Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
CAPITOLUL II
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
11.. ŞŞiirruurrii ddee nnuummeerree rreeaallee
Vom studia în acest capitol o noţiune fundamentală din matematică
"limita unui şir numeric" recapitulând unele rezulate cunoscute din liceu
şi aducând completări cu concepte noi şi afirmaţii importante.
Definiţia II.1. 1] Se numeşte şir de numere reale orice funcţie
f: N→R cu ( )notat
nf n x= ∈R, unde n este rangul sau locul în şir al
termenului general xn.
2] Dacă n0 < n1< ...nk < ... cu n ≤ nk este un şir strict crescător de numere
naturale, prin definiţie şirul ,k
notat
k ny x k= ∈N se numeşte subşir al şirului
de termen general xn.
3] Se notează şirul prin ( )n nx
∈N sau prin (xn) şi un subşir prin ( )
0kn kx
≥ sau
prin ( kn )x . Nu se confundă şirul (xn) care este o funcţie cu mulţimea
elementelor sau termenilor şirului {x0, x1, ..., xn, ...}⊂ R.
4] Un şir (xn) se numeşte şir staţionar dacă există n0∈N a. î. 0n nx x=
( )0( ) ( ) , 0f n f n n n= ∀ ≥ . Un şir (xn) este şir constant dacă xn = x0 , ∀n≥0.
Un şir (xn) este şir periodic dacă există k∈N a. î. xn+ k = xn, ∀n∈N.
Exemple:
1. xn=( )1 n
n−
, n≥1: –1, 12
, 13
− , 14
,...
74
75
52. 0 1 2 3 4, , , , , 5
3 ,n
x x x x x nx
n<⎧
= ⎨ ≥⎩ cu: x0, x1, x2, x3, x4, 3, 3, ..., 3, ... este un
şir staţionar, ∃ n0 = 5 a. î. ∀n ≥ 5 avem xn =3.
3. (xn)n ≥1 dat prin: 1, 0, 2, 3, 1, 0, 2, 3, ... este un şir periodic.
4. (xn)n ≥0 dat prin: a, a, a, ...... a∈ R, este un şir constant.
5. xn=( )11
2 2
n−+ este un şir periodic cu termenii: 0, 1, 0, 1, ... pentru
∀n≥1.
6. xn=12n , n ≥ 0 şi 2 1
12kn kx += este un subşir, avem:
3 5 2 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , 1, , , , , ,2 2 2 2 2 2 2 2n n+
⎧ ⎫ ⎧⊂⎨ ⎬ ⎨⎩ ⎭ ⎩
K K K K ⎫⎬⎭şi (
knx )k≥0=(yk)k≥0 =
=0k
1k221
≥+ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ .
Definiţia II.2.
1. Un şir de numere reale se numeşte şir mărginit dacă mulţimea
termenilor {xn | n ∈ N}⊂ R este o mulţime mărginită în R, adică există
[m, M] ⊂ R a. î. xn∈ [m, M], ∀n ∈ N.
2. Şirul (xn) este mărginit în R, dacă şi numai dacă există a>0 a. î. |xn| ≤ a,
∀n ∈ N adică xn∈[-a, a] ∀n ∈ N.
Exemple
1. xn=( )1 n
n−
este mărginit deoarece există [-1,1]⊂R a. î. xn∈[-1,1],
∀n∈N*.
2. xn=(-1)n , ∀n∈N este mărginit: |xn| ≤ 1, ∀ ∈N.
3. xn = n (n∈N) este nemărginit în R; deoarece pentru ∀a >0, există n∈N
a. î. n = xn > a (axioma lui Arhimede).
4. xn = - n2 este nemărginit în R, deoarece pentru ∀ a > 0, a∈R există un
termen xn astfel încât: |xn|>a.
5. I. (xn) dat prin: 0, 1, 2, 0, 1, 2, ... este mărginit în R deoarece există
(-1,3) a. î. –1 < xn < 3, ∀n ∈ N.
II. (xn) dat prin: a, a, ..., a, ... este mărginit în R
Definiţia II. 3. 1] Un şir (xn) se numeşte şir crescător dacă avem:
xn ≤ xn+1, ∀n∈N şi (xn) se numeşte şir strict crescător dacă, avem:
xn< xn+1, ∀n∈N.
2] Un şir (xn) se numeşte şir descrescător dacă avem: xn ≥ xn+1, ∀n∈N şi
(xn) se numeşte şir strict descrescător dacă: xn > xn+1, ∀n∈N.
3] Un şir (xn) se numeşte şir monoton dacă este: fie crescător, fie
descrescător, fie strict crescător, fie strict descrescător.
Observaţii:
1. Se poate testa dacă un şir este monoton prin două procedee simple şi
anume:
I. precizând semnul diferenţei: (xn+1 - xn) pentru n∈N.
II. comparând raportul 1n
n
xx+ cu 1, n∈N (în cazul xn ≠ 0 ∀n∈N şi
eventual (xn) de semn constant).
2. Exemple
1. xn= n2, n∈N este şir strict crescător.
2. xn= - n, n∈N este şir monoton descrescător (strict).
3. xn=1n
n+ cu: 2 3 4 5, , , ...
1 2 3 4 este şir monoton descrescător (strict).
76
4. xn = 2, ∀ n ∈ N un şir constant este simultan crescător şi
descrescător.
5. Şirul xn: 0,0,0,1,1,1,2,2,2,..., n,n,n,... este un şir crescător.
6. xn =( )1 nnn
+ − nu este monoton.
Vom considera următoarele clase de şiruri de numere reale: şiruri
convergente, şiruri divergente, şiruri fundamentale (Cauchy) şi şiruri
cu limită (în R ) pentru care se vor demonstra cele mai importante
proprietăţi.
Definiţia II.4.
1] Fie (xn)n≥1 un şir de elemente din R. Vom spune că un element x0∈R
este limita şirului (xn), dacă şi numai dacă, avem:
(II.1)∀ V∈V (x0), ∃nv∈N a. î. ∀ n ≥ nv ⇒ xn∈V
şi vom nota 0lim nnx x
→∞= sau lim xn = x0 sau xn → x0.
Şirul (xn) este atunci, prin definiţie, un şir cu limită în R .
2] Dacă există lim nnx
→∞ = x0 şi x0 ∈ R, prin definiţie, (xn) este şir convergent
în R, sau (xn) converge la x0 în R.
3] Dacă nu există lim nnx
→∞ = x0 sau x0 = + ∞ sau x0 = - ∞, prin definiţie, (xn)
este şir divergent.
4] Şirul (xn) se numeşte şir fundamental sau şir Cauchy, dacă şi numai
dacă, satisface condiţia:
(II.2.){∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N a. î., ∀ n ≥ nε şi ∀p ∈N* ⇒ |xn+p - xn| < ε}.
77
Observaţii:
1. Un şir cu limită, ∃ lim nnx
→∞= x0, poate fi şir convergent dacă x0∈ R sau
divergent dacă x0 = - ∞ sau x0 = + ∞.
2. Şirurile de numere reale (xn) şi (yn) cu proprietatea:
(II.3) ∃ n0 ∈ N a. î. xn = yn, ∀ n ≥ n0
au simultan aceeaşi limită: xn ⎯⎯→R x0 ⇔ yn ⎯⎯→R x0.
Această proprietate arată că se pot suprima sau adăuga un număr finit
de termeni ai şirului (xn) (se pot în general, modifica un număr finit de
termeni) fără a influenţa natura şirului: fie (xn) convergent, fie (xn)
divergent.
3. Proprietatea de monotonie a unui şir, poate avea loc suprimând un
număr finit de termeni care nu sunt în relaţia respectivă (şiruri crescătoare,
şiruri descrescătoare).
4. Definiţia dată şirului cu limită se poate formula şi astfel: “Un şir de
numere reale (xn)n∈N are limita x0 ∈R , dacă în afara oricărei
vecinătăţi a elementului x0 rămân cel mult un număr finit de termeni
ai şirului”.
5. Orice şir staţionar este convergent, xn=0nx , ∀ n ≥ n0, şi xn ⎯⎯→R
0nx . Un
şir constant xn = x0 este un şir convergent şi 0nx x→R
.
6. Exemple:
1) xn = 1 1defn
n+
→ ⇔ ∀ V ∈ V (1), există V' = (1 - ε, 1 + ε) ⊂ V cu ε > 0
arbitrar şi convenabil ales, atunci ∃ nv∈N pentru ∀n ≥ nv avem xn∈V'⊂V
⇔ 1- ε < 1nn+ < 1 + ε ⇒ xn – 1 = 1n
n+ - 1 < ε ⇒ 1
n< ε şi după axioma lui
78
Arhimede există nε ∈N a. î. nε ≥ [ 1ε
] + 1. În consecinţă în afara oricărei
vecinătăţi V ∈ V(1) se găsesc cel mult un numar finit de termeni: x0, x1,
...vnx şi avem ⇒ lim nn
x→∞
= 1 şi (xn) este şir convergent.
