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12 Campi elettrici e correnti
Si riprende e si approfondisce in questo capitolo l’appli-
cazione delle equazioni di Maxwell alla elettrostatica.
Oltre al potenziale elettrico, formalmente simile al po-
tenziale gravitazionale, si introdurrà il concetto di capa-
cità elettrica e si ricaverà un’espressione per la densità
di energia del campo elettrostatico. Il tema principale è,
però, come il campo elettrico venga modificato dalla
presenza di corpi materiali, complessivamente neutri, ma
contenenti cariche elettriche. Si mostrerà come i campi
elettrici si annullino all’interno di conduttori in equili-
brio e vengano ridotti all’interno di materiali isolanti.
Perché in un conduttore vi sia un campo elettrico è
indispensabile che vi sia passaggio di cariche: il legame
tra corrente elettrica e differenza di potenziale (ovvero
tra campo elettrico e densità di corrente) è descritto da
relazioni empiriche, valide quasi universalmente, che co-
stituiscono l’equivalente elettrico della legge di Poiseuil-
le per l’idrodinamica.
12.1 I fondamenti dell’elettrostatica
Studieremo ora i campi elettrici generati da una o più ca-riche utilizzando la legge di Gauss, secondo cui il flusso del campo elettrico E attraverso una superficie chiusa S (detta superficie di Gauss) è proporzionale alla carica Q racchiusa dalla superficie (vedi Capitolo 11):
Φ S
Q( )E =
ε0 12.1
La legge di Gauss esprime una legge di conservazione in-tuitiva: una volta uscite dalla carica, le linee di forza del campo elettrico si comportano come quelle del flusso lu-minoso di una sorgente, o come il liquido emesso dalla pistola a spruzzo dell’imbianchino: al raddoppiare della distanza tra parete e pistola a spruzzo questa va azionata
per un tempo quattro volte superiore perché la superficie coperta è quattro volte maggiore. Infatti, la superficie vi-sta dalla sorgente sotto un angolo visuale fissato aumenta con il quadrato della distanza; corrispondentemente il campo (in questo caso, il prodotto di densità della verni-ce × velocità) deve diminuire in modo che il prodotto campo × superficie (ossia il flusso) rimanga costante. La proporzionalità tra campo e reciproco del quadrato del-
la distanza, enunciata da Newton per il campo gravita-zionale e da Coulomb per quello elettrico, è condizione
necessaria e sufficiente per la validità della legge di
Gauss. In tutto questo tratteremo campi elettromagnetici sta-
tici, oppure varianti così lentamente da poter assumere nulla la derivata di B rispetto al tempo, nella terza equa-zione di Maxwell (11.15). In tale caso si ha
∇ × = ⇔ ⋅ ⇔ = −∇∫E E E0 d V
C
l ( )P
che sono l’espressione formale delle seguenti affermazio-ni equivalenti: il rotore di E è nullo; il lavoro di E lungo una linea chiusa C è nullo; il campo elettrico in P può es-sere espresso come gradiente cambiato di segno di una funzione scalare V(P) detta potenziale elettrico:
E i j k( )( ) ( ) ( )
PP P P
= − + +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
V
x
V
y
V
z 12.2
12.1.1 Unità di misura per cariche, campi
e potenziali elettrici
L’elettrostatica è un settore in cui da decenni il Sistema Internazionale di misura è universalmente adottato. Per questo, non accenneremo allo storico dibattito sulla scelta
246 Capitolo 12
delle unità elettriche, benché convenzioni diverse abbia-no rispecchiato approcci concettualmente distinti alla teo-ria dell’elettromagnetismo(*). Nel Paragrafo 11.1 il cam-po elettrico E di una carica Q è stato definito sulla base della forza f di Coulomb agente su una carica di prova q a una distanza |r| da Q (vedi Equazione 11.1):
Ef r
= = ⋅q
kQ
r re 2
12.3
Assumendo come unità di carica elettrica il coulomb (C) si ha ke = 9(109) N⋅m2/C2; due cariche di un coulomb alla distanza di un metro si respingono con l’enorme forza di nove miliardi di newton, pari quasi al peso di un milione di tonnellate (vedi anche Esercizi 11.1 e 11.2). Moltipli-cando E per la superficie di una sfera di raggio r attorno a Q si ottiene il flusso di E, che, in ossequio alla notazione di Maxwell, si esprime mediante la costante dielettrica del vuoto, ε0, anziché mediante ke
Φ( )E r E k QQ
k= = = ≡4 41
42π π
ε πεe
0e
0con
dove ε0 = 8.85(10−12) C2/(N⋅m2). Come per il caso gravitazionale, si definisce spesso il
potenziale elettrico della carica Q in un punto P, V(P), come una funzione numericamente uguale al lavoro fatto dal campo generato da Q per portare una carica unitaria da P all’infinito. Per analogia con il caso gravitazionale tale potenziale è
V kQ
r
Q
r( )P e
0= =
4πε 12.4
dove r è la distanza tra la carica Q e il punto P e il poten-ziale si misura in volt (V). Essendo un lavoro per unità di carica, il potenziale elettrico ha dimensioni
volt = joule/coulomb, o V = J/C
Facendo uso delle relazioni e delle unità di misura defini-te sopra, il campo elettrico può essere espresso sia in newton su coulomb (N/C) (Equazione 12.3) sia in volt su metro (V/m).
Si noti che nella 12.4 il potenziale si annulla al tende-re di r all’infinito; ciò però non deriva da una proprietà del potenziale, ma dalla nostra scelta di prendere come punto di riferimento il punto all’infinito. L’arbitrarietà
(*) Si veda al riguardo il Paragrafo 13.1.
della scelta del riferimento scompare quando si parla di differenza di potenziale, una quantità che di solito si può misurare facilmente. Si può parlare senza ambiguità di “potenziale elettrico” quando la scelta del riferimento è imposta dalla convenienza o dalla consuetudine.
Nel caso gravitazionale, le masse si attirano sempre e occorre compiere un lavoro contro le forze del campo per allontanarle tra di loro: poiché il campo gravitazionale compie in questo caso un lavoro negativo, il potenziale gravitazionale è negativo e raggiunge valore massimo all’infinito. Nel caso di una carica Q positiva, il campo compie un lavoro positivo nel portare la carica unitaria (positiva) all’infinito; il potenziale elettrico è in questo caso positivo e raggiunge il valore minimo all’infinito.
12.1.2 Applicazioni elementari della legge
di Gauss
A. Campo elettrico di un filo carico
Consideriamo un filo infinitamente lungo, posto lungo l’asse x, con una densità lineare di carica ρ1 (espressa in C/m) costante. In qualunque punto P il campo elettrico sarà diretto normalmente al filo in quanto non vi è ragio-ne per cui il campo abbia una componente nel verso delle x crescenti piuttosto che nel verso delle x decrescenti. Sempre per ragioni di simmetria, il modulo di E avrà lo stesso valore E(r) in ogni punto a distanza r dal filo. Co-me superficie su cui applicare la legge di Gauss prendia-mo quella di un cilindro di raggio r che ha per asse il filo e altezza h.
r
E
r
E
r
h
Il flusso di E è diverso da zero solo attraverso la superfi-cie laterale (2πrh) ed è proporzionale alla carica ρlh con-tenuta nel cilindro:
Φ( ) ( ) ( )E = = ⇒ =22
1 1πρ
ε
ρ
πεrhE r
hE r
r0 0 12.5
Le superfici equipotenziali sono cilindri che hanno per
Campi elettrici e correnti 247
asse il filo. Per la 12.5, la differenza di potenziale tra una superficie cilindrica a distanza R e una a distanza R0 è
V R V R E r drR
RR
R( ) ( ) ( ) ln− = =∫0
1
0
0
20 ρ
πε 12.6
Dalla 12.6 si vede che, per R0→∞, la differenza di poten-ziale V(R) − V(R0) diventa infinita; non ha perciò senso in questo caso assumere come riferimento il punto all’in-finito.
B. Campo elettrico di un piano di cariche
Consideriamo ora un piano infinito con una densità di ca-rica elettrica superficiale uniforme ρ2 (espressa in C/m2). Per ragioni di simmetria, in qualunque punto fuori dal pi-ano il campo elettrico non può che essere diretto come la normale al piano. Al flusso di E attraverso la superficie cilindrica della figura contribuiscono solo le due basi, su-periore e inferiore, ciascuna di area S = π r2.
S
E
ρ2
2r
Φ( )E = = ⇒ =22
2 22
2πρ π
ε
ρ
εr E
rE
0 0 12.7
Il campo elettrico è indipendente dalla distanza dal pia-no! È conveniente in questo caso riferire il potenziale a un punto del piano (h0 = 0); un punto a distanza h dal pi-ano avrà allora il potenziale
V h Edh hh
( ) '= = −
∫
ρ
ε20
2 0 12.8
Si noti la somiglianza con il potenziale terrestre in vici-nanza della superficie della Terra, gh. Poiché in ambedue i casi il campo è uniforme, il potenziale è proporzionale alla distanza dalla superficie di riferimento; nel caso elet-trico vi è il segno meno perché la carica positiva respinge la carica unitaria positiva, mentre la forza gravitazionale
è attrattiva.
C. Campo elettrico di una sfera carica
Consideriamo una carica distribuita uniformemente in una sfera di raggio R, con una densità di carica volume-trica ρ (espressa in C/m3). Utilizzando il parallelo con il campo gravitazionale terrestre, è facile dimostrare che a una distanza r > R dal centro il campo elettrico è uguale a quello che produrrebbe l’intera carica Q = (4/3)πR3ρ po-sta nel centro della sfera. Calcoliamo il campo E(r) per r < R sfruttando la simmetria di una superficie sferica, detta di Gauss, di raggio r.
r
E(R)
E(r)
R
Φ( ) ( )
( )
E = =
⇒ = ≤
44
3
3
23
0π
π ρ
ε
ρ
ε
r E rr
E rr
r R0
12.9
Il campo elettrico è proporzionale a r per r < R, è nullo al centro della sfera, e per r = R è uguale a quello della cari-ca totale Q a distanza R.
