Cap. 12 - Superconduttività.

Introduzione.

La scoperta della Superconduttività risale al 1911. Da allora ha vissuto un lungo periodo in cui è rimasta confinata all’interno degli ambienti accademici pur continuando a dare un grande impulso alla fisica dello stato solido del Novecento. La necessità di raggiungere temperature prossime allo zero assoluto per ottenere la transizione da conduttore a superconduttore ne aveva precluso le enormi potenzialità e limitato l’uso a pochi campi. A partire dal 1986, la scoperta dei superconduttori ad alta temperatura di transizione (maggiore di 77 K, temperatura di liquefazione dell’azoto) ha permesso l’uso dei superconduttori in moltissime applicazioni tecnologiche. La strada verso la superconduttività fu aperta dallo studio sulla refrigerazione a basse temperature. I maggiori progressi in questo campo furono fatti alla fine del XIX secolo. Lo scopo principale della lunga carriera del fisico olandese Heike Kammerlingh Onnes fu quello di esplorare le bassissime temperature. Il 10 luglio 1908 egli riuscì nel formidabile compito di liquefare l’elio, ultimo tra i gas inerti a essere condensato, portandolo a 4 K. Quel giorno solo pochi millilitri di elio furono liquefatti da Onnes ma ciò aprì la strada all’esplorazione di regioni di temperatura precedentemente irraggiungibili. Il fisico olandese cominciò ad investigare le proprietà elettriche dei metalli a temperature molto basse e nel 1911 la superconduttività fu scoperta per la prima volta. A quel tempo vi erano due ipotesi a riguardo: la prima voleva che gli elettroni fossero ‘congelati’ dall’abbassarsi della temperatura (tesi che vedeva tra i capifila Lord Kelvin), la seconda sosteneva il raggiungimento di un non ben definito valore minimo della resistenza (Onnes). La seconda ipotesi suggeriva una diminuzione della resistenza all’abbassarsi della temperatura permettendo alla corrente un flusso imperturbato o quasi. Onnes fece passare una corrente attraverso un filo di mercurio purissimo misurando la resistenza al diminuire della temperatura. Non si osservò né il livellamento in basso della resistenza né tanto meno il congelamento degli elettroni. A 4.2 K la resistenza scomparve totalmente. Onnes affermò che “il mercurio era passato in un nuovo stato che in base alle straordinarie proprietà elettriche può essere indicato come stato superconduttivo”. L’esperimento non lasciava dubbi circa la scomparsa della resistenza nel filo di mercurio.

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Lo scienziato intuì subito l’importanza della scoperta anche da un punto di vista commerciale: un conduttore privo di resistenza può trasportare corrente a qualsiasi distanza senza perdite! In uno dei suoi esperimenti Onnes fece passare una corrente in un filo chiuso raffreddato a 4 K. Un anno dopo la corrente ancora fluiva nel filo senza perdite misurabili. Onnes trovò che i superconduttori permettono l’esistenza di quelle che lui chiamò correnti persistenti, cioè correnti elettriche che continuano a fluire senza una differenza di potenziale che le sostenga. Il fisico olandese vinse il premio Nobel per la Fisica nel 1913. La resistenza nulla al flusso di corrente elettrica non rimase l’unico motivo di meraviglia; il comportamento dei metalli superconduttori in un campo magnetico esterno si rivelò altrettanto sbalorditivo. Nel 1933 due fisici tedeschi, Karl Walther Meissner e Robert Ochsenfeld, scoprirono che i superconduttori, oltre ad essere perfetti conduttori di elettricità, sono anche dei perfetti materiali diamagnetici, capaci cioè di espellere il flusso magnetico che contengono quando vengono raffreddati al di sotto della propria temperatura di transizione. La completa espulsione del flusso magnetico è nota oggi sotto il nome di Effetto Meissner. L’Effetto Meissner avviene solo se il campo magnetico è relativamente piccolo: se questo è troppo grande penetra nel superconduttore e il metallo perde il suo stato superconduttivo. Assieme all’assenza di resistenza, è stata proprio questa capacità di espellere il flusso magnetico a suscitare gli enormi interessi di ricerca nel campo della superconduttività. Fino agli anni ‘50 le evidenze sperimentali sulla superconduttività correvano più velocemente dei modelli teorici che potessero spiegare cosa accadeva a livello microscopico. I modelli quantistici sviluppati negli anni trenta potevano spiegare la conduttività nei metalli normali, ma non lo stato superconduttivo. Fu allora che due studiosi russi, Vitalj L. Ginzburg e Ley D. Landau, svilupparono una teoria fenomenologica della superconduttività. Osservando ciò che avveniva durante la transizione dallo stato normale a quello di superconduzione, i due scienziati riuscirono a formulare una serie di equazioni che descrivevano il fenomeno; non si riusciva però a spiegare a livello microscopico perché questo si verificasse. Nel 1957 gli scienziati cominciarono a scardinare il mistero che attanagliava il fenomeno superconduttivo. Tre fisici americani dell’Università

