Cap2 Richiami di termodinamica - corsiadistanza.polito.itcorsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/08BNIDN/Cap2_richiami_di... · Laurea a Distanza in Ingegneria Meccanica – Corso di Macchine

Politecnico di Torino

Laurea a Distanza in Ingegneria Meccanica – Corso di Macchine

Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 2. Richiami di Termodinamica - pag. 13

2. RICHIAMI DI TERMODINAMICA

2.1 DEFINIZIONI

Sistema termodinamico

Si definisce sistema termodinamico una quantità di materia o porzione di spazio separata dal resto dell’universo, che si chiamerà ambiente esterno, mediante un determinato contorno costituito da una superficie reale o immaginaria, rigida o deformabile. Il sistema è sede di trasformazioni interne e di scambi di materia e di energia con l’ambiente esterno.

Parametri caratteristici dello stato termodinamico

Lo stato di un sistema può essere individuato mediante un adeguato numero di parametri di stato. Questi possono suddividersi secondo lo schema seguente:

Parametri di stato -

fisici chimici

- :interni parametri

e)cinematich e spaziali e(coordinat esterni parametri

Parametri esterni: non sono altro che le coordinate spaziali del sistema, istante per istante. Se il sistema fosse puntiforme sarebbero sufficienti tre coordinate spaziali: ad esempio, in un sistema di riferimento cartesiano, la x, la y e la z del punto stesso in ogni istante. Se il sistema fosse un corpo rigido occorrerebbero invece sei coordinate: ad esempio, sempre nel sistema di riferimento cartesiano prima ipotizzato, oltre alle tre coordinate x, y e z del suo baricentro, anche i tre coseni direttori di una definita terna di assi con l'origine nel baricentro stesso. Se il sistema è un corpo deformabile, quale, ad esempio, un fluido, il problema di individuare ad ogni istante la posizione spaziale del sistema è più complesso, in quanto è necessario specificare lo stato di deformazione del sistema (ovvero, ricorrendo ad un’analogia con un solido elastico, le deformazioni lineari ε ed angolari γ).

Parametri interni chimici: interessano qualora si verifichino reazioni chimiche e sono in numero pari a quello delle reazioni chimiche indipendenti fra loro, i gradi di avanzamento delle quali vengono in genere assunti come parametri chimici. Se non vi sono reazioni chimiche, i parametri chimici non intervengono nei fenomeni.

Parametri interni fisici: nel caso più generale, sono pari a sette; ad esempio, uno può essere la temperatura T e gli altri sei sono le componenti del tensore degli sforzi interni Π:




Π =

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ss

s

ττττττ

.

Tenendo presente la simmetria del tensore (τij = τji), le nove componenti del tensore si riducono a sei. Rimane sempre costante la somma delle tre componenti poste sulla diagonale principale, e quindi anche il loro valore medio, che corrisponde alla pressione p, ovvero:

( )zyxm sss31

sp ++== .

In certi casi lo stato interno fisico è rappresentato, in modo approssimato, adottando la pressione p al posto di Π. In questi casi tuttavia non si trascura il lavoro compiuto dagli sforzi tangenziali, lavoro usualmente indicato come Lw.

2.2 LEGGI FONDAMENTALI NELLO STUDIO DEI FLUIDI

I sistemi termodinamici presi in considerazione nello studio del funzionamento delle macchine sono sistemi fluidi (si parla, appunto, di macchine a fluido), ovvero sistemi costituiti da gas, vapore o liquido.

L’evoluzione di un sistema fluido è descritta dalle seguenti leggi fondamentali, cui corrispondono altrettante equazioni fondamentali:

• Legge di conservazione della massa • Legge di variazione della quantità di moto (e legge di variazione del

momento della quantità di moto) • Legge di conservazione dell’energia • Legge di evoluzione dell’energia

Nella formulazione matematica di queste leggi, in generale, si considera il fluido come un mezzo continuo, omogeneo ed isotropo. Le prime due leggi elencate (conservazione della massa e variazione della quantità di moto) sono a rigore materia della disciplina della fluidodinamica, e saranno analizzate nei Capitoli 3 e 4. In questo Capitolo ci si soffermerà sulle leggi che descrivono più strettamente l’evoluzione termodinamica di un sistema fluido: la legge di conservazione dell’energia, o PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA, e la legge di evoluzione dell’energia, o SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA. Accanto a tali leggi, ci si soffermerà sull’equazione di stato, che esprime una relazione tra i parametri interni fisici di un sistema e sul concetto di evoluzione politropica.

2.3 EQUAZIONE DI STATO DEI GAS PERFETTI

I gas perfetti si suddividono in gas ideali o in gas quasi ideali, a seconda che le capacità termiche massiche a pressione e a volume costante cP e cV si possano assumere rispettivamente costanti oppure funzioni della sola temperatura:




gas perfetti -

)f(T) = c ,c( ideali quasigas costanti) c ,c( idealigas

vp

vp.

