CAPITOLUL 3CALCUL OPERATIONAL

1 TRANSFOMATA LAPLACE, TRANSFOR-

MATA Z SI TRANSFOMATA FOURIER

In ramura matematicii numita analiza functionala, transformata

Laplace, este un operator liniar care se aplica unei functii f(t),numita functie original, de argument real t (t ≥ 0). Acest o-perator transforma originalul ıntr-o alta functie, F (p), de argu-

ment complex p, numita functie imagine. Aceasta transformareeste bijectiva ın majoritatea cazurilor practice; perechile cores-

punzatoare f(t) si F (p) sunt grupate ın tabele de transformateLaplace. Transformata Laplace are o proprietate foarte utila, si

anume aceea ca multe relatii si operatii ce se efectueaza ın modcurent asupra originalului f(t) corespund unor relatii si operatii

mai simplu de efectuat asupra imaginii F (p).Transformata Laplace are multe aplicatii importante ın ma-

tematica, fizica, optica, inginerie electrica, automatica, prelu-

crarea semnalelor si teoria probabilitatilor. In matematica, estefolosita la rezolvarea ecuatiilor diferentiale si integrale. In fizica,

este folosita la analiza sistemelor liniare invariante ın timp cumar fi circuite electrice, oscilatori armonici, dispozitive optice si

sisteme mecanice. In aceste analize, transformata Laplace este

1

adesea interpretata ca o transformare din domeniul timp, ın careintrarile si iesirile sunt functii de timp, ın domeniul frecventa,

unde aceleasi intrari si iesiri sunt functii de frecventa unghiu-lara complexa, sau radiani pe unitatea de timp. Data fiind o

descriere matematica sau functionala simpla a unei intrari sau aunei iesiri a unui sistem, transformata Laplace ofera o descriere

functionala alternativa care adesea simplifica procesul analizeicomportamentului acelui sistem, sau pe cel de sintetizare a unuisistem pe baza unui set de specificatii.

Transformata Laplace este numita astfel ın onoarea matem-aticianului si astronomului Pierre-Simon Laplace, care a uti-

lizat aceasta transformare ın lucrarea sa despre teoria proba-bilitatilor.

Pierre-Simon Laplace a fost unul dintre cei mai straluciti as-tronomi din istorie ın acest domeniu. Acest francez a prezis

prin calcule matematice multe lucruri care mai tarziu au pututfi observate cu telescoape puternice.

Laplace s-a nascut pe 23 martie, 1749, ın Beaumont-en-Auge,

un oras din Normandia. Tatal sau a fost sarac, si Pierre-Simon aprimit educatie putin mai tarziu. Vecinii mai bogati s-au intere-

sat oarecum de el si l-au trimis la universitate ın Caen. Acolos-a descurcat foarte bine ın matematica. La varsta de 18 ani a

mers la Paris cu o scrisoare ın care explica principiile mecaniciipentru a o da lui Jean d’Alembert, un matematician de seamala acea vreme. D’Alembert a fost impresionat si l-a ajutat pe

tanarul Pierre sa obtina un post de profesor de matematica laScoala Militara.

Laplace a castigat multe premii pentru studiile sale si a fostfacut marchiz, dar a ramas modest spunand:”Ceea ce stim este

putin. Ceea ce nu stim este imens”. A murit la Paris pe 5

2

martie, 1827.In matematica si prelucrarea semnalelor, transformata Z trans-

forma un semnal discret ın domeniul timp, care este un sir de nu-mere reale, ıntr-o reprezentare complexa ın domeniul frecventa.

Transformata Z a fost introdusa sub acest nume de E. I. Juryın 1958 ın Sampled-Data Control Systems. Ideea de la baza

transformatei Z era anterior cunoscuta sub numele de ”metodafunctiei generatoare”.

Un semnal cu timp discret se obtine prin memorarea valorii

unui semnal cu timp continuu la anumite momente de timp,echidistante. Valorile memorate se numesc esantioane, iar pro-

cesul de memorare a acestor valori poarta numele de discretizarea unui semnal cu timp continuu. Intervalul de timp ıntre doua

esantioane se numeste pas sau perioada de esantionare si ın celece urmeaza se va nota cu T . Fig 2 prezinta rezultatul dis-

cretizarii semnalului cu timp continuu 1. De multe ori, semnalulobtinut se reprezinta ca ın 3 omitand pe axa de timp ınmultireacu timpul de esantionare T , astfel ca momentele de esantionare

kT apar ca fiind doar k ∈ Z. Un astfel de semnal se numestesemnal discret.

Operatorul Z are urmatoatea semnificatie: Z−1 reprezintaıntarziere ın timp cu un pas de esantionare.

Transformata Z este echivalentul transformatei Laplace pen-tru semnale discrete de aceea ın tot ceea ce urmeaza vom studiaın paralel cele doua transformate.

1.1 FUNCTIA ORIGINAL. TRANSFORMATA LA-

PLACE. TRANSFOMATA Z. PROPRIETATI.

In problemele fizicii si tehnicii se foloseste adesea o coresponden-

ta ıntre doua multimi de functii, o prima multime numita clasa

3

originalelor si o a doua formata cu imaginile lor obtinute printr-oanumita transformare. Aceasta corespondenta prezinta interes

daca este biunivoca si daca unor operatii din prima multimele corespund ın a doua multime operatii mai simple. Printre

altele, de obicei, operatiilor de derivare si integrare le corespundoperatii algebrice.

