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Capitolo 1

Flussi euleriani non stazionari bidimensionali per miscele di gas ideali comprimibili.

Trattazione analitica.

1.1 Flussi monodimensionali non stazionari per fluidi costituiti da un solo gas perfetto.

L’evoluzione di tali flussi è governata dal seguente sistema di equazioni di Eulero:

( ) ( 1.1.1 )

( )

Nella ( 1.1.1 ) il sistema di Eulero è stato espresso in forma di divergenza.

Con ed ( ) si sono indicati rispettivamente il vettore delle variabili conservate ed il vettore dei

flussi generalizzati, definiti in funzione delle seguenti grandezze, descriventi lo stato termodinamico

della particella di gas:

la densità

la velocità

la pressione

l’energia totale per unità di massa

l’entalpia totale per unità di massa

andando ad esplicitare le grandezze che caratterizzano rispettivamente l’energia totale e l’entalpia

totale per unità di massa si ottiene:

energia interna per unità di massa

entalpia interna per unità di massa

2

Per riportarsi alle quantità che compaiono nel sistema di Eulero espresso nella formulazione ( 1.1.1 ) ,

occorre definire le seguenti grandezze: l’energia totale per unità di volume e l’entalpia totale per

unità di volume:

(energia totale per unità di volume)

(entalpia totale per unità di volume)

Sotto l’ipotesi di gas termicamente perfetto si può introdurre la seguente equazione di stato (valida

appunto nel caso di gas perfetti):

( 1.1.2 )

Dove è la costante del gas definita come :

( 1.1.3 )

nella quale con [ ] si indica la costante universale dei gas e con

[ ] il peso molecolare del gas.

Introducendo l’ulteriore ipotesi di gas caloricamente perfetto le grandezze energia interna per unità

di massa ed entalpia interna per unità di massa possono essere espresse nella seguente forma:

( 1.1.4 )

( 1.1.5 )

dove con e si indicano rispettivamente il calore specifico a pressione costante e a volume

costante.

Si definisce con la quantità adimensionale ottenuta dal rapporto dei i calori specifici :

( 1.1.6 )

I calori specifici possono essere espressi in funzione di e di nel seguente modo:

( 1.1.7 )

( 1.1.8 )

Per completezza si riporta anche la relazione che lega tra loro i calori specifici e la costante della

miscela:

( 1.1.9 )

3

Sfruttando la definizione dell’ energia totale per unità di volume, l’equazione di stato ( 1.1.2 ) e

l’espressione ( 1.1.8 ) relativa al calore specifico a volume costante è possibile ricavare una

formulazione, che verrà chiamata “equazione di stato per esteso” , per mezzo della quale si potrà

ottenere la chiusura del sistema di Eulero ( 1.1.1 ) .

(

)

(

)

nella quale una volta sostituita l’equazione di stato:

è possibile ottenere :

(

)

(1.10)

Tale equazione, utilizzando la definizione dell’energia interna per unità di volume, è riscrivibile nella

seguente forma equivalente:

(1.11)

Concludendo, si può affermare che il sistema delle equazioni di Eulero rappresentante la dinamica di

un fluido costituito da un solo gas termicamente e caloricamente perfetto , in campo

monodimensionale non stazionario è integrabile, cioè se ne può ricavare la soluzione analitica. Le

variabili dipendenti sono , e , mentre le variabili indipendenti sono . Come espresso dalla

( 1.1.10 ) , o analogamente dalla ( 1.1.11 ), la chiusura del sistema è garantita dall’aggiunta, come dato

in ingresso, della variabile costitutiva ed adimensionale ( rapporto dei calori specifici ).

E’ da tener presente che per la determinazione di alcune grandezze derivate, quali ad esempio la

temperatura è necessario aggiungere alla un’ altra variabile costitutiva, ad esempio (o

analogamente in base alla ( 1.1.3 ) il peso molecolare ).

In alternativa, per chiudere il sistema e ricavare la temperatura, in luogo della coppia di variabili

costitutive ed è possibile assegnare la coppia relativa ai calori specifici del gas e , o una

qualsiasi altra coppia, di grandezze costitutive appena citate purché indipendenti tra loro, ed utilizzare

eventualmente le ( 1.1.7) , ( 1.1.8 ) e ( 1.1.9 ) per ricavare le grandezze necessarie.

4

1.2 Flussi monodimensionali non stazionari per un fluido costituito da una miscela di gas perfetti.

Introduzione del modello Termodinamico Standard

Nella seguente trattazione viene fatto un passo avanti rispetto al paragrafo precedente, rendendo il

discorso più generale, e cioè prendendo in analisi fluidi costituiti da miscele di gas.

Si assegnano le seguenti ipotesi:

o (1) mescolamento isotermo tra i gas costituenti la miscela

o (2) che ogni specie di gas occupi lo stesso volume

o (3) che ogni particella abbia la stessa velocità.

o (4) che ogni specie di gas costituente la miscela sia termicamente e caloricamente perfetta

Si procede ora con la definizione delle grandezze che caratterizzano la miscela di gas. In questa

trattazione ogni grandezza, definita nel precedente paragrafo per un fluido ad una sola specie, verrà

tradotta nel caso multispecie.

Densità della miscela:

se si indica con la massa della k_esima specie e con il volume occupato dalla miscela di gas, per

l’ipotesi (2), è possibile definire la densità riferita alla k_esima specie come:

( 1.2.12 )

Pertanto così definita la rappresenterebbe la densità del gas qualora nel volume sia presente la

sola k_esima specie.

Sempre in base all’ipotesi (2), cioè che i gas occupino tutti lo stesso volume si può definire la densità

della miscela come:

∑ ( 1.2.13 )

conseguentemente possono definirsi le “frazioni in massa” dette anche “concentrazioni”:

; ( 1.2.14 )

Velocità della miscela :

5

definita direttamente dall’ ipotesi (3) .

Pressione della miscela:

si definisce con la pressione riferita alla k_esima specie di gas qualora fosse l’unica ad

occupare l’intero volume del dominio di definizione spaziale.

Per la legge di Dalton:

∑ ( 1.2.15 )

Ovviamente in base all’ipotesi (1) e (4) per ogni k_esimo gas risulta valida la legge di stato:

( 1.2.16 )

dove:

( 1.2.17 )

avendo indicato con il peso molecolare della k_esima specie di gas.

energia interna per unità di volume relativa alla miscela:

dalla definizione di energia interna per unità di volume relativa alla k_esima specie:

( 1.2.18 )

andando ad eseguire la sommatoria per ogni specie presente, si ottiene:

∑ ( 1.2.19 )

Calore specifico a volume costante per la miscela:

considerando l’ipotesi (4) cioè di gas termicamente e caloricamente perfetto, l’energia interna per

unità di massa relativa alla k_esima specie è data dalla:

( 1.2.20 )

6

e sostituendo le ( 1.1.4 ) , ( 1.2.20 ) nella ( 1.2.19 ) , si ottiene :

∑

ricordando la definizione ( 1.2.14 ) sulle frazioni in massa, e considerando l’ipotesi ( 1 ) di

mescolamento isotermo delle specie di gas si ottiene infine:

∑ ( 1.2.21 )

Calore specifico a pressione costante per la miscela

Analogamente a quanto appena svolto per ricavare il calore specifico a volume costante, e quindi

sfruttando la definizione dell’energia interna per unità di volume, si procede col ricavare il calore

specifico a pressione costante utilizzando questa volta la definizione dell’entalpia interna per unità

di volume:

∑

dove è proprio l’entalpia interna per unità di volume associata alla k_esima specie.

Nel caso di gas caloricamente perfetto l’entalpia interna è esprimibile come:

infine:

∑ ( 1.2.22 )

Rapporto dei calori specifici per la miscela:

∑

∑

7

Una volta definite le grandezze che caratterizzano le variabili di stato in gioco, si passa a verificare

come anche nel caso di una miscela di gas il sistema di Eulero sia chiuso e di quale sia stavolta la

formulazione dell’ “equazione di stato per esteso”, (cioè funzione dell’energia interna per unità di

volume e di ) necessaria alla chiusura del sistema.

