Cap II -Vectores 2015

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES ING. CIVIL – ING. QUIMICA - ING. DE ALIMENTOS

PASTOR GUTIERREZ BAREA 12

CAPITULO II

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

2.1. INTRODUCCION A LAS MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

En el estudio de la Ingeniería y de las ramas de la física, se utilizan magnitudes

escalares y vectoriales. Mediante el uso de los vectores se pueden representar y

modelar fenómenos de desplazamiento, aplicación de fuerzas, velocidades,

aceleraciones, campos vectoriales, electromagnéticos, gravitacionales, etc.

Algunas magnitudes físicas quedan completamente definidas por un número y una

unidad, estas magnitudes se llaman escalares, por ejemplo el volumen de un cuerpo

se puede especificar por cuantos metros o pies cúbicos ocupa, la temperatura, el

tiempo, la masa son otros ejemplos de magnitudes físicas escalares.

Otras magnitudes físicas, requieren para su completa definición que se añada una

dirección y sentido, estas magnitudes se llaman vectores, un ejemplo familiar es la

velocidad, para describir el movimiento de un cuerpo debemos señalar no solo lo

rápido que se esta moviendo, sino también en que dirección lo hace, como otros

ejemplos tenemos la fuerza, la aceleración y el desplazamiento.

2.2. VECTORES

Un vector es un segmento de línea recta orientada que sirve para representar a las magnitudes

vectoriales.

Empecemos con una magnitud vectorial llamada desplazamiento. Representemos una

partícula en el espacio y que se encuentra inicialmente en el punto P1, si esta partícula

se mueve a otro lugar representado por el punto P2 como se muestra en la Figura 2.1,

ha experimentado un desplazamiento o cambio de posición, desde el punto P1 hasta el

punto P2. El desplazamiento se representa por un segmento rectilíneo que une los

puntos P1 y P2, (P1P2), la flecha indica el sentido del movimiento.

D = Vector desplazamiento

Figura 2.1. Desplazamiento

de una partícula del punto

P1 al punto P2.

Figura 2.2. El desplazamiento es un segmento

rectilíneo aunque la trayectoria sea curva. Si la

partícula vuelve al punto de partida, el

desplazamiento es cero.

P1

P2

P3

Trayectoria

P1

D1 D2

P2



Como el desplazamiento es una magnitud vectorial, no solo se indica que distancia se

ha movido la partícula, sino también en que dirección. Un desplazamiento de 5 km al

norte, no es lo mismo que 5 km al este.

El desplazamiento siempre se representa por un segmento rectilíneo comprendido

entre el punto de partida y el de llegada, aún cuando la trayectoria seguida por la

partícula sea una curva. Así en la Figura 2.2, cuando la partícula se mueve del punto

P1 al punto P2 a lo largo de la trayectoria curva, el desplazamiento es el vector D

1. Si

la partícula continua al punto P3, el desplazamiento es D

2, si continua del punto P3 al

punto P1, el desplazamiento del recorrido completo es cero.

2.3. ELEMENTOS DE UN VECTOR

A) Intensidad o módulo.- Es el valor absoluto del vector, y generalmente, está dado en escala

por la longitud del vector. Ej. 1 unidad de longitud equivale a 1 N (si se tratase de fuerza).

Figura 2.3

B) Dirección.- Está dada por la línea de acción del vector o por todas las líneas rectas

paralelas a él. El ángulo que forma el vector V con el semieje positivo de las equis

representa la dirección de dicho vector, Figura 2.3.

Figura 2.3. Elementos de un vector

2.4. TIPOS DE VECTORES

A) Vectores colineales.- Son aquellos

vectores que están contenidos en una

misma línea de acción. Figura 2.4

B) Vectores iguales.- Son aquellos

vectores que tienen la misma intensidad,

dirección y sentido. Figura 2.5

Figura 2.4. Vectores colineales

Figura 2.5 Vectores Iguales

D) Sentido.- Es la orientación del

vector y esta indicado por una

flecha. Figura 2.3

C) Punto de aplicación.- Está

dado por el origen del vector,

es el punto sobre el cual actúa

el vector. Figura 2.3

θ

Dirección (θ)

Sentido

Módulo

Origen

y

x

V



D) Vectores Concurrentes.- Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se cortan en un solo

punto, ver Figura 2.7

E) Vector opuesto.- Se llama vector opuesto (-A) de un vector A cuando tiene el mismo

módulo, la misma dirección, pero sentido contrario. Figura 2.8.

2.5 SUMA DE VECTORES

Al sumar las magnitudes vectoriales nos da como resultado otro vector cuyo módulo no

siempre resulta ser la suma de los módulos de los vectores que intervienen, su magnitud

dependerá del ángulo que formen sus direcciones. El vector resultante produce el mismo

efecto que todos juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no es lo mismo que la

suma algebraica.

Se puede sumar vectores en forma gráfica o analítica. Para la primera opción los

métodos son geométricos, debiendo realizarse una construcción a escala que permita

obtener un resultado a partir de una medición. Los resultados obtenidos por este

método no tienen un elevado grado de precisión, por lo que mejor resulta utilizar el

método analítico.

