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campo magneticoIntroduzione
F i s i c a s p e r i m e n t a l e I I
La forza elettrica è descritta dalla legge di CoulombSi era detto:
La verifica sperimentale era fatta in condizioni statiche
La legge di Coulomb varrà pure se le cariche sono in moto?
Possiamo mettere in evidenza anche eventuali
piccole deviazioni studiando le interazioni
tra fili percorsi da corrente.
Tuttavia:
Le interazioni puramente Coulombiane si elideranno
vicendevolmente. Resteranno non
compensate eventuali dipendenze della forza
dalla velocità dei portatori
F = q
E +f q, v( )
Due fili percorsi da corrente in senso concorde si attraggono
Se le forze non dipendessero dalla velocità dei portatori i fili non dovrebbero attrarsi
Si cercherà di descrivere questi fenomeni attraverso l’introduzione di un nuovo “campo”
Il “Campo Magnetico”
Lavori di Ampere
Non aveva a disposizione generatori di corrente affidabili
Non aveva a disposizione misuratori di corrente affidabili
Le misure erano influenzate dalla presenza della Terra
Doveva misurare forze tra correnti, ma:
Non aveva a disposizione generatori di corrente affidabili
Non aveva a disposizione misuratori di corrente affidabili
Misure di zero
La stessa corrente circolava sia nel circuito che produceva il campo che in quello che ne subiva la presenza
Le misure sono influenzate dalla presenza della Terra
Circuiti elettrici configurati opportunamente in modo tale che gli effetti della presenza della Terra si annullino
automaticamente
Bilancia di Ampere
Uso di considerazioni di simmetria
Uso del principio di additività
Due prime conseguenze dell’additività delle forze:
Se le forze sono additive esse debbono essere proporzionali al valore della
corrente
Se le forze sono additive esse debbono essere proporzionali alla
lunghezza del tratto di filo
Dalla additività delle forze discende la possibilità di definire l’unità di misura delle correnti e quindi anche quella della carica
elettrica
Due fili siano percorsi dalla stessa corrente. Essa è unitaria se i fili, posti
parallelamente l’uno all’altro ad un metro di distanza, di attraggono, o si
respingono, con una forza pari a 2 10-7 N per unità di lunghezza
L’unità di misura prende il nome di “Ampere”
Il Coulomb è quindi la carica che attraversa in un secondo la sezione di un conduttore interessato al passaggio di corrente del
valore di un Ampere
La forza che agisce su di un filo può avere varie direzioni.
La direzione dovrà sottostare ad una legge generale?
Archetto libero di ruotare attorno ad un
asse verticale
Avvolgimento di filo
Pozzetti di mercurio
Asse di rotazione
Dato sperimentale:
L’archetto non ruota mai, qualunque siano le posizioni dei pozzetti e la posizione della matassa, solo se il suo centro è
posto sull’asse di rotazione
Archetto visto dall’alto
Una componente di forza agente sul singolo “dl” diretta come il “dl” stesso
darebbe luogo ad un momento di forze indipendentemente dal fatto che “c” ed
“o” coincidano
Il dato sperimentale attesta quindi che la forza non ha componente parallela al “dl”
Quindi la forza è perpendicolare: dF ⋅dl = 0
Se non ruota:
se questo avviene indipendentemente dalle posizioni dei pozzetti e dell’avvolgimento:
Mext = d
Mext =
archetto∫ 0
dMext = 0
Introduciamo il concetto di campo
L’elemento di filo “dl” percorso da corrente interagisce con lo spazio in cui è posto. Le proprietà fisiche dello spazio sono
descritte tramite una grandezza vettoriale: il Campo Magnetico
Nel punto considerato avremo quindi due grandezze vettoriali: d
l
B
Anche se per adesso non conosciamo la direzione del campo, i due vettori identificano un piano nello spazioLa forza potrà essere scomposta in due direzioni tra
loro ortogonali
1) lungo la normale al piano2) lungo la direzione nel piano normale al filo
n = vers dl ×B( )
m = vers dl × n( )
Con α e β funzioni incognite dell’angolo tra il vettore “dl” ed il vettore “B”
Lineare nel modulo del campo
Lineare nel modulo del “dl”Lineare nella corrente
dF = i ⋅dl ⋅ B ⋅ α θ( ) n + β θ( ) m⎡⎣ ⎤⎦
Solo l’esperienza potrà determinare le due funzioni α e β
La bilancia di Ampere non ruota
la cosa non sorprende data la simmetria del circuito
Se modifichiamo la bilancia, sostituendo un suo tratto verticale con un filo finemente pieghettato, si perde la
simmetria.
