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San Giorgio di Mantova
5 maggio 2010
Lorenzo CaligarisInsegnante - Pedagogista
Processi di apprendimento del numero e del calcoloValutazione e strategie operative per l’intervento
Insegnanti ed educatori in forma-azione per la dislessia
lorenzo caligaris - aid milano
Curricolo scolastico e curricolo naturale
• Quali competenze possiede il bambino quando arriva alla scuola Primaria?
• Quando e come le ha acquisite e costruite?• Sono utili per supportare l’apprendimento
scolastico?• Come fa l’insegnante a riconoscerle?• In che modo la presenza di discalculia interferisce
con gli apprendimenti numerici e di calcolo?
lorenzo caligaris - aid milano
Disturbi Specifici dell’Apprendimento (DSA)Dislessia – Disortografia - Disgrafia – Discalculia
Abilità strumentaliAbilità strumentaliLettura – Scrittura – Calcolo
AutomatismiAutomatismi
Fluidità – Ortografia – Grafia – Fatti aritmeticiFluidità – Ortografia – Grafia – Fatti aritmetici
DSA, abilità strumentali, automatismi
lorenzo caligaris - aid milano
• il termine AbilitàAbilità– esprime la capacità di eseguire una sequenza di
azioni in modo rapido e corretto
• il termine AutomatizzazioneAutomatizzazione – esprime la stabilizzazione di un processo
automatico caratterizzato da un adeguato livello di velocità e accuratezza
– tale processo è realizzato in modo inconsapevole richiede un minimo impegno attentivorichiede un minimo impegno attentivo, è difficile da ignorare, sopprimere, influenzare
(G. Stella, 2001)
Abilità e automatizzazione
lorenzo caligaris - aid milano
Disturbo delle abilità numeriche e aritmeticheDisturbo delle abilità numeriche e aritmetiche che si manifesta in bambini di intelligenza normale,che non hanno subito danni neurologici. Essa può presentarsi associata a dislessia, ma è possibile che ne sia dissociata
(C. Temple; 1992)
• Età della diagnosi: Età della diagnosi: fine della classe terza della scuola Primariafine della classe terza della scuola Primaria
La discalculia evolutiva
lorenzo caligaris - aid milano
La caratteristica principale del Disturbo delCalcolo è una capacità di calcolo che si situasostanzialmente al di sotto di quanto previstoin base:
CRITERIO A– all’età cronologica del soggetto– alla valutazione psicometrica dell’intelligenzaalla valutazione psicometrica dell’intelligenza– a un’istruzione adeguata all’età
CRITERIO B– il Disturbo del Calcolo interferisce in modo significativo con il Disturbo del Calcolo interferisce in modo significativo con
l’apprendimento scolasticol’apprendimento scolastico(DSM-IV, 1996)
La discalculia evolutiva
lorenzo caligaris - aid milano
Debolezza nellastrutturazione cognitivadelle componenti dicognizione numerica:
• Subitizing• Meccanismi di
quantificazione, seriazione, comparazione
• Strategie di calcolo a mente
Compromissioni a livelloprocedurale e di calcolo:
• Lettura e scrittura dei numeri
• Incolonnamento • Algoritmi del calcolo scritto• Recupero dei fatti aritmetici
(Consensus Conference, 2007)
Profili di discalculia evolutiva
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• Sistema dei numeriSistema dei numeri
compiti sottesi alla capacità dicapire le quantità e le lorotrasformazioni:
• ComprensioneComprensione del numero del numero• LessicoLessico numerico numerico• SintassiSintassi del numero del numero
• Sistema del calcoloSistema del calcolo
compiti sottesi alla capacità dioperare sui numeri attraversooperazioni aritmetiche:
• AutomatismiAutomatismi di calcolo di calcolo• StrategieStrategie di calcolo di calcolo• ProcedureProcedure di calcolo di calcolo
Abilità numeriche e abilità di calcolo
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• Comprensione del numero (regole semantiche)(regole semantiche)
• Lettura dei numeri (regole lessicali)(regole lessicali)
• Scrittura dei numeri (regole sintattiche)(regole sintattiche)
Sistema dei numeri
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• Codificare semanticamente un numero equivale a rappresentare mentalmente la quantità che esso rappresenta e quindi a identificarne la posizione che esso assume all’interno della linea dei numeri.