Dante è tra i più illustri scienziati del suo tempo, co-me egli stesso dichiara nel suo trattatello sul problema della distribuzione altimetrica dell’acqua sulla Terra (Quaestio de aqua et Terra); tuttavia nella Divina Com-
media immagina che Virgilio ansimi a causa della tre-menda gravità quando, dal centro della Terra, si appresta alla risalita verso il Purgatorio. Invece la forza di gravità al centro della Terra è nulla, come dimostrano la legge di Gauss e argomenti di simmetria.
12.2 Il campo elettrico in presenza
di conduttori
In quasi tutte le situazioni, la materia è elettricamente neutra poiché contiene esattamente un uguale numero di cariche positive e negative. I conduttori elettrici con-
248 Capitolo 12
tengono cariche mobili (o “libere”), che si possono spo-stare per effetto del campo elettrico. I conduttori metal-
lici possono essere pensati come costituiti da un gas di cariche negative mobili (gli elettroni) che circonda ioni positivi fissi, solitamente disposti in un reticolo spaziale ordinato.
In condizioni di equilibrio, le cariche libere all’in-terno di un conduttore isolato non possono dare luogo a un flusso netto di cariche perché ciò cambierebbe la di-stribuzione delle cariche, in contrasto con l’ipotesi di e-quilibrio. Questo implica che il campo elettrico all’in-
terno del conduttore in equilibrio è sempre nullo. Poiché una componente tangenziale alla superficie del condutto-re ne sposterebbe le cariche mobili, il campo elettrico in
un punto P della superficie è parallelo alla normale in P
alla superficie stessa. Poiché una differenza di potenziale tra punti interni implicherebbe l’esistenza di un campo elettrico all’interno del conduttore, ne viene che tutti i
punti di un conduttore in equilibrio devono avere lo stes-
so potenziale. Infine, in un conduttore carico in equili-
brio tutta la carica si trova sulla superficie; se vi fosse una carica interna, vi sarebbe necessariamente anche un campo elettrico interno poiché non sarebbe nullo il flusso di E attraverso una superficie di Gauss tutta all’interno del conduttore. La distribuzione di cariche di un condut-tore carico in equilibrio è perciò descritta dalla densità
superficiale di carica ρ2(P) (misurata in C/m2). Consideriamo la superficie di Gauss cilindrica con as-
se parallelo alla normale alla superficie del conduttore in P. Sia dS la superficie di conduttore racchiusa nel cilin-dro e ρ2(P)dS la carica qui localizzata.
P
E
dh
Il campo elettrico è nullo sulla parte di cilindro interna al conduttore, e diretto come la normale alla superficie in prossimità di questa. Se il tratto dh indicato in figura è piccolo, l’unico flusso elettrico diverso da zero è perciò quello uscente dalla base del cilindro all’esterno del con-duttore. Dal teorema di Gauss si ricava perciò che il
campo elettrico alla superficie di un conduttore è pro-
porzionale alla densità superficiale di carica:
Φ( ) ( )( )
( )( )
E = =
⇒ =
E P dSP dS
E PP
ρ
ε
ρ
ε
2
2
0
0
12.10
Un altro effetto dell’annullarsi del campo elettrico all’in-terno del conduttore in equilibrio è mostrato nella figura dove il conduttore ha una forma quasi sferica con una protuberanza sulla destra.
EE +
+++
++++++
Il campo elettrico è nullo nei punti interni e in particolare anche nel centro della sfera dove la forza dovuta alle ca-riche del settore sinistro deve bilanciare quella delle cari-che nel corrispondente settore destro. Poiché la superficie di destra è più lontana dal punto, in questo settore di su-perficie vi devono essere più cariche, una densità superfi-ciale maggiore, e quindi un campo elettrico maggiore. Questo esempio suggerisce che la densità superficiale in
un punto P di un conduttore carico cresce al diminuire
del raggio di curvatura della sfera tangente in P alla su-
perficie. Riassumendo, per il conduttore in equilibrio:
• il campo elettrico interno è nullo; • tutti i punti del conduttore si trovano allo stesso po-
tenziale; • la densità di carica nei punti interni al conduttore è
sempre nulla e può essere diversa da zero solo la den-sità superficiale di carica ρ2;
• il campo elettrico in prossimità della superficie del conduttore è normale a questa e proporzionale alla densità superficiale di carica: E = (ρ2/ε0) n, dove n è il versore normale uscente dalla superficie del condut-tore;
• in assenza di campi esterni, la densità superficiale di carica in un punto cresce al diminuire del raggio di curvatura della superficie in quel punto.
Quando un conduttore neutro è posto in un campo elettri-co, le sue cariche mobili vengono ridistribuite dal campo e si creano zone con densità di carica superficiale sia po-sitiva sia negativa. A questa separazione di cariche si dà
Campi elettrici e correnti 249
il nome di induzione elettrostatica. Il campo in un qua-lunque punto interno del conduttore deve annullarsi come risultato dell’effetto del campo esterno, E, di quello pro-dotto dalle cariche superficiali negative, E−, e da quelle positive, E+.
E− + E+
E E
−−−−
−
++++
+
Per sopprimere il campo elettrostatico in una regione si può usare la gabbia di Faraday, una struttura metallica che avvolge completamente la regione e al cui interno, per il principio dell’induzione elettrostatica, vengono an-nullati i campi elettrostatici originati all’esterno. Le carat-teristiche fisiche di questo schermo dipendono dalle fre-quenze dei campi elettrici esterni che si vogliono esclude-re.
12.2.1 Fenomeni elettrici nell’atmosfera
Per trattare i fenomeni elettrici che avvengono nell’atmo-sfera terrestre, possiamo considerare la Terra come una sfera conduttrice avvolta dalla ionosfera(*), ossia un “gu-scio” contenente cariche elettriche libere (ioni), prodotti dai fenomeni di ionizzazione legati alla radiazione solare sulle particelle gassose. La Terra è carica negativamente e, dal punto di vista elettrostatico, la ionosfera può essere descritta come una superficie conduttrice carica positi-vamente a circa 50 km dal suolo. La differenza di poten-ziale tra superficie terrestre e ionosfera è di circa 4(105) V. Tra queste due superfici conduttrici è interposto una miscela gassosa che, in prima approssimazione, possiamo immaginare essere un isolante, un mezzo in cui le cariche elettriche non possono spostarsi liberamente. In realtà, questa fascia isolante è costituita dall’atmosfera che, so-prattutto nella parte ad alta quota, è ricca di particelle ca-riche che tendono ad andare verso la Terra, se di segno positivo, e verso la ionosfera, se di segno negativo. A
(*) La parte di atmosfera chiamata ionosfera in realtà va da
80 a 500 km dalla superficie terrestre e ha una moderata condu-cibilità.
questi moti di cariche è associata una corrente I di scarica che tende a ridurre e annullare la differenza di potenziale tra ionosfera e Terra (I). Durante un temporale (II) si crea un moto di cariche nella direzione opposta a quella pro-dotta dal normale campo elettrico medio E tra Terra e io-nosfera. Si può così mantenere a un valore circa costante la differenza di potenziale rispetto alla ionosfera.
Terra − − − − − − − − − − − + + + + + + + − − − − − − − − − − − − + + + + + + + − − − − − − − − − − − − + + + + + + + − − − − − − − − − − − − + + + + + + + −
E
+
−
Moto spontaneo
degli ioni
E'
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Ionosfera
++++++++++++−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−++++ ++++
I (scarica)
I'
(I) (II)
cariche indotte
Durante un temporale, le cariche positive sono pompate nella parte alta della nuvola e le negative in quella bassa grazie a una serie di meccanismi in cui si combinano ef-fetti elettrici, chimico-fisici, e di dinamica atmosferica che qui illustriamo qualitativamente. Consideriamo un grosso frammento di acqua o ghiaccio che si è appena condensato verso la parte alta della nuvola a una altezza dove è ancora presente una apprezzabile quantità di ioni.
−−−−
−−−− −−−−−−−−
++++ ++++++++
++++
−−−−
++++
−−−− −−−−−−−−
++++ ++++++++
−−−−
++++
++++−−−−
AB
C
D
A
B
C
D
A causa del campo elettrico tra ionosfera e Terra, la parte inferiore della goccia (o frammento di ghiaccio) si carica per induzione positivamente e quella superiore negativa-mente. Per questo, nella sua caduta all’interno della nu-vola, la goccia assorbirà preferenzialmente gli ioni nega-tivi (A) che incontrerà sul suo cammino, respingendo quelli positivi (B). Gli ioni a lato della goccia (C, D) non vengono sottoposti a una azione sufficiente (per durata e intensità) del campo elettrico della goccia per essere at-tratti o respinti in modo significativo. Uscita dalla zona ionizzata, la goccia continua il suo moto verso il basso
250 Capitolo 12
della nuvola, portando con sé la carica negativa acquisita. In questo modo la parte alta della nuvola resta carica po-sitivamente e quella bassa negativamente. Così, per effet-to del campo gravitazionale, si possono originare tempo-raneamente differenze di potenziale di milioni di volt tra l’alto e il basso della nuvola. Poiché il potenziale terre-stre è ora meno negativo di quello della parte bassa della nuvola, questa induce una carica netta positiva sulla por-zione di superficie terrestre sottostante. Il fulmine tra-sporta la carica negativa dal basso della nuvola alla Ter-ra. Dopo il temporale, la Terra restituisce lentamente alla ionosfera la carica portata dal fulmine, ma non si scarica mai perché in ogni momento temporali in molti punti del globo portano sulla Terra nuove cariche negative.
Il meccanismo del fulmine è complesso perché la sca-rica elettrica si deve prima aprire un “sentiero” nell’aria che, nei pressi della superficie terrestre, è un buon isolan-te perché quasi priva di ioni. Si inizia con una piccola scarica-guida che si propaga a scatti dal fondo (negativo) della nuvola lungo una spezzata diretta verso terra (posi-tiva); ogni tratto di spezzata è costituito da una scia di io-ni prodotti da collisioni con elettroni e ioni liberi accele-rati dalle grandi differenze di potenziale presenti presso il fondo della nuvola. Gli elettroni al fondo della scarica guida si disperdono rapidamente a terra, richiamando molti altri elettroni dal fondo della nube. In questa scari-
ca principale, che dura per tempi dell’ordine del millise-condo, si producono correnti fino a circa 104 ampere, vi-sibili come lampi. Nel giro di poco più di un secondo se-guono poi circa una dozzina di scariche, per lo più lungo lo stesso percorso-guida, che scaldano l’aria provocando-ne l’espansione che è all’origine del tuono. A rigore, e contrariamente al detto popolare, il fulmine colpisce più di una volta nello stesso punto, ma così in fretta da rende-re la contabilità difficile.
