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CAPTULO 3

COMPONENTES SIMTRICOS

Prof. Jos Wilson Resende Ph.D em Sistemas de Energia Eltrica (University of Aberdeen-Esccia)

Professor titular da Faculdade de Engenharia Eltrica Universidade Federal de Uberlndia

3.1 - Anlise por componentes simtricos Em 1918, o Dr. Fortescue apresentou American Institute of Electrical Engineers o trabalho denominado Mtodo de Componentes Simtricos aplicado soluo de Circuitos Polifsicos. Este mtodo desde ento vem sendo largamente usado na anlise de funcionamento de circuitos eltricos desbalanceados. Embora o mtodo seja aplicvel a qualquer sistema polifsico desequilibrado, este curso tratar especificamente de sistemas trifsicos. De acordo com o ento denominado Teorema de Fortescue, trs fasores, desequilibrados, de um sistema podem ser substitudos por trs sistemas equilibrados de fasores. Os trs conjuntos equilibrados so: 1. Componentes de sequncia positiva, consiste de 3 fasores iguais em

mdulo, defasados de 120o, e tendo a mesma sequncia que os fasores originais.

2. Componentes de sequncia negativa, consistindo de 3 fasores iguais em mdulo, defasados de 120o, e tendo a sequncia da fase oposta a dos fasores originais.

3. Componentes de sequncia zero, constitudo de 3 fasores iguais em mdulo com defasagem de 0o entre si.

Assim, se um sistema tem a sequncia de fases abc, as sequncias de fases dos componentes de sequncia positiva e negativas, sero respectivamente abc e acb. Exemplo: sejam 3 fasores originais de tenso, Va, Vb e Vc , que sero decompostos nos trs conjuntos abaixo:

72

Vc1 Va1

Vb1

Va2

Vc2

Vb2Va0

Vb0Vc0

seq. (+) seq. (-) Seq. (0)

Figura 3.1 - A soma grfica dos 3 sistemas dar:

...............................

Va0

Va2

Va1

Va

Vc1

Vc2Vc0

Vc

Vb1Vb2

Vb0Vb

REFERNCIA

Figura 3.2 -

Da fig. 3.2 tira-se que: Va = Va1 + Va2 + Vao (3.1) Vb = Vb1 + Vb2 + Vbo (3.2) Vc = Vc1 + Vc2 + Vc0 (3.3) 3.2 - Operadores bastante conhecido que o operador j produz rotao de 90o e que o operador -1 provoca rotao de 180o. Sabe-se tambm que duas aplicaes sucessivas do operador j produzem rotao de 90o + 90o, ou seja: j x j = j2 produz rotao de 180o. Logo: j2 = -1. Algumas das muitas combinaes do operador j so mostradas a seguir: j = 1/90o = 1/-270o = 0 + j1 j2 = 1/-180o = 1/-180o = -1 + j0 = -1

j + j2 = 2/135o = 2/-225o = -1 + j1 j + j3 = 0 - 0 + j0

73

j3 = 1/270o = 1/-90o = 0 = j1 = -j j4 = 1/360o = 1/0o = 1 + j0 =1 j5 = 1/450o = 1/90o = 0 + j1 = j

j - j2 = 2 /45o = 2 /-315o = 1 + j1 j = j3 = 2 /90o = 2 /-270o = 0 + j2

Outro operador til o operador a, que causa uma rotao de 120o no sentido anti-horrio: a = 1 /120o = 1 ej 2/3 = -0,5 + j0,866 Aplicando-o duas vezes haver uma rotao de 240o, trs vezes 360o. Algumas das muitas combinaes do operador a so mostradas a seguir: a = 1 /120o = -0,5 + j0,866 a2 = 1 /240o = -0,5 = -j0,866 a3 = 1 /360o = 1 + j0 a4 = 1 /120o = -0,5 + j0,866 = a 1 + a = 1 /60o = 0,5 + j0,866 = -a2

1 - a = 3 /-30o = 1,5 - j0,866 1 + a2 = 1 /-60o = 0,5 - j0,866 = -a a + a2 = 1/180o = - 1 - j0 a - a2 = 3 /90o = 0 + j1,732 1 + a + a2 = 0 = 0 + j0

A fig. 3.3 mostra diversos fasores operados por a:

60o60o60o

a - a2

a2 - a

1, a3-1, - a3

Figura 3.3 -

IMPORTANTE: Enquanto que +j significa rotao de +90o e -j rotao de -90o, para o operador a no se pode fazer afirmao anloga: a = 1/120o -a = 1 /120o . 1 /180o = 1 /300o = 1 /-60o 3.3 - Componentes simtricos de fasores assimtricos Retomando as equaes (3.1), (3.2) e (3.3): Va = Va1 + Va2 + Va0 (3.1) Vb = Vb1 + Vb2 + Vb0 (3.2) Vc = Vc1 + Vc2 + Vc0 (3.3) Usando o operador a e os conceitos tirados das figuras anteriores:

74

V a V V aV

V a V V a VV V V V

b a c a

b a c a

b a c a

12

1 1 1

2 2 22

2

0 0 0 0

= == == =

.

. (3.4)

Substituindo o conjunto de equaes (3.4) em (3.2) e (3.3), tem-se que o sistema de tenses Va, Vb e Vc poder ser assim reescrito: Va = Va1 + Va2 + Va0 (3.5) Vb = a2Va1 + aVa2 + Va0 (3.6) Vc = aVa1 + a2Va2 + Va0 (3.7) Matricialmente:

VVV

a aa a

VVV

a

b

c

a

a

a

=

1 1 1111

2

2

0

1

2

. (3.8)

Por convenincia, ser adotado que :

A = 1 1 111

2

2a aa a

(3.9)

Assim, a equao (3.8) poder ser assim ser escrita: [Vp] = [A] . [Vc] A matriz inversa de A ser:

A-1 = 13

1 1 111

2

2a a

a a

(3.10)

Por outro lado, pr-multiplicando a equao (3.8) por A-1:

A-1VVV

A AVVV

a

b

c

a

a

a

=

10

1

2

. .

Assim, as tenses de componentes simtricas, para a fase a sero:

VVV

a aa a

xVVV

a

a

a

a

b

c

0

1

2

2

2

13

1 1 111

=

(3.11)

A relao obtida de grande importncia, pois permite decompor 3 fasores assimtricos em seus componentes simtricos.

75

Desenvolvendo a equao matricial (3.11): Va0 = 1/3 (Va + Vb + Vc) (3.12) Va1 = 1/3 (Va + aVb + a2Vc) (3.13) Va2 = 1/3 (Va + a2Vb + aVc) (3.14) Os demais componentes simtricos (Vb0, Vc0, Vb1, Vb2, Vc1, Vc2) so obtidos pelas equaes (3.4). Observaes importantes: 1. A equao (3.12) mostra que, em circuitos trifsicos equilibrados,

no h componente de sequncia zero. 2. 3. As equaes (3.12), (3.13) e (3.14) valem tambm para corrente, tal

como abaixo ilustrado: Ia0 = 1/3 (Ia + Ib + Ic) (3.15) Ia1 = 1/3 (Ia + aIb + a2ic) (3.16) Ia2 = 1/3 (Ia + a2Ib + aIc) (3.17)

3. Em um sistema trifsico com condutor neutro, & & & &I I I In a b c= + + . Assim, de (3.15):

Ia0 = 1/3 In & &I In a= 3 0 (3.18) 4- Quando no h retorno pelo neutro, In nulo . Nestas condies, as

correntes de sequncia zero no existiro. Assim sendo, em uma carga ligada em (onde no h neutro), no h corrente de sequncia zero.

__________________________________________________________ Exemplo 1: Um condutor de uma linha trifsica est aberto. A corrente que flui para uma carga ligada em pela linha a de 10A. Tomando a corrente na linha a como referncia e a linha c aberta, determine os componentes simtricos das correntes de linha. Soluo: 0)(180/10);(0/10 === coboa IeAIAI &&& Das equaes (3.15), (3.16) e (3.17): Ia0 = 1/3 (10/0o + 10/180o + 0) = 0 A Ia1 = 1/3 (10/0o + 10/180o x 1/120o + 0) = 5,78/-30o A Ia2 = 1/3(10/0o + 10/180o x 1/240o + 0) = 5,78/30o A