2. Şirul (xn) dat prin 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... este şir divergent. Elementul 1∈R
nu este limita şirului (xn), deoarece în afara unor vecinătăţi V ∈ V(1) cad o
infinitate de termeni xn, ca exemplu: V = ( 12
, 32
) în afara lui V cad o
infinitate de termeni egali cu 0. Elementul 0∈R nu este limita lui (xn)
deoarece există vecinătăţi W∈V(0) în afara cărora cad o infinitate de
termeni, ca exemplu W = (- 12
, 12
) în afara lui W cad o infinitate de termeni
xn egali cu 1.
3. xn = n şirul numerelor naturale este divergent şi anume, nu există x0 ∈ R
a. î., lim nnx
→∞ = x0 . Fie V∈V (x0) cu V = (x0 -
12
, x0 + 12
) şi în afara lui V se
află un singur număr natural dacă x0 > 12
şi nici un număr natural dacă
x0 ≤12
deci în afara lui V se găsesc o infinitate de numere naturale care
sunt termeni ai şirului xn = n, n ≥ 0.
4. Şirul xn = 21n
cu n ≥ 1 este şir fundamental (Cauchy) def
⇔∀ε >0, ∃ nε∈N,
∀ n ≥ nε şi ∀ p ≥ 1 ⇒ |xn+p - xn| ≤ 1 1n n p n
1− <
+< ε pentru ∀ n ≥ nε cu
nε = [ 1ε
] + 1, p ≥ 1.
79
5. Şirul xn = sin3
nπ , n ≥1 nu are limită în R. Avem |xn| ≤ 1, ∀ n ≥ 0 şi dacă
există x0 ∈ R cu lim nnx
→∞ = x0 atunci şi |x0| ≤ 1. Fie ε0 = 3
2, ∃n0 ∈ N a. î.
xn ∈ V ∈ V (x0) cu V = (x0 - 3
2, x0 + 3
2) ⇔ x0 -
32
< xn < x0 + 32
,
∀ n ≥ n0. Dacă se consideră n∈ N cu n = 6n0 ±1 şi xn ∈ V ⇔ x0 - 3
2 <
< 0(6 1)sin3
n π± < x0 + 32
⇔ x0 - 3
2 < ± 3
2 < x0 + 3
2 ⇔ |± 3
2 - x0|<
< 32
. În aceste condiţii: 3 = | 32
- (- 32
)| = |( 32
- x0) – ( - 32
- x0)| ≤
≤ | 32
- x0| + | x0 + 32
| < 3 , ceea ce este absurd.
Teorema II.1. (Teorema de caracterizare pentru şiruri cu
limită). Fie (xn) un şir de numere reale şi un element x0 ∈ R , atunci au loc
următoarele condiţii de caracterizare:
i) lim nnx
→∞ = x0, x0∈ R ⇔ (II.4) ∀ ε > 0, ∃ nε ∈ N a. î. ∀ n ≥ nε
⇒ d(xn, x0) = | xn - x0| < ε.
ii) lim nnx
→∞ = + ∞ ⇔ (II.5) ∀ a∈ , ∃ n*
+R a ∈ N a. î. ∀ n ≥ na ⇒
⇒ xn> a.
iii) lim nnx
→∞ = - ∞ ⇔ (II.6) ∀a∈ (a < 0), ∃ n*
-R a ∈ N a. î. ∀n ≥ na
⇒ xn< a.
Demonstraţie: (i) Presupunem că lim nnx
→∞ = x0 în sensul definiţiei şi
deci (II.1) adevărată. Pentru ε > 0 considerăm V∈V(x0) cu V=(x0- ε, x0+ ε)
în afara căreia cad un număr finit de termeni şi fie n' cel mai mare rang al
80
acestora. Alegem nε = n ' +1 şi atunci ∀ n ≥ nε ⇒ xn∈V⇔ | xn - x0| < ε,
∀n≥ nε deci (II.4).
Presupunem că (xn) îndeplineşte (II.4) şi luăm ∀V∈ V(x0), atunci
există V' = (x0- ε, x0+ ε)⊂ V pentru ∀ε>0 şi conform (II.4) există rangul
n ≥ nε a. î. | xn - x0| < ε ⇔ xn∈(x0- ε, x0+ ε) = V' ⊆ V, adică în afara lui V se
găsesc cel mult un număr finit de termeni xn.
(ii) Presupunem că lim nnx
→∞ = + ∞, atunci pentru orice a>0 pe
intervalul (a, + ∞] ⊆ V ∈ V(+ ∞) se află toţi termenii şirului xn de la un
rang na încolo, deci pentru n ≥ na şi se obţine (II.5).
Presupunem că (xn) satisface (II.5), atunci ∀ V ∈ V(+ ∞) se alege
a>0 a. î. (a, + ∞] ⊆ V şi conform ipotezei există na ∈N a. î. ∀ n ≥ na ⇒
xn∈ (a, + ∞] ⊆ V ⇒ xn∈V, ∀ n ≥ na (definiţia limitei).
(iii) Se demonstrează similar cu (ii) considerând ∀a∈R* şi
vecinătăţile V∈V(- ∞) a. î. W' = [- ∞, a)⊂ W.
Observaţii:
1. Condiţia (II.4) din teoremă se poate interpreta astfel: termenii şirului
(xn): x0, x1, ..., xn, ... sunt aproximaţii succesive ale numărului x0 şi se
poate considera x0 ≅ xn, cu o eroare absolută En = |xn – x0| < ε convergentă
la zero în R.
2. Condiţia (II.4) este echivalentă cu afirmaţia: "şirul distanţelor
d(xn – x0) = |xn – x0| are limita zero, deci termenii xn sunt din ce în ce
mai apropiaţi de x0 atunci când n creşte", adică:
(II.4') lim nnx
→∞= x0 ⇔ = 0lim ( , )nn
d x x→∞ 0lim | |nn
x x→∞
− = 0.
81
3.Afirmaţia din teorema precedentă în multe manuale universitare este
numită "definiţia limitei cu ε şi nε", Aceste condiţii fiind echivalente cu
definiţia limitei cu vecinătăţi (II.1) o pot înlocui pe aceasta care va fi în
acest caz o teorema de caracterizare pentru şirurile cu limită.
Teorema II.2. (Unicitatea limitei). Orice şir (xn) convergent în R
are limită unică.
Demonstraţie: Presupunem că avem lim xn = x0 şi lim xn = y0 cu
x0 ≠ y0 şi x0, y0∈R, atunci după proprietatea Hausdorff valabilă în R, există
V ∈ V (x0) şi W ∈ V (y0) a. î. V ∩ W = ∅. Fără a restrânge generalitatea,
considerăm x0 < y0 (sau y0< x0) şi d = |y0 - x0|, în aceste condiţii luăm
V = (x0 - 3d , x0 +
3d ), W = (y0 -
3d , y0 +
3d ). În afara vecinătăţii V cad o
infinitate de termeni xn şi la fel pentru W, deci: deci x0 ≠ limxn, y0 ≠ limxn
este absurd şi atunci avem o singură limită: x0 = y0 = lim xn.
Consecinţa II.1. Prin adăugarea sau suprimarea unui număr finit de
termeni un şir convergent rămâne convergent cu aceeaşi limită.
Consecinţa II.2. Un şir de elemente (xn)n≥1⊂ R dacă are limită
(∃ lim nnx
→∞ ∈R ) acesta este unică.
Demonstraţie: Dacă lim nnx
→∞ = x0∈R, unicitatea limitei rezultă din
teorema II.2. Fie y0 = + ∞ şi x0∈R, din teorema II.2. pentru ∀ε > 0 şi
a > x0+ ε, ∃ nε′ ≥ 1 şi nε′′ ≥ 1 a. î. |xn – x0| < ε, ∀ n ≥ nε′ şi xn > a> x0+ ε,
∀ n≥ nε′′ ⇔ ( xn< x0+ ε) ∧ ( xn > x0+ ε), ∀nε = max{ nε′ , nε′′ } ceea ce este
absurd, deci lim nnx
→∞ = + ∞ (⇔ y0= x0= + ∞). Printr-un raţionament analog se
arată unicitatea limitei în cazul y0 = - ∞ şi x0∈R.
82
Teorema II.3. Fie (xn)n≥1⊂ R pentru care există limita lim nnx
→∞ = x0
(x0∈R ), atunci orice subşir al său are limită egală cu x0.
