Całka oznaczona Całka niewłaściwa Wzór Taylora Macierzestanislaw.jaworski.ekonometria.info/statystyka/pdf/Calki.pdf · Całka oznaczona Całka niewłaściwa Wzór Taylora Macierze

Całka oznaczonaCałka niewłaściwa

Wzór TayloraMacierze

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Stanisław Jaworski

Katedra Ekonometrii i StatystykiZakład Statystyki

Stanisław Jaworski Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki



DefinicjaWłasnościPrzykłady

Niech f (x) oznacza funkcję ograniczoną na przedziale domkniętym< a, b >.Niech P1, P2, . . . , Pm, . . . będą różnym podziałami przedziału< a, b >. Podział Pm jest osiągnięty przy pomocy nm − 1 liczbx1, x2, . . . , xnm−1, przy czym

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xnm−1 < xnm = b.

Przedziały < xi−1, xi >, gdzie i = 1, 2, . . . , nm, nazywamyprzedziałami cząstkowymi podziału Pm. Długości ich xi − xi−1będziemy oznaczali przez ∆xiNiech δm = max

i∆xi oraz

Sm =nm∑i=1

f (ci )∆xi ,

przy podziale Pm oraz dowolnie wybranych punktówci ∈< xi−1, xi >, i = 1, 2, . . . , nm.Ciąg podziałów nazywamy normalnym ciągiem podziałów, jeżelilimm→∞

δm = 0





Definicja

Jeżeli ciąg {Sm} dla m→∞ jest zbieżny i do tej samej granicy przykażdym normalnym ciągu podziałów, niezależnie od wyboru punktów ci ,to funkcję f (x) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale < a, b >.Granicę ciągu {Sm} nazywamy całką oznaczoną funkcji f (x) w granicachod a do b i oznaczamy symbolem∫ b

af (x) dx

Jeżeli przy jakimś ciągu normalnym podziałów ciąg {Sm} ma granicęniezależną od wyboru punktów ci , to funkcja f (x) jest całkowalna.

Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna

Funkcja ogranicznona w przedziale domkniętym oraz ciągła w nim zwyjątkiem co najwyżej skończonej liczby liczby punktów jestcałkowalna.





1 Jeżeli a ≤ b ≤ b ≤ c , to

c∫a

f (x) dx =

b∫c

f (x) dx +

c∫b

f (x) dx

2 Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki

b∫a

kf (x) dx = k

b∫a

f (x) dx

3 Całka sumy równa się sumie całek

b∫a

(f (x) + g(x)) dx =

b∫a

f (x) dx +

b∫a

g(x) dx






c∫a

f (x) dx =

b∫c

f (x) dx +

c∫b

f (x) dx


b∫a

kf (x) dx = k

b∫a

f (x) dx


b∫a

(f (x) + g(x)) dx =

b∫a

f (x) dx +

b∫a

g(x) dx






c∫a

f (x) dx =

b∫c

f (x) dx +

c∫b

f (x) dx


b∫a

kf (x) dx = k

b∫a

f (x) dx


b∫a

(f (x) + g(x)) dx =

b∫a

f (x) dx +

b∫a

g(x) dx





1 Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w przedziale < a, b >, to zachodzi

b∫a

f (x) dx = f (c)(b − a),

dla pewnego c z przedziału < a, b >2 Jeżeli funkcja f (t) jest ciągła w przedziale < a, b >, to funkcja

h(x) =

∫ xaf (t) dt

jest ciągła i różniczkowalna względem zmiennej x w przedziale< a, b > i w każdym punkcie tego przedziału zachodzi związekh′(x) = f (x).

3 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ.Jeżeli prz F (x) oznaczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej wprzedziale < a, b >, tzn. jeżeli F (x)′ = f (x), to ma miejsce wzór∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a)






b∫a

f (x) dx = f (c)(b − a),


h(x) =

∫ xaf (t) dt



af (x) dx = F (b)− F (a)






b∫a

f (x) dx = f (c)(b − a),


h(x) =

∫ xaf (t) dt



af (x) dx = F (b)− F (a)





1 Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to∫ bau dv = [uv ]ba −

∫ bavdu.

Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznczonych.2 Jeżeli g ′(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale< a, b >, a f (u) funkcją ciągłą w przedziale < g(a), g(b) >, tozachodzi następujący wzór:∫ b

af (g(x))g ′(x) dx =

∫ g(b)g(a)f (u) du





1 Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to∫ bau dv = [uv ]ba −

∫ bavdu.

Jest to wzór na całkowanie przez części dla całek oznczonych.2 Jeżeli g ′(x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedziale< a, b >, a f (u) funkcją ciągłą w przedziale < g(a), g(b) >, tozachodzi następujący wzór:∫ b

af (g(x))g ′(x) dx =

∫ g(b)g(a)f (u) du





Przykłady

∫ 12π

0 x sin x dx = −∫ 12π

0 xd(cos x) = [−x cos x ]12π0 +

∫ 12π

0 cosx dx =

[sin x ]12π0 = 1

Ponieważ∫x sin(x2) dx = − cos(x2)

2 + C , mamy∫ π/2

0x sin(x2) dx =

[− cos(x2)

2

]π/20

=

(− cos((π/2)2)

2

)−− cos(02)

2

Ponieważ∫exx dx = ex(−1 + x) + C , mamy∫ 3

2exx dx = [ex(−1 + x)]32 = e3(−1 + 3)− e2(−1 + 2)

∫ 52 ln(x) dx =

∫ 52 x′ ln(x) dx = [x ln(x)]52 −

∫ 52 x ·

1x dx =

= 5 ln(5)− 2 ln(2)− (5− 2)





Przykłady

∫ 12π

0 x sin x dx = −∫ 12π

0 xd(cos x) = [−x cos x ]12π0 +

∫ 12π

0 cosx dx =

[sin x ]12π0 = 1


2 + C , mamy∫ π/2

0x sin(x2) dx =

[− cos(x2)

2

]π/20

=

(− cos((π/2)2)

2

)−− cos(02)

2


2exx dx = [ex(−1 + x)]32 = e3(−1 + 3)− e2(−1 + 2)

∫ 52 ln(x) dx =

∫ 52 x′ ln(x) dx = [x ln(x)]52 −

∫ 52 x ·

1x dx =

= 5 ln(5)− 2 ln(2)− (5− 2)





Przykłady

∫ 12π

0 x sin x dx = −∫ 12π

0 xd(cos x) = [−x cos x ]12π0 +

∫ 12π

0 cosx dx =

[sin x ]12π0 = 1


2 + C , mamy∫ π/2

0x sin(x2) dx =

[− cos(x2)

2

]π/20

=

(− cos((π/2)2)

2

)−− cos(02)

2


2exx dx = [ex(−1 + x)]32 = e3(−1 + 3)− e2(−1 + 2)

∫ 52 ln(x) dx =

∫ 52 x′ ln(x) dx = [x ln(x)]52 −

∫ 52 x ·

1x dx =

= 5 ln(5)− 2 ln(2)− (5− 2)





Przykłady

∫ 12π

0 x sin x dx = −∫ 12π

0 xd(cos x) = [−x cos x ]12π0 +

∫ 12π

0 cosx dx =

[sin x ]12π0 = 1


2 + C , mamy∫ π/2

0x sin(x2) dx =

[− cos(x2)

2

]π/20

=

(− cos((π/2)2)

2

)−− cos(02)

2


2exx dx = [ex(−1 + x)]32 = e3(−1 + 3)− e2(−1 + 2)

∫ 52 ln(x) dx =

∫ 52 x′ ln(x) dx = [x ln(x)]52 −

∫ 52 x ·

1x dx =

= 5 ln(5)− 2 ln(2)− (5− 2)




