Fisica II - Informatica Forza Magnetica su un conduttore

Fisica II - Informatica

Forza Magnetica su un conduttore


Forza magnetica agente su un filo percorso da corrente

• Consideriamo un filo percorso da una corrente in presenza di un campo magnetico B.

dF I dl B

qv B

• Forza su ciascuna carica =

dF dq v B

• Forza su dq

N S

Per un filo di lunghezza L che trasporta una current I, la forza agente su di esso è: BLIF

v

dℓ

Idq

dq dI v

dt dt

• Poichè e

• Agirà una forza su ciascuna delle cariche che si muovono nel filo. Quale sarà la forza totale netta dF su una porzione di filo di lunghezza dl ?

• Consideriamo una carica dq che si muove con velocità v lungo un filo di sezione A.



Se il filo ha una lunghezza finita L e B è uniforme allora:

dℓx

z

ydℓ

B

dF

x

z

y

B

dF

( )b b

a a

F I d B I d B I L B



Se il filo è una spira chiusa e B è uniforme allora:

0 0F I d B poichè d

La forza magnetica netta agente su una spira chiusa immersa in un campo magnetico B uniforme è NULLA


1 2

parte rettilinea

F I B IRB

poichè B direzione uscente dal grafico

Conduttore percorso da corrente I, in un campo B uniforme e . Consideriamo le due forze agenti:

2

2 2

2 00 0

:

, :

0 1 1 2

semicirconferenza

dF I ds B IB sen ds

poichè s R e quindi ds Rd

dF IRB sen d diretta verso l'interno del grafico per ottenere F integriamo

F IRB sen d IRB sen d IRB -cos

IRB cos cos IRB IRB

F

1 2 0F F

Es.: Forza agente su un conduttore semicircolare


Forza su una spira percorsa da correnteSe la spira non è “immersa” completamente nel campo magnetico B, la forza sulla spira può essere 0.

La forza magnetica sulla parte alta della spira è 0 poichè B=0.La forza magnetica sulle due sezioni verticali (sinistra e destra) della spira sono eguali e opposte.La forza totale F “tira” la spira verso il basso

B uscente dalla pagina

Corrente I nella spiraFR

F

FL


Forza su una spira percorsa da corrente

E’ sempre importante considerare la simmetria. Nella figura in basso un filo che porta una corrente I consiste di due sezioni “dritte” ed una a semicerchio.

Dividiamo il segmento in 3 sezioni: sinistra e destra “dritte” più quella semicircolare

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

B verso l’interno della pagina

i

FRFL

dF

d

dℓ


Le forze sulle sezioni “dritte” sono eguali e opposteDividiamo il semicerchio in elementi infinitesimi

FX = 0 poichè le componenti x si cancellano tra loro a causa della simmetria del semicerchio.

Si sarebbe potuto ottenere lo stesso risultato notando che:

Forza su una spira percorsa da corrente

siny

d Rd dF i d B

dF iBRd dF iBR d

00 0

sin sin cos 2yF F iBR d iBR d iBR iBR

2R


Forza magnetica su una spira percorsa da corrente

• Consideriamo una spira in un campo magnetico (vedi fig.): Se il campo è al piano della spira, la forza totale agente sulla spira è 0 !

• Se il piano della spira non è al campo, ci sarà un momento torcente non-nullo agente sulla spira !

B

x

.FF

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

B

I

F

F

FF– la forza sul tratto superiore cancella

quella sul tratto inferiore (F = IBL)

– la forza sul tratto destro cancella quella sul tratto sinistro. (F = IBL)


Momento torcente (motori elettrici)

1 32 2

sin sin

b bF sen F sen i a B b sen i ab B sen

per N spire N N i ab B N i A B


Forze magnetiche e motori elettrici


• Supponiamo che la bobina abbia larghezza w (il lato che si vede) e lunghezza L (verso l’interno dello schermo). Il momento torcente è dato da:

Definiamo r1 e r2 come i vettori distanza dal centro della spira verso sinistra e destra, essendo L la lunghezza totale.

I vettori 1 e 2 puntano entrambi all’interno della pagina. Anche il momento totale punta all’interno della pagina.

Calcolo del momento torcente

21

iwLB2

wiLB

2

wiLB90sin

2

wF90sin

2

wF 0

20

1

Bx

F1

F2

r1 r2

w/2 w/2

Fr


Calcolo del momento torcente

• Notare: se B, sin = 0 = 0

massimo quando è parallelo a B

IABτ

AIBsin

dove A = wL = area spira

BAIτ

r × F

F

r

• Poichè wL è l’area A racchiusa dalla spira, allora

• In generale, il momento torcente è:

B

x

.

w

F F

A

A

A


Applicazioni: strumenti ad indice


Momento di Dipolo Magnetico

• Possiamo definire il momento di dipolo magnetico di una spira percorsa da corrente come segue:

direzione: al piano della spira nella direzione del pollice della mano destra se le dita indicano la direzione della corrente.

modulo : AI

• Il momento torcente può quindi essere riscritto come:

• Se vi sono N avvolgimenti (bobina), = NAI

AIBsin Bμτ

Bx

.