• Si tratta di una rappresentazione concettuale che corrisponde al “significato” di un numero
Biancardi, Mariani, Pieretti (2003)
Comprensione del numero (semantica)
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• La numerosità è una proprietà degli insiemi che permette:– sia di discriminarli discriminarli (A è diverso da B perché la
sua numerosità è diversa)– sia di ordinarli ordinarli (A < B perché ha una
numerosità minore di B)
• I bambini non solo nascono con la capacità di riconoscere numerosità distinte fino a un massimo di circa 4, ma distinguono i cambiamenti di numerosità provocati dall’aggiunta/sottrazione di oggetti, ossia possiedono “aspettative aritmetiche”
B. Butterworth (1999)
Comprensione del numero (semantica)
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• L’automatismo del subitizing consiste in una funzione visiva che consente un rapido e preciso giudizio numerico eseguito su insiemi di piccole numerosità di elementi.
Subitizing
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• La stima è un processo numerico a base semantica che consiste nel determinare in modo approssimativo e senza contare valori incogniti (grandi numerosità).
Stima
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• Contare è fondamentale. Costituisce il primo collegamento tra la capacità innata del bambino di percepire le numerosità e le acquisizioni matematiche più avanzate della cultura nella quale è nato.
• Imparare la sequenza delle parole usate per contare è il primo modo con il quale i bambini connettono il loro concetto innato di numerosità con le prassi culturali della società in cui sono nati.
B. Butterworth (1999)
Conteggio
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Principi del conteggio• ASSOCIAZIONE UNO A UNOASSOCIAZIONE UNO A UNO– Associare parole-numero a oggetti– Separare gli oggetti contati da quelli da contare
• ORDINE STABILEORDINE STABILE – Utilizzare in modo stabile una sequenza di numerali
• CARDINALITÀ– Sapere che il numero di oggetti di un insieme corrisponde
all’ultimo numerale utilizzato per contare quell’insieme
Principi del conteggio
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• L’uso di strategie costruttive del calcolo a menteconsente di operare scomposizioni sui numeri perottenere operazioni intermedie più semplici.
• Il calcolo mentale è il superamento del conteggio.
(C. Bortolato, 2005)
Strategie
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• ComparazioneComparazione– Giudizio di numerosità
• SeriazioneSeriazione– Riordino di sequenze numeriche
• StimaStima– Approssimazione numerica
Didattica e … comprensione del numero
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Nella codifica verbale di un
numero ogni cifra assume un
“nome” diverso a seconda della
posizione che occupa.
Nei sistemi di comprensione
e/o produzione dei numeri,
i meccanismi lessicali hanno il i meccanismi lessicali hanno il
compito di selezionare compito di selezionare
adeguatamente i nomi delle adeguatamente i nomi delle
cifre per riconoscere quello del cifre per riconoscere quello del
numero interonumero intero
I meccanismi sintattici regolanoI meccanismi sintattici regolano
la relazione posizionale tra le la relazione posizionale tra le
cifre. cifre.
Costituiscono la grammatica
interna del numero che attiva il
corretto ordine di grandezza di
ogni cifra
Produzione scritta Produzione scritta
del numerodel numero
((meccanismi sintatticimeccanismi sintattici))
Produzione verbale Produzione verbale
del numerodel numero
((meccanismi lessicalimeccanismi lessicali))
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• Dettato di numeri
• Lettura di numeri
• Trasformazione in cifre– da parole-numero a numerali – codifica sintattica del numero
Operazioni di transcodifica numericaOperazioni di transcodifica numerica
Didattica e… produzione del numero
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• Regole semantiche– Rappresentazione astratta del numero
• Giudizio di numerosità
• Regole sintattiche– Grammatica del numero
• Valore posizionale delle cifre• Scrittura di numeri
• Regole lessicali– Riconoscimento del nome del numero
• Enumerazione• Lettura dei numeri
Didattica e … sistema dei numeri
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Sistema di calcolo• Automatismi di calcolo (fatti aritmetici)(fatti aritmetici)
• Calcolo mentale (strategie)(strategie)
• Calcolo scritto (procedure)(procedure)
Sistema di calcolo
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• CalcoloCalcolo
Il risultato
dell’operazione
richiesta
è ottenutoè ottenuto
attraverso l’utilizzoattraverso l’utilizzo
di procedure o strategiedi procedure o strategie
• RecuperoRecupero
Il risultato
dell’operazione
richiesta
è recuperato dallaè recuperato dalla
memoriamemoria
Calcolo scritto, calcolo a menteCalcolo scritto, calcolo a mente Recupero di fatti aritmeticiRecupero di fatti aritmetici
Automatismi, strategie, procedure
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La tabellina non è un calcolo. La tabellina è un automatismo
La verifica delle tabelline deve avvenire oralmenteLa verifica delle tabelline deve avvenire oralmente
La risposta del bambino deve essere rapida (circa 5 secondi)
Se impiega più tempo, la sua risposta è il risultato di una procedura o di una strategia di calcolo.
