CAPITOLUL 3CAPITOLUL 9

METODA COLOCAIEI APLICAT STRUCTURILOR DIN MATERIALE COMPOZITE STRATIFICATE ARMATE CU FIBRE

O alt metod numeric utilizat pentru calculul structurilor realizate din materiale compozite este metoda colocaiei.

Adaptarea acestei metode la structurile din materiale compozite stratificate, armate cu fibre continue, s-a efectuat innd seam de particularitile acestor materiale.

Utilizat la nceput pentru o gam restns de structuri, metoda colocaiei a devenit n ultimii ani o cale modern de analiz a structurilor compozite.

9.1 Metoda colocaiei aplicat n studiul plcilor din materiale compozite stratificate, armate cu fibre continue

Aceast metod a fost folosit pentru prima dat n studiul materialelelor compozite de ctre Bowie i Neal [1] iar apoi a fost adoptat de Oplinger i Gandhi [2], Ogonowski [3] i Wilmarth [4].

Metoda colocaiei a fost utilizat n special pentru determinarea cmpului tensiunilor din plci compozite infinite, prevzute cu o singur gaur, realizate din stratificate armate cu fibre continue, unidirecionale. Mai recent, Madenci, Ileri i Kudva (1992) [5] au analizat cu aceast metod plci plane infinite, cu mai multe guri, realizate din stratificate armate cu fibre continue, unidirecionale.

In lucrarea [6] Leknitskii a stabilit o metodologie pentru rezolvarea ecuaiilor de echilibru i de compatibilitate n coordonate carteziene pentru compozite stratificate, armate cu fibre, n cazul strii plane de tensiuni, folosind dou funcii analitice SYMBOL 70 \f "Symbol"1 (z1) i SYMBOL 70 \f "Symbol"2 (z2).

Variabilele z1 i z2 sunt complexe, fiind de forma z1 = x + SYMBOL 109 \f "Symbol"1y i z2 = x + SYMBOL 109 \f "Symbol"2y. Parametrii compleci SYMBOL 109 \f "Symbol"1 i SYMBOL 109 \f "Symbol"2 sunt rdcinile ecuaiei caracteristice:

(

)

0

a

a

2

a

a

2

a

2

a

22

66

2

66

12

3

16

4

11

=

+

m

-

m

+

+

m

-

m

(9.1)

unde aij (i, j = 1, 2, 6) sunt elementele matricei complianelor stratificatului.

n cazul strii plane de tensiuni aceast matrice are forma [7], [8]:

n

-

n

-

lt

t

t

lt

t

tl

l

G

1

0

0

0

E

1

E

0

E

E

1

,(9.2)

cu

l

lt

t

tl

E

E

n

=

n

.

Componentele deplasrilor exprimate n funcie de SYMBOL 70 \f "Symbol"1 (z1) i SYMBOL 70 \f "Symbol"2 (z2) au forma:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

.

u

x

z

q

z

q

e

2

u

;

u

y

z

p

z

p

e

2

u

0

y

2

2

2

1

1

1

y

0

x

2

2

2

1

1

1

x

+

w

+

F

+

F

=

+

w

-

F

+

F

=

(9.3)

Tensiunile din stratificat sunt exprimate cu aceleai funcii analitice SYMBOL 70 \f "Symbol"1 (z1) i SYMBOL 70 \f "Symbol"2 (z2), astfel:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

.

z

z

e

2

;

z

z

e

2

;

z

z

e

2

2

'

2

2

1

'

1

1

xy

2

'

2

1

'

1

y

2

'

2

2

2

1

'

1

2

1

x

F

m

+

F

m

-

=

t

F

+

F

=

s

F

m

+

F

m

=

s

(9.4)

n relaiile de mai sus pk i qk (k = 1, 2) sunt date de expresiile [6]:

.

a

a

a

q

;

a

a

a

p

26

k

22

k

12

k

k

16

12

2

k

11

k

-

m

+

m

=

m

-

+

m

=

(9.5)

Relaiile de mai sus in seama de rotirea de rigid SYMBOL 119 \f "Symbol" i de deplasrile de rigid ale corpului

0

x

u

i

0

y

u

.