Per analizzare l’evoluzione del sistema termodinamico è necessario conoscere la sua legge di stato. Nel campo delle Macchine, dovendo di norma trattare con gas (comprimibili), la legge di stato più utilizzata è l’equazione di stato dei gas perfetti:

RTpv = ,

dove si è indicato con R = ℜ/µ la "costante di elasticità" del gas, pari al rapporto tra la "costante universale dei gas" ℜ e la massa molecolare media del gas stesso µ (espressa in kg / Kmol). Per l’aria:

[ℜ = 8314 J / (kmol*K)] µaria = 29 kg / kmol

Raria = 8314 / 29 = 287 J / (kg*K)

Nell’equazione di stato dei gas perfetti la pressione è espressa in Pascal Pa, il volume specifico in m3 / kg, la temperatura in Kelvin (K).

Nel caso di liquidi (incomprimibili) una legge di stato particolarmente semplice considera la massa volumica ρ = ρ0 = costante.

2.4 LEGGE DI EVOLUZIONE DI UN GAS IDEALE

Nella maggioranza dei casi (nello studio delle Macchine) la legge di evoluzione del fluido è considerata di tipo politropico. Col termine evoluzione politropica si intende una qualsiasi trasformazione descritta dall’equazione seguente:

pvm = costante,

dove m è l’esponente della trasformazione politropica, costante; in termini di temperatura T:

dQtot = c dT,

dove c è il calore specifico costante della trasformazione politropica e Qtot è il calore complessivamente scambiato dal sistema con l’esterno. Mentre la prima delle due equazioni appena scritte è valida per qualunque sistema fluido, la seconda vale a rigore solo se il sistema è costituito da gas perfetto: solo in questo caso, infatti, è possibile affermare che un’evoluzione politropica è un’evoluzione caratterizzata dalla costanza del calore specifico. Per valori particolari di m e di c (espresso in J / (kg*K)), si ottengono i seguenti casi notevoli:

TIPO DI EVOLUZIONE VALORI DI m VALORI DI c Isocora (v = costante) ±∞ cv

Isobara (p = costante) 0 cp

Isoterma (T = costante) 1 ±∞ Isentropica (S = costante) k 0




Politropica (c = costante) costante costante

E’ importante a questo punto richiamare la nota legge di Meyer: R = cp – cv; essa mostra come il calore specifico a pressione costante sia sempre maggiore del calore specifico a volume costante dal momento che la costante di elasticità del gas è una quantità sempre positiva. Le Figure 2.1 e 2.2 presentano le quattro evoluzioni semplici notevoli riportate nella tabella precedente, espresse in termini rispettivamente di pressioni e volumi (diagramma p, v) e di temperature ed entropie specifiche (diagramma T, S).

Diagramma p, v

p=cost.v=cost.T=cost.S=cost.

m < 0m > 0

m < 0 m > 0

m = 0m = 0

c

cv

v

ccpp

p

v

0∞

∞±

±

0

m = ± ∞

Figura 2.1: Trasformazioni isobara, isocora, isoterma e isentropica nel piano p – v.




Diagramma T, S

S

T

v=cost. p=cost.

c < 0

c > 0 c < 0

c > 0

c = 0

c = 0

k

k

1

0

1

0± ∞

± ∞

c = ± c = ± ∞ ∞

Figura 2.2: Trasformazioni isobara, isocora, isoterma e isentropica nel piano T – S.

Ad ogni valore di m corrisponde un valore della capacità termica massica c dato dalla seguente relazione, valida sempre per i soli gas ideali:

1mkm

cc v −−

= .

2.5 PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Nel campo della Termodinamica esistono due differenti modi di studiare i fenomeni inerenti al sistema termodinamico:

- il punto di vista sostanziale (o Lagrangiano);

- il punto di vista locale (o Euleriano).

I due metodi o punti di vista sono ugualmente validi, ma a seconda dei casi può essere più conveniente seguire l'uno o l'altro di essi.

Punto di vista sostanziale: fa riferimento ad una porzione ben individuata di materia, costante e immutabile, detta sistema chiuso, la quale non cambia nel tempo. Tutto quanto non è sistema costituisce l’ambiente esterno. Attraverso un sistema chiuso non c’è scambio di materia con l’esterno. Detto sistema è separato dall’esterno mediante una superficie di contorno che si può anche deformare. Punto di vista locale: fa riferimento ad un sistema aperto, attraverso il quale è possibile avere scambio di materia con l’esterno, e in particolare ad una sua porzione ben definita di spazio, detta volume di controllo. Per individuare il volume di controllo si può ricorrere alla sua superficie di contorno detta superficie di controllo.




Un caso particolarmente semplice del punto di vista locale è quello in cui le grandezze che individuano lo stato del sistema in ciascun punto dello spazio sono indipendenti dal tempo (moto permanente). In tal caso le leggi di conservazione formulate dal punto di vista locale si semplificano notevolmente, e il punto di vista locale stesso risulta vantaggioso rispetto a quello sostanziale.