Partendo dalla definizione dell’ energia totale per unità di volume relativa alla k_esima specie di gas,

costituente la miscela, e sfruttando l’ipotesi (3) (sulla velocità delle particelle) si ottiene :

( 1.2.24 )

Pertanto l’energia totale relativa alla miscela è ottenibile attraverso la sommatoria:

∑

∑

∑

ed introducendo la ( 1.2.20 ) , cioè , e la ( 1.2.14 ) ossia la definizione della

concentrazione per la k_esima specie, è possibile riscrivere l’energia totale per unità di volume

come:

∑

∑

considerando a questo punto le ( 1.2.13 ) , ( 1.2.20 ) si ottiene:

Per l’equazione di stato espressa dalla ( 1.1.2 ) e per la definizione del calore specifico a volume

costante ( 1.1.8 ) in questa analisi riferito alla miscela, si ricava:

e quindi risolvendo rispetto alla pressione:

o analogamente:

( 1.2.25 )

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cioè si è ritrovata la ( 1.1.9 ) e quindi “ l’equazione di stato per esteso” ricavata nel caso di fluido

costituito da una sola specie di gas. In questo caso però le grandezze in questione sono di miscela,

e bisogna porre attenzione nella definizione del .

Infatti se nel caso di fluido monocomponente il viene definito dalla ( 1.1.6 ) semplicemente

come rapporto tra i calori specifici del gas, in questo caso , come indicato nella ( 1.2.23 ) è

necessario conoscere anche le concentrazioni dei gas costituenti la miscela, nuova incognita del

problema.

Discorso analogo per la determinazione della costante di miscela:

∑ ( 1.2.26 )

Introduzione del modello Termodinamico Standard

Al fine di ricavare la soluzione nel caso in cui il fluido sia composto da una miscela di gas bisogna

modificare il sistema di Eulero ( 1.1.1 ) in modo tale da renderlo in grado di poter ricavare

l’evoluzione delle concentrazioni.

Un tale modello di equazioni di Eulero è noto in letteratura come “modello Termodinamico

Standard”, ed è caratterizzato dal fatto che l’equazione di conservazione della massa viene

espressa in termini delle densità parziali, e pertanto considerata tante volte quante sono le specie

di gas costituenti la miscela.

Grandezze derivate (per il modello Termodinamico Standard).

Definizione della velocità del suono nel caso di un fluido costituito da k specie di gas.

Per definizione la velocità del suono corrisponde alla velocità di propagazione dei disturbi nel caso

di flusso omentropico:

(

)

( 1.2.27 )

dalle ipotesi di mescolamento isotermico e che ogni specie di gas occupi lo stesso volume si sono

potute scrivere la legge di Dalton ( 1.2.15 ) e l’ equazione di stato per la k_esima specie ( 1.2.16 )

che per chiarezza vengono di seguito riportate:

∑

9

pertanto si può scrivere:

∑

∑ ((

)

(

)

)

per la quale le derivate parziali contenute, grazie all’equazione di stato, assumono la forma :

(

)

( 1.2.28a)

(

)

( 1.2.28b)

Le (1.2.28) sono state ottenute rispettivamente per differenziazione dell’equazione di stato

tenendo nella prima costante la temperatura e nella seconda la densità della

k_esima specie.

Pertanto:

∑

( 1.2.29 )

Ora si procede col ricavare un’ espressione di in funzione dell’energia interna per unità di

volume della miscela :

si parte differenziando la (1.2.19) e cioè l’equazione ∑

∑

∑

∑

considerando che per un gas caloricamente perfetto è possibile scrivere :

∑

∑

10

Ed andando a risolvere in termini di :

∑

∑

se inoltre si tiene presente che, ∑

:

∑

( 1.2.30 )

Inserendo quest’ultima nella ( 1.2.21 ), e considerando la ( 1.2.20 ) :

∑

( ∑

) ∑

∑(

)

A questo punto si ha la da inserire nell’espressione della velocità del suono

(

)

∑ (

)

(

)

e considerando la ( 1.2.28a)

(

) ∑ (

)

che può essere riscritta nella forma:

∑

( ∑

)

A questo punto ricordando che:

11

∑

∑

e considerando la definizione di entalpia interna per unità di massa si ottiene :

∑

Si è pertanto dimostrato come per un fluido multispecie il sistema di Eulero sia sostanzialmente lo

stesso di quello utilizzato nel caso di fluido monocomponente, a differenza del fatto che ora le

grandezze in questione sono riferite alla miscela e quindi ottenibili in funzione delle concentrazioni,

ricavabili a partire dal sottosistema delle equazioni di conservazione della massa scritte in termini di

densità parziali e sfruttando le (1.2.13) , (1.2.14).

Si riporta di seguito il sistema di equazioni che caratterizza la struttura del modello Termodinamico

Standard, d’ora in poi indicato anche come T.S. :

{

( 1.2.31 )

Tale sistema è chiuso il momento in cui si considera “l’equazione di stato per esteso”:

Pertanto al sistema ( 1.2.31 ) è necessario aggiungere le seguenti relazioni:

∑

; k=1,…,K

12

∑

∑

Così facendo si è garantita la chiusura del sistema, infatti note ora le densità dei componenti è

possibile ottenere la densità della miscela, valutare le frazioni in massa, ricavare il rapporto dei calori

specifici e quindi ottenere “l’equazione di stato per esteso”.

1.3 Flussi bidimensionali non stazionari multispecie di gas ideali:

Il sistema di Eulero ( 1.1.1 ) in campo bidimensionale nel caso si consideri il modello Termodinamico Standard

assume la seguente struttura, (formulazione quasi lineare):

{

( )

( )

nel caso in cui il fluido sia costituito da una miscela di due gas il precedente sistema diventa :

{

( )

( )

( )

13

tale sistema è inoltre rappresentabile nella seguente formulazione matriciale:

( 1.3.32 )

nella quale con si è indicato il vettore delle grandezze fondamentali :

mentre con e le matrici Jacobiane:

[ ]

[ ]

Approssimazione per mezzo di una linearizzazione locale e risoluzione del problema 2_D per

sovrapposizione degli effetti

Se si suppongono note le proprietà di una particella, posizionata in un punto generico del campo

bidimensionale, il sistema (1.3.32 ) è in grado di risolvere il problema dell’ evoluzione di tali proprietà,

nell’intorno infinitesimo del punto.

Per integrare nel tempo il sistema ( 1.3.32 ) , cioè per ricavarne la soluzione ad una distanza finita dal

punto di partenza, nel caso bidimensionale non risulta conveniente percorrere la stessa strada

utilizzata per il caso monodimensionale, applicando quindi la teoria delle caratteristiche, (argomento

del prossimo paragrafo ) direttamente al sistema (1.2.31).

Per ottenere la soluzione del sistema (1.3.32) è comodo invece inquadrare il problema direttamente

dal punto di vista numerico, essendo oltretutto questa la strada che verrà seguita nel corso dei

prossimi capitoli.

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Ragionare dal punto di vista numerico vuol dire avere a che fare con elementi di dimensione finita,

pertanto (nell’intorno del punto) il dominio spazio temporale dovrà essere discretizzato in piccoli

elementi di ampiezza finita rispettivamente di dimensioni Δt, Δx, Δy .

Per mezzo di un’approssimazione lineare la soluzione temporale della può essere valutata in termini

del seguente sviluppo in serie di Taylor al primo ordine:

Δ

Se ora nell’intorno del punto si ipotizza che i coefficienti moltiplicativi delle derivate ossia le

componenti delle matrici Jacobiane ed siano costanti all’interno del volume Δ Δ Δ

(e pertanto nell’intervallo d’integrazione temporale tra n ed n+1), si passa da un sistema che è quasi

lineare ad un sistema di tipo lineare, e quindi la soluzione potrà essere ottenuta per sovrapposizione

degli effetti. L’approssimazione introdotta consente di riscrivere il generico problema bidimensionale

come sovrapposizione di due fronti d’onda onda piani. La sovrapposizione degli effetti è possibile in

quanto il problema è stato preventivamente linearizzato.

Una tale approssimazione risulterà ovviamente possibile anche in campo continuo ma avrà comunque

validità nell’intorno infinitesimo del punto. Sarà quindi possibile ottenere una soluzione approssimata

della ( 2.3.32 ) come:

( 1.3.33 a )

dove :

( 1.3.33 b )

( 1.3.33 c )

Le ( 1.3.33 b ) e ( 1.3.33 c ) rappresentano nel continuo due casi particolari di onde bidimensionali,

rispettivamente un’onda piana che propaga in direzione x ed una che propaga in direzione y.

