View
237
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Capitolo 22
Valutazione delle opzioni
Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Argomenti trattati
2
Metodo binomiale
Modello di Black e Scholes
Modello di Black e Scholes e modello binomiale
Il mercato delle opzioni in Italia
Problemi di valutazione nelle opzioni
Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Opzioni
3Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Un’opzione call sul titolo BMAS ha un prezzo di esercizio di € 80 e scade tra un anno. Il titolo BMAS quota correntemente a € 80.
Caso 1
L’azione scende a € 60
Payoff dell’opzione = € 0
Caso 1
L’azione scende a € 60
Payoff dell’opzione = € 0
Caso 2
L’azione sale a € 106.67
Payoff dell’opzione = € 26,67
Caso 2
L’azione sale a € 106.67
Payoff dell’opzione = € 26,67
Opzioni
4Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Assumete di acquistare 4/7 dell’azione BMAS e di prendere a prestito 32,65 dalla vostra banca (al tasso del 5% annuo).
Caso 1
L’azione scende a € 60
Valore del portafoglio = = 4/7 60 – 32,65 (1.,05) = 0
Caso 1
L’azione scende a € 60
Valore del portafoglio = = 4/7 60 – 32,65 (1.,05) = 0
Caso 2
L’azione sale a € 106,67
Valore del portafoglio = = 4/7 106,67 – 32,65(1,05) =
26,67
Caso 2
L’azione sale a € 106,67
Valore del portafoglio = = 4/7 106,67 – 32,65(1,05) =
26,67
Delta dell’opzione
5Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Il valore della call è:
Call = 4/7 80 – 32,65 = 13,06
Delta dell'opzione
Differenza tra i possibili prezzi dell'opzione
Differenza tra i possibili prezzi dell'azione
26.67 0 26.67 4
106.67 60 46.67 7
6Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Neutralità al rischio
In un mondo di neutralità al rischio il ritorno atteso sull’azione sarebbe uguale al tasso risk-free, ossia 5%. Possiamo determinare le probabilità di aumento e diminuzione del prezzo dell’azione.
Rendimento atteso p 33.34% 1 p ( 25%)
Rendimento atteso 0.05
p 51.42%
up up
up
Valore delle opzioni
7Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
L’opzione su BMAS può allora essere valutata come:
f
p 26.67 1 p 0Valore call
1 r
(0.5142 26.67) (0.4858 0)
1.0513.06
up up
8Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Pricing binomiale
)()(
== aumento di àProbabilitduda
p-
-
p-1=ediminuzion di àProbabilit
annodell' % come espresso tempodi intervallo
th
eu
ed
ea
h
h
rh
Metodo binomiale
9Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
EsempioPrezzo = 36 s = 0,40 t = 90/365 D t = 30/365 Prezzo di esercizio = 40 r = 10%
a = 1,0083u = 1,1215d = 0,8917Pu = 0,5075Pd = 0,4925
Metodo binomiale
10Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
40,37
32,10
36
37,401215,136 1
0
=×
=×
UP
UP
Metodo binomiale
11Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
40,37
32,10
36
37,401215,13610
=×
=× UPUP
10.32,89170,3610
=×
=× DPDP
Metodo binomiale
12Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
50,78 = prezzo
40,37
32,10
25,52
45,28
36
28,62
40,37
32,10
36
1 tt PUP
Metodo binomiale
13Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
50,78 = prezzo
10,78 = valore intrinseco
40,37
0,37
32,10
0
25,52
0
45,28
36
28,62
36
40,37
32,10
14Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Metodo binomiale 50,78 = prezzo
10,78 = valore intrinseco
40,37
0,37
32,10
0
25,52
0
45,28
5,60
36
28,62
36
40,37
32,10
trdduu ePUPO
Il maggiore tra
15Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Metodo binomiale50,78 = prezzo10,78 = valore intrinseco
40,370,37
32,100
25,520
45,285,60
360,19
28,620
361,51
40,37
2,91
32,10
0,10
trdduu ePUPO
16Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Valutazione binomialePossibili variazioni di prezzo per l’azione Unicredit nell’ipotesi che l’azione possa muoversi una sola volta verso l’alto o verso il basso ogni 4 mesi (a), due volte ogni 2 mesi (b) o 17 volte ogni settimana (c).
Modello di Black e Scholes
17Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Dati componenti il prezzo dell’opzione
1. Prezzo corrente dell’attività sottostante2. Prezzo di esercizio3. Scarto quadratico medio del tasso di rendimento all’azione
(capitalizzato nel continuo) 4. Durata dell’opzione5. Tasso di interesse annuo
Modello di Black e Scholes
18Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
OC = [N(d1)x P] – [N(d2) x (EX) e-rt]
2
)](/log[1
tv
tv
EXVAPd
tvdd 12
dove
Modello di Black e Scholes
19Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
OC = Prezzo della call
P = Prezzo dell’azione
N(d1) = Funzione di probabilità cumulata normale di (d1)
EX = Prezzo di esercizio
N(d2) = Funzione di probabilità cumulata normale di (d2)
r = tasso di interesse (tasso a 90 giorni effettivi e titoli negoziabili o tasso privo di rischio)
t = durata dell’opzione (come % annua)
v = Scarto quadratico medio del tasso di rendimento all’azione (capitalizzato nel continuo)
Modello di Black e Scholes
20Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
EsempioConsiderati i seguenti valori, qual è il prezzo della call option?P = 36 r = 10% v = 0,40S = 40 t = 90 giorni / 365
3070,01 dtv
trd
vEXP )()ln( 2
1
2
3794,06206,01)( 1 dN
3065,06935,01)(
5056,0
2
2
12
dN
d
tvdd
[ ] [ ][ ] [ ]
70,1$=
)40(×3065,036×3794,0=
)(×)(×)(=)2466,0)(10,0(
21
C
C
rtC
O
eO
eEXdNPdNO
Binomiale vs. Black Scholes
21Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
EsempioQual è il prezzo di un’opzione call con le seguenti caratteristiche? P = 36 r = 10% v = 0,40S = 40 t = 90 gg / 365
Binomiale = € 1,51
Black Scholes = € 1,70
Il numero limitato di nodi presi in considerazione dal nostro esempio produce questa differenza. All’aumentare dei nodi, il prezzo ottenuto con il metodo binomiale converge verso il prezzo ottenuto con la formula di Black Scholes.
Binomiale vs. Black Scholes
22Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Il modello binomiale converge al prezzo prodotto dalla formula di B&S quando il numero di stadi tende ad infinito.
Il mercato delle opzioni in Italia
23Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Esistono opzioni su: Azioni, quotate in €, prevista la consegna fisica del
sottostante Indici, quotate in punti indice, prevista la liquidazione
in contanti
Trattate su: IDEM (dal 1995) prevalentemente per operatori
specializzati MTA e SeDeX (dal 1998), covered warrant,
prevalentemente per i piccoli investitori