Definitia 1.1. * O functie f : R → R se numeste originaldaca are urmatoarele proprietati:

(i) f(t) = 0, (∀)t ∈ (−∞, 0);

(ii) este derivabila pe portiuni;

(iii) (∃) M > 0, s0 ≥ 0, astfel ıncat

|f(t)| ≤ Mes0t (∀)t ∈ [0,∞).

** Un sir (fn)n∈Z se numeste sir original daca are urma-

toarele proprietati:

(i) fn = 0, (∀)n < 0;

(ii) (∃) C > 0, a ≥ 0, astfel ıncat

|fn| ≤ Can (∀)n ≥ 0.

Multimea functiilor original o vom nota cu O, iar cea a sirurilor

original o vom nota cu Os.Prima conditie este impusa de problemele fizicii ın care se

aplica metodele operationale. Marimea fizica reprezentata de f

este studiata pentru t(n) > 0. Pentru t(n) < 0, sau marimeafizica este nula, sau nu prezinta interes si poate fi considerata

nula pe (−∞, 0).

4

A doua conditie reprezinta o conditie de regularitate si revinela faptul ca ın orice interval marginit, functia are cel mult un

numar finit de discontinuitati, unde ın plus exista derivate lat-erale.

Sa precizam ın prealabil ce ıntelegem prin aceasta conditiedin definitia functiilor original.

Definitia 1.2. Vom spune ca o functie f : I → R este deriva-bila pe portiuni daca pentru orice interval compact [a, b] ⊂ Iexista o diviziune (a = x0 < x1 < ... < xn = b) astfel ıncat

pentru orice 1 ≤ i ≤ n

(i) f este derivabila pe subintervalul deschis (xi−1, xi);

(ii) f si f ′ au limite la dreapta ın xi−1 si limite la stanga ın xi;

A treia conditie asigura convergenta anumitor integrale im-

proprii care vor interveni ın dezvoltarile ulterioare. Ea se ex-prima spunand ca f este majorata de o exponentiala sau ca are

crestere cel mult exponentiala. Marea majoritate a functiilor ele-mentare utilizate ın calculul operational satisfac aceasta conditie.

Numarul s0 se numeste indicele de crestere al functiei f .

Teorema 1.1. *Daca f, g ∈ O, α, β ∈ R atunci

(i) αf + βg ∈ O;

(ii) fg ∈ O;

**Daca sirurile fn, gn ∈ Os, α, β ∈ R atunci

(i) αfn + βgn ∈ Os;

(ii) fngn ∈ Os;

5

Definitia 1.3. *Fie f ∈ O arbitrara si s0 indicele sau de crestere.Functia F : Δ0 → C, unde

Δ0 = {p ∈ C|Re(p) > s0},definita prin

F (p) =

∞∫0

f(t)e−ptdt (1.1)

se numeste transformata Laplace a functiei f . Se noteaza

F = Lf

si L se numeste operatorul de transformare Laplace.**Fie fn ∈ Os arbitrara si c0 ≥ 0, a ≥ 0 astfel ıncat

|fn| ≤ Can, n ≥ 0.

Functia Z : E0 → C, unde

E0 = {z ∈ C||z| > a},definita prin

Z(fn)(z) =

∞∑0

fnz−n (1.2)

se numeste transformata Z sau transformata Laplace dis-creta a sirului fn.

Definitia 1.4. Vom spune ca functia complexa f : E → C,

cu E ⊂ C este derivabila sau monogena ın punctul z0 dacaexista

limz→z0

f(z) − f(z0)

z − z0

not= f ′(z0).

Teorema 1.2. *Integrala (2.1) este absolut convergenta (∀)p ∈Δ0. Functia F definita prin aceasta integrala este olomorfa pe

semiplanul Δ0.**Seria (2.2) este absolut convergenta (∀)z ∈ E0

6

1.2 Proprietati ale transformatelor Laplace si Z

In continuare vom da o serie de proprietati ale transformariiLaplace si ale transformarii Z si vom determina imaginile unorfunctii uzuale, folosind aceste proprietati.

Vom nota functiile original cu litere mici iar imaginile lor culiterele mari corespunzatoare:

X = Lx F = Lf.

Teorema 1.3. *Transformata Laplace este liniara

L(f + g) = Lf + Lg, (∀)f, g ∈ O

L(αf) = αLf, (∀)α ∈ C.

**Transformata Z este liniara

Z(fn + gn) = Zfn + Zgn, (∀)fn, gn ∈ Os

Z(αfn) = αZfn, (∀)α ∈ C.

Teorema 1.4. (asemanarii). Fie f ∈ O. Consideram α o

constanta strict pozitiva. Atunci imaginea functiei f(αt) este:

L(αt) =1

αF( p

α

)Teorema 1.5. (teorema ıntarzierii). *Daca f ∈ O si Lf =

F , atunciLf(t− τ) = e−pτF (p), (∀)τ > 0.

**Daca fn ∈ Os, atunci

Zfn−k = z−kZfn, (∀)k > 0

7

Teorema 1.6. (teorema deplasarii). *Daca f ∈ O, p0 ∈ C

si F = Lf , atunci

F (p − p0) = L(ep0tf(t))(p).

