Upload
vuongkhuong
View
230
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całka nieoznaczona i oznaczona
Maciej Grzesiak
Maciej Grzesiak Całka nieoznaczona i oznaczona
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Treść wykładu
Całka nieoznaczona
Całka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyce
Całka niewłaściwa
Maciej Grzesiak Całka nieoznaczona i oznaczona
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja całki nieoznaczonej
Definicja
Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli
F ′(x) = f (x)
dla każdego x ∈ I .
Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są− cos x ,− cos x + 1,− cos x − 100.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja całki nieoznaczonej
Definicja
Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli
F ′(x) = f (x)
dla każdego x ∈ I .
Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są
− cos x ,− cos x + 1,− cos x − 100.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja całki nieoznaczonej
Definicja
Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli
F ′(x) = f (x)
dla każdego x ∈ I .
Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są− cos x ,
− cos x + 1,− cos x − 100.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja całki nieoznaczonej
Definicja
Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli
F ′(x) = f (x)
dla każdego x ∈ I .
Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są− cos x ,− cos x + 1,
− cos x − 100.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja całki nieoznaczonej
Definicja
Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I , jeżeli
F ′(x) = f (x)
dla każdego x ∈ I .
Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f (x) = sin x na R są− cos x ,− cos x + 1,− cos x − 100.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy
1 funkcja G (x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f naprzedziale I dla dowolnej stałej C ∈ R.
2 każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić wpostaci F (x) + D, gdzie D ∈ R.
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotnąna tym przedziale.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy1 funkcja G (x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f naprzedziale I dla dowolnej stałej C ∈ R.
2 każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić wpostaci F (x) + D, gdzie D ∈ R.
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotnąna tym przedziale.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy1 funkcja G (x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f naprzedziale I dla dowolnej stałej C ∈ R.
2 każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić wpostaci F (x) + D, gdzie D ∈ R.
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotnąna tym przedziale.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (podstawowe o funkcjach pierwotnych)
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Wtedy1 funkcja G (x) = F (x) + C jest funkcją pierwotną funkcji f naprzedziale I dla dowolnej stałej C ∈ R.
2 każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić wpostaci F (x) + D, gdzie D ∈ R.
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia funkcji pierwotnej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale, to ma funkcję pierwotnąna tym przedziale.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji
{F (x) + C : C ∈ R}.
Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .
Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫
f (x) dx]′
= f (x),
∫f ′(x) dx = f (x) + C .
Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji
{F (x) + C : C ∈ R}.
Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .
Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫
f (x) dx]′
= f (x),
∫f ′(x) dx = f (x) + C .
Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji
{F (x) + C : C ∈ R}.
Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .
Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.
W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫
f (x) dx]′
= f (x),
∫f ′(x) dx = f (x) + C .
Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji
{F (x) + C : C ∈ R}.
Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .
Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.
[∫f (x) dx
]′= f (x),
∫f ′(x) dx = f (x) + C .
Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji
{F (x) + C : C ∈ R}.
Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .
Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫
f (x) dx]′
= f (x),
∫f ′(x) dx = f (x) + C .
Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja
Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I . Całkąnieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji
{F (x) + C : C ∈ R}.
Całkę nieoznaczoną funkcji f oznaczamy przez∫f (x) dx .
Jeżeli istnieje całka funkcji f (x), to funkcję nazywamy całkowalną.W praktyce nie piszemy nawiasów klamrowych zapisując całkę jakopojedynczą funkcję pierwotną. Również działania na całkach będądziałaniami na funkcjach reprezentujących te całki, np.[∫
f (x) dx]′
= f (x),
∫f ′(x) dx = f (x) + C .
Ze wzorów na pochodne wynikają następujące wzory dla całek.Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wzory podstawowe
∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1
∫1x
dx = ln |x |+ C∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + C
∫dx
cos2 x= tg x + C
∫dx
sin2 x= − ctg x + C
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wzory podstawowe
∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1
∫1x
dx = ln |x |+ C
∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + C
∫dx
cos2 x= tg x + C
∫dx
sin2 x= − ctg x + C
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wzory podstawowe
∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1
∫1x
dx = ln |x |+ C∫sin x dx = − cos x + C
∫cos x dx = sin x + C
∫dx
cos2 x= tg x + C
∫dx
sin2 x= − ctg x + C
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wzory podstawowe
∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1
∫1x
dx = ln |x |+ C∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + C
∫dx
cos2 x= tg x + C
∫dx
sin2 x= − ctg x + C
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wzory podstawowe
∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1
∫1x
dx = ln |x |+ C∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + C
∫dx
cos2 x= tg x + C
∫dx
sin2 x= − ctg x + C
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wzory podstawowe
∫xn dx =
xn+1
n + 1+ C , n ∈ R, n 6= −1
∫1x
dx = ln |x |+ C∫sin x dx = − cos x + C∫cos x dx = sin x + C
∫dx
cos2 x= tg x + C
∫dx
sin2 x= − ctg x + C
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
∫ax dx =
ax
ln a+ C
∫ex dx = ex + C
∫dx
1 + x2 = arc tg x + C
∫dx√
1− x2= arc sin x + C
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
∫ax dx =
ax
ln a+ C
∫ex dx = ex + C
∫dx
1 + x2 = arc tg x + C
∫dx√
1− x2= arc sin x + C
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
∫ax dx =
ax
ln a+ C
∫ex dx = ex + C
∫dx
1 + x2 = arc tg x + C
∫dx√
1− x2= arc sin x + C
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
∫ax dx =
ax
ln a+ C
∫ex dx = ex + C
∫dx
1 + x2 = arc tg x + C
∫dx√
1− x2= arc sin x + C
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
∫sinh x dx = cosh x + C
∫cosh x dx = sinh x + C
∫dx
cosh2 x= tgh x + C
∫dx
sinh2 x= − ctgh x + C
Ponadto mamy wzór∫f ′(x)f (x)
dx = ln |f (x)|+ C .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
∫sinh x dx = cosh x + C
∫cosh x dx = sinh x + C
∫dx
cosh2 x= tgh x + C
∫dx
sinh2 x= − ctgh x + C
Ponadto mamy wzór∫f ′(x)f (x)
dx = ln |f (x)|+ C .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
∫sinh x dx = cosh x + C
∫cosh x dx = sinh x + C
∫dx
cosh2 x= tgh x + C
∫dx
sinh2 x= − ctgh x + C
Ponadto mamy wzór∫f ′(x)f (x)
dx = ln |f (x)|+ C .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
∫sinh x dx = cosh x + C
∫cosh x dx = sinh x + C
∫dx
cosh2 x= tgh x + C
∫dx
sinh2 x= − ctgh x + C
Ponadto mamy wzór∫f ′(x)f (x)
dx = ln |f (x)|+ C .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
∫sinh x dx = cosh x + C
∫cosh x dx = sinh x + C
∫dx
cosh2 x= tgh x + C
∫dx
sinh2 x= − ctgh x + C
Ponadto mamy wzór∫f ′(x)f (x)
dx = ln |f (x)|+ C .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to1∫
(f (x) + g(x)) dx =∫f (x) dx +
∫g(x) dx ,
2∫
(f (x)− g(x)) dx =∫f (x) dx −
∫g(x) dx ,
3∫
(cf (x)) dx = c∫f (x) dx ,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to1∫
(f (x) + g(x)) dx =∫f (x) dx +
∫g(x) dx ,
2∫
(f (x)− g(x)) dx =∫f (x) dx −
∫g(x) dx ,
3∫
(cf (x)) dx = c∫f (x) dx ,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to1∫
(f (x) + g(x)) dx =∫f (x) dx +
∫g(x) dx ,
2∫
(f (x)− g(x)) dx =∫f (x) dx −
∫g(x) dx ,
3∫
(cf (x)) dx = c∫f (x) dx ,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wszystkie poprzednie wzory można sprawdzić obliczając pochodnąprawej strony równości.
Twierdzenie
Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to1∫
(f (x) + g(x)) dx =∫f (x) dx +
∫g(x) dx ,
2∫
(f (x)− g(x)) dx =∫f (x) dx −
∫g(x) dx ,
3∫
(cf (x)) dx = c∫f (x) dx ,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykłady
1.∫ dxx2 3√x2
2.∫ (x−
√x)(1+
√x)
3√x dx
3.∫
tg2 x dx
4.∫ dx
sin2 x cos2 x
5.∫ x2(x3+1)√x(x2−x+1)
dx
6.∫ x4
x2+1 dx
7.∫ 2x−3x2−3x+6 dx
8.∫
tg x dx
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcjat = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dlax ∈ (α, β), to
∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
∫f (t) dt.
D o w ó d. Niech F (t) będzie funkcją pierwotną funkcji f (t), tzn.F ′(t) = f (t). Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy(
F (ϕ(x)))′
= f (ϕ(x))ϕ′(x) dx .
Zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcjat = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dlax ∈ (α, β), to ∫
f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
∫f (t) dt.
D o w ó d. Niech F (t) będzie funkcją pierwotną funkcji f (t), tzn.F ′(t) = f (t). Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy(
F (ϕ(x)))′
= f (ϕ(x))ϕ′(x) dx .
Zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcjat = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dlax ∈ (α, β), to ∫
f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
∫f (t) dt.
D o w ó d. Niech F (t) będzie funkcją pierwotną funkcji f (t), tzn.F ′(t) = f (t). Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy(
F (ϕ(x)))′
= f (ϕ(x))ϕ′(x) dx .
Zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli funkcja f (t) jest całkowalna w przedziale (a, b) i funkcjat = ϕ(x) ma ciągłą pochodną w (α, β) oraz a < ϕ(x) < b dlax ∈ (α, β), to ∫
f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
∫f (t) dt.
D o w ó d. Niech F (t) będzie funkcją pierwotną funkcji f (t), tzn.F ′(t) = f (t). Z twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej mamy(
F (ϕ(x)))′
= f (ϕ(x))ϕ′(x) dx .
Zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (ϕ(x)) + C .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Podstawiając po prawej stronie ϕ(x) = t otrzymujemy∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (t) + C ,
a zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
∫f (t) dt.
Przykłady.