2.5.1. I principio della termodinamica: forma sostanziale o lagrangiana

Nella forma sostanziale o lagrangiana il primo principio della termodinamica afferma che tutta l'energia che un sistema riceve attraverso le sue relazioni termiche e le sue relazioni meccaniche con l'esterno non può che andare ad aumentare la sua energia interna. Lo stato energetico di un sistema è descritto dalle seguenti grandezze: l’energia interna (termica) U, costituita, per un gas perfetto, esclusivamente dall'energia cinetica di agitazione molecolare; l’energia interna chimica Uch, costituita dall'energia connessa alla struttura della molecola, vale a dire, al tipo di legame che interviene fra i vari atomi costituenti la molecola stessa, e quindi agli elettroni periferici di valenza; l’energia cinetica Ec; la sua posizione in un eventuale campo di forze, ad esempio gravitazionale e centrifugo, espressa rispettivamente dalle energie Eg ed Ecf. Trascurando l’eventuale calore generato dall’attrito sulla superficie esterna del sistema, detto dQe il calore che l’esterno cede al sistema stesso e dLe il lavoro delle forze di superficie, intendendo con ciò la sola parte di lavoro che il sistema riceve dall’esterno attraverso le forze superficiali (che sono quelle di più facile individuazione perchè agiscono per contatto diretto del sistema con l'esterno attraverso la superficie di contorno), vale la relazione seguente:

ELQ ee ddd =+ , ...ddddddd ++++=+ cfgcchee EEEU+ULQ ,

∫ +++++=+M

dm.....)dEdEdEdUdU(dd cfgcchee LQ ,

dove M è la massa complessiva del sistema termodinamico; U e Uch sono rispettivamente l’energia interna per unità di massa del sistema e l’energia interna chimica per unità di massa; Ec = c2 / 2 è la sua energia cinetica per unità di massa; Eg = gz è l'energia potenziale massica del campo gravitazionale,

∫ −=⋅−=2

udrr?E

22

cf

è l'energia potenziale per unità di massa di un eventuale campo centrifugo.

Figura 2.3 : evoluzione energetica di un sistema termodinamico




Per un sistema omogeneo l’equazione precedente può essere scritta nel modo seguente facendo riferimento all’unità di massa:

....dEdEdEdULdQd cfgcee ++++=+

E' da notare che mentre i due termini di calore e lavoro non sono differenziali esatti, i termini a secondo membro lo sono in quanto variazioni di grandezze di stato le quali dipendono esclusivamente dallo stato iniziale e finale del sistema. Pertanto integrando le equazioni precedenti fra due istanti 1 e 2 si ottiene:

dm.....)EEEU(M

cf2,1g2,1c2,12,1ee ∫ ++++=+ ∆∆∆∆LQ

e per l’unità di massa in un sistema omogeneo:

....EEEULQ cf2,1g2,1c2,12,1ee ++++=+ ∆∆∆∆

Puntando l’attenzione sul lavoro compiuto dalle forze di superficie, in forma infinitesima è possibile pensarlo come compiuto dalle forze di pressione sul contorno del sistema, dalle forze di massa e dalle resistenze passive:

wcfgce dLdEdEdEdvpdL ++++⋅−= ,

dove Lw sono le perdite per attriti fluidodinamici. L’equazione appena scritta (che è possibile dimostrare rigorosamente) è anche detta “primo principio in forma mista”. Riprendendo l’equazione

....dEdEdEdULdQd cfgcee ++++=+

e sostituendovi l’espressione del primo principio in forma mista, si ottiene:

dUpdvdLdQ we =−+ .

E' interessante osservare che in questa relazione oltre dQe, anche dLw e pdv non sono funzioni di stato e pertanto dipendono dal tipo di trasformazione termodinamica seguita dal fluido. In particolare nel caso di una trasformazione isocora (dv = 0), per un gas ideale si ha:

dUdTcdLdQ vwe =⋅=+ .

Il risultato dU = cv dT è estremamente interessante in quanto, come si è detto, dU è una funzione di stato dipendente solo dalle condizioni agli estremi: anche se questo risultato è stato ottenuto per una trasformazione particolare (isocora), è di carattere generale ed è dunque applicabile a qualunque trasformazione del sistema termodinamico. Nel caso di gas ideale (pv = RT; cp – cv = R), risulta inoltre che l'entalpia definita in generale dalla relazione

pvUi += si può scrivere secondo la seguente espressione:

TcT)Rc(RTTci pvv =+=+= . Anche in questo caso il risultato di = cp dT è di carattere generale.




APPLICAZIONE DEL PRIMO PRINCIPIO IN FORMA LAGRANGIANA

Un motore alternativo a 4T, avente spazio morto trascurabile, aspira aria da un ambiente a pa = 100 kPa, Ta = 293 K. Determinare la temperatura media Ti dell'aria all'interno del cilindro al termine della fase di aspirazione, supponendo trascurabili gli scambi di calore con le pareti ed ipotizzando che la pressione pi all'interno del cilindro si mantenga costante e pari a 80 kPa per tutta la durata della fase/corsa di aspirazione. Ipotizzare che l'apertura e la chiusura della valvola di aspirazione avvengano istantaneamente ai punti morti. Supporre inoltre per semplicità che l'aria si comporti come un gas perfetto ideale con le seguenti caratteristiche:

kgKJ28796.28

8314R

mol

==ℜ

=µ

4.1c

ck

v

p ==

Soluzione

Per determinare la temperatura Ti di fine aspirazione si può applicare il primo principio della termodinamica, scritto in forma sostanziale, al sistema costituito dalla massa M di fluido aspirata, seguendone l'evoluzione tra gli istanti iniziale tin e finale tfin della fase di aspirazione:

gcfcee EEEULQ ∆∆∆∆ +++=+ Si ha inoltre:

0Qe = (scambi di calore con le pareti trascurabili) 0Ec =∆ (fluido in quiete sia nell'ambiente di aspirazione

all'istante tin, sia all'interno del cilindro all'istante finale tfin)

0Eg =∆ (variazioni di energia potenziale gravitazionale trascurabili rispetto agli altri termini dell'equazione, trattandosi di un aeriforme)

0Ecf =∆ (sistema di riferimento inerziale)

Pertanto l'equazione precedente si riduce a: ULe ∆=

Si possono a questo punto analizzare, uno alla volta, i termini residui: infin UUU −=∆

Supponendo che l'aria si comporti come un gas perfetto ideale, si avrà: )TT(Mc aiv −=−= infin UUU∆

Il lavoro eL può essere espresso dalla seguente relazione:

( )iiaaiiaae vpvpMVpVppdVL −=−=−= ∫

Sostituendo nell'equazione del primo principio si ha quindi:

( ) )aTiT(vMciTaTMR −=−




aTiT)aTiT(pmc =⇒=− 0

Risulta pertanto Ti = Ta = 293 K.

2.5.2. Primo principio della termodinamica: forma locale o euleriana

Il primo principio della termodinamica in forma locale o euleriana, prende in considerazione un volume di controllo di riferimento (figura 2.4), cioè una porzione di spazio che può interagire con l'esterno anche con scambi di materia. In questa trattazione si considererà un caso particolare, in quanto si supporrà che il fluido sia in moto permanente (le caratteristiche locali del fluido entro il volume non dipendono dal tempo, e la massa entrante nell'unità di tempo nel volume è pari a quella uscente). Si ammetta inoltre valida l’ipotesi di “unidimensionalità”, ovvero è sufficiente una sola coordinata nello spazio per definire ogni caratteristica del fluido (per esempio l’ascissa lungo la direzione del moto).

Figura 2.4 : volume di controllo.

Applicando il primo principio della termodinamica in forma lagrangiana espresso dall’espressione:

.....ddddddd cfgcee ++++==+ EEEUELQ alla massa M di fluido che al tempo t è nel volume di controllo, e che al tempo (t + dt) si sposta dalle condizioni 1 - 2 alle condizioni 1' - 2' si ottiene:

222111i2211ie vpdMvpdMddVpdVpdd ⋅−⋅+=−+= LLL ,

++−

++= 1

21

112

22

22 gz2

cUdMgz

2c

UdMdE .

Poichè il moto è permanente, dM1 = dM2 = dM, e quindi:

( ) ( ) 22 12

21

22

122211ie gzgzdMcc

dMUUdMvpdMvpdMdd −+

−+−=⋅−⋅++ LQ

e, dividendo per dM:




( ) ( ) 22 12

21

22

122211 gzgzcc

UUvpvpLQ ie −+

−+−=−++ ,

dove Qe e Li rappresentano il calore e lavoro interno (cioè quello operato dagli organi mobili in movimento) entranti nel sistema per unità di massa che fluisce attraverso la superficie di controllo. Ricordando la definizione di entalpia l'equazione precedente può essere scritta nel modo seguente:

( ) ( ) gzgz2

c2

ciiLQ 12

21

22

12ie −+

−+−=+ .

Il termine di lavoro "aggiuntivo" p1v1 – p2v2 rispetto alle condizioni lagrangiane è detto lavoro di trasferimento. Il lavoro esterno vale pertanto:

( ) pvddLdL ie −= ,

mentre il lavoro interno può essere espresso dalla relazione seguente:

......dLdEdEdEdpvdL wcfgci +++++⋅=

2.5.3 Prospetto riassuntivo del primo principio della termodinamica

- Primo principio in forma lagrangiana:

∫∫

++−=

+=+

+=+

gr,cf,cwe

we

gr,cf,cee

ELpdvL

pdvULQ

EULQ

∆

∆

∆∆

- Primo principio in forma euleriana:

∫∫

∆++=

−∆=+

∆+∆=+

gr,cf,cwi

we

gr,cf,cie

ELvdpL

vdpiLQ

EiLQ

2.6 SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Il secondo principio della termodinamica afferma che nella realtà, ogni volta che si ha trasformazione di energia da una sua forma ad un'altra (meccanica, chimica, elettrica, etc.), mentre si ha conservazione della sua quantità complessiva (secondo quanto affermato dal primo principio), si ha inesorabilmente la sua trasformazione da una forma superiore a una inferiore, quest'ultima essendo rappresentata dall'energia termica. In altre parole sancisce la degradazione dell’energia tramite una funzione di stato chiamata entropia. L’aumento di entropia del sistema è maggiore o al limite uguale alla quantità di calore fornita al sistema dal mondo esterno rapportata alla temperatura; l’eventuale differenza è dovuta al calore fornito dall’interno del sistema (Lw) ed è causa di irreversibilità:




TdSdLdQ we =+ .

