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CAMES E SEGUIDORESCAMES E SEGUIDORES

Prof. Alexandre Augusto Pescador Prof. Alexandre Augusto Pescador SardáSardá

SÍNTESE ANALÍTICA DE CAMESSÍNTESE ANALÍTICA DE CAMES

• Em muitos projetos de cames, métodos gráficos de síntese de camesforam substituídos por métodos analíticos ou matemáticos;

•Vantagem de projeto de came em tempo baixo devido à utilização de computadores;

•Vantagem relacionada à precisão quando comparado a projetos gráficos;

•Computadores têm precisão muito maior do que as máquinas utilizadas na fabricação dos cames;

•O computador utilizado na fabricação do came pode também forecr a informação necessária para a fabricação do came;

SÍNTESE ANALÍTICA DE CAMES SÍNTESE ANALÍTICA DE CAMES ––TEORIA DE ENVELOPESTEORIA DE ENVELOPES

• Consiste em um processo de geração analítica de cames de disco;

•Como na abordagem gráfica, as posições desejadas no seguidor sãodeterminadas para uma inversão do sistema came-seguidor onde o came é considerado estacionário.

•O came resultante será obtido ajustando uma curva tangente às posições do seguidor;

•Ao contrário da abordagem gráfica, a abordagem analítica pode considerar um número ilimitado de posições do seguidor, de formaoposta ao método gráfico.


• Base da abordagem é a teoria de envelopes de cálculo;

•Pode ser utilizado para qualquer forma de seguidor (rolo, face plana);


O conjunto de todas as posições do seguidor descreve uma família de curvas (círculos neste caso);

•O contorno da família de curvas do seguidor é chamado envelope e é o perfil do came.

xy


• Para este exemplo, o envelope consiste de duas curvas, indicando que há dois perfis de came possíveis, um externo e outro interno

•A família de curvas no plano xy pode ser expressa matematicamente por:

0,, yxF

onde é chamado o parâmetro da família.

SÍNTESE ANALÍTICA DE CAMES SÍNTESE ANALÍTICA DE CAMES ––TEORIA DE ENVELOPESTEORIA DE ENVELOPES• Para este exemplo, o envelope consiste de duas curvas, indicando que há dois perfis de came possíveis, um externo e outro interno

•A família de curvas no plano x-y pode ser expressa matematicamente por:

0,, yxF

onde é chamado o parâmetro da família.

Nesta Figura específica, representa a localização do centro do seguidor de raio constate.

SÍNTESE ANALÍTICA DE CAMES SÍNTESE ANALÍTICA DE CAMES ––TEORIA DE ENVELOPESTEORIA DE ENVELOPES• Na Figura, duas curvas, correspondentes aos valores arbitrários de 1 e 2 são mostradas.

Pontos sobre o envelope também estão sobre as curvas, e assim, as coordenadas x, y do envelope devem satisfazer a equação F(x,y,).

0,,

yxF

Considere a seguinte equação envolvendo a derivada parcial de F em relação a :


A equação abaixo representa uma segunda família de curvas com parâmetro .

0,,

yxF

Pode ser mostrado que cada membro da curva dada pela equação anterior intercepta o membro correspondene da equação abaixo no envelope.

0,, yxF

Assim, a solução simultânea das duas equação acima definem o envelope.

Esta solução é eliminando-se o parâmetro ou expressando-se x e y em função de .

EX.1 EX.1 –– ENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOSENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOS•Encontrar o envoltório da família dos círculos dependentes dum parâmetro C.

0,, 222 RyxyxF

02,,

xyxF

x

0222 Ry

22 Ry Ry

As duas equações a seguir devem ser satisfeitas:

FIG 251

EX.2 EX.2 –– ENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOSENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOS•A Figura a seguir contém uma família de círculos, cada uma tendo um raio de 1.0 e centro em cima de uma linha de 45o no plano x-y. Determine o envelope para esta família de curvas.

