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13-08-2013

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Cálculo en Varias Variables

Capítulo 1: Superficies. Curvas. Funciones de Varias Variables

1.1 Superficies. Superficies Cuádricas

1.2 Curvas y Trayectorias

1.3 Funciones de Varias Variables


2

Superficies:

-Una superficie S es un conjunto de puntos del espacio

determinado por una ecuación de la forma: ( , , ) 0F x y z

O sea:

3, , / , , 0S x y z F x y z

-Los puntos de la superficie son los que satisfacen la ecuación y

viceversa.

Plano:

Un plano tiene ecuación:

0Ax By Cz D Con , ,A B Cno todos nulos.

Esfera:

La ecuación de una esfera de centro 0 0 0( , , )C x y z y radior es:

2 2 2 2

0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r

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Cilindro: (Cilindro recto)

Es la superficie formada por una recta que se mueve manteniéndose

perpendicular a un plano dado y que intersecta a una curva dada contenida en

dicho plano.

La curva se llama Directriz y la recta se llama Generatriz.

- Si la curva está en en plano XY , por ejemplo:

( , ) 0

0

F x y

z

.

La ecuación del cilindro es: ( , ) 0F x y .

Análogamente: en plano YZ, la ecuación es ( , ) 0F y z y en

plano XZ, la ecuación es ( , ) 0F x z

-Si la curva es una circunferencia se llama Cilindro Circular.

Análogamente tenemos Cilindro Elíptico, Cilindro Parabólico y Cilindro

Hiperbólico.

4


Trazas: Las trazas de una superficie son las curvas de intersección de ella con planos

paralelos a los planos coordenados.

Es útil hallar las trazas para determinar la grafica de la superficie.

Ejemplo:

2 2 2

19 25 9

x y z

-Trazas con planos paralelos a plano XY :

z k ; 2 2 2

19 25 9

x y k

2 2 2

19 25 9

x y k

Son elipses si: 2 2

1 0 19 9

k k

2 9k 3 3k

Es un punto si:

2

1 0 39

kk

No hay traza (Vacío) si:

2

1 0 3 39

kk k

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5


-Trazas con planos paralelos a plano XZ:

y k ; 2 2 2

19 25 9

x k z ,

2 2 2

19 9 25

x z k

Son circunferencias si: 2 2

1 0 125 25

k k

2 25k 5 5k

Es un punto si:

2

1 0 525

kk


2

1 0 5 525

kk k

6


-Trazas con planos paralelos a plano YZ:

x k ; 2 2 2

19 25 9

k y z ,

2 2 2

125 9 9

y z k

Son elipses si: 2 2

1 0 19 9

k k

2 9k 3 3k

Es un punto si:

2

1 0 39

kk


2

1 0 3 39

kk k

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Una superficie de ecuación de la forma:

2 2 2 0Ax By Cz Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J

se llama Superficie Cuádrica.

(Al menos uno de los coeficientes de AhastaF es no nulo).

Superficies Cuádricas:

Elipsoide:

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

8


Hiperboloide de una hoja:

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

Hiperboloide de dos hojas:

2 2 2

2 2 21

x y z

a b c

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Cono elíptico:

2 2 2

2 2 20

x y z

a b c

Paraboloide elíptico:

2 2

2 2

x yz

a b

Paraboloide hiperbólico :

2 2

2 2

x yz

a b


10

Funciones de Varias Variables:

Se estudiarán funciones de varias variables de tres tipos:

1. Función Vectorial de Una Variable (Curvas y Trayectorias):

2. Función Real de Varias Variables (Superficies, para n = 2):

3. Función Vectorial de Varias Variables:

: , nF a b

: nf D

: n mF D

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Funciones Vectoriales de Una Variable:

Definición

Una función de la forma

se denomina función vectorial de una variable.

1: , , ( ) ( ( ),..., ( ))n

nF a b t F t F t F t


Funciones Componentes:

Si 1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( ))nF t F t F t F t

F : puede anotarse también por

1 2, ,..., nF F F se llaman Funciones Componentes de F .

1 1

2 2

( )

( ),

...

( )n n

x F t

x F tt a b

x F t

11

12


Límites y Continuidad:

Definición:

Sea 1( ,..., )nF F F

Se dice que el límite de F cuando t tiende a 0t , es

1 2( , ,..., )nL L L L

y se anota: 0

lim ( )t t

F t L

Si:

0

lim ( ) , 1,...,i it t

F t L i n

Definición:

Sea F ,

F es continua en 0t si

iF es continua en 0 1,...,t i n .

