Campo Electrostático (Primera Parte) · El campo solo tiene componente normal a la superficie pues si tuviese componente tangencial, ésta daría lugar a una corriente superficial,

Electricidad y Magnetismo Campo Electrostático I

07/01/2009 EyM 3.1-1

EyM 0-1

Campo Electrostático(Primera Parte)

EyM 0-2

Campo Estático

Debido a la complejidad de las ecuaciones de Maxwell no es aconsejable iniciar su estudio con problemas electromagnéticos generales. Es más razonable comenzar por los casos más sencillos e ir aumentando la complejidad gradualmente, así es más fácil asimilar las operaciones del análisis vectorial y nociones sencillas que luego se complicarán en casos generales. El caso más sencillo es el estudio de campos cuando no hay variaciones temporales d/dt = 0 y además no hay corrientes J =Js= 0 (no hay movimiento de las cargas). Decimos que los campos son estáticos en el tiempo o estáticos.

En este caso las ecuaciones de Maxwell son:

( )( )

HB

ED

B

D

rH

rE

rr

rr

r

r

rr

rr

µ

ε

ρ

=

=

=⋅∇

=⋅∇

=×∇

=×∇

0

0

0( ) ( )

( ) ( ) ( )

HB

ED

B

Dt

trDtrJtrH

ttrBtrE

rr

rr

r

r

rrrrrr

rrrr

µ

ε

ρ∂

∂∂

∂

=

=

=⋅∇

=⋅∇

+=×∇

−=×∇

0

,,,

,,

0

0

==

=

SJJt

rr∂∂


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EyM 0-3

Campo Electrostático

Como se aprecia los campos eléctrico y magnético se encuentran desacoplados (no hay ninguna ecuación que los interrelacione).

Las de la columna de la izquierda se llaman ecuaciones de la electrostáticaporque sólo hay campo eléctrico.

( )

HB

B

rH

rr

r

rr

µ=

=⋅∇

=×∇

0

0( )

ED

D

rE

rr

r

rr

ε

ρ

=

=⋅∇

=×∇ 0

Pueden pues considerarse dos subconjuntos de ecuaciones:

Las ecuaciones de la derecha son las ecuaciones de magnetostática (sin corrientes) y pueden dar lugar a soluciones distintas de la trivial (es decir puede haber campos magnéticos estáticos en ausencia de corrientes volumétricas, p.e. producidos por imanes -> dipolos magnéticos).

EyM 0-4

Campo Electrostático

En este capítulo se va a tratar del campo electrostático que viene descrito por las ecuaciones de la columna y además precisando que ( ) ( ) 0== rBrH rrrr

Además cualquier movimiento de las cargas originará un campo magnético.

( )

ED

D

rE

rr

r

rr

ε

ρ

=

=⋅∇

=×∇ 0

Rigurosamente hablando, en la naturaleza no existen fenómenos reales de electrostática, ya que siempre hay corrientes de conducción J ≠ 0 en los materiales (p. ej. una batería se descarga en el aire debido a la existencia de una J pequeñísima).

Sin embargo, cuando las corrientes y las velocidades de las partículas cargadas son muy pequeñas, el campo puede ser considerado como electrostático.


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EyM 0-5

σ ≠ 0

Campo E-E en un conductor

Como se dijo en el capítulo anterior, un conductor posee una gran cantidad de portadores de carga que pueden moverse libremente. Bajo la acción de un campo eléctrico los portadores (o cargas) se pondrán en movimiento y establecerán una corriente eléctrica, que estará relacionada con el campo mediante la ley de Ohm J = σE. Ahora bien, en electrostática no hay corrientes, J = 0, y como en un conductor σ ≠ 0 entonces no queda más solución que E = 0 en el interior del conductor en condiciones electrostáticas.

En electrostática las cargas libres de un cuerpo conductor se redistribuyen en su superficie donde ocupan posiciones que hacen que el campo que ellas producen, anule exactamente el campo total, en el interior del conductor.

rE

-

-------

+ +++++++

ρs

0==σJEr

r

( ) ρερ ==⋅∇=⋅∇= 0EDrr

rETot = 0

Además según vimos en el capítulo anterior, las cargas alcanzan rápidamente la superficie ya que τ, el tiempo de relajación, es muy pequeño en los conductores.

EyM 0-6

Campo E-E en una superficie conductora

Aplicando las condiciones de salto en la superficie conductora: ( )

( ) sS

S

DDn

EEn

ρ=−⋅

=−×

12

12

ˆ

0ˆrr

rr

Como: 01 =Er

⎩⎨⎧

==

⇒⎩⎨⎧

==

00

00

1

1

1

1

t

n

t

n

DD

EE

Y por tanto:ερρ s

nsnt EDE =⇒== 222 ,,0

n̂

1 201 =E

r

01 ≠σ 02 =σε0ε

S

En consecuencia: nE sS

ˆ2 ερ

=r

El campo solo tiene componente normal a la superficie pues si tuviese componente tangencial, ésta daría lugar a una corriente superficial, situación no válida en electrostática.


07/01/2009 EyM 3.1-4

EyM 0-7

Campo E-E a partir de la ley de Gauss

La ley de Gauss permite obtener la inducción D a partir de la distribución de cargas en aquellos problemas en que la geometría del mismo permita resolver la ecuación integral que establece la ley de Gauss.

qdVSdDVS

==⋅ ∫∫∫∫∫ ρrr

Para ello en general debe elegirse S (“la superficie de Gauss”) de manera que D sea constante sobre ella y además tal que la dirección de su normal coincida con la de D. Algunos ejemplos ilustrarán el procedimiento.

Para ello en general debe elegirse S (“la superficie de Gauss”) de manera que D sea constante sobre ella y además tal que la dirección de su normal coincida con la de D. Algunos ejemplos ilustrarán el procedimiento.

Carga puntual: Se llama carga puntual a cualquier objeto cargado al que se observa desde una distancia muy grande en comparación con la mayor de sus dimensiones.

Según esto cualquier campo electrostático se asemejará al campo electrostático de una carga puntual siempre que nos alejemos lo suficiente de la fuente que lo produce. De modo que es importante conocer el campo de una carga puntual pues es la forma asintótica del campo lejos de cualquier otra distribución de cargas.

EyM 0-8

Campo E-E de una carga puntual

Para calcular el campo producido por una carga puntual rodearemos a ésta por una superficie esférica imaginaria centrada en la carga q y aplicaremos el teorema de Gauss.

Si tenemos en cuenta que las líneas de campo de D deben diverger de la carga en todas las direcciones por igual, ya que hay simetría esférica, se tendrá (véase figura con el origen en la carga):

qrr

O

r̂

O

qrr

r ′r

R̂

rrR ′−=rrr

( )rrDD ˆ=r ( ) ( ) qrrDdSrrrDSdD

SS==⋅=⋅ ∫∫∫∫ 24ˆˆ π

rr

( ) ( ) rr

qrErr

qrD ˆ4

,,ˆ4 22 πεπ

==rrrr

( ) Rrr

qrE ˆ4 2′−

= rrrr

πε rrrrR

′−′−

= rr

rrˆ

Si el origen no está en la carga:

Se hace infinito en el punto donde está la carga

Se hace infinito en el punto donde está la carga


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EyM 0-9


Distribución esférica de carga. Una densidad volumétrica uniforme de carga ρse distribuye en el interior de una esfera de radio R.

( )rrDD ˆ=r

dSrSd ˆ=r

( ) ( )rDrdSrDSdDqdVSSV

24πρ ==⋅== ∫∫∫∫∫∫∫rr

( )( )

rrREr

rRD

r

RrD ˆ

3ˆ

343

42

3

2

3

2

3

ερρ

π

πρ=⇒=⇒=

rr

Dr

Por simetría la inducción solo dependerá de r y su dirección será radial:

Tomando una esfera de radio r >R:

Tomando una esfera de radio r <R:

( ) ( ) ρπρπ 32

344 rdVrDrdSrD

VS=== ∫∫∫∫∫

( )( )

rrEr

rrD ˆ

343

42

3

ερ

π

πρ=⇒=

r

( ) ( ) rr

qrErr

qrD ˆ4

,,ˆ4 22 πεπ

==rrrr

EyM 0-10

Representación de Er

)(rE

r

2

1r

∝

Carga Puntual

r∝

Esfera de CargaRr =


07/01/2009 EyM 3.1-6

EyM 0-11


Distribución superficial de carga: suponemos una densidad superficial de carga uniforme σ sobre un plano (z=0).

( )DRSdDRdSqSCirculo

22 2 πσπσ =⋅=== ∫∫∫∫rr

z

σ

Dr

σ

Dr

n̂

n̂

n̂

Dr

Dr

22 2

2 σπ

σπ==

RRD

zDzD ˆ)sgn(=r

zzEzzD ˆ)sgn(2

ˆ2

)sgn(ε

σσ=⇒=

rr

Por simetría la inducción solo depende de z y además solo tiene componente z. Por tanto tomando cilindros con eje el z, el flujo lateral será cero.

Cualquiera que sea la altura z de las tapas la carga encerrada es la misma. Por tanto D no depende de z.

EyM 0-12

Ejercicio

Obtener la intensidad de campo eléctrico producido por las tres hojas planas paralelas de carga de la figura en las regiones: 1) 0≤x≤a, 2) a≤x≤b y 3) b≤x≤∞

xba0

σ1 σ2 σ3

El campo creado por una hoja es:

xxE ˆ)sgn(2εσ

=r

Por tanto en 1) 0≤x≤a :

xE ˆ222

321 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

εσ

εσ

εσr

En 2) a≤x≤b : xE ˆ222

321 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

εσ

εσ

εσr

Y en 3) b≤x≤∞ : xE ˆ222

321 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

εσ

εσ

εσr


07/01/2009 EyM 3.1-7

EyM 0-13

Ejercicio

Obtener la intensidad de campo eléctrico producido por una chapa metálica indefinida cargada con una densidad σ cul/m2

xxE ˆ)sgn(22,1 εσ

=r

xxxEEEa ˆˆ2

ˆ221 ε

σε

σε

σ−=−−=+=

rrr

0ˆ2

ˆ221 =−=+= xxEEEb ε

σε

σrrr

xxxEEEc ˆˆ2

ˆ221 ε

σε

σε

σ=+=+=

rrr

x

xE

+

+

+

+

+

+

+

+

S1 S2

a b c

2σ

2σ

EyM 0-15


Distribución lineal de carga: con densidad constante λ a lo largo del eje z. Por simetría la inducción solo tiene componente ρ y es dependiente de ρ (pero no de z ni de ϕ).