2.5.1. Métodos Gráficos

1. Método del paralelogramo

Figura 2.6 Vectores coplanares

Figura 2.8 Vectores opuestos

Fig. 2.9 Método del Paralelogramo

El método del paralelogramo es utilizado

para sumar dos vectores coplanares y

concurrentes, para hallar la resultante se une

a los vectores por el origen (deslizándolos)

para luego formar un paralelogramo, el

vector resultante se encontrará en una de las

diagonales, y su punto de aplicación

coincidirá con el origen común de los dos

vectores. Figura 2.9.

C) Vectores coplanares.- Son

aquellos vectores que están

contenidos en un mismo plano.

Figura 2.6

Figura 2.7 Vectores concurrentes

A

B

θ

A

B

BAR

R



2. Método del triángulo

3. Método del polígono

Válido para sumar más de dos vectores. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores

uno a continuación del otro para luego formar un polígono, el vector resultante se encontrará

en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer

vector. Figura 2.11.

Fig. 2.11 Método del polígono Fig. 2.12 Vector nulo

En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector

resultante es nulo; y al sistema se le llama “polígono cerrado”. Figura 2.12.

En la suma de los vectores se cumplen las siguientes propiedades:

a) Propiedad Conmutativa: ABBA

b) Propiedad Asociativa: )()( CBACBACBA

c) Propiedad distributiva: nAmAAnm )(

mBmABAm )(

2.5.2. Método Analítico

Figura 2.10 Método del triángulo

Válido sólo para dos vectores concurrentes

y coplanares, para sumar se unen los dos

vectores uno a continuación del otro para

luego formar un triángulo, el vector

resultante se encontrará en la línea que

forma el triángulo y su punto de aplicación

coincidirá con el origen del primer vector.

Figura 2.10

A

B

θ

A

B

BAR

R

C

A

B

CBAR

A

A

B B

C

C

D D

E

E

0 DCBAR



Este método se aplica a la suma de vectores concurrentes y coplanares. El módulo del vector

resultante lo encontraremos a partir de la Figura 2.13 (a).

Figura 2.13 (a) Figura 2.13 (b)

Aplicando el Teorema de Pitágoras al triángulo OQT, obtenemos:

222 )()()( TQOTOQ , pero STOSOT = cos21 VV y senVTQ 2

22

2

22

221

2

1

2

2

2

21

2 coscos2)()cos( senVVVVVsenVVVV

)(coscos2 222

221

2

1

2 senVVVVV

Por trigonometría se sabe que: 1)(cos 22 sen :

cos2 21

2

2

2

1 VVVVV (Ley de los cósenos) 2.1(a)

También se puede usar el ángulo interior. A partir de la figura 2.13 (b):

180180

Remplazando en 2.1 tenemos la siguiente expresión que al final es la misma pero en

función del ángulo interior.

2.1(b)

cos2

)180cos(2

21

2

2

2

1

21

2

2

2

1

VVVVV

VVVVV



Para calcular la dirección del vector resultante V, necesitamos hallar el valor del

ángulo α. En la Fig. 2.13 (b), vemos que en el triángulo OQT, QT = Vsen α, y que en

el triángulo STQ; QT = V2 senθ = V2 sen(180- ), por consiguiente:

Vsen α = V2 sen ó sen

V

sen

V 2

A partir de los triángulos ORS y SRQ, encontramos que:

SR = senVsenV 21 ; o bien: sen

V

sen

V 21

Combinando las anteriores expresiones obtenemos la siguiente relación simétrica:

sen

V

sen

V

sen

V

sen

V 21 (Ley de los Senos) (2.2)

Hemos llegado así a dos ecuaciones trigonométricas fundamentales, la Ley de los

Cósenos y la Ley de los Senos. Para el caso especial en que los vectores V1 y V2 sean

perpendiculares, se cumplen las siguientes relaciones:

2

2

2

1 VVV ; 1

2

V

Vtg (2.3)

2.6. CALCULO DE LA DIFERENCIA

La operación de sustracción o diferencia, es la misma de la suma solo que se opera

con el vector opuesto, se pueden incluir en el álgebra vectorial, definiendo como

valor negativo de un vector a otro vector de igual magnitud y dirección, pero de

sentido contrario. Entonces de acuerdo con la Figura 2.14.

D = V1 - V2 = V1 + (-V2)

En la figura podemos ver que la diferencia V2 – V1 = -D; esto es, si los vectores

se sustraen en el orden opuesto, resulta un vector opuesto.

Figura 2.14 La diferencia de vectores es anticonmutativa

Suma

V1 + V2

V2

V1

V2

-V2

-V1

V2 – V1

Diferencia

Diferencia

V1 – V2



La magnitud de la diferencia se determina con la Ley de los cósenos, a partir de la

Fig. 2.14, esto es:

)cos(2 21

2

2

2

1

2 VVVVD

cos2 21

2

2

2

1 VVVVD (2.4)

Ejemplo2.1

El vector A de 10 unidades, forma un ángulo de 30º con el eje X positivo. El vector B

de 12 unidades, se encuentra sobre la dirección negativa del eje X. Encontrar:

(a) la suma de los dos vectores; (b) la diferencia de los dos vectores.

Solución: Para resolver el problema, en primer lugar ubicaremos los dos vectores en

un sistema de ejes coordenados como se muestra en la Fig. 2.15.

