Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequaçõesritaccs.pro.br/.../uploads/2016/11/1-sistemasdecoordenadas28.pdf · Denomina-se distância entre os pontos ˚ e ˜ o

Cálculo I - �� 1

Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequações

1 Sistema Unidimensional de Coordenadas Cartesianas

Para proceder a localização de pontos sobre uma reta � é necessário determinar uma origem, uma escala e uma orientação para a reta. • Marca-se sobre a reta L um ponto O chamado de origem e adota-se uma unidade

de medida.

• O ponto O divide a reta L em duas semi-retas: • Uma das semi-retas é escolhida para determinar o sentido positivo e é

chamada de semi-reta positiva.

• A semi-reta oposta à semi-reta positiva é chamada de semi-reta negativa e o sentido oposto ao sentido positivo é denominado sentido negativo.

• É usual marcar a semi-reta positiva com uma flecha em sua ponta.

• Ao ponto O associa-se o número zero.

• Ao ponto U, localizado a uma unidade de medida do ponto O no sentido positivo da reta orientada associa-se o número um.

Assim, é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais �e os pontos sobre a reta �, da seguinte maneira:

• Cada número real�� corresponde a um único ponto � da reta. • Cada ponto P da reta corresponde a um único número real ��, chamado

coordenada de P.

Conceito: Neste sistema, também chamado de Sistema Linear, um ponto pode se mover livremente sobre uma reta (ou espaço unidimensional).

P


Conjunto dos Números Reais

O conjunto das coordenadas de todos os pontos da escala numérica

é chamado de conjunto dos números reais �.

Quando a cada ponto da reta tiver sido associada uma coordenada constitui-se um sistema de coordenadas na reta e esta reta é então chamada de eixo de coordenadas, escala numérica ou reta numérica. É usual denominar o eixo horizontal por eixo �ou eixo de abscissas.

___________________________________________________________________________

��

Coordenada

A coordenada �� de um ponto � representa a distância orientada entre os pontos � e �. Diz-se que � tem coordenada �� e escreve-se ��.

onde �é a distância de � a � medida em termos da unidade adotada.

�� , quando o � está no semi-eixo positivo

�� ,quando o ponto � está no semi-eixo negativo


Exemplo:

Não é possível mostrar as coordenadas de todos os pontos na escala numérica de modo explícito. No entanto, podemos imaginá-las dispostas ao longo da reta. Os números racionais podem ser obtidos por subdivisão dos segmentos

correspondentes. Os pontos associados a certos irracionais, como 2 , podem ser obtidos por construções geométricas. Já para outros irracionais, como π , podem ser aproximado com o grau de precisão desejado.

� � |��| � |� � ��|

Distância entre dois pontos A e B

Sejam ��!� e ��"� dois pontos de um eixo de coordenadas. Denomina-se distância entre os pontos � e � o número real � dado por .

�� " � �!

Distância Orientada entre dois pontos A e B

Sejam ��!� e ��"� dois pontos de um eixo de coordenadas. Denomina-se distância orientada entre os pontos � e � o número real �� dado por

• É a medida algébrica do segmento de origem em � e extremidade em �


Exemplos: 1) Considere o mapa representado na figura abaixo e seja uma pessoa localizada na

esquina da Rua B com a Avenida P (ponto P). Inicialmente ela segue pela Avenida P até a esquina da Rua E (ponto E). A seguir, ela retorna pela Avenida P até a Rua A (ponto A).

De acordo com os sistemas de coordenadas indicados, determine as coordenadas dos pontos �,�e$, a distância total percorrida pela pessoa e a que distância de sua posição inicial ela se encontra ao final do percurso. a) Sistema de eixo de coordenadas constituído por uma reta paralela à Avenida P de

sentido positivo na direção Oeste-Leste, origem na esquina da Avenida P com a Rua B e unidade de medida uma quadra.