1.∫
(3x − 5)25 dx
2.∫ 1
3x−5 dx
3.∫ ex
1+e2x dx
4.∫ e1/x
x2 dx
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Podstawiając po prawej stronie ϕ(x) = t otrzymujemy∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx = F (t) + C ,
a zatem ∫f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
∫f (t) dt.
Przykłady.
1.∫
(3x − 5)25 dx
2.∫ 1
3x−5 dx
3.∫ ex
1+e2x dx
4.∫ e1/x
x2 dx
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wniosek
Jeżeli funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x), to∫f (ax + b) dx =
1aF (ax + b) + C
Przykłady
1.∫
cos(3x + 1) dx
2.∫e2x dx
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wniosek
Jeżeli funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x), to∫f (ax + b) dx =
1aF (ax + b) + C
Przykłady
1.∫
cos(3x + 1) dx
2.∫e2x dx
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to
∫u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−
∫v(x)u′(x) dx .
Przypomnijmy, że v ′(x) dx = dv , u′(x) dx = du (różniczki).Zatem krócej ∫
u dv = uv −∫v du.
D o w ó d. Ze wzoru na pochodną iloczynu
(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + v(x)u′(x)
wynika, że∫(u(x)v(x))′ dx =
∫u′(x)v(x) dx +
∫v(x)u′(x) dx ,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫
u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx .
Przypomnijmy, że v ′(x) dx = dv , u′(x) dx = du (różniczki).Zatem krócej ∫
u dv = uv −∫v du.
D o w ó d. Ze wzoru na pochodną iloczynu
(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + v(x)u′(x)
wynika, że∫(u(x)v(x))′ dx =
∫u′(x)v(x) dx +
∫v(x)u′(x) dx ,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫
u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx .
Przypomnijmy, że v ′(x) dx = dv , u′(x) dx = du (różniczki).
Zatem krócej ∫u dv = uv −
∫v du.
D o w ó d. Ze wzoru na pochodną iloczynu
(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + v(x)u′(x)
wynika, że∫(u(x)v(x))′ dx =
∫u′(x)v(x) dx +
∫v(x)u′(x) dx ,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫
u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx .
Przypomnijmy, że v ′(x) dx = dv , u′(x) dx = du (różniczki).Zatem krócej ∫
u dv = uv −∫v du.
D o w ó d. Ze wzoru na pochodną iloczynu
(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + v(x)u′(x)
wynika, że∫(u(x)v(x))′ dx =
∫u′(x)v(x) dx +
∫v(x)u′(x) dx ,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłepochodne, to∫
u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)−∫v(x)u′(x) dx .
Przypomnijmy, że v ′(x) dx = dv , u′(x) dx = du (różniczki).Zatem krócej ∫
u dv = uv −∫v du.
D o w ó d. Ze wzoru na pochodną iloczynu
(u(x)v(x))′ = u′(x)v(x) + v(x)u′(x)
wynika, że∫(u(x)v(x))′ dx =
∫u′(x)v(x) dx +
∫v(x)u′(x) dx ,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
czyli
u(x)v(x) =
∫u′(x)v(x) dx +
∫v(x)u′(x) dx ,
a więc ∫u′(x)v(x) dx = u(x)v(x)−
∫v(x)u′(x) dx .
Przykłady.
1.∫
ln x dx
2.∫x sin 2x dx
3.∫x arc tg x dx
4.∫ex cos x dx
5.∫x3e−x
2dx
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wzory rekurencyjne
∫sinn x dx = −1
ncos x sinn−1 x +
n − 1n
∫sinn−2 x dx , n 2,
∫cosn x dx =
1n
sin x cosn−1 x +n − 1n
∫cosn−2 x dx , n 2,
∫xnax dx =
xnax
ln a− n
ln a
∫xn−1ax dx , n 1,
∫dx
(1 + x2)n=
x2(n − 1)(1 + x2)n−1 +
2n − 32n − 2
∫dx
(1 + x2)n−1 , n 2,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wzory rekurencyjne
∫sinn x dx = −1
ncos x sinn−1 x +
n − 1n
∫sinn−2 x dx , n 2,
∫cosn x dx =
1n
sin x cosn−1 x +n − 1n
∫cosn−2 x dx , n 2,
∫xnax dx =
xnax
ln a− n
ln a
∫xn−1ax dx , n 1,
∫dx
(1 + x2)n=
x2(n − 1)(1 + x2)n−1 +
2n − 32n − 2
∫dx
(1 + x2)n−1 , n 2,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wzory rekurencyjne
∫sinn x dx = −1
ncos x sinn−1 x +
n − 1n
∫sinn−2 x dx , n 2,
∫cosn x dx =
1n
sin x cosn−1 x +n − 1n
∫cosn−2 x dx , n 2,
∫xnax dx =
xnax
ln a− n
ln a
∫xn−1ax dx , n 1,
∫dx
(1 + x2)n=
x2(n − 1)(1 + x2)n−1 +
2n − 32n − 2
∫dx
(1 + x2)n−1 , n 2,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Wzory rekurencyjne
∫sinn x dx = −1
ncos x sinn−1 x +
n − 1n
∫sinn−2 x dx , n 2,
∫cosn x dx =
1n
sin x cosn−1 x +n − 1n
∫cosn−2 x dx , n 2,
∫xnax dx =
xnax
ln a− n
ln a
∫xn−1ax dx , n 1,
∫dx
(1 + x2)n=
x2(n − 1)(1 + x2)n−1 +
2n − 32n − 2
∫dx
(1 + x2)n−1 , n 2,
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji wymiernych
Definicja
Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcjępostaci P(x)
Q(x) , gdzie P(x), Q(x) są wielomianami. JeżelidegP < degQ, to funkcję wymierną nazywamy właściwą (lubułamkiem właściwym).
Jeżeli degP degQ, to można wykonać dzielenie. Otrzymamyiloraz S(x) i resztę R(x), tj.:
P(x)Q(x)
= S(x) +R(x)Q(x)
.
Zatem funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postacisumy wielomianu i ułamka właściwego.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji wymiernych
Definicja
Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcjępostaci P(x)
Q(x) , gdzie P(x), Q(x) są wielomianami. JeżelidegP < degQ, to funkcję wymierną nazywamy właściwą (lubułamkiem właściwym).
Jeżeli degP degQ, to można wykonać dzielenie. Otrzymamyiloraz S(x) i resztę R(x), tj.:
P(x)Q(x)
= S(x) +R(x)Q(x)
.
Zatem funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postacisumy wielomianu i ułamka właściwego.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji wymiernych
Definicja
Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów, tj. funkcjępostaci P(x)
Q(x) , gdzie P(x), Q(x) są wielomianami. JeżelidegP < degQ, to funkcję wymierną nazywamy właściwą (lubułamkiem właściwym).
Jeżeli degP degQ, to można wykonać dzielenie. Otrzymamyiloraz S(x) i resztę R(x), tj.:
P(x)Q(x)
= S(x) +R(x)Q(x)
.
Zatem funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postacisumy wielomianu i ułamka właściwego.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykład Przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamkawłaściwego funkcję x
3+5x2−7x2+1 .
Definicja
Funkcję wymierną postaci
A(x + a)n
, n ∈ N, a,A ∈ R
nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, a funkcję
Bx + C(x2 + px + q)n
, n ∈ N, p, q,B,C ∈ R, ∆ = p2 − 4q < 0
nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykład Przedstawić w postaci sumy wielomianu i ułamkawłaściwego funkcję x
3+5x2−7x2+1 .
Definicja
Funkcję wymierną postaci
A(x + a)n
, n ∈ N, a,A ∈ R
nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju, a funkcję
Bx + C(x2 + px + q)n
, n ∈ N, p, q,B,C ∈ R, ∆ = p2 − 4q < 0
nazywamy ułamkiem prostym drugiego rodzaju.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych.Jeżeli mianownik funkcji jest postaci
Q(x) = a(x − x1)k1(x − x2)k2 . . . (x − xr )kr ··(x2 + p1x + q1)l1(x2 + p2x + q2)l2 . . . (x2 + psx + qs)ls ,
to czynnikowi (x − xi )ki odpowiada suma ki ułamków prostychpostaci
A1
x − xi+
A2
(x − xi )2 + · · · Aki(x − xi )ki
,
a czynnikowi (x2 + pjx + qj)lj odpowiada suma lj ułamkówprostych postaci
B1x + C1
x2 + pjx + qj+
B2x + C2
(x2 + pjx + qj)2 + · · ·+Blj x + Clj
(x2 + pjx + qj)lj.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych.Jeżeli mianownik funkcji jest postaci
Q(x) = a(x − x1)k1(x − x2)k2 . . . (x − xr )kr ··(x2 + p1x + q1)l1(x2 + p2x + q2)l2 . . . (x2 + psx + qs)ls ,
to czynnikowi (x − xi )ki odpowiada suma ki ułamków prostychpostaci
A1
x − xi+
A2
(x − xi )2 + · · · Aki(x − xi )ki
,
a czynnikowi (x2 + pjx + qj)lj odpowiada suma lj ułamkówprostych postaci
B1x + C1
x2 + pjx + qj+
B2x + C2
(x2 + pjx + qj)2 + · · ·+Blj x + Clj
(x2 + pjx + qj)lj.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
Każda funkcja wymierna właściwa jest sumą ułamków prostych.Jeżeli mianownik funkcji jest postaci
Q(x) = a(x − x1)k1(x − x2)k2 . . . (x − xr )kr ··(x2 + p1x + q1)l1(x2 + p2x + q2)l2 . . . (x2 + psx + qs)ls ,
to czynnikowi (x − xi )ki odpowiada suma ki ułamków prostychpostaci
A1
x − xi+
A2
(x − xi )2 + · · · Aki(x − xi )ki
,
a czynnikowi (x2 + pjx + qj)lj odpowiada suma lj ułamkówprostych postaci
B1x + C1
x2 + pjx + qj+
B2x + C2
(x2 + pjx + qj)2 + · · ·+Blj x + Clj
(x2 + pjx + qj)lj.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Etapy rozkładu na ułamki proste
1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki). Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.
2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.