( )ρρ ˆDD =r

( ) ( )ρπρρλ ρ LDSdDLqS

2=⋅== ∫∫rr

( )πρλ

πρλρ

22==

LLD

ρπερλρ

πρλ ˆ

2ˆ

2=⇒= ED

rr

L

λ

ρ

( )ρE

ρ1

∝


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EyM 0-16

Ejercicio

Una distribución de carga tiene forma de cilindro de radio a, indefinido en la dirección del eje, siendo su densidad de carga donde ρes la distancia al eje de la distribución. Calcular y representar gráficamente el campo eléctrico que produce interior y exteriormente.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

avπρ

ρρρ 2sin0

Aplicando el teorema de Gauss a cilindros coaxiales, se obtiene, para el exterior:

( )

( ) 002cos2

2

2sin22

00

000

2

0 0

=⇒=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∫∫ ∫ ∫= = =

ρπρπ

ρπ

ρπρρπρϕρρρεπρπ

ϕ ρ

Ea

aL

da

LdddzEL

a

aL

z

a

v

Y para el interior:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∫∫ ∫ ∫= = =

aLa

aaL

da

LdddzErLL

z v

πρρπρπ

ρπ

ρπρρπρϕρρρεπ

ρ

ρπ

ϕ

ρ

ρ

2cos12cos2

2

2sin22

00

0

000

2

0 0 ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

aaE πρπερρρ 2cos1

20

EyM 0-17

Problema 3-21

La representación del campo normalizado en función de ρ/a será la de la figura

0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

E( )r

r

aρ

( )ρρπε E

0

2

( ) ( )x

xa

aE ππρρ

ρρπε 2cos12cos12

0

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=


07/01/2009 EyM 3.1-9

EyM 0-19

Ejercicio

Calcular la intensidad de campo eléctrico producido por dos distribuciones lineales indefinidas de carga paralelas de densidades λ y –λ y separadas una distancia d.

x

y

z

d/2-d/2

11

11

ˆ2

ˆ2

ρπερλρ

πρλ

=⇒= EDrr

λ

-λ

Al ser el problema indefinido en z el campo no depende de z. Haremos el cálculo en z=0.

Para una línea de carga en el eje z obtuvimos

Por tanto si λ está en ( ) ρρ ˆˆ2´ == ryxdr rr

( )2ˆ2ˆ2

ˆ2ˆ´´

´2 xdxd

rrrr

rrE

−

−=

−−

−=

ρρπερρλ

πελ

λ rr

rr

rrr

Si está en ( )xdr ˆ2´ −=r ( )

2ˆ2ˆ2ˆ2ˆ

´´

´2 xdxd

rrrr

rrE

+

+−=

−−

−−

=−ρρπερρλ

πελ

λ rr

rr

rrr

1ρr

λλ −+= EEETotal

rrr

rrr ′r

EyM 0-20

Ley de Coulomb

De la definición del campo E se obtiene la fuerza sobre una carga puntual como:

( )qrEqF rrr=

Dadas dos cargas puntuales q1 y q2 la fuerza que actúa sobre q2 será la producida por el campo creado por la q1. Por tanto será:

( ) 12212

12212

ˆ4

Rrr

qqrEqF rrrrr

−==

πε

O

q2q1

12

1212

ˆrrrrR rr

rr

−−

=

2rr

1rr

12 rr rr−

Si las dos cargas tienen el mismo signo la fuerza será de repulsión mientras que si tienen signos contrarios será de atracción.


07/01/2009 EyM 3.1-10

EyM 0-21

Campo producido por un sistema de cargas puntuales

Supongamos un conjunto de cargas puntuales en el vacío. El campo producido por ellas será la suma de los que producen cada una de ellas por separado, es decir:

( ) ( ) ∑∑−

==i

i

i

i

ii R

rr

qrErE ˆ4

2'rrrrrr

πε

siendo Ei el campo producido por la carga i-esima qi.

O

q2

q1

2rr1rr

1Er

rr

irr qi

2Er

iEr

∑=i

iTotal EErr

Ello puede hacerse porque el modelo de Maxwell es lineal para medios lineales y por tanto puede aplicarse el principio de superposición: el campo de un conjunto de fuentes es la suma de los campos producidos por cada una de las fuentes.

EyM 0-22

Campo eléctrico producido por una distribución volumétrica de carga

Un elemento de volumen dv' poseerá una carga dq = ρ (r') dv' y, situado en r' ,producirá un campo eléctrico dE en el punto de observación r que viene dado por:

( ) ( )( )32 4

'ˆ4 rr

dvrrrRrr

dqrEd′−

′−′=

′−= rr

rrr

rrrr

περ

πε

dV’

dq

r ′rO V´

Edr

rr

REl campo total vendrá dado por la integral:

( ) ( )( )∫∫∫ ′−

′−′=

´ 34'

V rrdvrrrrE rr

rrrrr

περ

De forma análoga, para distribuciones superficiales y lineales, se obtienen las siguientes expresiones para el campo:

( ) ( )( )∫∫ ′−

′−′=

´ 34'

S rrdSrrrrE rr

rrrrr

πεσ ( ) ( )( )

∫ ′−

′−′=

´ 34'

C rrdlrrrrE rr

rrrrr

πελ

Estas expresiones permiten obtener el campo producido por distribuciones arbitrarias y por tanto son de aplicación más general que la ley de Gauss.


07/01/2009 EyM 3.1-11

EyM 0-23

Ejercicio

Calcular el campo eléctrico en cualquier punto creado por un disco de carga uniforme de radio R.

No habrá componente y del campo en φ=0:

zrysenrsenxrsenr ˆcosˆˆcos θϕθϕθ ++=r

yrxrr ˆ´´sinˆ´ćos ϕϕ +=′r

( )( ) zrysenr

xrrsenrrˆcosˆ´´

ˆ´ćosθϕϕθ

+−++−=′−

rr

( ) 21

cos222 ϕθ ′′−′+=′− senrrrrrr rr

( ) ( )( ) ( )∫∫∫∫ ′−

′−=

′−

′−′=

´ 3´ 3'

44'

SS rrdSrr

rrdSrrrrE rr

rr

rr

rrrrr

πεσ

πεσ

( ) ( )( )∫ ∫= == −+

+−−=

R

rddrr

senrrrrzrysenrxrrsenrE

0´

2

0´ 220´´´

ćos´2´

ˆcosˆ´´ˆ´ćos4 2

3

π

ϕϕϕ

ϕθ

θϕϕθπεσrr

En φ=0:

0

2 π⋅

φsin φ( )

a b cos φ( )⋅−( )

3

2

⌠⎮⎮⎮⎮⌡

d 0→

Tiene componentes x y z en φ=0.

EyM 0-24

Ejercicio

e x e z,( )

Para calcular numéricamente las componentes x y z en φ=0 tomamos R=1 y representamos

Er

σπε4

Representamos el vector en una malla de 13 x 13 puntos en el intervalo -1,2<x<1,2 y -1,2<z<1,2. El disco estará en -1<x<1

Por simetría el resultado seráel mismo para cualquier otro valor de ϕ.


07/01/2009 EyM 3.1-12

EyM 0-25

Ejercicio

Calcular el campo en el eje de un disco de carga uniforme de radio R.

Solo habrá componente z del campo en el eje.

zzr ˆ=r yxr ˆsinˆcos φρφρ ′′+′′=′r

zzyxrr ˆˆsinˆcos +′′−′′−=′− φρφρrr

( ) 2122 zrr +′=′− ρrr

( ) ( )( ) ( )∫∫∫∫ ′−

′−=

′−

′−′=

SS rrdSrr

rrdSrrrrE 33

'44

'rr

rr

rr

rrrrr

πεσ

πεσ

( )( ) ( ) ( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′′′

+′+′′′

+′

′′−+′′′

+′

′′−= ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ =′ =′=′ =′=′ =′

φρρρ

φρρρ

φρφρρρ

φρπεσ

ρ

π

φρ

π

φρ

π

φdd

zzzdd

zydd

zxrE

RRR

zeje 0

2

0 220

2

0 220

2

0 22 23

23

23 ˆsinˆcosˆ

4rr

( )( ) ( )

zzzRzz

zzz

dzzzER

Rˆ11

21ˆ

2ˆ

42

220

220 22 21

23 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

+′

−=

+′

′′=

=′=′∫ ε

σρε

σρ

ρρπεπσ

ρρ

r

x

y

z

rr

r ′r

R

EyM 0-26

Ejercicio

La figura presenta la variación con z de la función para R=1.

( ) zzRz

zE⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

22

112σ

ε

5 0 51

0

1

( )σ

ε zE2

z

Puede verse la discontinuidad delcampo producido por la densidad σ. También cómo el campo decrece al aumentar la distancia a la distribución.

( ) ( ) ( ) xzRx

zzRzzR =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+

−

−−

−2

212

12

21

222 ,,11121

Teniendo en cuenta que: ( ) ( ) LL ++−=+⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+ − 2

83

2121 11

2111 2

1xxxx

nn

xn

xn

x nn

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−≅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=+

−242

22

2111

83

21112

1

zR

zzR

zR

zzR L

( ) { ( )zzzRzz

zR

zzzE

z

ˆsgn4

ˆ21111

2 2

22 ππεσ

εσ

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

∞→

Por tanto el campo lejano escomo el de una carga puntualde valor : que es lacarga total del disco.

2RQ σπ=

Esta variación puede aproximarse de la siguiente forma (para z>>R) :


07/01/2009 EyM 3.1-13

EyM 0-27

Resumen

( ) ( )( )∫∫∫ ′−

′−′=

´ 34'

V rrdvrrrrE rr

rrrrr

περ ( ) ( )( )

∫∫ ′−

′−′=

´ 34'

S rrdSrrrrE rr

rrrrr

πεσ ( ) ( )( )

∫ ′−

′−′=

´ 34'

C rrdlrrrrE rr

rrrrr

πελ

( ) 21

cos222 ψrrrrrr ′−′+=′−rr ( ) zzzz )sgn(2

12 →→

( ) ( ) LL ++−=+⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+ − 2

83

2121 11

2111 2

1xxxx

nn

xn

xn

x nn

( ) ( )

RR

zzd

0220 22 2

12

3

1

=′=′ +′

−=

+′

′′∫

ρρ ρρ

ρρ

( ) Rrr

qrE ˆ4 2′−

= rrrr

πε( ) ( ) ∑∑

−==

ii

i

i

ii R

rr

qrErE ˆ4

2'rrrrrr

πεSuperposición

EyM 0-28

Ejercicio

Obtener el campo creado por una distribución lineal de carga de densidad uniforme λ cul/m y longitud 2L.

L

-L

z

x

y

zzr ˆ´=′r

( ) ( )( ) ( )∫∫ ′−

′−=

′−

′−′=

CC rrdlrr

rrdlrrrrE 33

'44

'rr

rr

rr

rrrrr

πελ

πελ

zzr ˆˆ += ρρrEdr

( ) ( )zzzysenxzzzrr ˆ´ˆˆcosˆ´ˆ −++=−+=′− ϕρϕρρρrr( )22 ´zzrr −+=′− ρrr

´´ dzdl =

Particularizamos en φ=0 (ρ=x):

rr

ρ

´rr

( )zzzxxrr ˆ´ˆ −+=′−rr

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++−

−++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+

−−

++

+=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

−+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

= ∫∫−=−=

=

zLzxLzx

xLzx

Lz

Lzx

Lzx

zzx

dzzzzzzx

xdzxrEL

Lz

L

Lz

ˆ11ˆ14

´

´´ˆ´

´ˆ4

22222222

´3

22´3

220

πελ

πελ

ϕ

rr


07/01/2009 EyM 3.1-14

EyM 0-29

Ejercicio

Para calcular numéricamente las componentes x y z en φ=0 tomamos L=1 y representamos

Er

λπε4

Representamos el vector en una malla de 13 x 13 puntos en el intervalo -1,2<x<1,2 y -1,2<z<1,2. La línea estará en -1<z<1 E

e x e z,( )

Por simetría el resultado seráel mismo para cualquier otro valor de ϕ.