Origem do sistema: � � �, �% � 0 → ��0�

O Ponto E está a 3 quadras do ponto � no sentido positivo: �( � 3 → $�3� O Ponto A está a 1 quadra do ponto � no sentido negativo: �! � �1 → ��1�

Distância percorrida de � até $: �%( � |�$��| � |�( � �%| � |3 � 0| � 3+,��- Distância percorrida de $ até �: �(! � |$��| � |�! � �(| � |��1� � �3�| � 4+,��- Distância total percorrida: �/ � �%( � �(! � |�$��| � |$��| � 3 � 4 � 7+,��- Distância da posição de origem: �%! � |��| � |�! � �%| � |�1� 0| � 1+,��


b) Sistema de eixo de coordenadas constituído por uma reta paralela à Avenida P de sentido positivo na direção Leste-Oeste, origem na esquina da Avenida P com a Rua D e unidade de medida em metros (m). Considere 1 quadra=100 m.

Origem do sistema: � � 1, �2 � 0 → 1�0�

O ponto �está a 200 m do ponto � no sentido positivo do eixo: �� 200 → �(200) O ponto $está a 100 m do ponto � no sentido negativo: �( � �100 → $��100� O ponto �está a 300 m do ponto � no sentido positivo do eixo: �! � 300 → ��300�

Distância percorrida de � até $: �%( � |�$��| � |�100� 200| � |�300| � 3004 Distância percorrida de $ até �: �(! � |$��| � |�! � �(| � |300� ��100�| � 4004 Distância total percorrida: �/ � �%( � �(! � |�$��| � |$��| � 300 � 400 � 7004 Distância da posição de origem: �%! � |��| � |�! � �%| � |300 � 200| � 1004

2) Nos itens abaixo, considere um eixo de coordenadas com sentido positivo Leste-Oeste de acordo com a rosa dos ventos indicada.

a) Um corpo descola-se 3 metros na direção Leste até o ponto �, a seguir desloca-

se 7 metros na direção Oeste até o ponto � e depois mais 5 metros na direção Leste até o ponto �. Represente e dê as coordenadas dos pontos que descrevem este movimento. Determine a posição final do corpo em relação à sua posição de origem.

Como a origem do sistema não foi estabelecida, podemos considerar que a posição inicial do movimento do corpo coincide com a origem do sistema �. Inicialmente o corpo descola-se 3 metros na direção Leste até o ponto �, ou seja, 3 metros no sentido contrário do eixo de coordenadas, então:

Distância orientada �� 3 �� 5 →�� 6 � �3 � 0 � �3 → ��3�


A seguir desloca-se 7 metros na direção Oeste até o ponto �, ou seja, 7 metros no sentido positivo do eixo de coordenadas.

Distância orientada �� 7 �� " � �! →�" � �� ! � 7 � ��3� � 4 → ��4�

Depois se desloca mais 5 metros na direção Leste até o ponto �, ou seja, 5 metros no sentido oposto do eixo de coordenadas.

Distância orientada �� 5 �� 8 � �" → �8 �� " � �5 � �4� � �1 → ��1�

No final do percurso, o corpo se encontra no ponto � de coordenada �9 ��1. A coordenada do ponto � representa a distância orientada do ponto � em relação à origem do sistema de coordenadas. Como a origem do sistema coincide com a origem do movimento, a coordenada -1 significa que o corpo encontra-se a 1 metro na direção Leste de sua posição de origem.

b) Outro corpo inicia seu movimento a partir da posição alcançada pelo corpo do item anterior (ponto C). Inicialmente descola-se 5 metros na direção Oeste até um ponto 1, a seguir desloca-se 2 metros na direção Leste até um ponto $ e depois mais 6 metros na direção Oeste até um ponto F. Considerando o sistema de coordenadas do item anterior, determine a posição final do corpo em relação à sua posição de origem e em relação à origem do sistema.

�:�� 1�� 1$�� $:�� 5 � ��2� � 6 � 9

A distância orientada �:�� 9 significa que no final do percurso (ponto :) o corpo está a 9 metros de sua posição inicial (ponto �) no sentido positivo do eixo (direção Oeste). Como a posição inicial do movimento é ��1�:

�:�� = � �8 →�= � �:�� 8 � 9� ��1� � 8 → :�8�

A coordenada :�8� representa que o corpo está a 8 metros da origem do sistema de coordenada ��0�, na direção oeste.


3) Considere um eixo de coordenadas para representar o tempo em anos. A origem deste eixo é o ano do nascimento de Cristo e o sentido positivo indica os anos d.C (depois de Cristo).

a) Indique no eixo e determine as coordenadas dos pontos NA e MA que representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoa A que nasceu no ano de 30 a.C. e morreu no ano 25 d.C. Calcule a idade que esta pessoa morreu.