F F


Analogia con il dipolo Elettrico

(per avvolgimento)EqF

BLIF

aq2p

NAIμ

Epτ

Bμτ

Frτ

Frτ

Bx

.

E

.

+q

-qF F

F

F

p


Dipolo magnetico


Leggi di Biot-Savart e di Ampère

x

Rr

P

idx

dl

i


Leggi fondamentali per il calcolo di B

• Legge di Biot-Savart (“forza bruta”)• Legge di Ampere (“elevata simmetria”)

• Esempio: campo generato da un filo rettilineo

• da legge di Biot-Savart• da legge di Ampere

• Forza esercitata su due conduttori paralleli percorsi da corrente


Analogia: Calcolo del Campo Elettrico

Quali sono le analoghe equazioni per ilCampo Magnetico ?

• due metodi di calcolo

“forza bruta"rr

qE ˆ

4

12

0

– legge di Coulomb

“alta simmetria"

– legge Gauss

qSdE

0


Calcolo del Campo Magnetico

• due metodi di calcolo

“forza bruta"30

4 r

rsdπiμ

Bd i

– legge di Biot-Savart

“alta simmetria"isdB 0– legge di Ampere

Sono equazioni analoghe


Legge di Biot-Savart

2

ˆm

I ds rdB k

r

i

X

dB

ds

r

... riassumendo in formula

esperimento:

rdB

21

dB ds

dB r

dBr

dB i

dB ds

dB sen


Legge di Biot-Savart

02 2

ˆ ˆ

4m

μI ds r I ds rdB k

r π r

i

70 2

T m4 10

A

Il campo magnetico “è distribuito” intorno al filo

XdB

ds

r

0 0

1c

permeabilità magnetica

rdB

Per calcolare il valore totale occorre sommare vettorialmente i contributi di tutti gli elementi di corrente (integrare)

I ds

La legge di B-S fornisce il valore del campo magnetico generato in un punto dall’elemento di corrente


B dovuto a un filo rettilineo

• Calcoliamo il campo in P usando la legge di Biot-Savart :

x

Rr

P

idx

034

μ i dx rdB

π r

03

( ) sin

4

μ i dx r θB dB

π r

Direzione di B ? z

Il risultato finale è: 0

2

μ iB

πR

y

vediamo come ...


• scriviamo in termini di R

x

Rr

P

idx0

3

( ) sin

4

μ i dx r θB dB

π r

sin

Rr

θ tan

Rθ

x cotx R θ

quindi, 2

1

sindx R dθ

θ

2

(sin ) sindx θ θdθ

r R

034

μ i dx rdB

π r

y


• Calcoliamo il campo in P usando la legge di Biot-Savart

Direzione di B ? z


0

0

sin4

πμ IB θdθ

πR 0

0cos

4

πμ iB θ

πR

quindi, 0

2

μ iB

πR

x

Rr

P

idx

0

0

sin4

π μ i dθB θ

π R



B dovuto ad un filo di lunghezza finita

2 2

1 1

2

1

0

0 02 1

02 1

cos4

sin sin sin( )4 4

sin sin( )4

iB dB d

y

i iB

y y

i

y

y

P

i1

2

y = lungh. segmento


Esempio 1

(a) B = 0 (b) B = (i)/(2R) (c) B = (i)/(2R)

R

i

Qual è il valore del campo magneticoal centro della spira di raggio R, in cuiscorre una corrente i ?

Usiamo Biot-Savart per calcolare il campo magnetico al centrodella spira:

30

4 r

rsd

π

iμBd

Teniamo conto che:• ids is sempre perpendicolare a r• r è costante (r = R)

R

iμR

R

iμds

R

iμ

R

RdsiμdBB

2)π2(

π4π4

)(π4

02

02

03

0


Legge di Ampere

“Elevata simmetria”

IldB 0

I

Integrale lungo un cammino … sperabilmente uno semplice Corrente “racchiusa” dal

cammino

L’integrale di linea B·dl lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale a 0I, con I corrente continua totale concatenata col percorso chiuso.


• Calcoliamo il campo a distanza R dal filo usando la legge di Ampere:

dl Ri

• Scegliamo come linea chiusa un cerchio di raggio R centrato sul filo in un piano al filo. – Perchè ?

• Il valore di B è costante (funzione di R soltanto)

• La direzione di B è parallela al percorso.

B dovuto ad un filo rettilineo

La legge di Ampere semplifica il calcolo grazie alla simmetria della corrente ! (assiale/cilindrica)

πR

iμB

20

– Calcoliamo l’integrale di linea:– La corrente racchiusa dal percorso

vale iiμπRB 02

– Applichiamo la Legge di Ampere:

)2( πRBsdB

0B ds i


Esempio 2Una corrente i fluisce in un filo rettililineo infinito nella direzione +z (vedi fig.). Un cilindro infinito concentrico di raggio R porta una corrente 2i nella direzione -z. – Quanto vale il campo magnetico Bx(a)

nel punto a, appena al di fuori del cilindro ?