EyM 0-30

Potencial electrostático

La ecuación indica que el campo electrostático E(r) es irrotacional.0=×∇ Er

Recordando la identidad matemática se observa que el campo vectorial E puede derivarse de un campo escalar φ , que se denomina potencial, como:

( ) 0≡∇×∇ φ

φ−∇=Er

Se verá más adelante la razón de adoptar el signo - en la anterior definición.

El uso de la función potencial permite simplificar matemáticamente el problema de la determinación del campo vectorial E. En lugar de necesitarse la determinación de las tres componentes del campo basta con encontrar una sola función escalar que es el potencial φ.

Se aclarará primero el contenido físico del potencial electrostático para, posteriormente, obtener la ecuación que liga al potencial con las distribuciones de carga y cuya solución permite encontrar el potencial.


07/01/2009 EyM 3.1-15

EyM 0-31

Sentido físico del Potencial

Supóngase una carga q que se desplaza en el seno de un campo electrostático E.

)( 212

1

2

1

2

121

φφφφ −=−=⋅∇−=⋅=⋅= ∫∫∫∫→ qdqldqldEqldFWP

P

P

P

P

PCPP

rrrrr

siendo φ1 y φ2 los potenciales en los puntos P1 y P2 respectivamente.

El trabajo es positivo, o sea la energía del campo se consume al hacer el desplazamiento, cuando se desplaza la carga desde el punto de potencial mayor al de potencial menor (φ1 > φ2). Esta interpretación da sentido al signo adoptado en la definición del potencial.

Er

ldr

Fr

q

2P

1P

Sobre la carga el campo ejerce una fuerza F y por tanto durante su recorrido se efectúa un trabajo. Si el desplazamiento se realiza entre dos puntos P1 y P2 a lo largo de un trayecto C, el trabajo necesario para realizar dicho recorrido será:

Si la carga es unitaria y positiva (q=+1) la diferencia de potencial es el trabajo necesario para desplazarla.

EyM 0-32


En la expresión final del trabajo no aparece el camino C elegido, sino sólo los potenciales de los puntos inicial y final.

El campo electrostático es irrotacional por lo que, aplicando el teorema de Stokes, resulta:

0=⋅=⋅×∇ ∫∫∫ CSldESdErrrr

P2

P1

C1C2

CAplicando el resultado anterior a las trayectorias cerradas C1 + C y C2 + C se tendrá:

∫∫ ++⋅==⋅CCCC

ldEldE21

0rrrr

∫∫∫∫ ⋅+⋅=⋅+⋅CCCC

ldEldEldEldErrrrrrrr

21∫∫ ⋅=⋅

21 CCldEldErrrr

Por tanto el campo electrostático es conservativo y su circulación entre dos puntos es independiente de la trayectoria seguida.

Parece como si el trabajo no dependiera del camino, y en efecto se va a comprobar que así ocurre.


07/01/2009 EyM 3.1-16

EyM 0-33


Se ha dado por tanto sentido físico a la diferencia de potenciales pero no al potencial.

( ) ( )KK +−+=− 2121 φφφφ

( ) EKKr

=−∇=∇−−∇=+∇− φφφ

Normalmente se toma un potencial de referencia φ=0 en un punto de referencia (habitualmente el punto del infinito) y denominamos potencial en un punto φ(P) a la diferencia de potenciales entre dicho punto y el de referencia.

De hecho dos potenciales que difieran en una constante, φ y φ+K, producen la misma diferencia de potencial entre dos puntos

y dan lugar al mismo campo:

En estos términos el potencial adquiere sentido físico: es el trabajo necesario para transportar la unidad de carga hasta el punto de referencia.

EyM 0-34

( )ερφφ −=∆=∇⋅∇

Ecuaciones de Poisson y Laplace

La ecuación que liga el potencial con las densidades de carga se obtiene apartir de: ( ) ( ) ρφεερ =∇−⋅∇=⋅∇⇒=⋅∇ ED

rr

En el caso de medios isótropos y homogéneos ε será constante por lo que:

que se conoce con el nombre de ecuación de Poisson.

0=∆φque se denomina ecuación de Laplace.

Esta mayor complejidad es el precio a pagar por usar una función escalar, el potencial, en lugar del campo vectorial. Nótese que si el medio no es homogéneo:

( ) ρεφφερφε −=∇⋅∇+∆⇒−=∇⋅∇

y el aspecto de la ecuación de Poisson es bastante más complejo.

Las ecuaciones de Poisson y Laplace son ecuaciones diferenciales de segundo orden.

En aquellos puntos en los que no haya densidad de carga la anterior ecuación se reduce a:


07/01/2009 EyM 3.1-17

EyM 0-35

Continuidad del Potencial

En el caso frecuente de problemas con discontinuidades de medio y/o densidades superficiales de carga se ha visto que pueden presentarse discontinuidades de las componentes normales del campo.Si se pretende utilizar el potencial, como herramienta intermedia para obtener el campo, cabe preguntarse acerca de sus posibles discontinuidades en las mencionadas superficies.A partir de las condiciones de salto del campo solo podemos establecer:

( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=−×

=−⋅

SS

sS

S

sS

tt

nnEEn

DDn

∂∂φ

∂∂φ

ρ∂∂φε

∂∂φερ

21

22

11

12

12

0ˆ

ˆrr

rro sea, las derivadas tangenciales son continuas pero las normales pueden no serlo.

Si calculamos el trabajo necesario para transportar la unidad de carga entre dos puntos A y B a ambos lados de la discontinuidad:

BA

B

ABA ldEldEldEW φφ −=⋅+⋅=⋅= ∫→ 2211

rrrrrr

A B

1 2dl2dl1

Cuando se aproximan los puntos A y B a la superficie:BABAWldld φφ =⇒→⇒←→ → 00 21

rr

Y por tanto el potencial es continuo a través de las superficies de discontinuidad de medio.

Y por tanto el potencial es continuo a través de las superficies de discontinuidad de medio.

EyM 0-36

Condiciones de Contorno

La integración de las ecuaciones de Poisson o Laplace en una cierta región V, encerrada por una superficie S, requiere, además del conocimiento de las fuentes ρ, unos ciertos valores en la frontera S, que se denominan valores o condiciones de contorno.

Es muy importante poder determinar qué condiciones de contorno hacen posible el que la solución del problema sea única, ya que ello garantiza que encontrada una solución al problema, cualquiera que haya sido el método utilizado, aquella es correcta.

Existen dos tipos de condiciones de contorno de uso frecuente para las ecuaciones de Poisson y de Laplace que son:

a) Condiciones de contorno de Dirichlet: donde se conoce el valor del potencial en todos los puntos de la superficie S.

b) Condiciones de contorno de Neumann: donde se conoce la derivada normal del potencial en todos los puntos de S.

Además permiten determinar la información que se requiere para poder resolver el problema (saber si éste está o no bien condicionado).


07/01/2009 EyM 3.1-18

EyM 0-37

Unicidad de las C-C de Dirichlet

( ) ( ) ( )

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫∫∫∫=⋅∇=

=∇=∆+∇⋅∇=∇⋅∇

SS

VVV

dSn

Sd

dVdVdV

∂∂φφφφ

φφφφφφφr

2

( ) ∫∫∫∫∫ =∇SV

dSn

dV∂∂φφφ 2

Para demostrar la unicidad del potencial se necesita hacer uso del siguiente resultado previo.

φφ∇Sea el campo vectorial

Aplicando el teorema de Gauss:

0=∆φDonde φ en V es tal que

Se verifica por tanto que:

V S0=∆φ

EyM 0-38

Unicidad de las C-C de Dirichlet

Supóngase una región V rodeada por una superficie S con una densidad de carga ρ.

)(,,)(,, 2211 SFySFSS

=−=∆=−=∆ φερφφ

ερφ

La función φ = φ1 - φ2 es tal que:

( ) ( ) 0,,0 212121 =−==∆−∆=−∆=∆SS

φφφφφφφφ

Por tanto resulta: ( ) dVdSn VS ∫∫∫∫∫ ∇== 20 φ

∂∂φφ cte=⇒=∇ φφ 0

Pero en S es φ=0 y por tanto en todo V serán φ = 0 y φ1 - φ2 =0, o sea φ1 = φ2 y por tanto son iguales.

Supóngase que la solución de la ecuación de Poisson ∆φ = −ρ/ε en V, cumpliendo una condición de contorno de tipo Dirichlet en S, φ|S = F(S), no es única.

Sean por tanto φ1 y φ2 dos soluciones tales que:

Como φ = cte en todos los puntos de V también valdrá lo mismo en S.

V S

ρ


07/01/2009 EyM 3.1-19

EyM 0-39

Unicidad de las C-C de Neumann

Supóngase de nuevo una región V rodeada por una superficie S con una densidad de carga ρ. Supóngase que la solución de la ecuación de Poisson ∆φ= = −ρ/ε en V, cumpliendo una condición de contorno de tipo Neumann en S,

)(,,)(,, 22

11 SG

nySG

n SS

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=∆=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=∆

∂∂φ

ερφ

∂∂φ

ερφ

La función φ = φ1 - φ2 es tal que:

( ) ( ) 0,,0 212121 =

−==∆−∆=−∆=∆

SS nn ∂φφ∂

∂∂φφφφφφ

Por tanto resulta: ( ) dVdSn VS ∫∫∫∫∫ ∇== 20 φ

∂∂φφ cte=⇒=∇ φφ 0

)(SGn S

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂φ

no es única.

Sean por tanto φ1 y φ2 dos soluciones tales que:

Ahora no puede determinarse el valor de la constante por lo que: cte+= 21 φφ

Pero aun así ambos potenciales producen el mismo campo 21 φφ −∇=−∇=Er

V S

ρ

EyM 0-40

CC mixtas de Dirichlet y Neumann

Se deja para el alumno demostrar la unicidad cuando sobre una parte S1de la superficie se tiene una condición de tipo Dirichlet y sobre la superficie restante S2 una condición de Neumann

V S2

ρS1


07/01/2009 EyM 3.1-20

EyM 0-41

Condiciones de Regularidad en el Infinito

Si la región bajo estudio V abarca todo el espacio, puede considerarse que S, la superficie del infinito, es una esfera de radio infinito. En este caso:

∫∫∫∫∫∫∞→∞→

==rEsfrEsf

Sddr

ndS

ndS

n .

2

.

sin φθθ∂∂φφ

∂∂φφ

∂∂φφ

Puede verse que si φ varia como entonces:( )rkr 1== φφ 2

1

rk

rn−==

∂∂φ

∂∂φ

Por tanto y la integral se anulará. En consecuencia el potencial será único.

22

11 rrr

dSn

∝∂∂φφ

En un problema abierto, extendido a todo el espacio, la solución de la ecuación de Poisson será única si se satisfacen las siguientes condiciones, denominadas condiciones de regularidad en el infinito:

( )( ) cterEr

cterr

r

r

=

=

∞→

∞→2lim

lim φ

Es decir que el campo, y también el potencial, de cualquier distribución en puntos muy alejados de las mismas deben decrecer al menos como los de una carga puntual, tendiendo a cero en el infinito.

EyM 0-42

Potencial de una carga puntual

Sea una carga puntual q que suponemos en el origen de un sistema de coordenadas.

( ) ( )ε

δφφ rqdr

rdrdrd

r−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆ 2

2

1

Vemos que la ecuación es homogénea salvo en r=0.

( ) ( ) ( )rCr

rdrCrdCcte

drrdr =⇒=⇒== φφφ

22

La solución de la ecuación homogénea es:

Por simetría el potencial creado por la misma no debe ser función ni de θ ni de ϕ, por lo que será solo función de r.