Coordenada do ponto ?�, @! � �30 → ?��30�

Coordenada do ponto A�, B! � 25 → A��25� Tempo de vida: �! � |A�?��| � |25 � ��30�| � 55C�-

b) Indique no eixo e determine as coordenadas dos pontos ?� e A� que representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoa B que nasceu no ano de 20 a.C. e morreu no ano 10 d.C. Calcule a idade que esta pessoa morreu.

Coordenada do ponto ?�, @" � �20 → ?��20� Coordenada do ponto A�, B" � 10 → A��10�

Tempo de vida: �" � |A�?��| � |10 � ��20�| � 30C�-

c) Determine quem nasceu e quem morreu primeiro e por quantos anos as pessoas A e B foram contemporâneas.

?��30�?��20�A��10�A��25�

A pessoa A nasceu primeiro. A pessoa B morreu primeiro. As pessoas A e B foram contemporâneas no período entre o nascimento da última a nascer �?�� até a morte da primeira a morrer �A��.

E � |A� � ?��| � |10 � ��20�| � 30C�-


2 Intervalos na Reta Numérica

Muitas vezes não queremos nos referir apenas a um determinado ponto na reta numérica, mas sim a todos os pontos situados em um determinado trecho da reta numérica. Trechos contínuos do eixo de coordenadas são chamados de intervalos. Exemplo: Queremos identificar o trecho da reta numérica no qual todos os pontos têm coordenadas maiores do que 3. Vamos considerar um ponto genérico � de coordenada�, ou seja, �� situado neste trecho. Então � pode ser qualquer número real desde que seja maior do que 3. Esta condição pode ser expressa algebricamente como:

� > 3

Expressões algébricas contendo os sinais < e ou > são chamadas de inequação. Resolver uma inequação é determinar todos os valores da variável, no caso �, que torna verdadeira a expressão algébrica.

O conjunto solução de uma inequação representa um trecho contínuo do eixo de coordenadas, ou seja, um intervalo. Assim, o conjunto solução da inequação � > 3 é o intervalo da reta numérica que se deseja identificar.

Devemos observar que o ponto de coordenada � = 3,�(3) não pertence ao intervalo desejado, pois � = 3não é solução da inequação x>3. Dizemos que o intervalo é aberto em 3. Para indicar este trecho na reta numérica, localizamos o ponto extremo do intervalo, deixando claro se ele pertence ou não ou intervalo, e destacamos a parte da reta que satisfaz a inequação. Na figura acima, representamos o ponto de coordenada x=3 por uma circunferência para destacar que ele não pertence ao intervalo. De acordo com a orientação dada ao eixo de coordenadas, todos os pontos situados à direita de x=3 satisfazem a inequação e destacamos em vermelho este trecho o qual representa o intervalo desejado.

3 x

Cálculo I - �� ℎ� 9

2.1 Tipos de Intervalos e Representação

Sejam a e b números reais com a < b:

I) Intervalos limitados

a) Intervalo aberto de a até b (, G) = H, GI = J� ∈ ℜ| < � < G}

b) Intervalo fechado de a até b I, GH = J� ∈ ℜ| ≤ � ≤ G}

c) Intervalo aberto à direta de a até b I, G) = J� ∈ ℜ| ≤ � < G}

d) Intervalo aberto à esquerda de a até b (, GH = J� ∈ ℜ| < � ≤ G}

II) Intervalos não limitados

a) Intervalo aberto de a até +∞ (,+∞) = H, +∞I = J� ∈ ℜ|� > }

b) Intervalo fechado de a até +∞ I,+∞) = J� ∈ ℜ|� ≥ }

c) Intervalo aberto de −∞ até a (−∞,) = H−∞,I = J� ∈ ℜ|� < }

d) Intervalo fechado de −∞ até a (−∞,H = J� ∈ ℜ|� ≤ }

a b

a b

a b

a b

a

a

a

a


3 Inequações

Encontrar intervalos que satisfazem a um determinado problema envolve resolver uma ou mais inequações.

As inequações são expressões que envolvem sinais de desigualdade:

As desigualdades < e > são chamadas desigualdades estritas.