**Daca fn ∈ Os si a ∈ C , atunci

Zfn(zea) = Z(e−anfn)(z)

1.3 TEOREME DE DERIVARE SI INTEGRARE

Teorema 1.7. *(imaginea derivatei). Daca f, f ′ ∈ O siF = Lf atunci

L(f ′(t))(p) = pF (p) − f(0)

unde f(0) este limita la dreapta a functiei f ın punctul t = 0.

*(imaginea diferentei). Daca fn ∈ Os,

Z(fn+1 − fn)(z) = (z − 1)Zfn(z) − f0z.

In general, daca f, f ′, . . . , f (n) ∈ O, atunci

Lf (n)(t) = pnF (p)−[pn−1f(0)+pn−2f ′(0)+. . .+f (n−1)(0)] (1.3)

unde f(0), f ′(0), . . . , f (n)(0) sunt limitele la dreapta ın punctul

t = 0 ale functiilor f, f ′, . . . , f (n) ∈ O.

Observatia 1.1. In cazul particular cand f(0) = f ′(0) = . . . =

f (n)(0) = 0, formula () se reduce la

Lf (n)(t) = pnF (p).

In acest caz, derivarea originalului se traduce prin ınmultirea

imaginii sale cu p. In cazul general, ın formula care da imagineaderivatei de ordinul n, mai apare un polinom de gradul n − 1

8

cu coeficientii f(0), f ′(0), . . . , f (n)(0). Se observa ca aceasta teo-rema va permite reducerea problemelor Cauchy pentru ecuatii

diferentiale liniare cu coeficienti constanti la probleme de al-gebra.

Teorema 1.8. (derivarea imaginii).*Daca f ∈ O, F = Lf , atunci

F ′(p) = L[−tf(t)]

si ın general,

F (n)(p) = L[(−t)nf(t)], (∀)n ∈ N∗.

**Daca fn ∈ Os, atunci

(Zfn)′(z) = −1

zZ(nfn)(z).

Aceasta teorema permite determinarea imaginilor altor functiiuzuale.

Definitia 1.5. Prin integrarea originalului f se ıntelege operatia

care duce functia f ın functia g definita prin

g(t) =

t∫0

f(τ)dτ, (∀)t ∈ R

Teorema 1.9. *(imaginea integralei) Functia g obtinuta prinintegrarea unui original f este tot o functie original si

L

t∫0

f(τ)dτ(p) =1

pF (p).

9

*(imaginea sumei) Fie fn ∈ O. Atunci sirul

gn =n∑

k=0

fk

este un sir original si are loc relatia:

Lgn(z) =z

z − 1Zfn(z).

Definitia 1.6. Fie o functie complexa f : E → C, E ⊂ C, Emultime deschisa. Vom spune ca un punct z0 ∈ C este punct un

punct ordinar pentru functia f daca exista un disc

Δ(z0, ρ) = {z ∈ C| |z − z0| < ρ}pe care functia f este olomorfa.

Definitia 1.7. Fie f ∈ O si s0 indicele sau de crestere. Imagi-nea sa F este olomorfa pe semiplanul Δ0 = {p ∈ C|Re(p) > s0},deci admite o primitiva Φ pe Δ0. In ipoteza ca Φ are ın punctulde la infinit un punct ordinar, integrala

G(p) =

∞∫p

F (q)dq = Φ(∞) − Φ(p)

exista pentru orice p ∈ Δ0. Operatia prin care se trece de la

imaginea F la functia G, definita prin (), se numeste (inte-grarea imaginii).

Teorema 1.10. Integrarea imaginii.

Integrarii imaginii ıi corespunde ınmultirea originalului cu1

t,

∞∫p

F (q) dq = Lf(t)

t

10

1.4 Teoreme referitoare la produse

Definitia 1.8. *Fie f, g ∈ O arbitrare. Functia h, definita prinintegrala

h(t) =

t∫0

f(τ)g(t − τ)dτ

se numeste produsul de convolutie al functiilor f, g si se

noteaza h = f ∗ g.**Fie fn, gn ∈ Os arbitrare. Sirul h, definit prin

hn =n∑

k=0

fkgn−k

se numeste produsul de convolutie al sirurilor fn, gn si senoteaza hn = fn ∗ gn.

Teorema 1.11. *Produsul de convolutie al functiilor original

are urmatoarele proprietati:

(i) simetria: f ∗ g = g ∗ f , (∀)f, g ∈ O;

(ii) distributivitatea fata de adunare:

(f1 + f2) ∗ g = (f1 ∗ g) + (f2 ∗ g), (∀)f1, f2, g ∈ O;

(iii) f ∗ g ∈ O, (∀)f, g ∈ O;

*Produsul de convolutie al sirurilor original are urmatoarele pro-

prietati:

(i) simetria: fn ∗ gn = gn ∗ fn, (∀)fn, gn ∈ Os;

(ii) distributivitatea fata de adunare:

(fn + gn) ∗ hn = (fn ∗ hn) + (gn ∗ hn), (∀)fn, gn, hn ∈ Os;

11

(iii) fn ∗ gn ∈ Os, (∀)fn, gn ∈ Os;

Teorema 1.12. (Borel). *Fie f, g ∈ O. Are loc relatia

Lf · Lg = L(f ∗ g),

adica

Lf · Lg = L

t∫0

f(τ)g(t − τ)dτ.