Ci aspetteremo quindi che, chiudendo il circuito, la bilancia ruoti!
È molto più lungo dell’altro, quindi ci attenderemmo una forza maggiore e quindi
un momento di forza netto
L’esperienza dice che anche adesso
la bilancia non ruota
La matematica ci dice:
L’esperienza ci dice: dl = d
l1 + d
l2
dF = d
F1 + d
F2
L’unico modo per cui possono valere entrambe è che:
dF = i ⋅dl ⋅ B ⋅ α θ( ) n + β θ( ) m⎡⎣ ⎤⎦
α θ( )∝ sin θ( ) β θ( ) = 0
Scegliendo 1 come costante moltiplicativa, scriveremo quindi: d
F = i ⋅d
l ×B
La scelta del valore 1 per la costante implica la scelta dell’unità di misura del campo magnetico
L’unità di misura prende il nome di “Tesla”
[B] = [F][i] ⋅[l]
= Kg A−1s−2
Siamo a metà strada
Occorre determinare la relazione esistente tra correnti e campi da esse generati
Principio si additività
Campo proporzionale al valore delle corrente
Campo proporzionale al valore dell’elemento di filo
Uso di misure di zero
In entrambi i casi la bilancia di Ampere non ruota
Un elemento di circuito come questo, percorso da corrente non è in grado di generare forze su circuiti adiacenti
Queste esperienze si possono interpretare solo ammettendo che
dB = i d
l ⋅ f θ,r( ) ⋅ vers(d
l × r )
Resta da determinare la dipendenza funzionale da r e da θ
Esperienza di Biot
Il doppio quadro non ruota solo se vale:
R1R2
=L1L2
Filo complanare ai due tratti verticali del doppio quadro
Asse di rotazione
Asse di rotazione
Per avere equilibrio:
Mext = 0
Che, essendo uguali i bracci, conduce a F1 = F2
e quindi a: L1 ⋅ B r1( ) = L2 ⋅ B r2( )campo generato dal filo rettilineo
L’esperienza dice che questa relazione vale seR1R2
=L1L2
Per cui: R1 ⋅ B r1( ) = R2 ⋅ B r2( )In altri termini:
il prodotto del modulo del campo magnetico generato da un filo infinito per la distanza dal filo è una costante
Per quanto si è visto:
dB = i d
l ⋅ f θ,r( ) ⋅ vers(d
l × r )
ove: R = r ⋅ sin(θ)
Quanto scritto ci permette di esplicitare la funzione “f”
B(R) = i f θ,r( ) ⋅ vers(dl × r )
−∞
+∞
∫ ⋅dl = K ⋅iR
Si era già visto un caso in cui un integrale lungo un filo dava luogo ad un risultato del tipo “1/R”
Campo elettrico di un filo uniformemente carico
E =
14πε0
λsin θ( ) dlR2 + l2−∞
+∞
∫ =14πε0
2λR
ove: R2 + l2 = r2
Si può vedere che questa è l’unica possibilità
Nel caso elettrostatico, la funzione seno derivava dal dover considerare la componente orizzontale del campo dovuto al
singolo “dl”
Nel caso attuale, tutti i “dB” sono tra loro paralleli, quindi:
La funzione seno fa parte integrante dell’espressione del “dB”
dB = i d
l ⋅ f θ,r( ) ⋅ vers(d
l × r )
con: f θ,r( ) = K sin θ( )r2
Ma allora la “f” può essere inglobata nel prodotto vettoriale
f θ,r( )−∞
+∞
∫ dl = Ksin θ( )r2−∞
+∞
∫ dl = K2R
dB = K i
dl × rr3
Quindi:
Resta da determinare il valore della costante moltiplicativa
Si era detto:
Due fili siano percorsi dalla stessa corrente. Essa è unitaria se i fili, posti parallelamente l’uno all’altro ad un metro di distanza, di
attraggono, o si respingono, con una forza pari a 2 10-7 N per unità di lunghezza
segue:Dalla:
Quindi:
F = i l B(r) = i l 2K ir 10−7 = K
dB = 10−7 i
dl × rr3
Si sono trovate due costanti:
Elettrostatica
Magnetostatica
14πε0
9 ⋅109
Esiste tra di esse una relazione?
