cap09-01 planetarios

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C C A A P P I I T T U U L LOO 99 T T R R E E N N E E S S D D E E E E N N G G R R A A N N A A J J E E S S , , R R E E D DU U C C T T OO R R E E S S

P P L L A A N N E E T T A A R R I I OO S S Y Y D D I I F F E E R R E E N N C C I I A A L L E E S S

Divisin 1

Engranajes. Descripcin General Tcnicas constructivas. Cinemtica

UTN-FRBB Ctedra: Elementos de Mquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan


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1. EngranajesGeneralidades y Nociones HistricasLos engranajes y las transmisiones de engranajes estn presentes en muchas de las mquinas

que se pueden hallar tanto en el mundo industrial como en el domstico. Los engranajes promueven el movimiento de las ruedas y hlices de los medios de transporte, ya sea por

tierra, mar o aire.

Sin embargo, la tecnologa asociada a los engranajes no es, en absoluto, una cuestin

novedosa. Antes bien, para buscar su origen debemos de remontarnos, por lo menos hasta a la

Grecia de la antigedad. As, hasta hace no mucho, se deca que la primera referencia a los

engranajes corresponda a Aristteles, o a los discpulos de su escuela, y apareca en el libro

"Problemas Mecnicos de Aristteles" (280 a.C.). Tal apreciacin, sin embargo, es incorrecta

ya que lo que contiene dicho libro es una referencia a un mecanismo constituido por ruedas de

friccin. Para una referencia ms acertada deberamos trasladarnos hacia el ao 250 a.C.,

cuando Arqumedes desarroll un mecanismo de tornillo sin fin - engranaje, en sus diseos de

mquinas de guerra.

Por otro lado, el mecanismo de engranajes ms antiguo que se conserva es el mecanismo de

Antikythera (Figura 9.1) -descubierto en 1900 en la isla griega de ese nombre en un barco

hundido-. El mecanismo, datado alrededor del ao 87 D.C., result adems ser

extremadamente complejo (inclua trenes de engranajes epicicloidales) y podra tratarse de

una especie de calendario solar y lunar. Con anterioridad a este descubrimiento, se haba

venido considerando como la primera aplicacin conocida de engranajes diferenciales

epicicloidales al llamado "carro que apunta hacia el Sur" (120-250 D.C.): un ingenioso

mecanismo de origen chino (Figura 9.2) que mantena el brazo de una figura humana

apuntando siempre hacia el Sur (considerando, eso s, que en las ruedas del carro no exista

deslizamiento). Por otro lado en el Figura 9.3 se muestra un par de engranajes helicoidales

tallados en madera y hallados en una tumba real en la ciudad china de Shensi, los cuales

fueron datados en la poca contempornea a Jesucristo, especficamente 50 DC. Tales

engranajes tienen 24 dientes con un dimetro de 15 mm y un ancho de 10 mm (ver la

Referencia [6])Posteriormente, la tecnologa de los engranajes apenas sufri avances hasta llegar a los siglos

XI-XIII con el florecimiento de la cultura del Islam y sus trabajos en astronoma. Poco tiempo

despus esta tecnologa se utiliz en Europa para el desarrollo de sofisticados relojes, en

muchos casos destinados a catedrales, abadas y especialmente a monasterios de

congregaciones religiosas; nicos lugares donde se generaba conocimiento antes de la

creacin de las universidades europeas.

Un siglo ms tarde, entre el siglo XV y XVII se desarrollan las primeras teoras de engrane y

las matemticas de los perfiles de los dientes de los engranajes, especialmente los perfilescicloides debidos a Desargues y los perfiles de evolvente debidos La Hire. Luego con la



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revolucin industrial la ciencia y tecnologa de los engranajes alcanza su mximo esplendor.

A partir de este momento, la aparicin de nuevos inventos conlleva el desarrollo de nuevas

aplicaciones para los engranajes, y con la llegada del automvil -por ejemplo- la preocupacin

por una mayor precisin y suavidad en su funcionamiento se hace prioritaria.

Figura 9.1. Mecanismo de Antikytheras (Tomado de Referencia [6])

Figura 9.2. Mecanismo que apunta al sur (modelo del museo Smithsoniano)



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Figura 9.3. Engranaje helicoidal tallado en madera, hallado en una tumba de Shensi, China (Referencia [6])

Actualmente, los mtodos de desarrollo de mecanismos constituidos por engranajes han

avanzado considerablemente, por ejemplo, las aplicaciones aeronuticas en las que se utilizan

engranajes de materiales ligeros, sometidos a condiciones de gran velocidad y que a su vez

deben soportar cargas importantes. Por otro lado el avance conjunto de la interrelacin de

tcnicas experimentales y computacionales complejas (Mtodos de Elementos Finitos, por

citar un caso), hace posible la evaluacin detallada de casi todo tipo de fenmeno asociado a

los engranajes.

FuncionamientoLos engranajes tienen la funcin de transmitir una rotacin entre dos ejes con una relacin de

velocidades angulares constante. As, se habla de "Par de Engranajes, Ruedas Dentadas o

Engrane" para referirse al acoplamiento que se utiliza para transmitir potencia mecnica entre

dos ejes mediante contacto directo entre dos cuerpos slidos unidos rgidamente a cada uno de

los ejes.

Se denomina "Relacin de Transmisin" al cociente entre la velocidad angular de salida 2

(velocidad de la rueda conducida) y la de entrada 1 (velocidad de la rueda conductora):i= 2 / 1. Dicha relacin puede tener signo positivo -si los ejes giran en el mismo sentido- o

signo negativo -si los giros son de sentido contrario-. Del mismo modo, si la relacin de

transmisin es mayor que 1 ( i>1 ) se supondr el empleo de un mecanismo multiplicador, y si

es menor que 1 (i


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Los engranajes, por otro lado, poseen varias ventajas competitivas que los hacen ptimos para

tal tipo de tarea (transmitir movimiento rotatorio entre dos ejes con una relacin de

transmisin constante), tales como su relativa sencillez de fabricacin, su capacidad para

transmitir grandes potencias, la gran variedad de opciones constructivas, etc.