**Fie fn, gn ∈ Os. Are loc relatia

Zfn · Zgn = Z(fn ∗ gn).

Observatia 1.2. Din () se obtine usor formula lui Duhamel,utilizata adesea ın electrotehnica.

pF (p)G(p) = L

⎡⎣f(t)g(0) +

t∫0

f(τ)g′(t − τ)dτ

⎤⎦ .

1.5 Inversarea transformatelor Laplace si Z

Avand data functia imagine, ne propunem sa gasim functia ori-ginal de la care provine aceasta.

Teorema 1.13. (formula de inversare Mellin-Fourier).Daca F = Lf , iar s0 este indicele de crestere al functiei f ,

atunci are loc egalitatea:

f(t) =1

2πi

a+i∞∫a−i∞

F (p)eptdp, (∀)a > s0

pentru orice t > 0 ın care f este continua.

12

Demonstratie.Fie functia

ϕ(t) = e−atf(t).

Functia ϕ ındeplineste urmatoarele conditii:

1. este derivabila pe R

2. este absolut integrabila pe R pentru ca ϕ(t) ≡ 0, pentru

t ∈ (−∞, 0), iar pentru t ∈ (0,∞) avem

|ϕ(t)| = e−at|f(t)| ≤ Me−(a−s0)t

pentru a > s0 ∞∫0

Me−(a−s0)t

este convergenta, deci ϕ este absolut integrabila pe (0,∞).Pe baza proprietatilor de mai sus, functia ϕ se poate reprezenta

printr-o integrala Fourier si avem

ϕ(t) =1

2π

∞∫−∞

dσ

∞∫0

f(τ)e−aτeiσ(t−τ)dτ.

de aici obtinem

eatϕ(t) =1

2π

∞∫−∞

e(a+iσ)tdσ

∞∫0

f(τ)e−(a+iσ)τdτ.

Facand schimbarea de variabila a + i = p, obtinem

1

2πi

a+i∞∫a−i∞

eptdp

∞∫0

f(τ)e−pτdτ = eatϕ(t) = f(t)

13

deci

f(t) =1

2πi

a+i∞∫a−i∞

F (p)eptdp.

Teorema 2.3 ofera un mijloc de calcul pentru determinarea

originalului f cand se cunoaste imaginea sa, dar nu cunoastemınca ın ce conditii o functie F este imaginea unei functii f . Din

teorema 2.2 rezulta numai ca F este o functie olomorfa pe unsemiplan Δ0 = {p ∈ C|Re(p) > s0}, unde s0 este un numarpozitiv, iar din teorema 2.3 rezulta o alta conditie necesara,

limRe(p)→∞

F (p) = 0

Teorema urmatoare contine conditii suficiente pentru ca o

functie F sa fie o imagine.

Teorema 1.14. Daca o functie complexa F de variabila com-plexa p = a + ib ındeplineste urmatoarele conditii:

(i) este olomorfa pe un semiplan Δ0 = {p ∈ C|Re(p) > s0},unde s0 ≥ 0;

(ii) lim|p|→∞

F (p) = 0 limita fiind uniforma ın raport cu argumen-

tul lui p;

(iii)

a+i∞∫a−i∞

F (p)dp este absolut convergenta;

atunci functia f data de

f(t) =1

2πi

a+i∞∫a−i∞

F (p)eptdp, t > 0

este o functie original si imaginea sa este F .

14

1.5.1 Teoreme de dezvoltare

Teorema 1.15. Fie F o functie rationala, F (p) =A(p)

B(p), cu A

si B polinoame cu urmatoarele proprietati:

(i) gr(A) < gr(B);

(ii) B are toate radacinile p0, p1, . . . , pn simple;

Atunci, F este imaginea functiei

f(t) =n∑

k=0

A(pk)

B′(pk)epkt.

Observatia 1.3. Daca una din radacinile polinomului B este

nula, de exemplu p0 = 0, notand cu B(p) = pR(p), avem

f(t) =A(0)

R(0)+

n∑k=1

A(pk)

R′(pk)

epkt

pk

numita formula lui Heaviside.

Teorema 1.16. Daca functia f este olomorfa pe exteriorul unuidisc Δ cu centrul ın origine si cu raza R, inclusiv punctul de la

infinit, atunci F admite o dezvoltare ın serie Laurent si

L

(∑n≥1

an

(n − 1)!tn−1

)=∑n≥1

an

pn, |p| > R

Pentru inversarea transformatei Z avem teorema:

Teorema 1.17. Fie fn ∈ Os, atunci

fn =

n∑k=1

Rez(Zfn(z)zn−1, zk),

unde {zk} este multimea punctelor singulare ale functieiZfn(z)zn−1.