3 Przyrównaj liczniki po obu stronach.4 Eliminuj A,B,C , . . . wybierając wartości dla x , lub
Uporządkuj liczniki według potęg x i przyrównaj współczynnikipo obu stronach.
5 Wylicz wartości A,B,C , . . ..
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Etapy rozkładu na ułamki proste
1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki). Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.
2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.3 Przyrównaj liczniki po obu stronach.
4 Eliminuj A,B,C , . . . wybierając wartości dla x , lubUporządkuj liczniki według potęg x i przyrównaj współczynnikipo obu stronach.
5 Wylicz wartości A,B,C , . . ..
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Etapy rozkładu na ułamki proste
1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki). Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.
2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.3 Przyrównaj liczniki po obu stronach.4 Eliminuj A,B,C , . . . wybierając wartości dla x , lub
Uporządkuj liczniki według potęg x i przyrównaj współczynnikipo obu stronach.
5 Wylicz wartości A,B,C , . . ..
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Etapy rozkładu na ułamki proste
1 Napisz przewidywany rozkład na ułamki (kierując sięrozkładem mianownika na czynniki). Pamiętaj, że liczbastałych dowolnych musi być równa stopniowi mianownika.
2 Sprowadź te ułamki do wspólnego mianownika.3 Przyrównaj liczniki po obu stronach.4 Eliminuj A,B,C , . . . wybierając wartości dla x , lub
Uporządkuj liczniki według potęg x i przyrównaj współczynnikipo obu stronach.
5 Wylicz wartości A,B,C , . . ..
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Jak napisać przewidywany rozkład na ułamki?
Czynniki jednokrotne:
1x2 − 9
=1
(x − 3)(x + 3)=Ax − 3
+Bx + 3
Czynniki wielokrotne:
3x2 + x − 1x(x − 2)3 =
Ax
+Bx − 2
+C
(x − 2)2 +D
(x − 2)3
Nierozkładalna funkcja kwadratowa:
3x + 4(x − 2)(x2 + 3)
=Ax − 2
+Bx + Cx2 + 3
Wielokrotność nierozkładalnej funkcji kwadratowej:
x3 + x + 4(x + 5)(x2 + 5)2 =
Ax − 2
+Bx + Cx2 + 5
+Dx + E
(x2 + 5)2
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Jak napisać przewidywany rozkład na ułamki?
Czynniki jednokrotne:
1x2 − 9
=1
(x − 3)(x + 3)=Ax − 3
+Bx + 3
Czynniki wielokrotne:
3x2 + x − 1x(x − 2)3 =
Ax
+Bx − 2
+C
(x − 2)2 +D
(x − 2)3
Nierozkładalna funkcja kwadratowa:
3x + 4(x − 2)(x2 + 3)
=Ax − 2
+Bx + Cx2 + 3
Wielokrotność nierozkładalnej funkcji kwadratowej:
x3 + x + 4(x + 5)(x2 + 5)2 =
Ax − 2
+Bx + Cx2 + 5
+Dx + E
(x2 + 5)2
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Jak napisać przewidywany rozkład na ułamki?
Czynniki jednokrotne:
1x2 − 9
=1
(x − 3)(x + 3)=Ax − 3
+Bx + 3
Czynniki wielokrotne:
3x2 + x − 1x(x − 2)3 =
Ax
+Bx − 2
+C
(x − 2)2 +D
(x − 2)3
Nierozkładalna funkcja kwadratowa:
3x + 4(x − 2)(x2 + 3)
=Ax − 2
+Bx + Cx2 + 3
Wielokrotność nierozkładalnej funkcji kwadratowej:
x3 + x + 4(x + 5)(x2 + 5)2 =
Ax − 2
+Bx + Cx2 + 5
+Dx + E
(x2 + 5)2
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Jak napisać przewidywany rozkład na ułamki?
Czynniki jednokrotne:
1x2 − 9
=1
(x − 3)(x + 3)=Ax − 3
+Bx + 3
Czynniki wielokrotne:
3x2 + x − 1x(x − 2)3 =
Ax
+Bx − 2
+C
(x − 2)2 +D
(x − 2)3
Nierozkładalna funkcja kwadratowa:
3x + 4(x − 2)(x2 + 3)
=Ax − 2
+Bx + Cx2 + 3
Wielokrotność nierozkładalnej funkcji kwadratowej:
x3 + x + 4(x + 5)(x2 + 5)2 =
Ax − 2
+Bx + Cx2 + 5
+Dx + E
(x2 + 5)2
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykłady Rozłożyć na ułamki proste
5x2 − 4x3 + 2x2 − x − 2
=16
1x − 1
− 12
1x + 1
+163
1x + 2
,
xx3 + 1
= −13
1x + 1
+13x + 1
3
x2 − x + 1,
x2
(x − 2)3(x + 1)=
127
1x − 2
− 89
1(x − 2)2 +
43
1(x − 2)3 −
127
1x − 1
.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Z powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowaniefunkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamkówprostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma problemu:
∫Ax + a
= A ln |x + a|+ C ;
∫A
(x + a)n=
A(1− n)(x + a)1−n + C ;
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Z powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowaniefunkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamkówprostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma problemu:∫
Ax + a
= A ln |x + a|+ C ;
∫A
(x + a)n=
A(1− n)(x + a)1−n + C ;
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Z powyższych własności algebraicznych wynika, że całkowaniefunkcji wymiernych można sprowadzić do całkowania ułamkówprostych. Z ułamkami pierwszego rodzaju nie ma problemu:∫
Ax + a
= A ln |x + a|+ C ;
∫A
(x + a)n=
A(1− n)(x + a)1−n + C ;
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Ułamki drugiego rodzaju
Dla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B
2 (2x + p) + (C − Bp2 );
2 rozłożyć na sumę ułamków:
Bx + Cx2 + px + q
=B2 (2x + p)x2 + px + q
+C − Bp2x2 + px + q
;
3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′(x)f (x) dx = ln |f (x)|+ C ;
4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p
2 )2 − ∆4 a następnie skorzystać ze wzoru∫
dx(x + p
2 )2 + a2=
1a
arc tgx + p
2
a+ C , gdzie a =
√−∆
4
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Ułamki drugiego rodzaju
Dla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B
2 (2x + p) + (C − Bp2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:
Bx + Cx2 + px + q
=B2 (2x + p)x2 + px + q
+C − Bp2x2 + px + q
;
3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′(x)f (x) dx = ln |f (x)|+ C ;
4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p
2 )2 − ∆4 a następnie skorzystać ze wzoru∫
dx(x + p
2 )2 + a2=
1a
arc tgx + p
2
a+ C , gdzie a =
√−∆
4
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Ułamki drugiego rodzaju
Dla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B
2 (2x + p) + (C − Bp2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:
Bx + Cx2 + px + q
=B2 (2x + p)x2 + px + q
+C − Bp2x2 + px + q
;
3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′(x)f (x) dx = ln |f (x)|+ C ;
4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p
2 )2 − ∆4 a następnie skorzystać ze wzoru∫
dx(x + p
2 )2 + a2=
1a
arc tgx + p
2
a+ C , gdzie a =
√−∆
4
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Ułamki drugiego rodzaju
Dla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B
2 (2x + p) + (C − Bp2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:
Bx + Cx2 + px + q
=B2 (2x + p)x2 + px + q
+C − Bp2x2 + px + q
;
3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′(x)f (x) dx = ln |f (x)|+ C ;
4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p
2 )2 − ∆4
a następnie skorzystać ze wzoru∫dx
(x + p2 )2 + a2
=1a
arc tgx + p
2
a+ C , gdzie a =
√−∆
4
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Ułamki drugiego rodzaju
Dla n = 1 należy:1 wydzielić w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B
2 (2x + p) + (C − Bp2 );2 rozłożyć na sumę ułamków:
Bx + Cx2 + px + q
=B2 (2x + p)x2 + px + q
+C − Bp2x2 + px + q
;
3 do pierwszego ułamka zastosować wzór∫ f ′(x)f (x) dx = ln |f (x)|+ C ;
4 w drugim ułamku przedstawić licznik w postaci kanonicznej:(x + p
2 )2 − ∆4 a następnie skorzystać ze wzoru∫
dx(x + p
2 )2 + a2=
1a
arc tgx + p
2
a+ C , gdzie a =
√−∆
4
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Ułamki drugiego rodzaju
Przykład∫3x − 1x2 − 2x + 5
dx =
=
∫ 32 (2x − 2) + 2x2 − 2x + 5
dx =
=32
∫2x − 2x2 − 2x + 5
dx +
∫2
x2 − 2x + 5dx =
=32
ln(x2 − 2x + 5) +
∫2
(x − 1)2 + 4dx =
=32
ln(x2 − 2x + 5) + arctgx − 1
2+ C
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Ułamki drugiego rodzaju
Ułamek drugiego rodzaju, gdzie n > 1, całkujemy podobnie:1 wydzielamy w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B
2 (2x + p) + (C − Bp2 );
2 rozkładamy na sumę ułamków:
Bx + C(x2 + px + q)n
=B2 (2x + p)
(x2 + px + q)n+
C − Bp2(x2 + px + q)n
;
3 pierwszy ułamek całkujemy przez podstawieniex2 + px + q = t;
4 w drugim ułamku mianownik sprowadzamy do postacikanonicznej: (x + p
2 )2 − ∆4 a następnie korzystamy ze wzoru
rekurencyjnego
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Ułamki drugiego rodzaju
Ułamek drugiego rodzaju, gdzie n > 1, całkujemy podobnie:1 wydzielamy w liczniku pochodną mianownika:Bx + C = B
2 (2x + p) + (C − Bp2 );2 rozkładamy na sumę ułamków:
Bx + C(x2 + px + q)n
=B2 (2x + p)
(x2 + px + q)n+
C − Bp2(x2 + px + q)n
;
3 pierwszy ułamek całkujemy przez podstawieniex2 + px + q = t;
4 w drugim ułamku mianownik sprowadzamy do postacikanonicznej: (x + p
2 )2 − ∆4 a następnie korzystamy ze wzoru
rekurencyjnego
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Ułamki drugiego rodzaju
∫dx
(a2 + x2)n=
x2(n − 1)a2(a2 + x2)n−1 +
+2n − 3
(2n − 2)a2
∫dx
(a2 + x2)n−1 ,
gdzie a =√−∆
4 .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Będziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x , cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.
Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne:
tgx2
= t.
Wtedy x = 2 arc tg t, więc
dx =2 dt
1 + t2.
Ze wzorów trygonometrycznych otrzymujemy:
sin x =2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Będziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x , cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne:
tgx2
= t.
Wtedy x = 2 arc tg t, więc
dx =2 dt
1 + t2.
Ze wzorów trygonometrycznych otrzymujemy:
sin x =2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Będziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x , cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne:
tgx2
= t.
Wtedy x = 2 arc tg t, więc
dx =2 dt
1 + t2.
Ze wzorów trygonometrycznych otrzymujemy:
sin x =2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Będziemy rozpatrywali funkcje postaci R(sin x , cos x), gdzie R jestfunkcją wymierną dwóch zmiennych. Całki takich funkcji obliczasię przez odpowiednie podstawienie, które sprowadza całkę do całkifunkcji wymiernej.Najbardziej ogólne jest tzw. podstawienie uniwersalne:
tgx2
= t.
Wtedy x = 2 arc tg t, więc
dx =2 dt
1 + t2.
Ze wzorów trygonometrycznych otrzymujemy:
sin x =2t
1 + t2, cos x =
1− t2
1 + t2.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Przykład
∫1− cos x1 + cos x
dx =
∫ 1− 1−t21+t2
1 + 1−t21+t2
2 dt1 + t2
=
∫2t2
1 + t2dt =
= 2(t − arc tg t) + C = 2 tgx2− x + C .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
W przypadku całki postaci:∫sinm x cosn x dx , m, n ∈ N
sposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.
Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫sinm x cosn x dx =
∫sin2k x cosn x sin x dx ,
i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy −∫
(1− t2)ktn dt.Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.Jeżeli zarówno m jak i n są parzyste, to korzystamy ze wzorów
sin2 x =12
(1−cos 2x), cos2 x =12
(1+cos 2x), sin x cos x =12
sin 2x ,
lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorówrekurencyjnych).
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
W przypadku całki postaci:∫sinm x cosn x dx , m, n ∈ N
sposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫
sinm x cosn x dx =
∫sin2k x cosn x sin x dx ,
i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy −∫
(1− t2)ktn dt.Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.Jeżeli zarówno m jak i n są parzyste, to korzystamy ze wzorów
sin2 x =12
(1−cos 2x), cos2 x =12
(1+cos 2x), sin x cos x =12
sin 2x ,
lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorówrekurencyjnych).
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
W przypadku całki postaci:∫sinm x cosn x dx , m, n ∈ N
sposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫
sinm x cosn x dx =
∫sin2k x cosn x sin x dx ,
i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy −∫
(1− t2)ktn dt.
Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.Jeżeli zarówno m jak i n są parzyste, to korzystamy ze wzorów
sin2 x =12
(1−cos 2x), cos2 x =12
(1+cos 2x), sin x cos x =12
sin 2x ,
lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorówrekurencyjnych).
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
W przypadku całki postaci:∫sinm x cosn x dx , m, n ∈ N
sposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫
sinm x cosn x dx =
∫sin2k x cosn x sin x dx ,
i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy −∫
(1− t2)ktn dt.Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.
Jeżeli zarówno m jak i n są parzyste, to korzystamy ze wzorów
sin2 x =12
(1−cos 2x), cos2 x =12
(1+cos 2x), sin x cos x =12
sin 2x ,
lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorówrekurencyjnych).
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
W przypadku całki postaci:∫sinm x cosn x dx , m, n ∈ N
sposób postępowania zależy od tego, czy m, n są parzyste, czy nie.Jeżeli np. m = 2k + 1, to:∫
sinm x cosn x dx =
∫sin2k x cosn x sin x dx ,
i po podstawieniu cos x = t otrzymujemy −∫
(1− t2)ktn dt.Analogicznie postępujemy, gdy n jest nieparzyste.Jeżeli zarówno m jak i n są parzyste, to korzystamy ze wzorów
sin2 x =12
(1−cos 2x), cos2 x =12
(1+cos 2x), sin x cos x =12
sin 2x ,
lub ze wzoru jedynkowego (a potem ewentualnie wzorówrekurencyjnych).
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całki:∫sinmx cos nx dx ,
∫sinmx sin nx dx ,
∫cosmx cos nx dx
przekształcamy korzystając ze wzorów:
sinmx cos nx =12
[sin(m + n)x + sin(m − n)x ],
sinmx sin nx =12
[cos(m − n)x − cos(m + n)x ],
cosmx cos nx =12
[cos(m − n)x + cos(m + n)x ].
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całki:∫sinmx cos nx dx ,
∫sinmx sin nx dx ,
∫cosmx cos nx dx
przekształcamy korzystając ze wzorów:
sinmx cos nx =12
[sin(m + n)x + sin(m − n)x ],
sinmx sin nx =12
[cos(m − n)x − cos(m + n)x ],
cosmx cos nx =12
[cos(m − n)x + cos(m + n)x ].
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całki:∫sinmx cos nx dx ,
∫sinmx sin nx dx ,
∫cosmx cos nx dx
przekształcamy korzystając ze wzorów:
sinmx cos nx =12
[sin(m + n)x + sin(m − n)x ],
sinmx sin nx =12
[cos(m − n)x − cos(m + n)x ],
cosmx cos nx =12
[cos(m − n)x + cos(m + n)x ].
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Całki:∫sinmx cos nx dx ,
∫sinmx sin nx dx ,
∫cosmx cos nx dx
przekształcamy korzystając ze wzorów:
sinmx cos nx =12
[sin(m + n)x + sin(m − n)x ],
sinmx sin nx =12
[cos(m − n)x − cos(m + n)x ],
cosmx cos nx =12
[cos(m − n)x + cos(m + n)x ].
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych
Funkcje zawierające pierwiastki (różnych stopni) mogą być bardzoskomplikowane. Dla rozmaitych typów istnieją podstawieniasprowadzające je do funkcji wymiernych.Jeśli funkcja zawiera pierwiastki wyrażenia
ax + bcx + d
to podstawiamyax + bcx + d
= zn
gdzie n jest najmniejszą wspólną wielokrotnością stopnipierwiastków.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych
Funkcje zawierające pierwiastki (różnych stopni) mogą być bardzoskomplikowane. Dla rozmaitych typów istnieją podstawieniasprowadzające je do funkcji wymiernych.Jeśli funkcja zawiera pierwiastki wyrażenia
ax + bcx + d
to podstawiamyax + bcx + d
= zn
gdzie n jest najmniejszą wspólną wielokrotnością stopnipierwiastków.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkowanie pewnych funkcji niewymiernych
Funkcje zawierające pierwiastki (różnych stopni) mogą być bardzoskomplikowane. Dla rozmaitych typów istnieją podstawieniasprowadzające je do funkcji wymiernych.Jeśli funkcja zawiera pierwiastki wyrażenia
ax + bcx + d
to podstawiamyax + bcx + d
= zn
gdzie n jest najmniejszą wspólną wielokrotnością stopnipierwiastków.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Np. w całce ∫dx√x + 3√x
podstawiamy x = z6, a w całce∫dx√
2x − 1− 4√
2x − 1
podstawiamy 2x − 1 = z4.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Np. w całce ∫dx√x + 3√x
podstawiamy x = z6, a w całce∫dx√
2x − 1− 4√
2x − 1
podstawiamy 2x − 1 = z4.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci
1 m2 − z2,
2 m2 + z2,3 z2 −m2,
a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,3 z = m
cos t lub z = m cosh t.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci
1 m2 − z2,2 m2 + z2,
3 z2 −m2,
a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,3 z = m
cos t lub z = m cosh t.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci
1 m2 − z2,2 m2 + z2,3 z2 −m2,
a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,3 z = m
cos t lub z = m cosh t.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci
1 m2 − z2,2 m2 + z2,3 z2 −m2,
a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,
2 z = m tg t lub z = m sinh t,3 z = m
cos t lub z = m cosh t.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci
1 m2 − z2,2 m2 + z2,3 z2 −m2,
a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,
3 z = mcos t lub z = m cosh t.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całki zawierające pierwiastek trójmianu kwadratowego możnaobliczać sprowadzając trójmian ax2 + bx + c do jednej z postaci
1 m2 − z2,2 m2 + z2,3 z2 −m2,
a następnie stosować, odpowiednio, podstawienia1 z = m sin t lub z = m tgh t,2 z = m tg t lub z = m sinh t,3 z = m
cos t lub z = m cosh t.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykład Obliczyć
I =
∫x√x2 + x + 1 dx .
Ponieważ
x2 + x + 1 =(x +
12
)2+
34
więc podstawimy
x +12
=
√3
2sinh t, dx =
√3
2cosh t dt
co prowadzi do całki
I =38
∫ (− 1 +
√3 sinh t
)cosh2 t dt.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykład Obliczyć
I =
∫x√x2 + x + 1 dx .
Ponieważ
x2 + x + 1 =(x +
12
)2+
34
więc podstawimy
x +12
=
√3
2sinh t, dx =
√3
2cosh t dt
co prowadzi do całki
I =38
∫ (− 1 +
√3 sinh t
)cosh2 t dt.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykład Obliczyć
I =
∫x√x2 + x + 1 dx .
Ponieważ
x2 + x + 1 =(x +
12
)2+
34
więc podstawimy
x +12
=
√3
2sinh t, dx =
√3
2cosh t dt
co prowadzi do całki
I =38
∫ (− 1 +
√3 sinh t
)cosh2 t dt.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykład Obliczyć
I =
∫x√x2 + x + 1 dx .
Ponieważ
x2 + x + 1 =(x +
12
)2+
34
więc podstawimy
x +12
=
√3
2sinh t, dx =
√3
2cosh t dt
co prowadzi do całki
I =38
∫ (− 1 +
√3 sinh t
)cosh2 t dt.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Alternatywą jest podstawienie
x +12
=
√3
2tg t, dx =
√3
2 cos2 tdt
co prowadzi do całki
I =38
∫ (− 1 +
√3 tg t
) 1cos3 t
dt.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Alternatywą jest podstawienie
x +12
=
√3
2tg t, dx =
√3
2 cos2 tdt
co prowadzi do całki
I =38
∫ (− 1 +
√3 tg t
) 1cos3 t
dt.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja całki oznaczonej
Niech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].
