Mecanique des Fluides

Ecoulements dans les canaux

1 Ondes de pesanteur

On note ϕx la derivee premiere de ϕ par rapport a x. Ainsi ϕx =∂ϕ

∂x. De meme ϕtt =

∂2ϕ

∂t2.

On considere l’ecoulement plan, irrotationnel, continu et non permanent d’un fluide isovolume, pesant et ideal.

On a ϕtt + gϕz = 0 en z = 0. De plus th(ωh

c

)=ωc

g.

La solution est une onde progressive de vitesse de propagation c et de pulsation ω. On introduit la longueur d’onde λ =2πcω

.

On a alors c2 =gλ

2πsh(

2πhλ

).

Deux cas se presentent :

– si λ� h (petite profondeur ou grande longueur d’onde) alors th(

2πhλ

)→ 2πh

λet c2 ' gh. Cas des cannaux.

– si λ� h (grande profondeur : mer et ocean) alors th(

2πhλ

)→ 1 et c2 ' gλ

2π. On parle alors de houle.

2 Ecoulement de riviere et ecoulement de torrent

On considere un ecoulement permanent a la vitesse u. Par rapport au fluide, une onde se propage a la vitesse c =√gh.

Par rapport au sol on a des ondes u+ c et u− c.

On definit le nombre de Froude par F =u√gh

.

On a trois cas :– si u <

√gh, ie. F < 1 :

– l’onde u+ c se propage dans le sens des x positifs (amont)– l’onde u− c se propage dans le sens des x negatifs (aval)

Les ondes peuvent remonter le courant.Il s’agit d’un ecoulement de riviere (on parle aussi d’ecoulement fluvial ou subcritique).

– si u >√gh, ie. F > 1 :

– l’onde u+ c se propage dans le sens des x negatifs (aval)– l’onde u− c se propage dans le sens des x negatifs (aval)

Les ondes ne peuvent pas remonter le courant.Il s’agit d’un ecoulement de torrent (on parle aussi d’ecoulement torrentiel ou supercritique).

– si u =√gh, ie. F = 1 :

On parle alors de nombre de Froude critique, de vitesse critique ainsi que de profondeur critique. Pour une largeur b

on a : hc =(q2vgb2

)1/3

et uc =(qvgb

)1/3

.

1

3 Discontinuites et ecoulements rapidement varies

Dans le cas d’une discontinuite fixe, on parle de ressaut. Pour une discontinuite mobile on parle de mascaret.

Ressaut :

On considere un ecoulement permanent. Soit h la hauteur en amont et h′ la hauteur en aval. On a h < h′.

– Equation de l’impulsion : hu2 + gh2

2= h′u′2 + g

h′2

2.

– Expressions des vitesses : u2 = gh+ h′

2h′

het u′2 = g

h+ h′

2h

h′ .

– Relation entre les hauteurs et le nombre de Froude amont : 2h′

h=√

1 + 8F 2 − 1.

– Difference de charge au passage d’un ressaut :∆Hρ

= g(h′ − h)3

4hh′ .

L’amont d’un ressaut est toujours torrentiel. L’aval d’un ressaut est toujours fluvial.

Mascaret :

On note ω la vitesse de propagation du mascaret. On suppose ω constante. Les resultats etablis pour le ressaut sont valabledans le repere relatif. Il suffit de faire les changements suivants : u→ u− ω et u′ → u′ − ω.

4 Ecoulements graduellement varies et sans frottement

On considere un fluide ideal. Un ecoulement est dit graduellement varie ou lentement varie lorsque les pentes sur le fond eta la surface libre sont faibles. On a un ecoulement par tranche, permanent, irrotationnel et continu.On note z = ξ(x) l’equation du fond, z = s(x) l’equation de la surface libre et h = s− ξ l’epaisseur d’eau.

On peut etablir queu2

2+ gs = cte ou encore

u2

2g+ h+ ξ = cte. De plus hu = cte. Enfin :

dξ

dx= (F 2 − 1)

dh

dx

ds

dx=

dh

dx+dξ

dx= F 2 dh

dx

ds

dx=

dξ

dx

(1

F 2 − 1− 1)

=(

F 2

F 2 − 1

)dξ

dx

Etude de tous les cas possibles :– si F < 1 ecoulement de riviere :

– sidξ

dx> 0 le fond monte et h↘ u↗ s↘ F2 − 1 < 0 ;

dh

dx< 0 donc h↘ donc u↗ ;

ds

dx< 0 donc s↘

– sidξ

dx< 0 le fond descend et h↗ u↘ s↗ F2 − 1 < 0 ;

dh

dx> 0 donc h↗ donc u↘ ;

ds

dx> 0 donc s↗

– si F > 1 ecoulement de torrent :

– sidξ

dx> 0 le fond monte et h↗ u↘ s↗ F2 − 1 > 0 ;

dh

dx> 0 donc h↗ donc u↘ ;

ds

dx> 0 donc s↗

– sidξ

dx< 0 le fond descend et h↘ u↗ s↘ F2 − 1 > 0 ;

dh

dx< 0 donc h↘ donc u↗ ;

ds

dx< 0 donc s↘

– sidξ

dx= 0 la pente du fond est nulle on alors deux cas, soit F = 1 soit un maxima de vitesse :

– cas du creux (en amont le fond descend, en aval le fond monte) :– si en amont F < 1 (riviere), alors on a un minimum de vitesse dans le creux.– si en amont F > 1 (torrent), alors on a un maximum de vitesse dans le creux.

– cas de la bosse (en amont le fond monte, en aval le fond descend) :– si en amont F < 1 (riviere), alors on a un maximum de vitesse dans la bosse.– si en amont F > 1 (torrent), alors on peut avoir F = 1 sinon, on a un minimum de vitesse dans le creux.

2

Le passage d’un regime fluvial a un regime torrentiel, ou le passage d’un regime torrentiel a un regime fluvial en ecoulementcontinu, ne peut s’effectuer que sur une bosse.

5 Deversoirs a seuil epais

Le seuil est similaire a une bosse. Avant le seuil on a un regime fluvial F < 1 et apres le seuil un regime torrentiel F > 1.

L’ecoulement est continu. On aU2

2g+H =

3hk

2. Si l’eau est au repos (cas des lacs) on a U = 0 et hk =

2H3

.

6 Ecoulements graduellement varies avec frottements

On considere un canal de section rectangulaire de largeur b constante.

Le diametre equivalent s’ecrit D =4S

Pmouille.

On pose i = − dξdx

.Le coefficient de perte de charge ψ depend de la hauteur des materiaux qui forment le lit des canaux.

Nous avons le formule de Manning : ψ = 0, 3( εD

)1/3

.

Si l’ecoulement est uniforme nous avons u et h constante et on definit la pente normale : i = i0 =u2ψ

2gD.

Si l’ecoulement n’est pas uniforme on adh

dx(F 2 − 1) = i0 − i. On obtient la meme formule qu’en fluide ideal avec i→ i− i0.

Les frottements correspondent a une modification de la pente d’un angle i0 =u2ψ

2gD=

q2ψ

2gh2Dou q est le debit par unite de

largeur.

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