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CAPÍTULO
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Terceira Edição
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Análise de Tensões no Estado Plano
Resistên
ciad
os M
ateriais
6 - 2
Capítulo 6 – Análise de Tensões no Estado Plano
6.1 – Introdução
6.2 – Estado Plano de Tensões
6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões
6.3 – Tensões Principais
6.4 – Tensões Máxima de Cisalhamento
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
Resistên
ciad
os M
ateriais
6 - 3
6.1 – Introdução
• O estado de tensões em um ponto pode ser representado por 6 componentes,
, , tensão normal
, , tensão de cisalhamento
(Note que: , , )
x y z
xy yz zx
xy yx yz zy zx xz
• O mesmo estado de tensão é representado por um conjunto diferente de componentes, se os eixos são rotacionados.
Nosso objetivo aqui é verificar as transformações de tensão no elemento, a partir
de uma rotação nos eixos coordenados e em seguida, fazer a mesma análise para a
transformação das deformações.
Resistên
ciad
os M
ateriais
6 - 4
6.2 – Estado Plano de Tensões
Estado Plano de Tensões – situação onde duas das faces do cubo elementar estão isentas de tensões.
• Consideremos o eixo z como perpendicular a estas faces, temos:
• As únicas componentes que restam são:
xy, ,x y
O estado plano de tensões ocorre, por exemplo, na superfície livre de um elemento estrutural ou elemento de máquina, i. e., em qualquer ponto da superfície não sujeita a uma força externa.
0z zx zy
Resistên
ciad
os M
ateriais
6 - 5
6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões
• Dado um estado de tensões em um ponto P, veremos como determinar as componentes σx’, σy’, τx’ y’, associadas ao elemento, depois deste ter sido girado de um ângulo, em torno do eixo z.
Resistên
ciad
os M
ateriais
6 - 6
6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões
0 cos cos cos sen
sen sen sen cos
0 cos sen cos cos
sen cos sen sen
x x x xy
y xy
y x y x xy
y xy
F A A A
A A
F A A A
A A
• Seja o equilíbrio de um elemento prismático com as faces perpendiculares aos eixos x, y ex’ .
• As equações podem ser reescritas para produzir
cos2 sen 22 2
cos2 sen 22 2
sen 2 cos22
x y x yx xy
x y x yy xy
x yx y xy
I
II
III
2 2
2
2
lembrar que:
sen 2 2sen cos
cos2 cos sen
1 cos2cos
21 cos2
sen2
Resistên
ciad
os M
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6 - 7
6.2.1 - Transformações do Estado Plano de Tensões
• Podemos encontrar σy’, substituindo na exp. para σx’ o ângulo por θ + 90o.
• Como: cos (2θ + 180o)= -cos2θ e sen(2θ+180o)= -sen2θ, encontramos:
A soma das tensões normais em um elemento em estado plano de tensões independe da orientação deste elemento.
Tratando as tensões de forma algébrica, a tensão de tração é positiva e a tensão de compressão é negativa.
Para a tensão de cisalhamento, se convencionou que serão positivas as tensões em cujas faces do elemento se está estudando e que tendem a girá-lo no sentido anti-horário.
cos2 sen 22 2
x y x yy xy II
• Somando membro a membro as expressões (I) e (II), encontramos:
x y x y
Resistên
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6 - 8
6.3 – Tensões Principais
• Os valores máximos e mínimos de σx’ ocorrerão para valores de θ nos quais:
• As faces do cubo elementar obtido pela rotação do ângulo θp definem planos chamados planos principais no ponto P e as tensões normais nesses planos são conhecidas como Tensões Principais e são dadas pela seguinte expressão
2
0 2sen 2 2cos2 0 tg22
x y xyx xxy p
x y
d d
d d
A equação define dois valores de θp defasados de 90º.
2
2max,min 2 2
x y x yxy
• Substituindo θ = θp na expressão (III), vemos que não há tensão de cisalhamento nos planos principais.
0x y
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6 - 9
6.4 – Tensões Máxima de Cisalhamento
• A tesão de cisalhamento máxima se dá onde:
0 cos2 2 sen 2 0 tg 22
x y x yxy x xy c
xy
d d
d d
A equação define dois valores de θc defasados de 90º.
• Substituindo θ = θc nas expressões (I), (II) e (III), temos
2
2max e
2 2x y x y
xy med
Observa-se que tg2θc é a inversa negativa de tg2θp ;
Portanto, estes dois ângulos diferem de 90º;
Logo, θc e θp estão afastados de 45º;
Isto significa que os planos onde ocorrem as tensões de cisalhamento máximas estão a 45º dos planos principais.
