Capitulo 1 Exponentes Prac 2

8/17/2019 Capitulo 1 Exponentes Prac 2

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MATEMATICA I. ING. JUAN CARLOS LICONA PANIAGUA

IEST SAN JOSE ORIOL Página 11

1.3 EXPONENTES

Si n es un entero positivo, entonces an, se define como el producto de m factores a

multiplicados a la vez. Por lo que:

na a a a a...

, para n un entero positivo y a ≠ 0 .

Se lee como a elevado a la n o más abreviado: a a la n. a es llamada la base y n el

exponente o potencia e indica el número de veces que se repite el factor a.

Ejemplo 1:

a) 32 2 2 2 8

b)3( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 125

c)41 1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3 81

d)

41 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 16

Observaciones:1.- Si a es negativo (a < 0) entonces an es positivo si n es par y an negativo si n es impar,

como podemos apreciar en el ejemplo anterior en b y d.

2.- 2 x n = 2 ⋅ x n. De manera similar: − x n = − ( x n) y − 2 ⋅ x n = (−2) ⋅ ( x n)

3.- − x n ≠ (− x )n

Ejemplo 2.

Evaluar a) 2 ⋅33; b) − 2

4; c) 3⋅ (−4)

3.

Solución:a) 2 ⋅ 33 = 2 ⋅ 27 = 54

b) − 24 = −(24) = −16

c) 3⋅ (−4)3 = 3⋅ (−4) ⋅ (−4) ⋅ (−4) = 3⋅ (−64) = −192

APLICACIÓN EN ECONOMÍA

Ejemplo 1.- Una compañía pretende aumentar su producción en los próximos 4 años,

duplicando la producción con respecto al año anterior. ¿Cuál será su producción anual

dentro de 4 años, si la actual es de 2500 artículos por año?

Solución:Observe que después de un año la producción es: 2 ⋅ 2500

A los dos años se tendrá el doble del primer año: 2(2 ⋅ 2500) = 22 ⋅ 2500

A los tres años se tendrá el doble del segundo año: 2(22 ⋅ 2500) = 23 ⋅ 2500

A los cuatro años se tendrá el doble del tercer año 2(2 3 ⋅ 2500) = 24 ⋅ 2500 = 40 000artículos





DEFINICION DE EXPONENTES NEGATIVOS Y CERO

Los casos con exponentes negativos o cero se definen como sigue:

Definición: Si a 0 se define a0

1 y si n es un entero positivo n

na a

1

Comentario: 00

no está definido.

Ejemplo 3.

a) 3

3

1 12

82

b) 20

= 1

c) n

n x

x

1( 2)

( 2)

Propiedades de los exponentes

N° Propiedad Ejemplo

1 m n m na a a

Producto de potencias con igual base

2 4 2 4 62 2 2 2

Se coloca la misma base y se suma

los exponentes

2 m n mna a( ) Potencia de una potencia

2 3 2 3 6(3 ) 3 3

3 m m mab a b( )

Potencia de un producto

b b b3 3 3 3(2 ) 2 8

4 m m

m

a a

b b

Potencia de un cociente

3 3

3

2 2 8

5 1255

5 mm n

n

aa

a

55 3 2

3

33 3 9

3

6 m ma b

b a

2 2 2

2

3 4 4 16

4 3 93

7 m n

n m

a b

b a

3 ( 1)

1 ( 3) 3

2 5 5 5

85 2 2

8

k m n mk nk a b a b

n n n x x x 2

2 4 2 22 2 16

9 k m mk

n nk

a a

b b

y y y

23 6

6 4

2 4

3 33

Entenderemos que una expresión que consiste en productos, cocientes y potencias de

variables está simplificada cuando aparece una sola vez cada variable y una sola vez

cada base numérica que no tiene factores comunes con todas las demás bases

numéricas. 3 x 5 es la expresión simplificada de 3 x 3 ⋅ x 2.





Ejemplo 4.Simplifique las expresiones dadas. Exprese sus respuestas usando exponentes

positivos.

a) x y x y 2 2 2 3 2(2 ) (2 3 ) , b) y x

x y

4 22

3

2

, c) a

a

b

2

Solución

a) x y x y x y x y

x y x y

x x y y

2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2

2 4 2 2 3 2

2 2 4 3 2 2

(2 ) (2 3 ) 2 ( ) 2 3

2 2 3

2 2 3

ley de la potencia de un producto

x y

x y

x y

2 2 4 3 2 2

0 7 4

7 4

2 3

2 3

3

exponentes de igual base

b) y x y x

x y x y

4 22 2 4 2

3 4 3 2

2 ( ) (2 )

( )

propiedad de la potencia de un cociente.

y x

x y

y x

x y

y y x x

y x

8 2 2

4 6

2 8 2

4 6

2 8 6 2

4 2 2

2 2

2

2

2 4

4

propiedad de la potencia de una potencia

c) a aa a

b b

a a

b

2 2

2

2

21

propiedad de la potencia de un cociente

= a a a a b

ab b b

2 1 2 1 2

2 2 21





1.4 Exponentes Fraccionarios.

Hemos definido an cuando n es cualquier entero, ahora extenderemos la definición al

caso en que n es un número racional arbitrario. Nos gustaría hacer esta extensión en

tal forma que las propiedades de la sección 1-3 continúen siendo válidas, aun en el

caso de que m y n no sean enteros.