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dell’Illinois, John Bardeen, Leon Cooper e Robert Schrieffer svilupparono un modello per la comprensione dei fenomeni fisici microscopici che accadono nello stato superconduttivo. Il modello è basato su considerazioni di meccanica quantistica e l’idea di base prevede che in un superconduttore gli elettroni condensino in uno stato quantistico di energia minima e viaggino collettivamente e coerentemente. Secondo questo modello gli elettroni di conduzione si propagano senza incontrare resistenza perché si muovono in coppie, le cosiddette coppie di Cooper. Lo stato superconduttivo è caratterizzato dalla temperatura critica (o temperatura di transizione), insieme al campo magnetico critico e alla densità di corrente critica. Per valori della temperatura o del campo magnetico al di sopra dei valori critici, le fluttuazioni termiche o quantistiche distruggono le coppie di Cooper e di conseguenza lo stato di superconduzione del metallo. Nel 1972 i tre scienziati vinsero il premio Nobel per la Fisica e da allora la loro teoria microscopica della superconduttività è indicata come teoria BCS. L’evoluzione nel tempo delle conoscenze sulla superconduttività aveva portato ad una classificazione dei materiali superconduttori in due tipi, indicati semplicemente con I e II. I superconduttori di tipo I tendono ad essere superconduttori in condizioni di bassa temperatura e debole campo magnetico; se il campo raggiunge l’intensità critica (la quale dipende dal materiale), entra nel materiale distruggendo lo stato di superconduzione. I superconduttori di tipo II sono molto più utili: essi rimangono nello stato di superconduzione anche dopo la penetrazione del campo magnetico. I superconduttori di tipo II possono sopportare campi molto forti - fino a quello che è chiamato campo critico superiore - e quindi trasportare correnti più intense. Negli anni cinquanta il fisico russo Aleksej A. Abrikosov pubblicò la teoria di base sul comportamento di un superconduttore convenzionale di II tipo in presenza di un campo magnetico.

Prendendo spunto dal lavoro di Ginzburg e Landau, Abrikosov riuscì a dimostrare che il comportamento magnetico di un superconduttore di tipo II sotto la temperatura critica dipende dall’intensità del campo applicato e dalla temperatura. Tale relazione può essere rappresentata da un diagramma di fase magnetico, il quale mostra che un superconduttore convenzionale ha tre stati magnetici distinti. Abrikosov, attualmente presso gli Argonne National Laboratories di Chicago, ha ottenuto un altro importante