76

Das equaes (3.4): Ib1 = a2Ia1 = 5,78/-150o [A] Ic1 = aIa1 = 5,78/90o [A] Ib2 = aIa2 = 5,78/150o [A] Ic2 = a2Ia2 = 5,78/90o [A] Ib0 = Ia0 = 0 Ic0 = Ia0 = 0 Comentrios: Embora Ic = 0 pois Ic1 + Ic2 = 0, os componentes Ic1 e Ic2 tm valores

diferentes de zero. A soma das componentes das correntes para a fase A deve dar 10/0o

[A] e as da fase B, 10/180o [A]. 3.4 - Potncia em termos de componentes simtricos: Conhecendo-se os componentes simtricos de corrente e tenso, pode-se obter, a partir destes, a potncia consumida: N = P + jQ = Va . Ia* + VbIb + VcIc* (3.19) Matricialmente:

N = S = [Va Vb Vc] III

VVV

xIII

a

b

c

a

b

c

ta

b

c

=

* 2

(3.20)

Ou seja, S = VLt . IL* OBS: Uma matriz conjugada constituda por elementos que so os

conjugados dos elementos originais. Introduzindo os componentes simtricos das tenses e correntes (eq. (3.8)

VL = A VVV

a

a

a

0

1

2

e IL = A III

a

a

a

0

1

2

na equao (3.20):

S = A [ ] .[ .] [ ] . [ ]* *VVV

AIII

AV AIa

a

a

ta

a

a

t0

1

2

0

1

2

=

Da lgebra matricial: [A . V]t = Vt . At Assim: S = Vt . At[AI}* = Vt . At . A* . I* (3.21) Da equao (3.9) nota-se que: At =A Sabe-se ainda que a e a2 so conjugados.

77

Portanto:

S = [Va0 Va1 Va2] 1 1 111

1 1 111

2

2

2

2

0

1

2

a aa a

a aa a

III

a

a

a

*

(3.22)

S = 3 [Va0 Va1 Va2] III

a

a

a

0

1

2

(3.23)

A equao (3.23) ficar: VaIa* + VbIb* + VcIc* = 3Va0Ia0* + 3Va1Ia1 + 3Va2Ia2* Ou seja:

[Va Vb Vc] III

V V VIII

S Sa

b

c

a a a

a

a

a

p c

=

=

*

[ ] [ ] [ ]3 30 1 20

1

2

__________________________________________________________ Exemplo 2: Dados: Va = 10/30o, Vb = 30/-60o e Vc = 15/145o determinar as componentes simtricas correspondentes. Soluo: Utilizando-se das equaes (3.12), (3.13) e (3.14): (3.12): Va0 = 1/3(Va + Vb + Vc) = 1/3(10/30o + 30/60o + 15/145o) = 5,60/-47,4 (3.13): Va1 = 1/3(Va + aVb + a2Vc) = 1/3(10/30o + a.30/-60o + 1/240o . 15/145o) = 17,6/45o. (3.14): Va2 = 1/3(Va + a2Vb + aVc) = 1/3(10/30o + 1/240o . 30/60o + 1/120o x 15/145o = 8,25/-156,2o As equaes (3.4) nos daro: Vb1 = a2 . Va1 = 17,6/75o Vc1 = a Va1 = 17,6/165o Vb2 = aVa2 Vc2 = a2Va2 Va0 = Vb0 = Vc0 3o Exemplo: Dadas as componentes simtricas: Va0 = 100/30o, Va1 = 220/0o e Va2 = 100/-60o, determinar as tenses Va, Vb e Vc. Soluo: O resultado ser obtido da equao (3.8):

78

VVV

a aa a

VVV

a aa

a

b

c

a

a

a

o

o

o

=

=

=

1 1 111

1 1 111 1

100 30220 0

100 60

2

2

0

1

2

2

2

//

/

Faa os clculos do produto matricial. 3.5 - Componentes simtricos das impedncias de linhas e cabos: 3.5.1 - Caso Geral Para a figura (3.5), as relaes para as correntes e tenses sero:

M ab = M ba

M bc = M cb

M ca = M ac

Z aa

Z bb

Z cc

V a

V b

V c

a

b

c

Figura 3.5

Va = ZaaIa + MabIb + MacIc Vb = MbaIa + ZbbIb + MbcIc Vc = McaIa + McbIb + ZccIc

Matricialmente: VVV

Z M MM Z MM M Z

III

a

b

c

aa ab ac

ab bb bc

ca cb cc

a

b

c

=

ou: [Vp] = [Zpp].[Ip] (3.24) Aplicando a Lei de OHM tambm para os componentes simtricos:

[Vc] = [Zcc] . [Ic] (3.25)

79

J foi visto anteriormente que:

=

c

b

a

a

a

a

VVV

xaaaa

VVV

2

2

2

1

0

11

111

31

Ou seja: [Vc] = [A-1][Vp] (3.26) Da mesma forma, a equao acima pode ser re-escrita para as correntes:

[Ic] = [A-1][ip] (3.27) Levando (3.26) e (3.27) em (3.25): [A-1][Vp] = [Zcc][A-1][Ip] Pr-multiplicando ambos membros por A: [Vp] = [A] [Zcc] [A-1] [Ip] (3.28) Fazendo a identidade de (3.28) com (3.24): [Zpp]= [A] [Zcc] [A-1]. Pr-multiplicando por [A-1]: [A-1] [Zpp] = [Zcc] [A-1] Ps-multiplicando esta ltima por [A]: Zcc] = [A-1] [Zpp] [A] (3.29) Matricialmente, (3.29) ficar:

[Zcc] = 1/3 1 1 111

1 1 111

2

2

2

2a a

a a

Z M MM Z MM M Z

a aa a

aa ab ac

ba bb bc

ca cb cc

(3.30)

3.5.2 - Circuito equilibrado Estando as trs fases equilibradas:

Zaa = Zbb = Zcc = Z Mab = Mba = Mcb = Mbc = Mac = Mca = M Substituindo na equao (3.30):

[Zcc] =1/3 1 1 111

1 1 111

2

2

2

2a a

a a

Z M MM Z MM M Z

a aa a

resolvendo esta:

80

[Zcc] = ( )

( )( )

Z MZ M

Z M

+

2 0 00 00 0

(3.31)

Como se v, a matriz de impedncia se diagonalizou. Caso o circuito no fsse equilibrado, a matriz acima seria totalmente cheia. A equao (3.31) pode ainda ser assim escrita:

[Zcc] = Z

ZZ

Z Z MZ Z MZ Z M

o o0 00 00 0

2

1

2

1

2

= += =

(3.32)

Reescrevendo a equao (3.25):

[Vc] = [Zcc] [Ic] =VVV

ZZ

Z

III

V Z IV Z IV Z I

o o o o o o

1

2

1

2

1

2

1 1 1

2 2 2

0 00 00 0

=

===

...

(3.33)

Significado fsico da equao (3.33): 1. Para sistemas equilibrados, a corrente de sequncia zero flui apenas

no circuito de sequncia zero; corrente de sequncia positiva no circuito de sequncia positiva; corrente de sequncia negativa no circuito de sequncia negativa.

2. A impedncia do circuito pelo qual circula a corrente de sequncia zero denominada de IMPEDNCIA DE SEQUNCIA ZERO, o mesmo acontecendo para as demais sequncias.

3. A f.e.m. produzida pelos geradores apenas de sequncia positiva.. Consequentemente, no caso de uma carga equilibrada, teremos somente corrente de sequncia positiva.

3.5.3 Diferenas entre Linhas e cabos

A soluo do sistema Z Z MZ Z MZ Z M

0

1

2

2= += =

, mostra que para as linhas

transpostas, Z0 maior que Z1 ou Z2 e que Z1 igual a Z2. Normalmente a impedncia de sequncia zero da ordem de 2,0 a 3,5 vezes o valor da impedncia de sequncia positiva ou negativa

