combinarse con la señal de referencia llegando hasta
el fotodetector.
La célula de Bragg es un modulador optoacústico que consta de un transductor acústico
que tiene adosado un medio optoacústico. Cuando se aplica una señal acústica al
transductor, éste vibra, generando una onda acústica en el medio optoacústico. El medio
optoacústico presenta una estructura cristalina que funciona como una red de difracción
cuya distancia de red d varía con la señal acústica. Ejemplos de posibles medios
optoacústicos son el germanio, el cuarzo o el niobato de litio.
Para que el haz difractado sea máximo cuando el haz láser atraviesa el medio
optoacústico se ha de cumplir la ley de Bragg (por ello se llama célula de Bragg):
Láser He Ne Divisor de haz A Divisor de haz B
Espejo
Célula de Bragg
Divisor de haz C Fotodetector
Lente Lámina λ/4
Objeto
Láser He Ne Divisor de haz A Divisor de haz B
Espejo
Célula de Bragg
Divisor de haz C Fotodetector
Lente Lámina λ/4
Objeto
52
θλ sen2dn = (59)
siendo n el índice de refracción del medio optoacústico, λ la longitud de onda del haz
láser, d la distancia de red y θ el ángulo de incidencia del haz láser. Es claro entonces
que la fracción del haz láser difractado dependerá de d, con lo que estará modulado por
esta frecuencia.
El fotodetector no es sensible a altas frecuencias (como la propia del láser), por lo que
su señal de salida, idet (t), es de la forma:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=
λstfiti π4π2cos cdet (60)
donde i es la amplitud en alterna, fc es la frecuencia característica de la célula de Bragg, s
es la posición en el tiempo del objeto en movimiento (se sabe que un desfase de 2π
corresponde a un desplazamiento de λ/2) y λ es la longitud de onda del láser.
El término
λϕ sπ4=Δ o
λvf 2
=Δ (61)
donde v es la velocidad del objeto se conoce como desplazamiento Doppler (en fase en
el primer caso y en frecuencia en el segundo), por su clara relación con dicho efecto.
La obtención de dos señales en cuadratura se consigue mediante el siguiente circuito
esquematizado:
53
det
1
2
det
1
2
Figura 33: Esquema del circuito para obtención de señales en cuadratura
Como paso previo al paso por este circuito, la señal del detector se digitaliza, idet(ti),
mediante un conversor analógico-digital. De acuerdo al circuito anterior se mezcla con
dos señales de frecuencia ωc (= 2πfc) desfasadas π/2 en ramas separadas que, cuando
pasan por su correspondiente filtro pasa baja, dan lugar a señales u1 y u2 que están en
cuadratura. Para minimizar los errores en este proceso es necesario que el oscilador
también sea el que genere la frecuencia de la célula de Bragg.
Este interferómetro heterodino tiene la ventaja de que la señal que llega al fotodetector
tiene un frecuencia mucho más baja que la frecuencia del láser, luego es mucho más
fácil de tratar posteriormente.
Las señales en cuadratura son de la siguiente forma:
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≈
λitsu π4cos1
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛≈
λitsu π4sin2
(62)
Del análisis de estas señales se obtiene el desplazamiento respecto al tiempo, s(ti), como
( ) πatanπ4 1
2 muuts i +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=λ
(63)
54
donde m es un número entero que viene dado por la indeterminación de la función arco
tangente. El desplazamiento en función del tiempo se podría obtener mediante la
determinación de m considerando la continuidad de la función. Este procedimiento se
llama “unwrapping” en inglés y tiene el inconveniente de que es bastante lento.
Para evitar este problema y disminuir el tiempo de procesamiento se realiza una
diferenciación numérica de esta señal, lo que proporciona la velocidad respecto al
tiempo v(ti). Esta señal pasa por filtro pasa baja y un conversor digital-analógico, de
forma que el vibrómetro láser proporciona como resultado una tensión proporcional a la
velocidad.
2.1.3 Acelerómetro auxiliar
Se dispone de un acelerómetro auxiliar monoaxial “single ended” B&K 8305 con salida
en pC, que se puede fijar con un tornillo a la base del excitador de vibraciones y se
utiliza para caracterizar los comportamientos resonantes. Su señal es tratada con un
acondicionador de señal B&K 2525.
2.1.4 Masas
Se dispone de 5 masas con las que cargar los sensores. Las tres primeras son de latón
tienen forma de disco y se pueden roscar directamente sobre el sensor. Los valores
nominales de masa son 0,35 kg, 1 kg y 2 kg.
Las otras dos tienen un acoplador sobre las que se acopla un cilindro hueco y son de
acero inoxidable. Las cargas del acoplador con su cilindro hueco correspondiente son
7,2 kg y 12,3 kg.
Dependiendo del sensor a calibrar puede ser necesario el uso de adaptadores para
atornillar las masas, o el acoplador en su caso, al sensor a calibrar.
55
Figura 34: Vista de la masas sobre la armadura
2.1.5 Sistema de adquisición de datos
Como primer sistema de adquisición de datos se utilizó un osciloscopio Agilent Infinium
DSO8064A (600 MHz 4GS/s) de cuatro canales. Este osciloscopio permitía adquirir
directamente las señales en función del tiempo y exportar dichos datos para su
tratamiento matemático posterior. Con este dispositivo se hicieron unas primeras
pruebas. En ellas se pretendía determinar la sensibilidad del sensor de fuerza
comprobando que la aceleración medida por el vibrómetro láser y el acelerómetro
auxiliar coincidían. El hecho es que tendrían que coincidir, ya que el acelerómetro estaba
calibrado con el vibrómetro láser como referencia. Para ello el acelerómetro se colocaba
en el medio de la superficie superior de las masas y el vibrómetro medía el movimiento
de la superficie de la masa en cuatro puntos equidistantes 90º alrededor del acelerómetro.
Los resultados mostraron que había discrepancias y se buscaron posibles causantes de
estas discrepancias. En principio podría ser un efecto de los cables o una posible deriva
del acelerómetro en cadena de medida con su acondicionador de señal. Se estudió el
efecto de los cables, pero este efecto era despreciable. La deriva del acelerómetro se
descartó mediante la realización de otra calibración. Después se optó por estudiar el
comportamiento del osciloscopio conectando una misma señal proveniente de un
generador de onda y se vio que estas discrepancias podrían venir de que la medición del
osciloscopio no era lo suficientemente exacta y precisa. Por ello hubo que cambiar el
sistema de adquisición de datos a otro cuya medida eléctrica fuera más adecuada.
56
Se optó por un módulo PXI 1033 con tarjeta 4462 (24 bits, 204.8 kS/s) de National
Instruments. El siguiente paso fue realizar el correspondiente programa en Labview para
la toma de medidas. Ha habido numerosas versiones del programa hasta llegar a las
versiones definitivas.
2.2 Método
2.2.1 Desarrollo y evolución
El primer programa de toma de datos mediante Labview permitió la adquisición de la
tensión que llega a cada uno de los cuatro canales en función del tiempo. Para cada uno
de los cuatro canales se muestreaba a 40 kS/s y se almacenaban estos datos en un fichero.
Cada medición constaba de 40 kS, luego se tiene una medición por segundo. A
continuación se exportaban dichos datos para su tratamiento matemático posterior.
Las siguientes mejoras incluían la representación de las señales en función del tiempo y
los cálculos de la distorsión armónica total, la frecuencia fundamental y la FFT (Fast
Fourier Transform) para cada canal. También hacía cálculos en tiempo real de la
aceleración que mide el vibrómetro, la aceleración que mide el acelerómetro, la
aceleración que mediría el sensor para su sensibilidad nominal y la masa considerada, la
diferencia entre las aceleraciones entre vibrómetro láser y acelerómetro, la sensibilidad
para el sensor de fuerza con el vibrómetro láser como referencia, la sensibilidad para el
sensor de fuerza con el acelerómetro como referencia, la diferencia de fase entre el
sensor de fuerza y el vibrómetro láser y la diferencia de fase entre el sensor de fuerza y
el acelerómetro.
En la anterior versión del programa no se hacía ningún tratamiento de la señal, pero
estaba claro que la señal estaba afectada por los armónicos y el ruido.
De hecho se constató que la distorsión armónica total mínima podía llegar a ser del 2 %,
pudiendo llegar a ser de hasta el 10 % en frecuencias próximas a la frecuencia de
resonancia del sistema.
Un primer tratamiento de la señal consistía en la realización de la FFT (Fast Fourier
Transform), seleccionar el primer armónico y hacer la IFFT (Inverse Fast Fourier
Transform) de este primer armónico. De esta forma la señal obtenida tendría sólo una
frecuencia pura, que sería la frecuencia a la que se está realizando la medición y no
57
habría armónicos ni ruido. El problema es que la implementación del proceso reducía la
amplitud de las señales, lo cual no lo hacía válido para el proyecto.
Otro tratamiento que se intentó fue la simple eliminación del ruido y los armónicos
mediante la rutina “Harmonic Distorsion Analyser” de Labview. El problema es que esta
rutina lleva implementada filtros y la respuesta de los filtros hace que haya reducciones
de la amplitud de las señales, por lo que este procedimiento tampoco era válido.
Por último la técnica que se ha utilizado es la aproximación a seno, que se describe a
continuación.
2.2.2 Descripción del método
En el método de aproximación a seno cada señal proveniente del sensor, vibrómetro
láser o acelerómetro a(ti) se ajusta a un seno de la forma:
( ) ( ) ( ) CftBftAta iii +−= π2senπ2cos (64)
con i = 1…N donde N es el número total de puntos considerados en el ajuste.
Una vez resueltos los sistemas anteriores la amplitud, a , y la fase inicial del
movimiento, aϕ, vendrán dadas por las siguientes expresiones:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
+=
ABa
BAa
atan
22
ϕ
(65)
Dada la existencia de armónicos en el sistema se realiza un ajuste a una función
sinusoidal considerando hasta el tercer armónico de la forma:
58
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )ii
ii
ii
iii
ftBftAftBftAftBftA
CftBftAta
π8senπ8cos π6senπ6cos π4senπ4cos π2senπ2cos
33
22
11
00
−++−++−+
++−=
(66)
Se realiza hasta el tercer armónico ya que el estudio del espectro de las aceleraciones
generadas por el excitador muestra que las contribuciones de armónicos de orden mayor
son despreciables. De hecho la distorsión armónica total es del 2 % para frecuencias
distintas de la frecuencia de resonancia del sistema.
Lógicamente para la caracterización del sensor y la determinación de la sensibilidad se
toma en consideración solamente la componente correspondiente a la señal, no sus
armónicos:
( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
+=
0
0
20
20
atanABa
BAa
ϕ
(67)
El ajuste se realiza automáticamente por el programa por mínimos cuadrados mediante
el método SVD (Singular Value Decomposition). Este método se utiliza ampliamente en
álgebra lineal y se utiliza para descomponer una matriz de dimensiones m × n en el
producto de una matriz de dimensiones m × m unitaria, una matriz de dimensiones m × n
rectangular diagonal con número reales no negativos en la diagonal y una matriz n × n
unitaria. De esta forma se puede calcular más fácilmente la inversa de la matriz [21].
Las mediciones que se obtienen con este método son: la amplitud de la aceleración
medida por el vibrómetro láser, la amplitud de la aceleración medida por el acelerómetro,
la amplitud de la aceleración medida por el sensor, la sensibilidad del sensor, el desfase
entre el sensor y el vibrómetro láser y el desfase entre el acelerómetro y el vibrómetro
láser, junto con sus contribuciones a la incertidumbre correspondientes de acuerdo a lo
que se discute en el apartado 2.3.4.2.
Un aspecto importante a destacar es el hecho de que en la determinación de la fase se
utiliza la función arco tangente, cuyo resultado está definido salvo un múltiplo entero de
59
π (180º). En todo el trabajo se considerarán los valores de fase inferiores a 180º, pero no
hay que olvidar que ese valor ± 180º será igualmente válido.
Con un cálculo posterior se determina el factor R, esto es, la relación de la potencia
promedio del sistema respecto a la potencia generada por el excitador, a partir de la
amplitud de la aceleración medida por el acelerómetro, downx&& , la amplitud de la
aceleración medida por el vibrómetro láser, upx&& y el desfase entre el vibrómetro láser y
el acelerómetro, downup ϕϕ − , como:
( ) 1cos downupdown
up −−= ϕϕxx
R&&
&& (68)
En la determinación del factor R sí se considerarán valores de fase mayores de π en las
representaciones de la resonancia del sistema.
Existen dos versiones definitivas del programa. Una toma los datos en continuo y los
exporta a un fichero, que se utiliza para la caracterización de la resonancia del sensor. La
otra hace un promedio entre 10 mediciones y calcula también la desviación típica y se
utiliza para la determinación de la sensibilidad del sensor a distintas frecuencias.
2.2.3 Factores de influencia
En el apartado anterior ya se ha comentado cómo se han minimizado los efectos de las
posibles fuentes de error derivadas de las señales eléctricas que hay que medir: los
armónicos y el ruido. En este apartado se van a tratar otras fuentes de error.
De la guía EURAMET cg 4 “Incertidumbre de las Mediciones de Fuerza” [22] y la
norma UNE EN-ISO 376 [1] se deduce que en el uso en condiciones estáticas de un
sensor de fuerza se tienen las siguientes fuentes de error atribuibles al propio
funcionamiento del sensor.
- Efectos de la temperatura
Existe un efecto claro de la temperatura en la salida de un sensor eléctrico. Este efecto
es proporcional a la fuerza aplicada y se suele expresar en %/ºC.
60
- Histéresis (reversibilidad)
Se define el error de histéresis como la diferencia entre las lecturas de salida para una
misma fuerza aplicada entre una lectura obtenida con fuerza creciente y la otra con
fuerza decreciente.
- Creep (Deriva a carga constante)
Es la variación en la señal de salida ocurrida con el tiempo bajo una fuerza constante y
manteniendo constantes las otras condiciones de medida.
- Deriva en el tiempo de la señal de cero
Es la variación en la señal de salida ocurrida con el tiempo a fuerza cero y manteniendo
constantes las otras condiciones de medida.
- Linealidad
El error de linealidad se define como la variación de la sensibilidad con la fuerza
aplicada.
- Repetibilidad y reproducibilidad
Es la máxima diferencia entre mediciones repetidas en idénticas condiciones [2].
Las condiciones de repetibilidad incluyen el mismo procedimiento de medida, los
mismos operadores, el mismo sistema de medida, las mismas condiciones de operación
y el mismo lugar, así como mediciones repetidas del mismo objeto o de un objeto
similar en un periodo corto de tiempo.
Las condiciones de reproducibilidad incluyen un conjunto de condiciones que incluye
diferentes lugares, operadores, sistemas de medida y mediciones repetidas de los
mismos objetos u objetos similares. Así en la reproducibilidad se tendrán en cuenta los
efectos por el montaje del sensor. Por ejemplo, de acuerdo a la UNE EN-ISO 376 [1] se
han de repetir mediciones cuya una diferencia en las condiciones de medida es que entre
las distintas mediciones se ha girado el sensor 120º. Ello da cuenta del posible efecto de
que el eje de medida del sensor y el eje de medida del patrón (máquina de fuerza) no
sean perfectamente paralelos.
De todas las posibles fuentes de error enumeradas anteriormente es claro que para
mediciones sinusoidales, como es nuestro caso, no tiene sentido considerar las
siguientes:
61
- Histéresis
- Deriva de la señal de salida a fuerza cero
- Deriva de la señal de salida a fuerza constante
El resto de los efectos habrán de ser tomados en consideración. Hay que considerar
especialmente la reproducibilidad y todos los factores que están incluidos en ella.
Respecto a la linealidad hay que considerar que la dependencia de la sensibilidad con la
fuerza va a ser despreciable teniendo en cuenta las incertidumbres que se manejan en las
mediciones dinámicas. Esto se demostrará en el apartado 3.7.
Dentro de los efectos de reproducibilidad hay que considerar los siguientes efectos que
van a determinar el método de medida:
- Uno viene dado por el hecho de que dependiendo del punto de la superficie de la
masa donde se enfoque el haz láser del vibrómetro se van a tener aceleraciones
distintas. Este efecto se denominará lugar geométrico del haz.
- Otro efecto viene dado por el montaje de la carga sobre el sensor.
- Existe también el efecto no deseable de que el excitador no sólo genera
aceleraciones en eje vertical, sino también en la dirección transversal, así como
también tendremos el efecto de las resonancias propias del excitador.
- Para finalizar se incluyen los efectos magnéticos sobre el sensor producidos por
el excitador de vibraciones.
A continuación se detallará cómo cada uno de los efectos anteriores influye en la
medición.
2.2.3.1 Lugar geométrico del haz
Como ilustración de este efecto se incluye una fotografía del haz láser del vibrómetro
focalizado sobre una masa.
62
Figura 35: Fotografía del haz láser del vibrómetro incidiendo sobre una masa
Para este estudio se optó por medir la aceleración en circunferencias concéntricas
alrededor del centro de la masa, que coincide con el centro del sensor, gracias a las
posibilidades de la mesa posicionadora. La mesa posicionadora permite medir en
circunferencias concéntricas en distintas orientaciones con 1º de precisión.
Figura 36: Imagen de la mesa posicionadora. Permite el posicionamiento adecuado del haz sobre la
superficie de las masas de acuerdo a coordenadas esféricas (radio, colatitud y azimut)
Se realizaron mediciones a las siguientes orientaciones: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 120º, 135º,
150º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º, 300º, 315º, 330º y 360º. Este último punto se
realizaba para comprobar la repetibilidad del proceso.
63
Como resultado primero se realizaron mediciones para dos cargas distintas 0,35 kg y
1 kg, y la circunferencia de medida con el mismo radio, 0,5 cm. En la medición de la
sensibilidad se obtuvieron las siguientes gráficas tanto para el módulo de la sensibilidad
como para la fase. Cada curva corresponde a una frecuencia y se han dividido las
frecuencias en rangos de forma que se obtienen tres gráficas:
0,98
0,99
1
1,01
1,02
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a
18,75 Hz25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,25 Hz62,5 Hz87,5 Hz100 Hz
Figura 37: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una distancia al centro de
0,5 cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100 Hz
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a
125 Hz
150 Hz
200 Hz
250 Hz
300 Hz
400 Hz
500 Hz
650 Hz
Figura 38: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una distancia al centro de
0,5 cm para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650 Hz
64
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 39: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una distancia al centro de
0,5 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º 18,75 Hz25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,25 Hz62,5 Hz87,5 Hz100 Hz
Figura 40: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una distancia al centro de 0,5 cm para frecuencias
de excitación de 18,75 Hz a 100 Hz
65
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º125 Hz
150 Hz
200 Hz
250 Hz
300 Hz
400 Hz
500 Hz
650 Hz
Figura 41: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una distancia al centro de 0,5 cm para frecuencias
de excitación de 125 Hz a 650 Hz
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º
800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 42: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una distancia al centro de 0,5 cm para frecuencias
de excitación de 800 Hz a 2000 Hz
66
0,95
0,97
0,99
1,01
1,03
1,05
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a18,75 Hz25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,25 Hz62,5 Hz87,5 Hz100 Hz
Figura 43: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 1 kg y una distancia al centro de
0,5 cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100 Hz
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a
125 Hz150 Hz200 Hz250 Hz300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz
Figura 44: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 1 kg y una distancia al centro de
0,5 cm para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650 Hz
67
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a
800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 45: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 1 kg y una distancia al centro de
0,5 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Varia
ción
de
la fa
se/º 18,75 Hz
25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,25 Hz62,5 Hz87,5 Hz100 Hz
Figura 46: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 1 kg y una distancia al centro de 0,5 cm para frecuencias de
excitación de 18,75 Hz a 100 Hz
68
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º125 Hz150 Hz200 Hz250 Hz300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz
Figura 47: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 1 kg y una distancia al centro de 0,5 cm para frecuencias de
excitación de 125 Hz a 650 Hz
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º
800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 48: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 1 kg y una distancia al centro de 0,5 cm para frecuencias de
excitación de 800 Hz a 2000 Hz
Como conclusión de los gráficos presentados anteriormente se tiene que este efecto es
más importante a altas frecuencias, tanto para el módulo como para la fase.
Por otra parte, también se tiene que la variación del módulo de la sensibilidad
normalizada aumenta ligeramente si se aumenta la carga.
69
A continuación se presenta un estudio hecho para una misma carga, 2 kg, pero para tres
circunferencias con radios distintos. De nuevo se observa que, para bajas frecuencias,
este efecto es despreciable.
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a
18,75 Hz25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,25 Hz62,5 Hz87,5 Hz100 Hz
Figura 49: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de
frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia al centro de 1,7 cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100 Hz
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a
125 Hz150 Hz200 Hz250 Hz300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz
Figura 50: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia al centro de
1,7 cm para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650 Hz
70
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 51: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia al centro de
1,7 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º 18,75 Hz25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,25 Hz62,5 Hz87,5 Hz100 Hz
Figura 52: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 1,7 cm para frecuencias de
excitación de 18,75 Hz a 100 Hz
71
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º 125 Hz150 Hz200 Hz250 Hz300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz
Figura 53: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 1,7 cm para frecuencias de
excitación de 125 Hz a 650 Hz
-21
-16
-11
-6
-1
4
9
14
19
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º
800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 54: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 1,7 cm para frecuencias de
excitación de 800 Hz a 2000 Hz
72
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Vari
ació
n de
la fa
se/º
800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 55: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 1,7 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz. Se ha añadido esta gráfica para ver el comportamiento total de la fase, ya que debido al comportamiento a 1600 Hz se hacía imposible discernir el comportamiento a
otras frecuencias.
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
0 50 100 150 200 250 300 350Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a
18,75 Hz25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,25 Hz62,5 Hz87,5 Hz100 Hz
Figura 56: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de
2,2 cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100 Hz
73
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a125 Hz150 Hz200 Hz250 Hz300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz
Figura 57: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de
2,2 cm para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650 Hz
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a
800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 58: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de
2,2 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz
74
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Varia
ción
de
la fa
se/º 18,75 Hz
25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,25 Hz62,5 Hz87,5 Hz100 Hz
Figura 59: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,2 cm para frecuencias de
excitación de 18,75 Hz a 100 Hz
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Varia
ción
de
la fa
se/º
125 Hz150 Hz200 Hz250 Hz300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz
Figura 60: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,2 cm para frecuencias de
excitación de 125 Hz a 650 Hz
75
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 61: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,2 cm para frecuencias de
excitación de 800 Hz a 2000 Hz
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Varia
ción
de
la fa
se/º
800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 62: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,2 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz. Se ha añadido esta gráfica para ver el comportamiento total de la fase, ya que debido al comportamiento a 1600 Hz se hacía imposible discernir el comportamiento a
otras frecuencias.
76
0,80
0,850,90
0,951,00
1,051,10
1,151,20
1,25
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o18,75 Hz25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,25 Hz62,5 Hz87,5 Hz100 Hz
Figura 63: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de
2,7 cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100 Hz
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
125 Hz150 Hz200 Hz250 Hz300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz
Figura 64: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de
2,7 cm para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650 Hz
77
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 65: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de
2,7 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz
-10-8-6-4-202468
10
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Varia
ción
de
la fa
se/º 18,75 Hz
25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,25 Hz62,5 Hz87,5 Hz100 Hz
Figura 66: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,7 cm para frecuencias de
excitación de 18,75 Hz a 100 Hz
78
-10-8-6-4-202468
10
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º125 Hz150 Hz200 Hz250 Hz300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz
Figura 67: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,7 cm para frecuencias de
excitación de 125 Hz a 650 Hz
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º
800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 68: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,7 cm para frecuencias de
excitación de 800 Hz a 2000 Hz
79
-10-8-6-4-202468
10
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Vari
ació
n de
la fa
se/º
800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 69: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,7 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz. Se ha añadido esta gráfica para ver el comportamiento total de la fase, ya que debido al comportamiento a 1600 Hz se hacía imposible discernir el comportamiento a
otras frecuencias.
De los gráficos anteriores se deduce que este efecto aumenta con el radio de la
circunferencia de medición.
Aparte de estas mediciones se ha medido a lo largo de un centímetro en sentido radial,
entre 1,7 cm y 2,7 cm, obteniéndose los siguientes resultados,
0,99
1,00
1,01
1,02
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Distancia/cm
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a
18,75 Hz25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,25 Hz62,5 Hz87,5 Hz100 Hz
Figura 70: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizado en los tres rangos de frecuencias frente a la distancia en centímetros para la carga de 2 kg para frecuencias de excitación
de 18,75 Hz a 100 Hz
80
0,99
1
1,01
1,02
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Distancia/cm
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a125 Hz150 Hz200 Hz250 Hz300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz
Figura 71: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizado en los tres rangos de frecuencias frente a la distancia en centímetros para la carga de 2 kg para frecuencias de excitación
de 125 Hz a 650 Hz
0,99
1,00
1,01
1,02
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Distancia/cm
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
a
800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 72: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizado en los tres rangos de frecuencias frente a la distancia en centímetros para la carga de 2 kg para frecuencias de excitación
de 800 Hz a 2000 Hz
81
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Distancia/cm
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º 18,75 Hz25 Hz31,25 Hz37,5 Hz56,2562,587,5100
Figura 73: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la distancia en centímetros para la carga de 2 kg para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100 Hz
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Distancia/cm
Varia
ción
de
la fa
se/º
125 Hz150 Hz200 Hz250 Hz300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz
Figura 74: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la distancia en centímetros para la carga de 2 kg para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650 Hz
82
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Distancia/cm
Varia
ción
de
la fa
se/º
800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 75: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente a la distancia en centímetros para la carga de 2 kg para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz
La realización de todas las mediciones para 2 kg permite realizar un mapa de cómo
varía el módulo de la sensibilidad normalizado dependiendo del punto del superficie de
la masa sobre el que se dirija el láser. El módulo de la sensibilidad normalizado está
relacionado de forma directa con la inversa de la aceleración, por lo que se tiene una
descripción indirecta de cómo varía el movimiento de la superficie de la masa. Esta
información se presenta a continuación en forma de diagramas de contorno y
representaciones 3D para las frecuencias donde este efecto es más notable.
Figura 76: Diagramas de “rocking motion” (contorno a la izquierda y representación 3D a la derecha) para 2000 Hz
83
Figura 77: Diagramas de “rocking motion” (contorno a la izquierda y representación 3D a la derecha) para 1900 Hz
Figura 78: Diagramas de “rocking motion” (contorno a la izquierda y representación 3D a la derecha) para 1800 Hz
Figura 79: Diagramas de “rocking motion” (contorno a la izquierda y representación 3D a la derecha) para 1700 Hz
84
Figura 80: Diagramas de “rocking motion” (contorno a la izquierda y representación 3D a la derecha) para 1500 Hz
Figura 81: Diagramas de “rocking motion” (contorno a la izquierda y representación 3D a la derecha) para 1250 Hz
Figura 82: Diagramas de “rocking motion” (contorno a la izquierda y representación 3D a la derecha) para 900 Hz
85
El resultado que se tiene es que para frecuencias superiores a 900 Hz el movimiento de
la superficie de la masa presenta un “cabeceo”. Este efecto es conocido como “rocking
motion” en inglés y es un efecto que ya ha sido ampliamente estudiado, por ejemplo en
[23] y [24]. Lo que implica este cabeceo es que la aceleración es distinta en unos puntos
que en otros. Idealmente en un extremo será máxima y en el otro será mínima, lo que
implica es que el centro será el promedio y será la aceleración (o sensibilidad) correcta.
Como conclusión se tiene que el efecto aumenta con la frecuencia y la distancia al
centro de la masa. Para minimizar el efecto del “rocking motion” en la medición es
bueno medir lo más cerca posible del centro de la masa, haciendo una circunferencia
con el radio lo más pequeño posible. En realidad el valor medio de dos mediciones
radiales separadas 180º proporcionarían una buena estimación de valor correcto, pero la
realización de varias mediciones a lo largo de la circunferencia proporciona una
estimación con menor incertidumbre. El tratamiento de la incertidumbre de este efecto
se verá en el apartado 2.3.5.
Respecto al número de puntos a realizar en la circunferencia, los estudios presentados se
han realizado con 17 puntos. En la práctica es suficiente con 6 puntos equiespaciados
60º. De esta forma se caracteriza el centro de la circunferencia con suficientes grados de
libertad y minimizando el esfuerzo.
2.2.3.2 Efecto del montaje del sistema
Dentro del efecto del montaje se han evaluado dos influencias. Una de ellas es el posible
efecto que tenga la posición del acelerómetro de control del movimiento del excitador
sobre la medida. La otra es la influencia del par de apriete en el acoplamiento de la masa
al sensor, ya que es lo que genera la fuerza sobre el sensor.
Dentro de las influencias del montaje del sistema no hay que olvidar el efecto
triboeléctrico del cable. En efecto el cable puede cargarse por fricción de sus
componentes o su conexión al sensor cuando existe un movimiento relativo respecto a
éste. Esta carga puede afectar a la señal de salida del sistema.
En general la influencia del efecto del cable se puede minimizar con un adecuado
posicionamiento del mismo de forma que minimice su movimiento respecto al sensor.
86
Para ello el cable ha de estar sujeto a una parte del sistema que se encuentre totalmente
inmóvil, en nuestro caso se sujeta a la parte fija del excitador. El cable además ha de
estar estirado completamente, pero no tirante para evitar posibles tensiones del cable
respecto al sensor. De esta forma se minimiza el movimiento del cable respecto al
sensor, por lo que este efecto pasa a ser despreciable si se siguen estas recomendaciones.