Definición 1.Si n es un entero positivo par (tal como 2, 4 o 6) y si a es un número real no negativo,

entonces se dice que b es la n-ésima raíz principal de a si bn

= a y b ≥ 0. Así, la n-

ésima raíz de a es el número no negativo el cual, al elevarse a la n-ésima potencia, da

el número a. Denotamos la n-ésima raíz principal por b a1/n

.

Si n es un entero positivo impar (tal como 1, 3 o 5) y si a es un número real cualquiera,

entonces b es la n-ésima raíz de a si b

n

= a, expresada una vez más como a

1/ n

.

Es decir:

n nb a b a b n1/ , si ; 0 si es par

Ejemplo 1.

a) 1/532 2 , porque 52 32

b) 1/3( 216) 6

, ya que 3( 6) 216

c) 1/416 2 , porque 42 16 y 2 > 0

d) 1/6729 3 , ya que 4

3 729 y 3 > 0

e) n1/1 1 , para todo entero positivo n, porque n1 1

f) n1/( 1) 1

, para todo entero positivo impar n, debido a que n( 1) 1

g) 1/4( 81) , no existe, porque los números negativos sólo tienen raíces n-ésimas

cuando n es impar.

Definición 2.

Se dice que b es una raíz n-ésima de a si bn

= a n

b a

“n” es par “n” es impar

a > 0 Hay dos raíces reales.n a : se llama raíz principal.n a

Hay una sola raíz y se denota

por: n a y siempre es positiva.

a < 0 No existen raíces reales. Hay una sola raíz y se denota

por: n a y siempre es negativa.

Notación: Si n = 2 entonces colocamos a





Observaciones:

a) 24 , 4 es la raíz positiva, el signo se omite. 4 es simplemente 2.

b) aan n para n impar.

c) Para n par tenemos:

0si0si

aa

aaa

n n

Los resultados en el ejemplo 1 pueden volverse a formular utilizando esta notación:

a) 5 32 2 b) 3 216 6

4 16 2

d) 6 729 3 e) n 1 1 , para n un entero positivo.

f) n 1 1

, para n un entero positivo impar.

g) 4 81 , no existe.

Definición 3.

Sea m, n números enteros, sin factores comunes, n >1. Si n a existe, entonces se define:

n m m na a /

Se exceptúa de la definición el caso en que m es negativo y a cero.

Ejemplo 2.Exprese los siguientes radicales como potencia de exponentes racionales.

a) 3 2 ; b) x 5 3 ; c) 8

Solución:

a) 1/33 2 2 , b) x 5 3 3/5

2 , c)1/2

8 8

Definición 4.Sea n un enero positivo, m un entero distinto de cero y a un número real. Entonces,

m n n m m na a a/ 1/ 1/( ) ( )

Ejemplo 3.Resuelva los siguientes ejercicios.

a) 3/2 1/2 3 3 39 (9 ) ( 9) 3 27

b)1/2 1/2 1 1 1 1

24 (4 ) ( 4) 2

c) 3/4 3 1/4 1/4 416 (16 ) (4096) 4096 8

La siguiente tabla muestra las propiedades de los radicales, se ha colocado en el lado

derecho la propiedad equivalente usando la notación con exponente racional.





Propiedad Exponentefraccionario

Ejemplo

n n nab a b

Raíz de un producto

n n nab a b1/ 1/ 1/( ) a) 18 9 2 9 2 3 2

b)

1/31/3 3 33 8 27 (8 27) 2 3

1/3 1/33 32 3 2 3 6

n

nn

a a

b b

n n

n

a a

b b

1/ 1/

1/

3

33 3

8 8 2

3 3 3

n m n ma a

nm n ma a

11/

1/

84 27 27

mn m na a

Si n es par y a es

negativo no se cumple

esta propiedad

mm n na a/ 1/

33 53 5 355 (32) 32 2 2 8

Ejemplo 4.