Se ci si limita a considerare solo il problema dell’evoluzione di un’onda piana e quindi considerando

separatamente la ( 1.3. 33 b ) o la ( 1.3. 33 c ) , è possibile ricercare la soluzione per via analitica

utilizzando la teoria delle caratteristiche, seguendo un percorso analogo a quello che si intraprende

nel caso 1_D non stazionario.

In effetti il fronte d’onda piano costituisce un caso particolare di una generica onda bidimensionale e

la sua evoluzione è risolvibile analiticamente, sfruttando la teoria delle caratteristiche, similmente a

quanto fatto per il caso 1_D .

15

Infatti per ottenere il sistema di equazioni di Eulero necessario a descrivere l’evoluzione di un’onda

piana si parte dalla sua generale formulazione 2D la ( 1.3.32 ) e si impongono le seguenti condizioni (

in particolare per un’onda piana che propaga in direzione x) :

o siano assenti o nulle le variazioni spaziali, gradienti e/o salti in direzione y

o sia in generale diversa da zero la componente della velocità in direzione y.

Sistema di Eulero per l’evoluzione di onde piane:

Il caso particolare in analisi restituisce pertanto un’approssimazione delle onde bidimensionali,

considerandole come fronti piani ed ovviamente non percepisce eventuali curvature delle onde

stesse.

Tale modello può considerarsi oltre che come un caso particolare del 2D non stazionario, anche come

un’ estensione del modello 1-D non stazionario, visto che come verrà dimostrato, entrambi i modelli

saranno caratterizzati dalle stesse proprietà iperboliche.

Il sistema di Eulero (modello termodinamico standard) che descrive la propagazione di un’onda piana

in direzione x per un fluido costituito da una miscela di gas, è dato dalla ( 1.3.33 b ) che in forma di

divergenza diventa:

{

( 1.3.34 a)

ed analogamente per l’onda piana in direzione y :

{

16

( 1.3.34 b)

Rispetto al caso 1-D compare in aggiunta l’equazione della conservazione quantità di moto in

direzione y ( o in direzione x nel caso si consideri la ( 1.3.34 b ) ).

Nella seguente trattazione si lavorerà unicamente in termini di fronti piani che propagano in

direzione x e quindi di (1.3.32a), essendo lo studio legato alla (1.3.34 b) e quindi al fronte piano in

direzione y, perfettamente analogo.

Per l’equazione di conservazione dell’energia bisogna tener presente che nell’esprimere l’energia

totale per unità di volume, per quanto riguarda il termine relativo all’energia cinetica si dovrà

considerare anche il contributo della componente della velocità in direzione y :

energia totale per unità di massa

entalpia totale per unità di massa

Anche in questo caso il sistema ( 2.3.32 a) risulta chiuso una volta introdotte le:

∑

∑

∑

Ovviamente in questo particolare caso 2_D “l’equazione di stato per esteso” ha la seguente

espressione :

(

)

17

( 1.3.35 )

Calcolo della temperatura:

se si assegnano le costanti di miscela (oppure i calori specifici a pressione e a volume costante

utilizzando la ( 1.1.9 ) ) è possibile ricavare la costante della miscela come:

∑

la temperatura sarà ricavata conseguentemente attraverso l’equazione di stato:

1.4 Proprietà iperboliche del sistema di Eulero

In questo paragrafo verranno messe a confronto le proprietà iperboliche relative ai sistemi di Eulero

descriventi rispettivamente l’evoluzione di un flusso 1-D e di un’onda piana.

Come primo punto si procede con lo studio delle proprietà iperboliche relativamente al caso 1_D

Il sistema ( 1.2.31) nel caso 1-D a due specie espresso in formulazione di divergenza assume la forma:

{

Ed in formulazione quasi lineare, (comodo punto di partenza per affrontare lo studio con la teoria

delle caratteristiche) :

e quindi:

18

{

( 1.4.36 )

(

)

( 1.4.37)

[

]

( 1.4.38 )

è il vettore avente per componenti le grandezze di stato fondamentali

è la matrice Jacobiana, costituita cioè dai coefficienti moltiplicativi delle derivate delle variabili di

stato in direzione x.

Calcolo degli autovalori

Ottenimento dell’ equazione caratteristica:

( )

[

]

Si applica il criterio di Laplace per ricavarne il determinante:

Tale equazione caratteristica ha per radici:

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Tali radici rappresentano gli autovalori del sistema, grandezze che descrivono nello spazio fisico (in

questo caso piano fisico, spazio_tempo) le direzioni lungo le quali, (attraverso lo studio degli

autovettori) sarà possibile ricavare le variabili d’onda (grandezze scalari rappresentanti la soluzione

del problema nello spazio delle soluzioni ).

Pertanto ora lo studio prosegue andando a ricavare quali proprietà viaggiano lungo le direzioni

caratteristiche.

Variazione delle variabili d’onda :

Dove con si rappresenta la variazione della variabile d’onda che viaggia nello spazio fisico lungo la

direzione ed l’ i_esimo autovettore sinistro

Determinazione degli autovettori sinistri:

:autovettore sinistro associato all’ autovalore

[

]

le ultime due equazioni dicono la stessa cosa,

20

scelgo il valore

e per sostituzione si ottiene:

:autovettore sinistro associato all’ autovalore

[

]

le ultime due equazioni dicono la stessa cosa,

scelgo il valore

e per sostituzione si ottiene:

, :autovettori sinistri associati all’ autovalore di molteplicità 2.

21

[

]

;

:

:

per la determinazione di si può scegliere: {

per la determinazione di si può scegliere: {

22

{

Proprietà iperboliche relative al sistema di Eulero 2-D non stazionario per un fluido costituito da due

specie di gas nel caso particolare di fronte d’onda piano:

Formulazione quasi lineare:

{

( 1.4.39 )

(

)

( 1.4.40 )

[ ]

( 1.4.41 )

Calcolo degli autovalori

Ottenimento dell’ equazione caratteristica:

23

( )

[

]

Vista la presenza nella matrice di molti zeri è conveniente al fine di ottenere il determinante applicare

due volte il criterio di Laplace:

L’equazione caratteristica ha per radici, i seguenti autovalori:

; autovalore di molteplicità 3

( 1.4.42 )

Variazione della variabile d’onda :

Dove rappresenta la variazione della variabile d’onda che viaggia lungo la direzione

Determinazione degli autovettori sinistri

:autovettore sinistro associato all’ autovalore

[ ]

24

le ultime due dicono la stessa cosa,

similmente a quanto svolto nel caso 1-D si scegli

e per sostituzione nel sistema sarà possibile ottenere:

:autovettore sinistro associato all’ autovalore

Procedendo analogamente a quanto fatto per si ottiene:

[ ]

Scegliendo

Autovettori relativi all’ autovalore di molteplicità 3:

25

[ ]

Si possono assegnare tre combinazioni di valori purché in grado di generare autovettori

indipendenti tra loro.

Per si può scegliere :

, ,

Per si può scegliere :

, ,

Per si può scegliere :

, ,

È pertanto possibile riscrivere il sistema di Eulero in termini della variazione delle variabili d’onda:

26

{

Equazioni di compatibilità:

[

]

{

Che proiettate lungo le direzioni caratteristiche, restituiscono:

lungo la direzione

27

lungo la direzione:

lungo la direzione

Pertanto è stato messo in evidenza il come le proprietà iperboliche dei casi 1-D e 2-D nel caso

particolare di onde piane siano strutturalmente analoghe.

Un importante risultato restituito dalle equazioni di compatibilità è il fatto che lungo la direzione

“traiettoria della particella” siano trasportate rispettivamente le concentrazioni e la

componente della velocità (normale alla direzione del flusso).

Riepilogando:

lungo le direzioni caratteristiche viaggiano le perturbazioni acustiche in

accordo con l’equazione di compatibilità

lungo la direzione caratteristica viaggia l’ onda entropica e vengono trasportate le

concentrazioni come indicato dalle equazioni ,

, ed avviene il trasporto della componente della velocità , come indicato da dv=0

28

1.5 Relazioni di salto

Anche in questa analisi si parte dallo studio del sistema di equazioni di bilancio che regola l’evoluzione

di un flusso monodimensionale e monocomponente per poi estendere la trattazione al caso di una

onda piana per un fluido composto da una miscela di gas.