Esta es una práctica normal en mediciones dinámicas que conllevan un desplazamiento
real del sensor, por ejemplo en acelerometría.
En este trabajo se ha tenido siempre en cuenta este hecho, y no se han detectado
diferencias al colocar el cable en posiciones distintas, aunque siempre siguiendo las
recomendaciones explicadas anteriormente. Por lo tanto, el posible efecto de esta
influencia se considera despreciable siempre que se tomen en cuenta las consideraciones
descritas en el párrafo anterior.
2.2.3.2.1 Influencia de la posición del acelerómetro de control del excitador de
vibraciones
Se estudia esta influencia sobre la sensibilidad, ya que el acelerómetro constituye una
masa excéntrica sobre el excitador. Se han realizado los ensayos con el acelerómetro de
control, que tiene una masa de 26 g. Se ha realizado un montaje con la menor carga
disponible (0,35 kg) en la que el sensor va sobre una plataforma y es esta plataforma la
que va anclada al excitador. Se ha elegido la masa más pequeña ya que la contribución
relativa de la masa del acelerómetro de control a la carga total que ha de soportar el
excitador será mayor.
Las posiciones del acelerómetro de control elegidas son dos posiciones perpendiculares
entre sí a distancia media del extremo del excitador y dos posiciones perpendiculares
entre sí al extremo del excitador.
El resultado de este ensayo ha sido que esta influencia es despreciable frente a la
repetibilidad del propio ensayo.
Este resultado es extrapolable a la influencia de la posición del acelerómetro auxiliar en
las mediciones de caracterización de las resonancias del sensor. Además, siempre se
toma la precaución de colocar el acelerómetro de control y el acelerómetro auxiliar en
posiciones diametralmente opuestas. La masa del acelerómetro auxiliar es muy parecida
87
que a la del acelerómetro de control (26 g), por lo que la carga está mejor distribuida
con lo que su contribución tendería a disminuir.
Como conclusión se tiene que la posible influencia de la posición tanto del acelerómetro
de control como del auxiliar sobre las mediciones es despreciable.
2.2.3.2.2 Influencia del par de apriete del acoplamiento de la masa al sensor
A continuación se presenta un ejemplo meramente ilustrativo de este efecto. Se
comparan la variación máxima de las mediciones obtenidas en dos casos, con un par de
apriete sin definir, pero aparentemente suficiente, y con un par de apriete definido y
medido con el haz del vibrómetro láser focalizado en el mismo punto. Las gráficas
siguientes comparan estos casos para el módulo de la sensibilidad y la fase para tres
cargas distintas. Si se comparan los promedios obtenidos en distintos ensayos, las
variaciones obtenidas son del mismo orden.
0
5
10
15
20
25
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Var
iaci
ón/%
Sin definir Definido
Figura 83: Variación del módulo de la sensibilidad en % para la carga nominal de 0,35 kg
88
0
5
10
15
20
25
30
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Var
iaci
ón/%
Sin definir Definido
Figura 84: Variación del módulo de la sensibilidad en % para la carga nominal de 1 kg
0
5
10
15
20
25
30
35
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Var
iaci
ón/%
Sin definir Definido
Figura 85: Variación del módulo de la sensibilidad en % para la carga nominal de 2 kg
Es claro que este efecto es más importe para altas frecuencias y aparentemente también
aumenta con la carga.
89
0
5
10
15
20
25
30
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Varia
ción
/º
Sin definir Definido
Figura 86: Variación de la fase para la carga nominal de 0,35 kg
0
5
10
15
20
25
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Vari
ació
n/º
Sin definir Definido
Figura 87: Variación de la fase para la carga nominal de 1 kg
012345678
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Varia
ción
/º
Sin definir Definido
Figura 88: Variación de la fase para la carga nominal de 2 kg
90
En el caso de la fase la variación se da en regiones determinadas del espectro de
frecuencias y esta variación no tiene relación con la carga. Se concluye de los resultados
incluidos en las gráficas anteriores que la aplicación de un par de apriete definido y
suficiente es una mejora sustancial.
Un problema importante es el hecho de que en la gran mayoría de los casos no existe
ninguna información de cuál ha de ser el par de apriete que ha de tener la carga
acoplada al sensor. En principio cabría esperar que esta información fuera
proporcionada por el fabricante, pero el fabricante muchas veces no la proporciona ya
que realiza siempre el control de las cualidades metrológicas del sensor en condiciones
estáticas. En condiciones estáticas esta influencia no es relevante, como tampoco lo es
para frecuencias bajas, como ya se ha demostrado. Esto es así excepto para los sensores
de HBM ensayados, donde sí se especifica el par de apriete a aplicar, aunque a veces la
aplicación de estos pares de apriete especificados no sea posible en la práctica.
También existe la dificultad práctica de la aplicación de los pares de apriete, ya que no
existen en el mercado llaves de par apropiadas. Por lo tanto, ha sido necesario utilizar
llaves normales y aplicar una fuerza determinada con la ayuda de un dinamómetro,
cuidando especialmente que la aplicación de la fuerza fuera perpendicular a la llave.
Figura 89: Llaves utilizadas para aplicar el par de apriete
Con estas limitaciones los pares de apriete aplicados de acuerdo a la carga son:
91
Carga nominal Par de apriete aplicado
0,35 kg (17,2 ± 0,9) N·m
1 kg (22,5 ± 1,2) N·m
2 kg (25,5 ± 1,3) N·m
7,2 kg (24, 0± 1,2) N·m
12,3 kg (24,0 ± 1,2) N·m
La disparidad de estos valores viene dado porque se ha fijado la fuerza máxima a aplicar
con el dinamómetro en 98 N y las llaves tenían longitudes diferentes. Se requerían
llaves diferentes ya que los diámetros a donde se podían ajustar dichas llaves eran
distintos. Estos diámetros eran los diámetros de las masas de latón (0,35 kg, 1 kg y 2 kg)
y el diámetro de la parte inferior del acoplador para las cargas de 7,2 kg y 12,3 kg. Esto
ha sido así excepto para el sensor HBM U2B, donde el par aplicado ha sido 60 N·m [25]
y el sensor HBM U9B, donde el par aplicado ha sido 8 N·m [26]. Estos pares de apriete
se han aplicado con una tolerancia de ± 10 % dadas las especificaciones del fabricante.
Para ver la influencia del par de apriete se ha realizado un estudio en el que, para la
misma carga (2 kg), se ensaya con el vibrómetro láser focalizado en un mismo punto
para distintos pares de apriete. A continuación se muestran los resultados para el
módulo de la sensibilidad normalizado y la variación de la fase correspondiente para
pares de apriete distintos.
92
0,992
0,994
0,996
0,998
1
1,002
1,004
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
15,3 N·m 17,8 N·m 20,4 N·m 22,9 N·m 25,5 N·m
Figura 90: Representación del módulo de la sensibilidad normalizado desde 10 Hz a 2400 Hz
0,998
0,999
1
1,001
1,002
1,003
1,004
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
15,3 N·m 17,8 N·m 20,4 N·m 22,9 N·m 25,5 N·m
Figura 91: Representación del módulo de la sensibilidad normalizado de 10 Hz a 400 Hz
En la primera gráfica aparece una ligera dependencia del par de apriete con el módulo
de la sensibilidad normalizado (a mayor apriete, menor sensibilidad), pero ello no es tal,
ya que, como puede verse en la segunda gráfica, esta dependencia no existe a bajas
frecuencias. Por otra parte, la máxima variación es del 0,2 %, lo cual entra dentro de lo
esperado de acuerdo a las incertidumbres de medida del sistema.
93
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Varia
ción
de
la fa
se
15,3 N·m 17,8 N·m 20,4 N·m 22,9 N·m 25,5 N·m
Figura 92: Representación de la variación de la fase desde 10 Hz a 2400 Hz
En las gráficas de variación de la fase no se observa tendencia alguna de la variación de
la fase con el par de apriete. La máxima variación es inferior a 0,2º.
En conclusión, puede decirse del efecto del par de apriete que es muy importante que
sea suficiente, pero una vez que lo es, la influencia de su posible variación entra dentro
de lo esperado de acuerdo a la incertidumbre del sistema.
2.2.3.3 Efectos del movimiento del excitador de vibraciones
Por un lado se tiene que el excitador no es perfecto y no sólo genera aceleraciones en el
eje vertical, si no también transversalmente [24]. En principio e idealmente los sensores
que se calibran están preparados para medir las fuerzas entorno a su eje, que en este
montaje coincide con el eje vertical. Ello no quiere decir que no sean sensibles a
aceleraciones transversales a ese eje. En principio ese sería un dato que debería
suministrar el fabricante, de igual forma que ocurre con los acelerómetros, pero no es
así ya que el fabricante sólo hace referencia a las cualidades metrológicas que puedan
afectar a las mediciones estáticas.
2.2.3.3.1 Mediciones de aceleración transversal
Para ver este efecto se han medido las aceleraciones en dos ejes transversales al eje
vertical y perpendiculares entre sí, que se denominarán x e y. Estas mediciones se han
94
realizado con el vibrómetro láser focalizado en distintos puntos del montaje de acuerdo
a la siguiente figura:
A
D
BC
E
A
D
BC
E
Puntos de focalización del láser
A- Parte superior de la masa
B- Parte inferior de la masa
C- Conexión masa-sensor
D- Carcasa del sensor
E- Base del excitador
Figura 93: Puntos de medida de la aceleración trasversal para una carga nominal de 2 kg
Estas aceleraciones han sido comparadas con las aceleraciones generadas con el
excitador en sentido vertical determinadas mediante el acelerómetro auxiliar.
A continuación se muestran los resultados obtenidos para el montaje anterior (carga
nominal de 2 kg). En dichos resultados se observa la existencia de varios picos de
aceleración.
95
0
5
10
15
20
25
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Rela
ción
de
la a
cele
raci
ón e
n el
ej
e x
resp
ecto
a la
ace
lera
ción
ve
rtica
l /%
ABCDE
Figura 94: Aceleración del eje x en % respecto a la aceleración en el eje vertical para cada uno de los puntos donde se ha focalizado el vibrómetro láser para la carga nominal de 2 kg
0
10
20
30
40
50
60
70
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Rela
ción
de
la a
cele
raci
ón e
n el
ej
e y
resp
ecto
a la
ace
lera
ción
ve
rtica
l/%
ABCDE
Figura 95: Aceleración del eje y en % respecto a la aceleración en el eje vertical para cada uno de los puntos donde se ha focalizado el vibrómetro láser para la carga nominal de 2 kg
De las gráficas anteriores se pueden obtener las siguientes observaciones:
- En el eje x existen dos picos de hasta un 15 % que corresponde a las frecuencias
de 900 Hz y 1250 Hz que se dan en todas las partes del montaje.
- En el eje x existe un pico de hasta un 15 % para la frecuencia de 2100 Hz, que
sólo se da en la base del excitador y en la carcasa del sensor.
- En el eje x existen picos de hasta un 18 % para las frecuencias de 1800 Hz y
2200 Hz, que sólo se dan en la base del excitador.
96
- En el eje y existe el pico más importante para los dos ejes (60 %). Se da para la
aceleración en 900 Hz. Este pico en la aceleración se da en todas las partes del
montaje, pero es especialmente importante en la conexión masa-sensor.
- En el eje y existen picos de menor importancia (15 % - 20 %) para las
frecuencias de 1250 Hz y 2000 Hz, que también se dan en todas las partes del
montaje.
- En ambos ejes se observa que la aceleración trasversal aumenta con la
frecuencia hasta un 20 %, pero sólo en la base del excitador.
El módulo de la sensibilidad normalizado y la variación de la fase para este sensor y
esta carga se muestran en las gráficas siguientes en función de la orientación del punto
de localización del vibrómetro láser a lo largo de la circunferencia de medida. Se ha
focalizado el haz láser en el centro de la masa.
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
900 Hz1000 Hz1100 Hz1250 Hz1400 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz2100 Hz2200 Hz2300 Hz2400 Hz
Figura 96: Módulo de la sensibilidad normalizado para la carga nominal de 2 kg
97
-1,0-0,8-0,6-0,4-0,20,00,20,40,60,81,0
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Vari
ació
n de
la fa
se/º
900 Hz1000 Hz1100 Hz1250 Hz1400 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz2100 Hz2200 Hz2300 Hz2400 Hz
Figura 97: Variación de la fase para la carga nominal de 2 kg
Se deduce a partir de los resultados mostrados en las gráficas anteriores que el efecto
del “rocking motion” es importante a las frecuencias de 900 Hz y 2100 Hz. También es
importante, aunque en menor cuantía para 2200 Hz. En relación con la información que
se ha tenido de la medición de la aceleración transversal, es claro que en estas
frecuencias existían picos con lo que se deduce que la existencia de estas aceleraciones
transversales puede ser la causa. El efecto en la frecuencia de 1250 Hz puede deberse al
hecho de que es una frecuencia cercana a la frecuencia de resonancia del sensor para la
carga de 2 kg.
También se ha hecho un estudio similar para la carga nominal de 12,3 kg. Esta carga
tiene la particularidad de que la masa no se acopla directamente al sensor, sino que
existe un acoplador intermedio. Veáse el apartado 2.2.4.2 para obtener más detalles
constructivos de este acoplamiento de elementos de carga.
Las mediciones se han realizado en los mismos puntos que los de la carga de 2 kg de
acuerdo a las figuras anteriores. A continuación se muestran los resultados obtenidos.
98
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia /Hz
Rel
ació
n de
la a
cele
raci
ón e
n el
ej
e x
resp
ecto
a la
ace
lera
ción
ve
rtic
al /%
ABCDE
Figura 98: Aceleración del eje x en % respecto a la aceleración en el eje vertical para cada uno de los puntos donde se ha focalizado el vibrómetro láser para la carga de 12,3 kg
0
50
100
150
200
250
300
350
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia /Hz
Rela
ción
de
la a
cele
raci
ón e
n el
ej
e x
resp
ecto
a la
ace
lera
ción
ve
rtic
al /%
ABCDE
Figura 99: Aceleración del eje y en % respecto a la aceleración en el eje vertical para cada uno de los puntos donde se ha focalizado el vibrómetro láser para la carga de 12,3 kg
De estos resultados se pueden obtener las siguientes observaciones.
- Los picos obtenidos son mucho más importantes que para el caso de 2 kg.
- Los picos son más importantes en el eje y que en el x, lo mismo que en el caso
de 2 kg de carga.
- En ambos ejes existe un pico muy importante en 500 Hz, que afecta a todas las
partes del sistema.
99
- Existen otros dos picos menos importantes en 1600 Hz y 1800 Hz para ambos
ejes, que afectan sobre todo a la carcasa del sensor.
- En ambos ejes se observa que la aceleración trasversal que aumenta con la
frecuencia hasta un 20 %, pero sólo en la base del excitador.
El módulo de la sensibilidad normalizado y la variación de la fase para este sensor y
esta carga se muestran en las gráficas siguientes en función de la orientación del punto
de localización del vibrómetro láser a lo largo de la circunferencia de medida. Se ha
focalizado el haz láser en el centro del acoplador de la carga.
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz800 Hz900 Hz1000 Hz1100 Hz1250 Hz1400 Hz1500 Hz1600 Hz
Figura 100: Módulo de la sensibilidad normalizado para la carga nominal de 12,3 kg para frecuencias de excitación de 300 Hz a 1600 Hz
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz2100 Hz2200 Hz2300 Hz2400 Hz
Figura 101: Módulo de la sensibilidad normalizado para la carga nominal de 12,3 kg para frecuencias de excitación de 1700 Hz a 2400 Hz
100
-150
-100
-50
0
50
100
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Varia
ción
de
la fa
se/º
300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz800 Hz900 Hz1000 Hz1100 Hz1250 Hz1400 Hz1500 Hz1600 Hz
Figura 102: Variación de la fase para la carga nominal de 12,3 kg para frecuencias de excitación de 300 Hz a 1600 Hz
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Var
iaci
ón d
e la
fase
/º
1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz2100 Hz2200 Hz2300 Hz2400 Hz
Figura 103: Variación de la fase para la carga nominal de 12,3 kg para frecuencias de excitación de 1700 Hz a 2400 Hz
Se deduce de las gráficas anteriores que el efecto del “rocking motion” es importante a
las frecuencias de 500 Hz, 1600 Hz y 1800 Hz. Lo que se observa es que el efecto es
mayor o no se sigue una relación sinusoidal. El efecto es mayor para las frecuencias de
1600 Hz y 1800 Hz dado que el efecto de “rocking motion” aumenta con la frecuencia.
También se observa un aumento de este efecto para las frecuencias de 1700 Hz y
1900 Hz, ya que también tienen aceleraciones transversales considerables.
En los gráficos de las relaciones de la aceleración de los ejes x e y respecto a la
aceleración en el vertical se ve que el efecto es muy importante a 500 Hz, aunque no
101
tanto para los gráficas del módulo de la sensibilidad normalizado y la variación de la
fase. Ello puede ser debido a la proximidad de esta frecuencia a la frecuencia de
resonancia del sistema para 12,3 kg.
En conclusión respecto a todo lo comentado anteriormente se tiene que existe una
correlación entre el aumento del efecto de “rocking motion” y la existencia de
resonancias transversales. Como consecuencia, la existencia de aceleraciones
transversales a una determinada frecuencia puede conllevar intrínsecamente problemas
en la medición a esta frecuencia.
Las aceleraciones transversales pueden afectar también a la salida del sensor debido a la
sensibilidad transversal del mismo. Se denomina sensibilidad transversal a la
sensibilidad que presenta el sensor para fuerzas perpendiculares al eje de medida. Viene
dada por el hecho de que el eje de sensibilidad máxima del sensor no coincide
exactamente con el eje de medida del mismo, sino que está ligeramente desviado. Ello
hace que el sensor presente una salida eléctrica no nula para fuerzas transversales a su
eje de medida.
Afortunadamente el posible efecto en las aceleraciones del sistema se minimiza de
acuerdo a lo expuesto en el apartado 2.3.5.
2.2.3.3.2 Resonancias del excitador
Por otra parte, se ha realizado otro estudio en el que se ha analizado la relación entre las
aceleraciones medidas en la masa con el vibrómetro láser y la aceleración medida sobre
la superficie del excitador medida con el acelerómetro auxiliar B&K 8305. Esto se ha
realizado para todas las cargas disponibles realizando un barrido en frecuencia en el
rango disponible por las capacidades del excitador, hasta 2400 Hz, para un determinado
sensor. Idealmente sólo se esperaría ver un pico correspondiente a la resonancia del
sistema, pero como se verá a continuación aparecen otros pequeños picos tanto en el
módulo como en la fase. A continuación se presentan los módulos de estas relaciones de
aceleraciones y sus fases correspondientes.
102
Carga nominal: 0,35 kg
1966
1810
541159
0,95
1
1,05
1,1
1,15
1,2
1,25
1,3
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
rela
ción
de
acel
erac
ione
s
Figura 104: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 0,35 kg en todo el rango de frecuencias
1966
1810
541
159
-16-14-12-10-8-6-4-2024
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la r
elac
ión
de
acel
erac
ione
s/º
Figura 105: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 0,35 kg en todo el rango de frecuencias
En las gráficas anteriores se han señalado las frecuencias que corresponden a los picos
principales. Como se puede comprobarse en las gráficas anteriores estas frecuencias son
las mismas en el módulo que en la fase. Para esta carga no se tiene la resonancia propia
del sistema porque se encuentra a frecuencias superiores a 2400 Hz.
103
Carga nominal: 1 kg
155456
1760
1901
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
rel
ació
n de
ac
eler
acio
nes
Figura 106: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 1 kg en todo el rango de frecuencias
1901
1760
456
155
-14-12-10-8-6-4-20246
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la r
elac
ión
de
acel
erac
ione
s/º
Figura 107: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 1 kg en todo el rango de frecuencias
En las gráficas anteriores se han señalado las frecuencias que corresponden a los picos
principales hasta la frecuencia de 2000 Hz. Como puede comprobarse en las gráficas
anteriores estas frecuencias son las mismas en el módulo que en la fase. Para esta carga
no se tiene la resonancia propia del sistema porque se encuentra a frecuencias superiores
a 2400 Hz.
104
Carga nominal: 2 kg
0
5
10
15
20
25
30
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
rel
ació
n de
ac
eler
acio
nes
Figura 108: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 2 kg en todo el rango de frecuencias. El pico principal corresponde a la frecuencia de resonancia
150
330
0,900,951,001,051,101,151,201,251,301,351,40
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
rela
ción
de
acel
erac
ione
s
Figura 109: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 2 kg hasta 1000 Hz
105
1870
1634
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
rela
ción
de
acel
erac
ione
s
Figura 110: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 2 kg de 1500 Hz a 2100 Hz
-51535557595
115135155175195
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la r
elac
ión
de
acel
erac
ione
s/º
Figura 111: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 2 kg en todo el rango de frecuencia
106
150
1870
1634
330
140145150155160165170175180185190
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la r
elac
ión
de
acel
erac
ione
s/º
Figura 112: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 2 kg hasta 2000 Hz
En las gráficas anteriores se han señalado las frecuencias que corresponden a los picos
principales hasta la frecuencia de 2000 Hz. Como puede comprobarse en las gráficas
anteriores estas frecuencias son las mismas en el módulo que en la fase. En las primeras
gráficas para el módulo y la fase se puede apreciar la resonancia del sistema, que
corresponde a un gran pico a 2130 Hz en la primera gráfica del módulo de la relación de
aceleraciones y un desfase de 180 grados para la misma frecuencia en la gráfica de la
fase de la relación de aceleraciones. Dada la existencia de las resonancias ha sido
necesario añadir más gráficas con rangos de frecuencia ampliados para poder discernir
los otros picos del módulo de la relación de aceleraciones.
107
Carga nominal: 7,2 kg
1035
0
20
40
60
80
100
120
140
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
rela
ción
de
acel
erac
ione
s
Figura 113: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 7,2 kg en todo el rango de frecuencias. El pico principal corresponde a la frecuencia de resonancia
1035
-50
0
50
100
150
200
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la re
laci
ón d
e ac
eler
acio
nes/
º
Figura 114: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 7,2 kg en todo el rango de frecuencias
108
132196
176
177
178
179
180
181
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Frecuencia/Hz
Fase
de
la re
laci
ón d
e ac
eler
acio
nes
/º
Figura 115: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 7,2 kg hasta 500 Hz
1790
-13
-11
-9
-7
-5
-3
-1
1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400
Frecuencia/Hz
Fase
de
la r
elac
ión
de
acel
erac
ione
s/º
Figura 116: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 7,2 kg desde 1200 Hz a 2400 Hz
En las gráficas anteriores se han señalado las frecuencias que corresponden a los picos
principales hasta la frecuencia de 2000 Hz. En las primeras gráficas para el módulo y la
fase se puede apreciar la resonancia del sistema, que corresponde a un gran pico a
1100 Hz en la primera gráfica del módulo de la relación de aceleraciones y un desfase
de 180º para la misma frecuencia en la gráfica de la fase de la relación de aceleraciones.
Debido a que el efecto de la resonancia del sistema es más importante, no se pueden ver
los picos en las gráficas del módulo de la relación de aceleraciones y sólo se pueden ver
en las gráficas de la fase de la relación de aceleraciones, que son las que se presentan
para rangos ampliados de frecuencia.
109
Carga nominal: 12,3 kg
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
rela
ción
de
acel
erac
ione
s
Figura 117: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 12,3 kg en todo el rango de frecuencias. El pico principal corresponde a la frecuencia de resonancia
-50
0
50
100
150
200
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la r
elac
ión
de
acel
erac
ione
s/º
Figura 118: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 12,3 kg en todo el rango de frecuencias
110
117
181
658
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 100 200 300 400 500 600 700
Frecuencia/Hz
Fase
de
la re
laci
ón d
e ac
eler
acio
nes/
º
Figura 119: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 12,3 kg hasta 750 Hz
1774166
168
170
172
174
176
178
180
900 1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300
Frecuencia/Hz
Fase
de
la re
laci
ón d
e ac
eler
acio
nes/
º
Figura 120: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga nominal de 12,3 kg desde 900 Hz hasta 2200 Hz
En las gráficas anteriores se han señalado las frecuencias que corresponden a los picos
principales hasta la frecuencia de 2000 Hz. En las primeras gráficas para el módulo y la
fase se puede apreciar la resonancia del sistema, que corresponde a un gran pico a
825 Hz en la primera gráfica del módulo de la relación de aceleraciones y un desfase de
180º para la misma frecuencia en gráfica de fase de la relación de aceleraciones. Debido
a que el efecto de la resonancia del sistema es más importante no se pueden ver los
picos en las gráficas del módulo de la relación de aceleraciones y sólo se pueden ver en
111
las gráficas de fase de la relación de aceleraciones, que son las que se presentan para
rangos ampliados de frecuencia.
El estudio de las relaciones de las frecuencias de estos picos con la carga es muy
interesante. Si se representan estas frecuencias frente a la inversa de la raíz cuadrada de
la carga, tendido en cuenta que la carga incluye en este caso la masa, el sensor, los
posibles acopladores, los acelerómetros (el del excitador y el de control) y la masa de la
armadura del excitador (7,25 kg) se obtiene la siguiente gráfica.
0
500
1000
1500
2000
2500
0,2 0,22 0,24 0,26 0,28 0,3 0,32 0,34 0,36 0,38
Carga1/2/kg1/2
Frec
uenc
ia/H
z ABCD
Figura 121: Gráfica que presenta las frecuencias de los picos frente a la inversa de la raíz cuadrada de la carga
En la gráfica anterior se han agrupado las frecuencias de forma que se obtienen
aproximaciones lineales, de lo que se deduce que existe una relación proporcional entre
la frecuencia y la inversa de la raíz cuadrada de la carga. Esto recuerda a la expresión de
la frecuencia de resonancia:
mkf
π21
0 = (69)
Ello demuestra que nos encontramos ante frecuencias de resonancia propias del
excitador. Cada aproximación lineal correspondería a un modo. No se han estudiado
112
frecuencias por encima de 2000 Hz, porque en el modo al que pertenecerían no se han
detectado frecuencias asociadas para todas las cargas.
Estas aproximaciones lineales se pueden utilizar de modo predictivo, así, por ejemplo, si
se tuviera el excitador sólo, sin carga, las frecuencias de resonancia serían 164 Hz,
623 Hz, 1957 Hz y 1983 Hz.
En este apartado se ha identificado una nueva fuente de resonancias. La existencia de
resonancias es siempre problemática, ya que cuando la frecuencia de excitación se
acerca la de resonancia aumentan los efectos no deseables tales como distorsión,
cabeceos, aceleraciones transversales, etc.
De todas formas estas resonancias del excitador no han interferido en la medición de la
sensibilidad, ya que se alejan bastante de las frecuencias de excitación a las que se ha
determinado la misma.
2.2.3.4 Efectos de los campos magnéticos generados por el excitador
Este estudio surge de la evaluación de la sensibilidad de los sensores a bajas frecuencias.
En principio, cuanto más baja sea la frecuencia el comportamiento del sensor se ha de
aproximar cada vez más al comportamiento estático, esto es, la sensibilidad ha de ser
constante. Este hecho se cumple para cargas grandes, pero no para cargas pequeñas. De
hecho cuanto menor es la carga la variación de la sensibilidad es mayor.
Para ello se ha estudiado especialmente el comportamiento de los sensores en el rango
de 5 Hz a 200 Hz. Este estudio se ha realizado para distintas aceleraciones de excitación,
dentro de las posibilidades del excitador y no se han encontrado variaciones
significativas en los resultados. A continuación se presentan los estudios de la
sensibilidad realizados en este rango de frecuencias.
2.2.3.4.1 Estudio inicial de la sensibilidad para el rango de bajas frecuencias
En las gráficas siguientes se representa el cociente de la sensibilidad a cada frecuencia
dividido entre la sensibilidad a 200 Hz respecto de la frecuencia de excitación. Se
dispone de cuatro sensores, tres son resistivos y el otro es piezoeléctrico. Dentro de los
sensores resistivos existe uno, el HBM U9B, que presenta una sensibilidad
prácticamente constante (dentro de la incertidumbre) en todo el rango de frecuencias en
113
estudio en este apartado, luego no se incluyen dichos resultados gráficamente. A
continuación se presentan los resultados para los demás. Se presentan los resultados
para tres casos, el sensor sin carga, 0,35 kg de carga nominal y 1 kg de carga nominal.
Para cargas mayores en general no se aprecia este efecto.
0,80,91,01,11,21,31,41,51,61,7
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 Hz
sin carga 0, 35 kg 1 kg
Figura 122: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor HBM 2UB
(sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
2
00 H
z
sin carga 0, 35 kg 1 kg
Figura 123: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor
INTERFACE 1610 (sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg
114
0,951,001,051,101,151,201,251,301,351,401,45
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 Hz
sin carga 0,35 kg 1 kg
Figura 124: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor KISTLER
9175B (sensor piezoeléctrico), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg
En los tres casos se representan resultados interesantes para el rango de bajas
frecuencias. El estudio de las fases también demuestra resultados interesantes para este
rango como se verá a continuación.