Demonstraţie: Fie lim nnx
→∞ = x0 ∈ R, luăm ∀(
knx )k ≥0 ⊂ (xn)n≥1 şi ε > 0
atunci există nε ∈ N a. î. (II.4) | xn- x0| < ε, ∀ n ≥ nε. Fie kε ∈ N cel mai mic
număr natural cu proprietatea: knε≥ nε, atunci ∀ k ≥ kε avem nk ≥ kn
ε ≥ nε
⇒ |knx - x0| < ε şi lim
knkx
→∞= x0.
Dacă lim nnx
→∞ = + ∞ fixăm (
knx )k ≥0 ⊂ (xn)n≥1 şi a ∈ R+, atunci există na∈N
a. î. xn > a, ∀ n ≥ na. Notăm k0∈N cel mai mic număr natural astfel încât:
≥ n0kn a, şi avem nk ≥ ≥ n
0kn a ⇒ knx > a ⇒ lim
knkx
→∞= + ∞. La fel se arată că
dacă lim nnx
→∞ = - ∞ ⇒ lim
knkx
→∞= - ∞.
Observaţii:
1. Elementele x0∈R pentru care există subşiruri (knx )k ≥0 ⊂ (xn)n≥1 a. î.
limknk
x→∞
= x0 se numesc puncte limită ale şirului (xn). Mulţimea
punctelor limită ale lui (xn) se notează cu L(xn); dacă (xn) este
convergent în R, atunci L(xn) = {x0}.
2. Dacă un şir (xn) conţine subşiruri care au limită, nu rezultă în mod
obligatoriu că şirul (xn) are limită.
3. Dacă (xn) conţine două subşiruri care au limite diferite atunci (xn) nu
are limită şi este şir divergent.
4. Dacă toate subşirurile lui (xn) sunt convergente cu limite egale, şirul
este convergent cu aceeaşi limită ca şi subşirurile sale.
Teorema II.4. Fie (xn)n≥1 un şir de numere reale, atunci au loc
afirmaţiile:
83
(I.) Dacă (xn) este convergent în R, atunci (xn) este şir mărginit
(condiţie necesară).
(II.) Dacă (xn) este convergent în R, atunci (xn) este şir Cauchy
(condiţie necesară).
Demonstraţie: (I.) Fie lim xn = x0 ∈ R ⇔ (II.4) şi alegem ε0 = 1,
∃ n0 ∈ N a. î. ∀ n ≥ n0 ⇒ |xn - x0| < 1 ⇒ |xn| = | xn - x0 + x0| ≤ |xn – x0| + |x0| <
<1 + |x0|, ∀ n ≥ n0. Notăm M = max{|x1|, |x2|, ... |0nx |, 1 + |x0|} şi obţinem
|xn| ≤ M, ∀ n∈ N ⇔ xn ∈ [- M, M], ∀ n∈ N şir mărginit.
(II.) Fie lim xn = x0 ∈ R şi (II. 4) cu 2ε , conduce la | xn + p- xn| =
=| xn + p – x0 + x0 - xn| ≤ | xn + p- x0| + | x0 - xn| < 2ε +
2ε = ε, ∀ p ≥1 şi ∀n ≥nε
din definiţia şirurilor fundamentale. (II.2)
⇒
Observaţii:
1. Proprietatea de a fi şir mărginit este o condiţie necesară pentru
convergenţa unui şir, dar nu şi suficientă.
2. Există şiruri mărginite care nu sunt convergente.
Exemple:
1. xn = (-1)n cu |xn| ≤ 1 şir mărginit şi nu are limită (prin reducere la absurd
x0 = 1 şi y0 = -1 nu sunt limita lui xn), deci este şir divergent.
2. Şirul periodic (xn) n≥0 dat prin: 0, 1, 2, 0, 1, 2, ... este şir mărginit:
xn ∈ [- 1, 3], ∀ n∈N dar nu este convergent în R.
3. Vom preciza informaţii asupra convergenţei subşirurilor unui şir
mărginit. De asemenea, vom demonstra că dacă se adaugă o condiţie
suplimentară "de a fi şir monoton" la un şir mărginit atunci el este şir
convergent în R.
84
4. Vom demonstra că orice şir fundamental (Cauchy) este şir convergent
în R.
Teorema II.5. Fie (xn)n≥1 un şir de elemente din R cu limita x0∈ R ,
atunci au loc afirmaţiile:
(i) Şirul (|xn|)n≥1 are limita |x0| ( lim | |nnx
→∞ = |x0|);
(ii) Orice subşir ( )1kn k
x≥
are aceeaşi limită x0 ( limknk
x→∞
= x).
Demonstraţie: (i) Fie x0∈R şi lim nnx
→∞= x0 ⇔∀ε>0, ∃ nε∈N a. î.∀n ≥ nε
⇒ | xn - x0| < ε ⇒ || xn | - |x0|| ≤ | xn - x0| < ε, ∀ n ≥ nε ⇒ lim |xn| = |x0|.
Fie x0 = + ∞ şi ∀a∈R+ fixat, atunci ∃ na∈N a. î. xn ≥ a, ∀n ≥ na ⇒ | xn |
≥ a, ∀n ≥ na ⇒ lim |xn| = + ∞. La fel se face raţionamentul în cazul x0 = -∞.
(ii) Afirmaţia (ii) a fost demonstrată în teorema II.3.
Observaţii:
1. Reciproca afirmaţiei (i) nu este adevărată: dacă şirul ( ) 1n nx
≥ este
convergent nu rezultă în mod necesar că şirul (xn) este convergent.
Exemplu: xn = (-1)n cu |xn| → 1 şi (xn) divergent.
2. Dacă (xn) conţine subşiruri care au limită nu rezultă că (xn) are limită.
Exemplu: (xn): 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... cu x2k + 1 → 0 şi x2k → 1 este şir
divergent.
Teorema II.6. (Operaţii algebrice cu şiruri convergente).
Fie (xn) şi (yn) şiruri de numere reale convergente în R cu lim nnx
→∞=x0
şi = ylim nny
→∞0, atunci avem:
(1) (xlimn→∞
n ± yn) = x0 ± y0.
(2) xlimn→∞
n ⋅ yn = x0 ⋅ y0.
85
(3) Dacă yn ≠ 0, n ≥ 1 şi y0 ≠ 0 ⇒ limn→∞
n
n
xy
= 0
0
xy
.
Demonstraţie: (1) Pentru ∀ε>0, ∃ nε∈N a. î.
{0
0
,2 pentru max ,
,2
n
n
x x n nn nn n
n n y y n n
εε }nε εε
ε
ε
ε
⎧ ′− ≤ ∀ ≥⎪′∀ ≥⎧ ⎪ ′ ′′⇒ ⇒ ∀ ≥⎨ ⎨′′∀ ≥⎩ ⎪ ′′− ≤ ∀ ≥⎪⎩
avem:
( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0limn n n n n nx y x y x x y y x y xε± − ± ≤ − + − ≤ ⇒ ± = ± y .
(2) ( )( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 , 1n n n n n nx y x y x x y y x y y y x x n− = − − + − + − ∀ ≥
Dacă 0 1 0
1 2
şi 0 0
n nx x y yn n n nε
2
ε
ε ε
ε ε
⎧ − ≤ ⎧ − ≤⎪ ⎪′∀ ≥ ∀ ≥⎨ ⎨⎪ ⎪∀ > ∀ >⎩ ⎩
′ atunci există ε > 0 a. î.
1 2 0 2 0 1x yε ε ε ε+ + < ε şi luând { }max ,n n nε ε ε′ ′′≥ avem:
0 0 ,n nx y x y n nεε− < ∀ ≥ ⇒ xlimn→∞
n ⋅ yn = x0 ⋅ y0.
(3) Folosind (2) pentru acest caz este de arătat numai că: 0
1 1limn
ny y→∞=
. ∀ε>0 fixat cum există
M >0 a. î. |y
( 00, 1; 0ny n y≠ ≥ ≠ ) 0 ≠0 cu 0, 0n ny y y y→ ≠
n| ≥ M, ∀ n ≥ 1 şi pentru n ≥ nε din definiţia 0lim nny y
→∞= , avem:
0 0 , 1ny y M y n nεε− < ∀ ≥ ≥ .
În aceste condiţii: 0 0
0 0 0
1 1 n
n n
y y M yy y y y y M
εε
−− = ≤ = pentru n nε∀ ≥ ⇒
0
1 1limn
ny y→∞=
(2)
⇒ limn→∞
n
n
xy
= 0
0
xy
.
86
Observaţii:
1. Teorema precedentă (privind operaţiile algebrice cu şiruri convergente)
are loc şi pentru şiruri cu limită, în general, respectând convenţiile (I)– (IV)
din definiţia mulţimii R .