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risultato: ha previsto teoricamente l’ordinamento dei vortici di supercorrenti (presenti nei superconduttori di tipo II) in un reticolo periodico. Questi vortici racchiudono quantità discrete di campo magnetico che penetra nel superconduttore. La configurazione di minima energia per una tale schiera di linee di flusso (vista stando sopra la superficie) è quella di un reticolo triangolare. Il reticolo di Abrikosov è stato osservato sperimentalmente con una struttura a base triangolare e la sua esistenza e stabilità hanno importanti conseguenze per le applicazioni tecnologiche. Nel 1962, Brian D. Josephson, ricercatore all’Università di Cambridge, studiò due superconduttori separati da uno strato di materiale isolante che agisce da barriera al flusso di corrente. Ebbene, nel caso lo spessore della barriera non sia troppa grande le coppie di Cooper possono passare per effetto tunnel attraverso la barriera senza dividersi, e quindi la giunzione funziona come un debole superconduttore. La corrente critica vale a dire la supercorrente massima che può attraversare la giunzione dipende dalla dimensione della giunzione, dal tipo di materiale superconduttore e dalla temperatura. Questo fenomeno, che prende il nome di Effetto Josephson, fu verificato alcuni mesi più tardi da Philip W. Anderson e John M. Rowell dei Bell Telephone Laboratories. Nel 1973 Josephson ricevette il premio Nobel per la Fisica in onore dell’effetto che era ormai universalmente riconosciuto come effetto Josephson. Nel 1986 J. Georg Bednorz e K. Alex Muller nei laboratori IBM di Zurigo conducevano esperimenti su una particolare classe di ceramiche a base di ossido di rame, chiamate perovskiti. I due avevano sperimentato centinaia di differenti composti ossidi. Lavorando con ceramiche di lantanio, bario, rame e ossigeno (formula chimica La2-xBaxCuO4) essi trovarono evidenze di superconduttività a 35 K. Subito la comunità scientifica cominciò a lavorare con i nuovi materiali che si candidavano ad essere una nuova classe di superconduttori di II tipo. Nel febbraio del 1987 fu individuata una ceramica perovskite in grado di supercondurre a 90 K (formula chimica YBa2Cu3O7). Questa scoperta fu molto importante in quanto da quel momento divenne possibile usare come mezzo refrigerante l’azoto liquido (punto di ebollizione a 77 K), sostanza comunissima e facile da produrre. Viste le temperature in gioco si cominciò ad indicare questi materiali come Superconduttori ad alta temperatura critica (HTcS - High Critical Temperature Superconductors). Al momento sono in corso numerosi sforzi economici e scientifici nel campo degli HTcS. La facilità di raffreddare i nuovi superconduttori ha notevolmente influenzato gli sforzi nello sviluppo di nuovi materiali, nelle tecniche di fabbricazione e nelle ricerche teoriche per tener conto delle molteplici proprietà dei nuovi superconduttori ceramici. Inoltre le applicazioni elettriche e magnetiche di potenza come le applicazioni elettroniche sono ora accessibili economicamente e in pratica. I fullereni, come le ceramiche superconduttrici, sono una scoperta recente. Nel 1985 R.F. Curl e R.E. Smalley della Rice University in Houston e H.W. Kroto dell’Università of Sussex di Brighton, in Inghilterra, sintetizzarono accidentalmente tale composto organico. Il fullerene, chiamato anche ‘buckyball’ è stabile a livello molecolare quando 60 atomi di carbonio si uniscono in pentagoni ed esagoni a formare una sfera chiusa.

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La scoperta della superconduttività nei fullereni intercalati con metalli alcalini avvenne nel 1991: R. Huddon e i Bell Labs annunciarono che il composto K3C60 superconduceva alla temperatura di 18 K. Una Tc di 52 K è stata riportata negli ultimi mesi del 2000 da H. Schon, C. Kloc e B. Batlogg, per un composto di C60 . La superconduttività ci riserva continue sorprese: lo scorso 10 gennaio 2001, J. Akimitsu della Aoyama-Gakuin University (Tokyo) e collaboratori annunciano al simposio sugli ossidi dei metalli di transizione la scoperta di una transizione superconduttiva a Tc = 39 K nel diboruro di magnesio ( formula chimica MgB2).

Si tratta di un caso particolare o una nuova classe di superconduttori sta per essere scoperta? Andrea Perali e Jeffrey Neaton della Rutgers University prevedono che il drogaggio di MgB2 con sodio e calcio possa innalzare la temperatura critica intorno ai 50 K.

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Premi Nobel per la Superconduttività

Onnes (1913)

"For his investigations on the properties of matter at low temperatures which led, inter alia, to the production of liquid helium"

Bardeen, Cooper, Schrieffer (1972)

"For their jointly developed theory of superconductivity, usually called the BCS-theory"

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Josephson (1973)

"For his theoretical predictions of the properties of a supercurrent through a tunnel barrier, in particular those phenomena which are generally known as the Josephson effects"

Bednorz and Muller (1987)

"For their important break-through in the discovery of superconductivity in ceramic materials"

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Abrikosov, Ginzburg, Leggett (2003)

For "decisive contributions concerning two phenomena in quantum physics: superconductivity and superfluidity."

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Campo Magnetico

Il campo magnetico è uno dei parametri critici di un superconduttore. Esso è generato da correnti elettriche macroscopiche, come quelle che possono circolare nei fili conduttori, o microscopiche, come quelle associate agli elettroni sulle orbite atomiche; può anche essere la naturale manifestazione di una particolare classe di materiali chiamati ferromagnetici.

Vediamo qui di seguito la relazione tra le linee di forza del campo magnetico e quelle delle correnti che possono generarlo, oltre a esempi di magneti naturali.

Nel caso di un filo percorso da corrente la 'regola della mano destra' fa al caso nostro.