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Fase
/º
sin carga 0,35 kg 1 kg
Figura 125: Gráfica que presenta la fase frente a la frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg
115
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia/Hz
Fase
/º
sin carga 0,35 kg 1 kg
Figura 126: Gráfica que presenta la fase frente a la frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Fase
/º
Figura 127: Gráfica que presenta la fase frente a la frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico). Para este caso el resultado es independiente de la carga
Para el sensor KISTLER 9175B el efecto de la dependencia de la fase respecto a la
frecuencia es debida a la respuesta del acondicionador de señal, como se explica
detalladamente en el apartado 2.3.3. Corrigiendo este efecto se obtiene la gráfica
siguiente:
116
-10-8-6-4-202468
10
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Fase
/º
Figura 128: Gráfica que presenta la fase frente a la frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico). Este es el resultado obtenido cuando se corrige la respuesta del
acondicionador de señal
Como un primer paso para el entendimiento de este efecto se realizaron estas gráficas
tomando la inversa de la frecuencia de excitación en el eje de abcisas en vez de la
frecuencia en el caso de los sensores resistivos, y el cuadrado de la inversa de la
excitación en el eje de abcisas en vez de la frecuencia, en el caso del sensor
piezoeléctrico. Como se verá a continuación se observan en algunos casos
comportamientos lineales de las variaciones de la sensibilidad y la fase frente a las
funciones descritas anteriormente de la frecuencia de excitación.
0,80,91,01,11,21,31,41,51,61,7
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
Frecuencia-1 /Hz-1
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 Hz
sin carga 0,35 kg 1 kg
Figura 129: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la inversa de la frecuencia para el
sensor HBM 2UB (sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg
117
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
Frecuencia-1 /Hz-1
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 Hz
sin carga 0,35 kg 1 kg
Figura 130: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la inversa de la frecuencia para el
sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg
0,951,001,051,101,151,201,251,301,351,401,45
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045
Frecuencia-2 /Hz-2
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 H
z
sin carga 0,35 kg 1 kg
Figura 131: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente al cuadrado de la inversa de la
frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg
118
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
Frecuencia-1 /Hz-1
Fase
/º
sin carga 0,35 kg 1 kg
Figura 132: Gráfica que presenta la fase frente a la inversa de la frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
Frecuencia-1/Hz-1
Fase
/º
sin carga 0,35 kg 1 kg
Figura 133: Gráfica que presenta la fase frente a la inversa de la frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg
Para el sensor KISTLER 9175B no se representa la fase respecto a la inversa de la
frecuencia porque no proporciona ninguna información adicional.
Como conclusiones de todo lo expuesto anteriormente se tiene:
- El efecto no depende de la aceleración.
- El efecto es el mismo tanto si se toma como referencia de aceleración el
vibrómetro láser como si se toma un acelerómetro.
119
- En el caso del sensor HBM U9B no se produce este efecto, la única diferencia
primera vista, que lo distingue de los otros sensores resistivos es su pequeño
tamaño (el cuerpo del sensor tiene 17 mm de longitud y 26 mm de diámetro
frente a 44 mm de longitud y 75 mm de diámetro que tiene el cuerpo del
INTERFACE 1610 y 25 mm de longitud y 50 mm de diámetro que tiene el
cuerpo del HBM 2UB).
- El efecto es mayor cuanto menor sea la carga, y de hecho es más importante para
el sensor cuando no está cargado.
- Existen ciertas dependencias del efecto con la inversa de la frecuencia de
excitación o su cuadrado para frecuencias bajas.
El hecho de que este efecto no dependa de la aceleración ni de cómo se mida ésta y que
afecte de forma tan diferente a cada sensor nos indica que puede ser un efecto no
dinámico. Es por ello que se pensó en la interacción magnética del excitador con el
sensor como posible explicación a estos efectos. El propio principio de funcionamiento
del excitador (su armadura se mueve gracias a la fuerza de Lorentz) hace que sea
necesario que existan campos magnéticos para su funcionamiento.
2.2.3.4.2 Estudio inicial de la influencia de los campos magnéticos para el rango de
bajas frecuencias
Se ha medido el campo magnético en contacto con el punto central de la armadura del
excitador (donde se conecta el sensor) obteniendo un valor de 2,3 mT. En este mismo
punto a una altura de 15 cm el campo es inferior a 0,5 mT. Estos campos son
relativamente pequeños y están dentro de las especificaciones técnicas del propio
excitador.
Para ver si los efectos observados son realmente debidos a campos magnéticos se opta
por acercar al sensor un campo magnético grande generado por un gran imán
permanente. Como primer intento se colgó el imán cerca del sensor a distintas
distancias y en las dos configuraciones mostradas en las fotografías siguientes. Se
realizaron entonces ensayos del sensor en el rango de 5 Hz a 200 Hz de la forma
habitual, esto es, el sensor se mueve y el imán permanece estático.
120
Figura 134: Imán colocado lateralmente respecto al sensor
Figura 135: Imán colocado en la parte superior del sensor
Estos ensayos se realizaron a varias distancias y a distintas aceleraciones. No se observó
ningún otro efecto distinto del que se ya se había observado. En principio cabía pensar
que estos efectos observados anteriormente se verían magnificados por la presencia del
imán.
Por otra parte, se decidió invertir la configuración sensor-imán: el imán se conectó al
excitador para que se moviera y se colgó el sensor para que permaneciera estático. A
continuación se presentan dos fotografías de esta nueva configuración.
Figura 136: Imán conectado al excitador (moviéndose) y sensor colgado (estático)
Con esta nueva configuración se obtienen los efectos que se presentan a continuación.
Primero se verán los efectos en los sensores resistivos y después en el piezoeléctrico.
121
Los gráficos muestran la salida eléctrica directa del sensor frente a la frecuencia de
excitación.
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sal
ida
/10
-5 V
Figura 137: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo)
0
20
40
60
80
100
120
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
Frecuencia-1/Hz-1
Mód
ulo
de la
sal
ida
/10
-5 V
Figura 138: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la inversa de la frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo)
En las dos figuras anteriores se aprecia un claro efecto del campo magnético del imán.
Es el mismo efecto o muy parecido al que se aprecia en las figuras anteriores para este
sensor en el rango de bajas frecuencias, aunque aquí se aprecia en todo el rango y
mucho más magnificado.
122
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sal
ida
/10
-5 V
Figura 139: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo)
0
10
20
30
40
50
60
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
Frecuencia-1/Hz-1
Mód
ulo
de la
sal
ida
/10
-5 V
Figura 140: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la inversa de la frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo)
En las dos figuras anteriores se aprecia un claro efecto del campo magnético de imán.
Es el mismo efecto o muy parecido al que se aprecia para el sensor HBM 2U.
123
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sal
ida
/10
-5 V
Figura 141: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la frecuencia para el sensor HBM U9B (sensor resistivo)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
Frecuencia-1/Hz-1
Mód
ulo
de la
sal
ida
/10
-5 V
Figura 142: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la inversa de la frecuencia para el sensor HBM U9B (sensor resistivo)
En este caso también se tiene un efecto parecido al de los otros dos sensores, aunque
aquí sólo afecta al rango de muy bajas frecuencias. De hecho en este sensor no se
apreciaba ningún efecto cuando se movía por efecto del excitador.
Para el caso del sensor piezoeléctrico se tienen las gráficas siguientes.
124
0123456789
10
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sal
ida
/ 10
-4pC
Figura 143: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico)
0123456789
10
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04
Frecuencia-2/Hz-2
Mód
ulo
de la
sal
ida
/ 10
-4pC
Figura 144: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente al cuadrado de la inversa de la frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico)
En las dos gráficas anteriores se observa el mismo efecto que se tenía en las figuras
anteriores para este sensor, pero el efecto es mucho más magnificado.
Por otra parte, también se tienen resultados interesantes en la medida de la fase, como se
verá a continuación. Estas medidas de fase no son muy exactas ya que hay que tener en
cuenta que las amplitudes de las salidas de los sensores son muy pequeñas, y son cada
vez más pequeñas según aumenta la frecuencia de excitación. Es por ello que hay que
125
tomar estos resultados como meramente orientativos, especialmente al aumentar la
frecuencia de excitación.
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia/Hz
Fase
/º
Figura 145: Gráfica que presenta la fase de la salida del sensor frente a la frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo)
En este caso se tiene que la fase es muy próxima a -90º, especialmente para bajas
frecuencias, que es donde la salida del sensor es mayor, por lo que la medida de la fase
es más fiable.
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia/Hz
Fase
/º
Figura 146: Gráfica que presenta la fase de la salida del sensor frente a la frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo)
126
En este caso como en el anterior se tiene que la fase es muy próxima a -90º para bajas
frecuencias.
La gráfica de la fase del sensor HBM U9B no se presta porque existe una gran
dispersión de los resultados, dado que la salida del sensor por este efecto es muy
pequeña.
-20
0
20
40
60
80
100
120
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Frecuencia/Hz
Fase
/º
Figura 147: Gráfica que presenta la fase de la salida del sensor frente a la frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico)
En este caso se tiene que la fase es prácticamente 0º, especialmente a bajas frecuencias,
donde es mayor la salida del sensor y la fiabilidad de la medida es mayor.
Como conclusión respecto a la fase se tiene que es de -90º para los sensores resistivos y
0º para el sensor piezoeléctrico (± 180º, debido a la indefinición de la función arco
tangente que se usa para la determinación de la fase). Estas medidas son más fiables a
bajas frecuencias, que es donde los resultados se aproximan más a los valores señalados;
pero en general se puede extrapolar a todo el rango, ya que el posible error en la medida
esté relacionado con el hecho de que la amplitud de la salida del sensor vaya siendo
menor según va a aumentando la frecuencia, de ahí la dificultad en la medida de la fase
a altas frecuencias.
Como conclusión de lo anteriormente expuesto se tiene que con este dispositivo se
obtiene el mismo efecto que se pretendía estudiar, pero magnificado. Ello es debido a la
alta intensidad del campo magnético generado por el imán, pero lo importante ha sido
127
comprobar que el efecto se genera por tener un campo magnético cuya intensidad varía
sinusoidalmente en el tiempo. En este caso tenemos un imán cuya distancia al sensor
varía sinusoidalmente en el tiempo y, por lo tanto, la intensidad del campo magnético
generada en el sensor también lo hace.
2.2.3.4.3 Justificación teórica del efecto magnético
El principio de funcionamiento del excitador es electrodinámico, esto es, el movimiento
sinusoidal de su armadura se produce gracias a la fuerza de Lorentz. Para ello la
armadura del excitador tiene acoplada una bobina de N espiras de longitud l por el que
circula una corriente I que varía sinusoidalmente con la frecuencia ω, estando en el seno
de un campo magnético estático con densidad de flujo magnético B. Ello es necesario
para que, mediante la fuerza de Lorentz, se pueda producir el movimiento de la
armadura:
BIF ×= tt Nl ωω ii ee (70)
Para que se produzca la fuerza en el eje vertical es necesario que B sea perpendicular a
la dirección de la corriente I que pasa por la bobina.
Por otra parte, B es generado a su vez por una bobina por la que circula una corriente
continua y también existe otra bobina denominada bobina de “degauss” que contrarresta
los efectos de B en el entorno.
Por lo visto anteriormente estos campos magnéticos son estáticos y no producen efectos
en la medida.
Por otra parte, se tiene que la corriente I(ω) también producirá un campo magnético
B’(ω) que variará con la frecuencia de excitación. Éste es el campo magnético que
realmente tiene un efecto en la medida.
De acuerdo a la ley de Biot y Savart:
∫×
=′2
i0i deπ4
er
NI rtt ulB ωω μ (71)
128
donde r es la distancia del solenoide al punto donde se evalúa el campo magnético y l es
la longitud de cada espira.
Considerando coordenadas cilíndricas (r, z, ϕ) se tiene que el campo magnético B’ de la
bobina, que se considerará que tiene un radio a, tiene dos componentes, B’z y B’r, dadas
por las siguientes expresiones [27]:
( ) ϕϕ
ϕμ π
π
dsen2
senπ2
2
223222
0 ∫− −++
−=′
arrzaraNIaBz (72)
( ) ϕϕ
ϕμ π
π
dsen2
senπ2
2
223222
0 ∫− −++
=′arrza
NIazBr (73)
El efecto de este campo magnético sinusoidal induce una densidad de corriente J’ en
cualquier conductor. Considerando un conductor isótropo y homogéneo de
permeabilidad μ y conductividad σ se puede obtener esta densidad de corriente de
acuerdo a la solución del sistema de las siguientes ecuaciones de Maxwell, donde se ha
considerado lógicamente que la variación en el tiempo es sinusoidal de frecuencia ω
[28].
BJ ′−=′×∇ ωσi (74)
JB ′=′×∇ μ (75)
A esta densidad de corriente le corresponde una corriente:
∫ ⋅′=′ SJI d (76)
El esquema de las corrientes y líneas de campo se presenta a continuación:
129
r
z
I
B’
I’
r
z
I
B’
I’
Figura 148: Esquema que representa las líneas del campo magnético, así como la corriente inductora I y la inducida I’
Para resolver el sistema de ecuaciones anterior se parte de que el rotacional de un vector
E en coordenadas cilíndricas viene dado por la expresión siguiente:
zr
zr
ErEEr
ree
re
ϕ
ϕ
ϕ z∂∂
∂∂
∂∂
=×∇ E (77)
Teniendo en cuenta que el campo no depende de ϕ y que Bϕ = 0 se tiene que:
ϕeB ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
=′×∇r
Bz
B zr (78)
Se tiene por tanto que la densidad de corriente sólo va a tener componentes en el eje ϕ:
130
ϕμJr
Bz
B zr ′=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂′∂
(79)
Teniendo en cuenta este hecho se tiene que:
( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′∂∂−
=′×∇ ϕϕ Jrrr
eJrzr
e zrJ (80)
con lo que teniendo en cuenta la segunda ecuación de Maxwell se obtiene:
( ) rBJrzr
′=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′∂∂ ωσϕ i1
( ) zBJrrr
′−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′∂∂ ωσϕ i1
(81)
Derivando estas dos ecuaciones y sustituyéndolas en la ecuación (79) se tiene:
ϕϕϕϕϕ ωσμJ
rJ
rJ
rrJ
zJ
′=′
−∂
′∂+
∂
′∂+
∂
′∂i1
22
2
2
2
(82)
Para resolver esta ecuación diferencial se realiza un cambio de variables de la forma:
rr ⋅= ωσμi
zz ⋅= ωσμi (83)
Dada la forma de la ecuación la solución va a ser de la forma:
( ) ( ) ( )zJrJz,rJ z,r, ϕϕϕ ′⋅′=′ (84)
Como consecuencia la ecuación quedaría de la forma:
0111122
2
2
2
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−
∂
′∂+
∂
′∂′
+∂
′∂′ r
Jr
Jrr
JJz
JJ
r,r,r,
r,
z,
z,
ϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
(85)
131
Las dependencias de las variables están completamente separadas por lo que para
resolver la ecuación basta resolver las ecuaciones:
αϕ
ϕ
=∂
′∂′ 2
21zJ
Jz,
z,
αϕϕϕ
ϕ
−=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−
∂
′∂+
∂
′∂′
11122
2
rJ
rJ
rrJ
Jr,r,r,
r,
(86)
La primera ecuación tiene la siguiente solución general:
zz
z, BeAeJ ααϕ +=′ − (87)
donde A y B son constantes. Como no es lógico que la densidad de corriente aumente
con la distancia se tiene que B ha de ser necesariamente cero, ya que z es siempre
positivo (el sensor está sobre la armadura).
Para resolver la segunda ecuación se realiza el cambio de variable:
rr ⋅−= 1α (88)
Con lo que la ecuación queda de la forma:
( ) 0122
22 =′−+
∂
′∂+
∂
′∂r,
r,r, Jrr
Jr
rJ
r ϕϕϕ (89)
La solución de esta ecuación viene dada por funciones de Bessel ordinarias (de primera
especie y de segunda especie) de la forma:
( ) ( ) ( )rDrCrJ r, 11 YJ +=′ϕ (90)
donde C y D son constantes. Dado que, cuando r tiende a cero la solución ha de ser
finita, D ha de ser necesariamente cero, por lo que sólo queda la contribución de las
funciones de Bessel de primera especie, que tienen la forma:
132
( ) ( )( ) ...xxxxx
!k!kx
k
k
k
+−+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+Γ−
=+
∞
=∑ 864264242222
1J 224
7
23
5
2
312
01 (91)
La solución completa queda entonces de la forma:
( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅+⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅+−⋅=′ rzKz,rJ
21
1
21
211iJ
21iexp ωσμααωσμ
ϕ (92)
donde K = A·C es una constante y se ha utilizado el resultado siguiente:
2i1i +
= (93)
Un aspecto importante a señalar es que para que la solución no diverja ha de ser α > 1.
Hay que señalar que, dada esta solución con términos imaginarios, la densidad de
corriente inducida no está en fase con la corriente de la bobina de la armadura que
genera el movimiento.
La corriente inducida en el sensor tendrá la dirección del sensor eϕ y su módulo vendrá
dado por:
∫ ⋅′=′ SJI dϕϕ (94)
El resultado de esta integral sería el siguiente, donde ya se han realizado los cambios de
variables necesarios.
( ) ( )( ) ( ) ωσμωσμααωσμ i1
1i1
i1dexpdJ
2121
1 ∝⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅−⋅=′ ∫ ∫ KzzrrI )))) (95)
Este resultado es muy importante, es de hecho lo que se buscaba. Se tiene que la
corriente inducida es proporcional a la inversa de la frecuencia de excitación y la fase es
de -90º. Para ello la única suposición necesaria es que el medio ha de ser homogéneo e
isótropo, lo que no es cierto en la práctica. Ello puede justificar las variaciones respecto
133
a la ley de dependencia con la inversa de la frecuencia cuando se considera sólo el
excitador (el campo magnético generado es más pequeño) y sí se cumple cuando se
tiene el imán (el campo magnético es considerablemente mayor). Todo lo descrito
anteriormente tiene sentido para los sensores resistivos, ya que la impedancia es
resistiva, luego la salida será directamente proporcional a la corriente inducida.
Por otra parte, se deduce claramente de la expresión anterior, que la corriente inducida
I’ será proporcional al tamaño del sensor, es por ello que en uno de los sensores
resistivos, que es de un tamaño considerablemente menor que el resto, los efectos
magnéticos son despreciables cuando sólo se considera el excitador, pero sí se aprecia
algún efecto en el caso del imán.
El caso del sensor piezoeléctrico, donde la dependencia que se tiene es respecto al
cuadrado del inverso de la frecuencia, también queda justificado, ya que en estos
sensores lo que se genera directamente por efecto de la fuerza son cargas, no corrientes,
esto es, su salida en tensión depende de la carga.
En general la carga Q’ generada por una corriente I’ que varía sinusoidalmente en el
tiempo vendrá dada por
ωω
ided i
0ItItIQ t ′
=′=′=′ ∫∫ (96)
Lo que implica es que la carga generada en el sensor por esta corriente inducida por los
efectos magnéticos es por sí misma inversamente proporcional a la frecuencia y con un
desfase de -90º. Por otra parte, hay que recordar que, en las mediciones normales con el
sensor cargado, lo que ocurre es que se produce carga por efecto de la polarización del
piezoeléctrico por efecto de las fuerzas, no se producen corrientes, por lo que no existe
dependencia de la carga con la frecuencia ni desfase adicional de -90º. Otra forma de
verlo es decir que la impedancia del piezoeléctrico es capacitiva (Z = 1/iωC).
Por tanto se tiene que, ya que la corriente inducida por los efectos magnéticos va
dividida entre la frecuencia, se deduce la dependencia de la tensión de salida inducida
por este efecto para estos sensores tendrá una dependencia como la inversa de la
frecuencia al cuadrado y un desfase total de 180º (o 0º debido a la indeterminación de la
fase debido a que su cálculo se realiza por medio de la función arco tangente en la
aproximación a seno y su resultado está definido salvo un múltiplo entero de π).
134
2.2.3.4.4 Una forma de evitar las influencias magnéticas del excitador
Es claro que la intensidad del campo magnético va disminuyendo si se aumenta la
distancia con la causa que lo origina. En nuestro caso lo que se ha hecho para minimizar
este efecto ha sido aumentar la distancia de conexión entre el excitador y el sensor de
acuerdo a las fotografías siguientes.
Figura 149: Montaje del cubo de separación para el sensor INTERFACE 1610
Figura 150: Montaje del cubo de separación para el sensor HBM 2UB
Los resultados obtenidos se muestran en las gráficas siguientes. En ellas se representa el
cociente de la sensibilidad a cada frecuencia dividida entre la sensibilidad a 200 Hz
frente a la frecuencia en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al
excitador y cuando se coloca sobre el cubo. Se estudia independientemente cada carga.
Como se aprecia en las mismas para los dos casos, con cubo y sin cubo, los efectos
magnéticos sobre los sensores se han reducido prácticamente en su totalidad.
135
0,80,91,01,11,21,31,41,51,61,7
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 Hz
sin carga sin cubo sin carga con cubo
Figura 151: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo) sin carga y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y
cuando se coloca sobre el cubo
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 Hz
0,35 kg sin cubo 0,35 kg con cubo
Figura 152: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor HBM 2UB
(sensor resistivo) con una carga nominal de 0,35 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
136
0,980
0,985
0,990
0,995
1,000
1,005
1,010
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 Hz
1 kg sin cubo 1 kg con cubo
Figura 153: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor HBM 2UB
(sensor resistivo) con una carga nominal de 1 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
En las graficas anteriores se aprecia claramente cómo los efectos magnéticos han
quedado minimizados para el módulo de la sensibilidad del sensor resistivo HBM 2UB.
También se obtienen resultados similares para la fase, como se aprecia en las gráficas
siguientes:
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Fase
/º
sin carga sin cubo sin carga con cubo
Figura 154: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo) sin carga y en dos casos, cuando se conecta el sensor
directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
137
-2
0
2
4
6
8
10
12
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Fase
/º
0,35 kg sin cubo 0,35 kg con cubo
Figura 155: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo) con una carga nominal de 0,35 kg y en dos casos, cuando
se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
-1
0
1
2
3
4
5
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Fase
/º
1 kg sin cubo 1 kg con cubo
Figura 156: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la frecuencia para el sensor HBM 2U (sensor resistivo) con una carga nominal de 1 kg y en dos casos, cuando se
conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
El sensor resistivo HBM 9UB no se ensaya con el cubo porque no se apreciaba ningún
efecto magnético debido a su pequeño tamaño. Los resultados para el sensor resistivo
INTERFACE 1610 se presentan a continuación:
138
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 H
z
sin carga sin cubo sin carga con cubo
Figura 157: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor
INTERFACE 1610 (sensor resistivo) sin carga y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 H
z
0,35 kg sin cubo 0, 35 kg con cubo
Figura 158: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor
INTERFACE 1610 (sensor resistivo) con una carga nominal de 0,35 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
139
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 Hz
1 kg sin cubo 1 kg con cubo
Figura 159: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor
INTERFACE 1610 (sensor resistivo) con una carga nominal de 1 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
Como se deduce de las gráficas anteriores el efecto queda corregido con el uso del cubo
para el sensor INTERFACE 1610. Lo mismo ocurre con la fase como se presenta en las
gráficas siguientes:
-505
101520253035
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia/Hz
Fase
/º
sin carga sin cubo sin carga con cubo
Figura 160: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo) sin carga y en dos casos, cuando se conecta el
sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
140
-202468
1012141618
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia/Hz
Fase
/º
0,35 kg sin cubo 0,35 kg con cubo
Figura 161: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo) con una carga nominal de 0,35 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
-1012345678
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia/Hz
Fase
/º
1 kg sin cubo 1 kg con cubo
Figura 162: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo) con una carga nominal de 1 kg y en dos casos,
cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
Para el sensor piezoeléctrico KISTLER 9175B también se corrige el efecto magnético
mediante el uso del cubo como puede verse en las gráficas siguientes:
141
0,951,001,051,101,151,201,251,301,351,401,45
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 Hz
sin carga sin cubo sin carga con cubo
Figura 163: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico) sin carga y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al
excitador y cuando se coloca sobre el cubo
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 Hz
0,35 kg sin cubo 0,35 kg con cubo
Figura 164: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico) con una carga nominal de 0,35 kg y en dos casos, cuando se conecta el
sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
142
0,995
1,000
1,005
1,010
1,015
1,020
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ m
ódul
o de
la s
ensi
bilid
ad a
20
0 H
z
1 kg sin cubo 1 kg con cubo
Figura 165: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la frecuencia para el sensor KISTLER
9175B (sensor piezoeléctrico) con una carga nominal de 1 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre el cubo
La gráfica de la fase no se presenta porque no varía en nada respecto a la que se obtenía
sin el cubo.
En este apartado se ha presentado un método para evitar el efecto magnético causado
por el excitador. El método consiste en aumentar la distancia entre el sensor y la bobina
acoplada a la armadura del excitador. En nuestro caso se ha realizado mediante un cubo
que ha aumentado dicha distancia en 17 cm. Este cubo, sin embargo, tiene el
inconveniente de que magnifica los posibles efectos de aceleraciones transversales, que
son cada vez más evidentes al aumentar la frecuencia. Por lo tanto, el cubo puede
utilizarse a bajas frecuencias, pero a altas frecuencias ha de acoplarse directamente el
sensor al excitador minimizando los posibles efectos de aceleraciones transversales.
2.2.4 Correcciones a realizar
En el apartado anterior se han explicado los efectos encontrados que pudiesen influir en
las mediciones y se ha evaluado su influencia y las distintas maneras de minimizarla. En
este apartado se recogen las correcciones que hay que realizar para la correcta
determinación de la sensibilidad del sensor.
143
2.2.4.1 Corrección por la masa interna del sensor
La principal corrección a realizar viene del hecho de que el sensor sin estar cargado
pero sujeto a una aceleración sinusoidal en el tiempo tiene una salida que varía
sinusoidalmente en el tiempo. La causa de esto es que existen partes del mismo que
actúan como carga, esto es lo se denomina carga interna del sensor, mint. Por ello la
sensibilidad habrá de corregirse de acuerdo a la siguiente expresión:
intmmmSSm +
⋅= (97)
Es claro que esta corrección será más importante cuanto menor sea la carga aplicada. Es
una corrección que sólo afecta al módulo y no a la fase de la sensibilidad. Para la
determinación de la carga interna del sensor se consideran las sensibilidades obtenidas
para las tres cargas menores y se determina cuál ha de ser la carga interna del sensor mint
de forma que al aplicar la corrección de la ecuación anterior las sensibilidades sean lo
más parecidas posible. Debido a los efectos magnéticos y otras correcciones a realizar
que se describirán en los apartados siguientes, el rango de frecuencias a considerar ha de
excluir las bajas frecuencias y las altas frecuencias, se toma por ello un rango de 200 Hz
a 1000 Hz. En principio, los efectos magnéticos se evitan con la ayuda de un cubo que
aumenta la distancia del sensor al excitador como ya se ha descrito, pero aquí no se
tiene en cuenta por la mayor dispersión de las medidas resultantes.
A continuación se van a describir un par de ejemplos que ponen en evidencia la
importancia de dicha corrección.
En este primer ejemplo se presentan el módulo de la sensibilidad normalizado respecto
a su valor nominal antes y después de la corrección. Cada curva es para una carga
distinta (en kg), siendo la carga interna del sensor mint en este caso de 42 g.
144
0,981,001,021,041,061,081,101,121,14
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 166: Módulo de la sensibilidad normalizado respecto de la sensibilidad nominal antes de la corrección para cargas de 0,35 kg, 1 kg y 2 kg, siendo la carga interna del sensor 42 g
0,981,00
1,021,041,061,08
1,101,121,14
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 167: Módulo de la sensibilidad normalizado respecto de la sensibilidad nominal después de la corrección para cargas de 0,35 kg, 1 kg y 2 kg, siendo la carga interna del sensor 42 g
En este segundo caso se representa lo mismo que en el anterior, pero aquí el sensor es
más grande y la corrección por la carga interna más importante (315 g).
145
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 168: Módulo de la sensibilidad normalizado respecto de la sensibilidad nominal antes de la corrección para cargas nominales de 0,35 g, 1 kg y 2 kg, siendo la carga interna del sensor 315 g
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 169: Módulo de la sensibilidad normalizado respecto de la sensibilidad nominal después de la corrección para cargas nominales de 0,35 kg, 1 kg y 2 kg, siendo la carga interna del sensor 315 g
Esta corrección no afecta a las calibraciones estáticas ya que la indicación de sensor se
tara siempre a cero para fuerza aplicada nula.
2.2.4.2 Corrección por acoplamiento de elementos de carga
En el caso de las tres cargas menores estas cargas van atornilladas al sensor. En el caso
de las cargas mayores existe un acoplamiento intermedio que va roscado al sensor y las
146
masas se ajustan al mismo por presión. Este tipo de acoplamiento se utiliza, por ejemplo,
en mediciones en estático de par de torsión con buenos resultados.
En la figura siguiente se muestra una imagen de las dos partes principales del acoplador
y de la masa.
A) Parte del acoplador al
que se rosca el sensor
B) Parte del acoplador al que se
acopla la carga y la parte A del
acoplador
C) Carga que se acopla a la parte B
del acoplador por presión cuando se
aprietan los tornillos
Figura 170: Esquemas de las distintas partes del acoplador
En la figura siguiente se muestra una imagen del conjunto masa más acoplador. Hay que
tener en cuenta que la rosca del acoplador tiene una métrica específica y que para
algunos sensores han sido necesarios acopladores suplementarios para conectar el
sensor con este acoplador y con las otras masas menores, pero siempre han ido roscados.
147
Figura 171: Esquema del conjunto masa más acoplador
Aunque la masa esté perfectamente ligada al acoplador, lo que se observa en todos los
casos es que la aceleración de la masa y del acoplador es distinta cuando están
acoplados y, por tanto, sometidos al mismo movimiento. A continuación se muestran
dos fotografías en las que se aprecia el método de medida para el acoplador y para la
masa.