Przedział [a, b] dzielimy na n podprzedziałów punktami
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b
Długość i−tego podprzedziału oznaczamy ∆xi = xi − xi−1, a całyzbiór n podprzedziałów oznaczamy ∆n. Podziałowi ∆n możemyprzyporządkować liczbę δn = max ∆xi , nazywaną średnicąpodziału.Możemy rozpatrywać ciąg podziałów (∆n). Taki ciąg nazywamynormalnym, gdy
limn→∞
δn = 0.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja całki oznaczonej
Niech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].Przedział [a, b] dzielimy na n podprzedziałów punktami
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b
Długość i−tego podprzedziału oznaczamy ∆xi = xi − xi−1, a całyzbiór n podprzedziałów oznaczamy ∆n. Podziałowi ∆n możemyprzyporządkować liczbę δn = max ∆xi , nazywaną średnicąpodziału.Możemy rozpatrywać ciąg podziałów (∆n). Taki ciąg nazywamynormalnym, gdy
limn→∞
δn = 0.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja całki oznaczonej
Niech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].Przedział [a, b] dzielimy na n podprzedziałów punktami
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b
Długość i−tego podprzedziału oznaczamy ∆xi = xi − xi−1, a całyzbiór n podprzedziałów oznaczamy ∆n. Podziałowi ∆n możemyprzyporządkować liczbę δn = max ∆xi , nazywaną średnicąpodziału.
Możemy rozpatrywać ciąg podziałów (∆n). Taki ciąg nazywamynormalnym, gdy
limn→∞
δn = 0.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Definicja całki oznaczonej
Niech dana będzie funkcja y = f (x) ciągła w przedziale [a, b].Przedział [a, b] dzielimy na n podprzedziałów punktami
a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b
Długość i−tego podprzedziału oznaczamy ∆xi = xi − xi−1, a całyzbiór n podprzedziałów oznaczamy ∆n. Podziałowi ∆n możemyprzyporządkować liczbę δn = max ∆xi , nazywaną średnicąpodziału.Możemy rozpatrywać ciąg podziałów (∆n). Taki ciąg nazywamynormalnym, gdy
limn→∞
δn = 0.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Dla danego podziału ∆n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξi ,
xi−1 ¬ ξi ¬ xi
i tworzymy sumę
σn =n∑i=1
f (ξi )∆xi . (1)
Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b]każdy ciąg sum (σn) dąży do granicy skończonej (niezależnej odwyboru punktów ξi ), to granicę tę nazywamy całką oznaczonąfunkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez
b∫a
f (x) dx .
Powyższa definicja pochodzi od Bernharda Riemanna.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Dla danego podziału ∆n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξi ,
xi−1 ¬ ξi ¬ xi
i tworzymy sumę
σn =n∑i=1
f (ξi )∆xi . (1)
Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b]każdy ciąg sum (σn) dąży do granicy skończonej (niezależnej odwyboru punktów ξi ), to granicę tę nazywamy całką oznaczonąfunkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez
b∫a
f (x) dx .
Powyższa definicja pochodzi od Bernharda Riemanna.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Dla danego podziału ∆n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξi ,
xi−1 ¬ ξi ¬ xi
i tworzymy sumę
σn =n∑i=1
f (ξi )∆xi . (1)
Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b]każdy ciąg sum (σn) dąży do granicy skończonej (niezależnej odwyboru punktów ξi ), to granicę tę nazywamy całką oznaczonąfunkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez
b∫a
f (x) dx .
Powyższa definicja pochodzi od Bernharda Riemanna.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Dla danego podziału ∆n wybieramy w każdym podprzedzialeliczbę ξi ,
xi−1 ¬ ξi ¬ xi
i tworzymy sumę
σn =n∑i=1
f (ξi )∆xi . (1)
Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału [a, b]każdy ciąg sum (σn) dąży do granicy skończonej (niezależnej odwyboru punktów ξi ), to granicę tę nazywamy całką oznaczonąfunkcji f (x) w przedziale [a, b] i oznaczamy przez
b∫a
f (x) dx .
Powyższa definicja pochodzi od Bernharda Riemanna.Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Bernhard Riemann (1826-1866)
Riemann sformułował wieleznakomitych twierdzeń,noszących obecnie jego nazwisko.Z funkcją dzeta Riemanna:
ζ(z) =∞∑n=1
1nz
=∏(
1− 1pz)−1
związana jest hipoteza Riemanna:wszystkie tzw. nietrywialne zera(nierzeczywiste) tej funkcji majączęść rzeczywistą równą 1
2 .
Film: Hipoteza Riemanna. Zagadka wszech czasów.http://www.filmydokumentalne.eu/hipoteza-riemanna-zagadka-wszech-czasow/
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Pojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆xi i wysokości f (ξi ).
Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox ,od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostychx = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym).Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartośćgraniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezukrzywoliniowego.Uwaga. Powyższe określenie całki dotyczy przypadku gdy a < b.Przyjmujemy ponadto, że
a∫a
f (x) dx = 0,
a∫b
f (x) dx = −b∫a
f (x) dx dla a < b.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Pojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆xi i wysokości f (ξi ).Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox ,od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostychx = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym).
Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartośćgraniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezukrzywoliniowego.Uwaga. Powyższe określenie całki dotyczy przypadku gdy a < b.Przyjmujemy ponadto, że
a∫a
f (x) dx = 0,
a∫b
f (x) dx = −b∫a
f (x) dx dla a < b.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Pojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆xi i wysokości f (ξi ).Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox ,od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostychx = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym).Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartośćgraniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezukrzywoliniowego.
Uwaga. Powyższe określenie całki dotyczy przypadku gdy a < b.Przyjmujemy ponadto, że
a∫a
f (x) dx = 0,
a∫b
f (x) dx = −b∫a
f (x) dx dla a < b.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Pojedyncze składniki sumy (1) są polami prostokątów o podstawie∆xi i wysokości f (ξi ).Suma tych pól przybliża pole figury ograniczonej od dołu osią Ox ,od góry wykresem funkcji f (x), a z boków odcinkami prostychx = a, x = b (taką figurę nazywamy trapezem krzywoliniowym).Przybliżenie to jest coraz dokładniejsze gdy n rośnie. Wartośćgraniczna, czyli całka oznaczona, jest polem trapezukrzywoliniowego.Uwaga. Powyższe określenie całki dotyczy przypadku gdy a < b.Przyjmujemy ponadto, że
a∫a
f (x) dx = 0,
a∫b
f (x) dx = −b∫a
f (x) dx dla a < b.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykład Obliczymy z definicji całkę1∫0x dx . W tym celu
rozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:
0 <1n<
2n< · · · < n
n= 1.
Punkty ξi wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:
ξi = xi−1 +1
2n=i − 1n
+1
2n=
2i − 12n
.
Wtedy
σn =n∑i=1
2i − 12n
1n
=1
2n2
n∑i=1
(2i − 1) =1
2n2 ·1 + (2n − 1)
2· n =
12.
Ciąg jest stały, więc1∫
0
x dx = limn→∞
σn =12.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykład Obliczymy z definicji całkę1∫0x dx . W tym celu
rozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:
0 <1n<
2n< · · · < n
n= 1.
Punkty ξi wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:
ξi = xi−1 +1
2n=i − 1n
+1
2n=
2i − 12n
.
Wtedy
σn =n∑i=1
2i − 12n
1n
=1
2n2
n∑i=1
(2i − 1) =1
2n2 ·1 + (2n − 1)
2· n =
12.
Ciąg jest stały, więc1∫
0
x dx = limn→∞
σn =12.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykład Obliczymy z definicji całkę1∫0x dx . W tym celu
rozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:
0 <1n<
2n< · · · < n
n= 1.
Punkty ξi wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:
ξi = xi−1 +1
2n=i − 1n
+1
2n=
2i − 12n
.
Wtedy
σn =n∑i=1
2i − 12n
1n
=1
2n2
n∑i=1
(2i − 1) =1
2n2 ·1 + (2n − 1)
2· n =
12.
Ciąg jest stały, więc1∫
0
x dx = limn→∞
σn =12.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykład Obliczymy z definicji całkę1∫0x dx . W tym celu
rozpatrzymy ciąg podziałów na n równych części:
0 <1n<
2n< · · · < n
n= 1.
Punkty ξi wybierzemy jako środki odpowiednich odcinków:
ξi = xi−1 +1
2n=i − 1n
+1
2n=
2i − 12n
.
Wtedy
σn =n∑i=1
2i − 12n
1n
=1
2n2
n∑i=1
(2i − 1) =1
2n2 ·1 + (2n − 1)
2· n =
12.
Ciąg jest stały, więc1∫
0
x dx = limn→∞
σn =12.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Zauważmy, że dla innego wyboru liczb ξi , np. ξi = xi−1 = i−1n
otrzymamy
σn =n∑i=1
i − 1n
1n
=1n2
n∑i=1
(i − 1) =1n2 ·
0 + (n − 1)
2· n =
n − 12n
.
Tym razem ciąg nie jest stały, ale granica jest taka sama:
limn→∞n − 1
2n=
12.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Zauważmy, że dla innego wyboru liczb ξi , np. ξi = xi−1 = i−1n
otrzymamy
σn =n∑i=1
i − 1n
1n
=1n2
n∑i=1
(i − 1) =1n2 ·
0 + (n − 1)
2· n =
n − 12n
.
Tym razem ciąg nie jest stały, ale granica jest taka sama:
limn→∞n − 1
2n=
12.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Jeszcze inaczej: gdy ξi = xi = in , to otrzymamy
σn =n∑i=1
in
1n
=1n2
n∑i=1
i =1n2 ·
1 + n2· n =
n + 12n
.
I znowu granica jest taka sama:
limn→∞n + 1
2n=
12.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Jeszcze inaczej: gdy ξi = xi = in , to otrzymamy
σn =n∑i=1
in
1n
=1n2
n∑i=1
i =1n2 ·
1 + n2· n =
n + 12n
.