2. Dacă (xn) este un şir convergent în R şi x∈R fixat, atunci au loc relaţiile:
(I) ( )lim nnx x
→∞+ = x + lim nn
x→∞
; (II) ( )lim nnxx
→∞= x lim nn
x→∞
;
(III) 1lim lim
0
nnn n
x xx x
x→∞ →∞
⎧ =⎪⎨⎪ ≠⎩
(IV) lim
lim
0; 1
n n nn
n
x xx x
x n
→∞→∞
⎧ =⎪⎨⎪ ≠ ≥⎩
.
Consecinţa II.3. Dacă lim nnx
→∞=0 şi (yn) este şir mărginit în R,
atunci lim n nnx y
→∞ = 0.
Demonstraţie:
lim 0 ,; , ,
; 1
n n n nnn
n
x x y M x M n nx n nM
My M n n
→∞⎧=⎧ ≤ < ⋅ ∀ ≥⎪ ⎪ ⎛ ⎞⇒ <⎨ ⎨ ⎜ ⎟
⎝ ⎠≤ ∀ ∈⎪ ⎪⎩ ≥⎩N
εε
εε ε 0∀ ≥ ∀ >
Consecinţa II.4. Fie (xn) un şir cu limită şi ∀α∈R*, atunci şirul
(αxn) are limită şi ( )lim nnxα
→∞= α lim nn
x→∞
.
Demonstraţie: În teorema precedentă se consideră yn= α, n ≥ 1 şi
după (2) rezultă ( )lim nnxα
→∞= α lim nn
x→∞
şi în cazul lim nnx
→∞ = ±∞ respectând
convenţa (III) din definiţia mulţimii R .
Observaţii:
1. Pentru ∀ (xn), (yn) din R şiruri cu limită şi α, β ∈ R*, avem
( )lim nn nx yα β→∞
+ = α lim nnx
→∞ + β cu respectarea convenţiilor (II) şi (III)
din definiţia mulţimii
lim nny
→∞
R .
87
2. Mulţimea şirurilor de numere reale cu limită satisface, cu anumite
restricţii, proprietatea de R – liniaritate, adică:
( )( )
lim lim , (omogenitate)
lim lim lim , (aditivitate)
n nn n
n n n nn n n
x x
x y x y
α α α→∞ →∞
→∞ →∞ →∞
⎧ = ∈⎪ ⇒⎨+ = +⎪⎩
*R( )lim n nn
x yα β→∞
+ =α lim nnx
→∞ +
+β ; α, β ∈ R* (R - liniaritate). lim nny
→∞
Teorema II.7. (Criteriul majorării) Fie (xn) un şir de numere
reale şi x0∈R. Dacă avem:
(II.7) ( )0n nx x− ≤α ∧ ( )( )00,n n n
α α≥
⎯⎯→ ⊂R+R
atunci (xn) este convergent şi lim nnx
→∞ = x0.
Demonstraţie:
( )( )00,n n n
α α≥
⎯⎯→ ⊂R+R ⇔
0, a. î.
n n
n n nε εεα α ε
∀ > ∃ ∈ ∀ ≥⎧⎪⎨⇒ = <⎪⎩
N
( )(II.7)
00, a. î. nn n n x xεε ε⇒ ∀ > ∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ − <N ⇔0
0
lim nnx x
x→∞
=⎧⎪⎨
∈⎪⎩ R.
Teorema II.8. Fie (xn)n≥1, (yn)n≥1, şiruri de numere reale cu limită,
atunci au loc afirmaţiile:
(i) Dacă lim nnx
→∞ < α (respectiv lim nn
x→∞
> β) atunci există n0∈N a. î.
xn< α (respectiv xn> β) pentru ∀ n ≥ n0 cu α∈R (cu β ∈R ).
(ii) Dacă xn < yn , ∀ n ≥ n0, n0∈N, atunci lim nnx
→∞ ≤ . lim nn
y→∞
Demonstraţie: (i) Notăm lim nnx
→∞ = x0, 0x ∈R . Dacă 0x ∈R, fie
∀ε>0 a. î. 0x + ε < α, ∀ n ≥ nε cu n0 = nε. Dacă 0x = - ∞, fie a ∈ R cu
a < α fixat, atunci există na∈R a. î. nx < a<α ⇒ nx < α, ∀n ≥ na cu n0 = na.
La fel se arată că nx < α pentru n ≥ na = n0 în cazul 0x = + ∞. 88
(ii) Dacă nx < , ∀ n ≥ nny 0 cu n0∈N şi notăm lim nnx
→∞ = x0,
= cu lim nny
→∞ 0y 0 0,x y ∈R . Dacă 0x , ∈R, presupunem că are loc relaţia 0y
0x > şi fie α fixat cu 0y 0x >α> a. î. ( < α, ∀ n ≥ n0y( )
1 2,i
n n⇒∃ ∈N ny 1) ∧
∧( nx > α, ∀ n ≥ n2) adică nx < α < şi pentru n ≥ max{nny 1, n2} avem
< ny nx ceea ce contrazice ipoteza din enunţ, deci rămâne valabilă relaţia
0x ≤ (0y lim nnx
→∞ ≤ ). lim nn
y→∞
Consecinţa II.5. (Proprietatea "Cleştelui"). Fie (xn)n≥1, (yn)n≥1,
(zn)n≥1, şiruri de elemente din R cu limită a. î. nx ≤ ≤ , ∀ n ≥ nny nz 0,
n0∈N (II.6). Dacă lim nnx
→∞= =lim nn
z→∞ 0x , 0x ∈R , atunci există =lim nn
y→∞ 0x .
Demonstraţie: Fie 0x ∈R , atunci ∀ n≥ 1, avem: | 0x - | ≤ |ny 0x -
- nx | + | nx - | ≤ |ny 0x - nx | + | nx - | ≤ |nz 0x - nx | + | nx - 0x | +| 0x - | ≤
≤ 2 |
nz
0x - nx | +| 0x - |. Pentru ∀ε>0, a. î. n ≥ nnz( )
1 2,i
n n⇒∃ ∈N 1 şi n ≥ n2 ⇒
| 0x - nx | < 3ε şi | 0x - | < nz
3ε . Pentru ∀ε > 0 şi n ≥ nε = max{n1, n2},
avem: | 0x - | ≤ 2 |ny 0x - nx | +| 0x - | < 2nz3ε +
3ε = ε ⇒ ∃ =lim nn
y→∞ 0x .
Consecinţa II.6. Fie (xn)n≥1, (yn)n≥1, şiruri de numere reale a. î.| nx | ≤
≤| |, ∀ n ≥ nny 0, n0∈N. Dacă = 0, atuncilim nny
→∞lim nn
x→∞
=0.
Demonstraţie: Dacă lim limnn ny
→∞ →∞= ny =0, atunci din 0 ≤ | nx | ≤| |
folosind consecinţa precedentă rezultă
ny
lim nnx
→∞=0 ⇒ lim nn
x→∞
=0.
2. Teoreme fundamentale pentru şiruri convergente 89
Teorema II.9. Un şir (xn)n≥1 de numere reale care este şir fundamental
(Cauchy) are următoarele proprietăţi:
(p1) (xn) este şir mărginit;
(p2) Dacă (xn) conţine un subşir (knx )k ≥1 convergent în R, atunci
(xn) este convergent şi are aceeaşi limită.
Demonstraţie. (p1) Fie ε1 = 1 şi (xn) şir Cauchy, atunci conform
definiţiei ∃n1 ∈ N a. î. | xn - 1nx | ≤ 1, ∀ n ≥ n1, ⇒ |xn| = | xn -
1nx + 1nx | ≤
≤ | xn - 1nx | + |
1nx | ≤ 1 + |1nx |, ∀ n ≥ n1. Notăm M = max{|x1|, |x2|, ..., |
1nx |,
1 + |1nx |} şi avem: |xn| ≤ M, ∀ n∈ N ⇒ (xn) este şir mărginit.
(p2) Fie (knx )k ≥1 ⊂ (xn)n≥1 cu 0lim
knkx x
→∞= ⇔ ∀ε, ∃kε∈N a. î. ∀k ≥kε
≥ knε⇒ |
knx - x0| <2ε ; (xn) şir fundamental ⇔ ∀ε > 0, ∃nε′ ∈ N a. î. n ≥ nε′ ,
cu nk ≥n ⇒| knx - xn|<
2ε .
Cum avem kε ≥ kn nε ε′ ′≥ , notăm nε = max {kε, nε′ }, atunci | xn - x0| ≤
≤ | xn - knxε
| + | knxε
- x0| <2ε +
2ε = ε ⇔ ∃ lim nn
x→∞
= x0.
Exemple:1) xn = (1 + 1n
)n, este crescător şi majorat cu limita
2 < e < 3; lim nnx
→∞= e.