As desigualdades ≤ e ≥ são chamadas desigualdades não estritas. 3.1 Regras para trabalhar com desigualdades Sejam a, b e c números reais:

i) Se < GQCã� + S < G + S. Se > GQCã� + S > G + S Exemplos:

a) = −2, G = 5, S = −1 −2 < 5QCã� − 2 − 1 < 5 − 1 → −3 < 4

b) � + 3 > 5 → � + 3 − 3 > 5− 3 → � > 2 Isto significa que na soma ou diferença de um número podemos trabalhar como nas equações.

� − 4 < 2 → � < 2 + 4 → � < 6

ii) Se < GeS > 0então. S < G. Se/S < G/ScomS ≠ 0 Se > GeS > 0então. S > G. Se/S > G/ScomS ≠ 0

Exemplos:

a) = −2, G = 5, S = 3 −2 < 5QCã� − 2(3) < 5(3) →−6 < 15

b) 3� > 6 →[\[ > ][ → � > 2

Isto significa que na multiplicação ou divisão por um número positivo podemos trabalhar como nas equações, pois o sinal de desigualdade não se altera.

3� > 6 → � > 63 → � > 2


iii) Se < GeS < 0então. S > G. Se �9 > 9 comS ≠ 0

Se > GeS < 0então. S < G. Se �9 < 9 comS ≠ 0

Exemplos:

a) = −2, G = 5, S = −3 −2 < 5QCã� − 2(−3) > 5(−3) → 6 > −15

b) −3� > 6 → ^[\^[ < ]^[ → � < −2

Na divisão por um número negativo devemos inverter o sinal de desigualdade. Outra alternativa é multiplicar ambos os lados da inequação por -1, inverter o sinal e efetuar a divisão.

−3� > 6 → (−1)(−3�) < (−1)(6) → 3� < −6 → � < −2

Exemplos Encontre o conjunto solução das inequações e represente-o na reta numérica.

1)� + 3 < 5� − 1

� − 5� < −1 − 3

−4� < −44� > 4

� > 1

_ = J� ∈ ℜ|� > 1}

2)− � − 3 ≥ � + 32

−2�− 6 ≥ � + 3

−2�− � ≥ 3 + 6

−3� ≥ 9

3� ≤ −9

� ≤ −3

_ = J� ∈ ℜ|� ≤ −3}

1

(1,+∞)

-3 (−∞, −3H


3�3 � �3 � � N 1

Neste caso não podemos “passar” o denominador (3-x) para o outro lado da equação, pois não sabemos se (3-x) é um número positivo ou negativo, consequentemente, não sabemos se devemos “inverter” ou não o sinal da inequação. Também não é possível comparar o resultado da divisão de duas inequações com o número 1. Mas se compararmos com o número zero, podemos identificar os trechos nos quais o resultado da divisão entre duas inequações é positivo ou negativo. Devemos então tornar um dos lados da inequação igual a zero.

3 � �3 � � � 1 N 0

3 � � � 3 � �3 � � N 0

2�3 � � N 0

Devemos lembrar que para ter solução real o denominador não pode ser nulo. Então 3 � � Z 0 → � Z 3

Isto significa que � � 3 não faz parte do conjunto solução. Vamos analisar o sinal do numerador (2�). Queremos saber quando 2� é negativo e quando é zero. Ou seja, quando 2� N 0 ��2� N 0 → � N 0

Isto significa que para números menores do que zero (pontos situados à esquerda de zero) o numerador será negativo. O numerador será igual a zero, quando x=0. Vamos analisar o sinal do denominador �3 � ��. Queremos também saber quando é negativo, pois sabemos que não pode ser nulo. Ou seja, quando 3 � � L 0 ��3 � � L 0 → � > 3

Isto significa que o denominador será negativo quando x for maior do que 3, ou seja, pontos situados à direita de 3. Representando na reta numérica esta análise podemos fazer a análise de sinal da divisão. Para ser conjunto solução da inequação só interessa os trechos que o resultado da divisão de 2x por 3-x é menor ou igual a zero. _ � J� ∈ �|� N 0�,� > 3M ��∞, 0H⋃�3, �∞�

�� ⁄ � �� ⁄ � �� ⁄ � ��


4�13 P 2� � 3 P 5

Neste caso, 2� � 3 tem que satisfazer duas condições: 2� � 3 tem que ser menor ou igual a 13

(condição A) e 2� � 3 tem que ser maior ou igual a 5 (condição B). Assim, temos duas

inequações a serem resolvidas e � tem que satisfazer simultaneamente ambas as inequações.