Figura 2.15 Figura 2.16

(a) En la Figura 2.16 se puede ver que el vector resultante, se encuentra sobre la línea

OD. El ángulo que forman los vectores A y B es 180º - 30º = 150º. Aplicando la

Ley de los cósenos, encontramos la magnitud del vector suma.

unidadesBAC 01,6º150cos)12)(10(2144100

Para encontrar el ángulo entre el vector C y A, aplicamos la Ley de los senos:

sen

B

sen

C

º150

01,6

º150)12(º150 sen

C

senBsen º7,86

La dirección del vector C con el eje X positivo será, (30º + 86,7º) = 116,7º

(b) Para encontrar la magnitud del vector diferencia D = A-B, utilizamos la ley de los

cosenos, o el concepto de vector opuesto como se muestra en la Figura 2.17.

unidadesD

BAD

26,21

º150cos)12)(10(2144100

X

A

B 30º

Y

O

C = A + B X

Y

A

B

B

D

E

30º

150º

O



De otra forma:

unidadesD

BAD

26,21

º30cos)12)(10(2144100

Figura 2.17

Para encontrar la dirección, utilizamos la ley de los senos:

sen

B

sen

D

º30

26,21

º30)12(º30 sen

D

senBsen º4,16

Por lo tanto, D tiene 21,26 unidades y forma un ángulo de 30º - 16,4º = 13,6º con el

eje positivo X.

2.7. COMPOSICIÓN Y DESCOMPOSICION DE VECTORES

La suma y la diferencia de vectores, resulta más fácil cuando se utilizan las

componentes. Para definirlas usaremos un sistema de ejes coordenados rectangulares

(cartesiano), como el representado en la Figura 2.18.

Cualquier vector que se encuentre en el plano XY puede representarse como la suma

de un vector paralelo al eje X y otro paralelo al eje Y. Estos dos vectores que

designaremos por Rx y Ry, se llaman componentes vectoriales rectangulares del

vector R. Esto se expresa de la siguiente manera:

R = Rx + Ry (2.5)

Si se conoce la magnitud del vector R y su dirección, las componentes se pueden calcular de la

siguiente manera:

cosRRx y senRRy

Rx y Ry, son cantidades escalares que pueden

ser positivas o negativas. Aplicando el teorema

de Pitágoras a la Fig. 2.18, tenemos:

22

yx RRR , la dirección estará

dada por la tangente del ángulo

xy RR /tan

Figura 2.18 Componentes rectangulares de un vector

0º

0º

α

Ry

Rx



2.7.1. Vectores Unitarios

Un vector unitario (versor) es aquel cuya magnitud es la unidad, y no tiene unidades. Su único

propósito es indicar una dirección y sentido en el espacio de un determinado vector.

Si A es un vector de módulo distinto de cero, [A] ≠ 0, un vector unitario en la misma dirección

y sentido que A, se representa por ,Au

y se define como:

A

Au A

AuAA

(2.6)

En un sistema de coordenadas xy, utilizaremos el vector unitario i en la dirección positiva del

eje x, y el vector unitario j en la dirección positiva del eje y.

A partir de la ecuación (2.5), entonces las componentes vectoriales pueden expresarse de la

siguiente manera:

Rx iRx ; Ry jRy (2.7)

De forma similar, el vector R puede escribirse en función de sus componentes como:

R = jsenRiRjRiR yx cos (2.8)

Figura 2.19 Componentes de un vector vector utilizando los vectores unitarios

.

Si representamos dos vectores A y B, en función de sus componentes, se puede expresar la

resultante R utilizando los vectores unitarios de la siguiente manera:

A = Ax i + Ay j ; B = Bx i + By j

R = A + B = (Ax i + Ay j) + (Bx i + By j) = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j jRiR yx (2.9)

Donde: Rx = (Ax+Bx ) ; Ry =( Ay + By )

Es importante comprender que

tanto la ecuación (2.7) como la

(2.8) son ecuaciones vectoriales,

como se puede apreciar en la

Figura 2.19.



Si el vector se representa en el espacio, es necesario utilizar una tercera componente.

Introduciremos un tercer vector unitario k en la dirección del eje Z como se puede ver en la

Figura 2.20.

La resultante de los vectores A y B en función de sus tres componentes y utilizando vectores

unitarios, se generaliza de la siguiente manera:

A= Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k (2.10)

R = A + B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k (2.11)

kRjRiRR zyx

2.7.2. Vectores en el espacio

Si el vector se representa en el espacio, este tiene tres componentes rectangulares: Vx,

Vy y Vz, como se muestra en la Figura 2.21.

A partir de la Figura 2.21, se puede ver que las componentes se pueden calcular con

las siguientes expresiones:

cosVsenVx

senVsenVy

cosVVz

Figura 2.21 Componentes rectangulares de un vector en tres dimensiones

En función a los vectores unitarios, paralelos a los ejes x, y y z, tenemos:

kVjViVV zyx (2.12)

La magnitud del vector V obtenemos con la siguiente ecuación:

2222

zyx VVVV (2.13)

z

x

y

V

D

Vx Vy

VZ

A

O

B

C

E

i j

k θ

Z

Y

X

k j

i

Fig. 2.20 Vectores unitarios en el espacio



En la Fig. 2.22, estamos designando con , y los ángulos que el vector V hace

con los ejes x, y y z, respectivamente. Sus componentes estarán dadas por:

cosVVx ; cosVVy ; cosVVz (2.14)

A estas cantidades se los llama cósenos directores del vector.