15

2 Aplicatii ale transformatelor Laplace si Z

2.1 Integrarea ecuatiilor diferentiale liniare cu coefi-cienti constanti

Proprietatile transformarii Laplace si ale inversei sale se refera ınspecial la corespondenta dintre anumite operatii definite pe cele

doua multimi O si I. Printre acestea este semnificativa transfor-marea operatiilor de derivare si de integrare aplicate functiilor

din multimea O ın operatii algebrice aplicate imaginilor lor. Da-torita acestui fapt, problemele Cauchy pentru unele clase de

ecuatii diferentiale, rezolvarea unor ecuatii integrale, calcululunor integrale, etc. pot fi aduse la probleme mai simple, adeseachiar la probleme de algebra ın multimea I. Daca X ∈ I este

solutia problemei transformate, x = L−1X va fi solutia proble-mei initiale din multimea O. Metodele de acest tip se numesc

metode operationale.Ne punem problema determinarii solutiei x : [0,∞) → R a

ecuatiei diferentiale

a0x(n)(t) + a1x

(n−1)(t) + . . . + an−1x′(t) + anx(t) = f(t)

care satisface conditiile initiale

x(0) = x0, x′(0) = x1, x′′(0) = x2, . . . , xn−1(0) = xn−1.

Coeficientii a0, a1, . . . , an sunt constante reale, x0, x1, . . . , xn−1

sunt numere reale date. Functia f : [0,∞) → R este de aseme-nea cunoscuta.

In ceea ce urmeaza, vom presupune ca f ∈ O si ca solutia x aproblemei Cauchy referitoare la ecuatia () ındeplineste conditiile

impuse originalelor ımpreuna cu derivatele sale pana la ordinuln inclusiv.

16

NotamX = Lx, F = Lf

Tinand seama de proprietatile de liniaritate ale operatorului L,

din () deducem

a0Lx(n) + a1Lx(n−1) + . . . + an−1Lx′ + anLx = Lf

Vom ınlocui aici Lx(k), k = 0, 1, . . . , n, cu expresiile lor dedusedin (), folosind conditiile initiale (). Avem

Lx(n) = pnX(p) − (x0pn−1 + x1p

n−2 + . . . + xn−2p + xn−1)

. . . . . .

Lx′′ = p2X(p) − (x0p + x1)

Lx′ = pX(p) − x0

Lx = X(p)

Inlocuind ın ecuatia initiala () si ordonand termenii convenabilobtinem:

(a0pn + a1p

n−1 + . . . + an−1p + an)X(p) = F (p) + G(p),

unde G provine din termenii cu minus din membrul stang care

nu contin X(p).Ecuatia () se numeste ecuatia operationala asociata ecuatiei

diferentiale () cu conditiile initiale ().Solutia ecuatiei operationale () este

X(p) =F (p) + G(p)

ϕ(p),

unde am notat

ϕ(p) = a0pn + a1p

n−1 + . . . + an−1p + an,

17

iar solutia ecuatiei () care satisface conditiile () este originalulsau

x(t) = L−1X(p)

Practic, x se determina folosind descompuneri convenabile ale

functiei X sau, ın ultima instanta, folosind formula de inversareMellin-Fourier. Aceasta ultima cale este de obicei mult mai

laborioasa.

2.2 Integrarea unor ecuatii diferentiale liniare cu coe-

ficienti variabili

Fie data ecuatia diferentiala liniara

a0(t)x(n)(t)+a1(t)x

(n−1)(t)+ . . .+an−1(t)x′(t)+an(t)x(t) = f(t),

ın care ak ∈ O, k = 0, 1, . . . , n, f ∈ O. In general, transformata

Laplace a unui termen ak(t)x(n−k) poate avea o forma compli-

cata si rezolvarea ecuatiei operationale este mai dificila decat

rezolvarea ecuatiei date.Un caz frecvent ıntalnit ın aplicatii este acela ın care coeficientii

ak sunt polinoame

ak(t) = αk0tr + αk1t

r−1 + . . . + αkr.

In acest caz, ecuatia diferentiala contine termeni de forma

x, tx, t2x, . . . , x′, tx′, t2x′, . . . , x(n), tx(n), t2x(n), . . . ,

care, conform teoremei 2.10, se exprima cu X(p), X ′(p), X ′′(p), . . ..Ecuatia operationala va fi, ın general, tot o ecuatie diferentiala

pentru functia imagine X, uneori mai usor de integrat decatecuatia diferentiala data.

18

2.3 Studiul circuitelor RLC

Vom considera un circuit electric cu o rezistenta R, o capacitateC si o inductanta L.

fig

Am notat cu u(t) tensiunea si cu i(t) curentul.Aplicand legea lui Kirchhoff se ajunge la ecuatia

Ldi

dt+ Ri(t) +

1

C

t∫0

f(τ)dτ = u(t).

Ecuatia de mai sus este o ecuatie integro-diferentiala, ne-

cunoscuta fiind i(t).Aplicam transformata Laplace si obtinem

LLi′(t) + RLi(t) +1

CL

⎛⎝ t∫

0

f(τ)dτ

⎞⎠ = Lu(t).

Daca notam Li(t)=I si Lu(t)=U si presupunem ca i(0)=0,

din Imaginea derivatei obtinem ca

L

⎛⎝ t∫

0

f(τ)dτ

⎞⎠ =

I(p)

p

si deci

LpI(p) + RI(p) +I(p)

p C= U(p)

sau

I(p)

(Lp + R +

1

p C

)= U(p),

19

adica

I(p) =1

Lp + R +1

p C

U(p).

Functia H(p) =1

Lp + R +1

p C

se numeste functia transfer

a circuitului RLC.