Figura 172: Haz láser focalizado sobre la masa Figura 173: Haz láser focalizado sobre el acoplador
Para la medición de la sensibilidad sobre la masa se tiene que hacer una circunferencia
bastante grande, por lo que el efecto del lugar geométrico del haz debido al “rocking
motion” es bastante considerable. Por el contrario, para el acoplador la circunferencia de
148
medida puede ser pequeña, aunque hay mayor dificultad por el hecho de que hay que
enfocar sobre la circunferencia óptima dentro de un agujero.
El efecto que se observa es que el acoplamiento no es perfecto, incluso si se le ha
aplicado el par de apriete máximo posible, y la masa y el acoplador se mueven con
aceleraciones diferentes. Este efecto es cada vez más importante al aumentar la
frecuencia de excitación. También es más importante cuanto mayor es la diferencia en
masa entre el acoplador y la masa utilizada.
A continuación se muestra un ejemplo de lo anterior. Lo que se representa es el cociente
de aceleraciones (aceleración acoplador/aceleración masa) para las dos masas de las que
se dispone.
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Rel
ació
n de
ace
lera
cion
es
acop
lado
r/mas
a
6,1 kg 11,2 kg
Figura 174: Cociente de aceleraciones (aceleración medida en el acoplador / aceleración medida en la masa) para las dos masas de las que se dispone, 6,1 kg y 11,2 kg
Está claro que masa y acoplador se mueven independientemente cuando están
sometidos a la misma excitación. En la determinación de la sensibilidad esto ha de ser
tenido en cuenta, ya que el sensor estará sometido a dos fuerzas distintas. Por lo tanto se
tiene que la sensibilidad a asignar al sensor a partir de la medida de su salida y las
aceleraciones de masa y acoplador viene dada por la siguiente expresión:
149
( ) 221int1m amamm
VS++
= (98)
donde V es la señal del sensor y m1 y m2 son respectivamente las cargas del acoplador y
de la masa, mint es la masa interna del sensor y a1 y a2 las aceleraciones
correspondientes.
Durante el proceso de medida habrá que determinar con el vibrómetro láser la
aceleración del acoplador y de la masa, por lo que habrá que medir una vez la
aceleración de masa y otra la del acoplador. Dado que el sistema de adquisición de datos
está preparado para determinar la sensibilidad a partir de la masa total conectada al
sensor, pero sin tener en cuenta la masa interna del sensor, mint, se determinarán dos
sensibilidades:
( ) 1211 amm
VS+
=
( ) 2212 amm
VS+
= (99)
A partir de las expresiones anteriores es claro entonces como se determinará la
sensibilidad en función de las sensibilidades medidas para la masa y el acoplador:
2
2
1
int1
21m
Sm
Smm
mmS+
++
= (100)
A continuación se presentan los resultados de la sensibilidad para un sensor y las dos
masas de las que se dispone. Se presentan las sensibilidades medidas y la sensibilidad
para la suma de las masas, que es la sensibilidad corregida.
150
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
1,1 kg 6,1 kg 7,2 kg
Figura 175: Representación de la sensibilidad normalizada para el acoplador (masa = 1,1 kg) y la masa (masa = 6,1 kg) por separado y para el conjunto (masa = 7,2 kg)
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
1,1 kg 11,2 kg 12,3 kg
Figura 176: Representación de la sensibilidad normalizada para el acoplador (masa = 1,1 kg) y la masa (masa = 11,2 kg) por separado y para el conjunto (masa = 12,3 kg)
De acuerdo a las gráficas anteriores se observa que la sensibilidad está más influida por
la sensibilidad medida de la masa que la sensibilidad medida del acoplador, debido a
que su masa es considerablemente mayor.
Por otra parte, hay que tener en cuenta que esta corrección sólo afecta al módulo de la
sensibilidad, no a la fase.
151
2.2.4.3 Corrección por la rigidez de las masas
Esta corrección no afecta a la fase de la sensibilidad, pero sí es una importante
corrección para su módulo. Parte de considerar que las masas se comportan como barras
rígidas por las que se transmite una onda longitudinalmente. Así, todo el tratamiento
para esta corrección está basado en la teoría física de una barra vibrante tomando como
base la referencia [29].
La velocidad a la que se transmite la onda, esto es, la velocidad del sonido en la masa,
vendrá dada por:
ρYc = (101)
donde Y es el módulo de Young del material y ρ es la densidad del material.
El número de onda k se determinará como:
λω π2==
ck (102)
donde ω es la frecuencia angular (ω = 2 π f, con f la frecuencia) y λ es la longitud de
onda.
La posible deformación longitudinal ξ de la masa causada por la transmisión de la onda
longitudinal sigue la ecuación:
( ) ( )kxtkxt BA +− += ωωξ ii ee (103)
de donde hay que determinar los coeficientes A y B. Para ello se tienen las siguientes
condiciones de frontera:
1) En la superficie superior de la masa (x = L) , donde se focaliza el láser, se tiene
que la variación de la deformación con la posición es nula:
152
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=Lxxξ
(104)
2) En el sensor es donde se comunica el movimiento a la masa, esto es, el origen de
la onda longitudinal, por lo que se tiene que se genera una tensión T0 que cumple:
0
i0e
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
−=x
t
xYT ξω (105)
De la condición 1 se tiene kLBeA 2i= y de la condición 2 se tiene ( )ABYkT −−= i0 .
Resolviendo el sistema se obtiene:
( )1ei 2i0
−= kLYk
TB
( )1ie
2i
2i0
−= kL
kL
eYkTA
(106)
Luego la deformación se puede expresar como:
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )kLLxk
YkT
YkT t
LxkLxkkLkL
t
sencoseee
eeie i
0iiii
i0 −
−=+−
= −−−−
ωω
ξ (107)
La tensión transmitida a la parte superior la masa (x = L), Tup, siendo S la sección de la
masa, vendrá dada por:
( ) ( ) ( )kL
kLT
kcL
kLT
kLkYT
Sm
tSmT
ttt
Lxsen
e
sen
esen
e i0
2
2i0
i0
2
2
2
up
ωωω
ρρωωξ
==−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
==
(108)
153
De acuerdo con el resultado anterior se tiene que la sensibilidad corregida Sc se puede obtener a partir de Sm con las notaciones anteriores de acuerdo a la siguiente expresión:
( )
( ) ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⋅=
YLL
YLL
SSρω
ρω
0
0
mc
sen (109)
donde L es la longitud de la masa y L0 proviene de la transmisión de las ondas
longitudinales a través del sensor. L0 depende, por tanto, del sensor y tiene típicamente
un valor nulo, pero puede ser distinto de cero, especialmente para sensores de grandes
dimensiones. En este trabajo se denominará longitud efectiva del sensor.
Este resultado es muy importante, ya que implica que la aceleración medida por el láser
en la superficie de la masa estará modulada por el factor sen(k(L+L0))/(k(L+L0))
respecto a la aceleración sufrida por la misma y, por tanto, a la sensibilidad se la tendrá
que dividir también por este factor. Las alturas de las masas, L, disponibles se recogen
en la siguiente tabla:
Masa Altura
0,35 kg 25 mm
1 kg 40 mm
2 kg 50 mm
7,2 kg 180 mm
12,3 kg 180 mm
Para determinar el número de onda, k, hay que considerar la siguiente expresión:
Yck ρωω
== (110)
154
donde Y es el módulo de Young del material, ρ es la densidad del material y ω es la
frecuencia angular.
Las masas de las que se dispone son de materiales distintos y sus propiedades a
considerar se recogen en la tabla siguiente:
Masas Material Módulo de Young, Y Densidad, ρ
0, 35 kg, 1 kg, 2 kg Latón 1,1 × 1011 Pa 8400 kg/m3
7,2 kg, 12,3 kg Acero 2,1 × 1011 Pa 7900 kg/m3
De acuerdo a estos parámetros se tienen las siguientes velocidades del sonido, c, para
los distintos materiales utilizados, así como las longitudes de onda asociadas a la
máxima frecuencia de excitación (2400 Hz) y la mínima frecuencia de excitación (5 Hz).
Material Velocidad del sonido, c
Longitud de onda mínima (2400 Hz),
λmin
Longitud de onda máxima (5 Hz),
λmax
Latón 3619 m/s 1,5 m 724 m
Acero 5156 m/s 2,2 m 1031 m
Es claro, además, a partir de los resultados de la tabla anterior, que esta corrección no
tendrá importancia para las bajas frecuencias, pero sí para las altas frecuencias y, en
especial, cuanto mayor sea la altura de la masa. En nuestro caso las masas más altas
tienen una altura de 18 cm, del orden de la décima parte de la longitud de onda a asociar
a la frecuencia máxima.
Otra forma de verlo es comparar el tiempo que tarda la onda de deformación en
atravesar la masa (ida y vuelta) con el periodo del movimiento de excitación. El tiempo
que tarda la onda de deformación en atravesar la masa (ida y vuelta) dependiendo de su
altura y su composición recoge en la siguiente tabla:
155
Altura de la masa
2,5 cm (latón) 4 cm (latón) 5 cm (latón) 18 cm (acero)
Periodo de la onda de
deformación 1,4 × 10-5 s 2,2 × 10-5 s 2,8 × 10-5 s 7,0 × 10-5 s
En la figura siguiente se compara el tiempo que tarda la onda de deformación en
atravesar la masa (ida y vuelta) con el periodo del movimiento de excitación.
0%
3%
6%
9%
12%
15%
18%
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
2,5 cm 4 cm 5 cm 18 cm
Figura 177: Representación de la relación entre el tiempo que tarda la onda de deformación en atravesar la masa (ida y vuelta) y el periodo del movimiento de excitación
De la figura anterior se deduce que el efecto es mucho más importante para las masas de
18 cm de altura y que, para bajas frecuencias, este efecto es despreciable, pero no así
para las altas frecuencias.
Hay que tener en cuenta que habrá que sumar a la altura de la masa una altura que
dependerá del sensor y será la misma para todas las cargas. Ello viene dado por la
transmisión de la onda de deformación a través del sensor hasta la parte del mismo
sensible a la fuerza. Esto será una constante del sensor que habrá que determinarse
considerando que la diferencia de sensibilidad ha de ser mínima entre las distintas
cargas. Es claro que no se sabe la composición de esta parte, por lo que no se puede
determinar ni su densidad ni su módulo de Young, pero en la práctica se supone que
será básicamente acero como lo es el vástago que sobresale del sensor, por lo que se
156
asumirá que esta longitud efectiva tiene estas propiedades. Como consecuencia, en el
caso de que las masas no sean de acero, las propiedades a considerar, que serán bastante
parecidas, se determinarán a partir de una ponderación de los valores de las mismas en
función de la longitud efectiva del sensor y la longitud de la masa a considerar de
acuerdo a las siguientes expresiones:
0
0sensormasa
LLLL
++
=ρρρ
0
0sensormasa
LLLYLYY
++
= (111)
siendo ρmasa la densidad de la masa, ρsensor la densidad del sensor, Ymasa el módulo de
Young de la masa, Ysensor el módulo de Young del sensor, L la longitud de la masa y L0
la longitud efectiva del sensor.
Como ejemplo de la influencia de esta corrección en los sensores de los que se ha
dispuesto para este trabajo, a continuación se presentan dos figuras en las que se
representa la variación del módulo de la sensibilidad antes y después de aplicar esta
corrección en función de la frecuencia de excitación y para las masas disponibles de
distintas alturas. Se presentan dos casos, uno donde la longitud efectiva del sensor es
cero y otro donde la longitud efectiva del sensor tiene un valor considerable.
0%
1%
2%
3%
4%
5%
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia /Hz
Varia
ción
del
mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d
2,5 cm 4 cm 5 cm 18 cm
Figura 178: Representación de la variación del módulo de la sensibilidad antes y después de aplicar la corrección por rigidez de las masas en función de la frecuencia de excitación para masas de
distintas longitudes. En este caso la longitud efectiva del sensor es nula
157
0%
5%
10%
15%
20%
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia /Hz
Var
iaci
ón d
el m
ódul
o de
la
sens
ibili
dad
2,5 cm 4 cm 5 cm 18 cm
Figura 179: Representación de la variación del módulo de la sensibilidad antes y después de aplicar la corrección por rigidez de las masas en función de la frecuencia de excitación para masas de
distintas longitudes. En este caso la longitud efectiva del sensor es 155 mm
2.2.4.4 Método para la realización de las correcciones
Dada la gran cantidad de magnitudes de influencia, la incertidumbre a conseguir en las
calibraciones dinámicas de sensores de fuerza va a ser mucho más alta que en las
calibraciones estáticas. En las calibraciones estáticas se pueden determinar la
dependencia de la sensibilidad con la fuerza, pero en el caso dinámico esto no tiene
sentido, ya que existen factores de influencia con mucha más relevancia que la posible
dependencia de la sensibilidad con la fuerza.
Para las calibraciones dinámicas lo que se considera es la posible dependencia de la
sensibilidad con la frecuencia. La forma de aplicar las correcciones se describe a
continuación.
La primera corrección a aplicar será la corrección por la masa interna del sensor. Para
ello se considerarán las curvas de la relación entre el módulo de la sensibilidad y
frecuencia para las tres cargas más pequeñas (0,35 kg, 1 kg y 2 kg), ya que para las
cargas mayores esta corrección no tiene relevancia, ni tampoco para la fase. Para evitar
las influencias del magnetismo y la rigidez de las masas se considerará sólo el rango de
200 Hz a 1000 Hz, donde el efecto de estas influencias es mínimo. Entonces se calcula
por mínimos cuadrados el valor de masa que minimiza la distancia entre las tres curvas
para el rango de frecuencias considerado.
158
Una vez determinada la masa interna del sensor se realiza la corrección por
acoplamiento para las otras dos cargas, 7,2 kg y 12,3 kg.
Por último, se considera la corrección por la rigidez de las masas. Se considera para
todas las cargas y el rango de frecuencias completo. Entonces se calculan por mínimos
cuadrados la longitud efectiva del sensor que minimiza la distancia entre las curvas
disponibles (una por carga) para todo el rango de frecuencias.
Podría pensarse que la forma correcta sería realizar una corrección por la rigidez de las
masas para el acoplador y para la masa correspondiente en el caso de cargas acopladas
de forma separada entre ellos, ya que claramente tienen alturas diferentes. En la práctica
no es necesario, ya que esta corrección es relativamente pequeña y la carga de la masa
es mucho mayor que la del acoplador, con lo que dinámicamente domina el movimiento
de la masa. Por lo tanto, es suficiente realizar esta corrección después de la corrección
por acoplamiento.
Como resultado final se determina el promedio para el módulo de la sensibilidad y su
fase para cada frecuencia de excitación.
2.3 Determinación de la incertidumbre
En el siguiente apartado se describirán las fuentes de contribución a la incertidumbre de
las mediciones para la determinación de la sensibilidad del sensor en módulo y fase de
acuerdo a [3].
2.3.1 Vibrómetro láser
Como se discutió en el apartado dedicado a la descripción y funcionamiento del
vibrómetro láser, un vibrómetro láser está compuesto de una fuente de láser He-Ne y
una parte electrónica.
La incertidumbre de la longitud de onda de dicho láser es del orden de 10-5 en relativo
en la práctica, con lo que es una contribución despreciable. Como consecuencia, la
fuente de incertidumbre más importante va a venir dada por la calibración de la parte
electrónica [30]. Para la calibración de la parte electrónica se generan señales que
equivaldrían a las que proviniesen de un interferómetro ideal que pasan a los canales de
159
entrada de la parte electrónica del vibrómetro. Las señales han de generarse con una
desviación en fase definida de acuerdo a:
λϕ sπ4=Δ (112)
Estas señales se generan mediante un generador de señal FM que proporciona señales
de radiofrecuencia con la exactitud de modulación y pureza espectral adecuadas en el
rango de frecuencias deseado. Ello es posible ya que la modulación en fase y la
modulación en frecuencia están relacionadas mediante la expresión:
vibff ⋅Δ=Δ ϕ (113)
donde fvib es la frecuencia de la vibración. Como la demodulación en fase se basa en la
comparación de la fase instantánea con una fase de referencia coherente, el generador de
señal FM también deberá proporcionar la fase de la portadora sin modular de referencia.
La incertidumbre expandida de calibración es de 0,25 % para el módulo de la velocidad
y 0,3º para la fase. Además el vibrómetro utilizado ha sido comparado con trazabilidad
a otro Instituto Nacional de Metrología con resultados perfectamente compatibles. Se
considera que la posible deriva del instrumento es del 0,1 %, aunque la experiencia
indica que la deriva es despreciable.
El vibrómetro láser proporciona una señal proporcional a la velocidad, por lo que para
transformar la indicación a aceleración hay que multiplicar la salida por la frecuencia.
La frecuencia es determinada por el programa en Labview a partir del reloj interno del
módulo PXI 1033. Este reloj tiene unas especificaciones [31] de ± 2 × 10-5 en relativo,
con lo que la incertidumbre a asignar por ello es despreciable. El programa de
adquisición de datos proporciona la desviación típica de la medición de la frecuencia,
para cada una de las mismas. Se tiene que el límite superior de las mismas es 0,001 Hz.
Si la frecuencia mayor de medida es 5 Hz, se tiene que la contribución es de 0,005 8 %
considerando una distribución rectangular.
160
El efecto de la variación de temperatura sobre el vibrómetro láser [32] es del ± 1 %
entre 5 ºC y 40 ºC. La temperatura de referencia es 23 ºC, la máxima variación de
temperatura en el laboratorio es de ± 2 ºC y se considera una distribución rectangular.
Por lo tanto, las contribuciones a la incertidumbre a considerar para el vibrómetro láser
para la medición del módulo de la aceleración son las especificadas en la tabla siguiente:
Fuente de incertidumbre
Incertidumbre típica
Tipo de distribución
Máxima contribución a la
incertidumbre Calibración del vibrómetro láser 0,125 % Normal 0,125 %
Frecuencia 0,001 Hz Rectangular 0,005 8 %
Influencia de la temperatura 0,029 %/ºC Rectangular 0,033 %
Deriva 0,058 % Rectangular 0,058 %
La incertidumbre típica relativa a asignar por el vibrómetro láser al módulo de la
aceleración es redondeando 0,14 %.
Por otra parte, se tiene que todo el procesamiento requerido de las señales produce un
retardo en la señal de salida. Este retardo tiene un valor constante de Δτ = 11 μs [32] (se
considerará una incertidumbre de ± 1 μs). Este retardo no afecta a la medida del módulo
de la aceleración, pero sí a la fase de la forma:
vibf⋅Δ=Δ τϕ (114)
siendo fvib la frecuencia de excitación. Por lo tanto, habrá que realizar la corrección
correspondiente.
Respecto a la incertidumbre típica a asignar a la fase de la aceleración con las
consideraciones expuestas anteriormente se tiene:
161
Fuente de incertidumbre
Incertidumbre típica
Tipo de distribución
Máxima contribución a la
incertidumbre Calibración del vibrómetro láser 0,15º Normal 0,15º
Deriva 0,17º Rectangular 0,17º
Retardo 3,3 × 10-5 º/Hz Rectangular 3,3 × 10-5 º/Hz
Se tiene que la contribución a la incertidumbre típica a asignar por el vibrómetro láser a
la fase de la aceleración varía dependiendo de la frecuencia de excitación desde 0,23º a
0,24º, siendo el valor de 0,24º perfectamente asumible como incertidumbre a asignar
para todo el rango de frecuencias.
2.3.2 Masa
La determinación de la masa de las cargas y los acopladores en su caso se ha realizado
por medio de dos balanzas calibradas, la METTLER TOLEDO PM 2000, de alcance
máximo 2100 g y escalón de 0,01 g, y la METTLER TOLEDO KA50-S, de alcance
máximo 55 kg y escalón de 0,01 g.
La determinación de la incertidumbre de uso de estas balanzas se ha hecho de acuerdo
al documento EURAMET cg 18 “Calibration of Non-Automatic Weighing Instruments”
[33]. Se han considerado las siguientes contribuciones:
- Calibración
Se toma del certificado de calibración como distribución normal.
- Resolución en el cero
Se toma el escalón como distribución rectangular.
- Resolución de la indicación
Se toma el escalón como distribución rectangular.
- Repetibilidad
Se obtiene del certificado de calibración.
- Deriva
162
Se refiere a la posible deriva entre calibraciones. En nuestro caso para ambas balanzas
es despreciable, por lo que se considera como la incertidumbre de calibración, pero
como distribución rectangular.
- Excentricidad
Este efecto da cuenta del error debido al descentramiento del centro de gravedad de una
carga. Para evaluar este efecto, durante la calibración, se han realizado pesadas con una
determinada carga Lecc en los extremos de la balanza, obteniéndose una variación en la
indicación ΔIecc. La incertidumbre relativa se obtiene como el cociente ΔIecc/Lecc, tomado
como distribución rectangular.
Dado que las balanzas se encuentran siempre en un ambiente con temperatura
controlada en ± 1 ºC y se ajustan siempre antes de su uso, se consideran despreciables
las contribuciones asociadas a las variaciones de la temperatura y a influencia de la
variación de la densidad del aire en el ajuste. Por otra parte, durante el proceso de
pesada no se tara la balanza y se hace el cero antes de realizar la pesada, lo que hace que
no haya contribuciones asociadas ni a la tara ni al “creep”.
Por otra parte, hay que tener en cuenta que los errores determinados durante la
calibración son pequeños, por lo que se sumarán a la incertidumbre expandida a asignar
sin penalizar demasiado la misma.
A continuación se presentan las distintas contribuciones a la incertidumbre. Para la
balanza METTLER TOLEDO PM2000 se van a considerar dos rangos, 500 g y 2 kg, de
forma que a las cargas nominales menores o iguales a estos valores se les asignará la
incertidumbre a asignar a 500 g y a 2 kg respectivamente. Para la balanza METTLER
TOLEDO KA50-S se va a considerar un solo rango de 13 kg, que es valor máximo que
se ha necesitado determinar.
163
Balanza METTLER TOLEDO PM2000, rango 500 g
Fuente de incertidumbre Máxima contribución a la incertidumbre
Calibración 0,025 g
Resolución en el cero 0,003 g
Resolución en la indicación 0,003 g
Repetibilidad 0,003 g
Deriva 0,03 g
Excentricidad 0,023 g
Error 0 g
En este caso, de acuerdo al certificado, la repetibilidad es cero, por lo que se asume de
nuevo una contribución igual a la de resolución en la indicación.
Como incertidumbre expandida para la balanza METTLER TOLEDO PM2000 para el
rango de 500 g se tiene, por lo tanto, 0,1 g.
Balanza METTLER TOLEDO PM2000, rango 2 kg
Fuente de incertidumbre Máxima contribución a la incertidumbre
Calibración 0,025 g
Resolución en el cero 0,003 g
Resolución en la indicación 0,003 g
Repetibilidad 0,003 g
Deriva 0,03 g
Excentricidad 0,023 g
Error 0,03 g
164
En este caso, de acuerdo al certificado, la repetibilidad es cero, por lo que se asume de
nuevo una contribución igual a la de resolución en la indicación.
Como incertidumbre típica para la balanza METTLER TOLEDO PM2000 para el rango
de 2 kg se tiene, por lo tanto, 0,12 g.
Balanza METTLER TOLEDO KA50-S
Fuente de incertidumbre Máxima contribución a la incertidumbre
Calibración 0,02 g
Resolución en el cero 0,003 g
Resolución en la indicación 0,003 g
Repetibilidad 0,02 g
Deriva 0,023 g
Excentricidad -
Error 0,28 g
La balanza está equipada con un dispositivo centrador, por lo que no existe contribución
por excentricidad.
Como incertidumbre típica para la balanza METTLER TOLEDO KA50-S se tiene, por
lo tanto, 0,36 g.
En la determinación de la masa se ha determinado la misma para cada conjunto
necesario, pudiendo estar formado éste por una masa con uno o dos acoplamientos. Esta
determinación se ha realizado mediante una única pesada más una pesada de chequeo,
siendo siempre la diferencia máxima entre ambos casos el escalón del instrumento.
Como incertidumbre de estas determinaciones de masa se considerará la incertidumbre
a asignar del instrumento de acuerdo a los rangos previamente establecidos.
Para los cálculos posteriores es interesante calcular una incertidumbre típica relativa
máxima que poder asignar a la masa. Para ello es claro que la incertidumbre típica
relativa máxima se dará para el caso de la carga de 350 g. Este valor es de 0,014 3 %.
165
Dado que esta incertidumbre es muy baja y, por otro lado, es difícil estimar la deriva de
las cargas durante el uso, por suciedad, rozaduras a aplicar el par de apriete, etc., por lo
que se va a mayorar la incertidumbre típica al 0,02 %. De todas formas se han hecho
algunas comprobaciones de las derivas de las cargas y no se han observado derivas
apreciables. Esta contribución a la incertidumbre del 0,02 % es relativamente pequeña
respecto al cómputo total.
2.3.3 Acondicionador de señal
Han sido necesarios dos acondicionadores de señal, uno de carga, el B&K 2525, y otro
de tensión, el DEWETRON. Durante su utilización la sensibilidad del B&K 2525 se ha
ajustado a 0,001 V/pC y la tensión de alimentación del DEWETRON se ha ajustado a
5 V.
No se ha calibrado ni el acondicionador de carga, el B&K 2525, ni el acondicionador de
tensión, el DEWETRON, y se ha considerado el sensor con su acondicionador como
una cadena de medida a calibrar. Ello no supone ningún problema ya que es usual que
se calibren sensores junto con su acondicionador de señal como cadena de medida, ya
que así es como lo utiliza el usuario del equipo. Como se considera una cadena de
medida no se incluirán contribuciones a la incertidumbre por el acondicionador de señal.
La única excepción a lo anterior es la determinación del desfase generado por el
acondicionador de carga, el B&K 2525, que introduce un error bastante considerable en
la medición de la fase.
Un acondicionador de carga (véase el apartado 1.5.1) posee un circuito capacitivo
retroalimentado. El condensador de retroalimentación posee una resistencia de
aislamiento finita, por lo que se descarga con un decaimiento exponencial en el tiempo
caracterizado por una constante de tiempo de descarga τ. Además se produce una
corriente de fuga, ID, causada por los componentes electrónicos del circuito de entrada
del instrumento así como de la tensión de “offset”, uinp, de su amplificador.
La salida en tensión U de un sensor piezoeléctrico junto con su acondicionador de carga
viene dado por la siguiente expresión [34] en función del tiempo t:
166
( ) ( )( ) τt
tItFSStU−
⋅⋅+⋅⋅= eDSA (115)
donde SA es la sensibilidad el acondicionador de carga, SS es la sensibilidad del sensor y
F es la fuerza aplicada sobre el sensor.
Este efecto no tiene mayor influencia en el módulo de la sensibilidad, pero tiene un gran
efecto en su fase. La fase del acondicionador de carga ha sido caracterizada mediante un
medidor de fase CLARKE HESS 6000 y un generador de señal AGILENT 33250
obteniéndose la siguiente curva para la fase de la sensibilidad del acondicionador frente
a la frecuencia:
-25-20-15-10-505
1015202530
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la s
ensi
bilid
ad d
el
acon
dici
onad
or d
e ca
rga/
º
Figura 180: Fase de la sensibilidad del acondicionador de carga B&K 2525
Esta es una corrección importante a aplicar a la fase medida por el sensor piezoeléctrico
KISTLER 9175B.
La incertidumbre típica asociada a esta corrección es inferior a 0,2º hasta 15 Hz y es
0,05º para todo el resto del rango de frecuencia.
2.3.4 Sistema de adquisición de señales
Para la determinación de la sensibilidad es necesario adquirir la señal del vibrómetro
láser y la señal proveniente del sensor a través de su acondicionador de señal. Como ya
se ha descrito, esto se realiza a través del módulo PXI 1033 [31] con tarjeta de
167
adquisición de datos 4462 (24 bits, 204,8 kS/s) de National Instruments para los que se
ha realizado un programa en Labview.
Se distinguen tres fuentes de contribución a la incertidumbre: la calibración eléctrica de
la tarjeta con el módulo, la repetibilidad de las mediciones y la que se deriva del residuo
del ajuste a seno de cada una de las señales.
2.3.4.1 Calibración eléctrica
La calibración eléctrica de la tarjeta de adquisición de datos con su módulo se ha
realizado con el equipamiento y asesoramiento del Laboratorio de Corriente Alterna del
CEM. Se han realizado calibraciones de la respuesta de la amplitud y de la fase para los
canales que se van a utilizar.
2.3.4.1.1 Calibración en amplitud
La calibración para la respuesta en amplitud se ha realizado con un generador de señal
como patrón para las frecuencias 20 Hz, 50, Hz, 100 Hz, 300 Hz, 600 Hz, 1000 Hz,
1300 Hz, 1600 Hz, 2000 Hz y 2400 Hz y las tensiones RMS de 0,1 V, 1 V, 2 V y 5 V.
El comportamiento del equipo es muy bueno y se ha obtenido un error máximo del
0,033 %. Las incertidumbres asociadas a la calibración se recogen en la siguiente tabla,
teniendo en cuenta que, para ciertas contribuciones que no varían con la tensión, en la
columna final se ha considerado la máxima contribución. El objetivo es conseguir una
incertidumbre global que sea válida para todos los rangos y frecuencias del instrumento.