Se si raddoppiasse il valore dell’unità di misura della corrente elettrica, per ottenere lo stesso numero per la forza
occorrerebbe scegliere un valore numerico per la costante
magnetostatica quatto volte superiore
10−7
F = i l B(r) = i l 2K ir
Ma, raddoppiando l’unità di misura della corrente si raddoppia anche quella della carica elettrica
Fe =
14πε0
q1q2r2er
Occorrerà quindi scegliere per la costante elettrostatica un valore quattro volte superiore
I valori delle due costanti dipendono allo stesso modo dalla scelta dell’unità di misura della corrente
Si scrive quindi:
K =14πε0
β
Quali saranno le dimensioni di β ?
F =14πε0
q2
r2=
14πε0
i2t 2
r2
i2 l14πε0
β 1r
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
14πε0
i2t 2
r2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ β[ ] = t 2
r2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
Inverso del quadrato di una velocitàPer ricordarsi questo, si scrive:
β =1c2
K =1
4πε0c2
dB =
14πε0c
2 idl × rr3
Per un filo rettilineo infinito:
F = i l B(r) = i2 l 14πε0
β 2r
B(R) = 14πε0c
2 ⋅2iR
Legge di Biot-Savart
Quanto vale c?
10−79 ⋅109
c2 c 3 ⋅108m / sda cui
Riassumendo:
dB =
14πε0c
2 idl × rr3
dF = i ⋅d
l ×B
Queste due leggi non hanno tuttavia significato fisico!Esistono i circuiti, non i “dl” percorsi da corrente!
Possiamo dare ad esse significato fisico solo se riusciamo, attraverso il principio di sovrapposizione ad esprimerle in termini delle cariche in moto interne all’elemento di filo
Oltre i circuiti esistono le singole cariche ed esse possono essere in moto
ora: i ⋅dl = J ⋅S ⋅d
l =J ⋅S ⋅dl = nqv ⋅dV = qv ⋅dN
sezione del filo
numero di particelle contenute nell’elemento di filo
dF = i ⋅d
l ×B = qv ×
B ⋅dN
dB =
14πε0c
2
qv × rr3
⋅dN
B =
14πε0c
2
qv × rr3
F = qv ×
B
Forza magnetica agente su di una particella in moto
Campo magnetico generato da una particella in moto
Forza di Lorentz
Come si misura il valore del campo magnetico?
Effetto Hall
I portatori di carica saranno soggetti ad una forza
per cui tenderanno a spostarsi verso uno dei lati stretti verticali della sbarretta
Nel caso rappresentato verso il lato posteriore , ove è presente il contatto “2”
La migrazione di carica genererà un campo elettrico nel materiale
La migrazione cesserà quando:
qE = −
1nJ ×B
F = qv ×
B =
1nJ ×B
Notare: indipendentemente dal loro segno!
Tra i punti”1” e “2” si avrà quindi una d.d.p. misurata dallo strumento
V2 −V1 = −E ⋅dl
1
2
∫ =1nq
J ⋅ B ⋅ l
sarà positiva se i portatori di carica sono positivisarà negativa se essi sono di segno negativo
note le caratteristiche del materiale si risale al valore del campo magneticonoto il campo si estraggono informazioni sul materiale
Dalla misura della d.d.p.:
La differenza di potenziale:
B =V2 −V1( )J
nql
nq =J ⋅ l
V2 −V1( ) B
