-
Cap. 5 Introduo anlise diferencial de escoamentos
5.1 Conservao da massa
5.2 Funo corrente
5.3 Movimento de um elemento fluido - Cinemtica
5.4 Equao da Quantidade de Movimento
-
5.1 Conservao da massa
5.1.1 Coordenadas retangulares
Expanso em srie de Taylor :
-
Desprezando termos de ordem superior:
-
Fluxo de massa atravs da superfcie de controle
de um volume de controle diferencial retangular
-
Fluxo de massa total atravs da superfcie de controle
de um volume de controle diferencial retangular
-
Conservao da massa para um volume de controle diferencial
retangular
No volume de controle diferencial a massa especfica independente
do volume
Equao diferencial para o princpio da conservao da massa
-
Operador GRADIENTE (sobre campo escalar U)
Operador DIVERGENTE (sobre campo vetorial A)
-
Princpio da conservao da massa (forma compacta)
Escoamento incompressvel , r = constante :
Escoamento compressvel , regime permanente :
-
Determinar:a) a taxa de variao da massa especfica
b) r (t).
Um amortecedor a gs na suspenso de um automvel comporta-se como
um dispositivo pisto-cilindro. Num instante em que o pisto est em
L=0,15 m afastado da extremidade fechada do cilindro, a massa
especfica do gs uniforme em 18 kg/m3 e o pisto comea a mover-se,
afastando-se da extremidade fechada do cilindro, com V=12 m/s.
A velocidade do gs unidimensional e proporcional distncia em
relao extremidade fechada; varia linearmente de zero, na
extremidade, a u=V no pisto.
Avalie a taxa de variao da massa especfica do gs nesse instante.
Obtenha uma expresso para a massa especfica como uma funo do
tempo.
-
Escoamento unidimensional
No h variao espacial de r no volume :
Como:
-
Com esta derivada obtm a taxa de variao da massa especfica no
instante inicial (item a):
Notando que L varivel no tempo:
-
5.1.2 Coordenadas cilndricas
Em coordenadas cilndricas o operador vetorial dado por:
-
Escoamento incompressvel , r = constante :
Escoamento compressvel , regime permanente :
Princpio da conservao da massa em coordenadas cilndricas
-
5.2 Funo corrente para escoamento
incompressvel bidimensional
O objetivo descrever matematicamente vrias configuraes
geomtricas de escoamentos bidimensionais:
Se uma funo contnua, chamada funo corrente, for definida de modo
que:
A funo corrente satisfaz a equao da continuidade (eq. da cons.
da massa) :
-
As linhas de corrente so linhas traadas no campo de escoamento
tais que, em um dado instante, so tangentes direo do escoamento, em
cada ponto.
Assim, a equao de uma linha de corrente em um escoamento
bidimensional :
Substituindo as equaes da funo corrente, tem-se,
para um linha de corrente:
Sendo um elemento de comprimento da linha de corrente:
-
As linhas de corrente instntaneas
Para uma linha de corrente:
Entre dois pontos quaisquer:
Para uma profundidade unitria,a vazo atravs de AB :
Ao longo de AB, x=constante, e . Portanto:
-
Em coordenadas cilndricas :
Princpio da Conservao da Massa, escoamento bidimensional:
Velocidade radial, tangencial e respectiva funo corrente
-
Do campo de velocidade dado :
Integrando com relao a y :
A funo f(x) pode ser avaliada usando-se a equao para v :
Dados: Campo de velocidade, com A = 2 s-1.
Determinar:(a) Funo corrente
(b) Trace grficos no primeiro e segundo quadrantes
-
A constante arbitrada como zero de modo que a linha de corrente
atravs da origem seja designada como
-
5.3 Movimento de um elemento fluido
Cinemtica
Elemento infinitesimal de fluido
-
5.3.1 Acelerao de uma partcula fluida em um
campo de velocidade
Translao
Rotao
Deformao Angular
Deformao Linear
-
Dado o campo de velocidade, , determine a acelerao de uma
partcula fluida,
, a variao da velocidade da partcula, ao mover-se da posio
para
dada por:
-
Para lembrarmo-nos de que o clculo da acelerao de uma partcula
fluda em um campo de velocidade requer uma derivada total, esta
recebe o smbolo . Assim:
A derivada total, usualmente chamada de derivada substancial
-
acelerao total de uma partcula
acelerao convectiva
acelerao local
Para escoamento bidimensional :
Para escoamento unidimensional :
-
Em coordenadas cilndricas (trs componentes da acelerao total)
:
Em coordenadas retangulares (trs componentes da acelerao
total):
-
Dados : Escoamento permanente, unidimensional, incompressvel,
atravs do duto convergente mostrado.