−−−− −−−− −−−−−−−−−−−− −−−−−−−− −−−−−−−−−−−−
−−−−−−−− −−−−−−−−
scarica-guida
parafulmine
nuvola
Terra
cariche indotte dalla nuvola
Il compito del parafulmine è quello di indirizzare il cammino della scarica-guida della nuvola, che in genere
si incontra a circa 100 m di altezza con un’altra scarica-guida proveniente dalla Terra. Il parafulmine è un’asta metallica in contatto elettrico con la Terra. Campo elet-trico e densità di carica sulla sua punta del parafulmine sono molto più elevati che sul resto della superficie terre-stre proprio per la necessità di mantenere punta e Terra allo stesso potenziale. Nella figura si è mostrato il fondo carico negativamente della nube che induce una carica positiva sulla superficie terrestre prossima (e una corri-spondente carica negativa agli antipodi). Nella punta dei parafulmini più sofisticati sono contenute sostanze radio-attive che, assieme all’elevato campo elettrico, facilitano il processo di ionizzazione, e l’avvio della scarica-guida dalla Terra. Per limitare i processi di ossidazione superfi-ciale, che ostacolerebbero il passaggio della corrente ver-so la Terra, creando strati isolanti tra atmosfera e metallo, il parafulmine è ricoperto con metalli inossidabili.
12.3 L’energia del campo
elettrostatico
In questo paragrafo calcoliamo il lavoro necessario per portare una carica elettrica su un conduttore; potremo in-trodurre il concetto di capacità e ricavare l’espressione per l’energia del campo elettrostatico dalla richiesta che questa energia sia pari al lavoro compiuto.
12.3.1 La sfera carica
Calcoliamo il lavoro necessario per portare una carica complessiva Q su una sfera conduttrice di raggio R isola-ta, nel vuoto e inizialmente scarica. Supponiamo che, du-rante il processo di carica, sulla sfera sia stata trasferita una certa carica q; il potenziale alla sua superficie rispet-
to all’infinito è dato dalla 12.4, che riscriviamo come
V(q) =q
R4πε0
Il lavoro per trasferire dall’infinito sulla superficie della sfera la carica addizionale dq è per definizione dL = V(q)dq; il lavoro complessivo compiuto contro il campo elettrico per portare da 0 a Q la carica della sfera è perciò
L = V q dqqdq
R
Q
R
Q Q( ) = =∫ ∫0 0
2
4
1
2 4πε πε0 0 12.11
Campi elettrici e correnti 251
Geometricamente il lavoro è rappresentato dall’area del triangolo scuro nel diagramma V(q) vs q.
V
V(q)
0 qQ
Come si vede da questa figura, il rapporto tra carica e po-tenziale è costante. A tale rapporto, indicato con C, viene dato il nome di capacità:
CQ
V≡ 12.12
Un dispositivo che è caratterizzato da un rapporto costan-te tra carica elettrica e potenziale viene chiamato un con-
densatore elettrico, o semplicemente condensatore, con capacità caratteristica definita dalla 12.12; per la sfera isolata si ha allora una capacità di C = 4πε0R. La capacità si misura in
farad = coulomb/volt (F = C/V)
Per il principio di conservazione dell’energia, il lavoro compiuto 12.11 si ritrova sotto forma di un’energia che chiameremo energia elettrostatica, EC = L. Mediante le 12.11 e 12.12 e le espressioni per la capacità e il poten-ziale della sfera, l’energia elettrostatica può essere riscrit-ta in una delle seguenti utili forme:
E VQQ
CCVC = = =
1
2
1
2
1
2
22 12.13
Queste espressioni valgono in generale per un qualunque condensatore con carica Q e capacità C.
12.3.2 Il condensatore a facce piane
e parallele
Consideriamo due lamine conduttrici, affacciate e paral-lele, a una distanza d, piccola rispetto alle dimensioni
delle lamine, aventi superficie S. Tale dispositivo si chiama condensatore a facce piane e parallele; le lami-ne conduttrici sono dette le armature del condensatore e hanno sempre cariche uguali e di segno opposto (−Q, Q); la sua capacità è il valore assoluto del rapporto (co-stante) tra Q e la differenza di potenziale V tra le due ar-mature. A differenza della sfera isolata(*), la carica com-plessiva di questo dispositivo è sempre nulla. Supponia-mo che la lamina 1 abbia una densità superficiale di cari-ca +ρ2 e la lamina 2 una densità −ρ2.
In regioni abbastanza distanti dai bordi, i campi elet-trici generati dalle due lamine, E1 ed E2, sono approssi-mativamente uguali a quelli generati da un piano di cari-che infinito, ossia normali alle stesse e di modulo costan-te E1 = E2 = ρ2/2ε0. Perciò i due campi si sommano nella regione dove le lamine sono affacciate e si cancellano al di fuori, come mostra la figura.
E1
E1E2
E2
E2
E1−ρ2
ρ2
d
1
2
Il campo elettrico tra i due piani è E = E1+ E2 = ρ2/εo; la differenza di potenziale vale V = Ed = ρ2d/ε0 mentre la carica complessiva su una lamina è Q = ρ2S. La capacità del condensatore a facce piane e parallele vale perciò
CQ
V
S
d= = ε0 12.14
(*) In realtà, anche la sfera isolata va pensata come un si-
stema elettricamente neutro in quanto, per poterne calcolare il potenziale, si è dovuto pensare di portare la carica dall’infinito sulla sfera. Il condensatore, anche in tal caso, è costituito dalla sfera e da una seconda armatura posta a distanza infinita.
252 Capitolo 12
Utilizzando questa espressione riscriviamo in un altro modo l’equazione 12.13 per l’energia elettrostatica di questo condensatore
EQ
C
S
S dE SdC = = =
1
2
1
2
1
2
222 2
2ρ
εε
00/
12.15
L’equazione mostra che l’energia elettrostatica del con-
densatore è proporzionale al quadrato del campo elettri-
co tra le armature e al volume, Sd, racchiuso tra queste. Sembra perciò naturale interpretare la quantità
energia
volume
E
SdEC= =
1
22ε0 12.16
come densità di energia elettrica in una regione dello spazio dove il campo elettrico ha modulo E.
I condensatori sono componenti presenti in ogni ap-parecchiatura elettronica; nelle rappresentazioni circuitali sono indicati con il seguente simbolo, che ricorda il con-densatore a facce piane e parallele: .
12.3.3 Condensatori in serie e in parallelo
Le regole di combinazione di due condensatori di capaci-tà C1 e C2 in serie (“uno di seguito all’altro”) e in paralle-lo (“uno di fianco all’altro”) sono immediatamente intui-bili se pensiamo a condensatori a facce piane e parallele uguali. Metterli in parallelo vuole dire collegare le arma-ture dell’uno con le armature dell’altro (vedi figura), rad-doppiare la superficie S, e quindi la capacità C (vedi 12.14). Metterli in serie vuole dire collegare l’armatura di un condensatore con una armatura dell’altro; equivale a raddoppiare la distanza d tra le armature esterne, e la ca-pacità si dimezza.
I principi del calcolo delle capacità equivalenti di si-stemi di condensatori qualunque in serie e parallelo sono così riassumibili:
⇔Q2Q1 Q1 + Q2
CQ Q
V=
+1 2CQ
V2
2=CQ
V1
1=
V V
C parallelo C C C1 2 1 2 ≡ + 12. 17
⇔
CQ
V2
2=
CQ
V V=
+1 2
CQ
V1
1= V1
V2
C serie CC C
C C
C C1 21 2
11 2
1 2
1 1≡ +
=
+
−
12.18
12.4 Mezzi dielettrici
Finora si è supposto di conoscere la distribuzione delle cariche, nel vuoto, ricavando da questa il campo elettrico; oppure di avere a che fare con un conduttore in equili-brio, dove le cariche mobili si distribuiscono in modo da annullare il campo elettrico complessivo. La situazione è diversa quando si ha a che fare con un mezzo isolante
(privo cioè di cariche mobili), elettricamente neutro, ma
contenente cariche elettriche, positive e negative. A tale mezzo si dà il nome di dielettrico, dove la parola può es-sere usata sia come aggettivo sia come sostantivo.
L’unità costitutiva fondamentale di un dielettrico è il dipolo elettrico, una distribuzione di cariche schematiz-zabile in termini di una carica puntiforme positiva q posta a una distanza d da una carica di uguale entità ma di se-gno opposto −q. Al dipolo elettrico viene associata una grandezza vettoriale, il momento di dipolo elettrico D, che ha direzione e verso della congiungente la carica ne-gativa con quella positiva, modulo D = dq e dimensioni di carica × distanza (C⋅m).
E−
E+
E
Pd D
−
+
Il dipolo genera il campo elettrico schematizzato dalle li-nee di forza della figura. Il campo in ogni punto è la somma di una componente E+ dovuta alla carica positiva e di una, E−, dovuta a quella negativa. Si noti che nel
Campi elettrici e correnti 253
punto P della figura, come in ogni altro punto a distanza r >> d dal centro del dipolo, queste due componenti si annullano quasi completamente. Mediante la legge di Coulomb si può provare che per r >> d si ha:
E r E rd
r r
qd
r
D
r( ) ( )∝ ∝ =+
12 3
12.19
ossia il campo dipolare per r >> d è proporzionale a D e al cubo del reciproco della distanza.
Nei dielettrici vi sono due tipi di dipoli elettrici: quel-li indotti e quelli permanenti. Come esempio del primo tipo, consideriamo la molecola di elio, che possiede due elettroni il cui baricentro normalmente coincide con quel-lo del nucleo (q = +2e) (pallina nera).
