1.3.2. FUNCTIA DE TRANSFER A ELEMENTELOR SI

SISTEMELOR AUTOMATE

Pentru sistemul descris de o ecuatie de forma

ady

dtb

dy

dti

i

ii

n

jj o

m j

j⋅ = ⋅

= =∑ ∑

0

prin aplicarea transformatei Laplace si a proprietatilor acesteia (vezi anexa) atât

membrului drept cât si membrului stâng se obtine:

−=

− ∑∑∑ ∑

−

=

−−

==

−

=

−−1j

0k

k)0(

k1jjm

0j

jn

oi

k)0(

1i

0k

k1iii us)s(Usbys)s(Ysa (1.12)

unde yd y

dtk

k

k t( )0 0= = si u d u

dtk

k

k t( )0 0= =

Pentru cazul in care conditiile initiale ale functiilor y(t) si u(t) si ale derivatelor lor

sunt nule, atunci expresia generala a iesirii unui sistem de ordinul n este:

Y s

b s

a s

U sj

j

j

m

ii

i

n( ) ( )= ⋅=

=

∑

∑

0

0

(1.13)

Prin definitie raportul intre variabila Y(s) si U(s), in conditii initiale nule, este

denumit functie de transfer.

H(s) = Y s

U s

( )

( ) (1.14)

Functia de transfer pentru un sistem de ordinul intâi, tinând seama de definitia

acesteia si de relatia (1.4) are forma:

H sK

Ts( ) =

+0

1 (1.15)

iar pentru sistemul de ordinul doi, tinând seama de (1.7) este:

H sK

s sn

n n

( ) =+ +

02

2 22

ω

ξω ω (1.16)

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com

Pentru diferite elemente componente ale unui sistem automat, functiile de transfer

deduse, pornind de la ecuatiile diferentiale ale acestora, au expresiile conform tabelului

1.1.

Tabel 1.1.

Nr.crt. Tipul elementului EcuaTia diferenTiala FuncTia de transfer

0 1 2 3

1 Element proportional y t K u tp( ) ( )= ⋅ H(s) = Kp

2 Element derivativ y t Kdu t

dtd( )

( )= H(s) = Kds

3 Element integrator dy

dtK u ti= ( ) H s

K

si( ) =

4Element de intârziere de

ordinul intâiT

dy

dt+y = K1u(t) H(s) =

K

Ts1

1+

5Element de anticipatie de

ordinul intâiy(t) = Kpu(t) + Kd

du

dtH(s) = Kp + Kds

6Element proportional

integraly(t) = Kpu(t) + Ki udt

t

0∫ H(s) = Kp +

K

si

0 1 2 3

7Element proportional

integral diferential

y(t) = Kpu(t) + Ki udtt

0∫ +

Kddu

dt

H(s) = Kp + K

si + Kds

8 Element de intârziere de

ordinul doiT

d y

dtT

dy

dty K u t2

2

22

2⋅ + ⋅ + = ⋅ξ ( ) H(s) =

K

T s + 2 Ts +12

2 2 ξ

9 Element de anticipatie de

ordinul doiy t T

d u

dtT

du

dtu t( ) ( )= ⋅ + ⋅ +2

2

22ξ H(s) =T2s2 + 2ξTs + 1

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com

Conform tabelului 1.1.si relatiei generale a functiei de transfer a unui sistem de

ordinul n

H(s) = b s

a s

B s

A s

jj

j

m

ii

i

n

=

=

∑

∑=0

0

( )

( ) (1.17)

ecuatiile diferentiale sunt exprimate in domeniul complex prin intermediul unor

polinoame sau rapoarte de polinoame in S.

Functia de transfer poate fi scrisa si sub forma

H(s) = b

a

s z

s p

m

n

ii

m

k

n⋅

+

+

∏

∏

( )

( )1

(1.18)

unde zi si pk reprezinta zerourile si polii reali ai celor doua polinoame.

Daca notam Ti = 1

zi

si Tk = 1

pk

expresia functiei de transfer devine:

H(s) = K ⋅+

+

∏

∏

( )

( )

Ts

T s

i

m

ki

n

1

1

1 (1.19)

unde K = b

a

z

p

m

n

i

m

k

n⋅∏

∏1

1

reprezinta coeficientul de transfer al sistemului.

Functia de transfer poate fi pusa si sub forma:

H(s) = K

S

P s

P s

K

SG s

α α⋅ =1

2

( )

( )( ) (1.20)

unde α este numarul polilor in origine ai functiei de transfer, iar polinoamele P1(s) si

P2(s) au ultimul termen egal cu unitatea. Coeficientul de transfer in acest caz, este dat de

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com

relaTia: K = b

ai

0 unde ai poate fi a0, a1, a2, . . . in functie de numarul de poli in origine ai

functiei de transfer.

Functia de transfer are urmatoarele proprietati:

1. Functia de transfer a unui sistem reprezinta transformata Laplace a raspunsului

sistemului la impuls unitar δ(t) aplicat la intrare:

H(s) = [ ] )s(Y)t(

)s(Y)s(U)s(Y

=δ

=L

y(t)=w(t)=L-1[H(s)]=L-1[Y(s)]

unde w(t) poarta denumirea de raspuns pondere.

2. Functia de transfer se obtine din ecuatia diferentiala a a sistemului prin aplicarea

transformatei Laplace acestei ecuatii si neglijând toti termenii care apar datorita

conditiilor initiale.

3. Ecuatia diferentiala a sistemului poate fi obtinuta din functia de transfer prin

inlocuirea variabilei s cu operatorul D = d/dt.

4. Numitorul functiei de transfer egalat cu zero reprezinta ecuatia caracteristica a

sistemului.

5.Radacinile numitorului sunt polii sistemului iar radacinile numaratorului sunt

zerourile sistemului. Aceste singularitati care determina raspunsul sistemului se obtin

prin rezolvarea ecuatiilor:

a sii

i

n

==∑ 0

0

; b sjj

j

m

==∑ 0

0

(1.21)

PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.pdffactory.com