Resistên
ciad
os M
ateriais
6 - 10
Exemplo 6.1
Para o estado plano de tensões mostrado, determine:
(a) Os planos principais,
(b) As tensões principais,
(c) A tensão máxima de cisalhamento e a tensão normal correspon-dente nestes planos.
Resistên
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os M
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Exemplo 6.1 – Solução 1
SOLUÇÃO 01:
(a) Determine os planos principais:
2 2 40tan 2 1,333
50 10
2 53,1 e 233,1
xyp
x y
p
26,6 e 116,6p
(b) Determine as tensões principais:
max
min
70MPa
30MPax
y
50 MPa 40 MPa
10 MPa
x xy
x
6 - 11
50 10 50 10cos 2.26,6 40sen 2.26,6
2 250 10 50 10
cos 2.26,6 40sen 2.26,62 2
x
y
50 10sen 2.26,6 40cos 2.26,6 0 OK!
2x y
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6 - 12
Exemplo 6.1 – Solução 1
50 10
2 2x y
med
• A correspondente tensão normal nestes planos é:
MPa20
(c) Calcule os planos onde ocorrem a tensão de cisalhamento máxima e o valor desta tensão
MPa50max
50 10tan 2 0,75
2 2 40x y
cxy
50 10sen 2 18,4 40cos2 18,4
2x y
50 MPa 40 MPa
10 MPa
x xy
x
18, 4c
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ateriais
Exemplo 6.1 – Solução 2
(b) Determine as tensões principais:
22
22
minmax,
403020
22
xy
yxyx
MPa30
MPa70
min
max
6 - 13
50 MPa 40 MPa
10 MPa
x xy
x
SOLUÇÃO 02:
(a) Determine os planos principais:
2 2 40tan 2 1,333
50 10
2 53,1 e 233,1
xyp
x y
p
26,6 e 116,6p
Resistên
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os M
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6 - 14
Exemplo 6.1 – Solução 2
2
2 22max 30 40
2x y
xy
MPa50max
45c p
18.4 , 71.6c
50 MPa 40 MPa
10 MPa
x xy
x
50 10
2 2x y
med
MPa20
(c) Calcule os planos onde ocorrem a tensão de cisalhamento máxima e o valor desta tensão
• A correspondente tensão normal nestes planos é:
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6 - 15
Exemplo 6.2
Uma força horizontal P de 670N é aplicada na extremidade D da alavanca ABD. Determine: (a) As tensões normal e de cisalhamento em um elemento localizado no ponto H de lados paralelos aos eixos x e y; (b) Os planos principais e as tensões principais no ponto H.
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6 - 16
SOLUÇÃO:
a) As tensões normal e de cisalhamento em um elemento localizado no ponto H de lados paralelos aos eixos x e y.
1. Determinar a força em notação vetorial;2. Encontrar o sistema equivalente na origem
C;3. Determinar os esforços internos na seção
transversal;4. Encontrar as propriedades geométricas
da seção transversal;5. Encontrar as tensões normal e de
cisalhamento no ponto;6. Desenhar o elemento plano do estado de
tensões no ponto.
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6 - 17
SOLUÇÃO:
• Esforços internos na seção transversal;
• Elemento plano do estado de tensões no ponto.
ˆ670 N
ˆ ˆ167,5 301,5 N.m
R
C
F k
M i j
Vz
x zy
x z
x S z Sxy
C z x
M MPz x
A I I
V M V MT
J I t I t
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6 - 18
SOLUÇÃO:
b) Os planos principais e as tensões principais no ponto H.
2tan 2 xy
p px y
2
2max,min
ou
2 2x y x y
xy
cos2 sen 22 2
cos2 sen 22 2
x y x yx xy
x y x yy xy
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6 - 19
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
• As equações anteriores podem ser combinadas encontrando-se a equação de um círculo, chamado de círculo de Mohr para as tensões.
2 2 2
2
2
sendo 2
e2
x med x y
x ymed
x yxy
R
R
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6 - 20
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
Passos para a construção do círculo de Mohr:1. Retire um ponto do elemento que se deseja estudar, no qual as tensões
normais e de cisalhamento são conhecidas, indicando o sentido correto dessas tensões;
2. Num sistema de eixos coordenados marque os pontos X(σx;-τxy) e Y(σy;τxy)
e interligue-os com uma reta, encontrando o centro C (σmed;0). Com centro em C e raio CX, trace o círculo, encontrando os pontos A, B, D e E.
3. Os pontos A de coordenadas (σmax;0) e B (σmin;0) representam as tensões principais. O ângulo CAX é o ângulo 2θp.
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6 - 21
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
• Após o círculo ser desenhado, os demais valores são encontrados geometricamente ou calculados.