Fuente de incertidumbre
Incertidumbre típica
Tipo de distribución
Máxima contribución a la
incertidumbre Calibración del
generador de señal 0,005 % Normal 0,005 %
Resolución del generador de señal 10 -6 V Rectangular 0,000 29 %
Resolución de la indicación 10 -5 V Rectangular 0,002 9 %
Repetibilidad 10 -5 V Rectangular 0,002 9 %
168
Como aclaración respecto a la repetibilidad hay que señalar que no se ha observado
ninguna variación en la repetibilidad de las mediciones, por lo que se ha considerado la
resolución otra vez como contribución a la incertidumbre.
Otras contribuciones a la incertidumbre que a considerar son las siguientes:
- Deriva del generador de señal
No se considera pues el generador había sido calibrado recientemente.
- Influencia de la temperatura en el generador de señal
El generador siempre está en un entorno con una oscilación de temperatura máxima de
2 ºC y el coeficiente de temperatura, que es 5 × 10-6/ºC de la indicación. La mayor
contribución a la incertidumbre será de 0,002 9 % a considerar como distribución
rectangular.
- Influencia de la temperatura en el sistema de adquisición de señales
Para minimizar este efecto se ajusta el sistema antes de su utilización, además las
temperaturas de referencia del emplazamiento del Laboratorio de Corriente Alterna y
del emplazamiento donde se está realizando este trabajo son las mismas, siendo el
coeficiente por temperatura [35] 5 × 10-6/ºC de la indicación. Es por ello que la
influencia de la temperatura se considera equivalente para el sistema de adquisición de
señales que para el generador de señal.
La incertidumbre típica relativa que se obtiene es de 0,007 7%.
A la hora de considerar la incertidumbre de la tarjeta de adquisición de datos resulta
interesante calcular una incertidumbre de uso formada por las componentes explicadas
en la siguiente tabla:
Contribución Incertidumbre asociada
Calibración 0,007 7 %
Resolución 0,002 9 %
Influencia de la temperatura 0,002 9 %
169
La incertidumbre típica relativa que se obtiene es de 0,008 5 %.
Por otra parte, se tiene que no se va a realizar ninguna corrección, por lo para obtener
una incertidumbre de uso global se le ha de sumar a la incertidumbre anterior el error
máximo, con lo que tiene una incertidumbre global de uso de 0,05 %, lo que supone una
incertidumbre típica de 0,025 %.
Durante las mediciones se utilizan dos canales simultáneamente con lo que las
mediciones son mutuamente dependientes y la correlación es máxima; por lo que la
incertidumbre expandida a considerar será el doble, 0,1 %, lo que supone una
incertidumbre típica de 0,05 %.
2.3.4.1.2 Calibración en fase
La calibración en fase se ha realizado para las frecuencias de 20 Hz, 1 kHz y 2 kHz y
los desfases 0º, 1º, 2º, 5º, 10º, -1º, -2º, -5º y -10º.
En este caso lo que se ha encontrado es que el equipo presenta un error sistemático en
forma de un coeficiente por la frecuencia: 1,5 × 10-5 º/Hz.
Las necesidades de incertidumbre para las mediciones de desfase no son exigentes, por
lo que se va a utilizar este error sistemático como contribución a la incertidumbre. Dado
que la incertidumbre de la referencia utilizada es despreciable frente a este error
sistemático, de igual forma que otras posibles componentes tales como la resolución de
la indicación proporcionada por el programa a partir de la tarjeta de adquisición de datos
o la repetibilidad, se considera esta contribución como la incertidumbre para la fase
asociada a la calibración eléctrica del sistema de adquisición de datos.
Como en el caso de la medida de la amplitud se miden dos canales simultáneamente con
el mismo sistema, luego la correlación es máxima y la incertidumbre expandida a
considerar será el doble, 3 × 10-5 º/Hz, lo que supone una incertidumbre típica de
1,5 × 10-5 º/Hz.
170
2.3.4.2 Contribución a la incertidumbre por la aproximación a seno
Como ya se ha mencionado en el método seguido cada señal a(ti) (vibrómetro láser y
sensor) se ajusta a una función sinusoidal considerando hasta el tercer armónico de la
forma:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )ii
ii
ii
iii
ftBftAftBftAftBftA
CftBftAta
π8senπ8cos π6senπ6cos π4senπ4cos π2senπ2cos
33
22
11
00
−++−++−+
++−=
(116)
con i = 1…N donde N es el número total de puntos considerados en el ajuste.
Para la determinación de la sensibilidad se toma en consideración solamente la
componente correspondiente al armónico de orden cero de acuerdo a la expresión
siguiente:
( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
+=
0
0
20
20
atanABa
BAa
ϕ
(117)
Este ajuste se realiza por mínimos cuadrados mediante el método SVD (Singular Value
Decomposition) que realiza el programa en Labview automáticamente. El programa
proporciona también el error cuadrático medio del ajuste de acuerdo a la siguiente
expresión:
( )∑=
−=n
iii yy
ns
1
22 1 (118)
siendo yi el dato adquirido e iy el dato resultado del ajuste. El programa proporciona
una medición por segundo. Como se tiene 40 kS/s de velocidad de muestreo, se tiene
que n = 40 000, por lo que, aunque de forma correcta el parámetro a dividir sería n – 9
171
en vez de n solamente ya que se tienen 9 parámetros a determinar en principio, pero
como n es tan grande dicha corrección es despreciable.
A continuación se explicará cómo se propaga esta incertidumbre a la incertidumbre del
módulo y a la fase de la sensibilidad. Para ello y como primera aproximación se
considera que cada aceleración (del sensor o del vibrómetro láser) se puede aproximar a
seno según la siguiente ecuación:
( ) ( ) CftBftAa +−≅ π2senπ2cos (119)
Se han omitido los armónicos puesto que realmente son una contribución muy pequeña
(del orden del 2 % o menos en amplitud) y el siguiente cálculo sólo atañe a la
determinación de la incertidumbre.
La realización de un ajuste por mínimos cuadrados implica que los coeficientes A, B y C
han de ser tales que la expresión siguiente sea un mínimo:
( ) ( )( )∑ −+−=Σi
iii aCftBftA 2π2senπ2cos (120)
Para ello se tiene que cumplir:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) 0π2senπ2cos2
02sen π2senπ2cos2
0π2cos π2senπ2cos2
=−+−=∂Σ∂
=−+−=∂Σ∂
=−+−=∂Σ∂
∑
∑
∑
iiii
iiiii
iiiii
aCftBftAC
πftaCftBftAB
ftaCftBftAA
(121)
Estas expresiones permiten calcular los coeficientes A, B y C. El sistema de ecuaciones
queda de la forma:
172
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 0π2senπ2cos
0π2senπ2senπ2senπ2cos π2sen
0π2cosπ2cosπ2cos π2senπ2cos
2
2
=−+−
=−+−
=−+−
∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
ii
ii
ii
iii
ii
ii
iii
iii
ii
iii
ii
aCnftBftA
ftaftCftBftftA
ftaftCftftBftA
(122)
En este caso se tiene que el número de muestras es muy alto (40 000 por medición) y
que el número de ciclos mínimo es 5, ya que la frecuencia más pequeña es 5 Hz. Por lo
primero se pueden asimilar los sumatorios a integrales y, por lo segundo, se puede
suponer que tenemos periodos completos (en el peor caso se tendrá un error de medio
ciclo en 5 ciclos, que sería un ± 5 %). Ello es asumible, ya que todo este tratamiento sólo
sirve para la estimación de la incertidumbre. Utilizando las siguientes identidades
matemáticas:
( )
( )
( )
0d send cos
22sencos sen
22cos1cos
22cos1sen
π2
0
π2
0
2
2
==
=
+=
−=
∫∫ ββββ
ααα
αα
αα
mm
(123)
siendo m cualquier número entero, se tiene que el sistema de ecuaciones anterior
quedaría reducido a:
( )
( )
∑
∑
∑
=
−=
=
ii
iii
iii
an
C
ftan
B
ftan
A
1
π2sen2
π2cos2
(124)
En la determinación de las incertidumbres se tiene que
173
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∑
∑
∑
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=
jj
j
jj
j
jj
j
auaCCu
auaBBu
auaAAu
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(125)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )∑
∑
∑
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=
jj
jj
jj
jj
jj
jj
auaC
aBC,Bu
auaC
aAC,Au
auaB
aAB,Au
2
2
2
(126)
Como u2(aj) = s2 para todo j, asimilando de nuevo los sumatorios a integrales y
utilizando las identidades matemáticas anteriores, se tiene:
( ) ( )
( ) ( )
( )nsn
ns
nsCu
nsn
nsft
nsBu
nsn
nsft
nsAu
j
ji
ji
2
2
2
2
22
22
222
22
22
222
22
1
22
2π2sen2
22
2π2cos2
===
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
∑
∑
∑
(127)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0π2sen
0π2cos2
0π2sen π2cos2
2
2
22
22
==
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∑
∑
∑
ji
ji
ij
i
ftnsC,Bu
ftn
sC,Au
ftftn
sB,Au
(128)
174
Estos resultados permiten determinar la incertidumbre del módulo y la fase de la
aceleración de la forma siguiente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
=∂
∂+
∂
∂=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∂∂
+∂∂
=+=
222
4
2
2
2
22
22
22
22
2
222
22
22
2222
2
22
2
22222
1 21 2
atan
22
BAns
AB
ABAA
ns
BuBa
AuAa
ABuau
ns
BA
BAn
sBuB
aAuA
aBAuau
ϕϕϕ (129)
Se tiene esta contribución tanto para la señal del vibrómetro láser como para la señal del
sensor que, aunque sean adquiridas por el mismo sistema de adquisición de datos, se
considerará que la correlación es nula ya que las aproximaciones a seno son
independientes.
Teniendo en cuenta que la sensibilidad es proporcional al cociente de señales del sensor
y el vibrómetro, la expresión de incertidumbre típica relativa para el módulo de la
sensibilidad vendrá dada por:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
=nBA
sBA
sSw
vv
v
ss
s 2 22
2
22
2
aprox (130)
donde el subíndice s se refiere al sensor y el subíndice v al vibrómetro láser.
De igual forma para la fase tomando el grado como unidad se tendrá:
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
=nBA
sBA
su
vv
v
ss
s 2 18022
2
22
2
aprox πϕ (131)
175
2.3.4.3 Contribución a la incertidumbre por la repetibilidad de las mediciones
No hay que olvidar que encada ensayo el sistema permanece realizando mediciones un
mínimo de 10 s en cada frecuencia, por lo que se realizan un mínimo de 10 mediciones
por frecuencia. Es claro que otra contribución a la incertidumbre será la desviación típica
de la media de las 10 mediciones tanto del módulo de la sensibilidad, como de su fase
correspondiente.
Se hicieron pruebas en su día tomando 50 mediciones en vez de 10 mediciones y los
resultados conseguidos eran equivalentes a los conseguidos para 10 mediciones sin
obtener una variación significativa de la desviación típica. Esto indica que la aceleración
y su frecuencia asociada generadas por el excitador son suficientemente estables.
La contribución resultante de combinar la contribución a la incertidumbre por la
aproximación a seno y la contribución a la incertidumbre por la repetibilidad de las
mediciones es determinada directamente por el programa en Labview para cada
frecuencia y su contribución es la que se utiliza como contribución a la incertidumbre en
el apartado siguiente.
2.3.5 Contribución a la incertidumbre del efecto del lugar geométrico del haz
Como ya se ha visto al medir la aceleración sobre la masa mediante el vibrómetro láser
sobre una circunferencia en diferentes orientaciones se obtienen gráficas como la
siguiente:
0,95
0,97
0,99
1,01
1,03
1,05
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación /º
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
no
rmal
izad
o
100 Hz125 Hz150 Hz200 Hz250 Hz300 Hz400 Hz500 Hz650 Hz800 Hz900 Hz1250 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz
Figura 181: Módulo de la sensibilidad normalizado para una carga de 7,2 kg siendo la circunferencia de medida del orden de 1 cm
176
Esto es, existe una relación sinusoidal entre el módulo de la sensibilidad y la orientación
del punto de medida. También se obtienen gráficas similares para la fase.
El caso presentado anteriormente es para una circunferencia con un radio considerable.
En la práctica se obtienen menores incertidumbres considerando círculos lo más
pequeños posible para minimizar este efecto. De todas formas, por efectos como la
existencia de aceleraciones transversales, siempre existen frecuencias donde se sigue
teniendo este efecto, como puede apreciarse en la figura siguiente:
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
0 50 100 150 200 250 300 350
Orientación/º
Mód
ulo
de la
sen
sibl
idad
no
rmal
izad
o
1000 Hz1100 Hz1250 Hz1400 Hz1500 Hz1600 Hz1700 Hz1800 Hz1900 Hz2000 Hz2100 Hz2200 Hz2300 Hz2400 Hz
Figura 182: Módulo de la sensibilidad normalizado para una carga de 1 kg siendo la circunferencia de medida mínima. Se aprecia que este efecto es importante para 1100 Hz
Por otra parte, en el caso de las mediciones sobre la masa cuando se utiliza
acoplamiento por presión simplemente no es posible realizar las mediciones en un
círculo pequeño (véase el apartado 2.2.4.4).
Debido a que este efecto puede aparecer se ha de asumir que tanto el módulo de la
sensibilidad como la fase correspondiente van a seguir relaciones sinusoidales de la
forma:
( )ϕθ ++= senAmy (132)
177
donde y representa tanto el módulo de la sensibilidad como la fase y θ representa la
orientación, quedando m, A y ϕ como parámetros a determinar. Realmente de estos
parámetros el único que interesa es m, que corresponderá al módulo de la sensibilidad o
a la fase correspondiente al centro de la masa, que es donde idealmente habrá de
focalizar el haz láser del vibrómetro.
Para la determinación de m se realizará un ajuste por mínimos cuadrados ponderado. El
hecho de ser ponderado radica en que las dos fuentes de incertidumbre a considerar
anteriormente, la contribución a la incertidumbre por la aproximación a seno y la
contribución a la incertidumbre por la repetibilidad de las mediciones de las señales del
vibrómetro láser, pueden ser distintas para cada orientación. Por lo tanto se tiene que la
suma cuadrática de estas contribuciones es σi, la desviación típica asociada a cada punto
i, donde no se consideran correlaciones, ya que la determinación para cada orientación
se ha obtenido de forma independiente.
En general, como m es el único parámetro de interés, el ajuste por mínimos cuadrados
ponderados se reduce a considerar que la siguiente expresión ha de ser mínima:
( )( )∑ −++=Σ
i i
ii yAm2
2senσ
ϕθ (133)
Teniendo en cuenta que el único parámetro de interés es m es suficiente considerar:
( )( ) 0sen2 2 =−++
=∂Σ∂ ∑
i i
ii yAmm σ
ϕθ (134)
La ecuación anterior permite la determinación del parámetro m:
( )( )
∑
∑ +−
=
i i
i i
ii Ay
m2
2
1
sen
σ
σϕθ
(135)
178
En la práctica, dado que la amplitud del efecto A es pequeña y su determinación con
incertidumbre no es necesaria, se determinarán todos los parámetros mediante la opción
solver de Excel, tomándose como valor de inicio para m el promedio, para A la
semidiferencia entre los valores máximo y mínimo y para ϕ se tomará el cero como
valor de inicio.
Como resultado se tendrá que el valor de m no difiere significativamente de la media
ponderada, ya que no hay que olvidar que el efecto sinusoidal por el que se corrige se
evalúa en toda la circunferencia de 360º, por lo que al hacer un promedio se anula. Esto
se cumple porque las desviaciones típicas para cada orientación, σi, no difieren
significativamente entre sí.
La contribución a la incertidumbre asociada a m se determina como sigue:
( ) ( )
( )
∑∑
∑∑ =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=
i ii i
j j
j
jj
j
yu
yuymmu
2
2
2
4
2
22
2
11
1σσ
σ (136)
dando que ( ) 22jjyu σ= . El resultado obtenido corresponde con la incertidumbre de la
media ponderada.
En este trabajo se ha tenido un contribución máxima a la incertidumbre por este efecto
del 0,1 % para el módulo de la sensibilidad y de 0,01º para la fase de la sensibilidad.
2.3.6 Contribución la incertidumbre por la influencia de la temperatura en el
sensor
La temperatura de referencia es 23 ºC, la máxima variación de temperatura en el
laboratorio es de ± 2 ºC y se considera como una distribución rectangular.
Por otra parte, cada sensor tiene un coeficiente de variación de la linealidad respecto de
la temperatura que proporciona el fabricante. Los sensores también tienen un coeficiente
de variación de la señal de cero con la temperatura. En nuestro caso la influencia de la
temperatura en la señal del cero no va ser relevante, ya que la medición de la fuerzas
179
viene dada por la medición de la amplitud de las señales sinusoidales que varían
rápidamente en el tiempo.
A continuación se presenta una tabla con los sensores ensayados ([25], [26], [36] y [37]),
sus respectivos coeficientes de variación de la linealidad con la temperatura y la
contribución a la incertidumbre asociada por este efecto dadas las condiciones del
laboratorio.
Modelo de sensor Coeficiente de variación de la linealidad respecto de la
temperatura
Contribución la incertidumbre
INTERFACE 1610 0,001 6 %/ºC 0,001 8 %
HBM 2UB 0,01 %/ºC 0,012 %
HBM U9B 0,05 %/ºC 0,058 %
KISTLER 9175B -0,02 %/ºC 0,023 %
Gracias a las condiciones estables de la temperatura del laboratorio la influencia de la
variación de la temperatura va a ser prácticamente despreciable.
2.3.7 Resumen de las contribuciones
A continuación se presentan dos tablas resumen de las contribuciones del sistema, una
para el módulo de la sensibilidad y otra para la fase. Hay que recordar que todas las
incertidumbres están en % para el módulo de la sensibilidad y en grados (º) para la fase
y los coeficientes de sensibilidad asociados son iguales a la unidad en todos los casos.
2.3.7.1 Contribuciones a la incertidumbre para el módulo de la sensibilidad
Las magnitudes de influencia para el módulo de la sensibilidad se presentan en la
siguiente tabla junto con sus correspondientes contribuciones a la incertidumbre:
180
Magnitud de influencia Contribución a la incertidumbre
Vibrómetro láser 0,14 %
Masa 0,02 %
Sistema de adquisición de datos 0,05 %
Influencia de la temperatura en el
sensor Desde 0,0018 % a 0,058 %
Lugar geométrico del haz (incluye
aproximación a seno y repetibilidad) 0,1 %
Redondeando se tiene una incertidumbre típica del 0,2 %.
2.3.7.2 Contribuciones a la incertidumbre para la fase de la sensibilidad
Las magnitudes de influencia para la fase de la sensibilidad se presentan en la siguiente
tabla junto con sus correspondientes contribuciones a la incertidumbre:
Magnitud de influencia Contribución a la incertidumbre
Vibrómetro láser 0,24º
Sistema de adquisición de datos 1,5 × 10-5 º/Hz
Lugar geométrico del haz (incluye
aproximación a seno y repetibilidad) 0,05º
En este caso se tiene que la contribución a la incertidumbre dominante es la
contribución del vibrómetro láser, luego redondeando la incertidumbre típica es 0,25º.
No hay que olvidar que para el sensor KRISTLER 9175B hay que añadir la
incertidumbre típica asociada por la corrección del efecto del amplificador de carga, que
es 0,2º hasta 15 Hz y es 0,05º para todo el resto del rango de frecuencia.
181
2.3.7.3 Contribución a la incertidumbre por las correcciones a aplicar por la masa
interna del sensor, acoplamiento de elementos de carga y la rigidez de las masas
En primer lugar hay que demostrar que la corrección por acoplamiento de elementos de
carga no lleva asociada ninguna contribución a la incertidumbre. En efecto, de acuerdo
a esta corrección, la sensibilidad asociada a dos cargas acopladas, 1 y 2, viene dada por
la siguiente expresión:
2
2
1
int1
21m
Sm
Smm
mmS+
++
= (137)
donde mint es la masa interna del sensor, m1 y m2 son las masas de cada carga, y S1 y S2
las sensibilidades respectivas. La masa interna del sensor mint va a ser una corrección
pequeña, ya que m1 y m2 son mucho mayores, por lo que para el cálculo de la
incertidumbre puede despreciarse.
Aplicando la ley de propagación de incertidumbres de acuerdo a [3] se tiene la siguiente
expresión
( )
( )Sm
S
Sww
Sm
Sm
Sm
Smmm
Sm
Sm
mm
wSSmS
Sm
Sm
Sm
mmSu
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
2
2
2
1
1
2
2
1
121
2
2
1
1
21
222
212
1
12
2
2
1
1
21
(138)
donde se ha considerado que las incertidumbres son mutuamente dependientes, por lo
que tienen coeficientes de correlación igual a la unidad, y las incertidumbres relativas a
asignar a las dos sensibilidades son iguales entre sí, wS, de igual forma que para las
masas, wm, esto es:
182
( ) SwSSu 11 =
( ) SwSSu 22 =
( ) mwmmu 11 =
( ) mwmmu 22 =
( ) ( ) 12121 == m,mrS,Sr
(139)
Como conclusión se tiene que la contribución a la incertidumbre de las masas se anula y
la incertidumbre relativa es la misma a asignar a cualquiera de los módulos de la
sensibilidad de las diferentes cargas.
Como consecuencia de la calibración se van a tener para cada carga dos curvas de
calibración, una del módulo de la sensibilidad y otra de la fase de la sensibilidad, ambas
en función de la frecuencia de excitación. Ya se indicó, dada la incertidumbre que se
consigue con este sistema, que no tiene sentido considerar la dependencia de la
sensibilidad con la fuerza, por lo que se considerará que cada conjunto de curvas para el
módulo de de la sensibilidad y para la fase correspondiente en realidad deberían ser una
sola después de hacer las correcciones correspondientes. Como consecuencia, para cada
frecuencia de excitación se considerará como contribución a la incertidumbre en su caso
la desviación típica de la media entre los distintos módulos de sensibilidad y entre las
distintas fases:
( )11
2
1corr −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=∑ ∑= =
nnnzz
u
n
i
n
i
ii
(140)
donde n es el número de cargas y los zi son los módulos o las fases de la sensibilidad
para cada carga i en cada frecuencia de excitación.
Esta contribución se ha separado de las demás porque depende grandemente del sensor
y puede ser además una contribución muy importante.
183
2.3.7.4 Incertidumbre expandida
Para la determinación de la incertidumbre expandida de acuerdo a [3] se considerará
que los grados de libertad υ asociados a todas las contribuciones son infinitos excepto
en el caso de ucorr, la contribución la incertidumbre por las correcciones a aplicar por la
masa interna del sensor, acoplamiento de elementos de carga y la rigidez de las masas
donde el número de grados de libertad será el número de cargas, n, menos uno.
Siguiendo la fórmula de Welch-Satterhwaite de acuerdo con dicha guía se determinarán
los grados de libertad efectivos de acuerdo a la siguiente fórmula:
1
4corr
4c
eff
−
=
nuuυ (141)
donde uc es la incertidumbre combinada de todas las contribuciones a la incertidumbre
consideradas.
La incertidumbre expandida U se obtiene entonces a partir de la fórmula siguiente:
cukU ⋅= (142)
donde k es el factor de cobertura para una probabilidad del 95,45 % asumiendo una
distribución t de Student para los grados de libertad efectivos determinados previamente.
En la práctica, para la región de frecuencias bajas y medias se obtienen valores de k
muy próximos a 2, lo que indica que la contribución a la incertidumbre por variabilidad
tras las correcciones a aplicar por la masa interna del sensor, acoplamiento de elementos
de carga por presión y la rigidez de las masas no es una contribución dominante. Sin
embargo, el valor de k obtenido en la región de altas frecuencias aumenta con la
frecuencia, lo que indica que esta contribución a la incertidumbre es una contribución
dominante en la determinación de la incertidumbre.
184
3. RESULTADOS
A continuación se van a presentar los resultados para cuatro sensores distintos sobre los
que se ha realizado todo el tratamiento descrito anteriormente.
3.1 Sensor KISTLER 9175B
Es un sensor piezoeléctrico de sensibilidad nominal -3,5 pC/N y rango de -8 kN (tensión)
a 30 kN (compresión).
Figura 183: Imagen de detalle del sensor KISTLER 9175B
Figura 184: Imagen del sensor KISTLER 9175B con su cable
A continuación se presentarán cada una de las correcciones realizadas para el módulo de
la sensibilidad y los resultados finales obtenidos. Para bajas frecuencias se han
considerado los datos obtenidos conectando el sensor al cubo y éste al excitador para
evitar los efectos magnéticos y, para altas frecuencias, se han considerado los datos
obtenidos directamente con el sensor conectado al excitador.
3.1.1 Corrección por la masa interna del sensor
Los resultados del módulo de la sensibilidad para las tres cargas más pequeñas (0,35 kg,
1 kg y 2 kg) sin ninguna corrección se presentan en el rango de 200 Hz a 1000 Hz en la
siguiente gráfica:
185
-3,8
-3,7
-3,6
-3,5
-3,4
-3,3
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ (p
C/N)
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 185: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg sin ninguna corrección
Como consecuencia de la evaluación de estos datos se tiene que la masa interna del
sensor es 42 g. Estos resultados corregidos se presentan en la siguiente gráfica:
-3,9
-3,8
-3,7
-3,6
-3,5
-3,4
-3,3
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/ (p
C/N)
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 186: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg con la corrección de la masa interna del sensor
3.1.2 Corrección por acoplamiento de elementos de carga
Después de realizada esta corrección se obtienen los resultados que se presentan en la
siguiente gráfica:
186
-3,40
-3,35
-3,30
-3,25
-3,20
-3,15
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/(p
C/N
)
0,35 kg 1 kg 2 kg 7,2 kg 12,3 kg
Figura 187: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con las correcciones de la masa interna del sensor y por acoplamiento de elementos de carga
3.1.3 Corrección por la rigidez de las masas
Respecto a la corrección de rigidez de las masas la longitud efectiva del sensor a
calibrar es 0 mm.
3.1.4 Resultados para el módulo de la sensibilidad
Con estas correcciones los resultados obtenidos se presentan en la siguiente gráfica:
-3,38
-3,37
-3,36
-3,35
-3,34
-3,33
-3,32
-3,31
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/(p
C/N
)
0,35 kg 1 kg 2 kg 7,2 kg 12,3 kg
Figura 188: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con todas las correcciones
187
Como resultado final se incluye el promedio con la incertidumbre expandida asociada:
-3,39-3,38-3,37-3,36-3,35-3,34-3,33-3,32-3,31-3,3
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
sen
sibi
lidad
/(pC
/N)
Figura 189: Resultados del módulo de la sensibilidad con su incertidumbre expandida asociada
3.1.5 Resultados para la fase de la sensibilidad
A continuación se presentan los resultados para la fase de la sensibilidad:
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la s
ensi
bilid
ad/º
0,35 kg 1 kg 2 kg 7,2 kg 12,3 kg
Figura 190: Fase de la sensibilidad para todas las cargas
El resultado obtenido es independiente de la carga. Como resultado final se incluye el
promedio con la incertidumbre expandida asociada:
188
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la s
ensi
bilid
ad/º
Figura 191: Resultados de la fase de la sensibilidad con su incertidumbre expandida asociada
Como se verá a continuación para el resto de los sensores se observa una dependencia
lineal con la frecuencia. Para los sensores piezoeléctricos, sin embargo, no se tiene esta
dependencia. El efecto viene dado por el acondicionador de carga tal y como se discutió
en el apartado 2.3.3.
La fase de la sensibilidad del sensor corregida por error debido al acondicionador de
carga se presenta en la siguiente figura:
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la s
ensi
bilid
ad/º
Figura 192: Fase corregida de la sensibilidad del sensor KISTLER 9175B con su incertidumbre asociada
189
Se observa una dependencia lineal con la frecuencia, de igual forma que para el resto de
los sensores que se han estudiado.
3.2 Sensor HBM U9B
Es un sensor resistivo de sensibilidad nominal 1 mV/V y rango de 1 kN (tensión).
Figura 193: Imagen de detalle del sensor HBM U9B
Figura 194: Imagen del sensor HBM U9B con su cable
Dado su pequeño tamaño y la fragilidad de sus conectores sólo se va a ensayar para las
tres cargas más pequeñas (0,35 kg, 1 kg y 2 kg). A continuación se presentarán cada una
de las correcciones realizadas para el módulo de la sensibilidad y los resultados finales
obtenidos. Como consecuencia de su pequeño tamaño la influencia magnética del
excitador es despreciable, por lo que no ha sido necesario realizar ensayos con el cubo.
3.2.1 Corrección por la masa interna del sensor
Los resultados del módulo de la sensibilidad para las tres cargas más pequeñas (0,35 kg,
1 kg y 2 kg) sin ninguna corrección se presentan en el rango de 200 Hz a 1000 Hz en la
siguiente gráfica:
190
0,0009960,0009980,0010000,0010020,0010040,0010060,0010080,0010100,0010120,001014
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 195: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg sin ninguna corrección
Como consecuencia de la evaluación de estos datos se tiene que la masa interna del
sensor es 3 g. Estos resultados corregidos se presentan en la siguiente gráfica:
0,0009960,0009980,0010000,0010020,0010040,0010060,0010080,0010100,0010120,001014
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 196: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg con la corrección de la masa interna del sensor
3.2.2 Corrección por acoplamiento de elementos de carga
Esta corrección no se realiza ya que este sensor no se ensaya con las cargas acopladas.
191
3.2.3 Correcciones por la rigidez de las masas
Respecto a la corrección de rigidez de las masas la longitud efectiva del sensor a
calibrar es 0 mm.