07/01/2009 EyM 3.1-21

EyM 0-43


Para obtener el valor de la constante C se integra la ecuación de Poisson en un volumen V que contenga a la carga:

( )εε

δφ qdVrqdVVV

−=−=∆ ∫∫∫∫∫∫

Pero: ( ) ∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ =⋅∇=∇⋅∇=∆SV SV

dSn

SddVdV∂∂φφφφ

r

επφθθφθθ

∂∂

∂∂φ π

θ

π

φ

qCddCddrrC

rdS

n SS−=−=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫ ∫ ∫∫∫ = =0

2

0

2 4sinsin

Y por tanto: ( )r

qrCr

πεφ

4==

y tomando una esfera de radio R:

qV

EyM 0-44


El campo producido por dicha carga puntual es:

( ) rr

qrrdr

dqr

qrE ˆ4

ˆ144 2πεπεπε

φ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∇=−∇=

r

que naturalmente coincide con el resultado obtenido aplicando Gauss.

( ) ( )3

4 q

q

rr

rrqrE rr

rrrr

−

−=

πε

( )qrr

qr rrr

−=

πεφ

4q

x

y

z( )qrr rr

−

qrr

rr

Si la carga en lugar de estar en el origen esta en un punto rq serán:

( ) cter

rrrrr

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∞→∞→

1limlim φ ( ) cter

rrErrr

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∞→∞→ 222 1limlim

Asimismo tanto el potencial como el campo cumplen las condiciones de regularidad en el infinito.


07/01/2009 EyM 3.1-22

EyM 0-45

Principio de Superposición

La ecuación de Poisson es una ecuación diferencial lineal de segundo orden y por ello cumple el principio de superposición:

( ) ( ) ( ) ( )ε

ρφε

ρφ rrrr bb

aa

rr

rr

−=∆−=∆ ,,

Sumando ambas ecuaciones:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]rrrrrr bababarrrrrr ρρ

εφφφφ +−=+∆=∆+∆

1

donde se ha usado la linealidad del operador laplaciano.

( ) ( )bababb

aa entonces φφρρφρφρ

+⇒+⎭⎬⎫

⇒⇒

Por tanto el potencial producido por la superposición de distribuciones de carga es la suma de los potenciales asociados con las distribuciones individuales.

Matemáticamente:

Si se consideran dos distribuciones de carga ρa y ρb y sus correspondientes potenciales son φa y φb serán:

EyM 0-46V

ρ

Sistema de Cargas Puntuales

En base al principio de superposición puede obtenerse el potencial de un sistema de cargas puntuales, como el de la figura, mediante:

O

q2

q1

2rr1rr

rr

irr qi

P

( ) ( ) ∑∑ −==

i i

i

ii rr

qrr rrrr

πεφφ

4A partir de esta expresión puede obtenerse el potencial de una distribución arbitraria de cargas en un espacio no limitado (indefinido) de un medio de permitividad ε.

dV’

dq

r ′rOrr

rr ′−rr

P

Si se divide el volumen V en elementos ∆Vi en cada uno de ellos puede considerarse la cargacomo puntual de valor qi = ρi ∆Vi .

( ) ( ) ( ) '4

14

1lim0

dvrr

rrrVrr

Vi i

i

Vi∫∫∫∑ ′−

′=

−∆′

=→∆

rr

r

rr

rr ρ

περ

πεφ

En el límite, cuando se aumente indefinidamente el numero de elementos ∆Vidisminuyendo indefinidamente su tamaño:


07/01/2009 EyM 3.1-23

EyM 0-47

Rσ

Ejemplo: Potencial en el eje de un disco de carga uniforme

Calcular el potencial de una distribución de cargas superficial uniforme de densidad de carga σ sobre un disco de radio R.

x

y

zrr

r′r

r rr r− ′θ

ψ

( ) 21

cos222 ψrrrrrr ′−′+=′−rr

Pero: rr ˆˆcos ′⋅=ψ

⎩⎨⎧

′+′′+′′=′++=

zyxrzyxr

ˆcosˆsinsinˆcossinˆˆcosˆsinsinˆcossinˆθϕθϕθ

θϕθϕθ

( )( ) θθϕϕθθ

θθϕϕϕϕθθψ′+′−′=

′+′+′′=coscoscossinsin

coscossinsincoscossinsincos

Sobre el disco por lo que:2πθ =′ ( )ϕϕθψ ′−= cossincos

Por tanto el potencial será: ( )( )∫ ∫∫∫ =′ =′ ′−′−′+

′′′=

′−′

=R

rS rrrrdrdr

rrSdr

0

2

0 22 cossin2441 π

φ ϕϕθϕ

πεσσ

πεφ rrr

Como el problema tiene simetría de revolución entorno al eje z el resultado debe ser independiente de φ, por lo que puede adoptarse el valor φ = 0 en la expresión anterior.

Para un punto genérico, como el mostrado en la figura, se tiene:

EyM 0-48


Solo resulta sencilla cuando se particulariza en el eje de simetría, recuérdese el ejercicio en el que se obtuvo el campo.

( )zRzrz

rdrrz

drdr R

r

R

rzeje−+=

′+

′′=

′+

′′′= ∫∫ ∫ =′=′ =′

22

0 220

2

0 22 22

44 εσπ

πεσϕ

πεσφ

π

φ

Es necesario en general conocer las variaciones del potencial en todas direcciones.

( )Lr

+−=−∇= xxE ∂∂φφ ˆ

Para obtener el campo a partir del potencial debemos calcular el gradiente:

La integración analítica de la expresión anterior del potencial resulta excesivamente laboriosa. Posteriormente se presentará la integración numérica

En este eje θ = 0 y por tanto:


07/01/2009 EyM 3.1-24

EyM 0-49


En el eje z se ha obtenido el potencial en función de z y por tanto podremos calcular únicamente la componente z de E en dichos puntos.

( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) zz

Rzzz

Rzzz

zzzRzdzdz

zzEE zzeje

ˆ112

ˆsgn2

ˆsgn2

ˆˆ

2222

22

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−=

=−+−=−==

εσ

εσ

εσ

∂∂φr

Afortunadamente la simetría del problema permite asegurar que en dicho eje solo hay componente z del campo, por lo que podemos calcular dicha componente y con ello el campo total en el eje:

EyM 0-50


Para puntos muy alejados del disco:

zRz

zRz

zejez1

4211

2lim 2

2

2

ππεσ

εσφ =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≈∞→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≈+ 2

222

211

zRzRz

que se comporta como el de una carga puntual de valor 2RσπCuando el disco se extiende a un plano de carga. ∞→R

( ) ∞→−+=∞→∞→

zRzRRzeje

22

2lim

εσφ

La razón es que la integral de superposición utilizada para obtener el potencial implica que el potencial sea regular en el infinito, o sea que se pueda tomar unpotencial cero en el infinito, pero para ello no deben haber cargas allí, lo que no se cumple en este caso. Sin embargo el campo que se obtiene es correcto :

( ) ( )zzzzzzz

RzzE

RRˆsgn

2ˆ

2ˆ11

2lim

22 εσ

εσ

εσ

==⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−=

∞→∞→

r

El potencial en este caso se hace:


07/01/2009 EyM 3.1-25

EyM 0-51

Potencial en cualquier punto

( )( )∫ ∫∫∫ =′ =′ ′−′−′+

′′′=

′−′

=R

rS rrrrdrdr

rrSdr

0

2

0 22 cossin2441 π

φ ϕϕθϕ

πεσσ

πεφ rrr

La expresión obtenida para el potencial era

En el plano φ=0 será r2=x2+z2 y rsenθ=x.

( )( )∫ ∫=′ =′ ′′−′++

′′′==

R

r rxrzxdrdr

0

2

0 222 cos240

π

φ ϕϕ

πεσϕφ

Tomamos como valor normalizado:

( )∫ ∫=′ =′ ′′−′++

′′′==

R

rnrxrzx

drdr0

2

0 222 cos2212 π

φ ϕϕ

πφ

σεφ

φ R x, z,( ) if z 0 x R≤∧ R,

0

2 π⋅

φp

0

R

rprp( )

x2 z2+ rp2+ 2 rp⋅ x⋅ cos φp( )⋅−( )1

2

⌠⎮⎮⎮⎮⎮⌡

d⌠⎮⎮⎮⎮⎮⌡

d1

2 π⋅⋅,

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

:=

Que se programa en MathCad como:

EyM 0-52


La variación del potencial normalizado y con R=1 resulta :

x-z

Φ(x,z)


07/01/2009 EyM 3.1-26

EyM 0-53


La variación del potencial normalizado y con R=1 se puede representar como curvas de nivel

x

z

EyM 0-54


La variación con R (para valores 1, 2 y 3) del potencial normalizado en el eje z se muestra en la figura

3

0.05

φz 1 z,( )

φz 2 z,( )

φz 3 z,( )

1010− z

Al crecer R el potencial aumenta en todos los puntos de manera que cuando R→∞ también φ→∞


07/01/2009 EyM 3.1-27

EyM 0-55


La variación con R (para valores 1, 2 y 3) del campo normalizado en el eje z se muestra en la figura

Al crecer R el campo aumenta en todos los puntos salvo en z=0 de manera que cuando R→∞ tiende a hacerse constante en cada semiespacio

1

1−

Ez 1 z,( )

Ez 2 z,( )

Ez 3 z,( )

1010− z

( )

( ) zRzz

zEzREz z

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−=

==

22

11

2,σε

EyM 0-56

Rσ

Ejercicio

Calcular el potencial y el campo creados por una distribución superficial uniforme de densidad σ sobre una esfera de radio R.

x

y

z

rr r ′r

rr ′−rr

( ) 2122 cos2 θ ′−+=′− rRRrrr rr

( ) ( )∫∫ ′−

′′=

R rrSdrr rr

rr σ

πεφ

41

ϕθθ ′′′=′ ddsenRSd 2

( )

∫

∫ ∫

=′

=′ =′

′−+

′′=

=′−+

′′′=

π

θ

π

ϕ

π

θ

θθθ

πεσπ

θϕθθ

πεσφ

022

2

2

0 022

2

cos242

cos24

rRRrdsenR

rRRrddsenRrr

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+=+=

+⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

−=+=

′=

−−∫ 221

1

21

1

222

22

222

cosRrRr

rRBtA

BR

BtAdtR

rRBRrA

t

εσ

εσ

εσ

θ


07/01/2009 EyM 3.1-28

EyM 0-57

Rσ

Ejercicio

Por lo tanto para r>R resultará:

x

y

z

rr r ′r

rr ′−rr

( ) ( )rRR

rRRrRr

rRr

Rr

σππεε

σε

σφ2

22 44

1222

)( ==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+=

>

Que es igual a la que crearía una carga puntual en el centro de igual valor a la carga total.

Para r<R resulta:

( ) ( )RRRr

rRRrRr

rRr

Rr

σππεε

σε

σε

σφ2

22 44

1222

)( ===⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+=

<

Con lo que el potencial es constante e igual al valor obtenido para r>Rparticularizado en la superficie de la esfera (el potencial es continuo).

El campo es ( ) RrrrRr

rrrE >=

∂∂

−=−∇= ,ˆ44

1ˆ)( 2

2σππε

φφrr

( ) RrrrE <=−∇= ,0)(φrr

El campo es discontinuo en r=R (componentes normales).

