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- Processamento digital de sinais –
Capítulo 2 – Sinais e sistemas discretos
1 – Sinais discretos
2
• Sinais analógicos x digitais• Contínuos x discreto • Admitido como sequência de números.
{x[n]}, n = 0, ±1, ±2, ... n ∈ Z
• Período amostragem: ts
• Variáveis independentes: t e n• x(t) = sin(2πf0t) radianos• x[n] = sin(2πf0nts) radianos• Logo: t = nts
• 1/ts >= 2.FMAX (freq. máxima sinal)• “Domínio do tempo”
• Conversão AD e DA
3
Filtro(I)
AD DSP DAFiltro
(II)
x(t) y(t)
� Filtro I : Filtro anti-aliasing
� AD: Conversor analógico digital
� DSP: Computador digital ou processador digital de sinais
� DA: Conversor digital analógico
� Filtro II : Filtro anti-imaging ( filtro de reconstrução)
• Frequência de aquisição
4
• Sistema discreto: saída discretizada• y[n]=2x[n]-1
• Equação de diferenças
• Tempo x frequência• Componente espectral
• X(m)
• Formas sinal• Forma onda
• Matematicamente
• Espectro
5
• Amplitude, magnitude e potência• Amplitude (distância e direção da origem)
• Magnitude (distância sem direção)
• Potência: proporcional ao valor quadrático
xpwr[n]=|x[n]|²
Xpwr[m]=|X[m]|²
Problema: sinais com moderadas diferenças em amplitude terão diferenças
aumentadas gerando valores muito grandes e pequenos em mesmo gráfico
6
• Escala logarítmica:• Proposta inicial: comparação entre potência de dois sinais P1 e P2
Diferença potência
• Ouvido humano era capaz de sentir uma diferença de 1/10 bells
Diferença potência
Note que: (i) quando P1/P2 é pequena, temos um grande valor (em módulo) em dB
(ii) Quando P1/P2 não é tão pequena, temos evolução moderada em dB
7
bellsP
P
=
2
110log
dBP
P
=
2
110log.10
• Escala logarítmica (continuação):• A relação xpwr[n]=|x[n]|² não representa a potência em seu
sentido clássico (em watts), mas tem uma relação direta com esta.
• Potência de um sinal em dB é dada por:
Potência espectro sinal:
• “Normalização” do espectro:
8
|)][(|log.20)|][(|log.10][ 10
2
10 mXdBmXmX dB ==
dBX
mXmX
onormalizaddB
=
|]0[|
|][|log.20][ 10_
• Exemplo: comparação entre potência elétrica contínua e potência de um sinal
9
∫
∫
−=
=
==
<<
<<
2
1
2
12
2
1
2
2
)(1Potência
)(Energia
)()().()(
21
21
t
tttt
t
tttt
dtR
tv
tt
dtR
tv
R
tvtitvtp
Tempo contínuo Tempo discreto
∫−=<<
2
1
2
12
|)(|1
sinalPotência 21
t
tttt dttx
tt ∑=
<<+−
=2
1
21
2
12
|][|1
1sinalPotência
n
nn
nnn nxnn
• Operações básicas (transformações) de sinais:• Deslocamento de um sinal
• Reflexão: x[-n]
10
• Escala no tempo
11
• Exemplo: calcule x[-n+2]
• Algumas características de sinais:
– Periodicidade:
• x(t)=x(t+T)=x(t+mT)
• Período fundamental = menor valor positivo de T
• x[n]=x[n+N]
– Simetria• Par: x(-t) = x(t) ou x[-n] = x[n]
• Ímpar: x(-t) = -x(t) ou x[-n] = -x[n]
• Todo sinal pode ser decomposto em x[n]=par(x[n])+ímpar(x[n])
• Onde:
– Exemplo
12
( )][][2
1]}[{ nxnxnxEv −+= ( )][][2
1]}[{ nxnxnxOd −−=
• Estocástico/randômico x determinístico
• Estacionaridade
13
t
sinal senoidal
t
Ruído
Sinal senoidal com ruído
t
Sinal de voz - “hoje é bom dia”
t
• Representações de sinais multidimensionais
14
)]()(2sin[)(1
tttFtASinalN
i
iii∑=
+= θπ
– Amplitude
– Frequência
– Fase
• Sinais complexos
– Sinal “real”:
– Sinal complexo:
15
)2sin(.)(1 tAts π=
)2sin(.)2cos(.