Forele rezultante Fx (s) i Fy (s), pot fi exprimate n funcie de componentele X n i Yn cu relaiile:

Figura 9.1

.

ds

Y

)

s

(

F

;

ds

X

)

s

(

F

s

s

n

y

s

s

n

x

0

0

=

=

(9.6)

Xn, Yn sunt raportate pe unitatea de grosime i acioneaz de-a lungul arcului de lungime (s-s0) de pe conturul exterior Be i de pe cel interior Bi al plcii aa cum se observ n figura 9.1.

Parametrul s0 indic un punct arbitrar de pe contur, avnd coordonatele (x0, y0), iar s este un arc msurat de la s0 n sens trigonometric.

Componentele Fx i Fy scrise n funcie de SYMBOL 70 \f "Symbol"1 (z1) i SYMBOL 70 \f "Symbol"2 (z2) au urmtoarele expresii:

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

[

]

.

z

z

e

2

z

z

e

2

)

s

(

F

;

z

z

e

2

z

z

e

2

)

s

(

F

0

2

2

0

1

1

2

2

1

1

y

0

2

2

2

0

1

1

1

2

2

2

1

1

1

x

F

+

F

-

F

+

F

=

F

m

+

F

m

-

F

m

+

F

m

=

m

(9.7)

n care semnele din faa forelor se refer la conturul exterior, respectiv la cel interior.

n relaii mai apar

0

1

0

0

1

y

x

z

m

+

=

i

0

2

0

0

2

y

x

z

m

+

=

.

Pentru determinarea distribuiei tensiunilor ntr-o plac elastic anizotrop este necesar cunoaterea explicit a formei funciilor SYMBOL 70 \f "Symbol"1 (z1) i SYMBOL 70 \f "Symbol"2 (z2), care s asigure satisfacerea condiiilor la limit.

Pentru o mai bun convergen a metodei, funciile analitice sunt exprimate n coordonatele SYMBOL 120 \f "Symbol"1 i SYMBOL 120 \f "Symbol"2 sub forma unor serii infinite:

(

)

(

)

=

-

-

=

-

-

x

b

+

x

b

+

x

b

=

x

F

x

a

+

x

a

+

x

a

=

x

F

1

n

n

2

n

n

2

n

2

0

2

2

1

n

n

1

n

n

1

n

1

0

1

1

.

ln

)

(

;

ln

)

(

(9.8)

unde SYMBOL 97 \f "Symbol"i i SYMBOL 98 \f "Symbol"i sunt coeficieni compleci ce se vor determina din impunerea condiiilor pe contur.

Termenii logaritmici pot fi scoi n afara sumelor, dac rezultanta forelor aplicate pe conturul interior este nul.

Legtura dintre coordonatele SYMBOL 120 \f "Symbol" i z este dat de Lekhnitskii n lucrarea [6]:

.

b

i

a

b

a

z

z

;

b

i

a

b

a

z

z

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1

m

-

m

-

-

=

x

m

-

m

-

-

=

x

(9.9)

unde

1

i

-

=

, iar a i b sunt cele dou semiaxe ale gurii eliptice ale compozitului stratificat din figura 9.1.

In dezvoltarea seriilor din expresiile lui SYMBOL 70 \f "Symbol"1 i SYMBOL 70 \f "Symbol"2, termenii logaritmici iau valori multiple iar pentru a asigura o soluie unic a componentelor deplasrii trebuie impuse urmtoarele condiii:

(

)

(

)

.

0

q

q

m

;

0

p

p

m

0

2

o

1

0

2

o

1

=

b

+

a

=

b

+

a

(9.10)

innd seama de faptul c translaiile

0

x

u

i

0

y

u

ale corpului rigid, precum i rotaia acestuia SYMBOL 119 \f "Symbol" sunt nule, se va obine urmtoarea condiie:

.