1 2: , , ( , ,..., )n

nF a b F F F F

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Para 3n : curva en 3

.

Interpretación Física: Trayectorias

Si F es continua, se puede considerar que t indica el tiempo y ( )F t la

posición al instante t de una partícula. Así F representa la trayectoria de una

partícula.

Interpretación Geométrica: Curvas

El recorrido de la función F vectorial

de una variable, continua, representa

una curva en n

Para 2n : curva en 2

.


14

Observaciones:

2.- Las propiedades de límite y continuidad son análogas a las

de las funciones de una variable puesto que éstas valen en

cada componente.

1.- Por las interpretaciones vistas, una función ,F vectorial de una variable,

se denominará indistintamente como curva o trayectoria.


3.- El cálculo de límite y el análisis de la continuidad de ,F

se hace, de acuerdo a la definición, a través

de las componentes de .F

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Derivadas:


Sea F una función vectorial de una variable, la derivada de F en 0t

se anota 0( )F t

y está definida por:

0 1 0 2 0 0( ) ( ( ), ( ),..., ( ))nF t F t F t F t , si cada una de las derivadas de las

funciones componentes existen.

Interpretación Geométrica de la Derivada:

Sea F una curva en el plano o en el espacio (o sea en 2o

3 ).

Si 0( )F t

existe y es no nulo, entonces:

0( )F t

es el vector tangente a la curva descrita por F en 0( ).F t

16


Interpretación Física de la Derivada:

Si F representa el movimiento de una partícula en el plano o en el espacio, 0( )F t

es la

velocidad en el instante t 0 y 0( )F t

es la rapidez en el instante t 0 .

La velocidad se representa por 0 0( ) ( )v t F t

.

También 0( )a t

0( )F t

representa la aceleración en el instante t 0 .

Recta Tangente a una Curva:

Sea F una curva en el plano o en el espacio (o sea en 2o

3 ).

Si 0( )F t

existe y es no nulo, entonces la Recta Tangente a la curva en

el punto 0( )F t es.

0 0 0( ) ( ) ( ) ( )T t F t F t t t

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Funciones Reales de Varias Variables:

Una función de la forma:

: nf D

1 2 1 2, ,..., , ,...,n nx x x z f x x x (con 2n )

Se llama función real de varias variables

Gráfico:

El gráfico de f es el subconjunto de 1n

1

1 2 1 2 1 2( ) , ,..., , / , ,..., , , ,...,n

n n nGraf f x x x z z f x x x x x x D

Para n = 2: ( )Graf f es una superficie en3. (generalmente)

Para n = 3: ( )Graf f es un subconjunto de 4, que no se puede

representar, pero para ello se introduce el concepto de conjunto de nivel.

18


Conjuntos de Nivel:

Sea : nf D función de varias variables.

c (constante)

El conjunto de nivel cde f es:

/ ( )x D f x c

Para n = 2: se llama curva de nivel.

Para n = 3: se llama superficie de nivel. Ejemplos:

1) 2:f , ( , ) 4.f x y

- El gráfico de f es 3, , / 4x y z z es el plano horizontal 4.z

- Curva de nivel c es todo el plano, si 4c y es vacío si 4.c .

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- Curva de nivel c es: 2 24y x c

Hipérbola con eje transverso eje Y, si 0.c

Hipérbola con eje transverso eje X, si 0.c

Dos rectas, si 0.c

3) 3:f ,2 2 2( , , ) .f x y z x y z

-Superficie de nivel c es: 2 2 2x y z c

Esfera de radio c , si 0.c

Un punto (0,0,0), si 0.c

Vacío, si 0.c

2) 2:f ,2 2( , ) 4 .f x y y x

- El gráfico de f es la superficie 2 24z y x que es un paraboloide hiperbólico.