Isto significa que o conjunto solução desejado é a interseção dos conjuntos solução das

inequações que expressam as condições A e B.

��13 P 2� � 3

13 � 3 P 2�� N 8

B) 2� � 3 P 5

2� P 8

� P 4

_ � J� ∈ �|4 N � N 8M I4, 8H

Em matemática, a conjunção “ e “ significa interseção e a conjunção “ou” união de conjuntos.

3.2 Regras para trabalhar com valor absoluto (módulo)

O valor absoluto de um número real x, denotado por |�| é definidor por: |�| � b��, -Q� L 0

�, -Q� P 0

Propriedades

i) |�| P 0

ii) |�. c| � |�|. |c| iii) |�/c| � |�|/|c| com c Z 0

iv) |�| N ⇔ � N e � � N ⇔� N � N -Q� P 0|�| � � N � N

-Q� L 0|�| � �� N � P �

v) |�| P ⇔ � P fg� N �

-Q� P 0|�| � � P � P

-Q� L 0|�| � �� P � N �

vi) √�ij � k |�|-QC��l��-QC��4l�

_!

_"

_! ∩ _"


Exemplos Encontre o conjunto solução das inequações e represente-o na reta numérica

1)|3� − 2| < 4 3� − 2 < 4e − (3� − 2) < 4

�)3� − 2 < 4

3� < 6� < 2

B) −(3� − 2) < 4

3� − 2 > −4

3� > −2

� > −2/3

_ = J� ∈ ℜ| − 2/3 < � < 2} (-2/3 , 2)

2)|3� + 2| ≥ 5

3� + 2 ≥ 5 ou −(3� + 2) ≥ 5

�)3� + 2 ≥ 5

3� ≥ 3

� ≥ 1

B) −(3� + 2) ≥ 5

3� + 2 ≤ −5

3� ≤ −7

� ≤ −7/3

_ = J� ∈ ℜ|� ≤ − n[ �,� ≥ 1} o−∞, − n

[p⋃ I1,+∞)

3)(� − 3)q ≤ 16

r(� − 3)qs ≤ √16s

|� − 3| ≤ 2

� − 3 ≤ 2e − (� − 3) ≤ 2

�)� − 3 ≤ 2

� ≤ 5

B) −(� − 3) ≤ 2

(� − 3) ≥ −2� ≥ −2 + 3

� ≥ 1

_ = J� ∈ ℜ|1 ≤ � ≤ 5} [1 , 5]

-7/3

1

-7/3 1

-2/3

2

-2/3 2

_!

_"

_! ∩ _"

_!

_"

_! ∪ _"

1

5

1 5

_!

_"

_! ∩ _"


4 Sistema Bidimensional de Coordenadas

Este sistema, também conhecido com sistema de coordenadas retangulares, é representado por duas retas orientadas denominadas eixos coordenados, perpendiculares entre si. Usualmente, representa-se um eixo na horizontal com orientação positiva para a direita e o outro na posição vertical com sentido positivo para cima.

O eixo horizontal ��uuuuuv ou mais comumente eixo x ou eixo dos x é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical �cuuuuuv ou mais comumente eixo y ou eixo dos y é denominado eixo das ordenadas. O ponto "�" de interseção entre os eixos coordenados é denominado origem do sistema. Os eixos coordenados dividem o plano em quatro quadrantes. Ao ponto � associam-se a coordenada zero, para o eixo dos x, e a coordenada zero, para o eixo dos y. Sobre o eixo das abscissas, a partir da origem no sentido positivo do eixo, marca-se o ponto x\, correspondente a unidade de comprimento do eixo � e associa-se a abscissa um. Analogamente, sobre o eixo das ordenadas, a partir da origem no sentido positivo do eixo, marca-se o ponto xy, correspondente a unidade de comprimento do eixo c e associa-se a ordenada um. Os comprimentos �x\�� e �xy��, que representam a escala utilizada, respectivamente, no eixo � e no eixo c não necessitam ter exatamente a mesma medida.