2.4 Calculul unor integrale

Pentru a calcula un anumit tip de integrale folosim formula

∞∫0

f(t)

tdt =

∞∫0

F (p)dp,

unde f ∈ O si F = Lf .Formula de mai sus se deduce prin integrarea relatiei

Lf(αt)(p) =1

αF( p

α

)data de teorema asemanarii ın raport cu α si utilizand schim-

barea ordinii de integrare.

2.5 Rezolvarea unor ecuatii discrete

Rezolvarea ecuatiilor discrete liniare se poate face utilizand trans-

formata Z.

Exemplul 2.1. Sa se determine expresia termenului general alsirului lui Fibonacci

a0 = 0, a1 = 1; an = an−1 + an−2, n ≥ 2.

20

Fie X(z) = Zan(z). Aplicand transformata Z relatiei derecurenta, deducem

X(z) − z−1X(z) − z−2X(z) =1

z

sauX(z) =

z

z2 − z − 1.

Punctele singulare ale acestei functii fiind

z1 =1 −√

5

2, z2 =

1 +√

5

2,

deducem ca

an = Rez

(zn

z2 − z − 1,1 −√

5

2

)+ Rez

(zn

z2 − z − 1,1 +

√5

2

)

=1√5

((1 +

√5

2

)n

−(

1 −√5

2

)n).

21

3 Transformata Fourier

Transformata Fourier este o generalizare a seriilor complexe Fou-rier ınlocuind discretul cu continuul, iar suma se transforma ın

integrala. Foarte general vorbind, transformata Fourier este unmod sistematic de a descompune functii ”generice” ıntr-o supra-

punere de functii ”simetrice”. Aceste functii simetrice sunt, deobicei, destul de explicite (cum ar fi functiile trigonometricesin(nx) sau cos(nx)), si sunt adesea asociate cu concepte fizi-

ce, cum ar fi frecventa sau energia.In matematica transformata Fourier se aplica unei functii

complexe si are ca rezultat o alta functie complexa care contineaceeasi informatie ca si functia originala, dar reorganizata dupa

frecventele componente. De exemplu daca functia initiala esteun semnal dependent de timp, transformata sa Fourier descom-pune semnalul dupa frecventa si produce un spectru al acestuia.

Acelasi efect se obtine daca functia initiala are ca argumentpozitia ıntr-un spatiu uni- sau multidimensional, caz ın care

transformata Fourier releva spectrul uni- sau multidimensionalal frecventelor spatiale care alcatuiesc functia de intrare.

Din punct de vedere conceptual, argumentul u reprezinta ofrecventa, ın timp ce x reprezinta o dimensiune (temporala sau

spatiala).Aceasta capacitate a transformatei Fourier de reorganizare a

informatiei dupa frecvente (temporale, spatiale sau de alt fel)

este extrem de utila ın prelucrarea semnalelor de diverse tipuri,la ıntelegerea proprietatilor unui mare numar de sisteme fizice,

la rezolvarea unor ecuatii si ın alte domenii stiintifice, teoreticesi aplicate.

Joseph Fourier (1768-1830) a fost un matematician francez,fiul unui croitor. A ramas orfan la 9 ani. Urmeaza Ecole Nor-

22

male Superieure unde ıi are ca profesori pe Lagrange, Mongesi Laplace. In 1787 decide sa se pregateasca pentru a deveni

preot si intra ın manastirea benedictina din St. Benoit-sur-Loiredar nu depune juramintele religioase si ısi continua pregatirea

matematica. Participa activ la Revolutia franceza si scapa ınextremis de la ghilotinare prin caderea lui Robespierre. A pre-

dat la College de France, Ecole Polytechnique, iar ın 1822 ıi ialocul lui Delambre la Academie des Sciences. A murit n 1830,cnd s-a ımpiedicat si a cazut pe scari, ın casa sa.

El a ramas cunoscut de asemenea ca un egiptolog (a par-ticipat la expeditia condusa de Napoleon ın Egipt ın 1798 si

a contribuit cu cateva scrieri matemetice la Institut d’Egyptefondat de Napoleon pentru a slabi influienta Angliei ın Est) si

administrator. A exercitat o influenta puternica asupra fiziciimatematice prin intermediul cartii sale ”Theorie analytique de

la chaleur” (1822) ın care el se bazeaza pe legea lui Newtonpentru racirea corpurilor, si anume, ca fluxul de caldura ıntredoua molecule adiacente este proportionala cu diferenta foarte

mica de temperatura dintre ele. In aceasta lucrare el sustine caorice functie de o variabila, fie ca e continua sau discontinua,

poate fi descompusa ıntr-o serie de sinusuri de multiplii vari-abilei. Desi acest rezultat nu este corect, observatia lui Fourier

ca anumite functii discontinue sunt sume sau serii infinite a fosto descoperire. Problema determinarii conditiilor cand o serieFourier converge a fost fundamentala timp de secole. Joseph

Louis Lagrange a dat cazuri particulare ale acestei (false) teo-reme, si a presupus implicit ca metoda ar fi fost generala, ınsa el

nu a urmarit acest subiect. Johann Dirichlet a fost primul carea oferit o demonstratie satisfacatoare a acesteia sub anumite

conditii restrictive.