Mettendo in relazione il secondo ed il primo principio della termodinamica, si ottiene:

vdpdipdvdUdLdQTdS we −=+=+= .

Questa relazione è molto utile per calcolare le variazioni di entropia. Si ottiene infatti:

Tvdpdi

TpdvdU

dS−

=+

= ,

e, integrando lungo un’evoluzione finita tra uno stato iniziale i e uno stato finale f, si ha:

∫ ∫ +=+=−=f

i

f

ii

f

i

fvif v

vlnR

TT

lncT

pdvTdU

SSS∆ .

Quest’ultima relazione è stata ricavata utilizzando le formule note dei gas perfetti e ideali. Se si vogliono esprimere le variazioni di entropia per mezzo delle variazioni di temperatura e di pressione (anziché tramite le variazioni di temperatura e di volume massico), si ottiene:

∫ ∫ −=−=−=f

i

f

ii

f

i

fpif p

plnR

TT

lncT

vdpTdi

SSS∆ .

Si possono trarre le seguenti conclusioni:

- se il lavoro dissipato per attrito fluidodinamico dLw è nullo, il prodotto della temperatura per l’aumento di entropia è pari al calore ricevuto dall’esterno;

- se la quantità di calore dQe fornita dall’esterno è nulla (trasformazione adiabatica), l’entropia rimane costante per una trasformazione reversibile (dLw = 0), mentre aumenta per una trasformazione irreversibile (cioè dissipativa con perdite per attrito fluidodinamico Lw); una trasformazione adiabatica (dQ = 0) e reversibile (dLw = 0) è pertanto anche isentropica (dS = 0).

Si richiama infine la similitudine dei due triangoli rettangoli nel piano T-S aventi come cateti, rispettivamente, la sottotangente e la T di un punto di una curva, il primo, e il dS e il dT lungo la curva nello stesso punto, il secondo:

sussistendo pertanto la relazione dTdS

TgentetanSotto

= , si ricava che è

Sottotangente = c , in quanto è pure dTdS

Tc

= per la definizione stessa di c (per

cui è c dT = T dS).




Figura 2.5 : rappresentazione grafica del calore specifico c

2.6.1 Applicazioni: turbocompressore e turbina. Fenomeni di recupero e controrecupero

Turbocompressore: vediamo ora quello che succede in un turbocompressore (turbomacchina operatrice). Il fluido subisce una compressione adiabatica irreversibile, ovvero a entropia crescente. Nel piano T – S la compressione viene rappresentata come in figura 2.6.

Figura 2.6 : compressione isentropica 1-2is e adiabatica irreversibile 1-2

Il primo principio in forma locale è espresso dalla seguente relazione:

grcfcie EEEiLQ ∆∆∆∆ +++=+ ,

dove, in questo caso, Qe = 0, ∆Ec = ∆Ecf = ∆Egr = 0. Per un turbocompressore è generalmente trascurabile la variazione di energia cinetica, beninteso fra mandata e aspirazione dell’intero compressore, non all’interno di esso. La variazione di energia potenziale centrifuga risulta nulla perché il sistema di




riferimento assunto è inerziale (privo di accelerazione). La variazione dell’energia potenziale gravitazionale è nulla dal momento che il fluido in questione è un aeriforme. Risulta quindi, nel caso ideale isentropico:

( )

−

=−==

−

1pp

TcTTciLk

1k

1

21p1is,2pisis,i ∆ ,

mentre nel caso reale:

( )

−

=−==

−

1pp

TcTTciLm

1m

1

21p12pi ∆ ,

−

−

=−

−

1pp

RT1m

mLL

m1m

1

21wi .

Nel caso con perdite fluidodinamiche è Li > Li,is, cioè è necessario fornire maggiore lavoro alla macchina rispetto al caso ideale. Facendo riferimento al grafico riportato in figura 2.7:

( ) 4562areaTTcL is1is2pis,i =−= ,

Figura 2.7 : compressione isentropica 1-2is e adiabatica irreversibile 1-2

La quantità cp(T2is – T1) ha infatti, per definizione di calore specifico, il significato di calore da fornire all’unità di massa di fluido per riscaldarlo a pressione costante dalla temperatura T6 = T1 alla temperatura T2; nel piano T - S questa quantità di calore, in virtù del secondo principio TdS = dQ + dLw, è l’area sottesa dalla linea di trasformazione 6 – 2is, quindi proprio l’area 2is456. Il lavoro da spendere per la compressione reale dell’unità di massa di gas 1 - 2 è analogamente fornito dall’espressione:

( ) 212area1234area4562area2356areaTTcL isis12pi ++==−= =

= CRwis,i LLL ++ .

dove LCR è chiamato lavoro di controrecupero.