EE = 0
l
In presenza di un campo elettrico E il baricentro degli e-lettroni si sposta dal nucleo per un tratto l(E) e la moleco-la di elio acquista il momento di dipolo elettrico D = ql(E).
A differenza dell’elio, l’acqua è invece costituita da molecole polari, ossia con un momento di dipolo perma-
nente pari a circa 6.24(10−30) C⋅m. La molecola d’acqua (H2O) si può idealizzare come costituita da uno ione os-sigeno sferico O−2x, con carica effettiva −2xe, minore in valore assoluto della carica nominale −2e (x < 1), legato a due ioni idrogeno sferici, H+x posti a distanza di circa 0.1 nm. In questa schematizzazione, il momento di dipolo permanente è D = 2xel.
O−2x
H+xH+x
l
In assenza di campo elettrico esterno, i dipoli dell’acqua possono assumere con uguale probabilità ogni orien-tazione e la somma dei momenti di dipolo dà risultante praticamente nulla. Perciò, sia l’acqua sia l’elio hanno un momento di dipolo complessivo in media nullo se non sono posti in un campo elettrico. Questo è vero per quasi tutti gli isolanti a temperatura ambiente.
Vogliamo introdurre una grandezza che descriva lo stato medio dei momenti di dipolo, permanenti o indotti, di un dielettrico. Definiamo per questo come polarizza-
zione elettrica P la somma vettoriale di tutti i momenti di dipolo qidi contenuti in un volume, diviso il volume stesso:
Pd
≡∑ q
V
i iV 12.20
Come rapporto di un dipolo (C⋅m) su volume (m3), la po-larizzazione ha le dimensioni di una densità superficiale
di carica, ρ2, e si misura in C/m2. Se in assenza di campo elettrico la polarizzazione è nulla, è lecito attendersi che, per campi elettrici abbastanza piccoli, la polarizzazione sia proporzionale a |E|. Nel caso dell’elio questo vuole dire che lo spostamento l(E) dei baricentri di cariche po-sitive e negative è proporzionale a E. Nel caso dell’acqua, i moti termici fanno cambiare continuamente l’orientamento delle molecole, e quindi dei dipoli; la pre-senza del campo elettrico rende però leggermente favori-ta la posizione in cui un dipolo si trova parallelo al cam-po elettrico rispetto a quella in cui si trova antiparallelo. Per questo vi sarà una piccola frazione di dipoli paralleli in eccesso rispetto a quelli antiparalleli; tale frazione è proporzionale alla polarizzazione media e quindi al cam-po elettrico applicato, se abbastanza “piccolo”.
Riempiamo d’acqua lo spazio tra le armature, distanti d e di area S, di un condensatore a facce piane e parallele su cui si è posta una carica Q = ρ2S. Immaginiamo di suddividere lo spazio tra le armature in tanti cubetti, di lato l, il cui momento di dipolo medio sia quello di una molecola d’acqua: è come se ciascun cubetto contenesse una sola molecola d’acqua orientata come il campo elet-trico mentre tutte le altre sono perfettamente disordinate. Nella figura di pagina seguente rappresentiamo, in sezio-ne, i cubetti con la loro molecola orientata. Da questa fi-gura si intuisce che l’effetto della polarizzazione dell’acqua è quello di produrre due distribuzioni di carica superficiale a contatto con le armature, le cui densità in-dicheremo con −ρ2' e ρ2' . Proviamo ora che ρ2' = |P|, ossia che la densità superficiale di carica è pari alla polarizzazio-
ne dell’acqua. Infatti, sommando i dipoli di una fila di volumetti, si ottiene un dipolo di valore ρ2' l
2d. Sommando su tutte le file si ottiene per il momento di dipolo com-plessivo, ρ2' Sd, che, per definizione, è uguale alla polariz-zazione per il volume dell’acqua (V = Sd):
ρ2' Sd = |P|V ⇒ ρ2' = |P|
254 Capitolo 12
d
−ρ2ρ2'
ρ2 −ρ2'
ρ2' l2d
S
l
Il campo elettrico tra le armature del condensatore in as-senza di dielettrico vale |E0| = ρ2/ε0 mentre con il dielet-trico la densità di carica sulle armature deve essere dimi-nuita di ρ2' = |P| e il campo elettrico è
EP
=− ′
=−( ) ( )ρ ρ
ε
ρ
ε2 2 2
0 0 12.21
Anche se il legame tra campo elettrico e polarizzazione può essere complicato, per la maggior parte dei dielettrici in campi elettrici inferiori a 106 V/m vi è proporzionalità tra P ed E e si può porre
P = ′ =ρ ε χ2 0 E 12.22
dove E è il campo totale(*) e χ una quantità adimensionale detta suscettività elettrica. Mediante la 12.22, la 12.21 fornisce
( )E = − ⇒ =
+
ρ
εχ
ρ
ε χ2 2
0 10E E
cioè
EE
= = +0 1ε
ε χr
rcon 12.23
dove εr è una quantità adimensionale detta costante die-
lettrica relativa. Secondo la 12.23, in presenza di un
(*) Il campo totale E è dovuto sia al campo E0 esterno, sia al
campo di polarizzazione: infatti è una media macroscopica su una distribuzione microscopica locale che dipende dal campo locale effettivo E e non dal campo nel vuoto E0, cioè P = P(E), e non P = P(E0).
dielettrico, il campo elettrico che si avrebbe nel vuoto viene modificato di un fattore costante 1/εr; in moltissimi casi è lecito usare le formule valide nel vuoto a patto di sostituire a ε0 il prodotto ε0εr.
Relazioni di questo tipo valgono anche quando il campo elettrico esterno varia secondo una legge sinusoi-dale:
E(t) = Ecosω t
In questo caso E nelle 12.21-23 rappresenta l’ampiezza del campo elettrico totale, anch’esso oscillante con pulsa-zione ω. Tuttavia la “costante” dielettrica εr di un mate-riale è una funzione, spesso complicata, della pulsazione ω oltre che della temperatura. Per esempio, i dipoli mole-colari dell’acqua vengono disordinati dai moti termici; per questo, ci attendiamo che la polarizzazione e la co-stante dielettrica di una sostanza polare come l’acqua di-minuiscano all’aumentare della temperatura. Alcuni dei dipoli permanenti presenti nella materia possono essere pensati come “bastoncelli” in un fluido viscoso che si o-rientano con relativa lentezza nella direzione del campo elettrico: se il campo elettrico cambia velocemente, i di-poli lenti non hanno il tempo di orientarsi e contribuisco-no in modo trascurabile alla polarizzazione. Perciò la po-larizzazione, e con lei la costante dielettrica, tendono a decrescere al crescere della frequenza. La costante dielet-trica relativa dell’acqua in un campo elettrico statico è εr ≈ 80; se la frequenza del campo applicato è paragona-bile a quella della luce visibile (~1015 Hz), la costante di-elettrica dell’acqua si riduce a εr ≈ 1.21.
In un campo statico, la costante dielettrica relativa dell’olio commestibile è compresa tra 4 e 6, quella di CCl4 è 2.2, quella dell’aria è 1.0005. In un liquido polare quale l’acqua, il campo elettrico che mantiene uniti catio-ne e anione di un sale si può ridurre a tal punto da per-mettere agli ioni di separarsi, al sale di sciogliersi, e alla soluzione di diventare elettrolitica (ossia conduttrice per ioni). Le proprietà dielettriche dell’acqua giocano un ruo-lo importante in molti processi biologici.
12.4.1 Forze sui dielettrici
La presenza o meno di un mezzo dielettrico cambia la capacità di un condensatore e quindi la sua energia (vedi Equazione 12.13); vogliamo mostrare che a questo cam-bio è associata una forza che il campo elettrico esercita sul dielettrico.
Campi elettrici e correnti 255
C2C1
x
d
L − x
εr
dielettrico
Supponiamo che il dielettrico in figura con costante die-lettrica εr venga inserito, per un tratto L − x, tra le arma-ture di un condensatore a facce piane parallele con arma-ture quadrate di area L2. Il condensatore può essere pen-sato come fatto dal parallelo tra un condensatore a vuoto, con capacità C1, e uno con il dielettrico, con capacità C2 dove
( )C
Lx
dC
L L x
d1 2= =−
ε ε ε0 0 r
La capacità totale è perciò
( )[ ]C C CL
dx L x= + = + −1 2
εε0
r
Distinguiamo ora il caso in cui il dielettrico viene inserito mentre tra le armature viene mantenuta una differenza di potenziale (V) costante, dal caso in cui viene mantenuta una carica (Q) costante sulle armature. Nel primo caso (V = costante), esprimiamo l’energia EC(x) del condensa-tore in funzione di V e C (vedi 12.13):
( )[ ]ECV LV
dL xC
0r r= = − −
2 2
21
εε ε
Si vede che, a potenziale costante, l’energia sarà minima quando C sarà minimo, ossia quando x = L e il dielettrico è del tutto fuori dalle armature del condensatore. Per rag-giungere il minimo di energia perciò il condensatore a voltaggio costante “espelle” il dielettrico con una forza
( )fdE
dx
LV
dxC
= − = −ε
ε0
r
2
1
diretta verso destra nel caso del disegno. Poiché le appa-recchiature elettroniche sono per lo più alimentate a vol-taggio costante, i loro condensatori possono esplodere espellendo il dielettrico.
Se sulle armature viene mantenuta una carica costan-te, l’energia del condensatore si scrive in funzione di Q anziché di V:
EQ
CC =
2
2
In questo caso, l’energia diventa minima quando la capa-cità è massima, cioè x = 0; il dielettrico viene risucchiato nel condensatore. Le misure della forza su dielettrici par-zialmente immersi in un condensatore permettono la de-terminazione della costante dielettrica statica.
