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riccardo-castelli
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Campi ConservativiCampi ConservativiSia una funzione scalare (x,y,z) funzione del punto data da grad (x,y,z)
sempre
non sempre
sempre
sempresi parla di campi conservatividove
Es.
è un campo conservativo
sommando
quindi
Flusso di un vettore Flusso di un vettore attraverso una attraverso una
superficiesuperficiecampo vettoriale
superficie dello spazio per la quale è definito il campo
Sia
Es.
Se con indico la velocità di un fluido è con la sua densità
Divergenza di un Divergenza di un vettorevettore
la seguente grandezza scalare
Indichiamo divergenza di un vettore
funzione di (x,y,z)
Teorema della divergezaTeorema della divergeza
attraverso una superficie chiusa qualsiasi Sdel vettoreIl flusso
Campi solenoidaliCampi solenoidali
è sempre nullo
campo vettoriale
Sia in una regione dello spazio
è solenoidale in quella regione
Quindi
allora
Campi conservativi e Campi conservativi e solenoidalisolenoidali
è sempre nullo in quella regione
è conservativo, ossia se
Se , si ha
secondo la definizione di divergenza, si ha
Se è anche solenoidale in una certa regione dello spazio
Circuitazione di un Circuitazione di un vettorevettore
Consideriamo un campo vettoriale
Definiamo un nuovo vettore, detto rotazione di
.
l
Per definizione è la componente lungodel vettore che battezzo
a
.
l a
proponiamoci di calcolare circuitazione
O anche
Viceversa se la rotazione di un vettore è nulla allora possiamo dire che
Proprietà del rotoreProprietà del rotore
Ogni qual volta
le tre componenti sono identicamente nulle.
ricordando che per qualunque campo conservativo
si ha
quindi qualunque campo vettoriale che soddisfi deve essere conservativo.
una funzione
Teorema della rotazione Teorema della rotazione ooteorema di Stokesteorema di Stokes
La circuitazione del vettore
lungo una linea chiusal
notiamo subito che
Infatti calcolando secondo la definizione di divergenza
Da ciò segue che il campo è sempre solenoidale
Campo vettoriale Campo vettoriale irrotazionaleirrotazionale
Le due espressioni matematiche
hanno lo stesso significato
Campo irrotazionale Campo conservativo
Concetto di caricaConcetto di carica
Elettroscopio a foglie
Legge di CoulombLegge di Coulomb
Introduciamo una nuova grandezza che prende il
nome di Carica C = Coulomb
q1
q2
L’unità di carica si misura in Coulomb
Costante dielettrica del vuoto
Il campo elettricoIl campo elettrico
q1qn
q4
q3
q2qo
Intensità del Campo elettrico generato da una carica
Per ottenre quindi una definizione indipendente dalla carica considerate
Il potenziale Il potenziale elettrostaticoelettrostatico
q1qn
q4
q3
q2qo
È l’integrale indefinito
Potenziale elettrostatico
P1 P2
Energia potenzialeEnergia potenziale
È l’energia potenziale della carica quando essa è posta nel puntoin cui il potenziale ha il valore
Quindi il campo elettrico si misura in
Flusso del campo elettricoFlusso del campo elettrico
Il flusso è indipendente dalla forma e dalle dimensioni della particolare superficie S
che si considera.
Sorgente interna alla superficie
Sorgente esterna alla superficie
Il flusso dato da una sorgente esternaalla superficie è nullo
Flusso del campo elettricoFlusso del campo elettricoteorema di Gaussteorema di Gauss
Nel caso di più cariche Teorema di Gauss
Se si ha una distribuzione continua
Ricordando il teorema della divergenza
Teorema di Gauss in forma differenziale
Equazioni Equazioni fondamentali del fondamentali del
campo elettrostaticocampo elettrostatico
O anche
Eqazione di Poisson
Nei punti in cui
Eqazione di Laplace
Equazioni Equazioni dell’elettrostatica nei dell’elettrostatica nei
dielettricidielettriciIntroduciamo due
vettori
Nel mezzo abbiamo
Analogo a Induzione dielettrica
Intensità di polarizzazio
ne
Suscettività
dielettrica
Costante dielettricarelativa
Costante dielettrica Costante dielettrica relativa di alcune relativa di alcune
sostanzesostanze
Legge di Coulomb nei Legge di Coulomb nei dielettricidielettrici
q1
q2
Costante dielettrica del mezzo
Corrente elettrica Corrente elettrica stazionariastazionaria
Definiamo due nuove grandezze fisiche legata fra loro.
Intensità di corrente
Densità di corrente
Conservazione della Conservazione della carica carica (equazione di continuità)(equazione di continuità)
Intensità di corrente uscente entro la superficie del volumetto
Per il teorema della divergenzaDensità di carica
Si può avere una corrente che esce dalla sua superficie solo
se ρdv contenuta dentro il cubetto diminuisce.
Quindi Equazione di continuitàdella corrente elettrica
Nel caso delle correnti stazionarie si ha
Quindi Ossia è sempre solenoidale
conduttore
La legge di OhmLa legge di Ohm
La legge di Ohm fissa la dipendenza fra il potenziale e la corrente in un conduttore
Legge di Ohm
Resistività del materiale
Resistenza del conduttore
La legge di JouleLa legge di Joule
Legge di JouleLavoro svolto dal campo
Quantità di carica
Possiamo anche scrivere nei conduttori metallici dove vale la legge di Ohm
O anche scrivendo
Le leggi di KirchhoffLe leggi di Kirchhoff
Il flusso totale di uscente da tale superficie deve essere nullo.
In ogni maglia la somma delle f.e.m. è
sempre uguale alla somma delle c.d.t.
Nodo Maglia