Całki funkcji nieograniczonychCałki oznaczone w przedziale nieskończonym

Definicja

Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedzialea ≤ x ≤ c − h, h > 0, oraz w każdym przedziale c + k ≤ x ≤ b, k > 0, ijeżeli istnieją granice

limh→0+

∫ c−haf (x) dx oraz lim

k→0+

∫ bc+kf (x) dx ,

to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) wprzedziale < a, b > i oznaczamy symbolem∫ b

af (x) dx

W podanej definicji chodzi o funkcje, które w każdym otoczeniu(c − δ, c + δ), δ > 0, są niogranczone. W punkcie c funkcja możenawet nie być okreśłona. Jeżeli przynajmniej jedna z granic nieistnieje, to mówimy, że całka jest rozbieżna.





Jeżeli punktem nieograniczoności jest jeden z końców przedziału< a, b >, to przez całkę niewłaściwą rozumiemy odpowiednio

limh→0+

∫ ba+hf (x) dx albo lim

k→0+

∫ b−kaf (x) dx ,

Przykład:∫ 30dx√x dx = lim

ε→0+

∫ 3εdx√x dx = lim

ε→0+

(2√

3− 2√ε)





Definicja

Jeżeli funkcja f (x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedzialeskończonym a ≤ x ≤ v (a− ustalone, v − dowolne) oraz istnieje granica

limv→∞

∫ vaf (x) dx ,

to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f (x) w przedzialea ≤ x <∞ i oznaczamy symbolem∫ ∞

af (x) dx .

Analogicznie określa się znaczenie symbolu∫ b−∞ f (x) dx jako granicę

limu→−∞

∫ bu f (x) dx .





Przykład.

Chcemy obliczyć całkę∫∞1

(2x + 1

x2)2dx .

Ponieważ∫ (2x + 1

x2)2dx = − 4x −

2x2 −

13x3 ,

mamy∫∞1

(2x + 1

x2)2dx = limv→∞

(− 4v −

2v2 −

13v3 − (−4− 2− 1/3)

)




Twierdzenie Taylora

Założenie: f ∈ C n+1(< a, b >), a < x < b.Teza:

f (x) = f (a) +x − a

1!f (1)(a) +

(x − a)2

2!f (2)(a) + . . .+

+(x − a)n

n!f (n)(a) +

∫ xa

(x − t)n

n!f (n+1)(t) dt

Ostatni wyraz często nazywa się n−tą resztą i oznacza przezRn(x , a).

Lagrange pokazał, że∨0≤θ≤1

Rn(x , a) = (x−a)n+1(n+1)! f

(n+1)(a+ θ(x − a))

Szereg potęgowy f (x) = f (a) +∞∑n=1

f (n)(a)n! (x − a)n nazywamy

szeregiem Taylora.Dla a = 0 szerec Taylora nazywa się szeregiem Maclaurina.




Twierdzenie

Funkcja jest rozwijalna w szereg Taylora w przedziale (a− δ, a+ δ),δ > 0, jeżeli w tym przedziale:1. funkcja ma pochodne każdego rzędu2. limn→∞

Rn(x , a) = 0 dla x z przedziału (a− δ, a+ δ)

Warunek 2. jest w szczególności spełniony, jeżeli istnieje M > 0 takie, że∧x∈(a−δ,a+δ)

|f (n)(x)| < M

Przykłady.ex = 1 + x + x2

2! + x3

3! + . . .+ xn

n! + . . .

sin x = x − x3

3! + x4

4! + 53

5! − . . .+ x4k+1

(4k+1)! −x4k+3

(4k+3)! + . . .