0

b

i

a

q

p

b

i

a

q

p

e

1

2

2

2

2

1

1

1

1

1

=

b

m

-

-

m

+

a

m

-

-

m

(9.11)

Funciile analitice folosite de metoda prezentat se obin considernd un numr finit de termeni ai seriei:

(

)

(

)

=

-

-

=

-

-

x

b

+

x

b

+

x

b

=

x

F

x

a

+

x

a

+

x

a

=

x

F

N

1

n

n

2

n

n

2

n

2

0

2

2

N

1

n

n

1

n

n

1

n

1

0

1

1

.

ln

)

(

;

ln

)

(

(9.12)

n scopul determinrii unui numr finit de coeficieni necunoscui [4N+2], n seria scris mai sus sunt selectate M puncte de colocaie pentru impunerea condiiilor pe contur.

Avnd cunoscui coeficienii, deplasrile i tensiunile din plci pot fi calculate prin utilizarea relaiilor (9.3) i (9.4).

9.2 Exemple de calcul

Prezentm n continuare analiza prin metoda colocaiei a unor structuri din materiale compozite stratificate armate cu fibre continue, unidirecionale.

Structurile studiate sunt plci plane din grafit-epoxy, supuse la traciune i prevzute cu una, dou sau patru guri circulare, numite mai simplu stratificate.

Pentru a asigura o mai bun convergen a rezultatelor, numrul N din seriile trunchiate ale lui SYMBOL 70 \f "Symbol"1(SYMBOL 120 \f "Symbol"1) i SYMBOL 70 \f "Symbol"2 (SYMBOL 120 \f "Symbol"2 ) a fost considerat egal cu 10.

Fiecare lamin a fost considerat ca fiind un material omogen, elastic i ortotrop avnd urmtoarele caracteristici elastice:

-modulul de elasticitate pe direcia fibrelor, El =19 ( 106 MPa;

-modulul de elasticitate transversal, Et =1,9 ( 106 MPa;

-modulul la forfecare, Glt = 0,9 ( 106 MPa;

-coeficientul lui Poisson SYMBOL 110 \f "Symbol"lt = 0,3.

Rezultatele sunt independente de grosimea t a fiecrei lamine, datorit normalizrii elementelor aij din componena matricei complianelor.

La stratificatul din figura 9.2 prevzut cu o singur gaur circular, numrul punctelor de colocaie de pe conturul exterior este 44, iar de pe conturul interior este de 52.

Stratificatul analizat are simetrie tip oglind (0SYMBOL 176 \f "Symbol"5 /SYMBOL 177 \f "Symbol"45SYMBOL 176 \f "Symbol"2/90SYMBOL 176 \f "Symbol")S , fiind solicitat la traciune de tensiunea SYMBOL 115 \f "Symbol"0. Condiiile pe contur asociate punctelor de colocaie considerate sunt urmtoarele:

Fx = SYMBOL 115 \f "Symbol"0 (sr y0), 1 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" K1,

Fx = SYMBOL 115 \f "Symbol"0 (H - h), K1 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" K2,

Fx = SYMBOL 115 \f "Symbol"0 (sr - y0), K2 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" K3,

Fx = -SYMBOL 115 \f "Symbol"0 h, K3 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" K i r = 1,

- Fy = 0, 1 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" K,

- Fx = 0, K+1 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" M,

Fy = 0, K+1 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" M,

unde sr reprezint poziia punctului de colocaie r situat pe unul din cele dou contururi, iar h, l i H sunt parametrii geometrici ai plcii, observai i n figura 9.2.

Indicii punctelor de colocaie au fost considerai astfel [5], [10]:

- K1 = 12, K2 = 23, K3 = 34, K = 44 i M = 96.

Figura 9.2

Tensiunile normalizate SYMBOL 115 \f "Symbol"x(0,y)/SYMBOL 115 \f "Symbol"0 au fost calculate pentru placa finit dar i pentru cea infinit, modul lor de variaie fiind prezentat n figura 9.3.

n figura 9.3 se poate vedea efectul contururilor finite (limea) asupra concentratorului de tensiune n materiale izotrope i anizotrope.