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La legge di Ampere ci permette di calcolare il campo magnetico generato da un filo infinitamente lungo percorso da una corrente I, ad una distanza r dal filo.

rIBπµ2

0=

Una spira di filo conduttore crea un campo magnetico molto più concentrato al centro che al di fuori della spira. Più spire insieme creano un solenoide.

La legge di Biot-Savart applicata al nostro sistema ci permette di conoscere il modulo del campo magnetico in un qualsiasi punto dell'asse della spira (che ha raggio R ed è percorsa dalla corrente I):

( )322

20

Rz

IRB

+=

µ

La direzione e il verso ci sono dati dalla regola della mano destra.

Vediamo cosa accade in un superconduttore.

Le correnti che circolano all'interno del superconduttore generano un campo magnetico molto forte tutt'intorno allo stesso. Quando un superconduttore è raffreddato al di sotto della temperatura critica Tc , il campo magnetico è limitato all'esterno del superconduttore. Se il campo magnetico esterno è portato al di sopra di un valore critico Hc , il superconduttore passa allo stato normale. Questo valore del campo magnetico ad una data temperatura è detto campo magnetico critico (Hc). Per tutti i superconduttori esiste una regione di temperature critiche e campi magnetici critici all'interno della quale superconducono.

Elemento Tc [K] Bc [mT] Elemento Tc [K] Bc [mT]

Hg (mercurio) 4.15 41.2 Zr (zirconio) 0.55 4.7

In (indio) 3.40 29.3 Ti (titanio) 0.39 10

La (lantanio) 6.00 110.0 Zn (zinco) 0.88 5.3

Nb (niobio) 9.50 198 Al (alluminio) 1.14 10.5

Pb (piombo) 7.19 80.3 Mo (molibdeno) 0.92 9.5

Re (renio) 1.40 19.8 Hf (afnio) 1.12 -

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Sn (stagno) 3.72 30.9 Ru (rutenio) 0.51 7

Ta (tantalio) 4.48 83.0 Cd (cadmio) 0.56 3

Tc (tecnezio) 7.77 141.0 Ga (gallio) 1.09 5.1

Th (torio) 1.37 16.2 W (tungsteno) 0.01 1.1

Tl (tallio) 2.39 17.2 Ir (iridio) 0.14 1.9

V (vanadio) 5.38 142.0 Os (osmio) 0.66 6.5

Effetto Meissner Vediamo quali sono i concetti importanti per comprendere al meglio questa proprietà della superconduttività. Un conduttore immerso in un campo magnetico esterno che non induce cambiamenti nel campo magnetico stesso e che si oppone alla crescita del campo al suo interno è detto diamagnetico.

Un superconduttore ha un comportamento perfettamente diamagnetico dopo essere stato portato al di sotto della temperatura critica di transizione.

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L'effetto Meissner prevede l'espulsione del campo magnetico esterno dal volume occupato dal superconduttore. Quando la temperatura si abbassa al di sotto della temperatura critica Tc il superconduttore espelle il campo magnetico all'esterno. Ciò è dovuto all’esistenza di supercorrenti di superficie che producono un campo magnetico esattamente opposto a quello esterno e che ne impedisce la penetrazione. Il superconduttore diventa perfettamente diamagnetico annullando completamente il flusso magnetico al suo interno.

Parametri critici Lo stato superconduttore è individuato da tre parametri fondamentali: la temperatura critica Tc, il campo magnetico critico Hc, e la densità di corrente critica Jc. Ciascuno di questi parametri è strettamente dipendente dagli altri due. Mantenere un materiale nello stato di superconduzione significa fare in modo che le tre grandezze siano tutte al di sotto del proprio valore critico, che dipende dal materiale.

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Considerando contemporaneamente i tre parametri, si definisce una superficie che raggruppa i valori degli stati superconduttori al suo interno.

Temperatura critica, Tc

La coppia di Cooper (si veda teoria BCS) rimane stabile tutto il tempo in cui il superconduttore è raffreddato a temperature molto basse. Non appena il superconduttore riceve energia termica le vibrazioni del reticolo diventano maggiori e tanto grandi da rompere le coppie. Il superconduttore passa così allo stato di conduttore normale. I composti e i metalli superconduttori hanno temperature caratteristiche proprie di transizione tra i due stati (normale e superconduttore): tale temperatura è indicata come temperatura critica o temperatura di transizione. Al di sotto di questa, la resistività è nulla, al di sopra segue le normali leggi. Vediamo nelle tabelle seguenti le temperature critiche di alcuni composti e di alcuni metalli superconduttori.