Conceito: Neste sistema, um ponto pode se mover livremente em todas as direções de um plano (ou espaço bi-dimensional).


Cada ponto � do plano �c está associado a um único par ordenado (�, c�, onde � é a abscissa de � e c,a ordenada de �. Abscissa � e a ordenada c são chamadas de componentes da coordenada de �. Em correspondência, um par ordenado de números reais ��, c� corresponde a um único ponto � do plano �c. A abscissa � representa a distância orientada do eixo dosc ao ponto�. A ordenada c representa a distância orientada do eixo dos � ao ponto �.

Nesta correspondência biunívoca entre um ponto geométrico � no plano e o par ordenado de números reais ��, c�� a ele associado diz-se que:

• �tem coordenada ��, c�� e escreve-se ��, c��; • � é a representação geométrica ou gráfica do par ordenado ��,c��; • A coordenada ��, c�� é a representação analítica de P; • �� e c� são as componentes da coordenada de �; • O plano cartesiano é a representação geometria do conjunto �z ou � { �, lê-

se produto cartesiano de � por �.

�|��, c�} → ��\ , ��y�

�\��\, 0� �Projeção ortogonal de � sobre o eixo dos �

�y|0,��y} �Projeção ortogonal de � sobre o eixo dos c

�|��, c�} → ��\ , ��y�

�\��\, 0� �Projeção ortogonal de � sobre o eixo dos �

�y|0,��y} �Projeção ortogonal de � sobre o eixo dos c


Exemplos: 1) Considere o mapa representado na figura abaixo e sejam duas pessoas

localizadas na esquina da Rua D com a Avenida P (ponto P). Uma destas pessoas deseja ir para a esquina da Avenida R com a Rua E (ponto A) e a outra deseja ir para a esquina da Avenida Q com a Rua A (ponto B).

� = |��| = r(�" − �!)z + (c" − c!)z

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Sejam �(�!, c!� e ��" , c"� dois pontos no plano cartesiano �c. Denomina-se distância entre os pontos � e � o número real � dado por

.


a) Considere um sistema de coordenadas cartesiano com origem no ponto � de eixo horizontal com orientação Leste e eixo vertical de orientação Norte, sendo a unidade de medida 1 metro (m). Considere 100 m=1 quadra. Com base neste sistema determine quantos metros as duas pessoas andaram para alcançarem o objetivo, as coordenadas da posição final e a distância que elas se encontram do ponto de origem do percurso.

Percurso de ~até � • 100 metros na direção Leste (mesmo sentido do eixo dos �) até o ponto � ,

mais 200 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos c). �(0,0� → ��0 � 100, 0 � 200� → ��100,200�

• Distância percorrida

|��| �|��| � 100 � 200 � 3004Q��- • Distância do ponto de origem, medida direta de � até �

� � |��| � ��!� �%�z � |c! � c�}z � r�100�z � �200�z ≅ 223,64Q��- Percurso de ~até �

• 300 metros na direção Oeste (sentido contrário ao do eixo �) até o ponto 1, mais 100 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos c).

��0,0��300,100� • Distância percorrida

|�1��| �|1��| � |�300| � |100| � 4004Q��- • Distância do ponto de origem, medida direta de � até � � � |��| � ��" � �%�z � |c" � c�}z � r��300� 0�z � �100� 0�z ≅ 316,234Q��-


b) Considere um sistema de coordenadas cartesiano com origem na esquina da Avenida Q com a Rua C de eixo horizontal com orientação Oeste e eixo vertical de orientação Norte, sendo a unidade de medida igual a 1 metro. Considere 100 m = 1 quadra. Com base neste sistema determine quantos metros (m) as duas pessoas andaram para alcançarem o objetivo, as coordenadas da posição final e a distância que elas se encontram do ponto de origem do percurso.