2
2
2 2x y x y
med xyOC CX R
• As tensões principais são obtidas em A e B.
max
min
max
med
med
OA OC CX R
OB OC CX R
CD R
A direção de rotação de Ox para Oa é a mesma que de CX para CA.
• Os planos principais são dados por2
tan 2 xyp
x y
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6 - 22
Exemplo 6.3
Para o estado plano de tensões mostrado,
(a) Construa o círculo de Mohr;
(b) Determine as tensões principais;
(c) Determine a tensão de cisalhamento máxima e a correspondente tensão normal.
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6 - 23
SOLUÇÃO:
; 50; 40
; 10; 40
x XY
y XY
X X
Y Y
Resistên
ciad
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6 - 24
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
Com o círculo de Mohr definido, o estadode tensão para qualquer outra orientação
pode ser encontrado.
• Para um estado de tensão a um ângulo θ em relação aos eixos xy, construa um novo diâmetro X’Y’ com um ângulo 2θ relativo ao diâmetro XY.
• As tensões normal e a tensão de cisalhamento para esta nova orientação, são conseguidas pelas coordenadas de X’Y’.
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6 - 25
Exemplo 6.4
Para o estado de tensão mostrado, determine
(a) As tensões e os planos principais;
(b) As componentes de tensão para um elemento girado de 30º no sentido anti-horário.
Resistên
ciad
os M
ateriais
6 - 26
2 2
2 2
100 6080 MPa
2 2
20 48 52MPa
x ymed
R CF FX
SOLUÇÃO:
(a) Planos principais e tensões principais:
; 100; 48
; 60; 48
x XY
y XY
X X
Y Y
Resistên
ciad
os M
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6 - 27
2 2
2 2
100 6080 MPa
2 2
20 48 52MPa
x ymed
R CF FX
SOLUÇÃO:
(b) Tensões no elemento a 30o no sentido anti-horário:
; 100; 48
; 60; 48
x XY
y XY
X X
Y Y
Resistên
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6 - 28
6.5 – Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensões
• Círculo de Mohr para carga axial centrada:
0, xyyx A
P A
Pxyyx 2
• Círculo de Mohr para torção pura:
J
Tcxyyx 0 0 xyyx J
Tc
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6 - 29
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
1
2
tensão tangencial
tensão longitudinal
• Seja um vaso cilíndrico de parede fina que possui comprimento l e diâmetro d, com uma espessura de parede (t) muito pequena em relação a este diâmetro.
• Suponha que neste tubo exista uma pressão interna p. Esta pressão irá atuar no interior do tubo de maneira a fazer com que exista um crescimento em seu diâmetro e um crescimento em seu comprimento.
• Para que estas variações ocorram, é necessário que apareçam tensões na parede do vaso que são as tensões principais do elemento
Resistên
ciad
os M
ateriais
6 - 30
Determinação da tensão tangencial
• A figura ao lado mostra uma porção do cilindro de comprimento x
1
1
0 2 2zF t x p r x
pr
t
• A figura ao lado mostra uma porção do cilindro à esquerda de uma seção transversal perpendicular ao eixo x
22
2 1 2
0 2
22
xF rt p r
pr
t
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
Determinação da tensão longitudinal
Resistên
ciad
os M
ateriais
6 - 31
Circulo de Mohr
• Tensão de cisalhamento máxima (pontos D e E) no plano do elemento é igual ao raio do círculo:
(no plano) 2
1 =
2 4
pr
t
É obtida quando se gira o elemento inicial de 45o
dentro do plano tangente à superfície.
• Os pontos A e B correspondem a tensão tangencial, σ1, e a tensão longitudinal, σ2, respectivamente.
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
Resistên
ciad
os M
ateriais
6 - 32
• Ela é igual ao raio do circulo de diâmetro OA e corresponde a uma rotação de 45o
com o plano das tensões, sendo seu valor:
max 2 = 2
pr
t
• No entanto, a tensão de cisalhamento máxima na parede do vaso é maior.
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
Circulo de Mohr
Resistên
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os M
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6 - 33
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
• Seja um vaso de pressão esférico de raio interno r e com parede de espessura t, que contém um fluido à pressão p.
• Pela simetria, as tensões que se exercem nas quatro faces de um pequeno elemento da parede devem ser iguais.
1 2 2
pr
t
Resistên
ciad
os M
ateriais
6 - 34
6.6 – Tensão em vasos de Pressão de Paredes Finas
• O circulo de Mohr para o plano das tensões se reduz a um ponto.
1 2
(no plano)
constante
= 0
• Tensão de cisalhamento máxima na parede do vaso (fora do plano das tensões):
max 1
1 =
2 4
pr
t
Ela é igual ao raio do circulo de diâmetro OA e corresponde a uma rotação de 45o com o plano das tensões