Fig. 2.22 Componentes rectangulares de un vector en tres direcciones

Combinando las ecuaciones (2.14) con las Ecuaciones (2.12), encontramos que:

1coscoscos 222 (2.15)

2.8. PRODUCTO DE VECTORES

Existen magnitudes físicas que se obtiene a partir de un de un producto de vectores. Se

utilizan dos clases de productos de vectores. El primero de ellos, denominado producto

escalar, da como resultado una cantidad escalar, mientras que en el segundo, el producto

vectorial, da como resultado otro vector.

2.8.1. Producto Escalar de dos Vectores

Para definir el producto escalar, representemos dos vectores A y B, como se muestra en la

Figura 2.23-a. Los dos vectores parten de un punto común, el ángulo que forman sus

direcciones es θ, tal como se indica, el producto escalar se expresa como A.B, y se define

como la cantidad escalar obtenida por el producto de las magnitudes de A y B con el coseno

del ángulo entre los dos vectores,

A .B = ABcos θ =[A] [B]cos θ (2.16)

El producto escalar también se denomina producto punto, es un número, no un vector, y puede

ser positivo o negativo. El producto escalar es positivo cuando θ se halla entre cero y 90°; es

negativo cuando esta entre 90° y 180°, y cuando θ = 90°, A . B = 0.

A partir de la Figura 2.23-b, se puede ver que el producto escalar A.B es igual a la componente

de B paralela a A, multiplicada por la magnitud de A.



B Bsen θ B

θ θ Bcos θ

Figura 2.23. Representación gráfica del producto escalar de dos vectores

Propiedades del Producto Escalar:

1. A.B = B.A Propiedad conmutativa

2. A.(B+C) = A.B + A.C Propiedad distributiva

3. m(A.B) = (mA).B= A.(mB) siendo m un escalar

Los productos escalares entre los vectores unitarios i, j y k son:

4. 1... kkjjii (2.17)

5. 0... kikjji

6. A.A = A2=

222

zyx AAA 222

zyx AAAA , A es el módulo de A

7. B.B = B2=

222

zyx AAA 222

zyx BBBB , B es el módulo de B

En este caso, el ángulo que forma A con A o B con B es cero

Conociendo las componentes de A y B, puede calcularse su producto escalar. Esto se realiza

de una manera más fácil utilizando la representación con vectores unitarios, como se vio en el

punto 2.8, de la siguiente manera:

A . B = (Ax i + Ay j +Az k) . (Bx i +By j + Bz k) (2.18)

Desarrollando el producto de los dos paréntesis del segundo miembro, se obtienen nueve

términos de la siguiente forma:

A . B = Ax i . Bx i + Ax i . By j + Ax i . Bz k + Ay j . Bx i + Ay j . By j + Ay j . Bz k + Az k . Bx i +

Az k . By j + Az k . Bz k (2.19)

Cada uno de estos términos contiene el producto escalar de dos vectores que son paralelos o

perpendiculares; por ejemplo, en el término Ax i . Bx i, los dos vectores son paralelos, el ángulo

entre ellos es cero, su coseno es la unidad, y el producto escalar tan solo es el producto de las

componentes Ax .Bx.

A A

(a) (b)



xxxxxxxx BABAiiBAiBiA cos)1)(1(.. (2.20)

En el término Ax i . By j, los dos vectores son perpendiculares, el ángulo es 90° y el coseno es

cero, y el producto escalar es cero, de esta forma, seis de los términos son nulos.

090cos)1)(1(.. yxyxyx BAjiBAjBiA (2.21)

El producto queda expresado de la siguiente manera:

A . B = AxBx + AyBy + AzBz (2.22)

2.8.2. Producto Vectorial de dos Vectores

El producto vectorial de dos vectores A y B (producto cruz), se representa A x B. Para definir

el producto vectorial, trazamos los vectores A y B desde un punto común. Los dos vectores se

encuentran en el mismo plano. El producto vectorial nos da como resultado otro vector C con

una dirección perpendicular a este plano (es decir perpendicular a A y B), y una magnitud

dada por AB sen θ. Es decir:

C = A x B = AB sen θ (2.23)

Existen siempre dos direcciones perpendiculares a un plano dado. Para distinguirlas,

imaginemos que el vector A gira alrededor de la perpendicular hasta que se alinea con B.

Cuando rodeamos con los dedos de la mano derecha esta perpendicular, de modo que las

yemas señalan la dirección de rotación, el dedo pulgar nos indica la dirección del producto

vectorial. Esta regla se ilustra en la Figura 2.24.

La dirección del producto vectorial también viene dada por la dirección que avanza un tornillo

roscado hacia la derecha, cuando se le gira en el sentido A a B como se muestra en dicha

figura.

Figura 2-24. El producto vectorial A x B es perpendicular al plano y su dirección se determina por la regla de la mano derecha.