ClasificacinLos engranajes pueden clasificarse de diferentes maneras, a saber:

1) Segn la distribucin espacial de los ejes de rotacin

2) Segn la forma de dentado

3) Segn la curva generatriz de diente

Una forma comn de clasificar a los engranajes es a partir de la 1), es decir segn ladistribucin espacial de los ejes de rotacin, tambin denominados axoides. En la Figura 9.4

se puede apreciar un esquema muy general de distribucin de axoides de rotacin y sus

respectivas direcciones. Dadas las direcciones X1 y X2 se puede trazar el vector opuesto a 1,

o sea 1 de manera que el sistema quede trabado con un movimiento resultante 2- 1, cuyo

eje instantneo de rotacin y deslizamiento dar el tipo de movimiento entre los dos ejes.

Figura 9.4. Distribucin de los ejes de rotacin y sus direcciones

As pues, segn que los ejes sean paralelos o se corten o se crucen correspondern a las

siguientes subclases de engranajes Cilndricos, Cnicos o Hiperblicos, respectivamente.

Engranajes Cilndricos:

- De Dientes Rectos Exteriores (Ver Figura 9.5.a)

- De Dientes Rectos Interiores (Ver Figura 9.5.b)

- De Dientes Helicoidales Exteriores (Ver Figura 9.5.c)

- De Dientes Helicoidales Interiores (Ver Figura 9.5.d)

- De Dientes Rectos con cremallera (Ver Figura 9.5.e)

Engranajes Cnicos

- De dientes Rectos (Ver Figura 9.5.f)

- De dientes Helicoidales (Ver Figura 9.5.g)

Engranajes Hiperblicos- Sin Fin-Corona (Ver Figura 9.5.h)



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- Hipoidales (Ver Figura 9.5.i)

- De dientes helicoidales y ejes cruzados (Ver Figura 9.5.j)

Engranajes No circulares

- Ruedas dentadas para fines especficos similares a los de las levas o los de ciertos

mecanismos (Ver Figura 9.5.k)

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

(g) (h) (i)

(j) (k)Figura 9.5. Ejemplos de engranajes.

En la Figura 9.6 se muestra una caja de velocidades, con aplicaciones de diversos tipos de

pares de ruedas dentadas como las expuestas en la Figura 9.5. Esta caja de velocidades,



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muestra a su vez lo econmicamente funcional y atractivo de utilizar varias etapas diferentes

para incrementar la velocidad, en vez de utilizar un solo par de engranajes para cumplir el

mismo cometido. Las caractersticas ms fciles de ver son:

a) Aspecto compacto y slido del cuerpo: dado que los ejes son ms bien cortos y

simplemente apoyados y los engranajes se ubican muy cercanos a los cojinetes paraevitar deflexiones excesivas.

b) Robusteza en aumento desde la entrada de par motor a la salida del par motor

Figura 9.6. Ejemplos de aplicaciones de engranajes: caja de Velocidades: Reductora.

Con el objeto de mostrar las caractersticas operativas ms importantes de los engranajes,

desde los principios de funcionamiento hasta consideraciones de seguridad y control se

emplearn preferentemente configuraciones de engranajes de dientes rectas por poseer mayor

simplicidad constructiva. El conocimiento de este tipo de engranaje es fundamental para

comprender el funcionamiento de los pares de engranajes con mayor complejidad geomtrica,

lo cual incluye a los engranajes cilndricos de dientes helicoidales, que son ms preferidos que

los de dientes rectos por ser operativamente ms efectivos, compactos y permiten mayores

velocidades. Aun as, los lineamientos generales del funcionamiento de los engranajes de

rientes rectos son plenamente tiles en diferentes escalas de potencia y tamao, como lo

atestiguan los dos ejemplos de la Figura 9.7. En la Figura 9.7.a se puede observar un

dispositivo micromecnico donde la rueda dentada genera los movimientos para los

actuadores longitudinales. En la Figura 9.7.b se muestra una aplicacin de engranajes

planetarios para la transmisin de grandes potencias en un puente rotativo. En definitiva, sea

en escala micro o macro, la mecnica de los engranajes se rige por las mismas expresionesanalticas.



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(a) (b)Figura 9.7. Escalas de aplicacin de engranajes. (a) micromecnica (b) macromecnica (Referencia [7])

La Ley de Engrane, accin conjugada y obtencin de perfiles conjugadosLos dientes de los engranajes para transmitir el movimiento de rotacin, actan conectados de

modo semejante a las levas, siguiendo un patrn o pista de rodadura definido. Cuando los perfiles de los dientes (o levas) se disean para mantener una relacin de velocidades

angulares constante, se dice que poseen "Accin Conjugada". En consecuencia los perfilesde dientes de engranajes que ostenten accin conjugada, se denominarn perfilesconjugados .En trminos generales, cuando una superficie hipottica empuja a otra (Figura 9.8), el punto

de contacto "c" es aqul donde las superficies son tangentes entre s. En estas circunstancias

las fuerzas de accin-reaccin estn dirigidas en todo momento a lo largo de la normal comn

"ab" a ambas superficies. Tal recta se denomina "Lnea de Accin"y cortar a la lnea decentros " O1O2" en un punto P llamado "Punto Primitivo". En los mecanismos de contactodirecto, en los cuales se produce contacto entre superficies que deslizan y/o ruedan, la

relacin de velocidades angulares es inversamente proporcional a la relacin de segmentos

que determina el "punto primitivo"sobre la lnea de centros (la demostracin se apoya en elteorema de Aronhold-Kennedy), o sea:

P O

P Or r

i2

1

2

1

1

2 ===

(9.1)



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O1 P y O2 P se denominan "Radios Primitivos" y a las circunferencias trazadas desde O1 y O2

con esos radios "Circunferencias Primitivas". En consecuencia, para que la relacin de

transmisin se mantenga constante, el punto P deber permanecer fijo: la lnea de accin, para

cada punto de contacto, deber pasar siempre por P .

Figura 9.8. Esquema para la ley de engrane

La ley de engrane basada en el anlisis de la expresin (9.1) se puede enunciar como sigue:

"La relacin de transmisin entre dos perfiles se mantendr constante, siempre y cuando lanormal a los perfiles en el punto de contacto pase en todo instante por un punto fijo de lalnea de centros."Como se ha mencionado anteriormente los perfiles que verifican la ley de engrane constante,

son denominados perfiles conjugados. Si se tiene un perfil cualquiera 1 que gira alrededor de

O1, siempre se puede calcular un perfil 2 que girando alrededor de O2 y en contacto con 1

d lugar a una relacin de transmisin constante i = cte . es decir, tal que 2 sea el perfil

conjugado de 1 segn se puede apreciar en la Figura 9.9.