3.2.4 Resultados para el módulo de la sensibilidad
Con estas correcciones los resultados obtenidos se presentan en la siguiente gráfica:
0,000975
0,000985
0,000995
0,001005
0,001015
0,001025
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 197: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con todas las correcciones
Como resultado final se incluye el promedio con la incertidumbre expandida asociada:
192
0,000975
0,000985
0,000995
0,001005
0,001015
0,001025
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
Figura 198: Resultados del módulo de la sensibilidad con su incertidumbre expandida asociada
3.2.5 Resultados para la fase de la sensibilidad
A continuación se presentan los resultados para la fase de la sensibilidad:
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la s
ensi
bilid
ad/º
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 199: Fase de la sensibilidad para todas las cargas
Como resultado final se incluye el promedio con la incertidumbre expandida asociada:
193
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la s
ensi
bilid
ad/º
Figura 200: Resultados de la fase de la sensibilidad con su incertidumbre expandida asociada
Se observa una dependencia lineal con la frecuencia que es independiente de la carga.
3.3 Sensor HBM U2B
Es un sensor resistivo de sensibilidad nominal 2 mV/V y rango de 10 kN (tensión).
Figura 201: Imagen de detalle del sensor HBM U2B
Figura 202: Imagen del sensor HBM U2B con su cable
194
A continuación se presentarán cada una de las correcciones realizadas para el módulo de
la sensibilidad y los resultados finales obtenidos. Para bajas frecuencias se han
considerado los datos obtenidos conectando el sensor al cubo y éste al excitador para
evitar los efectos magnéticos y, para altas frecuencias, se han considerado los datos
obtenidos directamente con el sensor conectado al excitador.
3.3.1 Corrección por la masa interna del sensor
Los resultados del módulo de la sensibilidad para las tres cargas más pequeñas (0,35 kg,
1 kg y 2 kg) sin ninguna corrección se presentan en el rango de 200 Hz a 1000 Hz en la
siguiente gráfica:
0,000195
0,000200
0,000205
0,000210
0,000215
0,000220
0,000225
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 203: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg sin ninguna corrección
Como consecuencia de la evaluación de estos datos se tiene que la masa interna del
sensor es 36 g. Estos resultados corregidos se presentan en la siguiente gráfica:
195
0,000195
0,000200
0,000205
0,000210
0,000215
0,000220
0,000225
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 204: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg con la corrección de la masa interna del sensor
3.3.2 Corrección por acoplamiento de elementos de carga
Después de realizada esta corrección se obtienen los resultados que se presentan en la
siguiente gráfica:
0,000180
0,000185
0,000190
0,000195
0,000200
0,000205
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
0,35 kg 1 kg 2 kg 7,2 kg 12,3 kg
Figura 205: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con las correcciones de la masa interna del sensor y por acoplamiento de elementos de carga
3.3.3 Corrección por la rigidez de las masas
Respecto a la corrección de rigidez de las masas la longitud efectiva del sensor a
calibrar es 25 mm.
196
3.3.4 Resultados para el módulo de la sensibilidad
Con estas correcciones los resultados obtenidos se presentan en la siguiente gráfica:
0,000194
0,000196
0,000198
0,000200
0,000202
0,000204
0,000206
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
0,35 kg 1 kg 2 kg 7,2 kg 12,3 kg
Figura 206: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con todas las correcciones
Como resultado final se incluye el promedio con la incertidumbre expandida asociada:
0,000194
0,000196
0,000198
0,000200
0,000202
0,000204
0,000206
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
Figura 207: Resultados del módulo de la sensibilidad con su incertidumbre expandida asociada.
197
3.3.5 Resultados para la fase de la sensibilidad
A continuación se presentan los resultados para la fase de la sensibilidad:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la s
ensi
bilid
ad/º
0,35 kg 1 kg 2 kg 7,2 kg 12,3 kg
Figura 208: Fase de la sensibilidad para todas las cargas
Como resultado final se incluye el promedio con la incertidumbre expandida asociada:
-4
-3
-2
-1
0
1
2
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la s
ensi
bilid
ad/º
Figura 209: Resultados de la fase de la sensibilidad con su incertidumbre expandida asociada
Se observa una dependencia lineal con la frecuencia que es independiente de la carga.
198
3.4 Sensor INTERFACE 1610
Es un sensor resistivo de sensibilidad nominal -1 mV/V y rango de 2,2 kN (tensión).
Figura 210: Imagen de detalle del sensor INTERFACE 1610
Figura 211: Imagen del sensor INTERFACE 1610 con su cable
A continuación se presentarán cada una de las correcciones realizadas para el módulo de
la sensibilidad y los resultados finales obtenidos. Para bajas frecuencias se han
considerado los datos obtenidos conectando el sensor al cubo y éste al excitador para
evitar los efectos magnéticos y, para altas frecuencias, se han considerado los datos
obtenidos directamente con el sensor conectado al excitador.
3.4.1 Corrección por la masa interna del sensor
Los resultados del módulo de la sensibilidad para las tres cargas más pequeñas (0,35 kg,
1 kg y 2 kg) sin ninguna corrección se presentan en el rango de 200 Hz a 1000 Hz en la
siguiente gráfica:
199
-0,001
-0,0008
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
0,35 kg 1 kg 2 kg
Figura 212: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg sin ninguna corrección
Como consecuencia de la evaluación de estos datos se tiene que la masa interna del
sensor es 315 g. Estos resultados corregidos se presentan en la siguiente gráfica:
-0,001
-0,0008
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
0,35 1 2
Figura 213: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg con la corrección de la masa interna del sensor
3.4.2 Corrección por acoplamiento de elementos de carga
Después de realizada esta corrección se obtienen los resultados que se presentan en la
siguiente gráfica:
200
-0,00048
-0,00046
-0,00044
-0,00042
-0,00040
-0,00038
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V)
/N
0,35 kg 1 kg 2 kg 7,2 kg 12,3 kg
Figura 214: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con las correcciones de la masa interna del sensor y por acoplamiento de elementos de carga
3.4.3 Corrección por la rigidez de las masas
Respecto a la corrección de rigidez de las masas la longitud efectiva del sensor a
calibrar es 155 mm. Esta longitud tan grande comparada con los otros casos es
esperable dadas las dimensiones de los vástagos de acoplamiento del sensor.
3.4.5 Resultados para el módulo de la sensibilidad
Con estas correcciones los resultados obtenidos se presentan en la siguiente gráfica:
-0,000480
-0,000475
-0,000470
-0,000465
-0,000460
-0,000455
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d/(m
V/V
)/N
0,35 kg 1 kg 2 kg 7,2 kg 12,3 kg
Figura 215: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con todas las correcciones
201
Como resultado final se incluye el promedio con la incertidumbre expandida asociada:
-0,000480
-0,000475
-0,000470
-0,000465
-0,000460
-0,000455
-0,000450
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Mód
ulo
de la
se
nsib
ilida
d /(m
V/V)
/N
Figura 216: Resultados del módulo de la sensibilidad con su incertidumbre expandida asociada
3.4.4 Resultados para la fase de la sensibilidad
A continuación se presentan los resultados para la fase de la sensibilidad:
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la s
ensi
bilid
ad/º
0,35 kg 1 kg 2 kg 7,2 kg 12,3 kg
Figura 217: Fase de la sensibilidad para todas las cargas
Como resultado final se incluye el promedio con la incertidumbre expandida asociada.
202
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Fase
de
la s
ensi
bilid
ad/º
Figura 218: Resultados de la fase de la sensibilidad con su incertidumbre expandida asociada
Se observa una dependencia lineal con la frecuencia que es independiente de la carga.
3.5 Caracterización del sensor
El objetivo del presente trabajo es la caracterización de la sensibilidad (módulo y fase)
en condiciones dinámicas, por lo que era esperable una dependencia del módulo de la
sensibilidad y su fase con la frecuencia de excitación. De acuerdo a lo visto en los
ejemplos de calibración de sensores precedentes se puede concluir que el módulo de la
sensibilidad no depende de la frecuencia y entre la fase y la frecuencia existe una
relación lineal. A la hora de caracterizar el sensor es claro que habrá que dar un valor
constante para el módulo de la sensibilidad y una recta de dependencia entre la fase y la
frecuencia.
3.5.1 Caracterización del módulo de la sensibilidad
Dado que el módulo de la sensibilidad no depende de la frecuencia se considerará que
los módulos de la sensibilidad obtenidos a distintas frecuencias corresponden a un único
valor.
Para la determinación de este valor se realizará un ajuste por mínimos cuadrados de la
forma
203
a Xy = (143)
donde y es la matriz columna con componentes y1,…yn, que son las distintas
determinaciones del módulo de la sensibilidad para cada frecuencia:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
ny
yy
M2
1
y (144)
La matriz X es una matriz unitaria de rango n:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
1
11
MX (145)
y a el parámetro a determinar, esto es, el módulo de la sensibilidad.
La idoneidad de este método radica en que no sólo toma en consideración las distintas
incertidumbres obtenidas del módulo de la sensibilidad para cada frecuencia de
excitación, sino también las correlaciones entre ellas. Estas han de considerarse en
principio, ya que todas estas determinaciones tienen las mismas fuentes de trazabilidad.
Así se tiene la correspondiente matriz de varianza covarianza V:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nnn
n
n
yuy,yuy,yu
y,yuyuy,yuy,yuy,yuyu
221
222
12
12112
L
MOMM
L
K
V (146)
204
donde las u2(yi) son las varianzas para cada frecuencia de excitación i y las u(yi,yj) son
las covarianzas. Como término de covarianza se asumirá el 0,2 % de incertidumbre a
asignar al módulo de la sensibilidad de acuerdo al apartado 2.3.7.1.
Para realizar el ajuste por mínimos cuadrados se tiene que cumplir que la siguiente
expresión ha de ser mínimo:
( ) ( ) min 1 =−−=Σ − aa XyVXy T (147)
De la solución de la expresión anterior se tiene que el módulo de la sensibilidad vendrá
dado por la expresión siguiente:
( ) yVXXVX 111 −−−= TTa (148)
y su varianza vendrá dada, a su vez, por la expresión siguiente:
( ) ( ) 11 −−= XVX TaV (149)
Los módulos de la sensibilidad obtenidos para los cuatro sensores de los que se dispone
se presentan en la siguiente tabla:
Sensor Valor Incertidumbre expandida
KISTLER 9175B -3,349 pC/N 0,40 %
HBM U9B 0,0010002 (mV/V)/N 0,40 %
HBM U2B 0,00019948 (mV/V)/N 0,40 %
INTERFACE 1610 -0,0004630 (mV/V)/N 0,40 %
205
Como resultado se tiene que las incertidumbres obtenidas vienen dadas por la
incertidumbre asociada al módulo de la sensibilidad de acuerdo al apartado 2.3.7, esto
es, no tiene influencia la variabilidad asociada a las correcciones a aplicar por la masa
interna del sensor, acoplamiento de elementos de carga y la rigidez de las masas.
Se puede realizar otra determinación más sencilla del módulo de la sensibilidad
mediante la determinación de la media ponderada. Este método tiene el inconveniente
de que no tiene en cuenta las correlaciones entre los módulos de la sensibilidad a
distintas frecuencias, pero su cálculo es más sencillo. Las expresiones para el módulo de
la sensibilidad a y su incertidumbre típica correspondiente u(a) vendrían dadas por las
expresiones siguientes:
( )
( )∑
∑
=
== n
i i
n
i i
i
yu
yuy
a
12
12
1
( )
( )
21
12
1
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∑=
n
i iyu
au
(150)
Los módulos de la sensibilidad obtenidos por este método para los cuatro sensores de
los que se dispone se presentan en la siguiente tabla:
Sensor Valor Incertidumbre expandida
KISTLER 9175B -3,350 pC/N 0,08 %
HBM U9B 0,0009998 (mV/V)/N 0,09 %
HBM U2B 0,00019952 (mV/V)/N 0,10 %
INTERFACE 1610 -0,0004631 (mV/V)/N 0,09 %
206
Los valores no varían significativamente frente a los anteriores, pero las incertidumbres
son bastante inferiores. Esto implica que las correlaciones no tienen una gran influencia
en los resultados y se puede tomar cualquiera de las dos como referencia.
Las incertidumbres obtenidas por medio de la media ponderada son muy pequeñas, las
obtenidas por el ajuste por mínimos cuadrados son cuatro veces mayores, pero aún así
se alejan bastante de la incertidumbre a considerar durante el uso posterior del sensor,
dada la gran cantidad de efectos que influyen en el mismo. Es por ello importante
asociar a la medición la incertidumbre que se obtuvo durante la calibración como límite
inferior de la incertidumbre de uso del sensor.
En las gráficas siguientes se presenta para cada uno de los cuatro sensores cuatro curvas:
- La designada como A representa la variación de los módulos de la sensibilidad
obtenidos por cada frecuencia de excitación respecto de la referencia obtenida
por mínimos cuadrados con covarianzas.
- La designada como B representa la incertidumbre asociada al ajuste por
mínimos cuadrados con covarianzas.
- La designada como C representa la incertidumbre expandida asociada a cada
uno de los módulos de la sensibilidad para cada frecuencia.
- La designada como D representa un límite de incertidumbre de uso expresado
como una recta en función de la frecuencia. Las pendientes y ordenadas en el
origen de dichas rectas se presentan en la siguiente tabla:
Sensor Pendiente/(%/Hz) Ordenada en el origen/%
Límite máximo/% (2400 Hz)
KISTLER 9175B 2,50 × 10-4 0,48 1,1
HBM U9B 5,73 × 10-4 0,83 2,2
HBM U2B 6,57 × 10-4 1,15 3,0
INTERFACE 1610 5,70 × 10-4 0,61 2,0
De las gráficas siguientes se deduce que, en algunos casos, las variaciones del módulo
de la sensibilidad obtenido para cada frecuencia de excitación respecto de la media
207
ponderada son mayores que la incertidumbre asignada a ésta. Tiene entonces sentido
tomar la opción más conservadora de considerar la incertidumbre obtenida en la
calibración. Como la dependencia de esta incertidumbre con la frecuencia no tiene
relación práctica se ha determinado un límite de la incertidumbre de uso como la recta
que cubre todas las incertidumbres de calibración en función de la frecuencia.
0,0%
0,2%
0,4%
0,6%
0,8%
1,0%
1,2%
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
ABCD
Figura 219: Representación de la variación respecto de la referencia calculada(A), la incertidumbre expandida del ajuste por mínimos cuadrados con covarianzas (B), las incertidumbres expandidas
(C) y el límite de incertidumbre de uso (D) para el sensor KISTLER 9175B
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
ABCD
Figura 220: Representación de la variación respecto de la referencia calculada(A), la incertidumbre expandida del ajuste por mínimos cuadrados con covarianzas (B), las incertidumbres expandidas
(C) y el límite de incertidumbre de uso (D) para el sensor HBM U9B
208
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
3,0%
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
ABCD
Figura 221: Representación de la variación respecto de la referencia calculada(A), la incertidumbre expandida del ajuste por mínimos cuadrados con covarianzas (B), las incertidumbres expandidas
(C) y el límite de incertidumbre de uso (D) para el sensor HBM U2B
0,0%
0,5%
1,0%
1,5%
2,0%
2,5%
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
ABCD
Figura 222: Representación de la variación respecto de la referencia calculada(A), la incertidumbre expandida del ajuste por mínimos cuadrados con covarianzas (B), las incertidumbres expandidas
(C) y el límite de incertidumbre de uso (D) para el sensor INTERFACE 1610
3.5.2 Caracterización de la fase de la sensibilidad
Dado que la fase de la sensibilidad tiene una dependencia lineal con la frecuencia y que
la incertidumbre también depende de la frecuencia, siendo más importante a frecuencias
altas, bajas y medias en ese orden, se realizará un ajuste lineal de la fase respecto a la
frecuencia de excitación. El ajuste será de la forma:
209
fp ⋅=ϕ (151)
donde ϕ es la fase, p es el parámetro a determinar y f la frecuencia de excitación.
Se realiza primero un ajuste por mínimos cuadrados de acuerdo al modelo expuesto en
el apartado 3.5.1, con la única salvedad que la matriz X tendrá la forma:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nf
ff
M2
1
X (152)
esto es, es la matriz columna de las n frecuencias de excitación. Como término de
covarianza se asumirá el 0,25º de incertidumbre a signar al módulo de la sensibilidad de
acuerdo al apartado 2.3.7.2, donde no hay que olvidar que en el caso del sensor
KRISTLER 9175B hay que añadir contribuciones adicionales por el efecto del
acondicionador de carga.
Los parámetros p de las rectas de la fase de la sensibilidad obtenidos para los sensores
junto con su incertidumbre, así como los valores máximos de la fase, se presentan en la
siguiente tabla:
Sensor p/(º/Hz) U(p)/(º/Hz)Fase
máxima/º (2400 Hz)
KISTLER 9175B -5,6607 × 10-3 8,2 × 10-6 -13,48
HBM U9B -1,978 × 10-3 2,4× 10-5 -4,75
HBM U2B -1,16 × 10-3 1,1 × 10-4 -2,79
INTERFACE 1610 -1,930 × 10-3 2,6 × 10-5 -4,63
Estas pendientes son negativas, lo que está de acuerdo con el modelo propuesto en el
apartado 1.6.1:
210
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∝
kbωϕ atan
(153)
Una aproximación más sencilla es no tener en cuenta las correlaciones, por lo que existe
la posibilidad de realizar un ajuste lineal ponderado. En este ajuste, los coeficientes con
sus correspondientes incertidumbres se obtienen de las fórmulas descritas a
continuación, donde cada fase ϕi correspondiente a la frecuencia fi tiene una
incertidumbre asociada u(ϕi).
( )
( )∑
∑
=
==
n
i i
i
n
i i
ii
uf
uf
p
12
2
12
ϕ
ϕϕ
( )
( )
21
12
2
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∑=
n
i i
i
uf
pu
ϕ
(154)
Los coeficientes de las rectas de fase de la sensibilidad obtenidos para los sensores junto
con su incertidumbre, así como los valores máximos de la fase y el límite de
incertidumbre de uso, se presentan en la siguiente tabla:
Sensor p/(º/Hz) U(p)/(º/Hz)Fase
máxima/º (2400 Hz)
Incertidumbre de uso/º
KISTLER 9175B -5,515 × 10-3 7,5 × 10-5 -13,23 0,63
HBM U9B -1,908 × 10-3 7,4 × 10-5 -4,58 0,59
HBM U2B -1,121 × 10-3 1,6 × 10-4 -2,69 1,7
INTERFACE 1610 -1,935 × 10-3 7,8 × 10-5 -4,65 0,84
211
Los resultados obtenidos en ambos casos son muy concordantes, excepto en el caso de
sensor KRISTLER 9175B, donde los resultados no son concordantes. Como
consecuencia se deduce el posible efecto de las correlaciones puede ser no despreciable
según el caso.
En este caso las incertidumbres obtenidas por el ajuste lineal ponderado sin covarianzas
son ligeramente mayores, pero aún así son muy pequeñas. Es por ello que se hace
necesario establecer una incertidumbre de uso, que se asume como la mayor obtenida
durante la calibración y se incluye en la tabla anterior.
En las gráficas siguientes se presenta para cada uno de los cuatro sensores cuatro curvas:
- La designada como A representa la variación de la fase de la sensibilidad
obtenida por cada frecuencia de excitación respecto de la función de ajuste lineal
sin covarianzas de la fase de la sensibilidad frente a la frecuencia de excitación.
- La designada como B representa la incertidumbre asignada de acuerdo a la
función de ajuste lineal sin covarianzas de la fase de la sensibilidad frente a la
frecuencia de excitación.
- La designada como C representa la incertidumbre expandida asociada a cada una
de las fases de la sensibilidad para cada frecuencia.
- La designada como D representa la máxima incertidumbre expandida, que se
toma como un límite de incertidumbre de uso.
Se toman los resultados del ajuste lineal ponderado sin covarianza porque es el que tiene
mayor incertidumbre y así poder comparar el peor caso posible con la incertidumbre
asignada de uso.
De las gráficas siguientes se deduce que las variaciones de la fase de la sensibilidad
obtenida para cada frecuencia de excitación respecto de la función de ajuste lineal sin
covarianzas de la fase de la sensibilidad frente a la frecuencia de excitación son mayores
que la incertidumbre asignada a ésta. Tiene entonces sentido tomar la opción más
conservadora de considerar la incertidumbre obtenida en la calibración. Como la
dependencia de esta incertidumbre con la frecuencia no tiene relación práctica, se ha
determinado un límite de la incertidumbre de uso como la máxima de todas las
incertidumbres de calibración en función de la frecuencia.
212
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Ince
rtid
umbr
e de
la fa
se/º
ABCD
Figura 223: Representación de la variación de la fase respecto de la recta de ajuste lineal sin covarianzas (A), la incertidumbre asignada de acuerdo a la recta de ajuste lineal sin covarianzas
(B), las incertidumbres expandidas asociadas (C) y el límite de incertidumbre de uso para el sensor KISTLER 9175B
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Ince
rtid
umbr
e de
la fa
se/ª
ABCD
Figura 224: Representación de la variación de la fase respecto de la recta de ajuste lineal sin covarianzas (A), la incertidumbre asignada de acuerdo a la recta de ajuste lineal sin covarianzas
(B), las incertidumbres expandidas asociadas (C) y el límite de incertidumbre de uso para el sensor HBM U9B
213
0,00,20,40,60,81,01,21,41,61,82,0
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Ince
rtidu
mbr
e de
la fa
se/º
ABCD
Figura 225: Representación de la variación de la fase respecto de la recta de ajuste lineal sin covarianzas (A), la incertidumbre asignada de acuerdo a la recta de ajuste lineal sin covarianzas
(B), las incertidumbres expandidas asociadas (C) y el límite de incertidumbre de uso para el sensor HBM U2B
00,10,2
0,30,40,50,6
0,70,80,9
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia/Hz
Ince
rtidu
mbr
e de
la fa
se/º
ABCD
Figura 226: Representación de la variación de la fase respecto de la recta de ajuste lineal sin covarianzas (A), la incertidumbre asignada de acuerdo a la recta de ajuste lineal sin covarianzas
(B), las incertidumbres expandidas asociadas (C) y el límite de incertidumbre de uso para el sensor INTERFACE 1610
Como conclusión de lo anteriormente expuesto se tiene que se pueden determinar el
módulo y la fase de la sensibilidad del sensor con una incertidumbre muy baja, pero que
durante el uso del sensor se tiene que considerar una incertidumbre mucho más alta a la
hora de considerar el módulo y la fase de la fuerza a medir. Esta incertidumbre es el
denominado límite de la incertidumbre de uso, establecido tanto para el módulo como
para la fase de la sensibilidad. Ello viene dado por el hecho de que la incertidumbre a
214
asociar a las mediciones eléctricas necesarias, ya que la fuerza será una medida eléctrica
divida entre la sensibilidad, será en general despreciable frente a la asociada a la
sensibilidad, por lo que básicamente se puede asociar el límite de la incertidumbre de
módulo y fase de la sensibilidad con la incertidumbre mínima del módulo y la fase de la
fuerza a medir. No hay que olvidar que en las mediciones reales pueden parecer otros
factores de incertidumbre, con lo que realmente ésta es una incertidumbre mínima.
3.6 Caracterización de la resonancia
De acuerdo al modelo de medida presentado se espera que la sensibilidad del sensor
cumpla:
222up
s 1ωbkxm
xS+
=∝&&
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
kbωϕ atan
(155)
Uno de los objetivos era entonces la determinación de unos parámetros k y b únicos
para el sensor, relacionados con el factor de calidad Q mediante la siguiente expresión:
0
11ωQk
mQk
b== (156)
de forma que se pudiera establecer la dependencia de la sensibilidad con la frecuencia
de excitación.
La determinación de estos parámetros se realiza mediante el estudio de la curva de
resonancia del parámetro R dado por la siguiente expresión:
( ) 1cos downupdown
up −−= ϕϕxx
R&&
&& (157)
215
En las siguientes figuras se presentan ejemplos de este comportamiento. En la primera
se representa un ejemplo del módulo de la relación entre la aceleración medida sobre la
masa y la aceleración medida sobre el excitador.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia /Hz
Mód
ulo
de la
rel
ació
n de
pot
enci
as
Figura 227: Representación de la variación del módulo de la relación entre la potencia del sistema y la potencia generada por el excitador para el sensor KISTLER 9175B con una masa de 12,3 kg
-50
0
50
100
150
200
0 500 1000 1500 2000
Frecuencia /Hz
Fase
de
la r
elac
ión
de p
oten
cias
/º
Figura 228: Representación de la variación de la fase de la relación entre la potencia del sistema y la potencia generada por el excitador para el sensor KISTLER 9175B con una masa de 12,3 kg
De la caracterización del módulo de R se pueden determinar b y k a partir de la
frecuencia de resonancia ω0 y las frecuencias ω1 y ω2, que son las frecuencias a las
216
cuales la potencia es la mitad que la potencia de resonancia, así como de la carga del
sensor (incluida la masa interna del sensor) de acuerdo a las expresiones siguientes:
mk
=0ω
mb
=− 21 ωω
(158)
Para estudiar la curva de resonancia de R en función de la frecuencia se ajusta a una
función de Lorentz de la forma:
( ) 220 4π2 wxcxwAyy
+−+= (159)
donde y0 es el offset, A es el área de la curva, xc es la frecuencia de resonancia en Hz, y
w es la anchura en frecuencia (Hz) a media altura de la curva. Esto es gráficamente:
y0
w
xc
y0
w
xc
Figura 229: Representación de los parámetros de una función de Lorentz
por lo que es claro que:
217
xcπ20 =ω
wπ221 =−ωω (160)
El software “Origin” permite hacer directamente este ajuste y determinar
automáticamente estos parámetros.
Los resultados obtenidos de acuerdo a lo expuesto anteriormente presentan mucha
dispersión, especialmente para el parámetro b. A partir de las frecuencias de resonancia
y la masa se han obtenido los siguientes resultados para k para cada uno de los sensores,
de acuerdo a la siguiente tabla:
Sensor k /(N/m)
KISTLER 9175B 4,0 × 108
HBM U9B 4,3 × 107
HBM U2B 1,4 × 108
INTERFACE 1610 1,2 × 108
Las desviaciones de los valores para las distintas cargas son del orden del 20 %, pero
para el parámetro b son mucho mayores. Por ello se determinará b a partir de los
resultados de la fase de la sensibilidad.
De los resultados obtenidos para los sensores se tiene que la dependencia entre la fase y
la frecuencia de excitación es lineal. De la ecuación de fase en función de la frecuencia
de excitación se puede obtener la información de b/k a partir de la pendiente de la
tangente de fase de la sensibilidad respecto de la frecuencia:
( ) ωϕkb
−=tan (161)
218
Para ello se realiza un ajuste por mínimos cuadrados a una recta con ordenada en el
origen nula. Se realiza como en el caso anterior para la fase por un ajuste por mínimos
cuadrados tomando en cuenta la matriz varianza covarianza.
En la siguiente tabla se presentan los cocientes b/k para cada sensor con sus
incertidumbres expandidas asociadas:
Sensor b/k /s U(b/k) /%
KISTLER 9175B 15,94 × 10-6 0,07
HBM U9B 5,50 × 10-6 0,25
HBM U2B 2,26 × 10-6 0,70
INTERFACE 1610 5,22 × 10-6 0,40
Si no se tienen en cuenta las correlaciones y se realiza un ajuste lineal ponderado, como
también se ha realizado como segunda opción en el caso de la fase, se obtienen los
resultados recogidos en la siguiente tabla:
Sensor b/k /s U(b/k) /%
KISTLER 9175B 15,51 × 10-6 1,6
HBM U9B 5,30 × 10-6 4,5
HBM U2B 3,07 × 10-6 23
INTERFACE 1610 5,39 × 10-6 4,0
En este caso se obtienen resultados parecidos con ambos métodos, pero no
necesariamente concordantes. Este es el caso de los sensores KISTLER 9175B y HBM
U2B. En el caso de los sensores HBM U9B e INTERFACE 1610 los resultados son
concordantes, aunque bastante en el límite.
219
A partir de los valores de b/k obtenidos por medio del ajuste por mínimos cuadrados
tomando en cuenta la matriz varianza covarianza y los valores de k se pueden obtener
los valores de b. Estos valores se recogen en la siguiente tabla:
Sensor b /(kg/s)
KISTLER 9175B 63,8 × 102
HBM U9B 2,4 × 102
HBM U2B 3,2 × 102
INTERFACE 1610 6,3 × 102
Estos valores son parecidos a los que se tienen del estudio de la resonancia. Es por ello
por lo que se deduce que la influencia del acondicionador de señal (con las correcciones
ya expuestas en el apartado 2.3.3 para el caso del acondicionador de carga) es
despreciable en la determinación de b a partir de la fase.
La incertidumbre asociada a estos valores es la misma que la asociada a k debido a que
las incertidumbres asociadas al cociente b/k obtenidas por el ajuste por mínimos
cuadrados tomando en cuenta la matriz varianza covarianza son despreciables frente la
asociada a k.
3.7 Comparación de resultados con calibraciones en estático
Las calibraciones en estático se han realizado en la máquina patrón de fuerza de 1 kN
del CEM [38]. La máquina patrón de fuerza se basa en el principio de carga directa [22],
esto es, la acción directa del campo gravitatorio sobre masas conocidas según la fórmula:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
m
al 1
ρρmgF (162)
donde F es la fuerza generada, m es el valor de masa del (los) elemento(s) de carga que
genera(n) la fuerza F, gl es el valor de la gravedad local y el término entre paréntesis es
220
la corrección por empuje del aire que depende de la densidad del aire ρa y la densidad
media ρm del material del (los) elementos de carga que genera(n) la fuerza F.