L’area 1234 è il lavoro delle resistenze passive Lw, in virtù del secondo principio applicato ad un’evoluzione adiabatica TdS = dLw. Risulta pertanto evidenziato nel piano T - S il lavoro di controrecupero, dato dall’area tratteggiata in figura. Il lavoro di controrecupero è il lavoro in più che bisogna compiere nella compressione reale, oltre alla somma del lavoro della compressione isentropica più il lavoro delle resistenze passive, per vincere l’espansione del gas dovuta all’effetto termico causato da Lw.

Vengono definiti due rendimenti utili per quantificare il grado di irreversibilità della trasformazione:

- il rendimento isentropico di compressione:

i

is,iis,c L

L=η ,

che, nel caso in cui Qe = 0 e ∆ Ec,cf,gr = 0, diventa:

1

1

m1m

k1k

is.c

−

−=

−

−

β

βη ,

dove β è detto rapporto di compressione; - il rendimento idraulico:

i

wic,y L

LL −=η ,


( )

( )1k

k1m

m

TTR1k

k

TTR1m

m

12

12

c,y

−

−=−

−

−−=η .

Osservando le aree rappresentate in figura e le definizioni dei rendimenti si ha che ηis,c < ηy,c. La relazione che lega gli esponenti della politropica m e k, dunque, è la seguente:

k1k1

m1m

c,y

−=

−η

.

Come si può agevolmente notare dalle relazioni sopra scritte, il rendimento idraulico non dipende dal rapporto di compressione, ma solo dall’evoluzione e dal tipo di gas utilizzato. La relazione che lega il rendimento isentropico di compressione con il rendimento idraulico risulta:

1

1

k1k1

k1k

c,is

c,y −

−=

−

−

ηβ

βη .

Turbina: vediamo ora graficamente quello che succede al fluido in una turbina (turbomacchina motrice). Il fluido subisce un’espansione adiabatica irreversibile, ovvero ad entropia crescente, dal momento che le perdite




fluidodinamiche Lw non sono trascurabili. Nel piano T - S l’espansione viene rappresentata in come in figura 2.8.

Figura 2.8 : espansione isentropica 1-2is e adiabatica irreversibile 1-2

Nel caso delle macchine motrici si è soliti utilizzare la convenzione di segno opposta rispetto a quella impiegata per i turbocompressori: in altre parole il primo principio in forma locale è espresso dalla seguente relazione:

grcfcott,ie EEEiLQ ∆∆∆∆ +++=− .

dove, in questo caso, Qe = 0, ∆Ec = ∆Ecf = ∆Egr = 0. La variazione di energia cinetica risulta nulla visto che si sta considerando la differenza di velocità del fluido tra ingresso e uscita della turbina. La variazione dell’energia potenziale centrifuga è nulla dal momento che il sistema di riferimento assunto è inerziale (privo di accelerazione). La variazione dell’energia potenziale gravitazionale è nulla visto che il fluido in questione è un aeriforme. Risulta quindi, nel caso ideale isentropico:

−

=

−

1pp

TcLk

1k

1

21pis,i ,

−=−=

−k

1k

1

21piott,is,i p

p1TcLL ,

mentre, nel caso reale:

−

=

−

1pp

TcLm

1m

1

21pi ,

−=−=

−m

1m

1

21p1ott,i p

p1TcLL .

Nel caso con perdite fluidodinamiche risulta Li < Li,is, cioè la turbina fornisce minore lavoro rispetto al caso ideale. Facendo riferimento al grafico della Figura 2.9:




gr,cf,cie EiLQ ∆∆ +=− ,

( ) 2398areaTTciL 21pott,i =−=−= ∆ .

Figura 2.9 : espansione isentropica 1-2is e adiabatica irreversibile 1-2

In virtù del secondo principio applicato alla linea di evoluzione 1-2 si nota che il lavoro perso a causa delle resistenze passive di natura fluidodinamica Lw è dato dall’area 1234.

( ) 8942areaTTciL isis,21pisott,is,i =−=−= ∆ .

Nel caso della turbina si verifica il fenomeno che prende il nome di recupero: nel piano T – S il lavoro di recupero, è rappresentato dall’area 122is. Si ottiene quindi la seguente relazione:

RCwott,is,iott,i LLLL +−= , dove LRC è il lavoro di recupero. Si è visto che nel caso reale il lavoro ottenuto è dato dall’area 2398, mentre nel caso ideale il lavoro isentropico è dato dall’area 942is8. Nel caso reale si è perduta pertanto rispetto al caso ideale in termini di lavoro l’area 2342is che risulta minore dell’area 1234, la quale rappresenta il lavoro dissipato per attrito fluidodinamico. La differenza tra queste due aree rappresenta il lavoro recuperato, a causa della compressibilità del fluido, rispetto al lavoro dissipato per attrito fluidodinamico. Questo aumento di lavoro trova una spiegazione fisica nel fatto che le perdite per attrito che progressivamente si manifestano vanno ad aumentare l’entropia del fluido a pressione costante, incrementandone il volume massico. Ora la medesima massa di fluido, occupando un volume maggiore, è in grado di svolgere un maggior lavoro nella successiva espansione. Vengono definiti due rendimenti utili per quantificare il grado di irreversibilità della trasformazione:

- il rendimento isentropico di espansione:

ott,is,i

ott,iis.t L

L=η ,





k1k

1

2

m1m

1

2

is,t

pp

1

pp

1

−

−

−

−

=η .