Si se conocen los puntos O1 y O2 junto con la relacin de transmisin i, se puede hallar el punto primitivo P , el cual se ubica sobre la lnea de centros (y por tanto tangente a las

circunferencias primitivas de radios r 1 y r 2). resolviendo el siguiente sistema de dos

ecuaciones con dos incgnitas:

P O

P Or r

i

D P O P Or r

2

1

2

1

1

2

2121

===

=+=+

(9.2)

El lugar geomtrico de los puntos que coinciden en cada instante con el punto de contacto

entre ambos perfiles o superficies se le denomina "Lnea de Engrane". El ngulo queforma la normal a los perfiles en el punto de contacto con la perpendicular a la lnea de



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centros se denomina "ngulo de Presin".El ngulo determina, por tanto, la direccin enla que tiene lugar la transmisin de potencia entre ambos perfiles. Si este ngulo vara, la

direccin de transmisin de potencia vara y esto es algo que, desde el punto de vista

dinmico, puede resultar muy perjudicial. Lo ideal sera poder obtener una "lnea de engrane"

que fuese una lnea recta (con lo que el ngulo de presin se mantendra constante).

1

r 1

2

r 2

Figura 9.9. Cinemtica de los perfiles conjugados

Las superficies o perfiles conjugados gozan de las siguientes propiedades

a) Si 2 es el perfil conjugado de 1, se verifica la inversa, es decir que 1 es el perfil

conjugado de 2.

b) Si 2 es el perfil conjugado de 1 y 3 es el perfil conjugado de 2, entonces 3 y 1son el mismo perfil.

c) Si se fija un perfil conjugado 1 a una circunferencia ruleta de radio r 1 y se hace rodar

sobre una circunferencia base de radio r 2 se obtendr una serie de posiciones sucesivas

del perfil 1 segn se aprecia en la Figura 9.10, de manera que la curva envolvente del

perfil 1 en todas esas posiciones dar el perfil conjugado.

d) La recta normal a dos perfiles conjugados pasa siempre por el punto primitivo P .



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Figura 9.10. Envolvente de un perfil conjugado.

La esencia en la mecnica y cinemtica de los perfiles conjugados, no es estrictamente

privativa de los perfiles de dientes de engranajes, dado que aquella se presenta en muchasotras aplicaciones no necesariamente emparentadas con los engranajes. Entre otras

aplicaciones importantes de las superficies conjugadas se encuentran, los impulsores de

bombas de lbulo (ver Figura 9.11.a), o la bomba de espiral (ver Figura 9.11.b).

(a) (b)Figura 9.11. Otras superficies conjugadas. (a) bomba de lbulos (b) Bomba de espiral

El perfil de envolventeUna de las cosas que interesa en los engranajes es encontrar perfiles conjugados que, por una

parte, satisfagan la ley general de engrane y, por otra, sean fciles de construir. Un perfil que

cumple estas condiciones es el de evolvente tal como se muestra en la Figura 9.12. Este tipo

de perfil es el que se emplea en la mayor parte de los engranes.

El perfil de envolvente o una curva de envolvente se puede definir de la siguiente manera.

- La Evolvente es una curva tal que el lugar geomtrico de los centros de curvatura

de todos sus puntos forma una circunferencia.



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(a) (b)Figura 9.12. (a) Perfil de envolvente (b) Generacin para un diente de engranaje

La obtencin del perfil envolvente sigue un patrn bastante claro si se observa la Figura

9.12.b. As pues la curva de envolvente se obtiene a partir del punto A0, desarrollando sobre

las tangentes sucesivas A1 B1, A2 B2, A3 B3, A4 B4, etc., las longitudes de arco de A1 A0, A2 A0,

A3 A0, A4 A0, etc. con lo cual se obtienen los segmentos A1C 1, A2C 2, A3C 3, A4C 4, etc. uniendo

los puetos C i se obtiene la curva envolvente deseada.

Entre las propiedades de los perfiles de evolvente se pueden destacar:

- La lnea de engrane es una recta: Llambamos lnea de engrane al lugar geomtrico

de los puntos de contacto entre perfiles conjugados. En el caso de los perfiles de

evolvente la lnea de engrane es AB: la tangente comn a las circunferencias base de

ambos perfiles (segn se muestra en la Figura 9.13). La normal a los perfiles de

evolvente, que coincide con la lnea de engrane, da la direccin de transmisin de los

esfuerzos El ngulo que forma la lnea de engrane con la horizontal, se denomina

ngulo de presin. El ngulo de presin en este caso es constante, lo que resulta beneficioso desde el punto de vista dinmico.

- Las superficies pueden engranar en cualquier distancia entre centros : As pues, si

se modifica la distancia entre centros, los perfiles siguen engranando, aunque con

distinto ngulo de presin ' y distintos radios primitivos ( r 1i y r 2i). Esto se debe a quela relacin de velocidades depende slo de los radios de la circunferencia base ( 1 y

2), y no de la distancia entre centros. Conclusin que puede deducirse de forma

directa observando la Figura 9.13. Esto se puede ver analticamente como:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

cteir r

r r

P O

P O

Cosr Cos P O BOCos P O BO

Cosr Cos P O AOCos P O AO

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

222222

111111 ======

==========

(9.3)

- Los perfiles de evolvente son fciles de generar: Recurriendo a la frmula de Euler-

Savary se puede comprobar que todos los perfiles de evolvente son conjugados entre



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s, porque todos son conjugados a una ruleta constituida por un plano mvil con un

perfil solidario que es una lnea recta. Este plano se apoya, a su vez, sobre una base

que no es otra que la circunferencia primitiva del engranaje. De esta forma, si se hace

evolucionar un plano mvil, en el que se encuentra una curva C m de centro de

curvatura Om. Su conjugada en el plano fijo es C f , de centro de curvatura O f . El puntode contacto entre ambas es A. Esta construccin se puede apreciar en al Figura 9.13.b.