La incertidumbre expandida de la fuerza generada por esta máquina es 2 × 10-5 en
relativo y su rango es de 10 N a 1 kN.
Figura 230: Imágenes de la máquina patrón de fuerza de 1 kN del CEM
Dada la configuración de los sensores disponibles se ha podido realizar la calibración
estática de los sensores HBM U2B e INTERFACE 1610. Los otros sensores, el
KISTLER 9175B y el HBM U9B, no pueden calibrase en estático porque sus
conexiones no son las adecuadas por sus pequeñas dimensiones para conectar el sensor
adecuadamente a la máquina.
La calibración de los sensores se ha realizado de acuerdo a la norma UNE EN-ISO 376
[1]. De acuerdo a esta norma se tienen en cuenta los efectos siguientes:
- reversibilidad, que es la posible de diferencia de indicación a la misma carga
para cargas crecientes y decrecientes,
- repetibilidad en una misma posición,
221
- repetibilidad con rotación de la posición del sensor en distintos ángulos,
- error de cero, que es la diferencia de indicación a carga nula entre antes y
después de cargar el sensor.
Como resultado de la calibración se tiene una función de ajuste de la indicación en
función de la fuerza por mínimos cuadrados ordinarios de acuerdo a la UNE EN-ISO
376 [1]. La incertidumbre de la calibración se expresará en función de la fuerza y tendrá
en cuenta los efectos anteriores más los siguientes:
- error de interpolación, que da cuenta de la posible diferencia entre el valor
obtenido en la calibración y el valor según la función de ajuste,
- efecto de las variaciones de la temperatura respecto de la temperatura de
referencia durante la calibración,
- resolución del indicador utilizado; el acondicionador utilizado ha sido el HBM
DPM 40 y para este acondicionador esta contribución es despreciable,
- incertidumbre de la máquina patrón de fuerza.
3.7.1 Sensor HBM U2B
La función de ajuste resultado de esta calibración X(F) junto con su incertidumbre
expandida asociada U(F) vienen dadas por las expresiones siguientes:
32 FDFCFBAX ×+×+×+= 2FCFBAU ×′+×′+′=
(163)
donde los coeficientes se incluyen en la tabla siguiente:
222
Coeficiente Valor
A/(mV/V) -4,444 44 × 10-7
B/((mV/V)/N) 2,008 45 × 10-4
C/((mV/V)/N2) -3,889 86 × 10-9
D/((mV/V)/N3) 1,092 66 × 10-11
A´/N 6,102 08 × 10-2
B´ 3,588 34 × 10-3
C´/N-1 1,005 65 × 10-6
A continuación se van a comparar los resultados obtenidos en condiciones estáticas con
los resultados obtenidos en condiciones dinámicas.
En la gráfica siguiente se presenta la variación entre la sensibilidad obtenida en
condiciones estáticas y el módulo de la sensibilidad obtenida en condiciones dinámicas
para las cargas utilizadas durante la calibración dinámica (A), así como la incertidumbre
expandida obtenida en la calibración en condiciones estáticas (B) y la incertidumbre de
uso expandida obtenida en la calibración en condiciones dinámicas más pequeña (C). Se
escoge la incertidumbre menor en condiciones dinámicas dentro de la declarada como
límite de uso, ya que la incertidumbre crece con la frecuencia, por lo que se asume
frecuencia nula, lo cual es equivalente a tener condiciones estáticas.
223
0,0%0,2%0,4%0,6%0,8%1,0%1,2%1,4%1,6%1,8%2,0%
0 20 40 60 80 100 120 140
Fuerza/N
ABC
Figura 231: Representación de la variación entre la sensibilidad estática y la sensibilidad dinámica (A), la incertidumbre expandida en estático (B) y la incertidumbre de uso expandida en dinámico
(C)
Se aprecia que tanto la incertidumbre expandida obtenida en condiciones estáticas como
la incertidumbre expandida obtenida en condiciones dinámicas sí cubren la variación de
valores entre la calibración en condiciones estáticas y la calibración en condiciones
dinámicas, con lo cual es válido asumir que la sensibilidad no depende de la carga en
condiciones dinámicas dadas las incertidumbres obtenidas.
Respecto a las incertidumbres, para las cargas más pequeñas es mayor la obtenida en
condiciones estáticas, pero según aumenta la carga la incertidumbre expandida en
condiciones estáticas disminuye notablemente frente a la incertidumbre expandida en
condiciones dinámicas que permanece constante.
En la siguiente gráfica se presenta el error normalizado de la variación de valores de
sensibilidad entre la calibración en condiciones estáticas y la calibración en condiciones
dinámicas frente a la carga utilizada en condiciones dinámicas, primero tomando sólo
en consideración la incertidumbre expandida para condiciones estáticas (A) y luego
tomando sólo en consideración la incertidumbre de uso expandida para condiciones
dinámicas (B).
224
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 20 40 60 80 100 120 140
Fuerza/N
AB
Figura 232: Representación del error normalizado de la variación de la sensibilidad entre calibración estática y dinámica tomando sólo la incertidumbre expandida en estático (A) y tomando
la incertidumbre de uso expandida en dinámico (B)
Se obtiene claramente que las mediciones son concordantes tomando sólo en
consideración cualquiera de las incertidumbres expandidas obtenidas, aún cuando
tomando la definición de error normalizado al pie de la letra se debía considerar la raíz
cuadrada de la suma cuadrática de ambas contribuciones a la incertidumbre. Ello
demuestra que los resultados son muy concordantes.
Por otra parte, hay que destacar que en esta calibración se ha utilizado otro amplificador
de tensión, el amplificador de tensión utilizado ha sido el DMP 40, no el DEWETRON
y aún así se han obtenido resultados concordantes. De ello se deduce que la influencia
del amplificador es mínima en los resultados de la calibración para este caso.
En general la calidad metrológica de este sensor es bastante deficiente y su
incertidumbre expandida en condiciones estáticas es bastante alta. En el siguiente
ejemplo se verá el caso de un sensor de alta calidad metrológica.
3.7.2 Sensor INTERFACE 1610
La función de ajuste resultado de esta calibración X(F) junto con su incertidumbre
expandida asociada U(F) vienen dadas por las expresiones siguientes:
225
32 FDFCFBAX ×+×+×+= 432 FEFDFCFBAU ×′+×′+×′+×′+′=
(164)
donde los coeficientes se incluyen en la tabla siguiente:
Coeficiente Valor
A/(mV/V) 2,888 89 × 10-6
B/((mV/V)/kN) -4,632 47 × 10-1
C/((mV/V)/kN2) 2,593 24 × 10-5
D/((mV/V)/kN3) -5,180 01 × 10-6
A´/kN 2,380 96 × 10-5
B´ 1,010 99 × 10-4
C´/kN-1 -2,311 16 × 10-5
D´/kN-2 5,448 33 × 10-6
E´/kN-3 5,600 25 × 10-7
A continuación se van a comparar los resultados obtenidos en condiciones estáticas con
los resultados obtenidos en condiciones dinámicas.
En la gráfica siguiente se presenta la variación entre la sensibilidad obtenida en
condiciones estáticas y el módulo de la sensibilidad obtenida en condiciones dinámicas
para las cargas utilizadas durante la calibración dinámica (A), así como la incertidumbre
expandida obtenida en la calibración en condiciones estáticas (B) y la incertidumbre de
uso expandida obtenida en la calibración en condiciones dinámicas más pequeña (C). Se
escoge la incertidumbre menor en condiciones dinámicas dentro de la declarada como
límite de uso, ya que la incertidumbre crece con la frecuencia, por lo que se asume
frecuencia nula, lo cual es equivalente a tener condiciones estáticas.
226
0.0%
0.2%
0.4%
0.6%
0.8%
1.0%
1.2%
0 20 40 60 80 100 120 140
Fuerza/N
ABC
Figura 233: Representación de la variación entre la sensibilidad estática y la sensibilidad dinámica (A), la incertidumbre expandida en estático (B) y la incertidumbre de uso expandida en dinámico
(C)
Se aprecia que la incertidumbre expandida obtenida en condiciones estáticas no cubre la
variación de valores entre la calibración en condiciones estáticas y la calibración en
condiciones dinámicas para las dos cargas mayores, pero sí para las más pequeñas
Sin embargo, la incertidumbre de uso expandida obtenida en condiciones dinámicas sí
cubre ampliamente la variación de valores entre la calibración en condiciones estáticas y
la calibración en condiciones dinámicas para todas las cargas, con lo cual es válido
asumir que la sensibilidad no depende de la carga en condiciones dinámicas, dadas las
incertidumbres obtenidas.
Respecto a las incertidumbres, la incertidumbre expandida en condiciones dinámicas es
siempre mayor que la obtenida en condiciones estáticas; además, según aumenta la
carga la incertidumbre expandida en condiciones estáticas disminuye notablemente
frente a la incertidumbre de uso expandida en condiciones dinámicas, que se asume
constante.
En la siguiente gráfica se presenta el error normalizado de la variación de valores de
sensibilidad entre la calibración en condiciones estáticas y la calibración en condiciones
dinámicas frente a la carga utilizada en condiciones dinámicas, primero tomando sólo
en consideración la incertidumbre expandida para condiciones estáticas (A) y luego
tomando sólo en consideración la incertidumbre de uso expandida para condiciones
dinámicas (B).
227
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
0 20 40 60 80 100 120 140
Fuerza/N
AB
Figura 234: Representación del error normalizado de la variación de la sensibilidad entre calibración estática y dinámica tomando sólo la incertidumbre expandida en estático (A) y tomando
la incertidumbre de uso expandida en dinámico (B)
Se obtiene claramente que las mediciones son concordantes tomando sólo en
consideración la incertidumbre expandida obtenida en condiciones dinámicas, aún
cuando tomando la definición de error normalizado al pie de la letra se debía considerar
la raíz cuadrada de la suma cuadrática de ambas contribuciones a la incertidumbre. Ello
demuestra que los resultados son muy concordantes entre sí.
Como en el sensor anterior, en esta calibración se ha utilizado otro amplificador de
tensión. El amplificador de tensión utilizado ha sido el DMP 40, no el DEWETRON y
aún así se han obtenido resultados concordantes. También se deduce por tanto que la
influencia del amplificador es mínima en los resultados de la calibración.
En general la calidad metrológica de este sensor es mucho mejor que el anterior y, por
ello, la incertidumbre asociada en condiciones estáticas es bastante inferior.
228
4. DISCUSIÓN
En el apartado 1.3 se incluye que este trabajo surgió debido a la participación del CEM
en el proyecto EMRP IND09, en concreto en el paquete de trabajo dedicado a fuerzas
dinámicas focalizando su actividad en las fuerzas sinusoidales. De los tres participantes
en el proyecto, sólo dos, el PTB y el CEM, han conseguido resultados. En este apartado
se discuten las contribuciones de cada uno de los participantes.
Las principales contribuciones del PTB a la caracterización de sensores de fuerza bajo
excitaciones sinusoidales han sido las siguientes:
a) Estudio del modelo de medida como un oscilador armónico amortiguado y
determinación de parámetros de caracterización del sensor.
Es un concepto que aparece casi siempre en todos sus trabajos [11-13]. Los
resultados obtenidos para los parámetros tienen menor incertidumbre que los de
este trabajo, ya que su excitador permite hacer un barrido con la misma amplitud
en el que la frecuencia aumenta de forma lineal y continua en el tiempo con una
tasa de variación definida. Este tipo de excitación se conoce como excitación
“chirp” y la tasa de variación de la frecuencia en el tiempo puede ser
configurada por el usuario a su elección. El excitador del CEM, por el contrario,
no tiene esa posibilidad, ya que al realizar un barrido en frecuencia ésta va
aumentando en escalones de 1 Hz por segundo como mínimo, luego se pierde
mucha precisión en la determinación de la curva de resonancia.
b) Determinación de la corrección por la masa interna del sensor.
Esta es una corrección fundamental para conseguir resultados correctos a la hora
de trabajar con sensores de fuerza en condiciones dinámicas. Aparece en la
referencia [13]. De todas formas es una corrección lógica, ya que por
construcción un sensor tendrá partes que, cuando son sometidas a distintas
aceleraciones, produzcan deformaciones y tensiones en la partes “sensibles” de
los mismos. Así, por ejemplo, estas deformaciones y tensiones se producirían en
las galgas extensométricas de los sensores resistivos y en los cristales de los
sensores piezoeléctricos de forma que se tienen salidas proporcionales a la
aceleración sin la aplicación de fuerzas externas. En condiciones estáticas estos
229
efectos no se perciben, ya que siempre se “tara” el sensor restando su salida a
fuerza nula para el resto de cargas.
c) Determinación de la corrección por rigidez de las masas.
Esta corrección parece en la referencia [12]. De acuerdo a la referencia incluida
en este artículo esta corrección se utilizó anteriormente en máquinas de fuerza
hidráulicas o por amplificación.
Esta corrección aparece incompleta, ya que no se tiene en cuenta la influencia de
la longitud efectiva del sensor. Esta influencia puede ser muy importante para
sensores de gran tamaño, como se ha constatado para el sensor INTERFACE
1610.
d) Estudio del lugar geométrico del haz con determinación del movimiento de la
superficie mediante un vibrómetro láser de escaneo.
Gracias a un vibrómetro láser de escaneo [11-14] el PTB puede estudiar
directamente el efecto del lugar geométrico del haz ya que este tipo de
vibrómetros puede determinar el movimiento en varios puntos de la superficie y
determinar el movimiento de la misma mediante interpolación. Es una medida
directa, mucho más sencilla que la que se puede realizar con un vibrómetro láser
puntual, pero presenta el inconveniente de que se realiza la interpolación entre
puntos medidos en tiempo “ligeramente” distintos, lo que puede dar lugar a
errores si el algoritmo implementado en el software del vibrómetro no es
adecuado.
e) Estudio de las aceleraciones transversales con acelerómetros triaxiales.
Este estudio aparece en su referencia [14] y de acuerdo al mismo han medido las
aceleraciones transversales mediante acelerómetros triaxiales. La gran
desventaja es que sólo han medido dichas aceleraciones sobre las superficies
superiores de las masas, que es donde han acoplado dichos acelerómetros. El
CEM, por el contrario, ha realizado dicho estudio con el vibrómetro láser, lo
cual presenta ventajas que se describirán más delante en este apartado.
230
Las principales contribuciones del CEM han sido las siguientes:
a) Determinación de la fase de la sensibilidad.
Aunque la determinación la fase está incluida en su estudio del modelo de
medición [12-13], el PTB no ha proporcionado resultados de la medición de la
fase de la sensibilidad, focalizando su trabajo en la determinación de su módulo.
Por el contrario, en este estudio se han incluido resultados exhaustivos de la
medición de la fase, considerándose una parte importante de la medición de
igual forma que el módulo.
Además, la determinación de la fase proporciona otra manera de determinar la
constante de amortiguamiento, b , del sistema, que ha sido implementada en este
estudio.
b) Aumento del rango de frecuencia de excitación de las mediciones.
El rango de frecuencias de los excitadores del PTB es de 10 Hz hasta 2 kHz [12],
pero en [39] establece que sólo trabaja desde 40 Hz. Por el contrario, el rango de
frecuencias de excitación en el que se trabaja en el CEM va desde 5 Hz hasta
2400 Hz. Ello le permite caracterizar la sensibilidad de los sensores en un rango
mayor de frecuencias, estudiar resonancias a más altas frecuencias, así como
estudiar los efectos magnéticos a bajas frecuencias sobre los que se discutirá a
continuación.
c) Estudio de la influencia de los efectos magnéticos del excitador.
Una de las contribuciones más novedosas de este trabajo ha sido el estudio de
los efectos que causan los campos magnéticos generados por el excitador.
Realmente el efecto es muy importante a bajas frecuencias, siendo tanto más
importante cuanto mayor sea el tamaño del sensor a calibrar. Sin tener
información sobre estos efectos no se podrá comprender la variación de la
sensibilidad a bajas frecuencias con la carga.
231
d) Determinación de la corrección por acoplamiento de los elementos de carga.
En este trabajo se ha determinado la forma correcta de realizar esta corrección,
que es imprescindible cuando las masas que cargan al sensor por alguna parte no
están roscadas, sino que el acoplamiento se realiza por presión. En este caso se
observa que cada parte puede tener un movimiento independiente, siendo este
efecto cada vez mayor según aumenta la frecuencia de excitación.
e) Revisión de la corrección por la rigidez de las masas.
En el presente trabajo se ha incluido por vez primera el parámetro “longitud
efectiva del sensor”, que se suma a la longitud de la masa de carga, así como el
procedimiento para su determinación. Este parámetro es especialmente
importante para sensores de grandes dimensiones y da cuenta de la transmisión
de las ondas longitudinales a través del sensor y no sólo a través de la masa de
carga.
f) Estudio de la influencia del montaje.
Por un lado en este trabajo se ha estudiado la influencia del posicionamiento del
acelerómetro de control del excitador y del acelerómetro auxiliar utilizado para
la caracterización de la resonancia, que ha resultado ser despreciable.
Por otro lado, también se ha estudiado la nada despreciable influencia del par de
apriete del acoplamiento de la masa al sensor, dando como resultado unas
recomendaciones a seguir para asegurar la reproducibilidad de las mediciones.
g) Estudio del efecto del lugar geométrico del haz con un vibrómetro láser puntual.
En este trabajo se ha estudiado el efecto del lugar geométrico del haz con un
vibrómetro láser puntual. Esta parte ha sido laboriosa, ya que ha habido que
realizar muchas mediciones, pero los resultados son similares a los que se
obtendrían con un vibrómetro láser de escaneo.
232
Por otra parte, se ha desarrollado un procedimiento para determinar el valor
correcto de la sensibilidad a asignar de forma que la incertidumbre asociada por
este efecto sea mínima.
h) Estudio de las aceleraciones transversales con el vibrómetro láser.
La utilización del vibrómetro láser para el estudio de las aceleraciones
transversales tiene dos ventajas principales. Por una parte se puede medir la
aceleración transversal a cualquier altura del sistema. De hecho en este trabajo
se ha realizado a cinco alturas distintas. Por otra parte, no existen cables que
puedan interferir en la medición. Así el PTB [14] utiliza cuatro acelerómetros
triaxiales, lo que supone 4 cables colgando de la parte superior de la masa que
pueden interferir en la medición.
i) Estudio de las resonancias propias del excitador.
Otro estudio con resultados interesantes ha sido el estudio de las resonancias
propias del excitador, por el cual se ha identificado una serie de constantes de
elasticidad, k, que determinan una serie de frecuencias dependientes de la carga
aplicada al excitador en las que puede haber problemas en la medición por
resonancias.
j) Estudio pormenorizado de las contribuciones a la incertidumbre.
Este trabajo incluye una evaluación detallada de las contribuciones a la
incertidumbre, donde es destacable el procedimiento para determinar la
incertidumbre para el módulo y la fase del ajuste de las señales eléctricas a
funciones sinusoidales. Mediante este procedimiento se obtienen expresiones
bastante simples, pero perfectamente válidas, para las incertidumbres del
módulo y la fase de la sensibilidad.
La publicación que contiene la mayor parte de los resultados de este trabajo se titula “Force Sensor Characterization Under Sinusoidal Excitations” y es la referencia [40].
233
En resumen, este trabajo cubre el estudio de importantes factores de influencia y aspectos de la calibración de sensores de fuerza bajo estímulos sinusoidales no contemplados en trabajos previos del PTB y que conllevan una mejora sustancial del método de calibración, así como una mayor confianza en los resultados de medida.
234
5. CONCLUSIONES
El objetivo de este trabajo ha sido el desarrollo de un patrón primario de fuerzas
sinusoidales, así como establecer una metodología para la adecuada caracterización de
sensores de fuerza para excitaciones sinusoidales. Para ello se ha establecido un
dispositivo experimental formado por un generador de vibraciones para conseguir el
movimiento sinusoidal, un vibrómetro láser para medir dicho movimiento, un
acelerómetro para mediciones auxiliares de la aceleración, una serie de masas con las
que cargar al sensor de forma que, al moverse, generen la fuerza sinusoidal a medir, y
un sistema de adquisición de datos para la adquisición y tratamiento de las señales del
sensor de fuerza a calibrar, el vibrómetro y el acelerómetro para mediciones auxiliares.
Este dispositivo experimental tiene el carácter de patrón primario, ya que no tiene
referencia a otro patrón de fuerza, y traza la medida de fuerza a las medidas de masa,
longitud y tiempo.
Dadas las características del equipamiento disponible, el rango de estudio ha
comprendido cargas hasta 12,3 kg y frecuencias desde 5 Hz hasta 2400 Hz.
Una de las mayores dificultades del trabajo ha sido la toma de datos en tiempo real de
las señales del vibrómetro láser, el acelerómetro auxiliar y el sensor a calibrar y su
tratamiento posterior. Como tratamiento de datos se ha escogido la aproximación a un
seno tomando en consideración los armónicos hasta el tercer orden.
Se han encontrado factores de influencia propios de estas mediciones causados por los
efectos derivados del montaje y la influencia del excitador. Como conclusiones del
estudio de estos factores de influencia se tiene:
- El montaje es importante para garantizar la reproducibilidad de las mediciones,
en especial el par de apriete de la carga al sensor.
- El excitador de vibraciones puede generar problemas en la medida debido a su
movimiento en otros ejes distintos del eje de medida del sensor, así como por
sus resonancias propias. Estas últimas se pueden llegar a predecir a partir un
estudio del comportamiento del excitador en función de la frecuencia.
- Para realizar mediciones que estén lo menos afectadas posible por el cabeceo del
sistema (“rocking motion”) es recomendable que el haz del vibrómetro láser esté
lo más centrado posible respecto del eje de medida.
235
- Para realizar mediciones a bajas frecuencias (típicamente inferiores a 200 Hz) y
cargas pequeñas, se recomienda aumentar la distancia entre el sensor y la
armadura del excitador para evitar los posibles efectos magnéticos. Realmente
no se puede establecer cuánto hay que aumentar la distancia ni el tamaño que ha
de tener la carga para que este efecto deje de ser notable, ya que esto depende de
las características del excitador disponible para realizar las mediciones. Por otra
parte, hay que tener en cuenta las características del acoplador que se utiliza para
aumentar la distancia, ya que su uso puede aumentar el cabeceo del sistema. De
todas formas se recomienda utilizar este acoplador sólo en el rango de
frecuencias donde sean patentes los efectos magnéticos del excitador.
También se han descrito las correcciones propias a realizar en las mediciones de
acuerdo a este sistema tales como las debidas a la masa interna del sensor, el
acoplamiento de elementos de carga por presión y la rigidez de las masas. Las
incertidumbres asociadas a los factores de influencia y a las correcciones a realizar
hacen que las incertidumbres de calibración en condiciones dinámicas sean
considerablemente mayores que en condiciones estáticas.
En concreto, respecto a la corrección por el acoplamiento de elementos de carga cabe
señalar que, aunque en principio no supone un aumento de la incertidumbre, no supone
ninguna ventaja en la medición sino más bien un esfuerzo extra, ya que hay que medir
la aceleración de cada elemento por separado. Es mejor disponer siempre de cargas de
un solo elemento que se puedan roscar directamente al sensor, aunque esto en la
práctica no pueda ser posible en todos los casos y muchas veces sea necesario disponer
de un acoplador para cada sensor y luego una serie de masas a acoplar comunes para
todos los sensores. De todas formas es mejor evitar el acoplamiento por presión y que
todas las conexiones sean roscadas. Además habrá de cuidarse que se rosquen con un
par de apriete suficiente.
Como conclusión principal se tiene que el módulo de la sensibilidad no depende de la
frecuencia en el rango en estudio y es el mismo que el que se obtendría en condiciones
estáticas dentro de su incertidumbre. Dadas las incertidumbres que se obtienen en
dinámico tampoco se observa dependencia con la fuerza aplicada. La fase de la
sensibilidad por su parte presenta una relación lineal con pendiente negativa respecto a
la frecuencia en el rango de frecuencias en estudio.
236
El modelo físico que en principio habría de seguir el sistema es el de un oscilador
armónico amortiguado forzado. El patrón descrito también ha permitido verificar el
comportamiento resonante del sensor, pero la determinación de los parámetros del
sistema tales como la frecuencia de resonancia o el factor de calidad, y especialmente
este último, llevan mucha incertidumbre asociada por falta de reproducibilidad. Como
consecuencia, las constantes de elasticidad y amortiguamiento asociadas también tienen
mucha incertidumbre asociada, y especialmente ésta última. Una solución propuesta es
determinar la constante de amortiguamiento a partir de la constante de elasticidad y la
pendiente de la dependencia lineal de la tangente de la fase de la sensibilidad con la
frecuencia.
Los sensores ensayados cumplen el modelo de oscilador armónico amortiguado forzado,
ya que en el estudio de la potencia del sistema se obtiene la curva típica de resonancia y
la pendiente de la fase de la sensibilidad respecto de la frecuencia es negativa, tal y
como predice el modelo. Para el caso de los sensores piezoeléctricos hay que prestar
especial atención al efecto del acondicionador de carga en la fase, ya que pueden
obtenerse fases de la cadena de medida sensor-acondicionador en función de la
frecuencia de excitación que nada tengan que ver con la fase propia del sensor en
función de la frecuencia de excitación.
El hecho de que el módulo de la sensibilidad no dependa de la frecuencia, y sea el
mismo que el que se obtendría en condiciones estáticas dentro de su incertidumbre, es
un resultado muy importante, ya que, en principio, permite la extrapolación de los
resultados de calibración de condiciones estáticas a condiciones dinámicas en el rango
de frecuencias en estudio si el usuario del sensor no necesita conocer la fase de la
sensibilidad. Ello puede hacer pensar que las calibraciones en condiciones dinámicas no
son necesarias, pero esto no es correcto en absoluto, ya que durante la calibración en
condiciones dinámicas se obtiene información imprescindible para poder utilizar el
sensor correctamente en dichas condiciones. Tal información incluye:
- La masa interna del sensor
Esta corrección es muy importante, especialmente para fuerzas pequeñas y si el
sensor es de gran tamaño. Se tiene que la fuerza corregida Fc vendrá dada por:
237
amVSF ⋅−⋅= intcc (165)
donde Sc es la sensibilidad obtenida en la calibración, V es la salida del sensor,
mint es la masa interna del mismo y a es la aceleración a la que está sometido.
Esta es una corrección que afecta solamente al módulo, no a la fase.
- La constante de elasticidad, k
Es importante, ya que dada esta constante y la carga (o el cociente de la fuerza
aplicada y la aceleración) se puede determinar la frecuencia de resonancia. Esta
frecuencia de resonancia ha de evitarse, ya que puede conducir a errores en la
medición por el comportamiento inestable del sistema o, incluso, se puede llegar
a dañar al sensor.
- El par de apriete necesario
Es necesario indicar el par de apriete entre el sensor y el elemento generador de
la fuerza, que es necesario para garantizar la reproducibilidad de las mediciones.
- La incertidumbre en condiciones dinámicas
También es necesario indicar cuál es la incertidumbre de uso del sensor en
condiciones dinámicas, ya que es mucho mayor que en condiciones estáticas.
Por otra parte, hay que tener en cuenta que esta incertidumbre de uso será un
límite mínimo, que se ha determinado en condiciones de laboratorio. Además
existe la gran influencia del generador de vibraciones, o generalizando en el uso
del sensor, la fuente generadora de la fuerza dinámica, debido al conjunto de
efectos descritos en este trabajo.
238
6. LÍNEAS FUTURAS
En este trabajo se ha desarrollado un patrón primario de fuerzas dinámicas sinusoidales
y se ha realizado un estudio exhaustivo de los factores de influencia en la medición, las
correcciones a realizar y su correspondiente incertidumbre.
Dentro de las líneas futuras de trabajo en este campo se propone, en primer lugar, la
mejora del patrón. Un componente fundamental del mismo a mejorar sería el generador
de vibraciones.
El actual generador de vibraciones del que se dispone tiene el inconveniente de que es
muy antiguo y su funcionamiento no es óptimo, ya que su suspensión no es todo lo
buena que debiera. Esto afecta en gran medida al movimiento de la armadura de su
excitador, por lo que lo que habría que disponer de un nuevo excitador de vibraciones
con un movimiento transversal mínimo.
Por otra parte, un nuevo generador de vibraciones podría tener una mayor rango de
funcionamiento en frecuencia, lo que aumentaría el rango de funcionamiento del patrón
y tendría más versatilidad, ya que se podría utilizarse la señal del vibrómetro como
señal de control de la aceleración (el actual necesita un acelerómetro de control externo).
Esto sería una gran ventaja, ya que mejoraría la estabilidad y reproducibilidad de la
aceleración generada.
La imprecisa caracterización del comportamiento resonante del sistema a partir de la
medida de la potencia que se ha obtenido en este trabajo puede ser debida a que el
barrido en frecuencias que el generador de vibraciones es capaz de proporcionar no es
adecuado para este tipo de mediciones. Por ello, también sería deseable que el nuevo
generador de vibraciones tuviera la posibilidad de generar excitaciones tipo “chirp”,
donde la frecuencia pudiera aumentar o disminuir lineal o geométricamente y de forma
continua en el tiempo con una tasa de variación definida por el usuario. Esto junto con
las propuestas anteriores mejoraría en gran medida la obtención de las curvas de
resonancia, lo que mejoraría a su vez la determinación de las constantes de elasticidad y
amortiguamiento.