Folosind inegalitatea Bernoulli: (1 + t)n > 1 + nt, ∀ t ∈ (-1, ∞) – {0} şi
∀ n∈N avem:
90
( ) ( )
( )
1 11 1 2
12 2
12
2 1 2 1 1: 11 1 1 1
1 11 1 , şi este şir crescător.1
n nn n
n
n
n n n
x n n n n n n nx n n n n nn n
n n x x n xnn
+ ++ +
+
+
⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎡ ⎤+ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⋅ = ⋅ = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎛ ⎞+ +⎜ ⎟> − ⋅ = ⇒ > ∀ ∈⎜ ⎟+⎝ ⎠
N
1+⋅ >
Avem: 21 21 1 1 111 1 ... ...k n
nk n
n n n nn n nx C C C
n⎛ ⎞= + = + + + + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
n nC
2
( 1) 1 ( 1)...( 1) 1 ( 1)....1 12 ... 2 .... 22! ! !k n
n n n n n k n nn k n n
− − − − −= + ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅ =
n1 1 1 1 2 1 1 12 1 1 1 ... 1 ... 1 ...2! 3! !
kn n n k n n
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − − + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ... 1 2 ... ... 2 ...! 2! 3! ! !
nn n n k n
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − < + + + + + + < + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2
1
1 1 2
111 1 1 1 1 1 2... ... 2 1 ... 2 12 2 2 2 2 2 12
n
k n n
−
− − −
−⎛ ⎞+ + + + = + + + + = +⎜ ⎟⎝ ⎠ −
=
1
12 1 3 2 3,2 nn x n−= + − < ⇒ ≤ < ∀ ∈N . Şirul (xn) crescător şi mărginit este
convergent cu limita: e = lim nnx
→∞ şi 2 < e< 3.
2. yn = (1 + 1n
)n + 1, este descrescător şi mărginit cu = e. După
(1 + t)
lim nny
→∞
n > 1 + nt, ∀ t ∈ (-1, ∞) – {0} şi ∀ n∈N, avem:
( )
( )( )
121 1
21
21
22 2
11 2 2 1:1 1 2 2
2 11 1 1 11 12 2 2 2 2
nn n
n
n
n
ny n n n ny n n n n n n
n nn n nn n n n n n n n
++ +
+
+
⎡ ⎤⎡ ⎤ ++ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ = ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ ++ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ > + ⋅ = > ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +1
=
1,n ny y n+> ∀ ∈N şi (yn) este descrescător. Pentru ∀ n≥ 1, avem:
91
0 < yn - xn = (1 + 1n
)n ⋅ 1n
≤ nyn
≤ 1yn
cu 1lim 0n
yn→∞= ⇒ (xn) şi (yn) sunt
convergente cu limite egale: e = lim xn= lim yn.
Din 2 = x1<e < y4=51 3121
4 1024⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠
5 <3 ⇒ 2 < e < 3.
3. Folosind xn = (1 + 1n
)n cu lim xn = e şir crescător şi yn= (1+ 1n
)n+1 cu
lim yn = e şir descrecător, avem: (1 + 1n
)n < e < (1 + 1n
)n+1, de unde prin
logaritmare se obţine: n ln (1 + 1n
) < ln e <(n + 1)ln(1 + 1n
) ⇒
⇒ ln(1 + 1n
) < 1n
şi ln(1 + 1n
) > 11n +
⇒ 11n +
< ln(1 + 1n
)< 1n
, ∀ n ≥ 1
⇔ (II.7.) 11n +
< ln(n + 1) – ln n < 1n
,∀ n ≥ 1 inegalitate care se va folosi
în studiul convergenţei unor şiruri numerice.
4. Să se calculeze 1 1 1 1lim lim 1 ...2 3nn n
xn nα→∞ →∞
⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
cu α∈R.
Prin inducţie se demonstrează:
( ) ( )2 1 11 1 1 12 1 1 1 ... , 122 3
nn n n
nn α
+ −⎛ ⎞+ − < + + + + < − ≥ ⇒ <⎜ ⎟⎝ ⎠
( )2 1,n
n1x n
nα
−< < ≥ şi cum
( ) ( )2 1 1 2 1lim limn n
n n
n nα α→∞ →∞
+ − −= =
92
1 12; 2; dacă 2 21 10; lim 0; dacă .2 21 1; ; d ă 2 2
nnx
α α
α α
α α
→∞
⎧ ⎧= =⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= > ⇒ = >⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪∞ < ∞ <⎪ ⎪⎩ ⎩
ac
Teorema II.10. (Teorema fundamentală). Mulţimea numerelor
reale are următoarele proprietăţi fundamentale:
(P1) Proprietatea lui Dedekind. ∀A, B⊂R cu A ≠∅, B ≠ ∅ şi
∀(a, b)∈A× B cu a ≤ b, există c ∈R astfel încât a ≤ c ≤ b.
(P2) Proprietatea lui Weierstrass sau teorema de convergenţă a
şirurilor monotone. Orice şir monoton crescător şi majorat, (xn)n≥1 cu
elemente din R este convergent şi are limita egală cu sup{xn | n∈N}.
(Orice şir monoton descrescător şi minorat, (xn)n≥1 cu elemente din
R este convergent şi are limita egală cu inf{xn | n∈N}.)
(P3) Proprietatea Cleştelui. Fie ( ) ( )1,n nn
a b≥ 1n≥
două şiruri din R
cu proprietăţile:
(i) ; 1 2 1 2... ...; ... ...n na a a b b b≤ ≤ ≤ ≤ ≥ ≥ ≥ ≥
(ii) ; (iii) ,n na b n≤ ∀ ∈N 0n nb a− ⎯⎯→R
atunci şirurile sunt convergente şi au limite egale.
(P4) Proprietatea Cantor – Dedekind. Orice şir de intervale
( ) 1n nI
≥ închise, mărginite şi descrescător (prin incluziune) cu şirul
lungimilor ( ) 0notat
n nl I I= ⎯⎯→R are proprietatea că există un singur x0∈R
a. î. { }01
nn
I x∞
=
=I .
93
(P5) Proprietatea Lui Cesaro (Lema lui Cesaro). Orice şir
mărginit cu elemente din R conţine cel puţin un subşir convergent în R.
(P6) Proprietatea lui Cauchy. Orice şir fundamental cu elemente
din R este şir convergent din R.
Demonstraţie. (P1) Fie A, B ∈ R mulţimi precizate şi după ipoteza
a ≤ b, ∀(a, b)∈A× B rezultă că A este majorată de b∈B şi există α = sup A
cu α≤ b (majorant al lui A). La fel rezultă că B este minorată de α (α este
minorant al lui B) şi există β = inf B cu β ≥ α. Fie un element c ∈ R fixat
a. î. α ≤ c ≤ β, atunci: a ≤ α ≤ c ≤ β ≤ b, ∀(a, b)∈A×B.
(P2) Fie (xn)n ≥1 ⊂ R şir crescător şi majorat, atunci există
sup{xn| n∈N*}∈ R (finit), notat x0 = sup{xn| n ≥1}.
Fie ∀ ε >0, din definiţia marginii superioare, există nε ≥1 a. î. nxε> x0 - ε,
deci avem: x0 - ε < nxε ≤ xn ≤ x0 < x0 + ε , ∀ n ≥ nε ⇔ | xn - x0 | < ε, ∀ n ≥ nε
şi ∀ε>0 ⇔ lim xn = x0, x0∈ R ⇒ (xn) convergent.
(P3) Fie ( ) ( )1,n nn
a b≥ 1n≥
cu proprietăţile (i), (ii), (iii) şi pentru m∈N
fixat cu m ≥ n ≥ 1 avem:
( )
( )
21 (P )
1
, , 1 majorat de
şi, , 1 majorat de
n m n mn
n m m n
m n n mn
a b m n a b
a a b ba b m n b a
≥
≥
≤ ∀ ≥ ⇔⎧⎪
≤ ≤ ≤ ⇒ ⇒⎨⎪ ≤ ∀ ≥ ⇔⎩
{ }{ }
2(P ) lim cu sup | 1 şi
lim cu inf | 1 şi
n n mn
n n mn
a a a a n a ba b
b b b b n a b→∞
→∞
∃ = = ≥ ≤⎧⎪⇒ ⇒⎨∃ = = ≥ ≤⎪⎩
≤
b
. Pentru ∀ n≥1,
avem: şi
.