20


Módulo:

1 2, ,..., n

nx x x x 2 2 2

1 2 ... nx x x x Módulo de x

Propiedades del Módulo 1) 0, 0 0x x x

2) ,x x

3) x y x y

Nociones de Espacio Métrico en n

Distancia Euclídea: 1 2, ,..., nx x x x 1 2, ,..., n

ny y y y

2 2 2

1 1 2 2, ( ) ( ) ... ( )n nd x y x y x y x y

x y

,

Distancia entre e

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Disco Abierto:

0 0 0 0, , 0 : ( ) / ( , ) /n n n

rx r r D x x d x x r x x x r

Disco abierto de centro 0x y radio .r

(Si al disco se le quita el centro se anota: 0( ),rD x

Así, 0 0 0 0( ) ( ) / 0 )n

r rD x D x x x x x r

Conjunto Abierto:

,nA A es conjunto abierto si: 0 0, .rx A D x A

Propiedades de la Distancia 1) ( , ) 0, ( , ) 0d x y d x y x y

2) ( , ) ( , )d x y d y x

3) ( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y

Se cumple que: ( , )d x y x y

22


Interior, Frontera y Exterior de un conjunto:

nA

Interior de A : ( ) /n

rInt A x D x A

Frontera de A : ( ) / ,n c

r r rFr A x D x D x A D x A

Exterior de A: ( ) /n c

rExt A x D x A

Se cumple: nA ( ) ( ) ( )n Int A Fr A Ext A (Unión disjunta).

Conjunto Cerrado:

,nA A es conjunto cerrado si: cA es abierto ( ( ) ).Fr A A

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Vecindad de un punto:

0 .nx Una vecindad de 0x es un conjunto abierto que contiene a 0x .

Conjunto Acotado:

,nA A es conjunto acotado si: 0 / 0 .r rD A D

Conjunto Compacto:

,nA A es conjunto compacto si A es cerrado y acotado.

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Funciones Vectoriales de Varias Variables:

Una función de la forma:

: n mF D

1 2 1 2, ,..., , ,...,n mx x x y y y

Con , 2n m Se llama función vectorial de varias variables.

Para 1 2, ,..., nx x x D , se tiene que:

1 1 1 2, ,..., ny F x x x

2 2 1 2, ,...,

...

ny F x x x

1 2, ,...,m m ny F x x x

Son funciones reales de varias variables llamadas componentes de .F

Se anota: 1 2, ,..., mF F F F

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Sea : ,n mF D D un conjunto abierto.

Sea 0x D ó 0 ( )x Fr D y .mL

Se define el límite de ( )F x , cuando x tiende a 0x por:

0

lim ( )x x

F x L

0 0( ), ( ) / ( ) ( ) ( )D L D x x D x F x D L

Límites:

26


-Para 2,n 1m (o sea para función real de 2 variables) tenemos:

( , ) ( , )

lim ( , )o ox y x y

f x y L

2 2

00 0 / 0 ( , )ox x y y f x y L

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Propiedades de los Límites:

1) El límite, si existe, es único.

Algebra de límites:

2) lim( )( ) lim ( ) lim ( )o o ox x x x x x

F G x F x G x

3) lim ( ) lim ( )o ox x x xcF x c F x

(cconstante).

4) lim( )( ) lim ( ) lim ( )o o ox x x x x x

F G x F x G x

, para 1.m

5) lim ( )

lim( )( )lim ( )

o

o

o

x x

x x

x x

F xFx

G G x

, para 1.m

si lim ( ) 0ox xG x L

y ( ) 0, .G x x D

28


6) Si 1 2, ,.., mF F F F entonces:

1 2lim ( ) lim ( ), lim ( ),..., lim ( )o o o o

mx x x x x x x x

F x F x F x F x

Límite para Funciones Reales de Dos Variables:

Trayectorias

Si

, ,lim ,

o ox y x yf x y L

entonces el límite existe y vale La través de cualquier trayectoria en el plano,

en el dominio de f , que pase por , .o ox y

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Observación:

En funciones de una variable sólo había dos posibles trayectorias:

-Por la izquierda

-Por la derecha.

Pero en funciones de dos variables existen infinitas trayectorias.

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Así si existen dos trayectorias, de modo que los límites resulten diferentes, entonces

el límite no existe.

Pero, si por diferentes trayectorias, el límite resulta el mismo, no puede concluirse

que este sea el valor del límite, sino que, si existe, debe probarse por la definición.

Cambio de Variable

Si 2:f D es función real de dos variables y :g D

es función real de una variable continua tal que Rec f D , entonces:

, , , ,

lim , lim ,o o o ox y x y x y x y

g f x y g f x y

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Ejemplos:

1) Probar que:

( , ) ( , )lim

o oo

x y x yx x

(1)

Demostración:

Se debe probar que:

2 2

00 0 / 0 o ox x y y x x

Tenemos que: 2 2 2( ) ( ) ( )o o o ox x x x x x y y

Así, para 0 , existe , que cumple la definición.