Ciò significa che il bambino non ha automatizzato la tabellina richiesta
Automatismi di calcolo
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• < 1 sec 4.69• 1-2 sec 31.25• 2-3 sec 35.94• 3-4 sec 12.50• 4-5 sec 9.37• 5-6 sec 4.69*• 6-7 sec 1.56**
* 3 fatti aritmetici ** 1 fatto aritmetico
(Fiorio, 2006)
Rapidità (secondi)
Percentuale
67.19%
93.75%
Fatti aritmetici moltiplicativi: tempi
Automatismi di calcolo
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Ai fatti aritmetici si accede senza eseguire gli algoritmi di soluzione:
• Tabelline• Calcoli semplici• Risultati memorizzati
Automatismi di calcolo
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L’uso di strategie costruttive del calcolo a menteconsente di operare scomposizioni sui numeri perottenere operazioni intermedie più semplici:
– proprietà delle operazioniproprietà delle operazionicommutativa: 12 + 38 = 50 (38 + 12 = 50)(38 + 12 = 50)
– strategia N10strategia N10 scomposizione del secondo operatore: 12 + 38 = 50 (12+30=42), (42+8=50)(12+30=42), (42+8=50)
Strategie
lorenzo caligaris - aid milano
Il calcolo scritto è un paragrafo del calcolo mentale, enon il contrario. Il calcolo scritto è un ripiego, una protesi costituita dacarta e inchiostro per situazioni in cui la mente è indifficoltà per i suoi limiti di rappresentazione.
Il calcolo mentale è il superamento del conteggioIl calcolo mentale è il superamento del conteggio
(C. Bortolato, 2005)
Strategie
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Il calcolo scritto è cieco. Procediamo colonna per colonna fino alla definizionedel risultato finale come se si trattasse sempre diunità. Il calcolo scritto è la rinuncia alla visione strategicadelle quantità.
Nel calcolo scritto applichiamo procedure, al contrarioNel calcolo scritto applichiamo procedure, al contrario
nel calcolo mentale ognuno è libero di inventarsi dellenel calcolo mentale ognuno è libero di inventarsi delle
strategie.strategie.(C. Bortolato, 2005)
Strategie
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ROUTINE PROCEDURALI elaborazione delle informazioni aritmetiche
incolonnamento
serialità SX DX
riporto
RECUPERO DI FATTI ARITMETICI5+5=10; 2+1=3; 3+6=9;
ALGORITMI DI CALCOLOmodello min (counting on)
modello sum
conteggio totale
1 2 5 + 6 5 =__________
0
1
91
Procedure
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• Conteggio totale (counting allcounting all)2 + 5 = 7
1, 2; 1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• Conteggio dal primo addendo (counting oncounting on from first)2 + 5 = 7
(2) 3, 4, 5, 6, 7
• Conteggio dal numero maggiore (counting oncounting on from larger)2 + 5 = 7
(5) 6, 7
(Groen, Parkman; 1972)
Modelli di calcolo
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• Intervento didattico– Scelte metodologiche (es.: didattica analogicadidattica analogica)
• Intervento di potenziamento– Percorsi operativi (es.: intelligenza numericaintelligenza numerica)
DIAGNOSIDIAGNOSI
• Intervento compensativo-dispensativo– Strumenti di lavoro (es.: tabella pitagoricatabella pitagorica)
Didattica del calcolo: livelli di intervento
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subitizingsubitizing stimastima conteggioconteggio
cogliere senza contare e in modo esatto
piccole numerosità
(3-4 elementi)
cogliere senza contare e in
modo approssimativo
grandinumerosità (più di 4 elementi)
cogliere in modo esatto
piccole e grandi numerosità
numerosità spazialmente numerosità spazialmente ordinateordinate
cogliere senza contare e in modo esatto piccole e grandi
numerosità
●●
● ●● ●●●
● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ●●● ●
● ●●● ●
● ●●●
●
● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
una quindicina 16
strategiastrategia
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La preoccupazione per il valore posizionale delle cifre cede ilposto alla considerazione del valore posizionale che ciascunapallina occupa nello spazio della memoria
• • • • • • • • • •
• • • • • • • • • •
• • •
ventitré 23
Codice semantico
Codice lessicale
Codice sintattico
(C. Bortolato, 2002)
Quale didattica?