EyM 0-58

Rσ

Ejercicio

Calcular el potencial y el campo creados por una distribución superficial uniforme de densidad σ sobre una esfera de radio R utilizando Gauss.

x

y

z Al aplicar Gauss a una esfera en r<R el campo sale cero porque la carga encerrada es cero.

Al aplicar Gauss a una esfera en r>R el campo es como el de una carga puntual de valor q=4πR2σ

( ) RrrrRrE >= ,ˆ4

41

2

2σππε

rr

( ) ( )∫∫∫∞

∞

∞

⋅=−==⋅∇−⇒⋅−∇=⋅r

r

r

ldrErdldrldrldrErrrrrrr 0)()()( φφφφ

Tomando el origen de potenciales en el ∞

RrrRdrrr

rRr

r

>=⋅= ∫∞

,44

1ˆˆ44

1)(2

2

2 σππε

σππε

φ

( ) RrRRRdrrr

rRdrldrEr

R

R

rr

<==⋅+=⋅= ∫∫∫∞

,44

1ˆˆ44

10)(2

2

2

εσσπ

πεσπ

πεφ

rr


07/01/2009 EyM 3.1-29

EyM 0-59

Ejercicio

Representar gráficamente la variación del potencial y del campo y explicar sus continuidades/discontinuidades

rR

Φ

rR

E

EyM 0-60

Resumen (1)

Puntos ordinarios: φ−∇=⇒=×∇ EErr

0 ; Puntos no ordinarios: SS 21 φφ =

Ecuación de Poisson: ( )ερφφ −=∆=∇⋅∇( ) ( ) ρφεερ =∇−⋅∇=⋅∇⇒=⋅∇ ED

rr

Condiciones de unicidad o de contorno:

( ) ( ) cterErcterr

SGn

SF

rr

S

S

==

=∂∂

⇒

=⇒

∞→∞→

2lim;lim :infinito elen dRegularida cc

)(Neuman cc

)(Dirichlet cc

φ

φ

φ

Carga puntual: ( )qrr

qr rrr

−=

πεφ

4


07/01/2009 EyM 3.1-30

EyM 0-61

Resumen (2)

Aportaciones infinitesimales:

Limitaciones: 1) No puede haber discontinuidades de medio 2)No puede haber cargas en el infinito

( ) ( )

( )

( )∫

∫∫

∫∫∫

′′−

′=

′′−′

=

′−′

=

Cl

Ss

V

ldrrr

Sdrrr

dvrr

rr

rr

r

rr

r

rr

rr

ρπε

ρπε

ρπε

φ

41

41

'4

1

Gauss: se obtiene el campo y, a partir de él, el potencial:

( ) ( ) 0)()()( −==⋅∇−=⋅⇒⋅−∇=⋅ ∫∫∫∞

∞∞

rdldrldrEldrldrEr

rr

φφφφrrrrrrr

( ) •=• 2

EyM 0-62

Ejercicio: potencial y campo de una distribución esférica

Sea una distribución esférica de carga de densidad uniforme ρ y radio a sobre un dieléctrico de permitividad ε y rodeado del vacío. Determinar el potencial y el campo producidos a) utilizando la ley de Gauss, b) integrando la ecuación de Poisson y c) usando aportaciones infinitesimales.

A) Método de Gauss: es el método mas simple y rápido pero también el mas restringido en posibilidades de aplicación. En la región exterior a la distribución:

a(i)

(e)

ε

ε0

ρ

( ) ( ) 20

20

3

20

3

32

41

3434

344

rq

ra

r

arEarrD ee πεε

ρπε

ρπρππ ===⇒=

En la región interior:

( ) ( ) rrErrrD ii ερρππ33

44 32 =⇒=

El potencial en la región exterior será:

( ) ( )r

qr

adr

radrrrrEr

rr

ee00

3

20

3

4434

13

ˆˆπεπε

πρ

ερφ ==−=⋅−= ∫∫ ∞∞

Tanto a efectos del potencial como del campo, la esfera de carga, en la región exterior a la misma, se comporta como una carga puntual en su centro.


07/01/2009 EyM 3.1-31

EyM 0-63


El potencial en la región interior será:

( ) ( ) ( )ε

ρε

ρε

ρε

ρε

ρπεε

ρπε

φ66366434

22

0

222

00

raaraa

qrdra

qdrrEdrrEra

ra e

a

r ii −+=−+=+=+= ∫∫∫∞

B) Por integración directa de la ecuación de Poisson. Este método es mas general que el anterior y al tiempo mas complejo y largo de aplicar. Dada la simetría esférica el potencial y el campo solo dependen de r por lo que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

rr

rrrrrr

rr ∂∂φ

∂∂

∂ϕφ∂

θ∂θ∂φθ

∂θ∂

θ∂∂φ

∂∂φ 2

22

2

222

2

1sin1sin

sin11

El potencial satisfará las siguientes ecuaciones para las regiones interior y exterior respectivamente:

iiii

i Ardrdrdrr

drdrd

drdr

drd

r+−=⇒−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆ 32222

2 31

ερφ

ερφ

ερφφ

ii

ii

i BrArdr

rArd +−−=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

ερφ

ερφ

63

2

2

ee

ee

eeee

e BrAdr

rAdA

drdr

drdr

drd

r+−=⇒=⇒=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆ φφφφφ 2

222 01

EyM 0-64


0

3

200 33 ερεφερφε aA

aA

drda

drd

ee

ar

e

ar

i −=⇒−=−==−==

Aplicando ahora condiciones de contorno se encontraran los valores de las constantes de integración.

1.- El potencial en el infinito será nulo. Por tanto: 0==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

∞→∞→ e

re

ere BB

rAφ

3.- El potencial en r=a debe ser continuo:aABa e

areiari −==+−===

φε

ρφ6

2

2.- Como no hay cargas puntuales en el origen, el potencial en r=0 no debe ser infinito. Por tanto:

06

0

2

0=⇒∞≠⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

== i

r

ii

ri ABrAr

ερφ

4.- Como en r=a no hay densidades superficiales de carga las componentes radiales de D han de ser continuas:

Por tanto: y los potenciales son:0

222

366 ερ

ερ

ερ aaa

aAB e

i +=+−=

ra

rAe

e0

3

3ερφ =−=

0

2222

3666 ερ

ερ

ερ

ερφ aarBr

ii ++−=+−=


07/01/2009 EyM 3.1-32

EyM 0-65


C) Método de aportaciones infinitesimales. El potencial en cualquier punto se obtiene mediante la expresión: ( ) ( ) '

41 dv

rrrr

V∫∫∫ ′−′

= rr

rr ρ

πεφ

En virtud de la simetría del problema se toman para el cálculo puntos sobre el eje z. ( ) 2

1

cos222 θ′′−′+=′− rrrrrr rr φθθ ′′′′′=′ ddrdrvd sin2

( )( )

( )( )

( ) ( )∫

∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

=′

=′

=′ =′

=′ =′ =′

′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−−′+

′=

′⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′−′+

′′=

′′−′+

′′′′=

′′−′+

′′′′′=

a

r

a

r

a

r

a

r

rdrrrrrr

rdrrrrrr

r

rrrrdrdr

rrrrddrdrr

0

2

0 0

222

0 0 22

2

0 0

2

0 22

2

2

cos212

cos2sin

2

cos2sin

4

21

21

21

ερ

θερ

θθθ

ερ

θϕθθ

περφ

π

π

θ

π

θ

π

ϕ

r

εε

a

(i)

(e)

ε

ρ

x

y

z

rrr′r

r rr r− ′

Solo puede aplicarse si todo el espacio es homogéneo. Por tanto no puede aplicarse al ejercicio bajo estudio. Por hacer un ejercicio de aplicación se va a suponer que la permitividad dieléctrica fuese constante en todo el espacio.

EyM 0-66


( ) ( ) ( )[ ]r

qr

a

rar

rrdrrrr

rrar

aa

re πεπε

πρ

ερ

ερ

ερφ

443

4

332

22

3

3

0

3

0===

′=′′−−′+

′=> ∫ =′

Teniendo en cuenta que la integral agrega expresiones de distancia debe cuidarse la simplificación de . Así, para puntos exteriores a la esfera r>r´ y por tanto:

( )2rr ′−

Para puntos interiores hay que descomponer la integral en dos partes de la siguiente manera:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ερ

ερ

ερ

ερφ

6222

32

2

2

222

0

3

0

rarr

r

rdrrrrrrrdrrrr

rrar

a

r

r

a

rr

rrr

r

rr

i

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ′+

′=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−′−′+

′+′

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′−−′+

′=< ∫∫ =′

′<

=′

′> 876876


07/01/2009 EyM 3.1-33

EyM 0-67

Ejercicio

Obtener el potencial creado por una distribución lineal de carga de densidad uniforme λ cul/m y longitud 2L.

L

-L

z

x

y zzr ˆ´=′r

( ) ( )∫∫ ′−

=′−

′=

CC rrdl

rrdlrr rrrr

rr '

44'

πελ

πελφ

zzr ˆˆ += ρρr ( )22 ´zzrr −+=′− ρrr´´ dzdl =

rr

ρ

´rr

( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+= ∫

−=

L

Lz zz

dzr´

22 ´

´4 ρπελφ r

( ) ( )( ) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−++

−+−+=

zLLz

zLLzz

22

22

ln4

,ρ

ρπελρφ

( ) Cxaxxa

dx+++=

+∫ 22

22ln

EyM 0-68

Ejercicio

La representación gráfica del potencial normalizado en el plano xz es:

-zx

z

x

Como puede verse el potencial varía (decrece) muy rápidamente al alejarnos de la línea de carga.


07/01/2009 EyM 3.1-34

EyM 0-69

Ejercicio

Para apreciar mejor la variación suele representarse el potencial en dB

( ) ( )zxzxdB ,log20,0

φφϕ

==

Se ha aumentado también el número de puntos de cálculo para mejorar la definición de las gráficas respecto a las anteriores

Ahora se aprecia claramente como al alejarnos la distribución se comporta como circular (las líneas equipotenciales tienden a ser circulares).

EyM 0-70

Ejemplo: Potencial de una línea de carga uniforme

Supóngase una densidad lineal de carga uniforme λ distribuida sobre una línea recta que se toma como eje z, tal como indica la figura.

x

y

z

L

-L

λ

ρ

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++=+′+′=

=+′

′=

=′

−=′= ∫

ρρ

πελρ

πελ

ρπελφ

LLzz

zzd

L

z

L

Lzzplano

22

0

22

220

ln2

ln24

4

Puede observarse que:

( )∞→⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++=

∞→∞→lnln

2lim

22

ρρ

πελφ

LLLL

lo que de nuevo se debe a que se toma como origen de potenciales el infinito donde ahora habría cargas.

El potencial en puntos del plano de simetría de la distribución no dependerá de φ y si de ρ:


07/01/2009 EyM 3.1-35

EyM 0-71

Ejemplo: Potencial de una línea indefinida de carga uniforme

x

y

z

L

-L

λ

ρ

Si se toma como origen de potenciales un punto a distancia R0 del hilo entonces:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++=

∞→

∞→∞→

ρπελ

ρ

ρ

πελ

ρρ

πελφ

002

0

2

020

2

22

ln2

11

11ln

2lim

ln2

lim

RR

LR

L

RLRL

LL

L

LL

( ) ( )

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

++=

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ++=−=

=

ρρ

πελ

ρρ

πελφρφφ

02

02

22

0

20

222

00

ln2

lnln2

R

LRL

LL

RLRLLL

Rzplano

EyM 0-72

Ejemplo: Potencial de una línea indefinida de carga uniforme

El campo del hilo de carga indefinido puede obtenerse como:

ρρπε

λρρπελ

ρρ

ρπελ

ρφ ˆ1

2ˆln

2ˆln

2 0

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−∇=

RddR

ddE

r

x

y

z

L

-L

λ

ρrE

El mismo resultado se habría obtenido aplicando el teorema de Gauss al cilindro de la figura (suponiendo indefinida la distribución de carga). El flujo sobre las tapas seria cero y el flujo lateral seria: y la carga encerrada: .