Evalúe las siguientes cantidades: a) (8000)1/3; b) 316.0

Solución:a) Descomponemos 8000 = 8·1000

(8000)1/3

= (23·10

3)

1/3

= (23)

1/3(10

3)

1/3

= (2)3/3·(10)3/3 = 2·10 = 20.

b) Primero usamos la definición de exponentes negativos:

3 3 33

3 3

3

16 4 100.16

100 10 4

5 5 125

2 82

Ejemplo 5. Simplifique las expresiones dadas. Evite radicales en su respuesta, useexponentes positivos.

a) 18 2 ; b)

x y y 3

2 5 ; c)

x y

x

33

4

Solución:

a) 18 2 18 2 36 6

b)

x y y x y y x y y

3 5 3 3 53 2

2 5 2 2 2 2 2 2( )

= x y x y

3 53 3 4

2 2





c)

x y x y x y xy xy x x y

x x x x

3 33 1/3 33 3 3 123

13 3

4 3 4 3 124 1

Ejemplo 6. Elimine los exponentes negativos y los radicales en las siguientesexpresiones:

a) x y 2 ; b) x y 1 12 ; c)

x x y 1

1

Solución:

a) x y x y 1/2 1/22 (2 )

b) x y x y x y x x y y

1/2

1 1

1/2 1/2

1 1 1 1 1 1 1 22 2 2 2

x x x x x y x

x y x y y y x x x

11

1

1 1

1 11( ) 1

x x x

xy x y

2

1/21 11

Ejemplo 7. Escriba las formas exponenciales dadas en otra forma que involucre

radicales:

a) x 1/25 2 ; b)

x 1/2

5 2

Solución:a) x x 1/25 2 5 2

b)

x x x

1/2

1/2

1 15 2

(5 2 ) 5 2

Tipificación de errores:

Error Comentarios

nnn

nnn

baba

baba

/1/1/1)( La propiedad no es con la suma sino con la multiplicación

nnnbaba )(

mnmnaaa

Los exponentes de igual base se suman, no se multiplican

n

n

abab

1 La potencia es la primera operación a considerar, afecta

sólo a b

baba

abab

baba

n nn

n n

n n

Para poder simplificar debe ir todo el radicando elevado

a la n.

abab

baba

n n

n n

)(

)(



MATEMATICAS I. PRACTICA CALIFICADA 2

EXPONENTES, EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES.

Docente: Msc. Ing. Juan Carlos Licona Paniagua

EXPONENTES

Simplifique las expresiones siguientes. No

use paréntesis ni exponentes negativos en

la respuesta final.

1. 5 2(2 )

Rpta. ____________

2. x 2 5( )

Rpta. ____________

3. a a3 5

Rpta. ____________

4. x yz xy 2 3 4

( ) ( )

Rpta. ____________

5. xy z xyz 2 3 1 3

( ) ( )

Rpta. ____________

6.

241

33

Rpta. ____________

7. x

x

2 3

4

( )

Rpta. ____________

8. x

x

3 2

3

( )

( )

Rpta. ____________

9. x y

xy

2 3

2

( )

( )

Rpta. ____________

10. x

x

2

2

( 3 )

3

Rpta. ____________

11. x x x 2 4( 2 )

Rpta. ____________

12. x x x x 4 2 2(2 3 )

Rpta. ____________

13. xy x y 1 1 1 1( ) ( )

Rpta. _____________

14.

y

xy x 3

3 2

1510

Rpta. _____________

15. x y

x y

3

3

4 6

4

Rpta._________________



EXPONENTES FRACCIONARIOS

Evalúe las siguientes expresiones:

16. 81

Rpta. ________________

17. 5 32

Rpta. ________________

18.

22

5

Rpta. ________________

19.4/38

27

Rpta. ________________

20. 2/30.125

Rpta. ________________

21. 3/40.0016

Rpta. ________________

22. 3 3/2 1/6(9 16 )

Rpta. ________________

23. 4/5 2/516 8

Rpta. ________________

24.

1/85/41

(6)36

Rpta. ________________

Simplifique las siguientes expresiones:

25. x 4 3/4

(16 )

Rpta._________________

26. x x 4 3/2 1/216

Rpta._________________

27. x y

x y

3/7 2/5

1/7 1/5

Rpta._________________

28. x x

y y

5/2 2/3

3/4 2/5

2

3

Rpta._________________

29. 2 18 32

Rpta._________________

30. 224

112 6328

Rpta._________________

31. a a aa

2/3 3/4 2 1/6

1/12 13

1( )

( )

Rpta._________________



32.m m m m

m m m

3 2

3 /2

2 3 5 6

8 9 10

Rpta. ________________

33.a b b c c a

b c a

x x x

x x x 2 2 2

Rpta. ________________

34.m m m

m m m

3

5 /3 2

28 35 10

8 49 25

Rpta. ________________

Establezca si las proposiciones siguientes

son verdaderas o falsas.

35. 5 2 3

Rpta. ___________

36. 21 7 3

Rpta. ___________

37. 9 3

Rpta. ___________

38. m n mna a a

Rpta. ___________

39. a a3 1/63

Rpta. ___________

40. 8 2 2

Rpta. ___________

41. 2( 3) 3

Rpta. ___________

“Si un hombre es perseverante aunque sea difícil de

entender se hará inteligente y si es débil se haráfuerte”. (Leonardo Da Vinci)

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