12.5 Le correnti elettriche
Una carica in un campo elettrico è sottoposta a una forza elettrica: rimarrà ferma se vincolata, si muoverà di moto accelerato se libera e si muoverà di moto uniforme in presenza di forze di attrito. Se la densità delle cariche in un conduttore non cambia nel tempo il moto delle cariche sarà descritto in modo simile a quello del fluido trattato nel Capitolo 8. Come anticipato nel capitolo precedente, la “portata” nel caso delle cariche elettriche viene chia-mata corrente elettrica, viene indicata con I, ha le di-mensioni di [carica/tempo] e si misura in ampere (A). Come la portata idrodinamica, la corrente elettrica è defi-nibile come il flusso attraverso una superficie S del vetto-re densità di corrente J :
I SS
S
= = ⋅∫Φ ( )J J n d 12.24
dove J ha le dimensioni di corrente/superficie, A/m2. Immaginiamo il conduttore come un insieme di cari-
che mobili ze (z volte la carica e di un elettrone), con densità uniforme n (ossia vi è un numero n di cariche per unità di volume). Supponiamo che in presenza di un campo elettrico e di attriti tutte le cariche acquistino la stessa velocità v. In termini di questi parametri microsco-pici la densità di corrente (carica al secondo attraverso un’unità di superficie normale allo spostamento della ca-rica) si scrive:
J = zen v 12.25
Infatti, moltiplicando ambedue i membri per una superfi-cie unitaria S normale a J, al primo membro si ha una corrente; al secondo membro si ha la carica che passa in un secondo attraverso una sezione S pari alla carica con-
256 Capitolo 12
tenuta in un cilindro di base S e altezza pari alla velocità moltiplicata per 1 secondo.
12.5.1 La corrente nei circuiti
Se consideriamo la materia da un punto di vista micro-scopico, vediamo cariche negative in posizioni diverse da quelle positive (dipoli). Ma quando studiamo i compo-nenti macroscopici di un circuito elettrico possiamo quasi sempre assumere che questi siano elettricamente neutri: se si ha una certa carica sull’armatura di un condensatore, l’altra armatura porta una carica esattamente opposta; a ogni istante, per un dato componente, la corrente entrante è sempre uguale a quella uscente. Se non consideriamo il dettaglio di quello che avviene nel componente circuitale, possiamo dire che la corrente elettrica percorre sempre anelli chiusi. Questo non vuol dire che una singola carica compia lo stesso circuito della corrente: l’elettrone che va dall’anodo al catodo di una pila prende parte a una rea-zione chimica, e lascia agli ioni dell’elettrolita il compito di chiudere l’anello di corrente. Anche quando la corrente complessiva è nulla, o estremamente piccola, si possono avere flussi di cariche di natura diversa che sono alla base di fenomeni quali, per esempio, sensazioni, pensieri, con-trazioni muscolari. In questi casi occorre considerare tutti i contributi dei vari tipi di portatori di carica alla corrente complessiva.
12.5.2 La resistenza elettrica
Nella maggior parte dei conduttori elettrici il moto delle cariche avviene in presenza di interazioni che dissipano l’energia (potenziale e/o cinetica) della carica in calore o altra radiazione. In questi materiali occorre un campo e-lettrico, e quindi una differenza di potenziale, per soste-nere il moto delle cariche. In modo simile, la portata di un condotto idraulico orizzontale in regime viscoso è proporzionale alla differenza di pressione tra i due estre-mi. L’equivalente della legge di Poiseuille per la corrente elettrica si chiama legge di Ohm: essa stabilisce una pro-
porzionalità tra differenza di potenziale e corrente e si applica a una vastissima classe di conduttori chiamati per questo conduttori ohmici. La differenza rispetto al caso idrodinamico è che il regime di Poiseuille vale per un in-tervallo di portate limitato, mentre la legge di Ohm si ap-plica a ogni conduttore per qualunque voltaggio.
Consideriamo un tratto di conduttore tra le superfici equipotenziali A e B tra cui vi è la differenza di potenzia-
le(*) VAB ≡ VA − VB. La legge di Ohm afferma che VAB è uguale alla corrente elettrica moltiplicata per una costante R, chiamata resistenza, che dipende dal tratto di condut-tore
VAB = RI 12.26
VBVAE
J
I
S
l
+
dove R si misura in ohm (simbolo Ω = V/A) Supponiamo che il conduttore sia costituito da un ma-
teriale omogeneo di sezione S e che il tratto AB abbia lunghezza l. Campo elettrico E e densità di corrente J so-no per definizione legati a VAB e I da
E =V
l
AB J =I
S
Inserendo queste espressioni nella 12.25 abbiamo la for-
ma puntuale della legge di Ohm:
E JJ
=⋅
≡R S
l σ 12.27
Il campo elettrico in un punto di un conduttore è uguale al prodotto della densità di corrente nel punto divisa per la conducibilità σ, che è un parametro caratteristico del materiale di cui è costituito il conduttore e si misura in 1/(Ω⋅m). Dalla 12.26, riscrivendo la resistenza mediante la conducibilità (ovvero il suo inverso, la resistività) si ottiene
Rl
S=
σ 12.28
(*) Convenzioni sui segni degli schemi elettrici. Per definire
la differenza di potenziale occorre indicare esplicitamente l’ordine dei due punti considerati (AB) oppure marcare con un segno + il primo punto; per dare un segno alla corrente occorre indicare un verso positivo lungo il conduttore; per scrivere la 12.26 si assume che il senso positivo della corrente vada dal primo punto (A) al secondo (B). Questo non vuole dire che le cariche si spostino da A verso B e che corrente e differenza di potenziale siano necessariamente quantità positive. Segno + e freccia del verso di corrente permettono di definire il segno del-la tensione V e della corrente I.
Campi elettrici e correnti 257
La 12.28 esprime il fatto intuitivo che la resistenza au-menta all’aumentare della lunghezza del conduttore e di-minuisce all’aumentare della sua sezione. Sostituendo la 12.25 nella 12.27 e tenendo conto che in regime viscoso la velocità della carica è proporzionale alla forza applica-ta zeE
v E= µ e ze
dove il parametro µe è la mobilità ed è pari numerica-mente alla velocità che la carica acquisterebbe quando sottoposta a una forza unitaria. Abbiamo quindi:
E v E= = ⇒ =n
zen
ze n zeσ σ
µ σ µ( ) ( ) ( )2 2e e 12.29
La conducibilità σ è proporzionale al numero dei portato-ri nell’unità di volume, al quadrato della loro carica e alla mobilità µe.
La conducibilità è nulla in un isolante ideale (che manca di portatori) ed è infinita in un superconduttore i-deale, dove la mobilità è infinita. I materiali reali super-conduttivi o isolanti si avvicinano moltissimo al limite ideale; per esempio, l’olandese Kamerlingh Onnes lanciò all’inizio del secolo una corrente in una spira di piombo a bassa temperatura (4.2 K); la sua spira porta ancora oggi circa la metà della corrente originaria. Da questa lentis-sima diminuzione si può risalire alla resistenza comples-siva della spira (quasi esclusivamente dovuta ai contatti tra gli estremi), e da qui stimare una conducibilità supe-riore a 1025 1/(Ω⋅m). La conducibilità del quarzo invece è minore di 10−17 1/(Ω⋅m) ed è dovuta a portatori di cari-ca associati a difetti assenti nella struttura ideale. A circa metà tra questi due estremi si trova la conducibilità del rame che a temperatura ambiente è di 5.9(107) 1/(Ω⋅m). Per interpretare con il giusto peso questi numeri, si pensi che tra le “dimensioni” della più piccola particella ele-mentare rilevata fino a oggi (~10−14 m) e l’intero univer-so (~1024 m) ci sono “solo” 38 ordini di grandezza.
12.5.3 Resistenze in serie e in parallelo
Applicando la legge di Ohm (Equazione 12.26) si ricava-no le regole di composizione delle resistenze in serie e in parallelo. Intuitivamente, ponendo due conduttori uguali uno di seguito all’altro (cioè in serie) si ottiene un con-duttore di lunghezza doppia che, per la 12.28, ha resisten-za doppia; in generale, due resistenze in serie si somma-
no. Sempre per l’Equazione 12.28, ponendo due condut-tori uguali uno di fianco all’altro e unendone gli estremi vicini (collegamento in parallelo) si raddoppia la sezione S e quindi si dimezza la resistenza, ovvero si raddoppia il suo inverso, chiamato conduttanza. In generale, la con-
duttanza di due resistenze in parallelo è la somma delle
singole conduttanze. In un circuito elettrico la resistenza è indicata con il
seguente simbolo: . Ricaviamo ora le leggi di com-posizione in serie e parallelo.
+ +I
RV
I1
1= RV
I2
2=
serie
RV V
I=
+1 2
V1 V2
R1 serie R2 = R1 + R2 12.30
+
I1
RV
I I=
+1 2
R V I2 2= /
R V I1 1= /parallelo
V
I2
R1 parallelo R2 =1 1
1 2
11 2
1 2R R
R R
R R+
=
+
−
12.31
12.5.4 Effetti termici delle correnti
L’energia potenziale di una carica q che si sposta in un campo elettrico cambia di −Vq, dove V è la differenza di potenziale tra punto di partenza e punto di arrivo. Se il moto avviene nella direzione della forza elettrica agente, qV è positivo e l’energia potenziale elettrica diminuisce. È questo il caso di un conduttore in cui le cariche si spo-stano per effetto della forza elettrica: la perdita di energia potenziale elettrica nell’unità di tempo ha le dimensioni di una potenza W ed è data da
W Vdq
dtVI= = 12.32
Questa è l’equazione fondamentale per il calcolo delle potenze elettriche. Quando V e I si riferiscono a differen-
258 Capitolo 12
za di potenziale e corrente di una resistenza la 12.32 e la legge di Ohm (12.26) portano alla seguente espressione della potenza elettrica dissipata come calore da una resi-
stenza:
WV
RI R= =
22 12.33
Questa relazione è nota come legge di Joule. Essa forni-sce la quantità di energia che la resistenza libera sotto forma di calore nell’unità di tempo. Se applichiamo que-sta legge a un cubo di lato l, attraversato da faccia a fac-cia da una densità di corrente |J| ==== I/l2 e con conducibilità σ = 1/Rl, otteniamo l’espressione puntuale della legge di Joule per la densità della potenza dissipata in calore
W
l
dW
dV3
22≈ = =
JE
σσ | | 12.34
Questa formula aiuta a predire dove, in un mezzo con conducibilità non uniforme percorso da corrente (quale per esempio il corpo umano), si avrà la massima dissipa-zione di energia.