)( 2
2
tjAtA
Aetstj
ππ
π
+=
=
16
)sen( j)cos(ee 0
2 00 twtwo
tjwtfj +==π
2
ee)cos(
tjwtjw
o
oo
tw−+
=2j
ee)sen(
tjwtjw
o
oo
tw−−
=
Forma fasorial
• Versão discretizada
– Exemplo:
• w=π/6 radianos por amostra ou
• f=1/12 ciclos por amostra
• Periodicidade
17
)36
cos(][ππ
+= nAnx
][][ nxNnx =+
• Propriedade: em sinais discretos a frequência w varia entre – π e π. Assim sendo:
Isto indica que todas sequências
onde
são iguais. Isto implica dizer que:
18
]cos[]2cos[])2cos[( 000 φφπφπ +=++=++ nwnnwnw
0,1,2,...kpara ]cos[)( =+= φnwnx kk
πππ ≤≤+= 00 w-para 2 kwwk
2/1/21-
w-
≤≤
≤≤
f
ππ
19
• Sinais harmonicamente relacionados
– Grupo de sinais complexos cujas frequências fundamentais são múltiplas
– Componentes analógicas:
– Série de Fourrier:
– Série discreta de Fourrier:
20
... 2, 1, 0,kpara )()(2 0 == tkFj
k etsπ
ec (t)sc)(k)t(Fj2
kkk0∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
==kk
a txπ
ecec ][sc][1
0
knN
1j2
k
1
0
knFj2
k
1
0
kk0 ∑∑∑
−
=
−
=
−
=
===N
k
N
k
N
k
nnxπ
π
• Sinais “especiais”
– Sequência amostra unitária (impulso unitário)
– Degrau unitário
21
≠
==
0npara ,0
0npara ,1][nδ
<
≥=
0npara ,0
0npara ,1][nu
– Sinal exponencial
• Real:
• Imaginário:
Exemplo:
22
nanx =][
njnnjerrenx
θθ == )(][
)sin(cos njnrn θθ +=
nrnxn θcos])[(Real =
nrnxn θsin])[(Img =
nj
enx
= 109.0][
π
• Definição:
• Classificação: • Linearidade - Invariância - Causalidade - Estabilidade
• Sistemas LTI (lineares e invariantes)• Caracterizados pela resposta à amostra unitária/impulso
unitário gerando a resposta impulsiva.
• Relação entrada-saída é dada pela “convolução”23
2 – Sistemas discretos
])[(][ nxny τ=
• Linearidade
• Exemplo sistema linear:
24
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nxTanxTanxanxaT MMMM ++=++ LL 1111
( ) ( )nyanya MM++= L11
2
][][
nxny
−=
• Exemplo de sistema não-linear:
25
2][][ nxny =
2
)cos(
2
)cos()sin().(sin :que Lembrando
bababa
+−
−=
• Sistemas invariantes no tempo:
• Exemplo de sistema invariante: nova entrada x’[n] = x[n-4] para y[n] = -x[n]/2. A saída acompanha o deslocamento da entrada ?
• Propriedade comutativa de sistemas LTI
26
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )dd nnynnxTnxTny −=−⇒=
• Casualidade:
• Estabilidade: entrada limitada, saída limitada
– Ex.:
• Considerações importantes sobre análise de sistemas LTI1. uma vez conhecida a “resposta ao impulso unitário” (ou resposta impulsiva)
o sistema pode ser completamente caracterizado;
2. saída do sistema: convolução da entrada com a resposta impulsiva;
3. Dada a resposta impulsiva no domínio do tempo, sua resposta em
frequência equivale a transformada discreta de Fourier de sua resposta
impulsiva.
27
]...][],1[],[[][ knxnxnxny −−= τ
][]1[][ 2nxnyny +−=
• Exemplo: analisar o comportamento do sistema abaixo:
Considere a entrada impulsiva
A resposta será:
28
29
+
a
z-k
Bloco somador : x(n)
v(n)
y(n) = x(n) + v(n)
Multiplicador :
x(n) y(n) = ax(n)
Bloco de atraso: x(n) y(n) = x(n-k)
O operador z-k indica um atraso de k amostras no sinal e ficará esclarecido no
estudo da transformada z.
xx(n)
v(n)
y(n) = x(n)v(n)
• Discretização de sistemas: equação de diferenças
• Diagramas de bloco
∑∑==
−+−−=M
k
k
N
k
k knxbknyany01
)()(][st
nxnx
dt
tdx ]1[][)( −−≈
30
Exemplo: Represente em diagrama de blocos o seguinte sistema:
( ) ( ) ( ) ( )150501 −++−= nx.nx.nyny
Rearranjando a equação:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]1501 −++−= nxnx.nyny
portanto tem-se o seguinte de blocos:
Observe que foi economizado um bloco multiplicador.
x(n)+ +
z-1z-1
0.5y(n)
x(n-1) y(n-1)
• Soma de convolução
– Seja h(n) a resposta à excitação δ(n)
– Calcular a saída do sistema no “instante” n=n0 faça:
Passos:• 1. Rebate-se h(k) em torno do índice zero ⇒ h(-k)
• 2. Desloca-se h(-k) por n0 amostras ( à direita ou à esquerda)
• 3. Multiplica-se cada elemento x(k) por h(n0-k) para se obter a sequência produto x(k) h(n0-k)
• 4. Soma-se todos os valores da sequência produto ⇒ y(n0)
31
( ) ( ) ( ) )(*)(00 nhnxknhkxnyk
=−= ∑∞
−∞=
• Exemplo: considere a entrada e resposta impulsiva abaixa. Determine a saída do sistema.
32
n0= 0
n0= -1
n0= +1
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Propriedades da Convolução e Interconexão de Sistemas LTI
- Comutativa: ( ) ( ) ( ) ( )nxnhnhnx ∗=∗
- Associativa: ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nhnhnxnhnhnx 2121 ∗∗=∗∗
h1(n)*h2(n)h1(n) h2(n)
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )nhnxnhnxnhnhnx 2121 ∗+∗=+∗- Distributiva:
h1(n)
h2(n)
+ h1(n)+h2(n)
Referencias para leitura:
• Proakis//Manolakis (4ª edição)
– Cap. 1, seções 1.1, 1.2 e 1.3
– Cap. 2, seções 2.1, 2.2 e 2.3
• Lyons (3ª edição)
– Cap. 1 todo
• Oppenheim (3ª edição, Discrete-time...)
– Cap. 2, seções 2.1 a 2.7
• Oppenheim (2ª edição, Sinais e Sistemas)
– Cap. 1 todo
– Cap. 2, seções 2.1 a 2.3
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