Caso 1D per un fluido costituito da un solo gas

Si parte dal sistema ( 1.1.1 )

( )

dove i vettori delle “quantità conservate” e dei “flussi generalizzati” in campo monodimensionale

sono rispettivamente:

( )

Si introducono le seguenti notazioni:

salto della generica grandezza attraverso la discontinuità:

[ ]

media tra le grandezze attraverso la discontinuità:

̅

Sistema delle relazioni di salto:

[ ] [ ]

[ ] [ ] ( 1.5.53 )

[ ] [ ]

Nelle quali con si indica la velocità della discontinuità.

È possibile quindi definire la velocità del fluido relativamente alla discontinuità attraverso la scrittura:

( 1.5.54 )

29

Sviluppo delle relazioni di salto:

l’equazione di salto associata all’equazione di bilancio della massa per mezzo di una trasformazione di

tipo galileiano ( ) restituisce:

[ ]

̅[ ] ̅[ ]

passaggio possibile visto che e quindi si è potuto portare all’interno della parentesi

quadra la w.

L’introduzione di una trasformazione di tipo galileiana è utile anche per sviluppare l’equazione di

salto associata all’ equazione di bilancio della quantità di moto, pertanto analogamente a quanto

fatto per la relazione di salto associata all’equazione di conservazione della massa, si porta la w

all’interno della parentesi quadra e si ottiene:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

Se all’interno della parentesi quadra si introduce la seguente quantità nulla definita come [ ]

(e cioè la relazione di salto associata all’equazione di conservazione della massa) è possibile ottenere:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

̅̅ ̅̅ [ ] ̅[ ] [ ]

E considerando ancora una volta la relazione di salto associata all’equazione di conservazione della

massa si ottiene:

̅̅ ̅̅ [ ] [ ]

30

Equazione di salto associata all’equazione di conservazione dell’energia:

[ ]

Si ottiene quindi il seguente sistema di relazioni di salto valido appunto per il caso 1_D

monocomponente:

{

̅[ ] ̅[ ]

̅̅ ̅̅ [ ] [ ] [ ]

( 1.5.55 )

Relazioni di salto nel caso monodimensionale per una miscela di gas

Per affrontare il caso di un fluido multispecie occorre aggiungere alla trattazione appena svolta

k relazioni di salto, in termini di densità parziali, associate all’equazione di conservazione della massa.

[ ]

che può scriversi:

[ ]

̅[ ] ̅̅ ̅̅ [ ]

e considerando la relazione di salto associata all’equazione di conservazione della massa [ ] :

̅̅ ̅̅ [ ]

Resta ora da affrontare lo studio relativo alla relazione di salto associata all’ equazione di

conservazione dell’ energia. Nel caso di fluido multispecie è conveniente riscrivere tale relazione di

salto in funzione di e di grandezza adimensionale definita in funzione di “gamma” nel seguente

modo:

Si parte pertanto dalla:

31

[ ] [ ]

nella quale si sostituiscono le seguenti definizioni valide rispettivamente per l’energia interna per

unità di volume, e per l’entalpia interna per unità di volume:

(avendo utilizzato nelle precedenti la definizione di )

[

] [

]

e andando avanti con i passaggi si ottiene:

[ ] [ ] ̅[ ]

̅[ ] ̅̅̅̅ [ ] ̅[ ] ̅[ ] ̅[ ]

Pertanto il sistema di relazioni di salto per un flusso monodimensionale multispecie è il seguente:

{

̅̅ ̅̅ [ ]

̅̅ ̅̅ [ ] [ ]

̅[ ] ̅̅̅̅ [ ] ̅[ ] ̅[ ] ̅[ ]

( 1.5.56 )

Relazioni di salto nel caso in cui si considerino “onde piane”, per un fluido multispecie:

Bisogna in questo caso aggiungere al sistema (1.5.56) la relazione di salto associata alla conservazione

della quantità di moto in direzione y, e tener presente la diversa formulazione assunta dall’equazione

32

di conservazione dell’energia visto che il termine riguardante l’energia cinetica deve tener conto

anche della componente v della velocità:

o relazione di salto associata all’equazione di conservazione della quantità di moto in direzione

y:

[ ] [ ]

[ ]

e dalla definizione ( 1.5.54 ) :

[ ]

e sfruttando la relazione di salto associata all’equazione di conservazione della massa, scritta nella

forma [ ] :

̅̅ ̅̅ [ ] ̅[ ]

si ottiene :

̅̅ ̅̅ [ ]

o relazione di salto associata all’equazione di conservazione dell’energia:

Si parte dalla relazione di salto associata all’energia relativa al sistema (1.5.53) e la si sviluppa nel

seguente modo:

[ ] [ ]

( 1.5.57 )

Ora si esprimere l’energia totale per unità di volume separando i contributi relativi all’energia

interna e all’energia cinetica

essendo:

33

e sostituendo nella relazione di salto ( 1.5.57 ) si ottiene:

[

] [

]

[ ] [ ] ( ̅̅ ̅

) [ ] (

̅̅ ̅

) [ ] ̅ [

]

̅̅̅̅ [

] (

̅̅ ̅

) [ ] (

̅̅ ̅

) [ ] ̅ [

] ̅̅̅̅ [

] [ ]

[ ] [ ] ( ̅̅ ̅

) [ ] (

̅̅ ̅

) [ ] ̅ [

]

̅̅̅̅ [

] (

̅̅ ̅

) [ ] (

̅̅ ̅

) [ ] ̅ [

] ̅̅̅̅ [

] [ ]

[ ] [ ] ( ̅̅ ̅

) [ ] [

] ̅̅̅̅ ̅ (

̅̅ ̅

) [ ]

[

] ̅̅̅̅ ̅ [ ]

[ ] [ ] [ ] (( ̅̅ ̅

) (

̅̅ ̅

)) ̅̅̅̅ ̅ [

]

̅̅̅̅ ̅ [

] [ ]

e per la relazione di salto della massa [ ]=[ ] ,

[ ] [ ] ̅̅̅̅ ̅ [

] ̅̅̅̅ ̅ [

] [ ]

34

( 1.5.58 )

e tenendo presente che :

[

] ̅[ ]

[

] ̅[ ]

è possibile riscrivere la ( 1.5.58 ) nel seguente modo :

[ ] [ ] ̅̅̅̅ ̅ ̅[ ] ̅̅̅̅ ̅ ̅[ ] ̅[ ] ̅[ ]

Ora è possibile mettere in evidenza all’interno della relazione di salto dell’energia i termini relativi alle

relazioni di salto associate alle equazioni di conservazione delle quantità di moto in direzione x ed y:

[ ] [ ] ̅ ̅̅̅̅ [ ] ̅[ ] [ ] ̅ ̅̅̅̅ ̅ [ ] ̅[ ]

dove si ricorda che : ̅̅̅̅ ̅ [ ] ̅̅ ̅̅ [ ] ; ̅̅̅̅ [ ] ̅[ ] [ ] ̅̅ ̅̅ [ ] [ ]

Pertanto la relazione di salto associata all’equazione di conservazione dell’energia nel caso di un

fluido multispecie per un onda piana assume la seguente forma:

[ ] [ ] ̅[ ]

( 1.5.59 )

Che poi è la stessa relazione di salto associata all’energia ottenuta nel caso monodimensionale per

una miscela di gas.

E quindi sviluppandola come fatto in precedenza si ottiene:

[ ] ̅[ ] ̅̅ ̅̅ ̅̅ [ ] ̅[ ]

e per la ̅ ̅

35

̅ [ ] ̅̅ ̅̅ ̅̅ [ ] ̅[ ]

Infine:

̅ ̅[ ] ̅[ ] ̅̅ ̅[ ] ̅[ ]

( 1.5.60 )

Riepilogando, il sistema delle relazioni di salto necessarie allo studio di un fronte piano per una

miscela di gas è il seguente:

{

̅̅ ̅̅ [ ]

̅̅ ̅̅ [ ] [ ]

̅̅ ̅̅ [ ]

̅ ̅[ ] ̅[ ] ̅̅ ̅[ ] ̅[ ]

( 1.5.61 )

Quindi il sistema di relazioni di salto da considerare per lo studio di onde piane nel caso in cui il fluido

sia composto da una miscela di due gas differenti è il seguente:

{

̅̅ ̅̅ [ ]

̅̅ ̅̅ [ ]

̅̅ ̅̅ [ ] [ ]

̅̅ ̅̅ [ ]

̅ ̅[ ] ̅[ ] ̅̅ ̅[ ] ̅[ ]

( 1.5.62 )

A partire dal sistema ( 1.5.62 ) si passa ora a studiare la forma che assumono le relazioni di salto nei

casi in cui si considerino rispettivamente discontinuità di contatto ed urti.