Por otro lado, conociendo las curvas base y ruleta del movimiento relativo entre

ambos planos, se puede plantear la ecuacin de Euler-Savary de la siguiente manera:

[ ] cte2

Sen P O

1

P O

1cteSen

OmP

1

OfP

1

21

=

+=

+ (9.4)

En consecuencia se puede escribir

[ ] P O1

P O

1SenOmP

1

OfP

1

21+=

+ (9.5)

(a) (b)Figura 9.13. (a) Propiedad de separacin de los perfiles conjugados. (b) Generacin de envolvente

Ahora bien, la construccin genrica de la Figura 9.13.b con la expresin (9.5) se pueden

disponer en el caso de la envolvente. As pues, segn la Figura 9.14, la normal por el punto P

al perfil recto siempre es tangente a la circunferencia base. Luego, la envolvente de las

distintas posiciones del perfil de la recta da el perfil de evolvente. Para comprobarlo basta con

demostrar que el punto C de la Figura 9.14 es el centro de curvatura del perfil y que se

encuentra sobre una circunferencia de radio . As, teniendo en cuenta (9.5) se puede escribir:

[ ] R11

R1

SenOmP

1

OfP

1 =

+=

+ , pero Om luego [ ] Sen ROfP = (9.6)

Esto significa que el punto Of de la Figura 9.13.b, est siempre sobre una circunferencia decentro O y radio = R. Sen[ ] .



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Figura 9.14. Generacin del perfil de envolvente y su relacin con las circunferencias base y primitiva.

En trminos generales cuando se debe decidir por seleccionar el tipo de perfil del diente, se

puede hacer arbitrariamente. En tal caso, el perfil del diente de la otra rueda se calcular

mediante el mtodo general de determinacin del perfil conjugado de uno dado. Las ventajas

asociadas al perfil de evolvente que acaban de verse dan lugar a que ste sea el perfil

mayormente extendido; no obstante, pueden encontrarse tambin otros tipos de perfiles,

aunque en menor medida y en la mayor parte de los casos orientados a aplicaciones

especficas.- Engranajes Cicloidales : La cabeza del diente est trazada por una epicicloide y el pie

por una hipocicloide. Tuvieron una gran difusin hace aproximadamente un siglo, en

virtud de la facilidad para reproducirlos por fundicin. No obstante, en la actualidad

slo se emplean en raras ocasiones para mecanismos especiales. En estos engranajes el

perfil convexo contacta con el cncavo. Lo cual hace que la presin especfica en este

tipo de contacto sea menor que cuando estn en contacto dos perfiles convexos. Sin

embargo, esto mismo los hace ser muy sensibles a las variaciones en la distancia entre

ejes, requiriendo de una gran precisin. Al mismo tiempo, la velocidad de

deslizamiento que tiene lugar entre dos dientes de este tipo es constante en cada una de

las zonas del diente; y en ambos casos es significativamente menor que en el caso de

los engranajes de evolvente. Esto da lugar a un menor nivel de desgaste del diente. Ver

las Figuras 9.15 para entender el concepto de epicicloide e hipocicloide, mientras que

en la Figura 9.16 se puede ver su ensamble. Una limitacin significativa delos perfiles

cicloidales reside en que la lnea de engrane no resulta ser una lnea recta, luego el

ngulo de presin vara y en consecuencia varan tanto las magnitudes de las fuerzas

de reaccin en los cojinetes como las orientaciones de estas reacciones, lo que

conduce al aflojamiento de los cojinetes.



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- Perfiles para engranajes de relojes : Utilizado en mecanismos de relojera y en

ciertos aparatos. Son similares a los perfiles cicloidales, pero en ellos la cabeza del

diente es una circunferencia y no una epicicloide, mientras que el pie tiene una

configuracin rectilnea. Sufren poco desgaste y, sobre todo, tienen un funcionamiento

muy suave.

(a) (b)Figura 9.15. (a) Epicicloide. (b) Hipocicloide

Figura 9.16. Combinacin de perfiles cicloidales.

2. Engranajes cilndricos de dientes rectosLos engranajes cilndricos de dientes rectos tienen su antecedente en las denominadas ruedas

de friccin (Ver Figura 9.17) para poder transmitir movimiento entre dos ejes paralelos.



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Figura 9.17. Ruedas de Friccin y su relacin con los engranajes.

Estas ruedas de friccin aun cuando permitan transmitir cierto par torsor o torque, no siempre

es constante debido al deslizamiento que se genera. Aprovechando las caractersticas de los

perfiles conjugados se puede hacer lo mismo dando lugar a los engranajes.

NomenclaturaEn la Figura 9.18 se muestra el desarrollo de una parte de la corona de un engranaje cilndrico

de dientes rectos. En la misma se pueden apreciar las entidades geomtricas ms importantes

que definen a los engranajes. En cuanto sigue, los subndices 1 y 2 indican los respectivos

engranajes

Figura 9.18. Caractersticas de los engranajes.

- Circunferencia Primitiva ( R): Llamada tambin circunferencia de paso ycorresponde a la homnima circunferencia de contacto de las ruedas de friccin.

- Circunferencia Exterior ( Re): Es denominada tambin circunferencia de addendumo circunferencia de cabeza.

- Circunferencia inferior ( Ri ): Es denominada tambin circunferencia de raz o de pieo de deddendum.



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- Ancho de cara: Es la longitud del diente medida axialmente. Tambin se la denomina

ancho de faja.

- Addendum ( a): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio de cabeza. R Ra e = (9.7)

- Deddendum ( l ): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio inferior.

i R Rl = (9.8)- Paso Circular ( p): es la distancia entre dos puntos homlogos de dos dientes

consecutivos, medidos sobre la circunferencia primitiva o de paso

Z R2

p c= (9.9)

- Paso angular ( pa): es el ngulo entre dos puntos homlogos de dos dientesconsecutivos.

Z 2

p a = (9.10)

- Ancho de espacio ( h ): es el espacio entre dos dientes consecutivos, medido en lacircunferencia de paso.

e ph = (9.11)- Juego ( j ): es la diferencia entre el huelgo de un diente y el espesor del engrana junto

con aquel.

21eh j = (9.12)

- Holgura ( c): es la diferencia entre el deddendum de un diente y el addendum del queengrana con aquel.

12 al c = (9.13)- Altura de diente ( hT ): es la distancia radial entre las circunferencias exterior e

inferior.

l ahT += (9.14)- Espesor de diente ( e): es el espesor medido sobre la circunferencia de paso.

- Nmero de dientes ( Z ): es la cantidad de dientes que tiene el engranaje- Mdulo ( m ): es el cociente entre el dimetro primitivo del engranaje y el nmero de

dientes.