Composto Tc [K] Composto Tc [K]

NbTi 9.2 BaPb0.75Bi0.25O3 11

Nb3Al 18.8 UBe13 0.75

V3Ga 15 Pb0.7Bi0.3 8.45

PbMo6S8 14 V3Si 1.71

Nb3Sn 18.05 (SN)x 0.26

Hc

Jc

Tc

Campo magnetico

Temperatura

Densità di corrente

Regione di superconduzione

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Nb3Ge 22.3 (BEDT)2Cu(NCS)2 10

NbN 16 La1.8Sr0.2CuO4 38

NbO 1.2 Bi2CaSr2Cu2O8+X 90

Elemento Tc[K]

Hg (mercurio) 4.15

La (lantanio) 4.9

Pa (protoattinio) 1.4

Re (renio) 1.698

Ru (rutenio) 0.49

Tl (tallio) 2.39

U (uranio) 0.68

Tl (tallio) 2.39

V (vanadio) 5.30

Densità di corrente critica, Jc

Questo valore indica la massima quantità di corrente trasportabile da un superconduttore. Quando un superconduttore trasporta corrente non ci sono perdite di energia elettrica e si può pensare quindi di poter trasportare quantità enormi di corrente. In realtà un valore di corrente al di sopra di quello critico fa passare il superconduttore ad uno stato normale anche se al di sotto della temperatura critica. La densità di corrente critica Jc è una funzione della temperatura.

Campo magnetico critico, Hc

Questo parametro indica il valore massimo del campo magnetico sostenibile da un superconduttore. I superconduttori di II tipo hanno due valori critici del campo magnetico; questi valori individuano in un diagramma di fase magnetica tre zone con diverso comportamento.

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Superconduttori di I e II tipo Le classi di superconduttori di tipo I e tipo II si possono distinguere facendo riferimento a due importanti scale microscopiche di lunghezza: la lunghezza di coerenza e la lunghezza di penetrazione.

La lunghezza di coerenza è la separazione spaziale degli elettroni all'interno di una coppia di Cooper, cioè le dimensioni medie della coppia. Nei superconduttori convenzionali, la lunghezza di coerenza può andare da alcune decine ad alcune centinaia di nanometri. La lunghezza di penetrazione è relativa all'effetto Meissner. Le correnti indotte che creano il campo magnetico che si oppone a quello esterno applicato, cancellandolo dall'intero materiale, decadono esponenzialmente in intensità all'aumentare della distanza dalla superficie del superconduttore. La distanza lungo la quale avviene questo decadimento è proprio la lunghezza di penetrazione: questa è la distanza più breve lungo la quale un campo magnetico può variare in un superconduttore. Nei superconduttori convenzionali essa può andare da qualche decina fino a qualche migliaio di nanometri. Queste lunghezze microscopiche definiscono due classi molto diverse di superconduttori. Nei superconduttori di I tipo la lunghezza di coerenza è maggiore della lunghezza di penetrazione. Questi materiali tendono ad essere superconduttori in condizioni di bassa temperatura e debole campo magnetico; se il campo raggiunge l'intensità critica (la quale varia da materiale a materiale), il campo stesso entra nel volume del materiale distruggendo lo stato superconduttivo. Poiché nei superconduttori di tipo I, la superconduzione scompare in presenza di campi magnetici di intensità relativamente bassa, questi materiali presentano uno scarso interesse dal punto di vista tecnologico. Questa classe di superconduttori è ben descritta dalla teoria BCS (Bardeen, Cooper, Schrieffer). Ci sono 30 metalli puri che appartengono a questa classe: ne sono un esempio il piombo, il mercurio, lo stagno. Il superconduttore più 'forte' del I tipo ha un campo critico di 800 G (gauss).

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Ricordiamo che il campo magnetico terrestre è di 0.5 G. Il mercurio è stato il primo metallo a 'mostrarsi' superconduttore. Il valore del suo campo critico è pari a 0.019 T (190 G) così che la quantità di corrente elettrica trasportabile risulta limitata. La sua temperatura critica ha lo storico valore di 4.2 K