I znowu granica jest taka sama:
limn→∞n + 1
2n=
12.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (własności całki)
1
b∫acf (x) dx = c
b∫af (x) dx;
2
b∫a
(f (x)± g(x)) dx =b∫af (x) dx ±
b∫ag(x) dx;
3
b∫af (x) dx =
c∫af (x) dx +
b∫cf (x) dx dla a < c < b;
4 Jeżeli f (x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b], tob∫af (x) dx ¬
b∫ag(x) dx.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (własności całki)
1
b∫acf (x) dx = c
b∫af (x) dx;
2
b∫a
(f (x)± g(x)) dx =b∫af (x) dx ±
b∫ag(x) dx;
3
b∫af (x) dx =
c∫af (x) dx +
b∫cf (x) dx dla a < c < b;
4 Jeżeli f (x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b], tob∫af (x) dx ¬
b∫ag(x) dx.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (własności całki)
1
b∫acf (x) dx = c
b∫af (x) dx;
2
b∫a
(f (x)± g(x)) dx =b∫af (x) dx ±
b∫ag(x) dx;
3
b∫af (x) dx =
c∫af (x) dx +
b∫cf (x) dx dla a < c < b;
4 Jeżeli f (x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b], tob∫af (x) dx ¬
b∫ag(x) dx.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (własności całki)
1
b∫acf (x) dx = c
b∫af (x) dx;
2
b∫a
(f (x)± g(x)) dx =b∫af (x) dx ±
b∫ag(x) dx;
3
b∫af (x) dx =
c∫af (x) dx +
b∫cf (x) dx dla a < c < b;
4 Jeżeli f (x) ¬ g(x) dla x ∈ [a, b], tob∫af (x) dx ¬
b∫ag(x) dx.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o istnieniu całki)
Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego
rodzaju, to istnieje całka oznaczonab∫af (x) dx.
Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].
Wniosek
Funkcja ciągła na przedziale [a, b] jest całkowalna na [a, b].
Całka oznaczona jest liczbą, a całka nieoznaczona — zbioremfunkcji. Niemniej te dwa pojęcia są blisko ze sobą związane.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o istnieniu całki)
Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego
rodzaju, to istnieje całka oznaczonab∫af (x) dx.
Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].
Wniosek
Funkcja ciągła na przedziale [a, b] jest całkowalna na [a, b].
Całka oznaczona jest liczbą, a całka nieoznaczona — zbioremfunkcji. Niemniej te dwa pojęcia są blisko ze sobą związane.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o istnieniu całki)
Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego
rodzaju, to istnieje całka oznaczonab∫af (x) dx.
Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].
Wniosek
Funkcja ciągła na przedziale [a, b] jest całkowalna na [a, b].
Całka oznaczona jest liczbą, a całka nieoznaczona — zbioremfunkcji. Niemniej te dwa pojęcia są blisko ze sobą związane.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o istnieniu całki)
Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona na [a, b] i ma na tymprzedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego
rodzaju, to istnieje całka oznaczonab∫af (x) dx.
Mówimy wtedy, że funkcja f (x) jest całkowalna na [a, b].
Wniosek
Funkcja ciągła na przedziale [a, b] jest całkowalna na [a, b].
Całka oznaczona jest liczbą, a całka nieoznaczona — zbioremfunkcji. Niemniej te dwa pojęcia są blisko ze sobą związane.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całce ze zmienną górną granicą)
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b]
istnieje całka oznaczonax∫af (t) dt.
Można więc określić funkcję
G (x) =
x∫a
f (t) dt.
Funkcja G (x) jest różniczkowalna na [a, b] i G ′(x) = f (x).
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całce ze zmienną górną granicą)
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b]
istnieje całka oznaczonax∫af (t) dt. Można więc określić funkcję
G (x) =
x∫a
f (t) dt.
Funkcja G (x) jest różniczkowalna na [a, b] i G ′(x) = f (x).
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (o całce ze zmienną górną granicą)
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła na [a, b], to dla każdego x ∈ [a, b]
istnieje całka oznaczonax∫af (t) dt. Można więc określić funkcję
G (x) =
x∫a
f (t) dt.
Funkcja G (x) jest różniczkowalna na [a, b] i G ′(x) = f (x).
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Nieformalny dowód twierdzenia
Chcemy wykazać, że dla dowolnego x ∈ [a, b] jest G ′(x) = f (x),tzn. że
limh→0
G (x + h)− G (x)h
= f (x).
Gdy f (x) 0 na [a, b], to G (x) jest równe polu pod wykresemfunkcji f , od a do x . Zatem G (x + h)− G (x) jest równe polu podwykresem funkcji f , od x do x + h.Intuicyjnie jest zrozumiałe, że to pole jest równe polu prostokątao podstawie h i wysokości równej f (z) dla pewnego z ∈ [x , x + h].Wtedy iloraz G(x+h)−G(x)
h jest równy f (z).Gdy h→ 0, to z → x , a z ciągłości funkcji f wynika, żef (z)→ f (x). Tego właśnie chcieliśmy dowieść.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Nieformalny dowód twierdzenia
Chcemy wykazać, że dla dowolnego x ∈ [a, b] jest G ′(x) = f (x),tzn. że
limh→0
G (x + h)− G (x)h
= f (x).
Gdy f (x) 0 na [a, b], to G (x) jest równe polu pod wykresemfunkcji f , od a do x . Zatem G (x + h)− G (x) jest równe polu podwykresem funkcji f , od x do x + h.
Intuicyjnie jest zrozumiałe, że to pole jest równe polu prostokątao podstawie h i wysokości równej f (z) dla pewnego z ∈ [x , x + h].Wtedy iloraz G(x+h)−G(x)
h jest równy f (z).Gdy h→ 0, to z → x , a z ciągłości funkcji f wynika, żef (z)→ f (x). Tego właśnie chcieliśmy dowieść.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Nieformalny dowód twierdzenia
Chcemy wykazać, że dla dowolnego x ∈ [a, b] jest G ′(x) = f (x),tzn. że
limh→0
G (x + h)− G (x)h
= f (x).
Gdy f (x) 0 na [a, b], to G (x) jest równe polu pod wykresemfunkcji f , od a do x . Zatem G (x + h)− G (x) jest równe polu podwykresem funkcji f , od x do x + h.Intuicyjnie jest zrozumiałe, że to pole jest równe polu prostokątao podstawie h i wysokości równej f (z) dla pewnego z ∈ [x , x + h].Wtedy iloraz G(x+h)−G(x)
h jest równy f (z).
Gdy h→ 0, to z → x , a z ciągłości funkcji f wynika, żef (z)→ f (x). Tego właśnie chcieliśmy dowieść.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Nieformalny dowód twierdzenia
Chcemy wykazać, że dla dowolnego x ∈ [a, b] jest G ′(x) = f (x),tzn. że
limh→0
G (x + h)− G (x)h
= f (x).
Gdy f (x) 0 na [a, b], to G (x) jest równe polu pod wykresemfunkcji f , od a do x . Zatem G (x + h)− G (x) jest równe polu podwykresem funkcji f , od x do x + h.Intuicyjnie jest zrozumiałe, że to pole jest równe polu prostokątao podstawie h i wysokości równej f (z) dla pewnego z ∈ [x , x + h].Wtedy iloraz G(x+h)−G(x)
h jest równy f (z).Gdy h→ 0, to z → x , a z ciągłości funkcji f wynika, żef (z)→ f (x). Tego właśnie chcieliśmy dowieść.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykład
Obliczyć F (x), gdy
f (x) = 1 + x dla x ∈ [0, 3]
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Twierdzenie (Newtona-Leibniza)
Jeżeli F (x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f (x) ciągłej na[a, b], to
b∫a
f (t) dt = F (b)− F (a).
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Dowód
Niech G oznacza funkcję pierwotną zdefiniowaną wyżej, tj.
G (x) =x∫af (t) dt. Wtedy dla dowolnego x ∈ [a, b]
G (x)− F (x) = C .
Dla x = a jest G (a) = 0. Zatem C = −F (a), a więc
G (x)− F (x) = −F (a).
Jeśli teraz podstawimy x = b, to
b∫a
f (t) dt − F (b) = −F (a),
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Dowód
Niech G oznacza funkcję pierwotną zdefiniowaną wyżej, tj.
G (x) =x∫af (t) dt. Wtedy dla dowolnego x ∈ [a, b]
G (x)− F (x) = C .
Dla x = a jest G (a) = 0. Zatem C = −F (a), a więc
G (x)− F (x) = −F (a).
Jeśli teraz podstawimy x = b, to
b∫a
f (t) dt − F (b) = −F (a),
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Dowód
Niech G oznacza funkcję pierwotną zdefiniowaną wyżej, tj.
G (x) =x∫af (t) dt. Wtedy dla dowolnego x ∈ [a, b]
G (x)− F (x) = C .
Dla x = a jest G (a) = 0. Zatem C = −F (a), a więc
G (x)− F (x) = −F (a).
Jeśli teraz podstawimy x = b, to
b∫a
f (t) dt − F (b) = −F (a),
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Dowód
a zatemb∫a
f (t) dt = F (b)− F (a).
Zamiast F (b)− F (a) piszemy F (x)|ba lub [F (x)]ba .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykłady 1.8∫1
3√x dx ;
2.2∫1
(2x2 + 3x3 ) dx ;
3.π∫0
(2 sin x − 3 cos x) dx .
4.
√3∫
1
dx1+x2 .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Obliczanie całek
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła na zbiorze wartości funkcji t = ϕ(x)ciągłej i mającej ciągłą pochodną w [α, β] oraz jeżeli ϕ(α) = a,ϕ(β) = b, to
β∫α
f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
b∫a
f (t) dt.
Przykłady 1.9∫4
dx√x−1 ;
2.1∫0
dxex+e−x ;
3.π/2∫0
cos2 x sin x dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Obliczanie całek
Twierdzenie (o całkowaniu przez podstawienie)
Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła na zbiorze wartości funkcji t = ϕ(x)ciągłej i mającej ciągłą pochodną w [α, β] oraz jeżeli ϕ(α) = a,ϕ(β) = b, to
β∫α
f (ϕ(x))ϕ′(x) dx =
b∫a
f (t) dt.