Rezultatele din cazul plcii ortotrope infinite sunt comparate cu cele obinute analitic de Konish i Whitney [9] n tabelul 1. Se observ covergena soluiilor determinate prin metoda colocaiei, ctre soluiile obinute prin metode analitice.

Tabelul 9.1

y/a

SYMBOL 115 \f "Symbol"x(0,y)/SYMBOL 115 \f "Symbol"0 (metoda colocaiei)

SYMBOL 115 \f "Symbol"x(0,y)/SYMBOL 115 \f "Symbol"0 (soluie analitic a lui Konish i Whitney)

1,0

6,871

6,863

1,2

2,078

2,070

1,4

1,534

1,530

1,6

1,311

1,310

1,8

1,163

1,160

2,0

1,123

1,120

Figura 9.3

Pentru compozitul stratificat (0SYMBOL 176 \f "Symbol"8) cu patru guri circulare din figura 9.4 este suficient s se analizeze doar un sfert din structur. Condiiile pe contur impuse punctelor de colocaie sunt urmtoarele:

Fx = SYMBOL 115 \f "Symbol"0 (sr y0), 1 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" K1,

Fx = SYMBOL 115 \f "Symbol"0 (H - h), K1 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" K2,

ux = 0, K2 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" K3,

uy = 0, K3 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" K i r = 1,

- Fy = 0, 1 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" K,

- Fx = 0, K+1 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" M,

Fy = 0, K+1 SYMBOL 163 \f "Symbol" r SYMBOL 163 \f "Symbol" M.

Figura 9.4

Tensiunile normalizate SYMBOL 115 \f "Symbol"x(0, -a)/SYMBOL 115 \f "Symbol"0, sunt reprezentate n figura 9.4, n funcie de distanele dintre cele patru guri.

Metoda colocaiei prezint avantajul unui numr redus al datelor de intrare. O rapid analiz a structurilor compozite prin intermediul acestei metode, poat fi realizat cu ajutorul unui program de calcul cu metoda colocaiei. Metoda este asemntoare ntructva cu metoda elementelor de frontier i este folosit n special n cazul plcilor plane prevzute cu guri.

Numrul redus de tipuri de structuri ce pot fi studiate cu aceast metod, o situeaz pe un loc secund ntre metodele numerice de calcul, evident dup metoda elementelor finite, dar naintea altor metode aplicate structurilor din materiale clasice.

Bibliografie

1. Bowie, O. L., Neal, D. M., A Modified Mapping-Collocation Technique for Accurate Calculation of Stress Intensity Factors, Int. J. Fract. Mech. 6, 1970

2. Oplinger, D. W., Gandhi, K. R., Stress in Mechanically Fastened Orthotropic Laminates, Conf. Fibrous Composites in Flight Vehicle Design, Dayton, Ohio, 1974

3. Ogonowski, J. M., Analytical Study of Finite Geometry Plates with Stress Concentrations, Proc. AIAA/ASME/ASCE/AHS21 st SDM Conference, Seattle, Washinghton, 1980

4. Wilmarth, D. D., BREPAIR: Bolted Repair Analisys Program. Report to McDonnell Aircraft Company under Contract N62269-81-C2097 from Naval Air Development Center, Arthur D. Little, Inc. mm Cambridge, MA, 1982

5. Madenci, E., Ileri, L., Kudva, J., N., Analysis of Finite Composite Laminates with Holes, Solids Structures, 1993

6. Lekhnitskii, S. G., Anisotropic Plates, Gordon and Breach, New York, 1968

7. Almoreanu, E., Negru, C., Jiga, G., Calculul structurilor din materiale compozite, U.P.B., 1993

8. Gay, D., Matriaux composites, Editions Hermes, Paris, 1991

9. Konish, H. J., Whitney, J. M., Approximate Streses in an Orthotropic Plate Containing a Circular Hole, J. Compos. Mater. 9, 1975

10. Hadr, A., Probleme locale la materiale compozite, Tez de doctorat, U.P.B., 1997

_952627662.unknown

_952718602.unknown

_952628479.unknown

_952627519.unknown

_952626118.unknown