( ) HD 22 ⋅⋅ πρρH2⋅λ

Por tanto: ( ) ρρπε

λρρε

ˆ12

ˆ1== DE

r

También a partir de este campo podría obtenerse el potencial como:

( ) ( )ρρ

πελρρφρ

ρφφρρ ddEd

ddEE

2ˆˆ −=−=⇒−=−∇==

r

( ) Kd+−=⇒−= ∫ ρ

πελφ

ρρ

πελφ ln

22No puede tomarse potencial cero en el infinito pues sino K seria infinito. Tomando potencial cero en R0 se obtiene:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ρπελφ 0ln

2R


07/01/2009 EyM 3.1-36

EyM 0-73

Distribuciones Bidimensionales

Se denominan distribuciones bidimensionales de carga aquellas en las que la carga se distribuye uniformemente en una dirección, que se toma como z, y solo varia en las dos direcciones transversales x e y.

En esta situación una de las tres integrales del potencial (o del campo) se realiza representando la carga como una superposición de líneas de carga que se extienden de - ∞ a + ∞. El elemento básico de carga es la línea de carga mostrada en la figura.

dS

x

y

z

P

′rr

rr

Tomando el origen de potenciales en un punto R0del plano xy, el potencial creado por la línea decarga en P es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

0

ln2 R

rπελφ

La integral sobre la distribución bidimensional de carga será: ( )

∫∫′−′

−=S

dSrrrπε

ρφ

2ln rrr

El origen de potenciales no se puede tomar en el infinito y puede tomarse en cualquier otro punto del plano sin mas que sumar una constante adecuada al potencial anterior.

S es la sección transversal de la distribución y R0=1.

( )dSrr′= ρλ

EyM 0-74

Ejercicios

• Método de Gauss• Aportaciones infinitesimales para obtener el campo• Potencial. Continuidad. Ecuaciones de Poisson y Laplace• Condiciones de unicidad: Dirichlet, Neumann, regularidad en el

infinito.• Aportaciones infinitesimales. • Problemas bidimensionales.


07/01/2009 EyM 3.1-37

EyM 0-75


La ley de Gauss permite obtener la inducción D a partir de la distribución de cargas en aquellos problemas en que la geometría del mismo permita transformar la ecuación integral que establece la ley de Gauss en una ecuación. algébrica.

qdVSdDVS

==⋅ ∫∫∫∫∫ ρrr

Para ello en general debe elegirse SG (“la superficie de Gauss”) de manera que D sea constante sobre ella y además tal que la dirección de su normal coincida con la de D. Algunos ejemplos ilustrarán el procedimiento.

Para ello en general debe elegirse SG (“la superficie de Gauss”) de manera que D sea constante sobre ella y además tal que la dirección de su normal coincida con la de D. Algunos ejemplos ilustrarán el procedimiento.

Carga puntual:

nSqDqdVDSSdD

nD

cteDVSG

SG

SG rrrrrr =⇒===⋅⇒

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ =∫∫∫∫∫ ρ

O

qrr

r ′r

R̂

rrR ′−=rrr

( ) Rrr

qrE ˆ4 2′−

= rrrr

πε rrrrR

′−′−

= rr

rrˆ

EyM 0-76


Distribución esférica de carga. Una densidad volumétrica ρ y/o superficial de carga se distribuye con simetría esférica.

( )rrDD ˆ=r

Dr

SG

Distribución superficial de carga: suponemos una densidad superficial de carga uniforme σsobre un plano (z=0).

z

σ

Dr

σ

Dr

n̂

n̂

n̂

Dr

Dr

zDzD ˆ)sgn(=r

Distribución lineal de carga: con densidad constante λ a lo largo del eje z.

( )ρρ ˆDD =r

L

λ


07/01/2009 EyM 3.1-38

EyM 0-77

Resumen

( ) ( )( )∫∫∫ ′−

′−′=

´ 34'

V rrdvrrrrE rr

rrrrr

περ ( ) ( )( )

∫∫ ′−

′−′=

´ 34'

S rrdSrrrrE rr

rrrrr

πεσ ( ) ( )( )

∫ ′−

′−′=

´ 34'

C rrdlrrrrE rr

rrrrr

πελ

( ) 21

cos222 ψrrrrrr ′−′+=′−rr ( ) zzzz )sgn(2

12 →→

( ) ( ) LL ++−=+⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+ − 2

83

2121 11

2111 2

1xxxx

nn

xn

xn

x nn

( ) ( )

RR

zzd

0220 22 2

12

3

1

=′=′ +′

−=

+′

′′∫

ρρ ρρ

ρρ

( ) Rrr

qrE ˆ4 2′−

= rrrr

πε( ) ( ) ∑∑

−==

ii

i

i

ii R

rr

qrErE ˆ4

2'rrrrrr

πεSuperposición

EyM 0-78

Resumen (1)

Puntos ordinarios: φ−∇=⇒=×∇ EErr

0 ; Puntos no ordinarios: SS 21 φφ =

Ecuación de Poisson: ( )ερφφ −=∆=∇⋅∇( ) ( ) ρφεερ =∇−⋅∇=⋅∇⇒=⋅∇ ED

rr

Condiciones de unicidad o de contorno:

( ) ( ) cterErcterr

SGn

SF

rr

S

S

==

=∂∂

⇒

=⇒

∞→∞→

2lim;lim :infinito elen dRegularida cc

)(Neuman cc

)(Dirichlet cc

φ

φ

φ

Carga puntual: ( )qrr

qr rrr

−=

πεφ

4


07/01/2009 EyM 3.1-39

EyM 0-79

Resumen (2)

Aportaciones infinitesimales:

Limitaciones: 1) No puede haber discontinuidades de medio 2)No puede haber cargas en el infinito

( ) ( )

( )

( )∫

∫∫

∫∫∫

′′−

′=

′′−′

=

′−′

=

Cl

Ss

V

ldrrr

Sdrrr

dvrr

rr

rr

r

rr

r

rr

rr

ρπε

ρπε

ρπε

φ

41

41

'4

1

Gauss: se obtiene el campo y, a partir de él, el potencial:

( ) ( ) 0)()()( −==⋅∇−=⋅⇒⋅−∇=⋅ ∫∫∫∞

∞∞

rdldrldrEldrldrEr

rr

φφφφrrrrrrr

( ) •=• 2

EyM 0-80

Distribuciones Bidimensionales

Se denominan distribuciones bidimensionales de carga aquellas en las que la carga se distribuye uniformemente en una dirección, que se toma como z, y solo varia en las dos direcciones transversales x e y.

En esta situación una de las tres integrales del potencial (o del campo) se realiza representando la carga como una superposición de líneas de carga que se extienden de - ∞ a + ∞. El elemento básico de carga es la línea de carga mostrada en la figura.

dS

x

y

z

P

′rr

rr

Tomando el origen de potenciales en un punto R0del plano xy, el potencial creado por la línea decarga en P es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

0

ln2 R

rπελφ

La integral sobre la distribución bidimensional de carga será: ( )

∫∫′−′

−=S

dSrrrπε

ρφ

2ln rrr

El origen de potenciales no se puede tomar en el infinito y puede tomarse en cualquier otro punto del plano sin mas que sumar una constante adecuada al potencial anterior.

S es la sección transversal de la distribución y R0=1.

( )dSrr′= ρλ


07/01/2009 EyM 3.1-40

EyM 0-81

Ejercicio

Obtener la intensidad de campo eléctrico producido por las dos hojas planas paralelas de carga de la figura en las regiones: 1) 0≤x≤a, 2) a≤x. ¿Qué relación debe existir entre y para que se anule el campo en la región 2? ¿Cuánto vale en este caso la diferencia de potencial entre las hojas de carga?

El campo creado por una hoja es: xxE ˆ)sgn(2εσ

=r

Por tanto en 1) 0≤x≤a : xE ˆ22

21 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

εσ

εσr

En 2) a≤x≤b : xE ˆ22

21 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

εσ

εσr

Y la diferencia de potenciales entre x=0 y x=a : xE ˆ1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

εσr

xa0

σ1 σ2

1 2

Para que E valga cero en 2: 1221 0ˆ

22σσ

εσ

εσ

−=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += xE

r

adxxxxdExddaax

x

ax

x

ax

x

ax

x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=⋅∇−=−=− ∫∫∫∫

=

=

=

=

=

=

=

= εσ

εσφφφφ 1

01

000ˆˆ)()0( rrr

EyM 0-82

Ejercicio

Un conductor plano indefinido tiene una densidad superficial de carga uniformemente distribuida de densidad σ0. Calcular la intensidad de campo eléctrico si por encima del conductor hay una densidad volumétrica de carga de valor 0,0 >= − ze zαρρ

El campo solo tiene componente z y solo varía con z( )zzDD ˆ=

rze αρρ −= 0

0σ z

zn ˆ≡r

zn ˆ−≡r

ρ̂≡nr

Al aplicar la Ley de Gauss al cilindro de la figura el flujo sobre la superficie lateral y sobre la tapa inferior son nulos. La carga encerrada es la que hay en superficie más la que hay en volumen.

( )zzz

z

Rz eRRdzddeRRzDSdD

0

2

02

00

2

0 00

20

2

22 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=+==⋅−

= = =

−∫ ∫ ∫∫∫ απρπσϕρρρπσπ

απ

ϕ ρ

αrr

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

−

αρσ

αzezD 100

( )

0,0

0,ˆ10

0

0

0

<=

≥−+= −

zE

zzeE z

r

rα

αερ

εσ


07/01/2009 EyM 3.1-41

EyM 0-83

Ejercicio

Se tiene una densidad volumétrica de carga uniforme ρ0 en la región a≤ ρ ≤b, 0 ≤ φ<2π, -∞ ≤ z ≤ ∞. Calcular la intensidad de campo eléctrico que produce.

Por simetría el campo solo tiene componente ρ y solo varía con ρ. El flujo sobre las tapas de los cilindros de Gauss será cero.