Así mismo la dirección del producto vectorial B x A se determina girando B hacia A, el

resultado obtenido es un vector opuesto al de A x B. El producto vectorial no es conmutativo,

por lo que para dos vectores A y B:

A x B = - B x A (2.24)

Esto se debe a que el sentido de rotación del tornillo se invierte cuando el orden de los

vectores se cambia. Si los vectores A y B son paralelos, 0 , 0sen , y el producto

vectorial es cero, es decir A x B = 0, obviamente que A x A = 0.

El producto vectorial es distributivo con relación a la suma, esto es:

A x (B +CB )= A x B + A x C (2.25)

m(A x B) = (mA) x B = A x (mB) siendo m un escalar

La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo formado por los

vectores, o es igual al doble del área del triangulo formado con su resultante. Esto se puede ver

en la Figura 2.25. La magnitud de A x B es AB sen θ. Pero B sen θ = h, donde h es la altura

del paralelogramo formado con A y B como lados. Como el área de un paralelogramo es base

por altura estará dada por:

AhBxA senAB = área del paralelogramo

Si se conocen las componentes de A y B, puede calcularse el producto vectorial utilizando un

procedimiento similar al producto escalar. Definiremos las siguientes tablas para llevar a cabo

esta operación:

0 kxkjxjixi (2.26)

jkxiixkixjkkxjkixjjxi ;; (2.27)

Expresemos los vectores A y B en términos de sus componentes y los vectores unitarios, y

efectuamos el producto tal como hicimos en el producto escalar.

C = A x B = (Ax i + Ay j + Az k) x (Bx i + By j + Bz k)

= Ax i x Bx i + Ax i x By j + Ax i x Bz k + Ay j x Bx i + Ay j x By j

Figura 2.25 El producto vectorial es equivalente al área del paralelogramo definido por los dos vectores



+ Ay j x Bz k + Az k x Bx i + Az k x By j + Az k x Bz k (2.28)

Figura 2.26. (a) Sistema de coordenadas derechas, jkxiijxkkixj ;;

(b) Sistema de coordenadas izquierdas, en el que kixj .

Todos los términos donde aparece un vector unitario repetido son nulos, tal como el

Ax i x Bx i, ya que son los productos de dos vectores paralelos; el ángulo que forman es cero y,

por lo tanto, el seno también es cero. Para evaluar los otros términos, nos referiremos al

sistema de ejes de la Figura 2.26 (a) y las ecuaciones (2.27) y (2.28). Se encuentra por

ejemplo, que i x j = k y j x i = - k. Por tanto,

Ax i x By j = (Ax By) i x j = Ax By k, y así sucesivamente, Evaluando todos los términos

utilizando las tablas de multiplicación de los vectores unitarios y agrupando términos,

tenemos:

A x B = (Ay Bz – Az By) i + (Az Bx – Ax Bz) j + (Ax By – Ay Bx) k (2.29)

Si C = A x B, las componentes de C vendrán dadas por:

Cx = AyBz – AzBy

Cy = AzBx – AxBz (2.30)

Cz = AxBy – AyBx

La ecuación (2.30) también se puede encontrar aplicando determinantes:

i j k Ay Az Az Ax Ax Ay

A x B = Ax Ay Az = i + j + k

Bx By Bz By Bz Bz Bx Bx By

)()()( xyyxzxxzyzzy BABAkBABAjBABAiBxA (2.31)

Y

X

- k

j i

- Z (a) (b)



Ejemplo 2.2

Encontrar el área del paralelogramo determinado por los siguientes vectores:

kjiBykjiA 232

Solución:

A partir de la ecuación (2.29) o (2.31), encontramos el producto vectorial A x B

i j k

A x B = 2 3 -1 = kji 537

-1 1 2

El área del paralelogramo es el módulo de A x B, o

Área = 211,925949 uBxA

2.10. PRODUCTOS TRIPLES

Aplicando el producto escalar y vectorial de tres vectores A, B y C, se puede formar productos

de la forma (A.B)C; A.(BxC) y Ax(BxC), en los que se cumplen las siguientes propiedades:

a) (A.B)C ≠ A(B.C)

b) CxBxACxBxA

)()( , no se cumple la propiedad asociativa

c) A.(BxC) = B.(CxA) = C.(AxB) = volumen de un paralelepípedo de aristas A, B y C con

signo positivo o negativo según que A, B y C formen un triedro a derechas o a

izquierdas.

Si kBjBiBBkAjAiAA zyxzyx ; y kCjCiCC zyx

ZYX

ZYX

ZYX

CCC

BBB

AAA

El producto A.(BxC) se llama triple producto escalar y el producto Ax(BxC) recibe el nombre

de triple producto simplemente.

d) CBABCACxBxA

).().()(

A.(BxC) =



2.11. PROBLEMAS RESUELTOS

2.1. Los vectores A y B de la Figura 2.27, forman entre si un ángulo de 53 °, uno de ellos

tiene 75u y el otro 300u. Hallar el valor de la resultante y el ángulo α.