23

Activitatea sa a stimulat cercetarea ın domeniul fizicii ma-tematice, care a fost adesea identificata cu solu tionarea unor

probleme la limita vizand fenomene naturale, cum ar fi petelesolare, mareea, precum si starea vremii. De asemenea, activi-

tatea sa a avut o mare influenta asupra teoriei functiilor de ovariabila reala, una din principalele ramuri ale matematicii mo-

derne. Fourier a lucrat la teoria sa aproape ıntreaga sa viata.El a fost, de asemenea, interesat de determinarea radacinilorecuatiilor algebrice (asa-numita teorema a lui Fourier).

3.1 Definitii si proprietati

Notam cu L1(R) spatiul functiilor absolut integrabile, adica

spatiul functiilor pentru care integrala

∫R

|f(x)| dx exista si este

finita.

Definitia 3.1. Fie f ∈ L1(R). Se numeste transformata

Fourier a lui f , functia Ff : R → C definita prin relatia

Ff(u) =

∫R

f(x)eiuxdx.

Observatia 3.1. Daca f ∈ L1(R) transformata Fourier a lui f

exista.

In continuare vom prezenta fara demonstratie, cateva pro-

prietati ale transformatei Fourier

Teorema 3.1. Fie f, g ∈ L1(R) si α, β ∈ C. Atunci au loc

egalitatile:

(i) F(αf + βg) = αFf + βFg;

(ii) F(f(x − a)

)(u) = e−iauF

(f(x)

)(u), a ∈ R;

24

(iii) F(e−iaxf(x)

)(u) = F

(f(x)

)(u − a), a ∈ R;

(iv) F(f(ax)

)(u) =

1

|a| F(f(x)

)(u

a

), a �= 0;

(v) Ff este uniform continua;

(vi) lim|u|→∞

Ff(u) = 0;

(vii) f ∗ g ∈ L1(R), unde f ∗ g este produsul de convolutie a

functiilor f si g,

(f ∗ g

)(t) =

∞∫−∞

f(τ)g(t − τ)dτ

si are loc formula

F(f ∗ g) = Ff · Fg.

Teorema 3.2. Fie f ∈ L1(R) astfel ıncat f este derivabila sif ′ ∈ L1(R). Atunci are loc

Ff ′(u) = iuFf(u).

Demonstratie. Integrand prin parti avem:

Ff ′(u) =

∞∫−∞

f ′(x)e−ixudx = f(x)e−ixu∣∣∞−∞ +

∞∫−∞

iuf(x)e−ixudu.

Dar

∞∫0

f ′(t)dt = limx→∞

x∫0

f ′(t)dt = limx→∞(f(x)− f(0))

25

deci limx→∞ f(x) exista si cum f ∈L1(R), deducem ca lim

x→∞ f(x)=0.

Analog se deduce ca limx→−∞ = 0.

RezultaFf ′(u) = iuFf(u).

3.2 Inversarea transformatei Fourier. Formula inte-grala a lui Fourier.

Teorema 3.3. Fie f ∈ L1(R) derivabila pe portiuni astfel ıncat

ın fiecare punct de discontinuitate x0 ∈ R avem:

f(x0) =f(x0 − 0) + f(x0 + 0)

2.

Atunci are loc formula

f(x) =1

2π

∫R

Ff(u)eiuxdu.

numita formula de inversare a transformatei Fourier sau

formula integrala a lui Fourier.Sau se mai poate scrie

f(x) =1

π

∞∫0

du

∞∫−∞

f(t) cosu(x − t)dt

numita forma reala a formulei lui Fourier.

Demonstratie. Cum

f(x) =1

2π

∞∫−∞

Ff(u)eiuxdu

26

si

Ff(u) =

∞∫−∞

f(t)e−iutdt

avem ca

f(x) =1

2π

∞∫−∞

⎛⎝ ∞∫−∞

f(t)e−iutdt

⎞⎠ eiuxdu

sau

f(x) =1

2π

∞∫−∞

du

∞∫−∞

f(t)eiu(x−t)dt

si cum

eiy = cos y + i sin y, y ∈ R,

tinand cont de faptul ca sin e functie impara, iar cos e functiepara, avem:

f(x) =1

2π

∞∫−∞

du

∞∫−∞

f(t) cosu(x − t)dt+

+1

2πi

∞∫−∞

du

∞∫−∞

f(t) sinu(x − t)dt.

Functia

α(u, x) =

∞∫−∞

f(t) cosu(x − t)dt

este para ın variabila u:

α(−u, x) = α(u, x),

27

iar functia

β(u, x) =

∞∫−∞

f(t) sinu(x − t)dt

este impara ın variabila u:

β(−u, x) = −β(u, x)

si atunci

f(x) =1

π

∞∫0

du

∞∫−∞

f(t) cosu(x − t)dt.

�Daca notam

A(u) =1

π

∞∫−∞

f(t) cosut dt

si

B(u) =1

π

∞∫−∞

f(t) sinut dt,

atunci forma reala a formulei lui Fourier se mai poate scrie sub

forma

f(x) =1

π

∞∫0

(A(u) cosux + B(u) sinux)du.

Teorema 3.4. Daca f este para, are loc formula

f(x) =2

π

∞∫0

cosux du

∞∫0

f(t) cosut dt.

28

Daca f este impara, are loc formula

f(x) =2

π

∞∫0

sinux du

∞∫0

f(t) sinut dt.