Relazioni di salto per una discontinuità di contatto non stazionaria ,relativamente al caso particolare

di onda piana:

le condizioni da imporre sono:

[ ]

[ ]

E per la definizione dove rappresenta la velocità della discontinuità risultano

conseguentemente valide le scritture:

[ ] [ ]

36

̅̅ ̅̅ essendo nel caso della d. di c.

dalle due relazioni di salto associate alla conservazione della massa espresse in termini di

densità parziali, si ottiene :

̅̅ ̅̅ [ ]

̅̅ ̅̅ [ ]

Tenendo presente che per la d. di c. ̅̅ ̅̅ :

sono possibili salti delle concentrazioni e cioè:

[ ] [ ]

Relazione di salto associata alla quantità di moto in direzione x:

̅̅ ̅̅ [ ] [ ]

nel caso di una d. di c. risulta identicamente verificata.

Relazione di salto associata alla quantità di moto in direzione y:

̅̅ ̅̅ [ ]

per la condizione ̅̅ ̅̅ risulta,

sono possibili salti della componente della velocità in direzione y,

cioè: [ ]

E quindi qualora si fosse in presenza di un salto non nullo della componente della velocità

trasversale alla discontinuità, la d. di c. può essere considerata anche come una “linea di

scorrimento”.

37

R azi n i sa ass cia a a ’ n ia a :

̅[ ] ̅[ ] ̅̅ ̅[ ] ̅[ ]

Considerando che per la d. di c. [ ] [ ] :

̅[ ]

E considerando che e :

attraverso la discontinuità di contatto sono possibili salti della

quindi: [ ]

Cioè essendo la sinonimo di , l’equazione di salto dell’energia nel caso di d. di c. indica che,

attraverso la discontinuità di contatto è possibile che si verifichi un salto in termini di variazione di

composizione.

Relazioni di salto per un urto non stazionario ,relativamente al caso particolare di onda piana:

[ ]

[ ]

relazioni di salto associate alla massa espresse in termini di densità parziali:

̅̅ ̅̅ [ ]

̅̅ ̅̅ [ ]

̅̅ ̅̅

[ ]

[ ]

38

attraverso un urto non sono possibili salti sulle concentrazioni, ed analogamente per la

(1.2.23) è possibile affermare che risulti nullo anche il [ ] . Si può concludere che attraverso

un urto non sono possibili variazioni di composizione.

Relazione di salto associata alla conservazione della quantità di moto in direzione x:

̅̅ ̅̅ [ ] [ ]

̅̅ ̅̅

[ ] [ ]

[ ]

e quindi tale relazione fornisce solamente un legame tra il salto di velocità ed il salto di pressione

a av s ’

La relazione di salto associata alla conservazione della quantità di moto in direzione y:

̅̅ ̅̅ [ ]

̅̅ ̅̅

[ ]

Attraverso un urto la componente della velocità tangenziale alla discontinuità rimane invariata.

La azi n i sa ass cia a a a c ns vazi n ’ n ia a :

̅ ̅[ ] ̅[ ] ̅̅ ̅[ ] ̅[ ]

In base a quanto riscontrato dalle relazioni di salto associate alla massa si è dimostrato che

attraverso un urto non sono possibili variazioni di concentrazioni ( non può esserci variazione

di composizione ):

ciò vuol dire, ricordando la definizione (1.2.23) che attraverso un urto non sono possibili salti dei

calori specifici e quindi di

39

Si può pertanto affermare che attraverso un urto non sono possibili variazioni di composizione.

Ess n a av s ’ [ ] [ ] ; ̅ , la relazione di salto relativa all’energia

assume la seguente forma:

̅ [ ] ̅[ ] ̅[ ]

̅[ ] ̅[ ] ̅[ ]

cioè si è ritrovata la stessa relazione di salto valida ricavata nel caso di un fluido monocomponente.

A completamento della trattazione sulle relazioni di salto, vengono introdotte tre diverse riscritture

della relazione di salto dell’energia, ottenute esprimendo l’energia interna per unità di volume

rispettivamente nelle seguenti tre forme equivalenti:

o (1) energia interna per unità di volume espressa in termini di

o (2) ̆ “ “ “ “ “ “ in termini di

o (3) ̆ “ “ “ “ “ “ in termini di

per le quali le quantità ̆ e ̆ sono delle grandezze costitutive della miscela definite nel seguente

modo:

̆

̆

Si parte dalla relazione di salto,

[ ] [ ] ̅[ ]

Per la quale, di volta in volta l’energia interna per unità di volume verrà espressa in termini di

pressione di temperatura e di velocità del suono (al quadrato).

Come primo punto si passa ad esprimere l’energia interna in termini di pressione:

[ ] [ ] ̅[ ]

40

̅[ ] ̅[ ] ̅[ ] ̅̅̅̅ [ ] [ ] ̅[ ]

̅[ ] ̅[ ] ̅[ ] ̅̅̅̅ [ ] [ ] ̅[ ]

( ̅̅̅̅

̅ ) ̅[ ] ̅[ ] ̅ ̅[ ] ̅ ̅[ ] ̅[ ] ̅[ ] ̅[ ]

( ̅̅̅̅

̅ ) ̅[ ] ̅[ ] ̅ ̅[ ] ̅ ̅[ ] ̅[ ]

Def: ̅̅̅̅ ̅ = ̂

Tale relazione di salto è riscrivibile nel sistema di due equazioni che devono essere soddisfatte

contemporaneamente:

{( ̅̅̅̅

̅ ) ̅[ ]

̅[ ] ̅ ̅[ ] ̅ ̅[ ] ̅[ ]

Caso di una discontinuità di contatto ( [ ] [ ] ) :

la seconda relazione del sistema è identicamente nulla mentre la prima diventa:

̅[ ]

Caso di un urto:

come anticipato in questo caso [ ] ,pertanto è la prima relazione del sottosistema ad essere

identicamente nulla mentre la seconda diventa:

[ ] ̅[ ] ̅[ ] ̅[ ]

Si è pertanto evidenziato come l’equazione di conservazione dell’energia, assuma due diverse

formulazioni, rispettivamente nei casi in cui sia presente una di discontinuità di contatto o un urto :

̅[ ] [ ] [ ]

[ ] ̅[ ] ̅[ ] ̅[ ]

41

Rispetto a quanto restituito nel caso di discontinuità di contatto si riconosce che la

̅[ ] ̅[ ] ̅[ ] ,

rappresenta a azi n i sa ass cia a a ’ q azi n i bi anci :

Ta q azi n a s n a i “trasporto di eta” ed è da evidenziare che nel caso di una

discontinuità di contatto la dovrà essere considerata costante.

La ̅[ ] ò an ss vis a c m a c n izi n ch a ’an am n i

salti di relativamente al caso di una discontinuità di contatto. Tale condizione verrà di seguito

utilizzata anche in campo discreto al fine di regolare correttamente il trasporto di “ a” tra una

c a ’a a n cas in c i sia s n na isc n in i i c n a .

Come secondo punto si passa ad esprimere l’energia interna in termini della Temperatura:

[ ] [ ] ̅[ ]

̆

̆

[ ̆ ] [ ̆ ] ̅[ ]

̅ [ ] ̅ [ ] ̅ [ ] ̅̅ ̅̅ ̅̅ [ ] ̅[ ]

{ [ ] [ ]

̅ [ ] ̅̅ ̅̅ ̅̅ [ ] ̅[ ]

Se si ha una discontinuità di contatto che presenta un salto nullo in termini di temperatura:

[ ] [ ] [ ] ,

42

resta non nulla solo la prima, la quale essendo [ ] potrà essere riscritta come:

[ ] [ ]

Ed essendo per la discontinuità di contatto [ ]

Attraverso una discontinuità di contatto possono verificarsi salti di “csi” diversi da zero.