81

(em linhas areas ou cabos de 3 condutores). Isso ocorre porque as correntes de sequncia zero esto em fase nos trs condutores. 3.6 - Impedncias de sequncia de transformadores e mquinas : 3.6.1 Transformadores 3.6.1.1 - Impedncia de sequncias positiva e negativa Como nas linhas de transmisso, as impedncias de sequncia positiva e negativa dos transformadores devem ser iguais entre s. Isso ocorre porque no h diferenas caso a energizao dos mesmos ocorra com tenses de seq. (+) ou (-). Por outro lado, nos transformadores Y/ de polaridade subtrativa, as tenses do lado ( ) sofrem um deslocamento angular, em relao s correspondentes tenses do lado(Y), de -30o para as tenses de sequncia positiva e de +30o para as correspondentes tenses de sequncia negativa. Esse assunto ser analisado, em maiores detalhes, no captulo 4. 3.6.1.2 - Impedncia de sequncia zero As impedncias de sequncia zero dos transformadores dependem da conexo dos enrolamentos e da forma construtiva do ncleo. Essas impedncias podem ser igual ou maior que as impedncias de sequncia positiva ou negativa (pode at ter um valor infinito). Quando a impedncia de seqncia zero for de valr finito, a circulao da corrente de seqncia zero no outro enrolamento do transformador depender da forma de conexo dos enrolamentos. As figuras a seguir ilustram isso:

Caminho para circulao da corrente

Camnho de Retorno

Gerador

L

L

L

L L

L

L

L

L

Figura 3.8 -

82

Caminhos de Retorno

Gerador

L

L

L

L

L

L

L

L

L

Figura 3.9 -

Gerador

L

L

L

L

L

L

L

L

Lno h

caminhos p/ correntede seq. zero

Figura 3.10 - Diagrama equivalente de sequncia zero para transformadores de 2 enrolamentos: Um diagrama simples pode ser usado para representar todos os diagramas unifilares de sequncia zero, para os transformadores:

L

L

Chavessrie

ChavesShunt

FontePonto de

faltaZ

Figura 3.11 -

Para utilizar o diagrama anterior, procede-se da seguinte maneira: Fechar a chave srie APENAS quando o enrolamento do lado desta

chave for em ESTRELA ATERRADO, que o que proporciona um circuito de retorno para a corrente que circula pela terra.

83

Fechar a chave shunt APENAS quando o enrolamento do lado desta chave for em DELTA, pois este proporciona um circuito fechado para a corrente de compensao de f.m.m.

EXEMPLOS DE OBTENO DE DIAGRAMAS DE SEQUNCIA ZERO DE TRANSFORMADORES: 1)

Figura 3.12 2)

Figura 3.13 3)

Figura 3.14 - 4)

Figura 3.15 -

84

5)

Figura 3.16 - Exemplo: Determine o circuito de sequncia zero do sistema:

N

M P

Q

T U

R SV X

W Z

Figura 3.17 - Soluo:

X

Z

VS

W

Z

UT

RL L

ZL L

LL

LL

L

P

Q

M

N Z

Figura 3.18 -

3.6.1.3 - Transformador de 3 enrolamentos O circuito equivalente idntico aquele para o transformador de 2 enrolamentos. A chave shunt fechada para o enrolamento em e a chave srie para a conexo Y :

85

LL

L

Z p

Z s

Z t

Z m CONEXO GERA

Figura 3.20 -

Seja o trafo Y//Y . O seu circuito de sequncia zero :

LL

L

Z p

Z s

Z t

Z m

P

S

F

T

TP

S

Figura 3.21 -

Para o trafo //Y

Figura 3.22 -

3.6.2 - Mquinas sncronas As impedncias de sequncia (+) e (-) das mquinas sncronas no so iguais entre s mesmo se a mquina for eletricamente equilibrada. Isto ocorre porque as tenses de sequncia (-), de sequncia de fases, por exemplo, ACB, quando aplicadas a uma mquina que gira e produz tenses de sequncia (+), de sequncia de

86

fases ABC, se comportaro como se houvesse uma outra mquina, dentro daquela primeira, porm, girando em sentido oposto. a) Impedncia de sequncia (+): Esta a impedncia normal da mquina. Toma-se o valor subtransitrio, transitrio ou sncrono,(conforme a natureza do problema. b) Impedncia de sequncia (-): A f.m.m. produzida pela corrente de sequncia (-) fluindo no estator , d origem a um campo rotativo, cujo sentido de rotao oposto quele do rotor, com a mesma velocidade sncrona , do rotor. Assim, o fluxo produzido varre rapidamente o rotor, induzindo correntes nos enrolamentos de campo, amortecedores e na superfcie do rotor, evitando assim que o fluxo penetre no rotor, e dando origem a um baixo valor de reatncia. Esse campo oposto tira a mquina do seu regime normal, provocando instabilidade, como se fosse colocada ou retirada carga da mquina. A impedncia Z2 varia continuamente do eixo d para o q, em consequncia, toma-se a mdia das reatncias sub-transitrias Xd e Xq:

Z2 = X Xd q

,, ,,+2

c) Impedncia de sequncia zero: A f.m.m. produzida pela corrente de sequncia zero ter o mesmo valor instantneo em todas as fases. Assim, para um enrolamento trifsico uniforme, a f.m.m. em qualquer ponto, ser a soma de 3 ondas senoidais idnticas, deslocadas entre si de 120o. Portanto o fluxo resultante zero e no haver reatncia, exceto aquela devido ao fluxo de disperso (e imperfeies no enrolamento). Consequentemente, a impedncia Zo ser composta da resistncia do enrolamento mais uma pequena reatncia. - Note-se a diferena do efeito da sequncia (0) nos trafos e nas

mquinas sncronas. Na figura 3.23 tem-se um gerador que alimenta uma carga

resistiva, atravs de uma linha. A representao deste gerador, em seus circuitos de sequncia (+), () e (0), est nas figuras 3.24, 3.25 e 3.26:

87

L R

L

L

R

R

X

XL

L

XLR L

R L

R L

A

Zg

Zg

ZgE a N

N N E a 120 o

E a 240 o

L

L LR

R

RL

L

L

Figura 3.23 -

Diagrama de sequncia (+)

E a

E b

L

L LE c

I a1

I b1

I c1

c b

a

Z 1

Z 1Z 1

E a

L Z 1

I a1

a

Figura 3.24 -

Diagrama de sequncia (-)

Figura 3.25 -

Diagrama de sequncia (0)

Figura 3.26 -

Obs.: Do inicio deste captulo, j se observou que a soma das tenses e das correntes de sequncia zero das 3 fases, sempre dar um resultado diferente de zero.

88

Vc1 Va1

Vb1

Va2

Vc2

Vb2Va0

Vb0Vc0

No que se refere s correntes, Isso implica que, para elas existirem, dever haver um caminho de retorno que o neutro. A impedncia deste retorno Zn. O circuito de sequncia zero unifilar, pelo qual normalmente passar apenas Io dever, neste caso, ter uma impedncia de retorno 3Zn. Assim, se mostra o efeito de uma corrente Io em uma impedncia 3Zn: 3ZnI0.

I o

I o

I o

3 I o( Retorno )

Figura 3.6 - 3.7 - Exerccios: 1) Fazer o circuito da sequncia (0) do diagrama unifilar:

L

~ ~NM

SQ

R T

P

Z n

Figura 3.27 -

Soluo:

P

Q

R

S

TM N

L

L

T

T

L

L L

L

LL

LL

89

2) Fazer os circuitos de sequncia (+), (-) e (0) do diagrama unifilar:

~

~N

M

P

Z

~

OL L

Z L

RA

BR S

ZT

Figura 3.29 -

Soluo: Diagramas de sequncia (+) e (-):

L

L

L

L

L

L

L

L

Z , Z1 A 2 A

Z = ZT1 T2

Z , Z1 B 2 B

Z = ZT1 T2

Z = ZL1 L2

Z = ZL1 L2

Z = Z1 C 2 C

Z = ZT 1 T 2

Seq.( + ) e ( - )

Figura 3.30 -

Diagrama de sequncia zero:

L

Z A 0

ZC 0

ZT 0

ZT 0

ZT 0

ZL 0

ZL 0

ZB 03 RR L

LLL

L

L

L

M

NP

O

R S

Seq. Zero

Figura 3.31-

__________________________________________________________ 3) Esquematize o circuito de sequncia zero para o sistema abaixo. Considere que as reatncias de sequncia zero dos geradores e motores valem 0,05 pu. Os reatores para a limitao de corrente valem 2,0 . A reatncia de sequncia (0) da L.T. de 250 . Para os transformadores, considerar que as reatncias de seqncia zero so iguais s de sequncia positiva. Adotar a Potncia base de 30 MVA e a Tenso base de 13,8kV na regio do gerador da barra k (a reatncia deste gerador (Xo=j0,15pu) est na tenso de 13,8 kV).

