Cap 2 CAMPO ELÉCTRICO Y LEY DE GAUSS 19-38-2010II

8/9/2019 Cap 2 CAMPO ELCTRICO Y LEY DE GAUSS 19-38-2010II

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Cuaderno de Actividades: Fsica II

2) CAMPO ELCTRICO2) CAMPO ELCTRICOY LEY DE GAUSSY LEY DE GAUSS

Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 19


2/21


2.1) Definicin de campo elctrico,2.1) Definicin de campo elctrico,E

El vectorE describe las propiedades elctricas del espacio {medio}.

Donde:

Campo elctricoCampo elctrico:: DiscusinDiscusin

Las interacciones del campo no son instantneasLa carga q modifica el medio que la rodea (campo)

Lic. Percy Vctor Caote Fajardo

0

eFEq

=

rr

eFr

q

0q

P

Er

P

q

0 0

0

: ,

0

q Carga de prueba q

q

+

E

20


3/21


Ecuaciones de EEcuaciones de E

i)i) qq

( )

( )

0

3

3

3

( )

0

,

:

( )

0r

q

q

kqq r r

r r kqrE s

kq r r E r

r

i rq r

En gener

r

al

= =

=

r

r r r rr r

r rr rr r

r

ii)ii) Distribuciones Discretas, DDDistribuciones Discretas, DD

( ) ( )( )

31 1

i

i n i ni iqDD

i i i

kq r r E r E r

r r

= =

= =

=

r rr rr r

iii)iii) Distribuciones continuasDistribuciones continuas::


( )

q

rE rr

rr

rr

q P

( )iq

rE rr

rr'ir r=

r r

iq P

iq

21


4/21


j)j) VolumtricaVolumtrica

( )

( )3 ,r v

k dv r r E

r r: representa el volumen

= r

r

r r

jj)jj) SuperficialSuperficial

( )

( )3

,r

ak da r r

Er r

o s : representa el rea

=

r

rr r

jjj)jjj) LinealLineal

( )

( )3

,r

l :k

rd

el

pr

resenta la longir

E dr

ur

t

=

r

rr r

Las distribuciones de carga crean el campo

ObservacionesObservaciones

j) Nu EC

jj)0

eF

Eq

=r

: definicin operacional

jjj)

0 0

0

, : " "

:

.

e e F q E F Fuerza sentida por q .

E creado por cierta distribucin de

cargas en la posicin de q

=r

jv) El E es usado intensivamente en las ecuaciones.



5/21


2.2)2.2) Lineas de fuerza, LFLineas de fuerza, LF

( )

( ) ( )3r

k r dv r r E

r r

, E se obtiene por definicion

=

r

r

r rr

LEY DE GAUSS: dealta simetra . til slo para de alta simetra: E fcil de calcular. LF / LF=simetra .

Definicin de lineas de fuerzaDefinicin de lineas de fuerza

Son lasSon las trayectoriastrayectorias descritas por lasdescritas por las 0q debido a ladebido a la ( )eF qE generada porgenerada porciertacierta ..


rr

rr

P( )r

r

23


6/21


La forma de las LF esta ligada a cmo se distribuye la q

LF para diversas distribuciones de cargaLF para diversas distribuciones de carga

i)i) q

ii)

1 2: q q

|q|

+-

d

g

g

g

Caso especial:


LF

( )'rr

0q

eFr

q

0q

q

eFr

24


7/21


1 2

1

2

" "

q q q

q

q

d pequea

+

iii)iii)

iv)iv)


q -q

d

O

25

Dipolo elctrico:Modelo ms simple para describirModelo ms simple para describirsistemas cargados (cuando d sesistemas cargados (cuando d seaprox. a 0)aprox. a 0)


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v)v) ( )0 r

CaractersticasCaractersticas

j)j)E tg LF

jj)jj)

jjj)jjj) No se cruzanNo se cruzan

jv)jv) Distribucin de LF:Distribucin de LF:


O

Q dv= Q

0q Er

+

26


9/21


k)k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad.Densidad LF: Relacionada a la intensidad.

kk)kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.

? Prepare maquetas de LFs? Prepare maquetas de LFs

2.3) Ley de Gauss2.3) Ley de Gauss

Establece laEstablece la proporcionalidad entre elentre el flujo elctricoflujo elctrico a travs de ciertaa travs de cierta superficiesuperficiecerrada, llamada gausianacerrada, llamada gausiana yy la carga elctrica encerrada por dicha superficie.la carga elctrica encerrada por dicha superficie.

Definicin del flujo elctricoDefinicin del flujo elctrico,, Er

Es la cantidad fsica escalar que informa acerca de cuanto E atraviesa lasuperficie.


Johann Carl FriedrichGauss,El prncipe de lasmatemticas.


10/21


. ,.