A R = A+B A = 75 u

53° γ B = 300 u

53° θ = 53°

B γ = 180° - 53° = 127°

Figura 2.27

Solución: La resultante de dos vectores cuando forman un ángulo entre si, viene dado por la

siguiente formula:

R = cos222 ABBA

R = º53cos300.75.2)300()75( 22 uuuu

R = º127cos300.75.2)300()75( 22 uuuu

Con ambas expresiones se tiene el mismo resultado.

R = 350 u

Para calcular el ángulo α aplicamos la ley de los senos:

sen

R =

sen

A

sen = R

Asen =

u

senu

350

12775 α = 9,85°

2.2. El bloque de la Figura 2.28 es jalado por dos fuerzas F1 = 40 N y F2 = 30 N

respectivamente. a) Calcular la magnitud y dirección de la fuerza resultante. b)

cual será el valor de una tercera fuerza aplicada al bloque para que este avance

horizontalmente?

α



Figura 2.28 Figura 2.29

Calculo de la fuerza resultante:

º82cos2 21

2

2

2

1 FFFFFR N23,53º82cos40*30*23040 22

(a) Cálculo de los ángulos y ,

Estos ángulos los determinaremos a partir de la Figura 2.29

744.023.53

º98*40*11 sen

F

senFsen

sen

F

sen

F

R

R

º92,33

º98 º08,48 º180

º180

"7'5º48

ánguloeltenemoscualDel

La fuerza mínima será siempre el vector perpendicular a la línea horizontal, para su cálculo, se

procede de la siguiente manera:

NF

NsensenFFF

Fsen R

R

22,10

22,10)º08,11(*23,53)º08,11(

min

min

min

Resolución usando el método CARTESIANO:

A partir de la Figura 2.29.

Las componentes de F1 son: F1x = F1 cos45° y F1y = F1 sen45°

F1x = (40 N)cos45° = 28,3 N ; F1y = (40N) sen45° = 28,3 N

F2

F1

45º

37º

F2

F2

98º

98º

82º

82º

37º

45º

F1

FR

FR

F2

F1

45º

37º

Fmin

θ

θ = 45º - α =11,08º



Las componentes de F2 son: F2x = F2cos37° y F2y = - F2sen37°

F2x = (30 N)cos37° = 24,0 N ; F2y = - (30N) sen37° = - 18,1 N

F2y es negativa, por que apunta hacia el eje negativo de la y. Las componentes de la

resultante son:

FRx = 28,3 N + 24,0 N = 52, 3 N

FRy = 28,3 N - 18,1 N = 10,2 N

Para calcular la magnitud de la fuerza resultante, empleamos el teorema de Pitágoras:

21

22 )º37*30º45*40()º37cos*30º45cos40( sensenFR = 53.23 N

Para encontrar la dirección de la fuerza resultante utilizamos la siguiente ecuación:

195,03,52

2,10

N

N

F

Ftag

Rx

Ry θ = 11,0°

2.3. Hallar el resultado de la suma de los siguientes vectores:

V1 = (4i + 3J) unid; V2 = (-3i + 2j) unid.; V3 = (2i – 6j) unid. V4 = (7i – 8j) ; V5 = (9i + j) unid.

V = (Vx2 + Vy

2 )

1/2 = V1 + V2 + V3 + V4 + V5

Vx = V1x + V2x + V3x + V4x + V5x + ...... . = i Vix

Vy = V1y + V2y + V3y + V4y + V5y + ........ = i Viy

Vx = 4 - 3 + 2 +7 +9 = 19 ; Vy = - 3 + 2 – 6 – 8 +1 = - 14

La expresión del vector suma estará dada por: V = 19i - 14j

Su magnitud estará dada por: V = ((19)2 + (-14)

2 )

1/2 = 23, 6 unid.

La dirección de este vector se determina aplicando la tangente.

tg = ( Vy/Vx) = - 14/19 = - 0,736 = - 36,4º ; por debajo del eje x

2.4. Dados los vectores A = 2i + 3j + 4 k y B = i – 2j + 3k ; obténgase:

a) La magnitud de cada vector.

b) La expresión del vector suma, utilizando vectores unitarios.

c) La magnitud del vector suma.

d) La expresión del vector diferencia A – B, utilizando vectores unitarios.

e) La magnitud del vector diferencia A – B.



a) A = (Ax2 + Ay

2 + Az

2)1/2

= (4 + 9 + 16)1/2

= (29)1/2

B = (Bx2 + By

2 + Bz

2)1/2

= (1 + 4 + 9)1/2

= (14)1/2

b) S = A + B = (2i + 3j + 4k) + (i – 2j + 3k) = 3i + j + 7k

c) S = (32 + 1

2 + 7

2)1/2

= (59)1/2

d) D = A – B = (2i + 3j + 4k) - (i – 2j + 3k) = i + 5j +k

e) D = (1 + 25 + 1)1/2

= (27)1/2

Aplicaciones del producto escalar y vectorial:

2.5. Dados los vectores A = 2i + 3j + 4 k y B = i – 2j + 3k ; encontrar: (a) El

producto escalar de los dos vectores. (b) El ángulo que forman los dos

vectores. (c) El producto vectorial de los dos vectores, y (d) La magnitud del

nuevo vector.