Come terzo punto si passa ad esprimere l’energia interna in termini della velocità del suono

(al quadrato).

[ ] [ ] ̅[ ]

̆

̆

[ ] [ ] ̅[ ]

̅ [ ] ̅̅ ̅ [ ] ̅̅ ̅ [ ] ̅̅ ̅̅ ̅̅ [ ] ̅[ ]

{ [ ] [ ]

̅ [ ] ̅̅ ̅̅ ̅̅ [ ] ̅[ ]

Se si ha una discontinuità di contatto che presenti un salto nullo in termini di velocità del suono:

[ ] [ ] [ ] ,

resta non nulla solo la prima, la quale essendo [ ] potrà essere riscritta come:

[ ] [ ]

[ ]

43

Con le equazioni ( 1.5.65, 66, 67 ) si sono trovate le condizioni esatte da imporre, in presenza di

discontinuità di contatto, rispettivamente nei seguenti casi particolari :

o [ ]

o [ ]

Tali relazioni verranno introdotte anche nel discreto, quali condizioni necessarie da imporre per

ottenere dei trasporti corretti in termini di “eta”, “csi” e “zita” . Verrà pertanto dimostrato come solo

attraverso tali condizioni risulti possibile annullare eventuali oscillazioni spurie in termini di pressione,

temperatura e velocità del suono, nel caso in cui si sia in presenza di una discontinuità di contatto.

44

Capitolo 2

Equazioni di Eulero nel discreto.

L’obiettivo di questo capitolo è la trattazione di modelli numerici in grado di simulare l’evoluzione di

flussi bidimensionali non stazionari per miscele di gas. Per una soluzione di tipo numerico si andranno

a considerare, valutazioni approssimate al posto degli integrali analitici e differenze finite al posto

delle derivate nel tempo.

Al fine d’integrare numericamente le equazioni di bilancio, tra i vari metodi agli elementi finiti, si è

scelto di utilizzare il metodo di Godunov. Tale metodo riscrive nel discreto le equazioni di

conservazione a partire dalla loro formulazione integrale, pertanto costituisce una forma generale per

risolverne il sistema di Eulero.

Il fatto di riscrivere nel discreto le equazioni di Eulero. partendo dalla loro formulazione integrale

conferisce al metodo di G. ma più in generale a tutti i metodi del tipo “shock capturing” , la capacità di

poter gestire l’evoluzione temporale di flussi in presenza di discontinuità.

In questa trattazione si procede con l’introduzione del metodo di G. del primo ordine in campo

monodimensionale per poi introdurre le modifiche necessarie ad estenderne l’applicabilità anche in

campo bidimensionale.

2.1 Metodo di Godunov

formulazione monodimensionale per un fluido costituito da una miscela di gas perfetti.

Per prima cosa si procede con l’integrare, in un intervallo finito, il sistema di Eulero (1.1.1) nel quale le

equazioni ci conservazione sono espresse in forma di divergenza:

( )

si ricorda che i vettori ed a seconda che si consideri un fluido composto da un so lo gas perfetto o

da una miscela di gas perfetti, sono definiti nel seguente modo:

caso monodimensionale per un fluido ad una sola specie

45

( )

caso monodimensionale per un fluido composto dalla miscela di due diverse specie di gas,

(modello Termodinamico Standard):

( )

Discretizzazione del dominio di definizione spazio temporale

o Il dominio d’integrazione spaziale viene suddiviso in n elementi discreti di uguale ampiezza

pari a

o Per la suddivisione del dominio d’integrazione temporale si utilizzano invece elementi la

cui ampiezza, come verrà dimostrato, dipenderà di volta in volta (ad ogni passo d’integrazione

temporale) dalla soluzione stessa, e da un opportuno coefficiente imposto dalla condizione di

stabilità.

Il volume d’integrazione finito è rappresentato dal seguente intervallo spazio temporale:

[

] [

]

A questo punto si procede con l’integrazione della (1.1.1) nell’intervallo appena definito:

∫ ∫ ( ( ) )

Si introducono la definizione di media spaziale e di media temporale delle grandezze ed ( )

rispetto agli intervalli d’ integrazione,

̃

̃

̃ ̃ ( (

))

pertanto l’integrale in esame assume la seguente forma:

{

} { ̃

̃

}

46

Si introducono ora le seguenti notazioni:

̃ ̃

̃

̃

̃

avendo considerato che per uno schema del primo ordine è corretto scrivere: ̃

,

e quindi ̃

Inoltre è comodo rappresentare con il rapporto tra le ampiezze degli elementi discreti :

Pertanto il sistema di Eulero ( ) integrato nell’intervallo discreto assume la seguente

formulazione,

̃

, la quale nel caso in cui si consideri un modello del primo ordine, può essere scritta come:

( 2.1.1 )

, ed analogamente per esteso :

(

)

( 2.1.2 )

2.2 Metodo di Godunov, in campo bidimensionale:

Come discusso nel corso del precedente capitolo il problema dell’evoluzione di flussi in campo

bidimensionale è governato dal seguente sistema di Eulero

( 2.2.3 a)

L’ evoluzione nello spazio tempo del sistema ( 2.2.3 a), come anticipato nel paragrafo 1.3 , sarà

ottenuta approssimando il fenomeno come una sovrapposizione di onde piane.

47

Questo risulta possibile sulla base della linearizzazione introdotta, per la quale i coefficienti delle

matrici Jacobiane vengono considerati costanti nell’ intervallo discreto (spazio_temporale di volume

)

Cioè nel discreto la soluzione del sistema ( 2.2.3 a ) sarà vista come sovrapposizione delle soluzioni

prodotte dai due fronti d’onda piani, trattati l’uno indipendentemente dall’altro :

La precedente scrittura mette in evidenza il fatto che d’ora in poi si lavorerà separatamente lungo la

direzione x sfruttando le proprietà iperboliche relative alla matrice Jacobiana e lungo la

direzione y con le proprietà iperboliche relative alla matrice .

L’intervallo d’integrazione è rappresentato dal seguente dominio spazio temporale:

[

] [

] [

]

Il sistema ( 2.2.3 a) espresso in forma di divergenza nel caso di un onda piana assume la seguente

forma:

b

Per il quale con si indica il vettore delle quantità conservate, e con ( ) e ( ) i vettori dei flussi

generalizzati, rispettivamente in direzione x e y.

( )

( )

Se con gli indici e si indicano le coordinate discrete della generica cella di calcolo, il relativo

intervallo d’integrazione spaziale ha per estremi (

) e (

)

Si può a questo punto integrare il sistema b rispetto alla generica cella di calcolo:

48

∫

(

∫

)

(

∫

∫

)

(

∫

∫

)

Utilizzando la seguente definizione delle grandezze mediate per cella,

̅ ∫

(

∫

)

si assa a in a i sis ma is a ’in va m a i am i zza compreso tra gli

istanti di tempo discreti ed

∫ (

̅ (

) (

))

̅

̅

(

)

(

)

( 2.2.4 a)

Si è quindi riscritto nel discreto quanto anticipato nel capitolo 2. La soluzione in termini di valor medio

per la generica cella al tempo è determinata dalla sommatoria tra il valor medio al tempo

e la sovrapposizione di quantità legate ai flussi all’interfaccia rispettivamente in direzione x ed y (da

ricavare per mezzo della soluzione di problemi di Riemann).

Si riporta di seguito l’espressione in forma compatta del sistema di Eulero in campo 2D riscritto nel

discreto sfruttando il metodo di Godunov

(2.2.4 b)

tenendo presente che ;

49

Scelta del :

Condizione di stabilità secondo il criterio di Courant Friedrics Levi :

si parte da una valutazione della stabilità in campo monodimensionale per poi estenderla al caso

bidimensionale:

dove rappresenta la massima pendenza delle direzioni caratteristiche valutata tra

tutte le celle di calcolo al tempo n .

o Caso 1-D ma | |

j=1,…,N

o Caso 2-D ma | |

⋃ma | |

j=1,…,M ; i=1,…,N

Con si rappresenta il coefficiente C.F.L. (Courant Friedrics Levi).

Al fine di ottenere la stabilità della soluzione si dovrà porre:

o Caso 1-D c (2.2.5 a)

o Caso 2-D c

condizione di Runghe Kutta (2.2.5 b)

Per semplicità di notazione nel seguito della trattazione discreta si utilizzerà in luogo di .