:

ES E

S S

ds da vector de area elementa

E ds E da

l

=

rr

r

r

r

Ley de GaussLey de Gauss

, . NEE SGSG

E da q = r

0

. NE

SG

qE da

r r

Para simplificar los clculos verPara simplificar los clculos verque:que:

cosE da E da

{ }

1

2

0

E da E da

E cte E da E da E saledela

r r

r r r rr


dar

da

Er

S A=da da

da d

aa

d

r

r

r

SG

28

NE

SG

q dV


11/21


12/21


( )

( )3r

k dl r r E

r r

=

r

rr r

( ) ( ) 2 2

r rj r r rj zk r r r z

r zk

= +

=

r r r r r

r

( )( )

{ }

{ }

{ }

3 22 2

3 22 2

3 22 2

0,

?

y z

y

z po

k dz rj zk E r E j E k

r z

dz

r

E k r

simetria

r z

zdzE k

r z

= = +

+

= =+

= +

r r

22 alta simetraalta simetra GaussGauss


E

r

SG=SCL+STS+STI

Er

H

O

dar

rr r

H

30


13/21


{ }

0

0

0

0

0 0 ,

2

2

NE

SG SCL STS STI

NE

SCL

SCL

qE da

da || E da E

q SG : E cteEda

HE d

E

a E r

r

H

+ + =

= + + =

= = =

=

=

r r

6 7 8 6 7 8r rr r

r

r r

r

r

S1P22)a) Localice en la figura los puntos donde el campo elctrico es cero.b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las lneas de fuerza del campo

resultante.c) Haga un grfico cualitativo de E vs. x, dnde E se evale en puntos del eje

X.

Solucin:

a) Para el punto S:

kE E+ 2

q k

d

+

{ }2

0

2 qq

d d

+ 25 q

d

21

2d

+

2 212 54

d d d + +


Q q- q+ E- P E+ Sx

d1 0 d0 d x

31


14/21


2

1,2 1

12 4 4 3

21 2 103 2 0 0,9

2 2 3 6d d d d

+

Igual en Q:

kE+

2 q( )2

1

1

2

kE

d

+

5 q( )2 2

1 1 12

1

52 5 5

4d d d

d + +

2

1 1 11,2

5 25 453 5 0

4d d d

+ +

5

3 4 5 100,3; 1,4

2 3 6

b)

c) Para el punto S:

{ } { }2 2 2 2

2 5 2 5

1 1

2 2

T T

k q k q E i i kq i E i

x xx x

+ +

r

2 2

2 5 1,

21

2

T E kq xx

x

>

L hay que especificar para cada regin


- + x

32


15/21


S1P7) En la distribucin mostrada 0 esconstante y q0 es una carga puntual.Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0.

Solucin:

Por superposicin:


E-y ET

E+

0,90 0,5 x

E+ E+

R0 0 centro de la

circunferencia q0

R0/2

d

0 0 qr

R0/2 dR0

0

33


16/21


( )0 0 0' 2

0

' ;/ 2

q Qq Q q

kQ kQE E E i

d Rd

+ +

r r r

3

3 00 0 0

4 4, '

3 3 2 8

R QQ R Q

0 0

3

0 0 2 2

0

4 1 1 3

8 2

q qE k R i

d RE

d

i

r

00

1R

Si d Rd

>>


17/21


18/21


( ) { {2

20

0

1 0 cos 22

k E d i sen d j

R

+

r

( )1

1 cos22 +

( ) ( )0 00 0k

E i ERR

k

r r

b) , ' cosr zk r R i Rsen j +

( ) ' cosr r R i Rsen j zk +

{ }3/ 23 2 2' ; Rr r R z dq d +

r r

( ){ }

{ { {

22

20

3/ 2 02 2

1 cos 2 cos2

k R z E z d i sen d j d k

RR z

+ +

r

( ){ }

( ){ }

2

0

2

0

3 / 22 2

3/ 22 2

,k RE z i k R

R zE z

R z

+

+

rr

( )2

0

3limz R

k RE z

z

>>

r

S1P47) Determine el campo elctrico de un disco de radio R con densidadsuperficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.

Solucin:

A) Usando coordenadaspolares (coordenadascilndricas en el plano)

y


z

r

r y

'r

x 36


19/21


da=(rd )drdr

d rx

( )

( )3

'

'

kdq r r

E r k I r r

r rr

r r

( )dq da rd dr = =

( )0,0,r z

( )' cos , ,0r r rsen

( ) ( )

( )3/ 2

2 2

cos , ,

s

k rd dr r rsen z I

r z

+

r

( )

( )

2

3/ 20 0 2 2

cos , ,R r rsen z rd dr

r z

+

2

0cos d

= 02

0sen d

= 0 (por evaluarse en sus periodos)

( )

2

3/ 20 0 2 2

R rzdrdI kr z

+

r



20/21


{ }( )

2

3/ 20 0 2 2

R zrdr

d kr z

+

( )( )

3/ 20 2 2

2R rdr

z kr z

+

( ) ( )2 2

2z z

E z k k z R z

+

r

? Encuentre este resultado usando la definicin con un elemento de reacartesiano. Analice la expresin integral.

? Qu ocurre si R R

( ) ( )( )

( )

22

2

k kz E z k k

z k k

r

( ) ( ) ( )0 0

12 2

4 2E z k

r: El E de un plano!

(verifquelo usando LG)

B) Usando anillos de = dr


z r

r y

'r

x

38


21/21


b) , ' cosr zk r r i rsen j +

( ) ' cosr r r i rsen j zk +

{ }3/ 23 2 2' ;r r r z dq rd + r r

( ){ }

{

2

3/ 2 02 2

cosk rdr

dE z r d i rsen d j zd k r z

+ +

r

142 43

( ) { } ( ) { }3/ 2 3/ 22 2 2 20

(2 ) (2 ) R

k zrdr k zrdr

dE z k E z k r z r z

+ +

r r

( ) ( )2 2

2z z

E z k k z R z

+

r


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