Z R2

m= (9.15)

- Paso diametral ( pd ): es el cociente entre el dimetro primitivo del engranaje y elnmero de dientes.

m

1

p

pc

d ==

(9.16)



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El valor numrico de mdulo determina el tamao del diente, ya que el paso es el mismo sin

importar si los dientes se colocan en una rueda pequea o en una rueda grande. Ntese que a

mayor " m", mayor ser el diente y a mayor pd menor tamao de diente. Por otro lado, y con

respecto a otro tipo de pasos ( pc , p a) el mdulo tiene la ventaja de no depender del nmero .

En la Figura 9.19 se puede ver una galga de identificacin de pasos diametrales normalizados.

Figura 9.19. galga de pasos diametrales.

En general, para que dos ruedas dentadas con perfil de evolvente sean intercambiables entre

s, se deben cumplir las siguientes condiciones.

- Tener el mismo mdulo (o mismo paso circular o diametral segn (9.16)).

- Igual ngulo de presin de generacin.- Presentar addendum y dedendum normalizados.

- Anchura del hueco igual al espesor del diente, ambos sobre la circunferencia

primitiva.

Existen diferentes criterios y formas de normalizacin de los perfiles de dientes, segn las

normas tcnicas de cada pas:

- DIN de Alemania

- AFNOR de Francia

- UNE de Espaa

- AGMA de Estados Unidos de Norteamrica

Sin embargo la ms conocida y empleada es la ltima. En la Tabla 9.1 se muestran algunos

casos estndar para cuatro clases de dientes.

CLASE pd [pul-1]

Grueso , 1, 2, 4, 6, 8, 10

Semi Grueso 12, 14, 16, 18

Fino 20, 24, 32, 48, 64, 72, 80, 96, 120, 128

Extrafino 150, 180, 200Tabla 9.1. Paso diametral estndar (AGMA) para cuatro clases de dientes



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Distancia central entre engranajesObservando la Figura 9.17 y teniendo en cuenta las definiciones (9.7) a (9.16) se puede

obtener la siguiente expresin de la distancia entre ejes:

( ) ( )21d 21c

21d Z Z p21

Z Z 2 p

R Rc +=+=+= . (9.17)Es claro que conocidos los radios de las circunferencias primitivas de los engranajes, se puede

obtener fcilmente la distancia central.

Construccin de engranajes rectosLos procedimientos ms comunes para el tallado de ruedas dentadas se dividen en dos

grandes grupos:

- Procedimientos de reproduccin.

- Procedimientos de generacin o rodadura.

Procedimientos de ReproduccinEn los procedimientos de mecanizado o tallado de ruedas dentadas por reproduccin, el borde

cortante de la herramienta es una copia exacta de la rueda a tallar o de cierta parte de ella (por

ejemplo, del hueco entre dientes contiguos). Estos mtodos exigen de un nmero elevado de

herramientas, ya que incluso para fabricar ruedas dentadas con el mismo mdulo es necesario

contar con una herramienta para cada nmero de dientes puesto que el hueco interdental vara.

Se pueden distinguir los siguientes procedimientos:- Fundicin: Se puede considerar como herramienta el molde que se llena con el

material colado. Este molde es una copia exacta de la futura rueda, si no se considera

el sobreespesor que va asociado a la fundicin.

- Procesos de metalurgia de polvos o pulvimetalurgia.

- Estampado : La matriz que sirve como herramienta cortante tiene la forma de la futura

rueda. Es un procedimiento empleado generalmente con ruedas delgadas.

- Por corte con herramientas: La herramienta tiene la forma exacta del hueco

interdental. Cabe distinguir dos procedimientos segn la mquina herramienta

utilizadao Cepillado : La herramienta en la seccin perpendicular a la direccin de su

movimiento tiene perfiles cortantes que se corresponden perfectamente con el

contorno del hueco interdental del engranaje a tallar.o Fresado: se utiliza una herramienta denominada fresa estandarizada o fresa de

mdulo" cuyos dientes tienen perfiles idnticos a la forma del hueco

interdental que se pretende. Al final de cada operacin de fresado la fresa

vuelve a su posicin inicial y la pieza bruta gira un ngulo igual a 1/Z de vuelta

para poder fresar el siguiente hueco. Ver Figura 9.20



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Figura 9.20. Caractersticas del fresado.

Procedimientos de Generacin Entre los procedimientos de generacin de ruedas dentadas se pueden hallar:

- Generacin por cremallera : para esto se aprovecha una propiedad del perfil deevolvente, segn la cual todos los perfiles de evolvente son conjugados a una ruleta

constituida por un plano mvil, que apoya sobre una base que es la circunferencia

primitiva del engranaje, con un perfil solidario que es una lnea recta. As se pueden

generar los engranes por medio de una cremallera, haciendo que la lnea primitiva de

sta ruede sobre la circunferencia primitiva del engranaje. La cremallera consiste en

varios planos rectos unidos rgidamente, de modo que pueden generarse

simultneamente las dos caras del diente. Partiendo de un cilindro de acero, la

cremallera se emplea como herramienta de corte en el sentido perpendicular al plano

del dibujo de la Figura 9.21. Una vez efectuado el corte, se levanta la cremallera, se

gira la pieza que se est tallando un ngulo determinado y se repite el proceso.

Figura 9.21. Generacin por cremallera.

- Generacin por mortajadora : es un procedimiento anlogo al de la cremallera, pero la

mortajadora adems del giro comunica un movimiento complementario de vaivn

axial. Despus de cada operacin de corte la rueda-herramienta y la pieza bruta giran

unos ngulos que mantienen la misma relacin que las velocidades angulares. Ver Figura 9.22.



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Figura 9.22. Generacin por mortajadora.

Razn de contactoPara garantizar un funcionamiento continuo y suave, cuando un par de dientes termina dehacer contacto, debe haber un par sucesivo de dientes que entren en contacto inmediatamente

o que ya estn en contacto. Un objetivo en el diseo de ruedas dentadas es tener la mayor

superposicin como sea posible. En la Figura 9.23 se muestran los elementos necesarios para

poder definir la relacin de contacto, la cual es una medida de la superposicin que se puede

obtener en un dentado determinado. La razn de contacto es un cociente entre la longitud de

la lnea de accin al paso de la circunferencia de base.

Figura 9.23. Elementos geomtricos para definir la razn de contacto.