Definizione del modello Termodinamico Standard nel discreto

È possibile ora definire con completezza il modello T.S. in campo discreto:

il sistema di equazioni di bilancio assume la forma seguente:

o monodimensionale per una miscela composta da due gas:

{

( )

(

)

(2.2.6 a)

50

o bidimensionale ( onda piana in direzione x) per una miscela composta da due gas:

{

(

)

(

)

(2.2.6 b)

o bidimensionale ottenuto come sovrapposizione di onde piane per una miscela di due gas :

{

(

) (

)

(

)

(2.2.6 c)

Nel seguito della trattazione si studierà in primis il sistema (2.2.6 a) e quindi il problema dal punto di

vista monodimensionale, infine i risultati saranno ottenuti conseguentemente anche per i sistemi

(2.2.6 b) e (2.2.6 c), con semplici considerazioni aggiuntive.

È utile introdurre le seguenti notazioni

o def: media aritmetica temporale relativamente alla cella j:

̃

( 2.2.7 a)

o def: media aritmetica spaziale nella cella j al tempo :

̅

( 2.2.7 b)

51

o def: derivata temporale nella cella j al tempo :

( 2.2.8 a)

o def: derivata spaziale nella cella j al tempo :

( 2.2.8 b)

Conseguentemente risultano valide anche le seguenti scritture:

̃

( 2.2.9 a)

Nella quale per semplicità di notazione si è posto :

̃

( 2.2.9 b)

Pertanto è possibile sviluppare le equazioni di bilancio del sistema (2.2.6 a) nel seguente modo:

equazione di bilancio della massa:

̅ ̅

Equazione di bilancio della quantità di moto:

̃ ̃ ̅ ̅̅̅̅

che sfruttando l’equazione di bilancio della massa: ( )

si può riscrivere nella forma:

̃ ̅ ̃ ̅̅̅̅

52

Equazione di bilancio dell’energia totale per unità di volume:

per la quale si esprimono per esteso i termini relativi all’energia e all’entalpia totale per unità di

volume

(

) (

)

e ricordando la definizione della variabile “eta” ,

:

(

) (

)

Si sono ottenute quindi le equazioni che rappresentano il modello T.S. discreto nel caso 1D :

{

̅

̅

̅

̅

̃ ̅ ̃ ̅̅ ̅

(

) (

)

(2.2.10 a )

, e similmente il modello T.S. discreto relativo al fenomeno di propagazione di un’onda piana:

{

̅

̅

̅

̅

̃ ̅ ̃ ̅̅ ̅

(

) ( (

))

(2.2.10 b)

53

2.3 Studio di una discontinuità di contatto non stazionaria isolata con il modello T.S.

In questo paragrafo l’attenzione è rivolta allo studio dell’evoluzione di una discontinuità di contatto

non stazionaria per un flusso composto da una miscela di gas. Si passerà pertanto a dimostrare come

in generale il modello T.S. nella sua formulazione discreta, ottenuta con un metodo numerico di tipo

“shock capturing”, già al primo passo d’integrazione temporale, restituisca soluzioni affette da errore

in termini di pressione .

Caso 1D ci si riferisce pertanto al sistema ( 2.2.10 a ):

Una discontinuità di contatto non stazionaria impone le seguenti condizioni:

Le condizioni iniziali in termini di vettore delle variabili di stato nell’ipotesi che la d. di c. al tempo

sia collocata tra la generica cella e la cella adiacente sono le seguenti:

_esima cella a sinistra della cella (compresa)

_esima cella a destra della cella (compresa)

Si vuole ricavare la soluzione restituita dal modello T.S. espresso in base alla( 2.2.10 a ) a seguito di un

passo d’integrazione temporale. Come cella d’indagine si considera quella “etichettata” con

cioè quella alla destra della discontinuità di contatto sui dati iniziali.

Per prima cosa si vede cosa restituiscono le due equazioni di conservazione della massa espresse in

termini di densità parziali:

o Specie 1: ̅ ̅̅ ̅ c n izi n im s a a a i c

̅

Si ottiene infine:

( 2.3.11 a)

54

o Specie 2: ̅ ̅̅ ̅ c n izi n im s a a a i c

̅

Si ottiene infine:

(2.3.11 b)

A questo punto è possibile esprimere la soluzione in termini di densità di miscela:

ottenendo pertanto:

(2.3.11 c)

che poi rappresenta la soluzione al tempo nella cella restituita dall’equazione di bilancio:

Si è ora in grado di definire le concentrazioni strumento indispensabile per la chiusura del sistema di

Eulero discreto il momento in cui si scelga di utilizzare il modello T.S.

per definizione la concentrazione delle k-esima specie è data da:

Ed utilizzando le ( 3.1.6 a ) ,( 3.1.6 b ), è facile ricavare:

(2.3.12 a)

(2.3.12 b)

55

o Equazione di bilancio della quantità di moto:

Ricordando le notazioni introdotte ( 3.1.6 a ) e ( 3.1.6 b ), ( ̃

e

̃

) , si

ottiene una pratica riscrittura dell’equazione di bilancio della quantità di moto :

̃ ̅ ̃ (

̅) ̃

per la condizione imposta dalla discontinuità di contatto si ha che ̅ , quindi:

(

) ̃ ( ̃

)

Che dal punto di vista fisico può essere soddisfatta se si impone,

(2.3.13)

o l’equazione di bilancio dell’energia partendo dalla definizione riportata nel sistema ( 3.1.8 a)

diventa:

(

) (

)

̃

̃ (

) ̅̅ ̅ ̅

̅ ̅̅ ̅

̅ (

)

e tenendo presenti le (2.3.13 ) e le condizioni imposte dalla discontinuità di contatto, si

ottiene:

̃

̅̅ ̅ ̅

̅̅ ̅

e per il bilancio della massa relativo alla miscela ottenuto nella ̅

̅̅ ̅

é utile introdurre la seguente quantità chiamata “sigma” , definita come:

56

e quindi per sostituzione si ottiene:

̃ ̃ ̅

(2.3.14)

Riassumendo il sistema T.S. che regola la soluzione numerica per una miscela di gas nel caso di una

discontinuità di contatto è il seguente:

{

̃ ̃ ̅

La ( 2.3.13 ) assicura l’assenza di oscillazioni spurie della variabile di stato rappresentante la velocità.

In generale in base alla ( 2.3.14 ) non si verifica lo stesso per l’altra variabile di stato, la pressione.

A tal fine è utile la riscrittura di quest’ultima in modo da esprimerla in termini di errore relativo:

partendo proprio dalla (2.3.14 ) ed introducendo la ̃

si ottiene:

(

) (

) ̅

Allo scopo di ricavare un’espressione dell’errore relativo si procede nel seguente modo:

E considerando che nel caso di una d. di c. è vera la seguente scrittura ̅ , si ottiene:

In quest’ultima si riconosce l’equazione del trasporto di :

57

(2.3.15)

È noto dalla ( 1.2.23 ) come per il metodo Termodinamico Standard l’espressione di “gamma” e quindi

conseguentemente anche di si ricavi a partire dalle concentrazioni, pertanto ricorrendo alle

(1.2.21 ), (1.2.22 ) e considerando che si ottiene:

∑ ( )

∑ ( )

espressione di eta che sostituita nella ( 3.2.13 ) :

( )

E quindi:

Per maggior praticità conviene riportarsi in termini di :

e per sostituzione si ottiene infine:

(2.3.16)

58

È la ( 3.2.16) l’equazione alla quale si fa riferimento per condurre lo studio sull’errore relativo della

pressione.

Sfruttando quest’ultima infatti è facile verificare come in generale il modello T.S. restituisca valori di

diversi da zero e di come pertanto in generale si ottenga nel caso di una d. di c. non

stazionaria:

In completo disaccordo con il fatto che la pressione nel caso della d. di c. debba conservare il suo

valore costante nel tempo in tutto il campo ( e pertanto anche a ridosso della discontinuità )

Esistono tuttavia dei casi particolari di discontinuità di contatto nei quali il modello T.S. attraverso la

( 3.2.16 ) restituisce risultati corretti in termini di pressione.