( ) ( ) aEEL <=⇒= ρρρεπρ ,002

( ) ( )220

2

00

2

0 0 222 aLLdddzEL

a

L

z a−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫ ∫ ∫= = =

ρπρρπρρϕρρρεπρρ

π

ϕ

ρ

ρ

Para a<ρ<b resulta:

Para ρ<a la carga encerrada es cero y por tanto

( ) baaE ≤≤−

= ρρερ

ρρ ,ˆ2

220

r

Para b < ρ resulta: ( ) ( )220

2

00

2

0 0 222 abLLdddzEL

b

a

L

z

b

a−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ∫ ∫ ∫= = =

πρρπρρϕρρρεπρπ

ϕ ρ

( ) ρρερ

ρ<

−= babE ,ˆ

2

220

r

EyM 0-84

Ejercicio

Sea una distribución superficial de carga ρs constante sobre una superficie esférica y una carga puntual q en su centro. Razone cuanto debe valer el potencial en los puntos del eje z. Calcule el potencial integrando la ecuación de Poisson/Laplace.

el de una carga puntual + cte.( )ερ

πεφ sa

zqz +=

4Si az <

aθ

z

q

ρs

Si az > ( )z

az

qz s

ερ

πεφ

2

4+= el de dos cargas puntuales

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

rr

rrrrrr

rr ∂∂φ

∂∂

∂ϕφ∂

θ∂θ∂φθ

∂θ∂

θ∂∂φ

∂∂φ 2

22

2

222

2

1sin1sin

sin11

( )i

iii

iiii B

rAA

drdr

drdrdrq

drdr

drd

r+=⇒−=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆ φφφ

εδφφ 222

2 01

ee

ee

eeee

e BrAdr

rAdA

drdr

drdr

drd

r+=⇒

−=⇒−=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆ φφφφφ 2

222 01

00 =⇒+∞

==∞ ee

ee BBAφ ( )

iSi

Si

VV i AdSrAdS

rqdVrqdV ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ −=

−==−=−=∆ π

∂∂φ

εεδφ 42


07/01/2009 EyM 3.1-42

EyM 0-85

Ejercicio (cont)

Sea una distribución superficial de carga ρs constante sobre una superficie esférica y una carga puntual q en su centro. Razone cuanto debe valer el potencial en los puntos del eje z. Calcule el potencial integrando la ecuación de Poisson/Laplace.

aθ

z

q

ρs

aAB

aq e

areiari ==+===

φπε

φ4

πε4qAi =0=eB

πεερρεφφε

4ˆ

2

22

qaAaA

aA

drd

drdr s

esie

ar

ie +=⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

⋅=

ερ

πεa

aq

aAB se

i =−=4

ερ

πεφ a

rqB

rA s

ii

i +=+=4

rq

raB

rA s

ee

e πεερφ

4

2

+=+=

EyM 0-86

Ejercicio

Una distribución superficial de carga tiene forma de superficie esférica a la que le falta un casquete, tal como se indica en la figura. Calcular el potencial en los puntos del eje z. Particularizar para θ0 = 0 y comentar el resultado obtenido.

aθ0

z ( )∫∫ ′−

′′=

Ss

rrSdrrr

rρπε

φ4

1 θcos222 azzarrz

−+=′−rr

( )π

θ

π

θθθ

θ

θθφρε

00

cos2cos2

2 222

22

2

azzaaza

azzadsenaz

s

−+=−+

= ∫ =

Para θ0 = 0 : ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+= 22 azaz

zaz

s

φρε

Si z > 0 ( ) ( )azazzaz

s

−−+=φρε2 ( )

aaz s

περπφ

44 2

=Si z a< constante

como una carga puntual.( )z

az s

περπφ

44 2

=Si z a>

Si θ0 =0 tenemos una esfera de carga, el potencial es simétrico respecto al origen

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−+= 0

22 cos2 θazzaazza


07/01/2009 EyM 3.1-43

EyM 0-87

Ejercicio

2 1 0 1 2

0.5

1

1.5

2

f( ),z 0

f( ),z 10

f( ),z 45

f( ),z 90

z/a

φ

Representación del potencial normalizado.

EyM 0-88

Ejercicio

2 1 0 1 2

1

0

1E( ),z 0

E( ),z 10

E( ),z 45

E( ),z 90

z

Representación del campo normalizado.


07/01/2009 EyM 3.1-44

EyM 0-89EyM 0-89

Ejercicio: Potencial de una tira de carga constante indefinida.

Z

Y

X

ρ σS =

w

( ) ( ) KldrrrrL S +′′′−

−= ∫

rrrr ρπε

φ ln2

1

( ) xdldyxrr

yyxxrrxxryyr

′=′⎩⎨⎧

+′=′−+′−=′−

⇒⎭⎬⎫

′=′=

2122

ˆˆˆˆ

rr

rr

r

r

( ) ( ) ( )

Ky

warctgywyww

KyxarctgyxyxxKxdyxr

w

w

w

w

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′+′−+′′−

=+′+′−=

−−∫

242

2ln

4

22ln4

ln4

22

2/

2/

222/

2/

22

πεσ

πεσ

πεσφ r

Calcular el potencial creado por una densidad superficial de carga σ sobre una tira plana indefinida de ancho w en su plano de simetría

El potencial es:

Siendo (en el plano de simetría yz):

Sustituyendo:

rr

r ′r

rr ′−rr

( )∫∫

′−′−=

S

dSrrrπε

ρφ

2ln rrr

EyM 0-90EyM 0-90


y/w

( )Φ y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Representación del potencial en los puntos del eje Y:

Observe el cambio de pendiente al atravesar la distribución.


07/01/2009 EyM 3.1-45

EyM 0-91EyM 0-91


0 1-1-1

0

1

x/w

y/w

Representación del potencial y de las líneas de campo en el plano z=cte

EyM 0-92

Ejercicio propuesto

Dada una distribución volumétrica de carga de forma esférica, situada en el vacío, cuya densidad volumétrica de carga toma el valor :

se pide:a) Calcular el valor del potencial en puntos exteriores a la esfera de radio a (2.5p)b) Calcular el valor del potencial en puntos interiores a la esfera de radio a (4.5p)c) Calcular la carga de la distribución (1p)d) Calcular el valor del campo eléctrico y del potencial en puntos muy alejados de la distribución de carga (2p)Nota: en todos los casos indique las unidades de los resultados en el sistema internacional.

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤<

≤

=

ar

arar

ar

r

0

2/

2/1

0ρρ

ρ r C/m3


07/01/2009 EyM 3.1-46

EyM 0-93

Ejercicio propuesto

Sea una distribución lineal de carga de valor λ C/m uniformemente distribuida en el vacío sobre una línea recta de longitud 2L, paralela al eje z y centrada en el punto (a cosα, a senα, 0). Se pide que:a) Obtenga geométricamente la dirección del campo eléctrico en z=0 (1p).b) Calcule el campo eléctrico en puntos del eje z (3p).c) Calcule el campo eléctrico en puntos del eje z debido a la distribución lineal cuando α=0º, si se sitúa un plano conductor infinito, a potencial cero en x=b siendo b>a (2p).d) Calcule, empleando el resultado del apartado b), el campo eléctrico que crearía, en puntos del eje z, una distribución superficial de carga de valor σ C/m2, distribuida uniformemente sobre un cilindro de radio a y altura 2L, con su centro en el origen del sistema de coordenadas. (3p).e) Calcule el campo eléctrico generado por el cilindro en puntos muy alejados de la distribución (1p).Nota:

Indique las unidades de las magnitudes calculadas.

EyM 0-94

Ejercicio

Una distribución lineal de carga tiene forma de semicircunferencia de radio R0, siendo su densidad λ = λ0 ⎜cos ϕ ⎜ (ver figura). Calcular el potencial en los puntos del eje y. ¿Cual es la dirección del campo en dichos puntos?

( )∫ ′−

′′=

C rrldrrr

rλπε

φ41

yyr ˆ=r ysenRxRr ˆˆcos 00 ϕϕ ′+′=′r

( )yysenRxRrr ˆˆcos 00 −′−′−=′− ϕϕrr

( ) ( ) ϕϕϕ ′−+=−′+′=′− senyRyRysenRRrr 022

02

02

0 2cosrr

El potencial será:

Por tanto el potencial es:

[ ]yRyRy

senyRyRy

senyRyRy

senyRyRdR

senyRyRdR

senyRyR

dR

−−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′−++′−+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

′−+

′′−+

′−+

′′=

′−+

′′= ∫ ∫∫ =′ =′=′

022

00

022

00

022

00

00

220

00

022

0

000

022

0

00

2214

21214

2cos

2cos

41

2

cos4

1

2

2

2

2

πελ

ϕϕπελ

ϕϕϕλ

ϕϕϕλ

πεϕ

ϕϕλπε

φ

π

ϕ

π

ϕ

π

ϕ

π

π

π

π

y

xR0

λ

Por simetría el campo solo tiene componente y.

ϕ

rr ′−rr

r ′rrr


07/01/2009 EyM 3.1-47

EyM 0-95

Ejercicio

3 2 1 0 1 2 30

1

2

3

f( )y

y

3 2 1 0 1 2 31

0

1

2

3

4

E( )y

y

Potencial y campo normalizados:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

0

2

0

0

0

12124Ry

Ry

yRφ

λπε

( ) ( )ydydfyE′′

−=′

( ) [ ]

0

2

0

121214

Ryysiendo

yyy

yf

=′

′−−′+′

==′ φλπε

EyM 0-96

Dipolo

Se denomina dipolo a una configuración de dos cargas iguales y de signos opuestos cuando su distancia d entre ellos es mucho menor que la distancia al punto de observación r.

d/2

d/2

q

-qx

y

zrr+

rr−

rrθ

P ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−+ rrq 11

4πεφ

Utilizando coordenadas cartesianas el potencial será:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

=2

222

22

2

1

2

14 dzyxdzyx

qπε

φ

Para realizar una representación gráfica del potencial se recurre a normalizarlo de manera que:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

=2

222

22

21

1

21

1

nnnnnn

n

zyxzyx

φ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

dqn

πε

φφ

4d

zzd

yyd

xx

n

n

n

=

=

=

Considérese la configuración de la figura. Por superposición el potencial será:


07/01/2009 EyM 3.1-48

EyM 0-97

Potencial de dos cargas

Representación de la superficie V(y,z) Curvas de nivel de V en x = 0

En esta configuración tenemos dos cargas pero no un dipolo.

EyM 0-98

Potencial y Campo Lejanos

En realidad el par de cargas iguales y de signo opuesto de la situación anterior se denomina dipolo cuando se observan sus efectos a distancias mucho mayores que la separación entre las cargas, d. Para aproximar el potencial en dicha situación:

d/2

d/2

q

-qx

y

zrr+

rr−

rrθ

P

21

21

cos2

1cos2

22

222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+ θθ

rd

rdrdrdrr

21

21

cos2

1cos2

22

222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=− θθ

rd

rdrdrdrr

Tomando los primeros términos de los desarrollos en serie de las anteriores expresiones:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +≈

+

θcos2

111r

drr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −≈

−

θcos2

111r

drr

Por tanto: 24coscos1

411

4 rqd

rd

rq

rrq

πεθθ

πεπεφ =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡≈⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−+

24ˆ

rrdq

πεφ ⋅

=r

y llamando d al vector que une -q y +q será:


07/01/2009 EyM 3.1-49

EyM 0-99

Momento Dipolar

El vector qd es una constante propia de la distribución de cargas que se denomina momento dipolar p dqp

rr=

En función del momento dipolar puede expresarse el potencial como:

34 rrp

πεφ

rr⋅

=

El campo será: ( ) ( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇⋅+⋅∇−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∇−=−∇= 333

114

14

1r

rprprr

rpE rrrrrrr

πεπεφ

( ) ( ) ( ) ( ) pzpypxpzz

yy

xx

zpypxprp zyxzyxr44 844 76rr

=++=•

+•

+•

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++∇=⋅∇

•

ˆˆˆˆˆˆ∂

∂∂

∂∂

∂

533

3ˆ11r

rrrrr

r−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∇

∂∂

Y sustituyendo se obtiene: ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅= p

rrrp

rE r

rrrr23

34

1πε

EyM 0-100

Componentes del Campo

Por simetría el campo no tiene componente φ.