Solución:

(a) Para encontrar el producto escalar, utilizamos la siguiente expresión

A . B = AB cos (1)

A . B = (2i + 3j + 4 k) . ( i – 2j + 3k )

A . B = Ax Bx + Ay By + Az Bz A . B = 2.1 + 3.(-2) + 4.3 = 8

A . B = 8 (2)

(b) Encontraremos la magnitud de los vectores A y B a partir de las siguientes

expresiones:

A = ( Ax2 + Ay

2 + Az

2)

1/2 = ( 4 + 9 + 16) = (29)

1/2 (3)

B = ( Bx2 + By

2 + Bz

2)1/2

= ( 1 + 4 + 9) = (14)1/2

(4)

Sustituyendo las ecuaciones (2), (3) y (4) en (1), tenemos:

A . B = 8 = (29)1/2

(14)1/2

cos ; = 66, 6º

(c) El producto vectorial da como resultado otro vector; para encontrar este vector

utilizamos la ecuación (2-25).

A x B = (AyBz – AzBy) i + (AzBx – AxBz) j + (AxBy – AyBx) k

C = A x B = ( 3.3 – 4.(-2))i + (4.1 – 2.3)j + (2.(-2) - 3.1)k = 17i - 2j – 7k

(d) C = ((17)2 + (-2)

2 + (-7)

2)1/2

= (342)1/2

= 18,49



2.6. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F=(3;-2;-5)N, si su punto de

aplicación se desplaza en un movimiento rectilíneo, de la posición A(2;-3;5)m

a la posición B(-3;-2;-1)m.

Solución: El trabajo realizado por la fuerza viene dado por un producto escalar de

dos vectores:

dFW

. (el trabajo es una magnitud escalar)

El vector desplazamiento D se determina de la siguiente manera:

D = B – A = (-3;-2;-1) - (2;-3;5) = (-5;1;-6)

W = (3;-2;-5).(-5;1;-6) = (3)(-5) + (-2)(1) + (-5)(-6) = 13 Nm = 13J

2.7. En la figura 2.30, se dan los puntos A(1;2;0), B(3;0;-3) y C(5;2;6), calcular el

área del triángulo ABC.

Figura 2.30

Encontraremos los vectores AB y AC:

AB = B(3;0;-3) – A(1;2;0) = 2i -2j-3k

AC = C(5;2;6) - A(1;2;0) = 4i+0j+6k

AB xAC kji

kji

82412

604

322

[AB xAC] = 222 )8()24()12( = 28 u2

214)28(2

1

2

1uABxACArea

A

B

C

Solución: El área del triángulo, será

igual a la mitad del área del

paralelogramo, es decir a la mitad del

módulo del producto vectorial de los

vectores AB y AC.



2.8. Calcular el área del triangulo entre los tres puntos del espacio ABC, que se muestra en

la figura 2.31.

Encontraremos los vectores AB y AC:

AB = B – A = B( 0;-2;4) – A(4;2;3) = (- 4;- 4; 1)

AC = C – A = C(3;6;6) – A(4;2;3) = (-1; 4; 3)

Expresando en función de sus componentes:

AB = B – A = - 4i- 4j+ k

AC = C – A = -i+4j+3k

AB xAC kji

kji

201116

341

144

29,13)87,27(2

1

2

1uCAxBAArea

2.9. Calcular el volumen del tetraedro que se muestra en la figura 2.32 cuyos

vértices están en los puntos A(2;-1;1) B(5;5;4), C(3;2;-1) y D(4;1;3).

Figura 2.32

a

= B – A = B( 5;5;4) – A(2;-1;1) = (3;6; 3)

Solución: El área del triángulo será igual

a la mitad del área del paralelogramo, es

decir a la mitad del módulo del producto

vectorial de los vectores AB y AC.

Solución: El volumen de un tetraedro

de lados ba

, y c

, viene dado por:

cbxaV

.)(6

1

A

B

C

D

a

b

c

Figura 2.31

B (0, -2, 4)

C (3, 6, 6)

A (4, 2, 3)



b

= C – A = C(3;2;-1) – A(2;-1;1) = (1;3;-2)

c

= D – A = D(4;1;3) – A(2;-1;1) = (2; 2; 2)

; el volumen será: 33)18(6

1uV

2.10. Los vectores A y B son perpendiculares entre, sí el vector C forma con ellos ángulos

iguales a 60º y sabiendo que A = 5, B = 8 y C = 10. Calcular:

a) (4A-3B).(B+5C) ; b) (4A-3B)2

Solución:

a) (4A.B + 20A.C - 3B 2- 15B.C) ; b) (16A

2 – 24 A.B + 9B

2)

Operando:

A.B = (5)(8)cos 90º = 0

A.C = (5)(10)cos60º = 25

B.C = (8)(10)cos60º = 40

A2 = (5)

2 = 25

B2 = (8)

2 = 64

a) (4A.B+20A.C-3B2-15B.C) = (0+20*25-3*64-15*40) = -292

b) (16A2

– 24 A.B + 9B2) = (16*25 - 24*0 + 9*64) = 976

2.12. PROBLEMAS PROPUESTOS

2.1. Encontrar analíticamente la fuerza resultante y su

dirección del sistema de fuerzas que se muestra en la

Figura 2.33. Resp. 92,15 N ; θ = 78,78º

2.2. La suma y la diferencia de dos vectores hacen un

ángulo de 60º con módulos de 12 y 6 unidades

respectivamente. ¿Cuál es el módulo de estos dos

vectores? ¿cuál es el ángulo entre ellos?