Podstawowe definicjeDziałania na macierzach - podstawyWyznacznik macierzyUkład równań liniowychFormy kwadratowe i ich określoność

MACIERZE

Macierz wymiaru m × nMacierz A wymiaru m × n jest prostokątną tablicą elementówaij , i = 1, . . .m, j = 1, . . . , n:

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

Elementami macierzy mogą być liczby rzeczywiste, zespolone i „innejeszcze obiekty”. Będziemy oznaczać w skrócie A = (aij)





Macierz zerowa to macierz, której wszystkie elementy są równe zero

Transpozycją macierzy A = (aij) o wymiarach m × n jest macierzAT = (aji ) o wymiarach n ×m

O macierzy A wymiaru m× n powiemy, że jest kawdratowa, jeżeli m = n

Macierz A jest symetryczna, gdy jest kwadratowa oraz zachodziwarunek AT = A

Macierz A = (aij) jest diagonalna, jeżeli jest kwadratowa oraz aij = 0dla i 6= j

Macierz identycznościowa I : macierz diagonalna, która ma samejedynki na przekątnej





Sumą macierzy A = (aij) oraz B = (bij) o jednakowych wymiarach jestmacierz A+ B = (aij + bij)

Różnicą macierzy A = (aij) oraz B = (bij) o jednakowych wymiarachjest macierz A− B = (aij − bij)

Mnożenie macierzy A = (aij) przez liczbę α:

αA = (α · aij)

Przemienność, łączność oraz rozdzielność mnożenia macierzy przezliczbę (α, β ∈ R):

αA = Aα, α(βA) = (αβ)A, (α± β)A = αA± βB, α(A±B) = αA±αB





Mnożenie macierzy A = (aij) wymiaru m × n przez wektorv = [v1, . . . , vn]T :

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . .am1 am2 . . . amn

v1v2...vn

=

a11v1 + a12v2 + . . .+ a1nvna21v1 + a22v2 + . . .+ a2nvn

...am1v1 + am2v2 + . . .+ amnvn





Mnożenie macierzy A = (aij) wymiaru m × n przez macierzB = (b1, b2, . . . , bk) wymiaru n × k :

AB = (Ab1,Ab2, . . . ,Abk)

Transpozycja a mnożenie macierzy: (AB)T = BTAT

Rząd macierzy

Dla każdej macierzy A maksymalna liczba r liniowo niezależnych kolumnjest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy. Liczbę rnazywamy rzędem macierzy, symbolicznie oznczanym przez R(A)

Macierz nieosobliwa: Macierz kwadratowa A wymiaru n × n, dla którejR(A)=n.

Macierz odwrotna A−1 do macierzy kwadratowej A:

A−1A = I = AA−1





Wyznacznik macierzy A wymiaru n × n (kwadratowej)

Wyznacznik to funkcja (oznaczona przez det)

det : { zbiór macierzy kwadratowych} → R

o własnościach:

det(I ) = 1

det(A) = 0 jeżeli A ma dwa sąsiednie wiersze równe

det jest funkcją liniową względem dowolnego wiersza

Uwaga: istnieje tylko jedna taka funkcja

Uwaga: Na nstępnych slajdach A(ij) oznacza macierz powstałą zmacierzy A poprzez usunięcie z niej i-tego wiersza oraz j−tej kolumny.





Własności wyznaczników:

Twierdzenie Laplace’a dla kolumn:

det(A) =n∑i=1

aij(−1)i+jdet(A(i , j))

dla i = 1, . . . , n

det(A) = 0⇔ R(A) < n

det(A) = −det(B), jeżeli B powstaje z A przez zamianę miejscamidwóch wierszy macierzy A

det(A) = det(B), jeżeli B powstaje z A przez dodanie/odjęcie oddanego wiersza innego wiersza przemnożonego przez dowolną liczbę

Twierdzenie Cauchy’ego: det(AB) = det(A)det(B)

Jeżeli R(A) = n (macierz A jest pełnego rzędu), todet(A−1) = (det(A))−1





Własności wyznaczników:

Twierdzenie Laplace’a dla wierszy:

det(A) =n∑j=1

aij(−1)i+jdet(A(i , j))

dla i = 1, . . . , n

det(A) = −det(B), jeżeli B powstaje z A przez zamianę miejscamidwóch kolumn macierzy A

det(A) = det(B), jeżeli B powstaje z A przez dodanie/odjęcie oddanej kolumny innej kolumny przemnożonej przez dowolną liczbę

det(A) jest funkcją liniową dowolnej kolumny

det(AT ) = det(A)





Niech A = (aij) macierz wymiaru n × n, c = [c1, . . . , cn]T orazx = [x1, . . . , xn]T . Macierz A oraz wektor c traktujemy jako znane, awektor x jako nieznany (wektor niewiadomych). Interesuje nasrozwiązanie układu równań Ax = c , tzn.

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = c2

...an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = cn

Twierdzenie. Jeżeli det(A) 6= 0, to powyższy układ równań liniowychma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to można uzyskać zapomocą wzorów Cramera:

xi =det(a1, a2, . . . , ai−1, c , ai+1, . . . an)

det(A), i = 1, 2, . . . , n,

gdzie ai oznacza i−tą kolumnę macierzy A





Niech A = (aij) macierz wymiaru m × n, c = [c1, . . . , cm]T orazx = [x1, . . . , xn]T . Interesuje nas rozwiązanie układu równań Ax = c , tzn.

a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = c1a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = c2

...am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = cm

Niech

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

. . ....

am1 am2 . . . amn

B =

a11 a12 . . . a1n c1a21 a22 . . . a2n c2

......

. . ....

...am1 am2 . . . amn cm

Twierdzenie Kroneckera-Capellego. Powyższy układ równań liniowychma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B) = r , przy tym1) jeżeli r = n, to układ ma jedno rozwiązanie,2) jeżeli r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i są onezależne od n − r parametrów.





Niech A = (a1, . . . , an) będzie macierzą wymiaru n × n. Wektorya1, . . . , an są jej kolumnami. Oznaczmy przez dAij wyznacznik z macierzy(a1, . . . , ai−1, ei , ai+1, . . . , an), która powstała z A poprzez zamianękolumny aj na wektor ei = [0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0]T (który na i−tymmiejscu ma jedynkę, a poza tym same zera).

Macierz stowarzyszona AdjA do macierzy A:

AdjA =

dA11 dA12 . . . dA1ndA21 dA22 . . . dA2n

......

. . ....

dAn1 dAn2 . . . dAnn

Twierdzenie: Macierz odwrotną do macierzy A można wyznaczyćwedług wzoru:

A−1 = AdjA · ( 1det(A)

)





Forma kwadratowa

Niech x = [x1, . . . , xn]T będzie wektorem n wymiarowym oraz niechA = (aij) będzie macierzą symetryczną stopnia n (wymiaru n × n).Odwzorowanie x → xTAx =

∑ni=1

∑nj=1 aijxixj nazywamy formą

kwadratową

Macierz symetryczna A jest

dodatnio określona: xTAx > 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A > 0)ujemnie określona: xTAx < 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A < 0)niedodatnio określona: xTAx ≤ 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A ≤ 0)nieujemnie określona: xTAx ≥ 0 dla każdego x 6= 0 (piszemy A ≥ 0)





Kryterium Sylvestera

Macierz symetryczna A = (aij) stopnia n jest dodatnio określona wtedy itylko wtedy, gdy wszystkie jej wiodące minory główne są dodatnie:

a11 > 0

det

a11 a12 . . . a1ka21 a22 . . . a2k

......

. . .ak1 ak2 . . . akk

> 0, dla k = 2, . . . , n

Uwaga: Jeżeli chcemy sprawdzić, czy macierz jest ujemnie określona,należy sprawdzić, czy macierz „−A”jest określona dodatnio


Documents

Całka oznaczona Całka niewłaściwa Wzór Taylora Macierzestanislaw.jaworski.ekonometria.info/statystyka/pdf/Calki.pdf · Całka oznaczona Całka niewłaściwa Wzór Taylora Macierze