0 şi 0 0n n n n n na a b b b a b a b a b a≤ ≤ ≤ ⇒ ≤ − ≤ − − ⎯⎯→ ⇒ − =R
lim limn nn na a b
→∞ →∞= = =
94
(P4) Teorema Cantor – Dedekind a fost enunţată şi demonstrată
complet în paragraful "Proprietăţi topologice ale corpului numerelor
reale". Folosind (P3) şi considerând şirul de intervale [ ],n n nI a b= ,
constatăm că după ipotezele din (P4) sunt verificate (i), (ii), (iii) şi există
a. î.lim limn nn na a b
→∞ →∞= =
1n
n
I∞
=I ={a}. Unicitatea elementului a se dovedeşte
prin reducere la absurd. Fie {a'}= 1
nn
I∞
=I şi {a} =
1n
n
I∞
=I , atunci avem:
lim limn nn nn n
a a ba a b a a a
n →∞ →∞
′≤ ≤⎧′ ′⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤⎨∀ ∈⎩ N
şi deci a' = a.
(P5) Fie ⊂R un şir mărginit ( ) 1n nx
≥ [ ]1 1, a.î. ,def
n 1I a b x I n⇔∃ = ⊂ ∈ ∀ ≥R .
Considerăm 2
a bc += şi intervalele 1 2, , ,
2 2a b a bI a I+ + b⎡ ⎤ ⎡′ ′′= = ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦dintre
care cel puţin unul conţine o infinitate de termeni ai şirului (xn); îl notăm I2.
Acelaşi procedeu îl aplicăm lui I2 şi în mod inductiv construim un şir
descendent de intervale închise şi mărginite ( ) 1n nI
≥ cu proprietatea că
1( )( )2
nn
l Il I + = şi fiecare dintre ele conţine o infinitate de termeni ai şirului
(xn). În aceste condiţii există 1 1,nx I∈ există
2 2nx I∈ cu n2 ≥ n1,..., există
kn kx I∈ cu nk ≥ nk -1,.... Avem 1( )( ) 02 2k kk k
l I b al I →∞
−= = ⎯⎯⎯→ şi atunci
există un singur punct 01
kk
x I∞
=
∈I cu 0 lim limk kk kx a b
→∞ →∞= = şi [ ],k k kI a b= .
Din alegerea făcută termenilor knx , avem ,
kk n ka x b k 1≤ ≤ ∀ ≥ şi deci,
95
96
kx0lim lim lim lim
kk n k nk k k ka x b x
→∞ →∞ →∞ →∞≤ ≤ ⇒ = ⇒ şubşirul (
knx ) este convergent şi
lema lui Cesaro este demonstrată.
(P6) Fie ( ) ⊂ R un şir fundamental, atunci după teorema II.9 ((p1n n
x≥ 1) şi
(p2))( )
( )2p
nx⇒ este şir mărginit şi după (p5) şi (( ) ( )5( )
11k
p
n n nkx x
≥≥⇒∃ ⊂
knx )
convergent cu 2( )
0limk
P
nkx x
→∞= ⇒ şirul (xn) este convergent cu aceeaşi limită:
0 lim nnx x
→∞= .
Consecinţa II.7. Fie ( ) 1n nx
≥⊂ R un şir monoton, atunci avem:
(xn) este şir convergent ⇔ (xn) este şir mărginit şi { }lim sup |n nnx x n
→∞= ∈ *N
pentru (xn) crescător, { }lim inf |n nnx x n
→∞= ∈ *N pentru (xn) descrescător.
Demonstraţia este directă din (P2) (proprietatea Weierstrass).
Consecinţa II.8. (Teorema lui Cauchy pentru şiruri numerice).
Fie ⊂ R un şir de elemente din R, atunci avem: (x( ) 1n nx
≥ n) este şir
convergent în R ⇔ (xn) este şir fundamental (Cauchy).
Consecinţa II.9. Un şir de elemente din R conţine cel puţin un
subşir care are limită în R .
Demonstraţie: Dacă (xn) este un şir mărginit după (P5) (lema lui
Cesaro), există cel puţin un subşir ( )knx convergent în R. Dacă (xn) este un
şir nemărginit atunci prin inducţie se poate construi:
- un subşir crescător ( )knx cu limknk
x→∞
= + ∞, dacă (xn) este nemajorat sau
- un subşir descrescător ( )knx cu limknk
x→∞
= - ∞, dacă (xn) este neminorat.
Teorema II.11. Fie A ⊂ R, A ≠ ∅ atunci avem:
(II.8.) ( ) 1
( ) ,sup ( ) a.î. limn nn n
i x b x Ab A ii x A x b
≥ →∞
≤ ∀ ∈⎧⎪= ⇔ ⎨ ∃ ⊂ =⎪⎩
(II.9.) . ( ) 1
( ) ,inf ( ) a.î. limn nn n
i a x x Aa A ii x A x a
≥ →∞
≤ ∀ ∈⎧⎪= ⇔ ⎨ ∃ ⊂ =⎪⎩
Demonstraţie: (II.8) Condiţia (i) rezultă din definiţia marginii
superioare (cel mai mic majorant pentru A).
(ii) Fie nc b< cu lim nnc
→∞b= şi avem: dacă b < + ∞ luăm 1
nc bn
= − ,
iar dacă b = + ∞ luăm nc n= . Din definiţia marginii superioare şi faptul că
cu lim nnc
→∞= b bnc < rezultă că ∀ n ≥1, ∃ xn∈A cu xn > cn şi atunci ∀ n ≥1
⇒ cn < xn< b⇒ lim nnx b
→∞= . Fie c < b fixat, conform ipotezei ∃ xn∈A cu
lim nnx b
→∞= , deci ∃ n0∈N a. î. xn > c, ∀ n ≥ n0 şi deci b = sup A, tocmai
(II.8.).
În acelaşi mod se demonstrează echivalenţa (II.9.).
Consecinţa II.10. Fie A ⊂ R cu A ≠ ∅, atunci avem:
(II.10.) ( ) ,
sup ( ) 0, a.î. v x b x A
b Avv x A x bε εε ε
≤ ∀ ∈⎧= ⇔ ⎨ ∀ > ∃ ∈ > −⎩
(II.11.) ( ) ,
inf ( ) 0, a.î. v a x x A
a Avv x A x aε εε ε
≤ ∀ ∈⎧= ⇔ ⎨ ∀ > ∃ ∈ < +⎩
.
Demonstraţia este directă din teorema precedentă şi definiţiile
pentru marginea superioară (cel mai mic majorant) şi marginea inferioară
(cel mai mare minorant).
97
Definiţia II.5. Fie ( ) 1n nx
≥⊂ R şi 0x ∈R . Elementul 0x se numeşte
punct limită al şirului (xn) dacă există un subşir ( )1kn k
x≥⊂ (xn)n≥1 cu
limknk
x→∞
= 0x . Notăm prin L(xn) mulţimea punctelor limită ale lui (xn).
Teorema II.12. Fie A ⊂ R, 0x ∈R au loc următoarele afirmaţii
echivalente:
(A1) 0x este punct de acumulare al mulţimii A, dacă şi numai dacă,
există (xn)n≥1⊂ A, xn ≠ 0x şi lim xn = 0x .
(A2) 0x este punct aderent al mulţimii A (def
⇔∀V∈V( 0x ), V∩A≠∅),
dacă şi numai dacă, există (xn)n≥1⊂ A şi lim xn = 0x .
(A3) A este mulţime închisă, dacă şi numai dacă, orice şir
convergent de elemente din A are drept limită un element din A.
(A4) A este mulţime compactă, dacă şi numai dacă, orice şir de
elemente din A conţine un subşir convergent (cu limita un punct aderent al
lui A).
Demonstraţie: (A1) Condiţia este suficientă după definiţia limitei
cu vecinătăţi şi definiţia punctelor de acumulare. Fie 0x ∈R punct de
acumulare al lui A şi alegem: x1∈A ∩( 0x - 1, 0x + 1) cu x1 ≠ 0x ;
x2∈A∩( 0x - 12
, 0x + 12
) cu x2≠ x1, în mod inductiv obţinem xn∈A cu
proprietatea că: ∀n∈N, { }( )0 0 01 1A , limn n 0x x x x xn n
⎛ ⎞ x∈ − ∩ − + ⇒ ∃ =⎜ ⎟⎝ ⎠
.
:(A2) Fie 0x un punct aderent al mulţimii A, atunci 0 01 1,x xn n
⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠
∩A
≠∅,
98
∀ n ≥1. Considerăm xn∈ 0 01 1,x xn n
⎛ − +⎜⎝ ⎠
⎞⎟ ∩ A, ∀ n≥1 ⇒ lim xn = 0x .
Reciproc, avem: Dacă (xn)n≥1⊂ A şi lim xn = 0x , atunci ∀ε > 0,
avem ( 0x - ε, 0x + ε) ∩ A = {xn| n ≥ nε}, deci 0x este punct aderent al lui
A.