I superconduttori di II tipo sono molto più utili per le applicazioni. La profondità di penetrazione in questi materiali è maggiore della lunghezza di coerenza e rimangono nello stato di superconduzione anche dopo la penetrazione del campo magnetico. I superconduttori di II tipo possono sopportare campi molto forti - fino a quello che è chiamato campo critico superiore - e quindi trasportare correnti più intense. Questa classe di superconduttori è stata identificata a partire dal 1930 con i composti di piombo-bismuto. Tutti i superconduttori di interesse tecnologico, inclusi quelli ad alta temperatura critica finora noti, sono di questo tipo. L'YBaCuO e lo BiSrCaCuO sono esempi di superconduttori del II tipo. Un valore indicativo del campo magnetico alla superficie di questi superconduttori è approssimativamente di 16000 G (corrisponde a quello del neodimio-ferro-boro). Questo materiale ceramico è stato il primo dei superconduttori ad alta temperatura ad essere stato studiato. La sua temperatura critica è pari al valore (anch'esso storico) di 35 K. E' costituito da un reticolo di ossido di rame-lantanio in cui sono presenti in modo random atomi di bario. Questo materiale ceramico è stato il primo ad essere sintetizzato con una temperatura critica superiore a quella di liquefazione dell'azoto (77 K).

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Berdnorz e Mueller hanno studiato il La2-xSrxCuO2 (in figura è rappresentata la struttura senza Sr)

Primo materiale a superare i 77 K (YBCO).

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Teoria microscopica BCS

Nel 1957 John Bardeen, Leon N. Cooper e J. Robert Schrieffer misero a punto una teoria capace di spiegare il fenomeno della superconduzione nei metalli che la mostrano a bassa temperature. In tali materiali, gli elettroni di conduzione si propagano senza incontrare resistenza perché si muovono in coppie (coppie di Cooper). Gli elettroni formano coppie di Cooper in quanto interagiscono in modo dinamico con i fononi. I fononi tendono a neutralizzare la repulsione coulombiana, che normalmente si esercita tra gli elettroni, producendo una debole forza attrattiva che lega gli elettroni in coppie.

Un elettrone che passa, attrae il reticolo causandone una deformazione; un secondo elettrone viene a sua volta attratto dalla regione deformata per cui si crea la coppia.

Gli ioni (cariche positive) sono attirati a causa dell'interazione coulombiana verso un elettrone di conduzione (carica negativa) che si muove attraverso il reticolo del solido, creando così una regione arricchita di carica positiva. Questa regione del reticolo attira a sua volta un altro elettrone che si trova nelle vicinanze. Il legame risultante tra i due elettroni è debole, con un'energia tipica di pochi meV, che è però sufficiente ad impedire che la coppia venga divisa a causa degli ostacoli della normale conduzione. Di conseguenza, le coppie di Cooper si propagano nel materiale senza incontrare resistenza. L'intensità di questa interazione dipende

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fortemente dalla temperatura essendo il raffreddamento essenziale per bloccare le vibrazioni reticolari (i fononi). A temperature al di sopra del valore critico, le fluttuazioni termiche distruggono le coppie di Cooper e di conseguenza lo stato di superconduzione del metallo.

Un'utile analogia interpretativa è rappresentata da un sistema di due palline (gli elettroni) che si trovino su un tappeto morbido di gomma (il reticolo).

Se queste palline sono lontane l'una dall'altra ognuna indipendentemente deforma il tappetino creando una concavità attorno a sé. Se le mettiamo non troppo lontane l'una dall'altra si può osservare che le concavità così createsi si uniscono in una sola e le palline si portano sul fondo della comune concavità. Le dimensioni di queste coppie possono raggiungere centinaia ed anche migliaia di distanze interatomiche. Per questo sarebbe meglio pensarle non come coppie di elettroni legati l'un l'altro, come una stella binaria, ma piuttosto come propose P. Schrieffer, alla stregua di un ragazzo ed una ragazza che vanno insieme in discoteca ma ballano in diverse parti della sala, separati da centinaia di altri danzatori. È bene rilevare che la coppia di Cooper è una struttura dinamica cioè esiste solo in moto. Consideriamo un elettrone in moto lungo un canale del reticolo cristallino alla velocità di Fermi, vF ~ 108 cm/sec. Ad un certo istante, quando l'elettrone si trova tra due ioni vicini, questi subiscono un breve impulso dovuto all'attrazione coulombiana con l'elettrone stesso. La durata di questo impulso è all'incirca il tempo di transito dell'elettrone tra due ioni vicini e quindi pari a