Par aun par de dientes, el contacto arranca en el punto a y concluye en el punto b (ver

Figura 9.23). Con r p y r g se identifican los radios los engranajes que intervienen. Con seidentifica el ngulo de presin. Observando la Figura 9.23 se puede llegar a obtener la

siguiente relacin entre longitudes:



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)( )2

cacb2

bp2

ba

2bp

2op

2

cbac2

bp2

ab

2bg

2og

L Lr Lr r

L Lr Lr r

**

**

++=+=

++=+= (9.18)

pero teniendo en cuenta que

[ ] p

ca

g

cb

r L

r LSen ** == (9.19)

se pueden despejar de (9.18) Lac y Lcb de forma que la longitud de la lnea de accin Lab viene

dada por:

[ ] Sencr r r r L d 2bg 2og 2bp2opab += (9.20)

Luego la razn de contacto viene dado por la siguiente expresin:

[ ] [ ][ ] [ ]

c

d 2bg

2og

2bp

2op

cc

abr

p

Tancr r r r

Cos p

1

Cos p

LC

+== (9.21)

Por observaciones experimentales, las normas AGMA sugieren el diseo de engranajes que

tengan como mnimo una relacin de contacto C r = 1.2 . Una razn de contacto entre 1 y 2

significa que en algn momento se encuentran dos pares de dientes en contacto. Mientras que

relaciones de contacto mayores que 2 o que 3 implica que habr en algn momento tres o

cuatro pares de dientes en contacto simultneo. La razn de contacto ofrece una idea del

nmero de dientes que engranan en cada instante y nunca podr ser menor que uno. Por

ejemplo, una relacin de contacto de 1.6 sugiere que el 60% del tiempo hay dos pares de

dientes en contacto simultneamente, mientras que el 40% restante slo hay uno.Asociado a la razn de contacto, se halla el concepto de ngulo de conduccino ngulo decontacto, el cual es el ngulo descripto desde el punto de primer contacto entre un par dedientes hasta que los dientes pierden el contacto.

InterferenciaSe llama interferencia al contacto entre partes de perfiles que no son conjugadas, y a la

interferencia de la propia materia. Pueden distinguirse dos tipos:

- Interferencia de Tallado o Penetracin.

- Interferencia de Funcionamiento.

La Interferencia de tallado o penetracin tiene lugar cuando la cremallera de generacin

corta material en puntos situados en el interior de la circunferencia base, es decir, ms all de

donde termina el perfil de evolvente. Ello destruye parcialmente el perfil de evolvente y

provoca un debilitamiento en la base del diente que afecta negativamente la resistencia del

mismo, como se puede ver en la Figura 9.24.a. El tallado de un engranaje con cremallera se

realiza haciendo rodar la "lnea primitiva de la cremallera" (que tiene circunferencia primitiva

de R = ) sobre la circunferencia primitiva de la rueda. As los dientes de la rueda se tallan



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como perfiles conjugados de los dientes de la cremallera (envolventes de sus sucesivas

posiciones). Sin embargo hay que tener en presente que el perfil de evolvente termina en el

punto C de la Figura 9.24.b (punto de la circunferencia base), y si la lnea exterior de la

cremallera pasa por debajo de C se produce interferencia de tallado. Para que no se produzca

interferencia, el addendum debe cumplir con la siguiente expresin:

[ ] [ ] 2c Sen RSen PC PM a == (9.22) pero teniendo presente que

= Z R2

m [ ] 2c Sen2mZ

a (9.23)

y si los dientes son normalizados segn AGMA, donde se cumple que a c=m , entonces

[ ] 2Sen2

Z (9.24)

La expresin (9.24) pone ciertos lmites al tallado de engranajes con el mtodo de cremallera,

ya que favorece la interferencia en ruedas con menos de 17 dientes (con el ngulo de presin

normalizado =20 ).

(a) (b)Figura 9.24. (a) efecto de la interferencia de penetracin. (b) Simulacin de la interferencia

Existen sin embargo, algunas tcnicas para salvar este inconveniente, entre las que estn

- Incrementar el ngulo de presin a 25

- Disminuir el tamao del addendum del diente- Tallar engranajes corregidos desplazando la cremallera

Estas tres alternativas exceden el alcance de estas notas y por ello se sugiere recurrir a la

literatura especializada (referencia [8]).

La Interferencia por Funcionamiento tiene lugar cuando un diente de una de las ruedas

entra en contacto con el de la otra en un punto que "no est tallado" como funcin evolvente,

tanto en el caso de que se pretenda engranar fuera de "segmento de engrane", como en el que

se pretenda engranar en un punto de este segmento que no est tallado como perfil de

evolvente.



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En la Figura 9.25 se puede apreciar el potencial efecto de la interferencia de funcionamiento,

para lo cual se prev una holgura circunferencial determinada, llamada tambin juego o

backlash. En la Tabla 9.2 se suministran algunos valores indicativos de juegos mnimos

recomendados para el buen funcionamiento de engranajes de paso basto. Un efecto

contraproducente que puede traer el backlash o golpeteo, es que puede no transferir toda lacarga de manera uniforme y genera condiciones de potencial rotura por fatiga.

Figura 9.25. Interferencia de funcionamiento y juego.

distancia central c d [pul] Paso diametral p d [pul -1 ]

2 4 8 1618 0.005 0.006 - -12 0.006 0.007 0.009 -8 0.007 0.008 0.010 0.014

5 - 0.010 0.012 0.0163 - 0.014 0.016 0.020Tabla 9.2. Juego recomendado (medido en [pul]) por AGMA 1012-F90.

Formas analticas de los perfiles de envolvente: AplicacionesSe puede obtener una forma analtica para hallar el perfil de envolvente, con el cual luego se

puede tiene una forma para medir el espesor del diente para diferentes radios, conociendo el

espesor del diente en la circunferencia de paso.

As pues, en la Figura 9.26.a se puede observar la generacin de un perfil de envolvente. De

acuerdo a lo expuesto en los apartados anteriores, queda claro que la longitud del arco AB es

igual a la longitud del segmento BC . En consecuencia se puede escribir:

( )[ ]

=+=

Tan R BC

R AB [ ] [ ] ==Tan (9.25)

La expresin recuadrada es denominada funcin envolvente. Se puede calcular el ngulo de

generacin en funcin de y, lo cual es muy fcil de obtener. Pero para construir la curva es

necesario emplear la inversa de (9.25) cuya solucin se halla con mtodos aproximados, luego

[ ] = (9.26)

Las funciones y son funciones inversas. Luego el radio r , medido desde O, se obtiene dela siguiente manera:



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[ ] ( )[ ] Cos R

Cos R

r == (9.27)

(a) (b)Figura 9.26. Funcin de envolvente y la ponderacin de espesor.