(A3) Dacă A este mulţime închisă, (xn)n≥1⊂ A cu lim xn = 0x 2( )A
⇒ 0x
este punct aderent al lui A închisă, deci 0x ∈A. Reciproc, dacă există
(xn)n≥1⊂ A cu lim xn = 0x , atunci 0x este punct aderent al lui A cu 0x ∈A şi
conform definiţiei A este închisă.
(A4) se va demonstra în capitolul "Spaţii metrice".
Observaţii:
1. După proprietăţile de: mărginire, monotonie, convergenţă şi existenţa
limitei, şirurile se clasifică astfel:
2. Şiruri mărginite, de exemplu: ((-1)n)n ≥ 1; 1
1
nn ≥
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
; 0
22 1
n
nn≥
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
;
( )
1
1 n
nn
≥
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
; (sin n)n≥0 etc.
3. Şiruri nemărginite de exemplu: ( )0
2n
n≥;
0
53
n
nn≥
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
; ( )2
3
00
;1 n
n
n nn ≥
≥
⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠
etc.
99
4. Şiruri monotone de exemplu: 1
1
nn ≥
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
; ( )2
0nn
≥; ( )
02 n
n
−
≥− ;
2
204 n
nn
≥
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
etc.
5. Şiruri care nu sunt monotone de exemplu: ((-2)n)n≥1; (sin n)n≥0;
( )
1
1 n
nn
≥
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
etc.
6. Şiruri convergente în R de exemplu: ( )
1
1 n
nn
≥
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
; (1 – 3 – n)n ≥ 0;
0
1 sin3 n
nn
π
≥
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
etc.
7. Şiruri divergente
I. şiruri care nu au limită, de exemplu: (1 + (-1)n)n≥1;
1
sin4 n
nπ
≥
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
etc.
II. şiruri cu limită în R , de exemplu ( ) ; 0
3n
n≥
( )0
2n
n≥− ;
2
204 n
nn
≥
⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
etc.
8. Putem, în concluzie, să indicăm următoarea schemă:
100
(xn) monoton
(xn) convergent
(xn) mărginit şi divergent
(xn) nemărginit cu lim xn ∈R
3. Limite extreme ale unui şir de numere reale
Fie (xn)n≥0⊂ R şi îi asociem şirurile:
( ){ } { } { }0 0 1 1 1 2 1inf , ,... ; inf , ,... ;...; inf , ,... ...
II.12inf
n n n
n kk n
x x x x x xx
α α αα
+
≥
⎧ = = =⎪⎨ =⎪⎩
( ){ } { } { }0 0 1 1 1 2 1sup , ,... ; sup , ,... ;...; sup , ,... ;...
II.13 supn n n
n kk n
x x x x x xx
+
≥
⎧ = = =⎪⎨ =⎪⎩
β β ββ
Din formulele de definiţie pentru (αn), (βn) şi definiţiile marginilor,
rezultă că au loc inegalităţile:
(II.14) 0 1 1... ... ...k k 0α α α β β β≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
care arată că (αn) este un şir crescător şi (βn) este şir descrescător. Conform
observaţiei că orice şir monoton are limită în R , rezultă că există limită
lim nnα
→∞ şi lim nn
β→∞
. Dacă (xn) este şir mărginit în R, atunci (αn) este crescător
101
şi majorat, deci există lim nnα
→∞= sup{αn| n∈N}; la fel, (βn) este descrescător
şi minorat, deci există lim nnβ
→∞= inf {βn| n∈N}. Vom considera cazul
general al unui şir oarecare (xn)n≥1⊂ R.
Definiţia II.6. Fie (xn)n≥0⊂ R şi (αn)n≥1 dat prin (II.12), (βn)n≥1 dat
prin (II.13).
1] Se numeşte limita superioară a şirului (xn) elementul β∈R definit
prin:
(II.13') lim lim sup inf{ | } inf sup limnotat
n k n kn n nk n k n nnx n xβ β β
→∞ →∞ ≥ ≥ →∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ∈ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦N x .
2] Se numeşte limita inferioară a şirului (xn) elementul α∈R definit
prin:
(II.12') lim lim inf sup{ | } sup inf limnotat
n k n kn n k n k nn nnx n xα α α
→∞ →∞ ≥ ≥ →∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = ∈ = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦N x .
3] Elementele α, β∈R se numesc limitele extreme ale şirului de numere
reale (xn).
Observaţii:
1. Orice şir de numere reale posedă limită inferioară şi limită superioară,
deşi nu orice şir de numere reale este şir cu limită în R .
2. Dacă ( ⊂ (x)1kn k
x≥
n) este un subşir, atunci avem:
(II.15.) lim lim lim limk k kn n n n
n n n n
x x x x→∞ →∞ →∞ →∞
≤ ≤ ≤ .
3. Exemple: 1) ( )1 nnx = − cu x2k =1 şi x2k+1 = -1
lim 1
lim 1n
n
x
x
= −⎧⎪⇒ ⎨= +⎪⎩
2) xn =0 4
sin 1 4 12
1 4
n kn n k
n k
π=⎧
⎪
1= − = −⎨⎪ = +⎩
⇒ lim nx =-1, lim nx = 1.
102
3) xn =( )( )
2 1
2
lim 0 lim 011 lim 1 lim 13
n k
n kn
n n par x xnx xn impar
+
⎧⎧ = =⎪⎪ ⎪+ ⇒⎨ ⎨
= =⎪ ⎪⎩⎪⎩
4. Limitele extreme ale lui (xn) sunt puncte limită ale şirului (adică
există un subşir al său care are drept limită acest punct (element)) şi am
notat cu L((xn) n≥1) mulţimea punctelor limită ale lui (xn).
Teorema II.13. Fie (xn)n≥0 ⊂ R, atunci au loc afirmaţiile:
(i) lim limn nx x≤ ;
(ii) Dacă (xn) este şir mărginit avem: (xn) convergent în R ⇔
(II.16) 0lim lim limn n nx x x= = = x ;
(iii) lim nx este cel mai mic element din L((xn) n≥1) şi lim nx este cel
mai mare element din L((xn) n≥1) adică ∀a ∈L((xn) n≥1), avem:
(II.17.) lim limn nx a x≤ ≤ .
Demonstraţie: (i) Relaţia rezultă din definiţie.
(ii) Presupunem că avem: lim nx = lim nx = 0x unde:
0 lim inf lim sup lim limk k nn k n n k nx x x nα β
→∞ ≥ →∞ ≥
⎡ ⎤⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⇒ ∀ε>0, ∃ n0∈N a. î.
∀ n ≥ n0 ⇒ 0x - ε < αn ≤ βn ≤ 0x + ε ⇒ 0x - ε < xn< 0x + ε, ∀ n ≥ n0 şi
∀ε > 0 ⇒ ∃ 0lim nnx x
→∞= . Presupunem că avem: 0lim nn
x x→∞
= şi considerăm
ε > 0 atunci există n0∈N ⇒ xn∈ ( 0x - ε, 0x + ε) şi atunci din definiţia
şirurilor (αn), (βn), avem: αn, βn∈ ( 0x - ε, 0x + ε) pentru ∀ n ≥ n0. În aceste
condiţii: lim αn, lim βn∈ ( 0x - ε, 0x + ε) deci lim αn = lim βn = 0x ⇒
lim nx = lim nx = 0x tocmai (II.16.).
103
(iii) Fie lim lim lim sup inf supn n kn n k n k nkx x xβ β
→∞ →∞ ≥ ≥
⎡ ⎤ ⎡= = = = ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
şi (βn)
descrescător ⇒ există ( )1kn k
x≥⊂ (xn)n≥1 a. î. lim
knkx
→∞ = β şi β este cel mai
mare element din L((xn) n≥1). Dacă presupunem că există 0x ∈ L((xn) n≥1) cu
0x > β, atunci există un subşir ( )1ln l
x≥⊂ (xn)n≥1 a. î. lim
lnlx
→∞ = 0x . Fie ε > 0
a. î. 0 < ε < 0x - β şi cum lim nnβ
→∞=β, ∃ n0∈N a. î. ∀ n ≥ n0 ⇒ βn< 0x + ε şi
avem: xn ≤ yn< 0x + ε, ∀ n ≥ n0, fapt ce exclude existenţa subşirului
cu li( )1ln l
x≥
mlnl
x→∞
= 0x . La fel se arată α = lim nx este cel mai mic element
din L((xn) n≥1).
Teorema II.14. Fie (xn)n≥1 ⊂ R, un şir de numere reale pozitive,
atunci avem:
(II.18) 1 1lim lim lim limn nn nn nn nn nn n
x xx xx x+ +
→∞ →∞→∞ →∞≤ ≤ ≤ .
Demonstraţia este directă folosind definiţia limitelor extreme ale
lui (xn) şi relaţiile dintre ele.