Determinar : (a) A componente x da acelerao de uma partcula
movendo-se no campo de escoamento
(b) Para a partcula localizada em x=0 em t=0, obtenha uma
expresso para a sua:
(1) Posio , xp , como uma funo do tempo.
(2) Componente x da acelerao, axp . como uma funo do tempo.
-
5.3.2 Rotao dos fluidos
A rotao , , de uma partcula fluida definida como a velocidade
angular mdia de quaisquer duas linhas perpendiculares que se cruzam
nocentro da partcula.
-
Vorticidade :
Circulao :
Coordenadas cilndricas:
-
5.3.3Deformao dos fluidos
A deformao angular de um elemento fluido envolve variaes no
ngulo entre duas linhas perpendiculares
Taxa de deformao angular:
-
Taxa de deformao angular no plano xy ser :
-
Determinar : (a) As posies dos pontos a,b,c e d em t= 1,5 s.
(b) Taxa de deformao angular.
(c) Taxa de rotao de uma partcula fluida.
Dados : Campo de velocidade, U= 4 mm/s e h= 4 mm. Partculas
fluidas marcadas em t=0 formando uma cruz, como mostrado:
A taxa de deformao angular :
A rotao :
-
5.4 Equao da quantidade de movimento
Uma equao dinmica descrevendo o movimento do fluido pode ser
obtida aplicando-se a segunda lei de Newton a uma partcula
A quantidade de movimento do sistema :
Para um sistema infinitesimal de massa dm:
-
5.4.1Foras atuando sobre uma partcula fluida
As foras que atuam sobre um elemento fluido podem ser
classificadas como de massa ou de superfcie.
As de superfcie incluem tanto as normais quanto as tangenciais
(de cisalhamento).
Balano de foras (dir.x) que atuam nas 6 superfcies do
elemento
-
Balano de foras (dir.x) que atuam nas 6 superfcies do elemento
:
-
Fora infinitesimal resultante de superfcie na direo x:
Foras infinitesimais resultante (de campo e de superfcie) nas
direes x,y e z:
-
5.4.2Equao diferencial da Quantidade de Movimento
Equao diferencial da Quantidade de Movimento nas direes x,y e
z:
-
5.4.3 Fluidos Newtonianos : a Equao de Navier-Stokes
Para um fluido newtoniano, as tenses viscosas so proporcionais s
taxas de deformao angular.
As tenses podem ser expressas em termos dos gradientes de
velocidade e das propriedades dos fluidos (em coordenadas
retangulares), como segue (p a presso termodinmica local) :
Correlaes para tenses superficiais no elemento fluido
infinitesimal
-
Substituindo as correlaes para tenses superfciais na equao
diferencial para quantidade de movimento do elemento fluido
infinitesimal :
Estas equaes do movimento fluido so chamadas de equaes de
Navier-Stokes.
-
As equaes de Navier-Stokes so simplificadas quando aplicadas a
escoamento incompressvel (r=cte) e fluidos de viscosidade tambm
constante.
Para o caso de escoamento sem atrito , as equaes acima se
resumem equao de Euler:
...
2
dx
!
2
1
x
2
dx
x
2
2
2
2
dx
x
+
r
+
r
+
r
=
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+
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x
2
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x
r
+
r
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x
u
u
u
2
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+
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x
2
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x
2
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-
r
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-
r
+
r
=
r
-
2
dx
x
u
u
2
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x
u
u
u
2
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x
-
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-
+
=
-
r
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r
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u
2
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x
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.
dy
2
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x
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2
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dy
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m
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dz
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dy
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-
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x
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&
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-
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&
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x
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dz
.
dy
.
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x
u
x
u
m
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r
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-
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y
v
dx
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dy
y
v
y
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m
m
D
y
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-
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&
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dx
.
dz
z
w
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w
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m
D
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z
r
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r
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+
-
-
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&
dV
z
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y
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x
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.