(a) Bx(a) < 0 (b) Bx(a) = 0 (c) Bx(a) > 0

• Lo schema ha una simmetria cilindrica

• Applicando la legge di Ampere, si vede che il campo nelpunto a deve essere il campo prodotto

da un filo infinito percorso da una corrente i nella direzione –z ! x

i

B

B

B

B

xx

xx

xx

x

x

2ii

a

b

x

y


Esempio 3

(a) Bx(b) < 0 (b) Bx(b) = 0 (c) Bx(b) > 0

• Questa volta, il percorso di Ampere racchiude solo la corrente i in direzione +z — il percorso è interno al cilindro !

• La corrente nel tubo cilindrico non contribuisce al valore di Bnel punto b.

xx

xx

xx

x

x

2ii

a

b

x

y

i

B

Una corrente i fluisce in un filo rettililineo infinito nella direzione +z (vedi fig.). Un cilindro infinito concentrico di raggio R porta una corrente 2i nella direzione -z. – Quanto vale il campo magnetico

Bx(a) nel punto b, appena dentro il cilindro ?


Domanda

• Come facciamo a verificare il risultato precedente ?

Ci aspettiamo che B generato dal filo sia i/R.

• Misuriamo la FORZA agente sul filo che porta la corrente, dovuta al campo B generato da UN SECONDO FILO attraversato da corrente !

• Come dipende questa forza dalle correnti e dalla distanza di separazione ?

d

ia

ib

F


F su 2 Fili Parallelipercorsi da corrente

• Calcoliamo la forza sulla lunghezza L del filo a dovuta al campo generato da b:Il campo in a dovuto a b è :

πd

iμB b

b 20 Modulo di F

agente su a=

d

LiiBLiF ba

baa

20

• Calcoliamo la forza su una lunghezza L del filo b dovuta al campo generato da a:Il campo in b dovuto ad a è :

πd

iμB a

a 20 Modulo di F

agente su b d

LiiBLiF ba

abb

20

=

F

L dib

ia

B

F

L dib

ia

B


Forza tra due conduttori paralleli

• Correnti parallele e concordi si attraggono, mentre correnti parallele e discordi si respingono.

• La forza che agisce tra le correnti è utilizzata per definire l’ampere:

• L’Ampere è quella corrente costante che, se mantenuta in due conduttori rettilinei di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile, e posti ad 1 m di distanza, producono su ognuno di questi conduttori una forza pari a 2•10-7 N per m di lunghezza.


B all’interno di un filo rettilineo infinito•Supponiamo che una corrente totale i scorra attraverso il filo di raggio a verso l’interno dello schermo.

•Calcoliamo B in funzione di r, la distanza dal centro del filo.

x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x a

r

• Il campo B è funzione solo di r scegliamo

un percorso circolare di raggio r: )π(2 rBldB

•Corrente che scorre nella sezione di raggio r :2

racchiusa 2

ri i

a

• Legge di Ampere : o racchiusaB dl μ i

2

0

π2 a

riμB


x =

y =• All’interno del filo: (r < a)

• All’esterno del filo: ( r > a )

r

B

a

x

b1(x);b2(x)

0 4

0

1

x =

y =

20

π2 a

riμB

r

iμB

π20

B all’interno di un filo rettilineo infinito


B di un Solenoide

• Un campo magnetico costante può essere prodotto (in linea di principio) da una lamina di corrente. In pratica, però, si preferisce usare un solenoide.

• Se a << L, B è, in prima approssimazione, contenuto all’interno del solenoide, in direzione assiale, con intensità costante. In queste condizioni (ideali), calcoliamone il valore con la legge di Ampere.

L• Un solenoide è caratterizzato da una

corrente I che score in un filo avvolto a spirale n volte per unità di lunghezza intorno ad un cilindro di raggio a e lunghezza L.

a


B di un Solenoide

• Per calcolare il campo B di un solenoide usando la legge di Ampere, giustifichiamo l’ipotesi che B sia nullo all’esterno del solenoide.

• I campi risultano concordi nella regione interna e discordi in quella esterna (cancellandosi).

• Consideriamo il solenoide comecomposto da 2 lamine di corrente.

x x x x x x x x x x x

• • • • • • • • • • • • • •

• Disegnamo un percorso rettangolaredi l x w:

0internoB dl Bl solo il contributo di l

I nli niμB 0

x x x x x x x x

• • • • • • • • • • •

l

w


Toroide

• Il Toroide è descritto da un numero totale N di spire percorse dalla corrente i.

• B=0 all’esterno ! (Supponiamo di integrare B lungo un cerchio esterno)

• Per trovare B all’interno, consideriamo un cerchio di raggio r, centrato al centro del toroide.

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x x

x

x

x

•

•

•

•

• •

•

••

•

• •

•

•

••

r

B

)π(2 rBldB

NiI

IμldB 0

πr

NiμB

20

Applichiamo Ampere:


Origini del magnetismo

moto orbitale elettroni:complessivamente si cancella

momento intrinseco di spin: sempre presente, in alcuni materiali dà origine ad un momento magnetico totale macroscopico

Effetto di magnetizzazione indotta


Proprietà magnetiche della materia

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