Condizioni sulla sigma:

o

tale condizione ha senso solo se ottenuta per e cioè nel caso in cui il flusso sia stazionario

o

cioè si va ad imporre un vincolo sull’ incremento tale che nella cella alla destra della

discontinuità di contatto sia presente la sola specie di gas imposta dalle condizioni iniziali di destra

ed analogo discorso a sinistra. Tale considerazione può essere tradotta facilmente in termini di

concentrazioni scrivendo:

e quindi:

( )

( )

In generale la discontinuità di contatto per un metodo di tipo “shock capturing” è catturata e non

inseguita, e nella cella j+1 (adiacente alla d. di c. ) al tempo n+1 si avrà sia che

59

Caso di un fluido monocomponente

Nel modello T.S. la è ricavabile per mezzo dei calori specifici nel seguente modo:

∑ ( )

∑ ( )

e considerando che per un fluido mono_componente:

e per sostituzione si ottiene:

Salto nullo sulla temperatura attraverso la discontinuità di contatto:

Considerando l’equazione di stato per i gas perfetti ( ), ed il fatto che per una

discontinuità di contatto =0, imporre equivale a imporre

Ovviamente è analogamente vero il viceversa:

Riepilogando, in generale la condizione che deve essere rispettata per non avere oscillazioni spurie

della pressione è la seguente:

Se questa condizione si sostituisce direttamente nella (2.3.14) si ottiene :

̃ ̅

ed essendo in questo caso ̃ ed ovviamente anche ̅ , si ottiene semplicemente:

(2.3.17)

si è pertanto ricavato nel discreto un’equazione che rappresenta il trasporto della variabile .

60

La ( 3.2.17 )è la condizione che si deve imporre se non si vogliono avere errori in termini di oscillazioni

spurie della variabile di stato pressoria. Si osserva che tale equazione di trasporto è compatibile con la

relazione di salto ricavata alla fine del capitolo precedente.

Pertanto per non aver nel discreto errori in termini di pressione, la “eta” ( e quindi la “gamma” ) dovrà

essere ricavata sfruttando la (2.3.17) e non il criterio standard (che utilizza le concentrazioni).

Motivo per il quale non è possibile applicare il metodo standard per ricavare nel discreto una

soluzione corretta in termini di gamma, ma più in generale, in termini delle quantità costitutive di

miscela.

In realtà per il modello T.S. ,se si utilizza un metodo numerico di tipo “shock capturing”,in generale le

grandezze derivate non sono ben calcolate.

Il problema riguarda la forma assunta dalle grandezze di miscela ,ed in particolare del “gamma”

ricavato in funzione delle concentrazioni. Pertanto si può affermare che, pur verificandosi una certa

monotonicità sulle , questa non assicura la condizione necessaria per ottenere nel discreto il

corretto andamento del rapporto dei calori specifici necessario alla corretta valutazione della

pressione.

Caso di continuo per soluzioni regolari

Si considera l’equazione di conservazione della massa relativa alla k-esima specie:

Sostituendo e sviluppando:

Che per l’equazione di conservazione della massa :

e quindi:

Ora si passa a valutare le relazioni di salto:

[ ] [ ]

61

[ ] [ ]

̅ [ ] ̅ [ ] ̅̅̅̅ [ ] ̅ [ ]

e considerando la relazione di salto associata all’equazione di conservazione della massa:

̅ [ ] ̅̅̅̅ [ ]

Nel caso di una discontinuità di contatto è possibile scrivere in luogo di ̅ :

̅ [ ]

quindi il salto delle concentrazioni non dipende da .

Si procede ora col mettere in evidenza l’equazione che governa il trasporto delle per il modello T.S.

in campo discreto.

sviluppando,

̃ ̃ ̅ ̅̅̅̅

Si ricorda che,

̅ ̅ ̅ ̅

,

allora è possibile scrivere :

̅ ̅

̅ ̅̅̅̅

per la quale risulta nulla ̅ ̅

̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅

La quale non costituisce un semplice trasporto e soprattutto non rappresenta il modo utilizzato dal

modello T.S. per ricavare le concentrazioni nel discreto.

62

Discontinuità di contatto o linea di scorrimento:

Un’osservazione aggiuntiva necessaria alla descrizione di una discontinuità di contatto nel caso in cui

si consideri un’onda piana, riguarda il salto della velocità trasversale.

o se è corretto parlare di discontinuità di contatto;

o se è invece più corretto parlare di “linea di scorrimento”

2.4 Modelli discreti corretti

Considerati gli errori restituiti dal modello T.S. in termini di pressione (al primo passo d’integrazione

temporale) nasce l’esigenza di formulare nuovi modelli.

A questo punto si sfrutta quanto trattato in materia di relazioni di salto, ( paragrafo 1.5), al fine di

introdurre uno o più modelli in grado di ricavare correttamente le grandezze derivate.

Modelli Eta Conservativi:

Si è dimostrato nel paragrafo 1.5 come la relazione di salto associata all’equazione di conservazione

dell’energia, possa essere riscritta attraverso il seguente sottosistema, per il quale le due equazioni

devono essere soddisfatte contemporaneamente:

{( ̅̅̅̅

̅ ) ̅[ ]

̅[ ] ̅ ̅[ ] ̅ ̅[ ] ̅[ ]

Tale sistema andrà ad assumere, nel caso di una discontinuità di contatto, la seguente forma

specifica:

̅[ ]

Si vuole pertanto ,a partire dall’equazione di bilancio dell’energia in campo discreto, ottenere una

formulazione in grado di far emergere la condizione ottenuta nell’ambito delle relazioni di salto:

63

(

) (

)

̃ ̃ (

) ( ̅̅̅̅ ̅ (

) )

tale equazione di bilancio pertanto sarà soddisfatta se sono nulli separatamente i seguenti termini :

̃ ̅̅̅̅

(2.4.18)

̃ (

) ( ̅ (

))

(2.4.19)

Ottenendo il seguente sottosistema:

{

̃ ̅̅̅̅

̃ (

) ( ̅ (

))

Da osservare che il seguente sistema nei casi di urto e di discontinuità di contatto sarà caratterizzato

da una sola equazione:

o infatti nel caso di un urto la prima equazione sarà identicamente nulla;

o nel caso di una d. di c. la prima sarà proprio l’equazione di trasporto cercata

, mentre sarà la seconda ad essere identicamente nulla.

La precedente riscrittura dell’equazione di conservazione dell’energia consente di definire unitamente

alle altre equazioni di bilancio il modello denominato Eta_Conservativo_Implicito.

64

Eta_Conservativo_Implicito:

o caso 1-D ,miscela di due gas:

{

(

)

(

)

̃ (

) ( ̅ (

))

̃ ̅̅̅̅

(2.4.20 a)

o Caso 2-D “onda piana in direzione x” per la miscela di due gas:

{

(

)

(

)

̃ (

) ( ̅ (

))

̃ ̅̅̅̅

(2.4.20 b)

Il modello in questione è di tipo implicito in quanto le ultime due equazioni di bilancio rappresentanti

l’equazione di conservazione dell’energia per unità di volume, sono poste tra loro in forma implicita.

Infatti dipende da

e viceversa dipende da

.

Introducendo nella terza e nella quarta equazione del sistema (2.4.20 a) o nella quarta e nella quinta

del sistema (2.4.20 b) le seguenti approssimazioni:

̃ ̃ ̅

̃ ̃ ̅

e cioè andando a confondere la media spaziale delle grandezze con la media temporale, si riesce a

disaccoppiare le ultime due equazioni, ottenendo così una versione esplicita del modello E.C.I. che

prenderà appunto il nome di modello Eta_Conservativo_Esplicito:

65

Eta_Conservativo_Esplicito

caso 1-D:

{

(

)

(

)

̅ (

) ( ̅ (

))

̅ ̅̅̅̅

(2.4.21 a)

Altro modello d’interesse ottenuto anch’esso a partire dal E.C.I. è quello proposto da Abgrall e Karni,

imponendo la seguente approssimazione

̃ ̅̅̅̅

̃

Abgrall_Karni

{

(

)

(

)

̅ ̅̅̅̅

(2.4.22 a)

Modello coincidente al E.C.E. ad eccezione dell’equazione di bilancio dell’energia che qui è riportata

nella sua formulazione standard.

Si nota inoltre come la struttura del modello A.K. sia sostanzialmente la stessa del modello T.S. ma in

questo caso la chiusura viene effettuata per mezzo della determinata grazie all’equazione di

trasporto:

̅ ̅̅̅̅