Ahora bien, Para hallar el espesor del diente en un punto T , conocido dicho espesor en otro

punto A , del anlisis de la Figura 9.26 se pueden establecer las siguientes relaciones:

e

T T A A

A A A

T T T

R2

R2e

+=+==

(9.28)

Luego, teniendo en cuenta (9.25) y (9.28) se puede despejar eT como:

( ) ( )[ ]+= T A A

AT T 2 R

e Re (9.29)

Normalmente, el espesor del diente conocido es el situado sobre la circunferencia primitiva

(A est sobre la circunferencia primitiva). Para engranes tallados a cero (sin correccin) se

verifica que e A = pc /2 = m /2 . La expresin (9.29) puede emplearse para evaluar

analticamente la correccin de dentado.

Los dientes de engranajes vistos en los apartados anteriores corresponden a engranajesnormales o tallados a cero, es decir, tallados de forma que la circunferencia primitiva de

tallado (la que rueda sobre la lnea primitiva del pin o de la cremallera) tiene igual espesor

de diente que de hueco. Adems del inters que se puede tener en obtener una relacin de

contacto razonable y en mejorar la resistencia mecnica de los dientes de las ruedas, estos

engranajes tienen dos importantes limitaciones:

- Un Nmero de dientes mnimo, por debajo del cual se produce interferencia de tallado,

segn la (9.24)

- La distancia entre centros viene impuesta por la normalizacin de los mdulos y losnmeros de dientes, pues:



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( )2121c Z Z 2m

R Rd +=+= (9.30)

La solucin a estos problemas se obtiene con los engranajes corregidos. La idea consiste en

tomar como lnea primitiva de la cremallera de tallado -en el caso de generacin por

cremallera- una lnea en la que la anchura del diente sea distinta de la anchura del hueco,

segn se puede apreciar en la Figura 9.27. Donde es el ngulo de presin. De esta manera la

cremallera es desplazada una cantidad mx , donde x es denominado factor de correccin

y m el mdulo del engranaje. As una correccin positiva, evitar la interferencia de tallado,

ntese por otro lado la Figura 9.28 con las diferentes situaciones de interferencia.

Figura 9.27. Tallado para un engranaje corregido.

Figura 9.28. Interferencias y tallado.

En la Figura 9.28, se muestra un engranaje de Z = 12, ngulo de presin 20, mdulo 2. La parte superior tiene una interferencia de x = 0.1 , mientras que la parte inferior tiene una

interferencia de x = 0.5 . Obsrvese, por otro lado, las diferencias en el espesor en la cabeza

del diente, para un caso y otro, siendo ambos maquinados con la misma herramienta.

En determinadas circunstancias es necesario plantear el problema de interferencia de tallado

de modo inverso, es decir conocido el nmero de dientes a tallar, calcular cul ser el factor

de correccin mnimo ( x ) para que no exista interferencia de tallado. En virtud de lo visto en

los apartados anteriores, tal solucin es viable desde un punto de vista analtico, el cual

redunda en importantes conclusiones de ndole ms prctica en el tallado de engranajes por cremallera.



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Figura 9.29. Esquema de correccin de dentado por cremallera.

Si se observa la Figura 9.29 se desprende que para que no exista interferencia por tallado, se

debe cumplir la siguiente relacin:

( ) [ ] SenCP x1m (9.31)

de la cual teniendo en cuenta la expresin (9.24) y que:

[ ] [ ] [ ] 22 Sen2

mZ Sen RSenCP == (9.32)

se tiene finalmente el factor de correccin mnimo como:

[ ]lmite

2

Z Z

12

Sen Z 1 x = (9.33)

Ahora bien, en cuanto a la distancia entre centros, considrense dos ruedas de radios

primitivos R1 y R2 maquinadas con la misma cremallera pero con desplazamientos distintos x1

y x2, respectivamente. Si x1 y x2 son positivos, las ruedas no engranarn a la distancia entre

centros igual a la suma ( R1 + R2), porque ha aumentado el espesor de los dientes en las

circunferencias primitivas, y cada diente no cabe en el hueco de la otra rueda. Anlogamente,

si ambas son negativas, existir gran holgura entre el espesor del diente y el hueco sobre la

circunferencia primitiva. En cualquier caso, las ruedas engranarn a otra distancia entre ejes y

los radios de las circunferencias primitivas de tallado no coincidirn con los de las

circunferencias primitivas de funcionamiento. Estos tendrn los siguientes valores R1v y R2v,formando en consecuencia un nuevo ngulo de presin efectivo a v. Esto puede verse en la

Figura 9.30. Los radios de base se mantienen iguales, es decir se cumple que

[ ] [ ][ ] [ ]vv222b

vv111b

Cos RCos R R

Cos RCos R R

====

(9.34)

Ahora bien observando la Figura 9.31, se pueden deducir los espesores de diente sin

modificacin ( e) y modificado ( e), los cuales vienen dados por las siguientes expresiones:

2m

2 p c .

==e , e' [ ] Tanm x2 += .e (9.35)



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Figura 9.30. Esquema de funcionamiento.

Figura 9.31. Esquema de modificacin en el tallado.

Luego los espesores en las circunferencias primitivas de los engranajes 1 y 2 vienen dados

por:

[ ]

[ ]

Tanm x22

m

Tanm x22

m

2

1

+=

+=

..

.

2

1

e'

e' (9.36)

Ahora bien teniendo en cuenta la expresin (9.29), los espesores

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]+=

+=

v2

v2

v1

v1

2 R

R

2 R

R

22v

11v

e'e'

e'e'

(9.37)

E igualando la suma de los espesores de los dientes de ambas ruedas al paso medido sobre las

circunferencias primitivas de funcionamiento se tiene:

1

v1

1

v1

1

v1v R

Rm

m R2 R2

Z R2

p ====+

/2v1ve'e' (9.38)

Sustituyendo (9.36) y (9.37) en (9.38) y teniendo en cuenta que

2b

1b

v2

v1

2

1

R R

R R

R R

== (9.39)



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Luego de algunas manipulaciones algebraicas se obtiene finalmente:

( ) ( ) ( )( )

[ ] Tan Z Z x x

221

21v +

++= (9.40)

La cual es la condicin geomtrica para que un engranaje engrane con otro sin juego y

garantice las condiciones de funcionamiento.