sva

F

1610−==τ

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con a distanza interatomica (10-8 cm). Durante questo intervallo di tempo gli ioni, che hanno una frequenza di vibrazione propria ω tipicamente dell'ordine di 1013 Hz, non cambiano praticamente posizione. Dopo mezzo periodo di vibrazione gli ioni si portano ad una distanza minima e in questa configurazione si crea nel reticolo cristallino un aumento locale di densità di carica positiva. A questo istante, l'elettrone che ha creato tale aumento di carica, si trova già lontano, avendo percorso una distanza pari a

cmvd F 410−=≅ω

molto più grande del parametro reticolare a. La nuvola di carica positiva in eccesso segue quindi come una scia l'elettrone, che passa tra gli ioni con velocità vF . Questa 'nuvola' positiva può attrarre un secondo elettrone, che peraltro si trova più vicino alla nuvola stessa che non al primo elettrone. Gli elettroni, dinamicamente collegati attraverso la nuvola di carica positiva, costituiscono le coppie di Cooper la cui dimensione è pari appunto a 10-4-10-5 cm. Ecco perchè le coppie di Cooper appaiono molto più 'lunghe' del passo reticolare.

TEORIA MATEMATICA

TEMPERATURA DI TRANSIZIONE

Un metallo o comunque un materiale che normalmente è un conduttore, quando viene portato a temperature via via inferiori, offre una resistenza sempre minore al passaggio di corrente. Si è osservato che alcuni materiali, al di sotto di una certa temperatura, mantengono una resistenza quasi costante. In altri invece, in corrispondenza di un determinato calo di temperatura, si è osservata una improvvisa caduta della resistenza (temperatura di transizione).

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Resistenza in funzione della temperatura

per un conduttore e per un superconduttore

I primi tentativi per spiegare questo fenomeno furono formulati da Fröhlich nel 1950. Egli per primo considerò le possibili interazioni tra gli elettroni e il reticolo cristallino. Infatti l’interazione tra gli elettroni è mediata dai fononi ed è questo tipo d’interazione che dà luogo alla superconduttività. Nei metalli nobili (oro, argento, rame) gli elettroni interagiscono poco con il reticolo e questo è il motivo per cui non diventano superconduttori. Fröhlich trovò una relazione tra la temperatura di transizione e i vari isotopi di uno stesso elemento (effetto isotopico):

con α variabile tra - 0,5 e + 2 e M, la massa dell’isotopo.

La Tc dipende fortemente anche dalla pressione (in maniera inversamente proporzionale), dallo spessore e dalla carica elettrica del campione in esame.

RESISTENZA ELETTRICA

La resistenza elettrica in un normale conduttore è causata principalmente dallo scattering degli elettroni, che vengono rallentati nel loro cammino. I meccanismi predominanti sono: fonone - elettrone e elettrone - elettrone. Questi danno un contributo alla resistività totale che chiameremo ρ(T) (resistività intrinseca). Tuttavia esistono anche altri ostacoli al moto degli elettroni. Un reticolo cristallino non è mai perfetto,ci sono difetti di vario genere che rallentano il moto degli elettroni. Conseguentemente anche

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questo darà un contributo alla resistività totale. Allora la resistività totale del materiale si può scrivere come:

nota come legge di Mattheissen.

Il termine ρi generalmente non dipende dalla temperatura, mentre la ρ(T) può dipendere anche fortemente dalla temperatura. Se consideriamo un gas di elettroni, la sua resistività sarà data da (legge di Drude):

Ora in un cristallo dove la T →0 si avrà una progressiva diminuzione dell'agitazione termica, quindi una diminuzione di fononi. Allora il tempo medio tra due urti tenderà a infinito, quindi si può supporre che:

CORRENTE PERSISTENTE

In un esperimento, Onnes indusse una corrente in un anello di materiale superconduttore utilizzando un campo magnetico.

Schema dell'esperimento di Onnes

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Usando la legge di Lenz

dove: B = densità di flusso magnetico, R = resistenza dell'anello, L = induttanza dell'anello, A = area racchiusa nell'anello. Se togliamo il campo magnetico

e quindi

Se considero un materiale superconduttore avente R = 0, ottengo:

I (t) = I (t = 0)

cioè, in un materiale superconduttore, una volta indotta una corrente, anche se si toglie il campo, la corrente continua a fluire per un tempo teoricamante infinito. In realtà, c'è comunque una resistività residua. Nel caso in cui si abbia una ρ= 10-23 Ω·cm si può calcolare il tempo necessario perchè la corrente smetta di fluire nell'anello, che risulta superiore a 1010 anni.