12.6 Circuiti elettrici
con condensatori e resistenze
Condensatori, resistenze e batterie(*) sono dispositivi a due terminali (o poli) detti bipoli elettrici. Un circuito si ottiene collegando, secondo lo schema voluto, i terminali dei vari dispositivi; risolvere un circuito vuole dire de-terminare tutte le correnti attraverso i suoi dispositivi e i voltaggi ai loro capi.
12.6.1 Le leggi di Kirchhoff
Consideriamo un circuito costituito da una batteria Vb e dalle tre resistenze R, R1, R2 percorse rispettivamente dalle correnti incognite I, I1, I2. Il nostro scopo è quello di determinare la differenza di potenziale V0 ai capi della resistenza R2. Per risolvere il circuito impostiamo le e-quazioni che esprimono le leggi di Kirchhoff delle maglie e dei nodi. La legge della maglia, o prima legge di Kir-
chhoff, è legata alla conservatività del campo elettrosta-
(*) Il simbolo circuitale della batteria è
tico. Essa afferma che la somma delle differenze di po-tenziale lungo un percorso chiuso, chiamato maglia, deve essere zero.
R2R1
I2
I1
I
R
Vb
V0
La differenza di potenziale (V) tra due terminali è defini-ta come la differenza tra il potenziale del “primo termina-le” (A) e quello del “secondo terminale” (B): V = VA − VB. Perciò quando si assegna un simbolo, o un va-lore, a una differenza di potenziale è indispensabile poter identificare dal disegno il primo terminale e, ove esistano ambiguità, anche il secondo terminale. Una convenzione spesso usata consiste nel marcare con il segno + il primo terminale; in mancanza di altre indicazioni, il valore o simbolo di voltaggio si riferisce al bipolo accanto a cui è posto. Quando si assegna un simbolo o un valore alla cor-rente di un bipolo, si deve indicare con una freccia in che senso debbano spostarsi le cariche positive perché la cor-rente sia positiva. Per esempio, se la corrente I2 attraver-sa la resistenza R2 vi è una differenza di potenziale I2R2 tra il terminale in cui la corrente “entra” (il primo, per convenzione) e quello da cui “esce”. Nel disegno abbia-mo indicato con V0 questa differenza di potenziale (V0 = I2R2) indicando anche esplicitamente tra quali ter-minali va misurata.
Si può scegliere a piacere il senso di percorrenza, ora-rio o antiorario, della maglia: le differenze di potenziale dei bipoli di una maglia vanno prese con il loro segno se il primo terminale precede il secondo, e con segno cam-biato in caso contrario. Per esempio, percorrendo in sen-so orario la prima maglia del circuito del disegno (costi-tuita dalla batteria, R e R1) Vb va preso con segno negati-vo (il primo terminale segue il secondo), IR e I1R1 con il loro segno in quanto le correnti indicate sono concordi con il verso di percorrenza. Si ottiene l’equazione della prima maglia:
−Vb + IR + I1R1 = 0 ⇒ Vb = IR + I1R1 12.35
Con la stessa regola applicata alla seconda maglia, forma-ta da R1 e R2 e percorsa in senso orario, si ha
I2R2 − I1R1 = 0 ⇒ I1R1 = I2R2 12.36
Campi elettrici e correnti 259
L’ultima relazione necessaria per risolvere il circuito proposto si ottiene imponendo che la somma delle cor-renti entranti in un nodo (ovvero punto comune a più di due terminali, segnato da un pallino nero nella figura pre-cedente) deve essere uguale alla somma delle correnti u-scenti da tale punto (legge dei nodi, o seconda legge di
Kirchhoff, che traduce la legge di conservazione della carica elettrica). Per il circuito della figura, la corrente I (entrante) è pari alla somma delle due correnti I1 e I2 (u-scenti)
I = I1 + I2 12.37
Le tre correnti incognite si ricavano facendo sistema con le tre equazioni 12.35 - 12.37.
Questo procedimento generale per la risoluzione di un circuito porta spesso a molte equazioni in molte incogni-te, quanto mai noiose da risolvere manualmente. Tuttavi-a, procedimenti di tipo intuitivo possono portare più ra-pidamente alla soluzione. Nel nostro caso, per esempio, è conveniente notare che R è in serie al parallelo formato da R1 e R2; perciò la resistenza totale ai capi della batte-ria vale
R RR R
R R
RR RR R R
R Rtot = +
+=
+ +
+1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
da cui la corrente uscente dalla batteria è
IV
R= b
tot
e la tensione V0 è
V V IR VR
RV
R R
RR RR R R0 b b b= − = −
=
+ +1 1 2
1 2 1 2tot
12.6.2 La scarica del condensatore
Nel caso rappresentato in figura, un condensatore con una carica iniziale Q(0) e un voltaggio V(0) = Q(0)/C viene collegato al tempo t = 0 alla resistenza R.
I(t)
V(t)RC
++
Dalla chiusura dell’interruttore in poi vi è lo stesso po-tenziale V(t) ai capi del condensatore e della resistenza e, con le convenzioni di segni della figura, la corrente I(t) è positiva se il voltaggio V(t) è positivo. Possiamo perciò scrivere
V(t) = RI(t) = Q t
C
( ) 12.38
La 12.38 esprime allo stesso tempo la legge del conden-satore, la legge di Ohm per la resistenza, e la legge della maglia. Se in un piccolo tempo dt la carica sul condensa-tore cambia di dQ, dal condensatore viene emessa una corrente −dQ/dt che deve essere uguale a quella circolan-te nella resistenza, V(t)/R. Perciò
dQ
dt
V t
R
Q t
RC= − = −
( ) ( ) 12.39
Si noti che dQ è negativo (il condensatore si scarica) mentre V(t)/R è positivo: questo intuitivamente spiega il segno negativo nella 12.32. Poiché il cambio della carica nell’unità di tempo è proporzionale alla carica presente, la carica del condensatore cambia nel tempo con legge esponenziale (vedi Equazioni 6.48 e 6.49); perciò la 12.39 è risolta da
V tQ t
C
Q
Ce
t
RC( )( ) ( )
= =−0
12.40
Quando la carica iniziale del condensatore si è ridotta di e = 2.71 (base dei logaritmi naturali) è passato un tempo τ = RC detto costante di tempo del circuito:
Q Q eQ
e( ) ( )
( )τ = =−0
01
Per esempio, se R = 1 kΩ, C = 1 µF, la costante di tempo è τ = (103) Ω × (10−6) F = 10−3 s.
Studiamo ora, senza risolverlo completamente, il se-guente circuito nel quale all’istante iniziale il condensato-re è scarico (Q(0) = 0) e viene chiuso il contatto con la batteria.
V(t)R1
++
CVb
R
Poiché Q(0) = 0 la differenza di potenziale iniziale su C sarà V(0) = 0 e dalla batteria uscirà inizialmente la cor-
260 Capitolo 12
rente I(0) = Vb/R. Quando, dopo un tempo idealmente in-finito, la carica del condensatore è completata, C non as-sorbe più corrente; tutta la corrente uscente dalla batteria passa attraverso la serie di R e R1 e vale perciò
IV
R R( )∞ =
+b
1
La differenza di potenziale V(t) ai capi del condensatore passa da zero, al tempo iniziale, al valore asintotico V(∞) = R1I(∞) = VbR1/(R + R1). Dal punto di vista del condensatore, le due resistenze R e R1 sono connesse in parallelo ai suoi morsetti; perciò la costante di tempo del-la carica sarà
τ =+
CRR
R R
1
1
La legge di variazione temporale di V(t) è data da
V t V e VR
R Re
t
b
R R
CRRt
( ) ( )= ∞ −
=+
−
− −+
1 11
1
1
1τ
ed è rappresentata in figura per il caso in cui Vb = 6 V, R = 1 kΩ, R1 = 5 kΩ, C = 1 µF.
V(t)
t (10−3s)
0 42
4
2
0
Se in un circuito inizialmente a riposo (cioè con conden-satori scarichi) vengono “accese” delle differenze di po-tenziale, le correnti iniziali si possono calcolare ponendo al posto dei condensatori dei cortocircuiti; perciò, ini-zialmente, nel circuito precedente tutta la differenza di potenziale del generatore risulta applicata su R, in cui circola una corrente Vb/R. Le correnti asintotiche, o di regime, si calcolano “scollegando” idealmente i conden-satori, ossia ignorando i loro contributi a maglie e nodi. La corrente asintotica del generatore è perciò data dal rapporto tra Vb e (R + R1).
12.7 Effetti biologici delle correnti
elettriche
Oggi ci si trova costantemente in vicinanza di dispositivi elettrici progettati per produrre suoni, movimenti, radia-zioni... L’effetto indesiderato più comune di questi dispo-sitivi è il danno elettrico, causato esclusivamente dal passaggio di corrente per il corpo. Ci si può appoggiare tranquillamente a un filo ad alta tensione fino a che non si crei un cammino per le cariche che, passando per il cor-po, raggiunga un punto al potenziale di terra. Descrivia-mo ora i principali effetti biologici che si manifestano al crescere dell’intensità di corrente.
1. Stimolo sensoriale. Con la lingua possiamo avverti-re il passaggio di 50 µA, ma occorre una corrente al-ternata a 50 Hz di circa 1 mA per avvertire una sen-sazione nella mano (soglia di sensibilità per la cor-rente).
2. Contrazione muscolare. I muscoli della mano ten-dono a contrarsi per correnti di alcuni milliampere. Oltre un limite detto corrente di rilascio, la metà delle persone non è in grado di rilasciare la mano at-traversata da corrente. Per correnti oscillanti a fre-quenze tra i 20 e 200 Hz la corrente di rilascio è di circa 15 mA; per correnti continue è di ~50 mA. La corrente di rilascio fissa il limite del pericolo, perché al di sopra di questa la persona viene “congelata” al circuito.
3. Blocco respiratorio e fibrillazione cardiaca. Pos-sono avvenire per correnti di poco superiori alla cor-rente di rilascio, dipendono dal percorso seguito dal-la corrente nel corpo e costituiscono pericolo mortale se di durata superiore ad alcuni secondi. Sono la cau-sa più comune di morte per folgorazione. La persona colpita da scarica elettrica va trattata come un anne-gato, con respirazione forzata e massaggio cardiaco.