90

SOLUO: 1) Gerador: Zo = 0,05 pu 2) Transformadores: dado que: Z1 = 0,1 pup/ MB = 35 MVA UB = 13,2 KV/115KV

Para as basesMA MVAUA KV

==

3013 8,

Z1 = 0,13035

13 213 8

0 07842,

,,

= pu

Sendo considerado, neste exemplo, que Zo = Z1 Zo = 0,0784 pu 3) Motores: OBS: Para a tenso base de 13,8 kV no gerador, a tenso base na linha de transmisso ser de 120,23 kV e, nos motores, de 13,8 kV (confira!). Assim, as reatncias dos motores devem ser modificadas, conforme a seguir mostrado:

M1 : Zo = 0,05 . 3020

12 513 8

2,,

= 0,061 pu

M2 : Zo = 0,05 . 3010

12 513 8

2,,

= 0,123 pu

4) Reatores limitadores de corrente:

Zbase = UM

base

base

2 3 2

613 8 10

30 10= ( , . )

. = 6,35

Em pu: Zo(pu) = 2

6 35,= 0,315 pu

No diagrama unifilar: 3Zn = 3 . 0,315 = 0,945 pu 5) Linha de transmisso:

91

Zbase = ( , )120 23

30482

2KVMVA

= Em pu: Zo(pu) = 250/482 = 0,521 pu

j 0,945

j 0,05

k j 0,0784

L

j 0,521

mj 0,0784 n

p rj 0,123

j 0,945

j 0,061LL

L

LLL

L

L

__________________________________________________________ 4) Desenhe os circuitos de sequncia negativa e de sequncia zero para

o sistema de potncia do exercicio 6 do captulo 1. Escolha uma base de 50.000 KVA, 138 KV na linha de transmisso de 40 ohms e d as reatncias em p.u.. A reatncia de sequncia negativa de cada mquina sncrona igual respectiva reatncia subtransitria. A reatncia de sequncia zero de cada mquina de 8% com base nos prprios valores nominais. Os neutros das mquinas esto ligados terra atravs de reatores cujas reatncias valem 5%, com base nos valores nominais das respectivas mquinas. Suponha que as reatncias de sequncia zero das linhas de transmisso valem 300% das respectivas reatncias de sequncia positiva.

Soluo: UB = 138 KV (nas linhas); MB = 50 MVA GA = GB 20 MVA; 13,2 KV; x = 15%; Zn = 5%; Z0 = 8%. ZA1 = ZA2 = ZB1 = ZB2 = 0,15

13 213 8

5020

0 34212,

,. ,

= pu

ZA0 = ZB0 = 0,0813 213 8

5020

0 1832,

,. ,

=

92

Zn = 0,0513 213 8

5020

0 11432,

,. , ;

= 3Zn = 0,343 pu

MOTOR M: 30 MVA; 6,9 KV, x = 20%

ZM1 = ZM2 = 0,2 . 5030

0 333= , ZM0 = 0,08 .

5030

= 0,133 pu

Zn = 0,05 . 5030

= 0,0833; 3Zn = 0,25 pu

Transformadores:

YY MVA Y Y x Z

Y MVA Y x Z

: ; , ; , ,

: ; , ; , ,

20 13 8 138 10% 0 15020

0 25

15 6 9 138 10% 0 15015

0 333

= = =

= = =

Z1 = Z2 = Z0

Linhas: ZB = 1382/50 = 380,88 AB: Z1 = Z2 = 40/380,88 = 0,1051pu Z0 = 3Z, (dado do ex.) = 0,3153pu LINHA AC = LINHA CB:

Z1 = Z2 = 20/380,88 = 0,05251pu Z0 = 3Z1 = 0,1575pu

j 0,3421

LA

L

LLL

L

LL

L

L

LL

j 0,3431j 0,333

j 0,333j 0,333 j 0,25j 0,25j 0,25j 0,25

j 0,05251j 0,05251

j 0,1051

j 0,343

j 0,183

j 0,333

L

L

L

LL

L

LL

j 0,1575

j 0,133

j 0,25

A L

C

B

j 0,25

j 0,25 j 0,3153

j 0,343

j 0,183

j 0,25

j 0,25

j 0,1575j 0,333

L

L

L

LLL