Otra mejora del patrón sería disponer de mejores masas. Por un lado tendrían que ser
macizas para no tener que realizar las correcciones por acoplamiento de carga por
presión. Otra corrección a minimizar sería la corrección por la rigidez de las masas. Es
claro que esta corrección es más importante cuanto mayor sea la altura de la masa a
239
considerar, por lo tanto, una gran mejora del patrón sería disponer de masas más bajas y
de mayor diámetro. Por otra parte, tendrían que seguir siendo cilíndricas y se tendrían
que acoplarse al sensor en su centro como las masas actuales para asegurar la simetría
del sistema y minimizar los posibles efectos de cabeceo. Tampoco hay que olvidar que
deberán tener una sujeción adecuada para poder aplicar más fácilmente el par de apriete
requerido. Un material adecuado para su fabricación sería uno con propiedades
mecánicas similares al vástago de conexión del sensor (normalmente acero) para
asegurar una adecuada transmisión de la onda de deformación del sensor a la masa.
Otra línea futura muy interesante de trabajo sería la de tener la posibilidad de realizar la
calibración de más sensores, con distintos principios de funcionamiento y, por supuesto,
habría que incluir más sensores piezoeléctricos. Es claro que no cualquier tipo de sensor
serviría, ya que hay de disponer también de acondicionadores de señal adecuados de
forma que la respuesta del conjunto fuera lo suficientemente rápida para la realización
de mediciones dinámicas. El propósito de realizar calibraciones con más sensores sería
tener la posibilidad de estudiar en más detalle los factores de influencia y descubrir
otros factores que pudieran aparecer para otros tipos de sensores.
El disponer de otros sensores, así como de un excitador de vibraciones más adecuado,
podría servir además para estudiar su comportamiento frente al modelo propuesto del
oscilador armónico amortiguado forzado y tener la posibilidad de realizar modelos más
ajustados dependiendo de la tipología del sensor y su configuración interna.
240
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i
AGRADECIMIENTOS
Esta tesis no podría haber sido realizada sin la inestimable colaboración y apoyo de una
serie de personas a las que desde aquí quiero comunicar mi más sincera gratitud.
En primer lugar me gustaría agradecer a mi director-tutor de tesis Jesús de Vicente y
Oliva su apoyo durante la elaboración de este trabajo. Agradezco especialmente sus
valiosos comentarios para la mejora de esta tesis y su rápida respuesta, a veces casi
inmediata, a mis solicitudes.
A los integrantes de este Tribunal quisiera expresarles mi sincero reconocimiento por su
desinteresada disponibilidad para formar parte del mismo.
A mis compañeros del Centro Español de Metrología quiero agradecerles infinitamente
su colaboración para la realización de este trabajo, en especial a Jose Ángel Robles, Jose
Antonio Fernández y Jorge Luis Robles. Quiero hacer una mención especial sobre este
último, ya que sin su apoyo incondicional y su paciencia esta tesis no hubiera sido
posible.
A Eusebio Rubio le doy las gracias por su generosa cooperación para solucionar los
problemas técnicos relativos al excitador que surgieron a lo largo del desarrollo de la
tesis.
Por último, quisiera expresar mi más profunda gratitud a mis padres Leandro Medina y
Mª Nieves Martín por todo su cariño y apoyo constantes durante esta tesis y en la vida.
ii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Ensayo de impacto a 120 km/h ......................................................................... 3
Figura 2: Ensayo de impacto con “dummy”..................................................................... 3
Figura 3: Simulador de ensayos sísmicos y ensayo modal en estructura de hormigón.... 4
Figura 4: Perforación de pozos......................................................................................... 4
Figura 5: Tuneladora ........................................................................................................ 4
Figura 6: Brazo robotizado............................................................................................... 5
Figura 7: Esquema del principio de medida ..................................................................... 9
Figura 8: Esquema de la calibración primaria con fuerzas de choque ........................... 11
Figura 9: Palanca simple ................................................................................................ 14
Figura 10: Péndulo ......................................................................................................... 15
Figura 11: Ejemplos de sensores tipo resorte/anillo....................................................... 17
Figura 12: Esquema de sensor neumático ...................................................................... 18
Figura 13: Esquema de sensor capacitivo ...................................................................... 19
Figura 14: Esquema de sensor de compensación electromagnética ............................... 20
Figura 15: Sensores piezoeléctricos ............................................................................... 22
Figura 16: Esquema de montaje de un sensor piezoeléctrico multicomponente............ 23
Figura 17: Principio de medida potenciométrico ........................................................... 23
Figura 18: Principio de funcionamiento de un sensor LVDT ........................................ 25
Figura 19: Dominios magnéticos.................................................................................... 25
Figura 20: Alineación de los dominios bajo un campo magnético................................. 26
Figura 21: Variación de la densidad de flujo magnético (B) bajo un esfuerzo .............. 26
Figura 22: Esquema constructivo del sensor magneto-elástico...................................... 27
Figura 23: Esquema de sensor piezorresistivo ............................................................... 28
Figura 24: Bandas extensométricas ................................................................................ 29
Figura 25: Bandas (galgas) extensométricas .................................................................. 32
iii
Figura 26: Aplicación de fuerzas sobre elemento de carga ............................................ 34
Figura 27: Circuito puente de Wheatstone ..................................................................... 35
Figura 28: Acondicionador de carga .............................................................................. 38
Figura 29: Acondicionador de tensión............................................................................ 40
Figura 30: Esquema del modelo de medida ................................................................... 41
Figura 31: Principio de funcionamiento del excitador electrodinámico......................... 50
Figura 32: Esquema del sistema interferométrico de un vibrómetro láser ..................... 51
Figura 33: Esquema del circuito para obtención de señales en cuadratura .................... 53
Figura 34: Vista de la masas sobre la armadura ............................................................. 55
Figura 35: Fotografía del haz láser del vibrómetro incidiendo sobre una masa............. 62
Figura 36: Imagen de la mesa posicionadora. Permite el posicionamiento adecuado del
haz sobre la superficie de las masas de acuerdo a coordenadas esféricas (radio,
colatitud y azimut) .............................................................................................. 62
Figura 37: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos
de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una
distancia al centro de 0,5 cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100
Hz ....................................................................................................................... 63
Figura 38: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos
de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una
distancia al centro de 0,5 cm para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650 Hz
............................................................................................................................ 63
Figura 39: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos
de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una
distancia al centro de 0,5 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000
Hz ....................................................................................................................... 64
Figura 40: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una distancia al centro de
0,5 cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100 Hz ............................ 64
iv
Figura 41: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una distancia al centro de
0,5 cm para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650 Hz ............................... 65
Figura 42: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 0,35 kg y una distancia al centro de
0,5 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz ............................. 65
Figura 48: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 1 kg y una distancia al centro de 0,5
cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz ................................... 68
Figura 51: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos
de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una
distancia al centro de 1,7 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000
Hz ....................................................................................................................... 70
Figura 52: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 1,7
cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100 Hz .................................. 70
Figura 53: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 1,7
cm para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650 Hz ..................................... 71
Figura 54: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 1,7
cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz ................................... 71
Figura 55: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 1,7
cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz. Se ha añadido esta
gráfica para ver el comportamiento total de la fase, ya que debido al
comportamiento a 1600 Hz se hacía imposible discernir el comportamiento a
otras frecuencias. ................................................................................................ 72
Figura 56: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos
de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una
v
distancia del centro de 2,2 cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100
Hz ....................................................................................................................... 72
Figura 57: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos
de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una
distancia del centro de 2,2 cm para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650
Hz ....................................................................................................................... 73
Figura 58: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos
de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una
distancia del centro de 2,2 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000
Hz ....................................................................................................................... 73
Figura 59: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,2
cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100 Hz .................................. 74
Figura 60: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,2
cm para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650 Hz ..................................... 74
Figura 61: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,2
cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz ................................... 75
Figura 62: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,2
cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz. Se ha añadido esta
gráfica para ver el comportamiento total de la fase, ya que debido al
comportamiento a 1600 Hz se hacía imposible discernir el comportamiento a
otras frecuencias. ................................................................................................ 75
Figura 63: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos
de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una
distancia del centro de 2,7 cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100
Hz ....................................................................................................................... 76
Figura 64: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos
de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una
vi
distancia del centro de 2,7 cm para frecuencias de excitación de 125 Hz a 650
Hz ....................................................................................................................... 76
Figura 65: Resultado para el módulo de la sensibilidad normalizada en los tres rangos
de frecuencias frente a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una
distancia del centro de 2,7 cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000
Hz ....................................................................................................................... 77
Figura 66: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,7
cm para frecuencias de excitación de 18,75 Hz a 100 Hz .................................. 77
Figura 69: Resultado para la variación de la fase en los tres rangos de frecuencias frente
a la orientación en grados para la carga de 2 kg y una distancia del centro de 2,7
cm para frecuencias de excitación de 800 Hz a 2000 Hz. Se ha añadido esta
gráfica para ver el comportamiento total de la fase, ya que debido al
comportamiento a 1600 Hz se hacía imposible discernir el comportamiento a
otras frecuencias. ................................................................................................ 79
Figura 83: Variación del módulo de la sensibilidad en % para la carga nominal de 0,35
kg ........................................................................................................................ 87
Figura 84: Variación del módulo de la sensibilidad en % para la carga nominal de 1 kg
............................................................................................................................ 88
Figura 85: Variación del módulo de la sensibilidad en % para la carga nominal de 2 kg
............................................................................................................................ 88
Figura 86: Variación de la fase para la carga nominal de 0,35 kg ................................. 89
Figura 87: Variación de la fase para la carga nominal de 1 kg ...................................... 89
Figura 88: Variación de la fase para la carga nominal de 2 kg ...................................... 89
Figura 89: Llaves utilizadas para aplicar el par de apriete ............................................. 90
Figura 90: Representación del módulo de la sensibilidad normalizado desde 10 Hz a
2400 Hz .............................................................................................................. 92
Figura 91: Representación del módulo de la sensibilidad normalizado de 10 Hz a 400
Hz ....................................................................................................................... 92
Figura 92: Representación de la variación de la fase desde 10 Hz a 2400 Hz ............... 93
vii
Figura 93: Puntos de medida de la aceleración trasversal para una carga nominal de 2 kg
............................................................................................................................ 94
Figura 94: Aceleración del eje x en % respecto a la aceleración en el eje vertical para
cada uno de los puntos donde se ha focalizado el vibrómetro láser para la carga
nominal de 2 kg .................................................................................................. 95
Figura 95: Aceleración del eje y en % respecto a la aceleración en el eje vertical para
cada uno de los puntos donde se ha focalizado el vibrómetro láser para la carga
nominal de 2 kg .................................................................................................. 95
Figura 96: Módulo de la sensibilidad normalizado para la carga nominal de 2 kg........ 96
Figura 97: Variación de la fase para la carga nominal de 2 kg ...................................... 97
Figura 98: Aceleración del eje x en % respecto a la aceleración en el eje vertical para
cada uno de los puntos donde se ha focalizado el vibrómetro láser para la carga
de 12,3 kg ........................................................................................................... 98
Figura 99: Aceleración del eje y en % respecto a la aceleración en el eje vertical para
cada uno de los puntos donde se ha focalizado el vibrómetro láser para la carga
de 12,3 kg ........................................................................................................... 98
Figura 100: Módulo de la sensibilidad normalizado para la carga nominal de 12,3 kg
para frecuencias de excitación de 300 Hz a 1600 Hz ......................................... 99
Figura 101: Módulo de la sensibilidad normalizado para la carga nominal de 12,3 kg
para frecuencias de excitación de 1700 Hz a 2400 Hz ....................................... 99
Figura 102: Variación de la fase para la carga nominal de 12,3 kg para frecuencias de
excitación de 300 Hz a 1600 Hz....................................................................... 100
Figura 103: Variación de la fase para la carga nominal de 12,3 kg para frecuencias de
excitación de 1700 Hz a 2400 Hz..................................................................... 100
Figura 104: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 0,35 kg en todo el rango de frecuencias ........................................ 102
Figura 105: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 0,35 kg en todo el rango de frecuencias ........................................ 102
Figura 106: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 1 kg en todo el rango de frecuencias ............................................. 103
viii
Figura 107: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 1 kg en todo el rango de frecuencias ............................................. 103
Figura 108: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 2 kg en todo el rango de frecuencias. El pico principal corresponde a
la frecuencia de resonancia............................................................................... 104
Figura 110: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 2 kg de 1500 Hz a 2100 Hz ........................................................... 105
Figura 111: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 2 kg en todo el rango de frecuencia .............................................. 105
Figura 112: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 2 kg hasta 2000 Hz ........................................................................ 106
Figura 113: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 7,2 kg en todo el rango de frecuencias. El pico principal corresponde
a la frecuencia de resonancia ............................................................................ 107
Figura 114: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 7,2 kg en todo el rango de frecuencias .......................................... 107
Figura 115: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 7,2 kg hasta 500 Hz ....................................................................... 108
Figura 116: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 7,2 kg desde 1200 Hz a 2400 Hz ................................................... 108
Figura 117: Módulo de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 12,3 kg en todo el rango de frecuencias. El pico principal
corresponde a la frecuencia de resonancia ....................................................... 109
Figura 118: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 12,3 kg en todo el rango de frecuencias ........................................ 109
Figura 119: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 12,3 kg hasta 750 Hz ..................................................................... 110
Figura 120: Fase de la relación de aceleraciones frente a la frecuencia para la carga
nominal de 12,3 kg desde 900 Hz hasta 2200 Hz............................................. 110
ix
Figura 121: Gráfica que presenta las frecuencias de los picos frente a la inversa de la
raíz cuadrada de la carga .................................................................................. 111
Figura 122: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo), sin carga y cargas
nominales de 0,35 kg y 1 kg............................................................................. 113
Figura 123: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo), sin carga y
cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg.................................................................. 113
Figura 124: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico), sin carga y
cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg.................................................................. 114
Figura 125: Gráfica que presenta la fase frente a la frecuencia para el sensor HBM 2UB
(sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg .................. 114
Figura 126: Gráfica que presenta la fase frente a la frecuencia para el sensor
INTERFACE 1610 (sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y
1 kg ................................................................................................................... 115
Figura 127: Gráfica que presenta la fase frente a la frecuencia para el sensor KISTLER
9175B (sensor piezoeléctrico). Para este caso el resultado es independiente de la
carga ................................................................................................................. 115
Figura 128: Gráfica que presenta la fase frente a la frecuencia para el sensor KISTLER
9175B (sensor piezoeléctrico). Este es el resultado obtenido cuando se corrige la
respuesta del acondicionador de señal.............................................................. 116
Figura 129: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
inversa de la frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo), sin carga y
cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg.................................................................. 116
Figura 130: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
x
inversa de la frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo), sin
carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg ..................................................... 117
Figura 131: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente al
cuadrado de la inversa de la frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor
piezoeléctrico), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1 kg...................... 117
Figura 132: Gráfica que presenta la fase frente a la inversa de la frecuencia para el
sensor HBM 2UB (sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de 0,35 kg y 1
kg ...................................................................................................................... 118
Figura 133: Gráfica que presenta la fase frente a la inversa de la frecuencia para el
sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo), sin carga y cargas nominales de
0,35 kg y 1 kg ................................................................................................... 118
Figura 134: Imán colocado lateralmente respecto al sensor......................................... 120
Figura 135: Imán colocado en la parte superior del sensor .......................................... 120
Figura 136: Imán conectado al excitador (moviéndose) y sensor colgado (estático)... 120
Figura 137: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la frecuencia
para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo) ..................................................... 121
Figura 138: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la inversa de
la frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo)................................ 121
Figura 139: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la frecuencia
para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo)........................................ 122
Figura 140: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la inversa de
la frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo) .................. 122
Figura 141: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la frecuencia
para el sensor HBM U9B (sensor resistivo) ..................................................... 123
Figura 142: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la inversa de
la frecuencia para el sensor HBM U9B (sensor resistivo)................................ 123
Figura 143: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente a la frecuencia
para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico).................................. 124
xi
Figura 144: Gráfica que presenta el módulo de la salida del sensor frente al cuadrado de
la inversa de la frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor
piezoeléctrico) .................................................................................................. 124
Figura 145: Gráfica que presenta la fase de la salida del sensor frente a la frecuencia
para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo) ..................................................... 125
Figura 146: Gráfica que presenta la fase de la salida del sensor frente a la frecuencia
para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo)........................................ 125
Figura 147: Gráfica que presenta la fase de la salida del sensor frente a la frecuencia
para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico).................................. 126
Figura 148: Esquema que representa las líneas del campo magnético, así como la
corriente inductora I y la inducida I’ ................................................................ 129
Figura 149: Montaje del cubo de separación para el sensor INTERFACE 1610......... 134
Figura 150: Montaje del cubo de separación para el sensor HBM 2UB ...................... 134
Figura 151: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo) sin carga y en dos casos,
cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre
el cubo .............................................................................................................. 135
Figura 152: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo) con una carga nominal de
0,35 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y
cuando se coloca sobre el cubo......................................................................... 135
Figura 153: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo) con una carga nominal de
1 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y
cuando se coloca sobre el cubo......................................................................... 136
Figura 154: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la
frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo) sin carga y en dos casos,
xii
cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se coloca sobre
el cubo .............................................................................................................. 136
Figura 155: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la
frecuencia para el sensor HBM 2UB (sensor resistivo) con una carga nominal de
0,35 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y
cuando se coloca sobre el cubo......................................................................... 137
Figura 156: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la
frecuencia para el sensor HBM 2U (sensor resistivo) con una carga nominal de 1
kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y
cuando se coloca sobre el cubo......................................................................... 137
Figura 157: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo) sin carga y en
dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se
coloca sobre el cubo ......................................................................................... 138
Figura 158: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo) con una carga
nominal de 0,35 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al
excitador y cuando se coloca sobre el cubo...................................................... 138
Figura 159: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo) con una carga
nominal de 1 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al
excitador y cuando se coloca sobre el cubo...................................................... 139
Figura 160: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la
frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo) sin carga y en
dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se
coloca sobre el cubo ......................................................................................... 139
Figura 161: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la
frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo) con una carga
xiii
nominal de 0,35 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al
excitador y cuando se coloca sobre el cubo...................................................... 140
Figura 162: Gráfica que presenta la fase de la sensibilidad a cada frecuencia frente a la
frecuencia para el sensor INTERFACE 1610 (sensor resistivo) con una carga
nominal de 1 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al
excitador y cuando se coloca sobre el cubo...................................................... 140
Figura 163: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico) sin carga y en
dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al excitador y cuando se
coloca sobre el cubo ......................................................................................... 141
Figura 164: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico) con una carga
nominal de 0,35 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al
excitador y cuando se coloca sobre el cubo...................................................... 141
Figura 165: Gráfica que presenta el cociente del módulo de la sensibilidad a cada
frecuencia dividido entre el módulo de la sensibilidad a 200 Hz frente a la
frecuencia para el sensor KISTLER 9175B (sensor piezoeléctrico) con una carga
nominal de 1 kg y en dos casos, cuando se conecta el sensor directamente al
excitador y cuando se coloca sobre el cubo...................................................... 142
Figura 166: Módulo de la sensibilidad normalizado respecto de la sensibilidad nominal
antes de la corrección para cargas de 0,35 kg, 1 kg y 2 kg, siendo la carga interna
del sensor 42 g .................................................................................................. 144
Figura 167: Módulo de la sensibilidad normalizado respecto de la sensibilidad nominal
después de la corrección para cargas de 0,35 kg, 1 kg y 2 kg, siendo la carga
interna del sensor 42 g ...................................................................................... 144
Figura 168: Módulo de la sensibilidad normalizado respecto de la sensibilidad nominal
antes de la corrección para cargas nominales de 0,35 g, 1 kg y 2 kg, siendo la
carga interna del sensor 315 g .......................................................................... 145
xiv
Figura 169: Módulo de la sensibilidad normalizado respecto de la sensibilidad nominal
después de la corrección para cargas nominales de 0,35 kg, 1 kg y 2 kg, siendo
la carga interna del sensor 315 g ...................................................................... 145
Figura 170: Esquemas de las distintas partes del acoplador......................................... 146
Figura 171: Esquema del conjunto masa más acoplador.............................................. 147
Figura 172: Haz láser focalizado sobre la masa ........................................................... 147
Figura 173: Haz láser focalizado sobre el acoplador.................................................... 147
Figura 174: Cociente de aceleraciones (aceleración medida en el acoplador / aceleración
medida en la masa) para las dos masas de las que se dispone, 6,1 kg y 11,2 kg
.......................................................................................................................... 148
Figura 175: Representación de la sensibilidad normalizada para el acoplador (masa =
1,1 kg) y la masa (masa = 6,1 kg) por separado y para el conjunto (masa = 7,2 kg)
.......................................................................................................................... 150
Figura 176: Representación de la sensibilidad normalizada para el acoplador (masa =
1,1 kg) y la masa (masa = 11,2 kg) por separado y para el conjunto (masa = 12,3
kg)..................................................................................................................... 150
Figura 177: Representación de la relación entre el tiempo que tarda la onda de
deformación en atravesar la masa (ida y vuelta) y el periodo del movimiento de
excitación.......................................................................................................... 155
Figura 178: Representación de la variación del módulo de la sensibilidad antes y
después de aplicar la corrección por rigidez de las masas en función de la
frecuencia de excitación para masas de distintas longitudes. En este caso la
longitud efectiva del sensor es nula.................................................................. 156
Figura 179: Representación de la variación del módulo de la sensibilidad antes y
después de aplicar la corrección por rigidez de las masas en función de la
frecuencia de excitación para masas de distintas longitudes. En este caso la
longitud efectiva del sensor es 155 mm ........................................................... 157
Figura 180: Fase de la sensibilidad del acondicionador de carga B&K 2525.............. 166
Figura 181: Módulo de la sensibilidad normalizado para una carga de 7,2 kg siendo la
circunferencia de medida del orden de 1 cm .................................................... 175
xv
Figura 182: Módulo de la sensibilidad normalizado para una carga de 1 kg siendo la
circunferencia de medida mínima. Se aprecia que este efecto es importante para
1100 Hz ............................................................................................................ 176
Figura 183: Imagen de detalle del sensor KISTLER 9175B........................................ 184
Figura 184: Imagen del sensor KISTLER 9175B con su cable.................................... 184
Figura 185: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg sin ninguna corrección
.......................................................................................................................... 185
Figura 186: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg con la corrección de la
masa interna del sensor..................................................................................... 185
Figura 187: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con las correcciones de la
masa interna del sensor y por acoplamiento de elementos de carga ................ 186
Figura 188: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con todas las correcciones
.......................................................................................................................... 186
Figura 189: Resultados del módulo de la sensibilidad con su incertidumbre expandida
asociada ............................................................................................................ 187
Figura 190: Fase de la sensibilidad para todas las cargas............................................. 187
Figura 191: Resultados de la fase de la sensibilidad con su incertidumbre expandida
asociada ............................................................................................................ 188
Figura 192: Fase corregida de la sensibilidad del sensor KISTLER 9175B con su
incertidumbre asociada ..................................................................................... 188
Figura 193: Imagen de detalle del sensor HBM 9B ..................................................... 189
Figura 194: Imagen del sensor HBM 9B con su cable ................................................. 189
Figura 195: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg sin ninguna corrección
.......................................................................................................................... 190
Figura 196: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg con la corrección de la
masa interna del sensor..................................................................................... 190
Figura 197: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con todas las correcciones
.......................................................................................................................... 191
xvi
Figura 198: Resultados del módulo de la sensibilidad con su incertidumbre expandida
asociada ............................................................................................................ 192
Figura 199: Fase de la sensibilidad para todas las cargas............................................. 192
Figura 200: Resultados de la fase de la sensibilidad con su incertidumbre expandida
asociada ............................................................................................................ 193
Figura 201: Imagen de detalle del sensor HBM U2B .................................................. 193
Figura 202: Imagen del sensor HBM U2B con su cable .............................................. 193
Figura 203: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg sin ninguna corrección
.......................................................................................................................... 194
Figura 204: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg con la corrección de la
masa interna del sensor..................................................................................... 195
Figura 205: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con las correcciones de la
masa interna del sensor y por acoplamiento de elementos de carga ................ 195
Figura 206: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con todas las correcciones
.......................................................................................................................... 196
Figura 207: Resultados del módulo de la sensibilidad con su incertidumbre expandida
asociada. ........................................................................................................... 196
Figura 208: Fase de la sensibilidad para todas las cargas............................................. 197
Figura 209: Resultados de la fase de la sensibilidad con su incertidumbre expandida
asociada ............................................................................................................ 197
Figura 210: Imagen de detalle del sensor INTERFACE 1610 ..................................... 198
Figura 211: Imagen del sensor INTERFACE 1610 con su cable................................. 198
Figura 212: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg sin ninguna corrección
.......................................................................................................................... 199
Figura 213: Módulo de la sensibilidad para 0,35 kg, 1 kg y 2 kg con la corrección de la
masa interna del sensor..................................................................................... 199
Figura 214: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con las correcciones de la
masa interna del sensor y por acoplamiento de elementos de carga ................ 200
xvii
Figura 215: Módulo de la sensibilidad para todas las cargas con todas las correcciones
.......................................................................................................................... 200
Figura 216: Resultados del módulo de la sensibilidad con su incertidumbre expandida
asociada ............................................................................................................ 201
Figura 217: Fase de la sensibilidad para todas las cargas............................................. 201
Figura 218: Resultados de la fase de la sensibilidad con su incertidumbre expandida
asociada ............................................................................................................ 202
Figura 219: Representación de la variación respecto de la referencia calculada(A), la
incertidumbre expandida del ajuste por mínimos cuadrados con covarianzas (B),
las incertidumbres expandidas (C) y el límite de incertidumbre de uso (D) para
el sensor KISTLER 9175B............................................................................... 207
Figura 220: Representación de la variación respecto de la referencia calculada(A), la
incertidumbre expandida del ajuste por mínimos cuadrados con covarianzas (B),
las incertidumbres expandidas (C) y el límite de incertidumbre de uso (D) para
el sensor HBM U9B ......................................................................................... 207
Figura 221: Representación de la variación respecto de la referencia calculada(A), la
incertidumbre expandida del ajuste por mínimos cuadrados con covarianzas (B),
las incertidumbres expandidas (C) y el límite de incertidumbre de uso (D) para
el sensor HBM U2B ......................................................................................... 208
Figura 222: Representación de la variación respecto de la referencia calculada(A), la
incertidumbre expandida del ajuste por mínimos cuadrados con covarianzas (B),
las incertidumbres expandidas (C) y el límite de incertidumbre de uso (D) para
el sensor INTERFACE 1610 ............................................................................ 208
Figura 223: Representación de la variación de la fase respecto de la recta de ajuste lineal
sin covarianzas (A), la incertidumbre asignada de acuerdo a la recta de ajuste
lineal sin covarianzas (B), las incertidumbres expandidas asociadas (C) y el
límite de incertidumbre de uso para el sensor KISTLER 9175B ..................... 212
Figura 224: Representación de la variación de la fase respecto de la recta de ajuste lineal
sin covarianzas (A), la incertidumbre asignada de acuerdo a la recta de ajuste
lineal sin covarianzas (B), las incertidumbres expandidas asociadas (C) y el
límite de incertidumbre de uso para el sensor HBM U9B................................ 212
xviii
Figura 225: Representación de la variación de la fase respecto de la recta de ajuste lineal
sin covarianzas (A), la incertidumbre asignada de acuerdo a la recta de ajuste
lineal sin covarianzas (B), las incertidumbres expandidas asociadas (C) y el
límite de incertidumbre de uso para el sensor HBM U2B................................ 213
Figura 226: Representación de la variación de la fase respecto de la recta de ajuste lineal
sin covarianzas (A), la incertidumbre asignada de acuerdo a la recta de ajuste
lineal sin covarianzas (B), las incertidumbres expandidas asociadas (C) y el
límite de incertidumbre de uso para el sensor INTERFACE 1610 .................. 213
Figura 227: Representación de la variación del módulo de la relación entre la potencia
del sistema y la potencia generada por el excitador para el sensor KISTLER
9175B con una masa de 12,3 kg ....................................................................... 215
Figura 228: Representación de la variación de la fase de la relación entre la potencia del
sistema y la potencia generada por el excitador para el sensor KISTLER 9175B
con una masa de 12,3 kg................................................................................... 215
Figura 229: Representación de los parámetros de una función de Lorentz.................. 216
Figura 230: Imágenes de la máquina patrón de fuerza de 1 kN del CEM.................... 220
Figura 231: Representación de la variación entre la sensibilidad estática y la sensibilidad
dinámica (A), la incertidumbre expandida en estático (B) y la incertidumbre de
uso expandida en dinámico (C) ........................................................................ 223
Figura 232: Representación del error normalizado de la variación de la sensibilidad
entre calibración estática y dinámica tomando sólo la incertidumbre expandida
en estático (A) y tomando la incertidumbre de uso expandida en dinámico (B)
.......................................................................................................................... 224
Figura 233: Representación de la variación entre la sensibilidad estática y la sensibilidad
dinámica (A), la incertidumbre expandida en estático (B) y la incertidumbre de
uso expandida en dinámico (C) ........................................................................ 226
Figura 234: Representación del error normalizado de la variación de la sensibilidad
entre calibración estática y dinámica tomando sólo la incertidumbre expandida
en estático (A) y tomando la incertidumbre de uso expandida en dinámico (B)
.......................................................................................................................... 227