Resp. A =7,94u , B = 5,20u , θ = 49,11º

2.3. Tres vectores situados en un plano tienen 6, 5 y 4 unidades de magnitud. El primero y

el segundo forman un ángulo de 50°, el segundo y el tercero un ángulo de 75°. Hallar

la resultante y su dirección con respecto al vector mayor. Rpta. 9,92 u ; 45,77°.

18

222

231

363

.) cbxa

y

40 N

Fig. 2.33

100 N

x 60º

60 N

45º

75º



2.4. La resultante de los vectores A y B es 11u. Si el modulo del vector A es 5u y el ángulo

entre A y B es 45º. ¿Cuál es el modulo del vector B? Resp. B = 6,88u

2.5. Dos vectores forman un ángulo de 110°. Uno de ellos tiene 20 unidades de longitud y

hace un ángulo de 40° con el vector suma de ambos. Encontrar la magnitud del

segundo vector y la del vector suma. Rpta. 13,7 unidades; 20 unidades.

2.6. A partir del hexágono que se muestra en la figura 2.34, encontrar el módulo del vector

resultante del conjunto de vectores que se muestran. Resp. 3 2 a

2.7. Encontrar el ángulo entre dos vectores de 8 y 10 unidades de longitud, cuando su

resultante forma un ángulo de 50° con el vector mayor. Calcular también la magnitud

del vector resultante. Rpta. 123,25° ; 8,73 unidades.

2.8. Una lancha a motor se dirige en la dirección 70° EN a 25 millas/h en un lugar donde la

corriente es tal que la velocidad resultante es de 30 millas/h en la dirección 40° EN.

Encontrar la velocidad de la corriente y su dirección. Resp: 15,03 millas/h; 16,27º ES.

2.9. La velocidad de un avión en aire tranquilo es de 100 m/s. Se desea ir de un punto O a

un punto P, siendo la dirección de OP 20º NE. El viento tiene una velocidad de 20 m/s

en la dirección 45º NO. Encontrar la dirección del movimiento del avión y su velocidad

resultante. Resp. 59,56º EN; 106,79 m/s.

VECTORES EN EL ESPACIO

2.10. Dados los vectores: A = 3i + 4j + 54k y B = 2i -32j + 43k

Encontrar: (a) la magnitud del vector suma; b) la magnitud del vector diferencia B - A;

(c) el producto escalar de los dos vectores. (d) el ángulo entre A y B. (e.) la magnitud

del vector resultante del producto vectorial BxA.

Resp: a) 101,08; b) 37,66 ; c) A.B =2200; d) 40,85º ; e) 1902,96

a

2a

3a

a a

a

Figura 2.34



2.11. Dados los vectores: kjiA 43 y qkjiB 26 , encontrar el valor de q para

que los vectores sean:

a) Paralelos

b) Perpendiculares

Resp. a) q = 8 ; b) q = - 5

2.12. Dados los siguientes vectores: kjiV 21 ; kjiV 22 y kjV 3 ,

determine el ángulo entre (V3.V1)V3 y 3(V2+V1). Resp: 47,87º

2.13. A partir de los siguientes vectores: kjiA 22 ; kjiB 32 y

kjiC 23 . Determinar: a) R = (A .C)B - 2C, b) El ángulo entre R y B.

Resp: a) kjiR 358 ; b) 139,11º

2.14. Encuentre el valor de m para que los vectores: kjiA ; kjiB 2 y

mkjmiC , sean coplanares. Resp: m = 1

2.15. El cubo de la figura 2.35, tiene una arista “a”. Encontrar: a) el ángulo entre una arista y

la diagonal principal del cubo; b) el ángulo entre la diagonal del cubo y la diagonal de

una cara. Resp. 35,26º ; º74,54

2.16. Dos vectores y su producto vectorial forman un paralelepípedo. Determine el volumen

del paralelepípedo generado por los vectores kjiV 231 y kjiV 232 , las

unidades de medida de i, j y k están en metros cúbicos.

Resp. V= 75 m

3

2.17. Determine el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son: A = 2i - 3j + 4k , B = i +2j

- k y C = 3i - j + 2k Resp. 7 u3

β

θ

O

P

Q

z

x

y

a

a a

Figura 2.35



2.18. Calcular el volumen de un tetraedro cuyos vértices están en los puntos A(2;1;-1),

B(3;0;1), C(2;-1;3) y D(0;-7;0). Resp. 5 u3

2.19. Determinar el volumen del paralelepípedo que se muestra en la Figura 2.36 construido

sobre los vectores A, B y C, siendo sus coordenadas las siguientes:

A = (5;2;2) ; B = (3;6;0) ; C = (4;4;8)

Resp. 168 u3

Figura 2.36

2.20. Si los vértices de un polígono de cuatro lados están ubicados en los puntos P(0;0),

Q(4;0), R(5;4) y S(2;3), encuentre el área del polígono y los dos ángulos

menores del interior del polígono. Resp. A = 11,5 u2; 56,31º y 57,53º

A B

C

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Cap II -Vectores 2015