- il rendimento idraulico:

wott,i

ott,it,y LL

L

+=η ,


1mm

1kk

t,y

−

−=η .

Osservando le aree rappresentate in figura e le definizioni dei rendimenti, si ha che ηis,t > ηy,t . La formula che lega gli esponenti della politropica m e k è dunque la seguente:

k1k

m1m

t,y

−=

−η .

Ovviamente anche questa relazione è valida se e solo se il calore scambiato tra sistema e ambiente esterno è nullo. Come si può agevolmente notare dalle relazioni sopra scritte, il rendimento idraulico non dipende dal rapporto di espansione, ma solo dall’evoluzione e dal tipo di gas utilizzato. La relazione che lega il rendimento isentropico di espansione con il rendimento idraulico risulta:

k1k

k1k

t,is

1

1t,y

−−

−−

−

−=

β

βη

η

.




2.7 ESERCIZI 1) Uno stantuffo aspira aria in un cilindro dall’ambiente esterno in cui regna la

pressione pe = 1 ata e la temperatura Te = 290 K. Determinare la temperatura Ti all’interno del cilindro ad aspirazione

ultimata, considerando valide le ipotesi che durante la fase di aspirazione nel cilindro regni una pressione costante pi = 0.96 ata e che siano trascurabili gli scambi termici dell’aria con le pareti del cilindro. Si consideri, alla fine dell’aspirazione, ambiente tranquillo all’interno del cilindro.

2) Una turbomacchina adiabatica riceve vapore a t1 = 500 °C, p1 = 100 bar, c1

= 50 m/s e lo scarica nelle condizioni t2 = 250 °C, p2 = 10 bar, c2 = 150 m/s. Calcolare il lavoro interno massico Li e dire se si tratta di macchina operatrice o motrice. [macchina motrice, Li = 422 kJ/kg]

3) Un ugello diabatico riceve del vapore nelle condizioni p1 = 20 bar, t1 = 400

°C, c1 = 100 m/s e lo espande sino alla pressione p2 = 3 bar e t2 = 250 °C. Sapendo che durante l’espansione il fluido riceve il calore Q = 42 kJ/kg, determinare la velocità del vapore allo scarico dell’ugello. [c2 = 813.63 m/s]

4) Una portata d’aria (cp = 0.24 kcal / (kg*K); k = 1.4) è compressa

politropicamente con m = 1.45 da 1 ata e15 °C fino a 450 °C. Sapendo che LW = 25 kcal / kg, trovare Qe e la pressione di mandata. [Risultati: p2 = 19.41 ata; Qe = -16.71 kcal / kg]

5) Con le proprietà del precedente esercizio, una portata d’aria di 10 kg / s si

espande politropicamente in turbina da 600 °C a 300 °C, con esponente m = 1.3.

Sapendo che lungo l’espansione sono sottratte 10 kcal / kg in calore massico, determinare LW e la pressione iniziale, essendo la pressione di scarico 1 ata. Calcolare inoltre il rendimento isentropico di espansione ηt,is, il rendimento idraulico ηyt e la potenza interna Pi.

[Risultati: LW = 27.14 kcal / kg; p1 = 6.2 ata; ηy = 0.696; ηt,is = 0.728; Pi = 2.6 MW]

6) Una bombola della capacità di 5 litri (volume VB), contiene aria nelle

condizioni ambiente p1B = 1 bar, T1B = 300 K ed è collegata tramite una valvola ad un grande serbatoio contenente aria alla pressione di p1S = 150 bar e alla temperatura T2S = T1S = 300 K. Aprendo la valvola, l’aria passa dal serbatoio alla bombola fino a che si raggiunge l’uguaglianza delle pressioni tra i due ambienti. (Essendo il serbatoio di grande capacità la sua pressione finale è praticamente uguale a quella che aveva all’inizio, per cui p2S = p1S = 150 bar, e quindi anche la pressione finale della bombola sarà p2B = p2S = 150 bar). Trascurando gli scambi di calore con l’esterno durante il processo di




riempimento, determinare la massa di aria che entra nella bombola e la temperatura media raggiunta all’interno di essa nelle condizioni finali. [Risultati: m2 = 0.622 kg, T2B = 418.9 K]

7) In un riscaldatore, funzionante in condizioni di moto stazionario, entra aria nelle condizioni p1 = 0.5 MPa, T1 = 210 0C, c1 = 50 m / s ed esce nelle condizioni p2 = 0.45 MPa, T2 = 850 °C , c2 = 120 m / s. Ammettendo che nel riscaldatore l’aria subisca una trasformazione politropica di esponente m, determinare il valore di tale esponente, il calore massico fornito al fluido e l’entità delle perdite per resistenze passive LW

durante la trasformazione. Si assumano: R = 287 J / (kg*K), cp = 1050 J / (kg*K). [Risultati: m = 0.111,Q e= 678 kJ / kg, LW = 17 kJ / kg]

8) Una turbopompa deve sollevare acqua da un pozzo fino ad un serbatoio

aperto per un’altezza di 20 m. Il condotto in cui è inserita la pompa ha un diametro costante D = 10 cm. Le perdite per resistenze passive nel condotto e nella pompa sono pari al 15% del lavoro massico compiuto dalla pompa. Calcolare la potenza del motore che aziona la pompa in tali condizioni, sapendo che l’acqua effluisce all’atmosfera con una velocità di 2 m / s. Si assuma un rendimento meccanico nell’accoppiamento motore – pompa ηm = 0.97.