Demonstratie. Daca f este o functie para, rezulta B(u) = 0

si

f(x) =

∞∫0

A(u) cosux du

unde

A(u) =2

π

∞∫0

f(t) cosut dt.

Daca f este o functie impara, rezulta A(u) = 0 si din relatia

() rezulta

f(x) =

∞∫0

B(u) sinux du

unde

B(u) =2

π

∞∫0

f(t) sinut dt.

�

Definitia 3.2. Pentru o functie para f , definim transformata

prin cosinus prin

Fcf(u) =

√2

π

∞∫0

f(x) cosux dx.

29

Pentru o functie impara f , definim transformata prin si-nus prin

Fsf(u) =

√2

π

∞∫0

f(x) sinux dx.

Observatia 3.2. Din teorema () rezulta ca se poate scrie

f(x) =

√2

π

∞∫0

Fcf(u) cosux du

si

f(x) =

√2

π

∞∫0

Fcf(u) sinux du.

30

4 TEOREME DE DERIVARE SI

INTEGRARE

Fie f, f ′, g ∈ O, fn, gn ∈ Os.

1. Teorema (Lf(αt))(p) =1

α(Lf(t))

(p

α

)asemanarii

I (Lf(t− τ))(p) = e−pt(Lf(t)) (p) , (∀)τ > 02. Teorema

ıntarzierii II (Z(fn−k))(z) = z−k(Z(fn)) (z) , (∀)k > 0

I (Lf(t + a))(p) = eap (Lf(t)(p)

3. Teorema −a∫0

f(t)e−ptdt

)(∀)a > 0

depasirii II (Z(fn+k))(z) = zk

((Z(fn))(z) −

k−1∑m=0

fmz−m

)I (Lep0tf(t))(p) = (Lf(t)) (p − p0) , (∀)p0 ∈ C

4. Teorema

amortizarii II (Z(fne−an))(z) = (Z(fn)) (zea) , (∀)a ∈ C

Imaginea I (L(f ′(t))(p) = p(Lf(t)) (p) − limt→0

f(t)

5. derivatei (L(f (n)(t))(p) = pn(Lf(t)) (p) − pn−1f(0)−Imaginea −pn−2f ′(0) − ... − f (n−1)(0)

diferentei II (Z(fn+1 − fn))(z) = (z − 1)(Z(fn)) (z) − f0z

I (Lf(t))(n)(p) = (L(−t)nf(t)) (p)

4. Derivarea

imaginii II (Z(fn))′(z) = −1

z(Z(nfn)) (z)

31

Imaginea I (L

(t∫

0f(τ)dτ

))(p) =

1

p(Lf(t)) (p)

5. integralei

Imaginea II (Z(n∑

k=0fk))(z) =

z

z − 1(Z(fn)) (z)

sumei

Teorema I limp→∞ p(Lf(t))(p) = lim

t→0f(t)

6. valoriiinitiale II f0 = lim

z→∞(Z(fn))(z)

Teorema I limp→0

p(Lf(t))(p) = limt→∞ f(t)

7. valoriifinale II lim

n→∞ fn = limz→1

(z − 1)(Z(fn))(z)

I (Lf ∗ g(t))(p) = (Lf(t))(p)(Lg(t))(p)8. Teorema

lui Borel II (Z(fn ∗ gn))(z) = (Z(fn))(z)(Z(gn))(z)

Teorema 4.1. (de inversare a transformatei Laplace) FieF o functie rationala:

F (p) =P (p)

Q(p),

unde P si Q sunt polinoame astfel ıncat:(i) gr P < gr Q(ii) Q are radacinile simple p0, p1, ..., pn.

Atunci F este imaginea prin transformata Laplace a functiei:

f(t) =n∑

k=0

P (pk)

Q′(pk)epkt.

32

4.1 TABELUL DE CORESPONDENTA

FUNCTIA ORIGINAL-TRANSFORMATA LAPLACE

Nr. f(t)-originalul F(p)-transformata Laplace

1. δ(t)(functia impuls) 1

2. σ(t) (functia unitate)1

p

3. tn (n ∈ N)n!

pn+1

4. eαt 1

p − α

5. sin(ωt)ω

p2 + ω2

6. cos(ωt)p

p2 + ω2

7. sh(ωt)ω

p2 − ω2

8. ch(ωt)p

p2 − ω2

9.e−at − e−bt

b − ab �= a

1

(p + a)(p + b)

10. tneat n!

(p − a)n+1

33

Nr. f(t)-originalul F(p)-transformata Laplace

11. aαt, a > 11

p − ln a

12. e−attr−1, r > 0Γ(r)

(p + a)r

13. t sin(ωt)2ωp

(p2 + ω2)2

14. t cos(ωt)p2 − ω2

(p2 + ω2)2

15. e−at sin(ωt)ω

(p + a)2 + ω2

16. e−atsh(ωt)ω

(p + a)2 − ω2

17. e−at cos(ωt)p + a

(p + a)2 + ω2

18. e−atch(ωt)p + a

(p + a)2 − ω2

19. sin2(ωt)2ω2

p(p2 + 4ω2)

20. sh2(ωt)2ω2

p(p2 − 4ω2)

21. cos2(ωt)p2 + 2ω2

p(p2 + 4ω2)

20. ch2(ωt)p2 + 2ω2

p(p2 − 4ω2)

34