EFFETTO MEISSNER

Se in un superconduttore il campo elettrico fosse diverso da zero, avremmo una corrente infinita essendo la sua resistenza nulla. Perciò, essendo

tB

cErot

∂∂

−=r

, dev’essere r 1

0=∂∂

tBr

. Ciò significa che se raffreddiamo in

assenza di campo magnetico fino a sotto la temperatura critica il campo magnetico resterà nullo, ma se raffreddiamo in presenza di campo magnetico, questo sarà diverso da zero anche al di sotto della temperatura critica e ciò è contro l’evidenza sperimentale (effetto Meissner) che vuole B=0 e E=0. Affinché si annulli il campo magnetico quando scendiamo al di sotto della temperatura critica, è necessario che esista un campo elettrico transitorio che generi una corrente non dissipativi che crei una magnetizzazione M tale che B = H + 4πM = 0. La corrente dovrà quindi

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generare una polarizzazione diamagnetica M = - H/4π = χH, essendo χ la suscettività diamagnetica.

Se supponiamo che una certa frazione, ns/n, di elettroni contribuisce alla supercorrente, la densità di corrente sarà data da:

Se supponiamo che esista un campo elettrico transitorio, si avrà e quindi

Prendendo il rotore di entrambi i membri e usando la legge di Maxwell

si ottiene

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Posso poi ancora legare B e J dalla relazione

Usando quindi l'identità vettoriale

otteniamo

Risulta chiaro che ogni campo B indipendentemente dal tempo soddisferà questa equazione. Quindi se inizialmente il campo applicato è nullo, allora anche in un secondo momento il campo interno sarà nullo. Ma la relazione precedente è soddisfatta per qualunque coppia di soluzioni statiche di J e B e quindi l’effetto Meissner non si spiega.

TEORIA DI LONDON

I fratelli London trovarono una spiegazione all'effetto Meissner. Essi supposero che non solo la derivata

è nulla, ma è nullo anche la funzione, ovvero

essendo la lunghezza di penetrazione. Una relazione simile può essere scritta anche per J:

jjrr

22 1

λ=∇

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Una soluzione per questa equazione dipende dalle caratteristiche geometriche del provino e dalle condizioni al contorno. Generalmente, per la maggior parte dei superconduttore, si ottiene λL = 500 Å.

Il campo esterno penetra all'interno del superconduttore per un breve tratto ma decade esponenzialmente, infatti:

A causa di questo piccolo campo si forma una corrente nel bordo superconduttore che viene chiamata screening current. La lunghezza di penetrazione dipende dalla temperatura, infatti quando T diventa maggiore di Tc allora ns si annulla e λ diventa infinito cioè il campo magnetico penetrerà uniformemente nel materiale.

Calore specifico.

In un superconduttore esiste un gap di energia nello spettro di eccitazione degli elettroni. Questo gap di energia fu scoperto facendo misure di calore specifico. In un normale metallo il calore specifico a bassa temperatura è dato da

C = T + BT3

dove il termine lineare è dovuto alla eccitazione degli elettroni, mentre quello cubico deriva dalla eccitazione dei fononi. Come si può osservare in figura, alla temperatura critica la capacità termica ha un brusco aumento e successivamente decresce con la temperatura. Se usiamo un campo magnetico che distrugge lo stato superconduttore e siamo sotto la temperatura critica, il calore specifico riprende l’andamento lineare che aveva nello stato normale.

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Lavorando a temperature maggiori della temperatura critica Tc il contributo degli elettroni ha la forma

che è caratteristico di un sistema con un gap di energia nello spettro di eccitazione.

Predizioni della teoria BCS.

BCS considerarono un gas di Fermi nello stato fondamentale e studiarono l’equazione di Schroedinger per una coppia di elettroni di spin opposti. Le predizioni più importanti della teoria furono:

a 0 K:

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essendo NF la densità degli stati al livello di Fermi, F il potenziale di

interazione effettivo, DD kθω ≈h (energia di Debye per i fononi). Aumentando la temperatura il gap di energia diminuisce, e tende a zero quando T tende a Tc. In prossimità della temperatura critica vale la formula

Contemporaneamente il campo magnetico critico ha un andamento del tipo

dove a è una costante che è poco sensibile alle variazioni di temperatura.

Anche la capacità termica dipende dal gap di energia, secondo la relazione

La differenza rispetto ad uno stato normale è data da:

La teoria BCS permette di calcolare in anticipo la Tc usando i parametri usati fin qui:

Anche il gap a 0 K si può usare per il calcolo di Tc:

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