[Risultati: Pass = 3.776 KW] 9) In un impianto per riscaldare un ambiente il ventilatore “V” aspira 1.5 m3 / s

di aria dall’esterno, alle condizioni pe = 1 bar, Te = 5 0C, e la manda in una tubazione in cui è inserito un riscaldatore “R” che le fornisce calore. L’aria effluisce nell’ambiente “A” ad una pressione pari a quella esterna, con velocità trascurabile. Sapendo che il ventilatore è azionato da una pompa “M” che eroga la potenza di 3.7 kW (ηm = 0.97), valutare la potenza termica richiesta al riscaldatore “R” affinchè l’aria effluisca in “A” con una temperatura di 35 0C. Si assumano: R = 287 J / (kg*K), cp = 1050 J / (kg*K). [Risultati: Q•

e = 53.1 KW]

10) Una macchina che funziona in moto permanente, con energie cinetiche

trascurabili all’ingresso e all’uscita, espande 3 kg / s di gas da 10 bar e 500 0C fino a 1 bar, secondo una politropica di esponente m = 1.5. Sapendo che Lw = 62 KJ / kg, si vuole ricavare la potenza interna della macchina, calcolando anche la quantità di calore che essa scambia con l’esterno. Si assumano: R = 287 J / (kg*K), cp = 1050 J / (kg*K). [Risultati: Pi = 883.9 KW, Qe = -140.3 KJ / kg]

11) Un turbocompressore aspira aria a 100 KPa e 17 °C e la comprime fino alla

pressione di 200 KPa. Ammettendo trascurabile la variazione di energia cinetica tra entrata e uscita della macchina, calcolare il lavoro massico




interno Li, il calore massico scambiato Qe e il lavoro delle resistenze passive LW nelle seguenti condizioni di evoluzione: a) Q = 0, LW = 0 (linea isentropica); b) Q = 0, m = 1.55 (adiabatica con attriti); c) LW = 0, m = 1.28 (refrigerazione senza attriti); d) T = cost, LW = 0 (raffreddamento isotermico senza attriti); e) T = cost, LW = 15.9 KJ / kg (raffreddamento isotermico con attriti). Nel confronto tra il primo e il secondo caso mettere in evidenza il fenomeno del controrecupero termico. Si assumano: k = 1.4, cp = 1004 J / (kg*K). [Risultati: a) Li,is = 63.8 KJ / kg; b) Li = 81.2 KJ / kg, LW = 15.8 KJ / kg; c) Li = 62.3 KJ / kg, Qe = -14.5 KJ / kg; d) Li = 57.7 KJ / kg, Qe = -57.7 KJ / kg; e) Li

= 73.6 KJ / kg, Qe = -73.6 KJ / kg. Controrecupero termico: CR = 1.6 KJ / kg]

12) Un turboespansore riceve i gas combusti nelle condizioni di 200 Kpa e 800

0C e li espande fino alla pressione di 100 Kpa. Ammettendo trascurabile la variazione di energia cinetica tra entrata e uscita della macchina, calcolare il lavoro massico interno Li, il calore massico scambiato Qe e il lavoro delle resistenze passive LW nelle seguenti condizioni di evoluzione: a) Q = 0, LW = 0 (linea isentropica); b) Q = 0, m = 1.32 (adiabatica con attriti); c) LW = 0, m = 1.45 (refrigerazione senza attriti); d) T = cost, LW = 0 (riscaldamento isotermico senza attriti); e) T = cost, LW = 15.9 KJ / kg (riscaldamento isotermico con attriti). Nel confronto tra il primo e il secondo caso mettere in evidenza il fenomeno del recupero termico. Si assumano: k = 1.38, cp = 1042 J / (kg*K). [Risultati: a) Li,is = 194 KJ / kg; b) Li = 173 KJ / kg, LW = 23.5 KJ / kg; c) Li = 192 KJ / kg, Qe = -24 KJ / kg; d) Li = 213 KJ / kg, Qe = 213 KJ / kg; e) Li = 197.5 KJ / kg, Qe = 197.5 KJ / kg. Recupero termico: RC = 2.17 KJ / kg]

Documents

Cap2 Richiami di termodinamica - corsiadistanza.polito.itcorsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/08BNIDN/Cap2_richiami_di... · Laurea a Distanza in Ingegneria Meccanica – Corso di Macchine