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Se per la matematica è indifferente come seimele siano disposte sul tavolo per continuare aessere sei, per la nostra mente è diverso.
Abbiamo bisogno di disporre i nostri oggetti mentalicon un ordine prestabilito e stabile se vogliamoconservarli nella mente.
O O O O O O O O O O
(C. Bortolato, 2005)
Quale didattica?
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Un piccolo scarto di simmetria.Un piccolo scarto di simmetria.
In questo piccolo scarto di regolarità tra il cinque e ilsei sta tutta la differenza tra una didattica capace disviluppare il calcolo mentale e una didattica semprecondannata alla fase della conta.
O O O O O O O O O O
(C. Bortolato, 2005)
Quale didattica?
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n x 1n x 10
Tabellina del 2
Tabellina del 5
Tavola pitagorica personalizzata
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X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4
6
6
8
8
10
10
12
12
14
14
16
16
18
18
20
20
15
20
25
30
35
40
45
50
30
40
50
60
70
80
90
100
15 20 30 35 40 45
30 40 60 70 80 90
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Con l’utilizzo di due regole
e l’apprendimento di due tabelline si controlla il 64% dei nodi
della tavola pitagorica
Con la memorizzazionedi
15 “incroci” si controllano
28 nodi
Tavola pitagorica personalizzata
lorenzo caligaris - aid milano
• Il programma carta e matita “L’intelligenza numerica” è rivolto a bambini dai 3 agli 11 anni di età. Può essere utilizzato anche per ragazzi della scuola media che presentano difficoltà nelle abilità di calcolo.
• Comprende esercizi relativi al sistema dei numeri e al sistema del calcolo.
(Lucangeli, Molin, Poli, De Candia; 2003)
L’intelligenza numerica
lorenzo caligaris - aid milano
(Lucangeli, Poli, Molin, De Candia; 2003)
lorenzo caligaris - aid milano(Lucangeli, Poli, Molin, De Candia; 2003)
lorenzo caligaris - aid milano
• Il calcolo scritto è l’area del programma meno nutrita in quanto si ritiene che, nei primi anni di si ritiene che, nei primi anni di scuola, sia opportuno assecondare e sviluppare scuola, sia opportuno assecondare e sviluppare soprattutto il calcolo mentale che ha il vantaggio di soprattutto il calcolo mentale che ha il vantaggio di rendere flessibilirendere flessibili e di aiutare nella costruzione dei fatti aritmetici, nel loro rapido recupero.
• Il calcolo mentale realizza i risultati parziali implicati nel calcolo scritto.
(Lucangeli, Poli, Molin, De Candia; 2003)
L’intelligenza numerica
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• Nel Progetto “L’Intelligenza Numerica”, le aree di lavoro su calcolo a mente (strategie) e calcolo scritto (procedure) sono così distribuite:
• Secondo volume (6-8 anni):– Calcolo a mente: 83% - Calcolo scritto: 17%
• Terzo volume (8-11 anni):– Calcolo a mente:49% - Calcolo scritto: 51%
• CALCOLO A MENTE: 63% - CALCOLO SCRITTO: 37%
L’intelligenza numerica
(Lucangeli, Poli, Molin, De Candia; 2003)
lorenzo caligaris - aid milano
• Potenziare le abilità numeriche e di calcoloPotenziare le abilità numeriche e di calcolo(Biancardi, Pulga, Savelli) – Erickson (2008)(Biancardi, Pulga, Savelli) – Erickson (2008)
• Calcolare a menteCalcolare a mente(Bortolato) – Erickson (2004)(Bortolato) – Erickson (2004)
Potenziamento delle abilità di calcolo