Análogamente se prueba que: ( , ) ( , )

limo o

ox y x y

y y

(2)

32


2) Probar que:

( , ) ( , )lim

o ox y x yC C

(3)

Demostración: Inmediata.

Los límites (1), (2) y (3) junto al álgebra de límites permiten calcular muchos

límites. (Los de funciones que no son formas indeterminadas).

3) Calcular:

2

( , ) (4,1)lim

2 7x y

x y

x y

Solución:

2( , ) (4,1) ( , ) (4,1) ( , ) (4,1)

( , ) (4,1)

( , ) (4,1) ( , ) (4,1) ( , ) (4,1) ( , ) (4,1)

lim lim limlim

2 7 lim 2 lim lim 7 lim

x y x y x y

x y

x y x y x y x y

x x yx y

x y x y

(Por Algebra de límites)

4 4 11

2 4 7 1

(Por límites (1), (2) y (3))

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4) Calcular 2 2

3 6( , ) (0,0)lim

x y

x y

x y , si existe.

Solución:

-No es posible usar Algebra de límites, pues 3 6

( , ) (0,0)lim 0

x yx y

-Usaremos trayectoria

-Eje X: 30

00 : lim 0

xy

x

-Eje Y: 60

00 : lim 0

yx

y

-Recta 4

3 6 30 0: lim lim 0

1x x

x xy x

x x x

-Curva 2x y :

6

6 60

1lim

2y

y

y y

El límite No Existe porque trayectorias diferentes dan diferentes valores el límite.

34


5) Probar, usando la definición, que:

4

2 2( , ) (0,0)

4lim 0

x y

x y

x y

(Observar que aquí no es posible usar algebra de límites y si se usan trayectorias, por

todas resulta 0, pero no por esto puede afirmarse que el límite valga 0).

Demostración:

Se debe probar que:

4

2 2

2 2

40 0 / 0 0

x yx y

x y

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Tenemos que:

2

2 2 2 24 2 2 242 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2

44 4( )40 4( )

x y x yx y x yx yx y

x y x y x y x y

Pero como se cumple que: 2 2 ,x y

entonces se tiene que: 4

3

2 2

40 4

x y

x y

, asi si

34 ,

se cumplirá que 4

2 2

40 .

x y

x y

Por tanto el valor de es 3 .4

36


6) Calcular ( , ) (3,0)

1lim

xy

x y

e

y

Solución:

( , ) (3,0) ( , ) (3,0)

1 1lim lim

xy xy

x y x y

e ex

y xy

= ( , ) (3,0) ( , ) (3,0)

( )( )

1lim lim

xy

x y x y

ex

xy

(Por Algebra de límites)

( , ) (3,0)

: lim 3x y

x

(Límite conocido).

( , ) (3,0) ( , ) (3,0)

1: lim lim ( , )

xy

x y x y

ef g x y

xy

Donde ( , )g x y xy ,

1, 0

( )

1 , 0

ueu

f u u

u

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f es continua en 0, pues 0

1(0) 1 lim

u

u

ef

u

Usando el Teorema de cambio de variables tenemos:

( , ) (3,0) ( , ) (3,0)

lim ( ( , )) lim ( , ) (0) 1x y x y

f g x y f g x y f

Así:

( , ) (3,0)

1lim 1

xy

x y

e

xy

Luego,

( , ) (3,0)

1lim 3

xy

x y

e

y

(El cálculo del límite (**), se puede expresar abreviadamente, sin definir las

funciones f y g del modo siguiente:

Sea ; ( , ) (3,0) 0u xy x y u

Así:

( , ) (3,0) 0 0

1 1lim lim lim 1

1

xy u u

x y u u

e e e

xy u

38


Continuidad:

Sea : ,n mF D D conjunto abierto.

0nx

F es continua en 0x si:

1) 0F x está definida en .m

2) limox xF x

existe L .

3) 0F x L

F es continua enD , si es continua en , .x x D

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Propiedades:

1) : ,n mF D : , .n mG D c

F es continua en 0x cF es continua en 0x .

,F G son continuas en 0x F G es continua en 0x .

,F G son continuas en 0x , 1m F G es continua en 0x

F

G es continua en 0x

si 0, .G x x D

2) 1 2, ,..., mF F F F es continua en 0x iF es continua en 0x , 1,2,..., .i m

3) : , : / ( )n m m pG D F D G D D

Ges continua en 0x D F es continua en ( ) 'oG x D

F Ges continua en 0x .

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