4. Danni reversibili ai tessuti, in particolare al midollo spinale (paralisi temporanee), agli organi di senso (vertigini, sordità, indebolimento della vista), al cer-vello (stati confusionali e disturbi psichici, di solito transitori).
5. Distruzione di tessuti per elettrolisi delle cellule o riscaldamento. L’effetto di riscaldamento dipende sia dalla durata della scarica elettrica sia dalla potenza
Campi elettrici e correnti 261
depositata nell’unità di volume. È di solito molto più pronunciato sulla pelle, a causa della sua elevata re-sistività. Anche l’area del contatto attraverso cui la corrente entra nel corpo gioca un ruolo importante: infatti dalla 12.34 si può notare che, a parità di cor-rente, la densità di potenza quadruplica al dimezzare dell’area di contatto. L’aumento locale di temperatu-ra ∆T è stimabile come
∆T =×potenza depositata sul volume tempo
calore specifico per unità di volume
Sotto la pelle la resistività è molto più bassa e la corrente si sparpaglia (sull’intero arto, sul tronco) riducendo gli effetti di riscaldamento. Una scarica elettrica tanto forte da provocare la necrosi dei tessuti non è in genere dolo-rosa perché le terminazioni sensitive sul cammino della corrente vengono distrutte quasi immediatamente. Chi sopravvive a una scarica ustionante è in pericolo per la lenta morte dei tessuti adiacenti a quelli necrotizzati, che possono liberare quantità di tossine tali da portare al so-vraccarico renale.
Riassunto
Sono state qui introdotte relazioni che sono fondamentali in svariate discipline, come l’elettrotecnica, l’elettro-chimica e la fisiologia. Si è iniziato applicando un’equa-zione di Maxwell, nota anche come legge di Gauss, al calcolo del campo elettrico; ricordando che, nel vuoto, il flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiu-sa è uguale alla carica contenuta divisa per ε0 e sceglien-do la superficie in modo da ottenere l’espressione più semplice possibile per il flusso, è possibile calcolare il campo alla superficie di una sfera conduttrice carica, so-pra un piano di cariche, in prossimità di una lunga fila di cariche e sulla superficie di un conduttore.
Sempre dalle equazioni di Maxwell discende che in regime di campi magnetici lentamente variabili il campo
elettrico è conservativo e ammette potenziale. Il potenzia-le in un punto P a distanza r da una carica puntiforme Q vale V(P) = Q/4πε0r , dove si è assunto come punto di ri-ferimento (a potenziale nullo) il punto all’infinito.
Il fenomeno dell’induzione elettrostatica dipende dal fatto che le cariche mobili in un conduttore tendono a spostarsi per effetto di un campo elettrico: lo spostamento cessa solo quando, all’interno del conduttore (o dello schermo conduttore) si ha campo elettrico totale nullo. L’induzione elettrostatica fornisce il meccanismo princi-pale che porta all’accumulo di cariche nell’atmosfera e che produce i fulmini.
A un conduttore carico o a due conduttori accostati con cariche uguali e di segno opposto (condensatore) si può associare, come proprietà intrinseca, la sua capacità elettrica C e una energia EC che dipende dalla carica:
EC = Q
C
2
2
Il materiale isolante (dielettrico) che è interposto tra le armature di un condensatore si polarizza, ossia cariche positive e negative di una stessa molecola neutra si spo-stano le une rispetto alle altre in modo da ridurre il cam-po elettrico a esse applicato. Per deboli campi elettrici, la polarizzazione può essere descritta mediante la costante dielettrica relativa, εr, che è in pratica il fattore di ridu-zione del campo elettrico generato da una carica per ef-fetto della presenza del dielettrico.
Una carica sottoposta a un campo elettrico dovrebbe accelerare indefinitamente, ma in un mezzo materiale le frequenti collisioni con atomi o molecole portano a rag-giungere una velocità di regime e a dissipare in calore il lavoro compiuto dal campo elettrico. In un tratto di con-duttore percorso da corrente si ha perciò una differenza di potenziale e una dissipazione di energia elettrica in ca-lore (legge di Joule).
Si inizia in questo capitolo lo studio dei circuiti elet-trici discutendo i casi delle resistenze in serie e parallelo e della carica e scarica del condensatore.
ESERCIZI RISOLTI ______________________________________________________________
Esercizio R12.1 Secondo il modello atomico di Bohr, l’elettrone dell’atomo d’idrogeno (con massa me = 9.11 × 10−31 kg, carica q = e = 1.6 × 10−19 C) percorre un’orbita circolare di raggio r = 5.3 × 10−11 m attorno al suo nucleo con frequenza (determinata dall’attrazione elettrica) pari a (in Hz)
262 Capitolo 12
(A) 107 (B) 13.5(1012) (C) 6.6(1015) (D) 3.0(108) (E) 9.0(1016)
Soluzione Occorre eguagliare la forza centripeta, ricavata dalla accelerazione angolare, e l’attrazione coulombiana tra due cariche uguali:
m r kq
r
k
m
q
re e
e
eHzω ν
ω
π π2
2
2
2
315
2
1
26 6 10= ⇒ = = ≈ . ( )
Esercizio R12.2 Una carica elettrica q0 = +1 mC si trova nell’origine di un asse mentre una carica negativa
q1 = −4 mC si trova nel punto di ascissa −1 m. Sia Q il punto dell’asse dove il campo elettrico si annulla e P il punto dove il potenziale elettrico si annulla. Il rapporto xQ /xP vale
(A) 1/3 (B) 1/2 (C) 1 (D) 2 (E) 3
Soluzione La situazione dei campi elettrici è schematizzata nella seguente figura:
−1 0 xQxP
E0E1
E0E1
q1 q0
A destra di q0 (ascisse positive) i due campi E0 ed E1 hanno verso opposto e la loro somma si può annullare. Il punto xQ si trova come radice positiva dell’equazione (dove le ascisse sono in metri)
( )E E0 1
02
12
2 2
12 1 4 1= ⇒ =
+⇒ + + = ⇒ =
q
x
q
x
x x x x
Q Q
Q Q Q Q m
Tra le due cariche, i due campi hanno lo stesso verso e non si possono annullare. A sinistra di q1, |E1| è sempre maggiore di |E2| . Perciò il punto trovato è l’unico in cui il campo si annulla. Imponiamo ora l’annullamento del potenziale
q
x
q
xx x x
0 1
10 1 4 1 3
P PP P P m+
+= ⇒ + = ⇒ = /
da cui xQ/xP = +3 Esercizio R12.3 Un dipolo elettrico, inizialmente orientato lungo l’asse x, è costituito da uno ione monovalen-
te positivo, e = 1.6(10−19) m, e uno negativo alla distanza d = 3(10−10) m.
E
d/2
ed
ed
ϕ
e−e
y
x
Il dipolo viene posto in un campo elettrico uniforme diretto verso la direzione positiva
Campi elettrici e correnti 263
dell’asse y con E = 2(105) V/m. Se il dipolo può orientarsi nel campo elettrico la sua energia potenziale diminuisce di
(A) 2eEd (B) eEd (C) eEd/2 (D) eEd/3 (E) eEd/4
Soluzione La carica positiva si sposta di d/2 nella direzione del campo elettrico il quale compie su que-sta un lavoro eE d/2, pari a quello compiuto sulla carica negativa, e complessivamente uguale alla perdita di energia potenziale del dipolo edE = 9.6(10−24) J (risposta B). L’energia poten-ziale del dipolo si può scrivere come prodotto scalare tra il campo elettrico E e momento di dipolo qd cambiato di segno:
E e Eed= − ⋅ = −E d cosϕ
Tale energia è minima quando campo elettrico e momento di dipolo sono paralleli e massima quando sono antiparalleli.
Esercizio R12.4 Se un protone (e = 1.6(10−19) C) ha raggio r = 1.2(10−15) m, la sua energia elettrostatica è
pari a circa (1 MeV= 1.6(10−13) J).
(A) 0.6 MeV (B) 1.6 MeV (C) 1.11 MeV (D) 0.314MeV (E) 3.0 MeV
Soluzione In prima approssimazione, si può utilizzare la formula dell’energia per la sfera conduttrice carica, e2/2C = e2/8πε0r ≈ 0.6 MeV che differisce poco (~20%) dalla formula calcolabile per l’energia della sfera uniformemente carica (3e2/20πε0r)
Esercizio R12.5 Quattro piastre conduttrici parallele di area S, separate tra di loro da una distanza d, vengono
collegate nei due modi indicati in figura.
b
c
a
c
b
a d
S
C2C1
Il rapporto tra le capacità delle due configurazioni, C1/C2, vale
(A) 1 (B) 2/3 (C) 3/2 (D) 2 (E) 1/2
Soluzione Indichiamo con C = ε0S/d la capacità di due piastre affacciate di polarità differente. La capa-cità nella configurazione di sinistra è C1 = 3C in quanto si può pensare come fatta dal paralle-lo di tre coppie diverse di piastre (a, b, c) costituite da armature con polarità (+, −) opposta. Nel caso di destra, la coppia b non contribuisce alla capacità perché formata da armature allo stesso potenziale; il condensatore di destra è dato dal parallelo tra la coppia a e c: C2 = 2C. Perciò C1/C2 = 3/2.
Esercizio R12.6 Una centrale idroelettrica eroga una potenza Wtot di 2(105) W a una fabbrica distante 5 km.
La linea elettrica è costituita da due cavi di rame (resistività del rame 1.7(10−8) Ωm) di sezio-ne S = 1 cm2 e lunghezza complessiva l = 104 m. Calcolare il rapporto delle potenza dissipata nei cavi quando la linea è alimentata a 1000 V e quando la linea è alimentata a V = 104 V.
(A) 0.1 (B) 1 (C) 10 (D) 100 (E) 1000
264 Capitolo 12
Soluzione La resistenza dei cavi è
Rresistività lunghezza
sezione=
×=
× ×=
−
−
17 10 10
1017
8 4
4.