Przykłady 1.9∫4
dx√x−1 ;
2.1∫0
dxex+e−x ;
3.π/2∫0
cos2 x sin x dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Obliczanie całek
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w przedziale [a, b] ciągłe pochodne,to
b∫a
u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)|ba −b∫a
v(x)u′(x) dx .
Przykłady 1.2∫1
ln x dx ;
2.1∫0xex dx ;
3.π∫−πx sin x dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Obliczanie całek
Twierdzenie (o całkowaniu przez części)
Jeżeli funkcje u(x) i v(x) mają w przedziale [a, b] ciągłe pochodne,to
b∫a
u(x)v ′(x) dx = u(x)v(x)|ba −b∫a
v(x)u′(x) dx .
Przykłady 1.2∫1
ln x dx ;
2.1∫0xex dx ;
3.π∫−πx sin x dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Obliczanie pól
Pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego od dołu osią Ox , odgóry wykresem funkcji f (x) 0, a z boków odcinkami prostychx = a, x = b wynosi:
P =
b∫a
f (x) dx .
Jeżeli f (x) 0g(x) dla x ∈ [a, b] oraz obszar jest ograniczony oddołu wykresem funkcji g(x), od góry wykresem funkcji f (x), a zboków odcinkami prostych x = a, x = b, to wzór na pole ulegamodyfikacji i ma postać:
P =
b∫a
(f (x)− g(x)) dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Obliczanie pól
Pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego od dołu osią Ox , odgóry wykresem funkcji f (x) 0, a z boków odcinkami prostychx = a, x = b wynosi:
P =
b∫a
f (x) dx .
Jeżeli f (x) 0g(x) dla x ∈ [a, b] oraz obszar jest ograniczony oddołu wykresem funkcji g(x), od góry wykresem funkcji f (x), a zboków odcinkami prostych x = a, x = b, to wzór na pole ulegamodyfikacji i ma postać:
P =
b∫a
(f (x)− g(x)) dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Obliczanie pól
Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:1. xy = 1, y = 0, x = 1
10 , x = 10.2. y2 = 4x + 4, y = 2− x .3. x
2
a2 + y2
b2 = 1 (elipsa).
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Obliczanie pól
Jeżeli funkcja ograniczająca z góry ma równania parametrycznex = x(t), y = y(t), gdzie α ¬ t ¬ β, oraz– x(t) jest rosnąca i ma ciągłą pochodną na [α, β]– y(t) jest ciągła i nieujemna na [α, β]– x(α) = a, y(β) = bto:
P =
β∫α
y(t)x ′(t) dt.
Jeżeli x(t) jest malejąca (pozostałe założenia jak wyżej), to
P =
β∫α
y(t)|x ′(t)| dt.
Przykład x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π, y = 0(łuk cykloidy).
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Obliczanie pól
Jeżeli w biegunowym układzie współrzędnych mamy obszarokreślony nierównościami:
α ¬ ϕ ¬ β, 0 ¬ ρ ¬ ρ(ϕ),
gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (taki obszar nazywamy trójkątemkrzywoliniowym), to jego pole obliczamy stosując wzór
P =12
β∫α
ρ2(ϕ) dϕ
Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:1. ρ = 2ϕ dla 0 < ϕ < π
2 ;2. ρ = a
√cos 2ϕ, gdzie a > 0 (lemniskata Bernoullego)
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Obliczanie pól
Jeżeli w biegunowym układzie współrzędnych mamy obszarokreślony nierównościami:
α ¬ ϕ ¬ β, 0 ¬ ρ ¬ ρ(ϕ),
gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (taki obszar nazywamy trójkątemkrzywoliniowym), to jego pole obliczamy stosując wzór
P =12
β∫α
ρ2(ϕ) dϕ
Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:1. ρ = 2ϕ dla 0 < ϕ < π
2 ;2. ρ = a
√cos 2ϕ, gdzie a > 0 (lemniskata Bernoullego)
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Obliczanie pól
Jeżeli w biegunowym układzie współrzędnych mamy obszarokreślony nierównościami:
α ¬ ϕ ¬ β, 0 ¬ ρ ¬ ρ(ϕ),
gdzie ρ(ϕ) jest pewną krzywą (taki obszar nazywamy trójkątemkrzywoliniowym), to jego pole obliczamy stosując wzór
P =12
β∫α
ρ2(ϕ) dϕ
Przykłady Obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi:1. ρ = 2ϕ dla 0 < ϕ < π
2 ;2. ρ = a
√cos 2ϕ, gdzie a > 0 (lemniskata Bernoullego)
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Długość łuku
Jeżeli chcemy obliczyć długość łuku krzywej y = f (x) dlaa ¬ x ¬ b, to stosujemy wzór
l =
b∫a
√1 + f ′(x)2 dx .
Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. f (x) = 1− ln cos x , 0 ¬ x ¬ π
4 ;2. x2/3 + y2/3 = a2/3, gdzie a > 0 (asteroida). Uwaga: sprawdzićnajpierw, że
1 + (y ′)2 = a2/3x−2/3.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Długość łuku
Jeżeli chcemy obliczyć długość łuku krzywej y = f (x) dlaa ¬ x ¬ b, to stosujemy wzór
l =
b∫a
√1 + f ′(x)2 dx .
Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. f (x) = 1− ln cos x , 0 ¬ x ¬ π
4 ;2. x2/3 + y2/3 = a2/3, gdzie a > 0 (asteroida). Uwaga: sprawdzićnajpierw, że
1 + (y ′)2 = a2/3x−2/3.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Długość łuku
Jeżeli krzywa jest określona parametrycznie: x = x(t), y = y(t)dla α ¬ t ¬ β, to wzór jest inny:
l =
β∫α
√(x ′(t))2 + (y ′(t))2 dt.
Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π (łuk cykloidy).2. x = et sin t, y = et cos t, 0 ¬ t ¬ π
2
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Długość łuku
Jeżeli krzywa jest określona parametrycznie: x = x(t), y = y(t)dla α ¬ t ¬ β, to wzór jest inny:
l =
β∫α
√(x ′(t))2 + (y ′(t))2 dt.
Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π (łuk cykloidy).2. x = et sin t, y = et cos t, 0 ¬ t ¬ π
2
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Długość łuku
W biegunowym układzie współrzędnych, dla krzywej ρ = ρ(ϕ),α ¬ ϕ ¬ β:
l =
β∫α
√(ρ(ϕ))2 + (ρ′(ϕ))2 dϕ.
Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. ρ = a sin3 ϕ
3 , ϕ ∈ [0, 3π];2. ρ = 2a sinϕ, a > 0, ϕ ∈ [0, π].
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Długość łuku
W biegunowym układzie współrzędnych, dla krzywej ρ = ρ(ϕ),α ¬ ϕ ¬ β:
l =
β∫α
√(ρ(ϕ))2 + (ρ′(ϕ))2 dϕ.
Przykłady Obliczyć długości łuków krzywych:1. ρ = a sin3 ϕ
3 , ϕ ∈ [0, 3π];2. ρ = 2a sinϕ, a > 0, ϕ ∈ [0, π].
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Objętość i pole powierzchni brył obrotowych
W układzie Oxy rozpatrujemy krzywą o równaniu y = f (x),a ¬ x ¬ b, i obracamy ją dokoła osi Ox . Krzywa zakreśla wtedypowierzchnię.
Po ”zamknięciu” tej powierzchni płaszczyznami x = a i x = botrzymujemy bryłę, której objętość wynosi:
V = π
b∫a
f 2(x) dx ,
a pole powierzchni bocznej
S = 2π
b∫a
f (x)√
1 + (f ′(x))2 dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Objętość i pole powierzchni brył obrotowych
W układzie Oxy rozpatrujemy krzywą o równaniu y = f (x),a ¬ x ¬ b, i obracamy ją dokoła osi Ox . Krzywa zakreśla wtedypowierzchnię.Po ”zamknięciu” tej powierzchni płaszczyznami x = a i x = botrzymujemy bryłę, której objętość wynosi:
V = π
b∫a
f 2(x) dx ,
a pole powierzchni bocznej
S = 2π
b∫a
f (x)√
1 + (f ′(x))2 dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Objętość i pole powierzchni brył obrotowych
W układzie Oxy rozpatrujemy krzywą o równaniu y = f (x),a ¬ x ¬ b, i obracamy ją dokoła osi Ox . Krzywa zakreśla wtedypowierzchnię.Po ”zamknięciu” tej powierzchni płaszczyznami x = a i x = botrzymujemy bryłę, której objętość wynosi:
V = π
b∫a
f 2(x) dx ,
a pole powierzchni bocznej
S = 2π
b∫a
f (x)√
1 + (f ′(x))2 dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Objętość i pole powierzchni brył obrotowych
W przypadku równań parametrycznych x = x(t), y = y(t) dlaα ¬ t ¬ β, odpowiednie wzory to:
V = π
β∫α
y2(t)|x ′(t)| dt,
S = 2π
β∫α
|y(t)|√
(x ′(t))2 + (y ′(t))2 dt.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Objętość i pole powierzchni brył obrotowych
W przypadku równań parametrycznych x = x(t), y = y(t) dlaα ¬ t ¬ β, odpowiednie wzory to:
V = π
β∫α
y2(t)|x ′(t)| dt,
S = 2π
β∫α
|y(t)|√
(x ′(t))2 + (y ′(t))2 dt.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Objętość i pole powierzchni brył obrotowych
Przykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsy
x2
a2+y2
b2 = 1
dokoła osi odciętych.
2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidy
x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π
dokoła osi odciętych.3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywejy = sin x , 0 ¬ x ¬ π. Wsk.: zastosować wzór:∫ √
x2 + a dx =a2
ln |x +√x2 + a|+ x
2
√x2 + a+ C
4. Pole powierzchni powstałej przez obrót asteroidy x = a cos3 t,y = a sin3 t, a > 0 dokoła osi Ox .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Objętość i pole powierzchni brył obrotowych
Przykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsy
x2
a2+y2
b2 = 1
dokoła osi odciętych.2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidy
x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π
dokoła osi odciętych.