Consecinta II.11. Fie (xn)n≥1 ⊂ , atunci: *+R
Dacă există 1lim n
nn
xlx+
→∞= cu l∈R există şi lim n
nnx l
→∞= .
Exemple: 1) ( )22
2 1
lim2 11 lim
n nn n
nn n
n
xxnx
xn x→∞
+→∞
⎧ = +∞→ +∞− ⎧ ⎪= ⇒ ⇒⎨ ⎨→ −∞+ = −∞⎩ ⎪⎩
;
2) ( ) 2
2 1
lim3
lim
nn n n
nn n
n
xxx
x x→∞
+→∞
⎧ = +∞→ +∞⎧ ⎪= − ⇒ ⇒⎨ ⎨→ −∞ = −∞⎩ ⎪⎩
;
104
3) ( ) ( ) 2
2 1
lim 111 1 102 lim 0
n n nn n
nn n
n
xxx
xn x→∞
+→∞
⎧ =→− + − ⎧ ⎪= + ⇒ ⇒⎨ ⎨→ =⎩ ⎪⎩
.
Şiruri numerice remarcabile
Am studiat convergenţa şirurilor xn = (1 + 1n
)n şi yn = (1 + 1n
)n + 1
dovedind că: lim limnn n nx y→∞ →∞
= = e cu e , 1n nx y n< < ∀ ≥ .
1) Sirul xn = 1 + 12
+ ... + 1n
- ln n, n ≥1 este descrescător şi minorat de
zero, deci convergent cu limita lim xn = c (Constanta lui Euler). Folosind
(II.7) 1 1ln( 1) ln , 11
n n nn n
< + − < ∀ ≥+
obţinem:
( )1 1
1 1ln 1 ln1
n n
k k k
k kk k= =
⎡ ⎤< + − <⎣ ⎦+∑ ∑ ∑1
n
=
, ∀ n≥1 ⇔
( )1 1
1 ln 11
n n
k k
nk k= =
< + <+∑ 1∑ , ∀n≥1; ⇒ ∀n≥1 avem:
xn+1 - xn =1
1n +- ln(n+1) + ln n<0⇒ (xn) este descrescător (xn+1<xn, ∀n≥1).
Pentru ∀ n ≥ 1, avem: 0 < ln(n+1) - ln n < 1
1n
k k=∑ - ln n = xn < x1 = 1 ⇒
(xn)∈(0,1), ∀n ≥1 este şir mărginit. După teorema lui Weierstrass (xn) este
convergent cu lim xn = c.
2) Să se arate că ( )( )
11
1
n
n n
nx
n+ −
= ⎯⎯→− −
R . Avem:
105
( )( )
( )( ) ( )
1 2 1 2 21 111 1 1
n n
n nn n n
nx
nn n nα
+ − −− = − = ≤ ≤
−− − − − − −= pentru n ≥ 2 şi
, deci există 0nα ⎯⎯→R lim 1nnx
→∞= .
3) Să se precizeze natura şirului: 1
1
nk n
nk
x ka a +
=
= −∑ unde a∈R.
Avem:
( )
2 12
21
( 1)2 ...1
n nnk n
k
a na n aka a a naa
+ +
=
+ − += + + + =
−∑ pentru ∀a≠1 ⇒
( ) ( ) ( ) ( )2 1 1
2 2 2
1 11 1 1 1
n n nn
a nx na a aa a a a
+ + +2
a+= + − − = +
− − − −
( ) ( )
( ) ( )2
12 2
;dacă | | 1 lim 01
1 1 1 lim ;dacă 11 1 ;dacă 1
n
n
nnn
a a naa
a nna x an na a a
→∞
+
→∞
< =−
⎡ ⎤++ − ⋅ − ⇒ = ∞ =⎢ ⎥
− −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∞ >
∃ ;dacă 1a
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪ ≤⎩
4) Fie ( ) , atunci 1 cu limn nn n
a a≥ →∞⊂ =*
+R Ra∈ 1 ... ,nn
a ax an
+ += ⎯ →R⎯
1 2
1 2 1 1 1... şi
...n
nn n n
a a a
ny a a a a z= ⋅ ⋅ ⋅ ⎯⎯→ = ⎯⎯→+ + +
R R a . Notăm tn = an – a
şi ⇔ ∀ε>0, ∃ nlim 0nnt
→∞= ε∈N a. î. ∀ n ≥ nε ⇒ |tn| <
2ε .
Avem: 1 2 11 2... ...... n nn
t t t t tt t tn n
+ n
n+ + + + ++ + +
= +ε ε şi
11 2 11 2... ...... ...
2nn n n nn
tt t t t t tt t tn n n n
+++ + + + ++ + +n
≤ + < + + +εε ε ε<
106
...2 2 2 2 2 2 2
n nn n n
εε ε ε ε ε εε ε−⎛ ⎞< + + + = + < + =⎜ ⎟⎝ ⎠
. Cum nn
tx aa
− = cu →0
⇒
nt
lim nnx a
→∞= . Avem
11 2
ln ... lnln ...
1 2 ...n
nn
a aa a a nn
n ny a a a e e+ +
⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = = cu
. Cum lnlim , lim ln ln lim an n nn n n
a a a a y e a→∞ →∞ →∞
= = ⇒ = = 1 1limn
na a→∞= ⇒
1 2
1 1 1 1
1lim lim...
n
na a a a
nz a= =+ + +
= .
Avem: Hn ≤ Gn ≤ Mn ⇔ 1 2
11 21 1 1
.........
n
nnn
a a a
a an a a an
+ +≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤
+ + + şi
lim Hn =lim Gn =lim Mn=a.
5) ( )
( )
2
1
2 1
1
21 cos 2 22 1
1 cos1
2 11 cos 2 1 02 2
k
n
k
kx kk
nx nn
kx kk
π
π
π
=
+
=−
⎧ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟= + →⎪ ⎜ ⎟ +
⎝ ⎠⎪⎪= + ⇒ ⎨ ⎡ ⎤+ ⎪ +⎢ ⎥⎪ = + +⎢ ⎥ +⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩
b
b→
⇒ (xn)
este şir divergent.
6) 3 sin2n
nx n π⎡= ⎢⎣ ⎦⎤⎥ este şir nemărginit ( n3→ + ∞ şi | sin
2nπ | ≤ 1) cu:
( ) ( )
( ) ( )
3 32
3 32 1
2 sin 2 2 sin 0 02
2 1 sin(2 1) ( 1) 2 12
k
kk
x k k k k
.x k k k
π π
π+
⎧ ⎡ ⎤= = = →⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎨
⎡ ⎤⎪ = + + = − +⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩div
⇒ (xn) este şir
divergent.
107
7) xn = 1 + 12
+ ... + 1n
este şir crescător 1
1n nx x
n+<⎧
⎨ ≥⎩ şi divergent. După
consecinta II.8. (Teorema lui Cauchy), avem pentru ε = 12
şi p =n ⇒
2
termeni
1 1 1 1 1 1... ...1 2 2 2 2n n
n
x x nn n n n n n n
− = + + + > + + = =+ + + E5555555F
12
⇒ (xn) nu este
şir fundamental ⇒ (xn) este şir divergent.
8) Fie a > 0 şi (xn) definit recurent prin: x0 > 0, 11
12n n
n
ax xx−
−
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠. Avem:
x0 > 0 şi 1 00
1 02
ax xx
⎛ ⎞= + >⎜ ⎟
⎝ ⎠; presupunem 1 0nx − > ⇒
11
1 02n n
n
ax xx−
−
⎛ ⎞= +⎜ ⎟
⎝ ⎠> ⇒(prin inducţie) xn> 0, ∀n ≥ 0. Din relaţia de
recurenţă rezultă:1 1
1 1
22
2 2 22
1 12 04 4n n n n
n n
a ax x a x a xx x− −
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + ⇒ − = − ≥ ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(*) şi dacă există 2 ,n
x a n≥ ∀ ∈N lim nnx
→∞, atunci lim nn
x→∞
≠ 0. Şirul xn este
monoton: 1
2
1 1 1 11 1
1 1 1 02 2 2
nn n n n n
n n n
a xa ax x x x xx x x
−− − − −
− −
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1−
− = + − = − = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
≤
după (*) ⇒ (xn) este monoton descrescător şi mărginit inferior, după
proprietatea lui Weierstrass este convergent, fie l = lim nnx
→∞. Din relaţia de
recurenţă, avem: 2 21 22
al l l l a ll
⎛ ⎞= + ⇔ = + ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
a şi lim nnx
→∞ = a .
9) 21
n
n n
axa
=+
cu a >0. Avem:0; 0 1
lim 1; 1; 1
n
n
aa a
a→∞
< <⎧⎪= =⎨⎪∞ >⎩
.
108