3. Engranajes cilndricos de dientes helicoidales

Nociones BsicasLos engranajes rectos tienen la caracterstica de que cada diente empieza a engranar

bruscamente en toda su longitud y termina de engranar del mismo modo. Por lo tanto, los

pequeos errores geomtricos inevitables en la fabricacin de los dientes se traducen en pequeos choques al empezar el engrane, acompaados del correspondiente ruido. Adems, al

ser variable con el tiempo el nmero de dientes en contacto (por ejemplo, para una relacin de

contacto del 1,7), ello se traduce en variaciones de carga sbitas sobre los dientes (no es lo

mismo que un diente soporte toda la carga que sta sea repartida entre dos); es decir,

variaciones bruscas de la fuerza transmitida a cada diente. Debido a esto, los engranajes

cilndricos rectos no resultan adecuados para transmitir potencias importantes (producen

vibraciones, ruidos, etc).

Una primera aproximacin para solucionar este problema podra consistir en tallar engranajes

rectos desplazados, de modo que los saltos sbitos se suavicen. Es lo que se conoce como

engranajes cilndricos escalonados y su funcionamiento es tanto ms suave cuanto mayor es el

nmero de escalones en los que es tallado el engranaje. La idea de los engranajes helicoidales

surge as como el paso al lmite de los engranajes escalonados, en donde los saltos son tan

pequeos (infinitesimales) que hay continuidad. En ellos, el engrane de dos dientes empieza y

termina de forma gradual, lo que se traduce en una marcha ms suave (menos ruido y

vibraciones). Al mismo tiempo, los dientes helicoidales permiten obtener, con cualquier

nmero de dientes, una relacin de contacto tan grande como se quiera.

Figura 9.32. Esquema de engranaje helicoidal como lmite de sucesin de engranajes rectos infinitesimales.

En un engranaje cilndrico de dientes helicoidales (vase la Figura 9.33), una seccin formada

por un plano normal al eje de giro presenta un perfil anlogo al de un engranaje de dientes



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rectos (perfil de evolvente, ngulo de presin, lnea de engrane, etc). Este es el denominado

perfil frontal de la rueda, situado sobre el plano frontal o aparente.

Figura 9.33. Plano de corte frontal de un engranaje cilndrico de dientes helicoidales.

Los engranajes helicoidales tienen dos pasos relacionados, uno en el plano de rotacin y otroen el plano normal al diente. En los engranajes de dientes rectos, los pasos se miden solo en el

plano de rotacin. En los engranajes de dientes helicoidales existe adems un paso axial. En laFigura 9.34 se muestran estos pasos.

Figura 9.34. Pasos de los engranajes helicoidales.

- pc es el paso circunferencial- pcn es el paso normal- pa es el paso axial- es el ngulo de hlice

[ ] Cos p p ccn = ,[ ] Cos

p p d dn = ,

[ ] [ ] Sen

p

Tan

p p cnca == (9.41)

En los engranajes helicoidales se pueden caracterizar tres ngulos diferentes, que influyen en

la definicin geomtrica y distribucin de las fuerzas. Estos ngulos son:

- El ngulo de hlice

- El ngulo de presin en la direccin normal n

- El ngulo de presin en la direccin tangencial t

Estos tres ngulos pueden ser identificados en la Figura 9.35. Se podra ver sin mayores

complicaciones que los tres ngulos estn relacionados por la siguiente expresin



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[ ] [ ][ ]t

n

TanTan

Cos

= (9.42)

Ahora bien, observando la Figura 9.35, donde se presenta un cilindro cortado por un plano

oblicuo en un ngulo igual al ngulo de hlice. El plano oblicuo corta un arco que tiene radio

de curvatura R. En el caso de que = 0 (engranaje de dientes rectos), el radio de curvatura es

igual a R = D/2 . Pero si se va aumentando paulatinamente el valor del ngulo , hasta llegar a

= 90, se tendr que el radio de curvatura es INFINITO. El radio de curvatura R del cilindro

intersectado por el plano oblicuo, es el radio de paso aparente de un diente de engranaje

helicoidal cuando se ve en la direccin de los elementos del diente. Un engranaje con el

mismo paso y con el ngulo y, tendr un mayor nmero de dientes debido al radio

incrementado. Este nmero de dientes se denomina Nmero de Dientes Virtualesy se calculade la siguiente forma

[ ] 3Cos N

N = (9.43)

donde N es el nmero de dientes real, N es el nmero de dientes virtual.

Figura 9.35. Identificacin de ngulos en un perfil helicoidal.

Al igual que los engranajes rectos, los helicoidales pueden presentar interferencia, el nmero

mnimo de dientes para un engranaje que opera sin riesgo de interferencia se calcula con la

siguiente expresin (ver referencia [9])

[ ][ ]

[ ]( )t 2t

2 P Sen311Sen6 kCos4

N ++= con k =

cortosdientes Para80

completosdientes Para1

_ _ _ .

_ _ _ (9.44)

4. Engranajes cnicos

Nociones BsicasLos engranajes cnicos se emplean para transmitir movimiento entre ejes que se intersecan.

En la Figura 9.36 se muestra un par de engranajes cnicos y se ilustra la terminologa de losmismos. Los ngulos de paso se definen por los conos de paso que se unen en el pice. As



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pues, si N P y N G son los nmeros de dientes en el engranaje pequeo y grande,

respectivamente; entonces:

[ ] Tan N N

G

P = , [ ]Tan N N

P

G = (9.45)

Figura 9.36. Engranajes cnicos.

En la expresin (9.46) se indica una forma aproximada para calcular el nmero virtual de

dientes de un engranaje cnico

c

b

pr 2 N = (9.46)

siendo r b el radio del cono posterior, pc es el paso circular medido en el extremo mayor de los

dientes.

5. Bibliografa [1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, Diseo en Ingeniera Mecnica, McGraw Hill 2002

[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, Elementos de Mquinas, McGraw Hill 2000[3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, Elementos de Mquinas, Prentice Hall 1999[4] A.H. Erdman y G.N. Sandor, Diseo de Mecanismos Prentice Hall 1998[5] R.L. Norton, Diseo de maquinaria, McGraw Hill 2000[6] M.J.T Lewis Gearing in the ancient world[7] Editorial. Lifting Boats, measuring gears. Gear Technology. May-June 2003, 9-11.[8] D.P. Townsend Dudleys gear handbook McGraw Hill 1992[9] R. Lipp, Avoiding Tooth interference in Gears. Machine Design 54(1) 122-124 (1982)

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