Inicialmente vamos determinar a coordenada do ponto � que indica a posição inicial das pessoas neste novo sistema. O ponto P está a 100 m do ponto de origem do sistema na direção Sul (sentido contrário ao do eixo c) e a 100 m na direção Leste (sentido contrário ao do eixo dos x), logo �(−100,�100�. Percurso de ~até � • 100 metros na direção Leste (sentido contrário ao do eixo �) até o ponto �

mais, 200 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos c). ��100,�100�→ ��100� 100,�100 � 200� → ��200,100�

• Distância percorrida

|��| � |��| � | � 100| � |200| � 3004Q��- • Distância do ponto de origem do percurso, medida direta de � até �

� � |��| � ��! � �%�z � |c! � c�}z � �|�200� ��100�}z � |100� ��100�}z � ≅ 223,64Q��-

Percurso de ~até �

• 300 metros na direção Oeste (mesmo sentido do eixo �) até o ponto 1 mais, 100 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos c).

��100,�100� → ��100 � 300,�100� 100� → ��200,0� • Distância percorrida

|�1��| �|1��| � |300| � |100| � 4004Q��-


• Distância do ponto de origem do percurso, medida direta de � até � � = |��| = �(�" − �%)z + |c" − c�}z = �|200 − (−100)}z + |0 − (−100)}z

� ≅ 316,234Q��-

2) Se �� , �ze�[ são três pontos no plano, então �z pertence ao segmento de reta ��[�� se, e somente se, |��[��| = |��z��|+ |�z�[��|.

Utilize esta informação e determine se Pz pertence ao segmento de reta P�P[��:

a) ��(0, 10), �z(2, 6)Q�[(7, −4)

|��z��| = r(2− 0)z+ (6− 10)z = √4 + 16 = √20 ≅ 4,47

|�z�[��| = r(7− 2)z + (−4 − 6)z = √25 + 100 = √125 ≅ 11,18

|��z��| + |�z�[��| = 15,65

|��[��| = r(7− 0)z+ (−4− 10)z = √49+ 196 = √245 ≅ 15,65

Então, |��[��| = |��z��|+ |�z�[��|, logo �z pertence ao segmento de reta ��[�� 3) Verifique se o triângulo de vértices ABC é isósceles, equilátero ou escaleno.

a) �(0, 0), �|2√3, 2}Q�|−2, 2√3}

|��| = �o2r3 − 0�z + (2− 0)z = √12 + 4 = √16 = 4

|��| = �(−2 − 0)z + |2√3 − 0}z = √4 + 12 = √16 = 4

|BC��| = �|−2 − 2√3}2 + |2√3 − 2}2 ≅ 5,66

Triângulo isósceles (dois lados iguais)

�� z �[

|��z��| |��[��|

|�z�[��|

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5 Produto Cartesiano

Exemplos: 1) Dados os conjuntos � = J5,6M e � � J2,3,4M determine os produtos cartesianos � { �,

� { � e �z

Produto cartesiano �{ � � J�5,2�, �5,3�, �5,4�,�6,2�, �6,3�,�6,4�M

Produto cartesiano � { � � J�2,5�, �2,6�, �3,5�,�3,6�, �4,5�,�4,6�M

Produto cartesiano �z � � { � � J�5,5�, �5,6�,�6,5�,�6,6�M

Representação Gráfica:

� {� � { � �z

� {� � J��, c�|� ∈ �Qc ∈ �M

Definição: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de � {� (lê-se: “A carteniano B”, ao conjunto formado por todos os pares ordenados ��, c� tal que � ∈ � e c ∈ �.

O produto cartesiano de conjuntos iguais, por exemplo, � { � é geralmente denotado por �z


2) Represente na forma gráfica os produtos cartesianos indicados: )I2, 5� { ��2, 3H

Todos os pontos(x,y) no interior do retângulo rosa pertencem ao produto cartesiano. Os pontos (x,y) no contorno do retângulo situados nas linhas cheias pertencem ao produto cartesiano. Pontos (x,y) do contorno situados nas linhas pontilhadas não pertencem ao produto cartesiano. G��3, 3H { I1, 4H

Todos os pontos(x,y) no interior do retângulo rosa pertencem ao produto cartesiano. Os pontos (x,y) no contorno do retângulo situados nas linhas cheias pertencem ao produto cartesiano. Pontos (x,y) do contorno situados nas linhas pontilhadas não pertencem ao produto cartesiano.

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Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas, Intervalos e Inequaçõesritaccs.pro.br/.../uploads/2016/11/1-sistemasdecoordenadas28.pdf · Denomina-se distância entre os pontos ˚ e ˜ o