3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywejy = sin x , 0 ¬ x ¬ π. Wsk.: zastosować wzór:∫ √
x2 + a dx =a2
ln |x +√x2 + a|+ x
2
√x2 + a+ C
4. Pole powierzchni powstałej przez obrót asteroidy x = a cos3 t,y = a sin3 t, a > 0 dokoła osi Ox .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Objętość i pole powierzchni brył obrotowych
Przykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsy
x2
a2+y2
b2 = 1
dokoła osi odciętych.2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidy
x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π
dokoła osi odciętych.3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywejy = sin x , 0 ¬ x ¬ π. Wsk.: zastosować wzór:∫ √
x2 + a dx =a2
ln |x +√x2 + a|+ x
2
√x2 + a+ C
4. Pole powierzchni powstałej przez obrót asteroidy x = a cos3 t,y = a sin3 t, a > 0 dokoła osi Ox .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Objętość i pole powierzchni brył obrotowych
Przykłady 1. Objętość bryły powstałej przez obrót elipsy
x2
a2+y2
b2 = 1
dokoła osi odciętych.2. Objętość bryły powstałej z obrotu jednego łuku cykloidy
x = a(t − sin t), y = a(1− cos t), 0 ¬ t ¬ 2π
dokoła osi odciętych.3. Pole powierzchni powstałej przez obrót dokoła osi Ox krzywejy = sin x , 0 ¬ x ¬ π. Wsk.: zastosować wzór:∫ √
x2 + a dx =a2
ln |x +√x2 + a|+ x
2
√x2 + a+ C
4. Pole powierzchni powstałej przez obrót asteroidy x = a cos3 t,y = a sin3 t, a > 0 dokoła osi Ox .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Droga
Jeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t1, t2] wynosi
s =
t2∫t1
v(t) dt.
Przykład Prędkość punktu wynosi v = 0, 6t2 msek . Jaką drogęprzebędzie punkt w czasie T = 10 sek począwszy od początkuruchu? Jaka jest prędkość średnia?Odp. Mamy
s =
10∫0
0, 6t2 dt = 200m.
Prędkość średnia: v0 = 20010 = 20 m
sek .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Droga
Jeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t1, t2] wynosi
s =
t2∫t1
v(t) dt.
Przykład Prędkość punktu wynosi v = 0, 6t2 msek . Jaką drogęprzebędzie punkt w czasie T = 10 sek począwszy od początkuruchu? Jaka jest prędkość średnia?
Odp. Mamy
s =
10∫0
0, 6t2 dt = 200m.
Prędkość średnia: v0 = 20010 = 20 m
sek .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Droga
Jeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t1, t2] wynosi
s =
t2∫t1
v(t) dt.
Przykład Prędkość punktu wynosi v = 0, 6t2 msek . Jaką drogęprzebędzie punkt w czasie T = 10 sek począwszy od początkuruchu? Jaka jest prędkość średnia?Odp. Mamy
s =
10∫0
0, 6t2 dt = 200m.
Prędkość średnia: v0 = 20010 = 20 m
sek .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Droga
Jeżeli punkt porusza się po prostej ze zmienną prędkościąv = v(t), to droga przebyta w przedziale czasu [t1, t2] wynosi
s =
t2∫t1
v(t) dt.
Przykład Prędkość punktu wynosi v = 0, 6t2 msek . Jaką drogęprzebędzie punkt w czasie T = 10 sek począwszy od początkuruchu? Jaka jest prędkość średnia?Odp. Mamy
s =
10∫0
0, 6t2 dt = 200m.
Prędkość średnia: v0 = 20010 = 20 m
sek .Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Praca
Jeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox , to praca tejsiły na przedziale [x1, x2] wynosi
W =
x2∫x1
f (x) dx .
Przykład Jaką pracę należy wykonać aby rozciągnąć sprężynę o 6cm, jeżeli siła 1 N rozciąga ją o 1 cm?Odp. Zgodnie z prawem Hooke’a F = kx dla pewnej stałej k .Podstawiając F = 1[N] i x = 0, 01[m] otrzymujemy k = 100.Zatem F = 100x oraz
W =
0,06∫0
100x dx = 0, 18 J.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Praca
Jeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox , to praca tejsiły na przedziale [x1, x2] wynosi
W =
x2∫x1
f (x) dx .
Przykład Jaką pracę należy wykonać aby rozciągnąć sprężynę o 6cm, jeżeli siła 1 N rozciąga ją o 1 cm?
Odp. Zgodnie z prawem Hooke’a F = kx dla pewnej stałej k .Podstawiając F = 1[N] i x = 0, 01[m] otrzymujemy k = 100.Zatem F = 100x oraz
W =
0,06∫0
100x dx = 0, 18 J.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Praca
Jeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox , to praca tejsiły na przedziale [x1, x2] wynosi
W =
x2∫x1
f (x) dx .
Przykład Jaką pracę należy wykonać aby rozciągnąć sprężynę o 6cm, jeżeli siła 1 N rozciąga ją o 1 cm?Odp. Zgodnie z prawem Hooke’a F = kx dla pewnej stałej k .Podstawiając F = 1[N] i x = 0, 01[m] otrzymujemy k = 100.
Zatem F = 100x oraz
W =
0,06∫0
100x dx = 0, 18 J.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Praca
Jeżeli zmienna siła F = f (x) działa w kierunku osi Ox , to praca tejsiły na przedziale [x1, x2] wynosi
W =
x2∫x1
f (x) dx .
Przykład Jaką pracę należy wykonać aby rozciągnąć sprężynę o 6cm, jeżeli siła 1 N rozciąga ją o 1 cm?Odp. Zgodnie z prawem Hooke’a F = kx dla pewnej stałej k .Podstawiając F = 1[N] i x = 0, 01[m] otrzymujemy k = 100.Zatem F = 100x oraz
W =
0,06∫0
100x dx = 0, 18 J.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (a, b] i jest nieograniczona wotoczeniu punktu a, to określamy całkę niewłaściwą pierwszegorodzaju:
b∫a
f (x) dx = limε→0
b∫a+ε
f (x) dx .
Analogicznie określamy całkę z niewłaściwością w granicy górnej:
b∫a
f (x) dx = limε→0
b−ε∫a
f (x) dx .
Jeżeli powyższe granice istnieją i są skończone, to całki nazywamyzbieżnymi; w przeciwnym przypadku (tj. gdy granice nie istniejąlub są niewłaściwe) całki nazywamy rozbieżnymi.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (a, b] i jest nieograniczona wotoczeniu punktu a, to określamy całkę niewłaściwą pierwszegorodzaju:
b∫a
f (x) dx = limε→0
b∫a+ε
f (x) dx .
Analogicznie określamy całkę z niewłaściwością w granicy górnej:
b∫a
f (x) dx = limε→0
b−ε∫a
f (x) dx .
Jeżeli powyższe granice istnieją i są skończone, to całki nazywamyzbieżnymi; w przeciwnym przypadku (tj. gdy granice nie istniejąlub są niewłaściwe) całki nazywamy rozbieżnymi.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w (a, b] i jest nieograniczona wotoczeniu punktu a, to określamy całkę niewłaściwą pierwszegorodzaju:
b∫a
f (x) dx = limε→0
b∫a+ε
f (x) dx .
Analogicznie określamy całkę z niewłaściwością w granicy górnej:
b∫a
f (x) dx = limε→0
b−ε∫a
f (x) dx .
Jeżeli powyższe granice istnieją i są skończone, to całki nazywamyzbieżnymi; w przeciwnym przypadku (tj. gdy granice nie istniejąlub są niewłaściwe) całki nazywamy rozbieżnymi.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykłady 1.1∫0
1√x dx = 2;
2.2∫1
dxx√
ln x= 2√
ln 2;
3.1∫0
dx(x−1)2 (rozbieżna).
Czasem wystarcza informacja, czy całka jest zbieżna, czy nie.Można wtedy zastosować kryterium porównawcze:
Jeżeli f (x) ¬ g(x) w (a, b) i całkab∫ag(x) dx jest zbieżna, to
b∫af (x) dx też jest zbieżna.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykłady 1.1∫0
1√x dx = 2;
2.2∫1
dxx√
ln x= 2√
ln 2;
3.1∫0
dx(x−1)2 (rozbieżna).
Czasem wystarcza informacja, czy całka jest zbieżna, czy nie.Można wtedy zastosować kryterium porównawcze:
Jeżeli f (x) ¬ g(x) w (a, b) i całkab∫ag(x) dx jest zbieżna, to
b∫af (x) dx też jest zbieżna.
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkami niewłaściwymi drugiego rodzaju nazywamy całki poprzedziale nieograniczonym:
b∫−∞
f (x) dx = lima→−∞
b∫a
f (x) dx ,
∞∫a
f (x) dx = limb→∞
b∫a
f (x) dx ,
∞∫−∞
f (x) dx = lima→−∞
c∫a
f (x) dx + limb→∞
b∫c
f (x) dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkami niewłaściwymi drugiego rodzaju nazywamy całki poprzedziale nieograniczonym:
b∫−∞
f (x) dx = lima→−∞
b∫a
f (x) dx ,
∞∫a
f (x) dx = limb→∞
b∫a
f (x) dx ,
∞∫−∞
f (x) dx = lima→−∞
c∫a
f (x) dx + limb→∞
b∫c
f (x) dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Całkami niewłaściwymi drugiego rodzaju nazywamy całki poprzedziale nieograniczonym:
b∫−∞
f (x) dx = lima→−∞
b∫a
f (x) dx ,
∞∫a
f (x) dx = limb→∞
b∫a
f (x) dx ,
∞∫−∞
f (x) dx = lima→−∞
c∫a
f (x) dx + limb→∞
b∫c
f (x) dx .
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone
Całka nieoznaczonaCałka oznaczona
Zastosowanie całek w geometrii i fizyceCałki niewłaściwe
Przykłady 1.∞∫0e−x dx = 1;
2.∞∫1
dxx2+x = ln 2;
3.0∫−∞
sin x dx (rozbieżna).
4.∞∫−∞
dxx2+2x+2
Maciej Grzesiak Całki nieoznaczone i oznaczone