Las componentes r y θ se obtienen como:

( ) θπεπεπε

cos24

ˆ2ˆ34

1ˆ 3323 rqd

rrprp

rrrp

rrEEr =

⋅=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

⋅=⋅=

rr

rrrr

( ) θπεπε

θθπε

θθ sin44

ˆˆ34

1ˆ3323 r

qdr

ppr

rrpr

EE =⋅−

=⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅=⋅=

rr

rrrr

El potencial y el campo varían con r como r-2 y r-3 respectivamente.

( ) 01limlim 2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∞→∞→ rrrr

rrφ ( ) 01limlim 3

22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∞→∞→ rrrEr

rr

Por ello satisfacen las condiciones de regularidad en el infinito:

Analizar el campo en θ=π/2. Imaginar campo cero en z≤0 : ¿densidad de carga?


07/01/2009 EyM 3.1-50

EyM 0-101

Desarrollo Multipolar del Potencial

El potencial de una distribución de carga ρ en un volumen V era:

( ) ( ) '4

1 dvrr

rrV∫∫∫ ′−

′= rr

rr ρ

πεφ

Para puntos muy alejados de la distribución (r>>r´) se puede aproximar la función subintegral de la siguiente forma:

( ) ( )[ ] [ ]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

′⋅+≈

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ′⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+=

′⋅−′+=′−⋅′−=′−−

−−−

L

rrrr

rrrrrrrr

22

2

221

11211

22

1

21

21

rrr

rrrr

rr

r

rrrrrrrrrr

Luego: ( ) ( ) ( )( )( )

L

rr

L

rrrr

rr

rr

+⋅

+=

=+⋅′′

+′≈′−

′= ∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

3

3

44

4

''

41'

41

rrP

rQ

r

rdvrrdvr

rdv

rrrr V

VV

πεπε

πε

ρρ

περ

πεφ

La carga total de la distribución es: ( ) 'dvrQV∫∫∫ ′=

rρ

( ) 'dvrrPV∫∫∫ ′′=

rrrρEl momento dipolar equivalente de la distribución es

EyM 0-102

Desarrollo Multipolar del Potencial

Para puntos muy alejados de la distribución (r>>r´) el potencial es:

( ) L

rrr

+⋅

+= 344 rrP

rQr

lejos πεπεφ

Si también el momento dipolar fuese cero podrían definirse y calcularse momentos dipolares de orden superior (multipolos).

Si la carga neta Q de la distribución es distinta de cero el potencial de la misma en puntos alejados es como el de una carga puntual.

Sin embargo si Q=0, la distribución puede tener un momento dipolar P y el potencial lejano comportarse como el de un dipolo.


07/01/2009 EyM 3.1-51

EyM 0-103

Cuadripolo

Se denomina cuadripolo a la asociación de tres cargas de valores -q, -q y 2q dispuestas como se muestra en la figura.

x

y

z

rr

P

d

d

-q

-q

+2q

rp

rp

θ

rr1

rr2

Como se ve esta configuración es equivalente a dos dipolos de sentidos contrarios. El potencial obtenido es nulo.

33 44 rrp

rrp

πεπεφ

rrrr⋅−

+⋅

=

Tomando mas términos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++≈ 1cos

23cos

2111 2

2

1

θθrd

rd

rr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−≈ 1cos

23cos

2111 2

2

2

θθrd

rd

rr

El potencial en puntos lejanos será:

( ) ( )θπεπεπεπε

φ 23

2

21

cos314444

2−=

−+

−+=

rqd

rq

rq

rqrr

La razón es que no se han tomado suficientes términos en los desarrollos en serie para esta nueva situación.

EyM 0-104

Ejemplo: Dos casquetes de cargas de signo opuesto.

Se desea obtener el potencial y el campo lejanos (r>>R) de dos casquetes de carga sobre una esfera de radio R como se indica en la figura.

Evidentemente la carga neta es nula:( ) ( ) ( ) 0cos12cos12 2

02

0 =⋅−⋅⋅−+⋅−⋅⋅= RRQ θπσθπσEl momento dipolar será:

( )∫∫∫∫ ′′−+′′=21 SS

SdrSdrP rrrσσ

+σ

−σ

θ0R

z

x

y

S1

S2

zRyRxRr ˆcosˆsinsinˆcossin θϕθϕθ ′+′′+′′=′r

ϕθθ ′′′=′ ddRSd sin2

Por simetría las componentes x e y se anulan. La componente z será:

0230

23

2

0

3

0

2

0

3

sin22

sin22

sincossincos0

0

θπσθπσ

ϕθθθϕθθθσπ

θπθ

π

ϕ

θ

θ

π

ϕ

RR

ddRddRPz

=⋅⋅=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′′′′−′′′′= ∫ ∫∫ ∫ −=′ =′=′ =′

( ) 34ˆrrzPr z

πεφ

rr ⋅

=( )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅= zP

rrrzP

rE z

z ˆˆ34

123

rrr

πε

( ) 'dvrrPV∫∫∫ ′′=

rrrρ


07/01/2009 EyM 3.1-52

EyM 0-105

Potencial y Campo Lejanos

Un par de cargas iguales y de signo opuesto se denomina dipolo cuando se observan sus efectos a distancias ® mucho mayores que la separación entre las cargas (d).

d/2

d/2

q

-qx

y

zrr+

rr−

rrθ

P

Se obtiene: 24coscos1

411

4 rqd

rd

rq

rrq

πεθθ

πεπεφ =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡≈⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−+

24ˆ

rrdq

πεφ ⋅

=r

y llamando d al vector que une -q y +q será:

Se denomina momento dipolar p dqprr

=

34 rrp

πεφ

rr⋅

= ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅= p

rrrp

rE r

rrrr23

34

1πε

( ) ( )L

rr

rr

rr

+⋅

+≈′−

′= ∫∫∫ 344

'4

1rrP

rQdv

rrrr

V πεπερ

πεφ

( ) 'dvrQV∫∫∫ ′=

rρ ( ) 'dvrrPV∫∫∫ ′′=

rrrρ

EyM 0-106

Ejercicio

Dadas las líneas de carga, representadas en la figura, inmersas en el vacío y cuyas densidades lineales de carga valen:

Obtenga:a) El potencial electrostático en cualquier punto del eje Z.b) El momento dipolar de la distribución de carga.c) El potencial y el campo eléctrico en puntos alejados de la distribución

( )

( )πϕπϕ

ρϕλλ

πϕϕ

ρϕλλ

2cos

0cos

02

01

≤≤⎩⎨⎧

−=−

==

≤≤⎩⎨⎧

===

hzsen

sobremcul

hzsen

sobremcul

a) La solución se obtiene aplicando la expresión del potencial electrostático para aportaciones infinitesimales de carga a ambas distribuciones :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )rrrr

ldrrr

ldrrr

ldrrCCC

rrrr

r

rr

r

rr

rr

2122

0

11

00 21 41

41

41 φφλ

πελ

πελ

πεφ +=

′−′′

+′−

′′=

′−′′

= ∫∫∫

X

Z

h

h

λ1

λ2

Y


07/01/2009 EyM 3.1-53

EyM 0-107

Ejercicio

X

Z

h

h

λ1

λ2

Y

( ) ( )( ) ( )

ϕϕϕϕ

ϕρρ

ϕρ

ρρ

′=′′+′=

=′′+′=′

−+′=−+′=′−

+′=′=

ddsen

ddld

hzsenhzrr

zhrzzr

22

221

2222

cos

ˆˆˆ

rr

r

r

( )0cos

41)(

2

22

0

02 =

++′

′′= ∫

=′

π

πϕ ϕ

ϕϕλπε

φhzsen

dz

Curva 1:

Curva 2:

A esta conclusión se podía llegar también observando que las cargas positivas y negativas se distribuyen simétricamente al plano x=0, por lo que todo ese plano, que contiene al eje Z, presenta un potencial Φ=0

( )0cos

41)(

022

0

01 =

−+′

′′= ∫

=′

π

ϕ ϕ

ϕϕλπε

φhzsen

dz

( ) ( )

( ) ( )ϕϕϕϕ

ϕρρ

ϕρ

ρρ

′=′′+′=

=′′+′=′

++′=++′=′−

−′=′=

ddsen

ddld

hzsenhzrr

zhrzzr

22

222

2222

cos

ˆˆˆ

rr

r

r

+ + +

- - -- - -

+ + +

EyM 0-108

Ejercicio

b) El momento dipolar de la distribución de carga se obtiene mediante la expresión:

Curva 1:

( ) ( ) ( ) 21221121

ppldrrldrrldrrpCCC

rrrrrrrrr+=′′′+′′′=′′′= ∫∫∫ λλλ

( )( ) ( )

ϕϕϕϕ

ϕρρ

ϕϕϕρρ

′=′′+′=

=′′+′=′

+′+′′=+′=′

ddsen

ddld

zhysenxsenzhr

22

221

cos

ˆˆˆcosˆˆr ( )( ) ( )

ϕϕϕϕ

ϕρρ

ϕϕϕρρ

′=′′+′=

=′′+′=′

−′+′′−=−′=′

ddsen

ddld

zhysenxsenzhr

22

222

cos

ˆˆˆcosˆˆrCurva 2:

x

dzh

ysenxsen

p

ˆ32

ˆcosˆcos

ˆcos

0

0

2

2

01

λ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

λπ

ϕ

=

=′⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

′++′′+

+′′

= ∫=′

r

x

dzh

ysenxsen

p

ˆ32

ˆcosˆcos

ˆcos

0

22

2

02

λ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

λπ

πϕ

=

=′⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

′−−′′−

+′′−

= ∫=′

r

( ) 'dvrrPV∫∫∫ ′′=

rrrρ


07/01/2009 EyM 3.1-54

EyM 0-109

Ejercicio

c) Lo primero que se debe comprobar es su funcionamiento como dipolo:

( ) 0coscos2

00

0 =+== ∫∫∫==

π

πϕ

π

ϕ

ϕϕλϕϕλλ ddldrQC

rr

( )

( )zrysenrsenxrsenxrp

rsen

rrpr

ˆcosˆˆcosˆ34

3cos

4

0

20

03

0

θϕθϕθλ

πεϕθλ

πεφ

++⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅

=⋅

=∞→

rr

rr

( ) ( )

( )( )zsenysensenxsenr

rp

rrrprE

ˆcoscosˆcosˆ1cos3

41

2223

0

0

350

θϕθϕϕθϕθπελ

πε

++−=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⋅=∞→

rrrrr

El potencial lejano vendrá dado por su comportamiento dipolar:

Y también el campo lejano:

EyM 0-110

Ejercicios

Calcular el flujo, sobre una esfera de radio R, de la intensidad de campo eléctrico producido por una densidad de carga superficial uniforme σsobre un cubo de lado L, concéntrico con la esfera, siendo L<<R. ¿Cuánto valdría si L<2R/(3)1/2?

La diagonal del cubo es:

∫∫∫∫ ⋅=⋅== SdESdDLQrrrr

εσ 26εσ 26 LSdE =⋅∫∫

rr

( ) 21222 3LLLL =++

Por lo que con la condición anterior todo el cubo está dentro de la esfera y el flujo es el mismo que en la pregunta anterior.

Documents

Campo Electrostático (Primera Parte) · El campo solo tiene componente normal a la superficie pues si tuviese componente tangencial, ésta daría lugar a una corriente superficial,