. Ω
La corrente che vi passa è I = Wtot/V, pari a 200 A per la linea a 1000 V e pari a 20 A per la linea a 104 V. La potenza WR dissipata nella resistenza della linea è
W I RR = =× =
× =
22 4
2200 17 6 8 10
20 17 680
. . ( )
.
W a 1000 V
W a 10 V 4
Il rapporto tra le potenze dissipate è perciò 100, pari al quadrato del reciproco del rapporto tra i voltaggi. Oltre che aumentare il voltaggio, per diminuire le perdite si può aumentare la sezione S della linea, con corrispondente riduzione della resistenza per unità di lunghezza, ma con aumento di costo e peso della linea.
Esercizio R12.7 Un condensatore è formato da due piastre piane di area S = 0.1 m2 distanti d = 1 cm. Lo spa-
zio tra le armature è pieno per 3/4 di olio (εr1 = 5, d1 = 0.75 cm) e per il restante 1/4 d’aria (εr2 ≈ 1, d2 = 0.25 cm).
d2 = 0.25 cm
d1 = 0.75 cmεr1=5
εr2=1
La capacità del condensatore è pari a circa
(A) 0.47 nF (B) 314 pF (C) 111 pF (D) 5.31 nF (E) 221 pF
Soluzione Possiamo pensare al condensatore come costituito da un condensatore
CS
d
r1
1
1=
ε εo in serie con CS
d
r2
2
2=
ε εo
La capacità C del condensatore complessivo è
pF221)(2112
21o1
2
2
1
10
112
11 ≈
+=
+=+=
−−−−
rr
rr
rr dd
SddSCCC
εε
εεε
εεε
Esercizio R12.8 Una batteria può essere schematizzata come un generatore di tensione V in serie a una resi-
stenza interna Rin:
Rin
I
R
Quando la resistenza esterna vale R1 = 2 Ω si misura una corrente I1 = 2.4 A; quando la resi-
Campi elettrici e correnti 265
stenza esterna vale R2 = 4.5 Ω la corrente si riduce a I2 = 1.2 A. La resistenza interna vale all’incirca
(A) 0.1 Ω (B) 0.2 Ω (C) 0.5 Ω (D) 0.67Ω (E) 1.0 Ω
Soluzione La resistenza interna è in serie alla resistenza esterna R e possiamo scrivere l’equazione della maglia una volta con R = R1 e un’altra con R = R2:
V R R I
V R R I
RR I R I
I I
V R R I
= +
= +
⇒
=−
−=
= + =
( )
( )
.
( )
in
in
in
in V
1 1
2 2
2 2 1 1
1 2
1 1
0 5
6
Ω
Esercizio R12.9 Nel circuito della figura si ha R1 = 5 Ω, R2 = 2 Ω e R3 = 3 Ω e nella resistenza R1 passa una corrente di 1 A.
I1= 1 AR1
R3V R2 +
Il voltaggio V ai capi della batteria vale
(A) 5 V (B) 10.5 V (C) 21.0 V (D) 15.5 V (E)
Soluzione Ai capi di R1 vi è un voltaggio V1 = I1R1 = 5 V; perciò in R2 fluisce una corrente I2 = 5V/R2 = 2.5 A e nella resistenza R3 passa la somma delle correnti I1 e I2; I3 = I1 + I2 = 3.5 A. La caduta di tensione ai capi di R3 è perciò V3 = I3R3 = 10.5 V e il vol-taggio richiesto è V = V1 + V3 = 15.5 V
Esercizio R12.10 Una batteria con V = 6 volt e una resistenza interna di Rin = 0.2 Ω viene attaccata al tempo
t = 0 a un circuito formato dal parallelo tra una capacità C = 2 mF e una resistenza R = 10 Ω.
R C
V
Rin
+
Quale tra le seguenti affermazioni è falsa ?
(A) L’energia immagazzinata in C è sempre minore di (1/2)CV2
(B) La corrente che passa in R è nulla al tempo t = 0
(C) L’energia complessivamente dissipata in Rin nel primo secondo è maggiore dell’energia immagazzinata nello stesso tempo in C
(D) La corrente che passa in Rin è massima a t = 0
(E) La potenza dissipata in R è sempre maggiore o uguale di quella dissipata in Rin
Soluzione Un’analisi semplificata di un circuito in corrente continua (V costante) con condensatori
266 Capitolo 12
inizialmente scarichi si effettua come segue:
1. All’istante iniziale i condensatori vengono considerati dei cortocircuiti. Nel nostro caso, al tempo t = 0, in Rin passa perciò la corrente massima V/Rin e in R non passa alcuna cor-rente, avendo differenza di potenziale nulla ai suoi estremi. Segue che le risposte B e D sono giuste e la E sbagliata perché all’istante iniziale la potenza dissipata in Rin è mag-giore di quella dissipata in R.
2. Dopo un tempo “lungo”, molto maggiore del tempo di carica dei condensatori, questi raggiungono un valore asintotico di voltaggio e di carica e per questo non assorbono più corrente; possono perciò essere considerati come circuiti aperti e trascurati dal punto di vista delle correnti; la corrente asintotica che passa nelle due resistenze è Ia = V/(Rin + R) mentre il voltaggio asintotico ai capi di R, e quindi del condensatore, è Va = RIa ≈ 5.88 V. L’energia asintotica sul condensatore è perciò
EV C V C R
R R
V C V CC = =
+
≈ <a
in
2 2 2 2 2
2 20 96
2 2.
La risposta A è esatta. Per analizzare l’affermazione C consideriamo prima il circuito privo della resistenza R (ovve-ro, poniamo R = ∞) e indichiamo con Qa = CV la carica asintoticamente raggiunta dal con-densatore. Quando il condensatore ha raggiunto una qualunque carica Q ≤ Qa = VC, la sua energia è EC =Q2/2C mentre l’energia complessivamente prodotta dal generatore è Eg = QV. L’energia complessivamente dissipata dalla resistenza Rin è la differenza
E E Q VQ
CQ
Q
C
Q
Cg C
a− = −
≥ ≥
2 2 2
2
che è sempre maggiore di EC fino a quando il condensatore non raggiunge un voltaggio asin-totico pari a quello del generatore. Si noti che questo ragionamento è indipendente dal valore di Rin: caricare un condensatore con un generatore a voltaggio costante comporta sempre la dissipazione di metà dell’energia totale fornita dal generatore. In presenza di una resistenza R in parallelo a C, il voltaggio asintotico è minore di quello del generatore e la dissipazione su Rin aumenta a causa della corrente che passa per R. Perciò la risposta C è sempre vera.
ESERCIZI PROPOSTI____________________________________________________________ Esercizio 12.1 L’energia che occorre fornire all’elettrone orbitante dell’atomo di idrogeno del problema
R12.1 per allontanarlo per sempre dal suo nucleo è pari a circa (in eV = 1.6 × 10−19 J)
(A) 1 eV (B) 6.28 eV (C) 13.6 eV (D) 27.2 eV (E) 576 eV
Esercizio 12.2 Tre elettroni sono posti ai vertici di un triangolo equilatero di 0.2 nm di lato. Il campo elettri-
co nel baricentro del triangolo ha modulo pari a circa (in unità di 1011 V/m)
(A) 0 (B) 3.6 (C) 5.1 (D) 2.55 (E) 1.7
Campi elettrici e correnti 267
Esercizio 12.3 L’energia di un condensatore di 0.04 F è di 0.5 J quando la sua differenza di potenziale è di
(A) 2 V (B) 5 V (C) 10 V (D) 25 V (E) 50 V
Esercizio 12.4 Due sferette conduttrici uguali di 100 g l’una sono appese mediante fili lunghi 50 cm a un
punto P. P
l
ϑ
m,qm,q
Se, quando le sfere sono caricate elettricamente con carica uguale q, i fili formano un angolo di 30° con la verticale, la carica q vale
(A) 1.0 µC (B) 2.2 µC (C) 3.14 µC (D) 3.9 µC (E) 9.8 µC
Esercizio 12.5 Tra le armature del condensatore della figura, distanti 1 cm, vi è una differenza di potenziale
di V = 2 kV. All’istante t = 0 un protone (mp = 1.67 × 10−27 kg) lascia l’armatura positiva e contemporaneamente un elettrone (me = 9.11×10−31 kg) lascia quella negativa.
−
−
−
−
1 cm
ep
++++
Le due particelle si incontreranno a una distanza dall’armatura positiva pari a circa
(A) 0.5 cm (B) 0.25 cm (C) 0.5 mm (D) 0.05 mm (E) 5 µm
Esercizio 12.6 Tra i punti A e B vi è una differenza di potenziale di 120 V e i condensatori hanno i seguenti
valori: C1 = 0.3 µF, C2 = 0.4 µF, C3 = 0.2 µF.
BA 120 V
C3
C2
C1
268 Capitolo 12
La carica sull’armatura del condensatore C1 è pari a circa (in µC)
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 11 (E) 24
Esercizio 12.7 Per portare da 10°C a 100°C un litro d’acqua utilizzando una resistenza elettrica in cui ven-gono dissipati 1000 W, trascurando le perdite, occorre un tempo pari a circa
(A) 10 s (B) 90 s (C) 6' (D) 15' (E) 1 h
Esercizio 12.8 Una batteria per auto fornisce 12 V e ha una carica di 40 ampere × ora (A⋅h). Se una luce di
posizione consuma 5 W, essa scaricherà completamente la batteria in circa
(A) 8 h (B) 24 h (C) 36 h (D) 48 h (E) 96 h
Esercizio 12.9 Nel circuito della figura la differenza di potenziale ai capi di R1 è di 4 V e i valori delle resi-
stenze sono R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω.
R1
VR3R2+
La differenza di potenziale V ai capi della batteria è di
(A) 10 V (B) 22 V (C) 50 V (D) 220 V (E) 760 V
Esercizio 12.10 Durante il processo di carica di un condensatore C, inizialmente scarico e collegato al tempo
t = 0 a un generatore continuo V mediante una resistenza R, la potenza immagazzinata dal condensatore è massima al tempo (in unità RC)
(A) 0 (B) 0.368 (C) 0.500 (D) 0.693 (E) 1