EX.2 EX.2 –– ENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOSENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOS•As curvas podem ser escritas matematicamente como:

01,, 22 yxyxF

Onde um valor particular de define um círculo de raio 1.0 com centro em x = , y = .

EX.2 EX.2 –– ENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOSENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOS•A segunda condição pode ser escrita como:

022,,

yxyxF yx

2yx

EX.2 EX.2 –– ENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOSENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOS• Substituindo-se na primeira equação:

0122

22

yxyyxx

0122

22

xyyx

42 2 yx

2 xy Esta equação define o envelope, um par de linhas retas com inclinação 450. Substituindo-se na primeira equação:

22 yx 2 yx

EX.2 EX.2 –– ENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOSENVELOPE DE UMA FAMÍLIA DE CÍRCULOS• Utilizando-se a forma paramétrica como função de :

xy 2

Substituindo-se uma faixa de valores para , estas equações definem o envelope.

21

x

21

y

012,, 22 xxyxF

0122 xx

12 2 x 2

1x

EX.3 EX.3 –– ENVOLTÓRIO DE UMA FAMÍLIA DE RETASENVOLTÓRIO DE UMA FAMÍLIA DE RETAS

onde é o parâmetro:

0cos psenyx

Multiplicando-se a primeira equação por cos e a segunda por sen , obém-se:

0cos,, psenyxyxF

0cos,,

ysenxyxF

0coscoscos2 psenyx

0cos2 senysenx

EX.3 EX.3 –– ENVOLTÓRIO DE UMA FAMÍLIA DE RETASENVOLTÓRIO DE UMA FAMÍLIA DE RETAS

0coscoscoscos 22 psenysenysenx

0cos1 px

cospx

0coscos ysenp

Mas:

senpy

Fazendo-se:

22222 cos psenppyx

222 pyx Equação de um círculo:

Equações paramétricas da trajetória.cos0tvx

Achar o envoltório das trajetórias dos projéteis lançados por um canhão à velocidade vo sob ângulos diferentes. Supõe-se que os projéteis são lançados da origem das coordenadas e que as suas trajetórias se encontram no plano Oxy.

2

2

00gtsentvy

Eliminando-se t:

22

0

2

cos2tan

vxgxy

EX.4 EX.4 –– ENVOLTÓRIO DAS TRAJETÓRIAS DE PROJÉTEISENVOLTÓRIO DAS TRAJETÓRIAS DE PROJÉTEIS


ktan

Introduzindo-se a notação:

22 1 kxaxky

avg

202

Equações das parábolas que passam pela origem de eixos verticais.

Obtém-se diferentes trajetórias fazendo-se variar k.

Equação de uma família de parábolas com um parâmetro, que são as trajetórias dos projéteis lançados sob diferentes ângulos e com velocidade inicial dada.

Derivando-se os dois membros em termos de k tem-se:

22 1 kxaxky


220 xkax

02 2 xkax

xak

21

22

2

411

21

xaxax

xay

2

41 xaa

y Parábola de segurança, porque a região que se encontra ao redor desta parábola está fora do alcance dos projéteis lançados com a velocidade inicial vo.

023 xy

EX.5 EX.5 –– ENVOLTÓRIO DA FAMÍLIA DE PARÁBOLAS ENVOLTÓRIO DA FAMÍLIA DE PARÁBOLAS SEMISEMI--CÚBICASCÚBICAS

0,, 23 xyyxF

02,,

xyxF

Eliminando-se o parâmetro das duas equações:

x 023 y 0y

EX.5 EX.5 –– ENVOLTÓRIO DA FAMÍLIA DE PARÁBOLAS ENVOLTÓRIO DA FAMÍLIA DE PARÁBOLAS SEMISEMI--CÚBICASCÚBICAS

O eixo Ox é o lugar geométrico dos pontos singulares (pontos de reversão):

x0y

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASREFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Wilson,C., Sadler, J., “Kinematics and Dynamics of Machinery”, HarperCollinsCollegePublishers, 1991.

Piskounov,N. “Cálculo diferencial e integal – Volume II”, Editora Lopes da Silva, 8a edição, 1987.

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