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r
+
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r
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0
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r
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v
x
u
t
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0
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r
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r
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r
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y
v
x
u
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r
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y
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x
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r
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j
y
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k
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j
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k
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y
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x
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r
r
r
r
r
r
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+
+
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y
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x
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ln
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r
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0
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y
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y
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1
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-
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q
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C
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2
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w
=
x
V
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0
t
0
t
0
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D
a
D
=
a
D
D
D
(
)
[
]
y
u
t
y
t
y
y
u
lim
t
y
/
lim
t
lim
dt
d
0
t
0
t
0
t
=
D
D
D
D
=
D
D
x
D
=
D
b
D
=
b
D
D
D
y
u
x
v
dt
d
dt
d
dt
d
+
=
b
+
a
=
g
-
]
s
/
rd
[
5
,
0
h
U
2
1
h
U
0
2
1
y
u
x
v
2
1
z
-
=
-
=
-
=
-
=
w
]
s
/
rd
[
1
h
U
0
h
1
U
x
v
y
u
=
=
+
=
+
=
g
-
&
i
)
h
y
(
U
V
r
r
=
sistema
dt
P
d
F
=
r
r
dm
V
P
)
sistema
(
massa
sistema
r
r
=
sistema
dt
V
d
dm
F
d
=
r
r
+
+
+
=
=
t
V
z
V
w
y
V
v
x
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u
dm
Dt
V
D
dm
F
d
r
r
r
r
r
r
dy
dx
2
dz
z
dy
dx
2
dz
z
dx
dz
2
dy
y
dx
dz
2
dy
y
dz
dy
2
dx
x
dz
dy
2
dx
x
dF
zx
zx
zx
zx
yx
yx
yx
yx
xx
xx
xx
xx
x
S
t
-
t
-
t
+
t
+
t
-
t
-
t
+
t
+
s
-
s
-
s
+
s
=
-
dy
dx
dz
z
dx
dz
dy
y
dz
dy
dx
x
dF
zx
yx
xx
x
S
t
+
t
+
s
=
-
dV
z
y
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dF
zx
yx
xx
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S
t
+
t
+
s
=
-
dV
z
y
x
g
dF
dF
dF
zx
yx
xx
x
x
S
x
C
x
t
+
t
+
s
+
r
=
+
=
-
-
dV
z
y
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g
dF
dF
dF
zy
yy
xy
y
y
S
y
C
y
t
+
s
+
t
+
r
=
+
=
-
-
dV
z
y
x
g
dF
dF
dF
zz
yz
xz
z
z
S
z
C
z
s
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t
+
t
+
r
=
+
=
-
-
+
+
+
=
=
+
+
=
t
V
z
V
w
y
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v
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u
dm
Dt
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D
dm
k
dF
j
dF
i
dF
F
d
z
y
x
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Dt
Du
z
u
w
y
u
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u
u
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z
y
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g
zx
yx
xx
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r
=
+
+
+
r
=
t
+
t
+
s
+
r
Dt
Dv
z
v
w
y
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v
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u
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z
y
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g
zy
yy
xy
y
r
=
+
+
+
r
=
t
+
s
+
t
+
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Dt
Dw
z
w
w
y
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u
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g
zz
yz
xz
z
r
=
+
+
+
r
=
s
+
t
+
t
+
r
x
u
2
V
.
3
2
p
xx
m
+
m
-
-
=
s
r
y
v
2
V
.
3
2
p
yy
m
+
m
-
-
=
s
r
z
w
2
V
.
3
2
p
zz
m
+
m
-
-
=
s
r
+
m
=
t
=
t
y
u
x
v
yx
xy
+
m
=
t
=
t
z
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y
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zy
yz
+
m
=
t
=
t
x
w
z
u
xz
zx
+
m
+
+
m
+
-
m
+
-
r
=
r
z
u
x
w
z
x
v
y
u
y
V
.
3
2
x
u
2
x
x
p
g
Dt
Du
x
r
+
m
+
-
m
+
+
m
+
-
r
=
r
y
w
z
v
z
V
.
3
2
y
v
2
y
x
v
y
u
x
y
p
g
Dt
Dv
y
r
-
m
+
+
m
+
+
m
+
-
r
=
r
V
.
3
2
z
w
2
z
y
w
z
v
y
z
u
x
w
x
z
p
g
Dt
Dw
z
r
+
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m
+
-
r
=
+
+
+
r
2
2
2
2
2
2
x
z
u
y
u
x
u
x
p
g
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
+
+
m
+
-
r
=
+
+
+
r
2
2
2
2
2
2
y
z
v
y
v
x
v
y
p
g
z
v
w
y
v
v
x
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u
t
v
+
+
m
+
-
r
=
+
+
+
r
2
2
2
2
2
2
z
z
w
y
w
x
w
z
p
g
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
p
g
Dt
V
D
-
r
=
r
r
r
0
=
m
