Capitulo 1 - Teoria Dos Vectores Deslizantes_2015

FE UEM/DECi - Eng. Civil Mecnica das Construes

Captulo 1 - Teoria dos Vectores Deslizantes

NDICE

Captulo 1 TEORIA DOS VECTORES DESLIZANTES ........................................................... 2

1.1. NOO DE FORA ....................................................................................................... 2

1.1.1. Mtodos de representao da fora ........................................................................... 2

1.2. FORAS CONCORRENTES .......................................................................................... 3

1.2.1. Determinao grfica da resultante de foras ........................................................... 3

1.2.2. Representao vectorial resultante de foras ............................................................ 3

1.2.3. Determinao analtica da resultante ......................................................................... 4

1.3. FORAS PARALELAS NOO DE MOMENTO .................................................... 4

1.4. TEOREMA DE VARIGNON .......................................................................................... 6

1.4.1. Determinao analtica da resultante ......................................................................... 6

1.5. MTODO DE CULMAN ................................................................................................ 6


Captulo 1 - Teoria dos Vectores Deslizantes - 2/8

Captulo 1 TEORIA DOS VECTORES DESLIZANTES

1.1. NOO DE FORA

Fora - uma grandeza fsica que representa a aco de um corpo sobre o outro.

- causa que provoca a mudana de estado ou de movimento de um corpo.

Para definir uma fora necessrio:

Vector fixo

Intensidade

Vector deslizante

Intensidade

Direco Linha de aco (direco)

Sentido Sentido

Ponto de aplicao

1.1.1. Mtodos de representao da fora

a) Representao grfica

F =x kN (pode-se indicar a intensidade)

Escala: 1 cm = 2 kN

b) Representao vectorial

Representa uma fora de uma forma vectorial representa-la sob suas componentes, segundo os

eixos das coordenadas (X, Y, Z).

F =Fxi+Fyj+Fzk

F (Fx, Fy, Fz) onde Fx, Fy e Fz so as projeces da fora F nos eixos X, Y e Z

Assim: Fx = Fcos Fy = Fcos Fz = Fcos

Onde F a intensidade da fora dada pela frmula:

= Fx2 + Fy

2 + Fz2

Conhecendo , e , pode-se definir a linha de aco da fora F.

F



1.2. FORAS CONCORRENTES

Chamam-se foras concorrentes a todas as foras que se intersectam em um mesmo ponto.

O ponto de interseco das foras, chama-se: Centro do sistema de foras concorrentes.

1.2.1. Determinao grfica da resultante de foras

Pela regra do paralelogramo traa-se o polgono de foras, o ltimo segmento do vector entre a

origem do 1 vector e o ponto de chegada do 2 vector o vector principal do sistema

(resultante).

Para um sistema de foras concorrentes a resultante ser igual ao vector principal aplicado ao

centro do sistema, isto , fazendo-se coincidir o de forma sucessiva o ponto de chegada de um

vector com a origem do vector seguinte, aps representados todos os vectores, a resultante ser

obtida pela unio entre o ponto de partida do primeiro vector com o ponto de chegada do ltimo.

1.2.2. Representao vectorial resultante de foras

Na forma vectorial, a resultante do sistema de foras concorrentes apresenta-se pela forma:

R = Fi ;i=1, 2, 3n

Onde n o nmero de foras do sistema em estudo.



1.2.3. Determinao analtica da resultante

Determina-se projectando a igualdade vectorial em relao aos eixos das coordenadas, obtendo 3

componentes:

1(F1x, F1y, F1z) Rx= Fix

2(F2x, F2y, F2z) Ry= Fiy

(Fnx, Fny, Fnz) Rz= Fiz

R =Rxi+Ryj+Rzk, finalmente

= Rx2 + Ry

2 + Rz2 ou |R|= Fix

2+ Fiy

2+ Fiz

2

Os co-senos directores so calculados da seguinte forma:

cos = Fix|R|

=Rx

R cos =

Fiy|R|

=Ry

R cos =

Fiz|R|

=Rz

R

1.3. FORAS PARALELAS NOO DE MOMENTO

Seja a barra da figura, suportada em C por um cutelo sem atrito e tendo um peso de 10 kg

suspenso em B que se deseja contrabalanar por um peso suspenso em A.

fcil ver que o peso a ser colocado em A, a fim de contrabalanar o efeito de rotao da barra

em torno do cutelo C deve ser inferior a 10 kN, por estar mais afastada de C. Por tentativas ver-

se- que o seu valor deve ser 5 kN. Este exemplo ilustra o facto de que a rotao de uma fora

em torno de um ponto depende do valor da fora e tambm da distncia ao ponto, sendo

directamente proporcional a ambos. A grandeza fsica que representa esta tendncia de rotao

em torno de um ponto provocado por uma fora o momento.



Chama-se momento de uma fora F em relao a um ponto O ao produto vectorial do vector OM

(sendo M um ponto qualquer situado sobre a linha de aco da fora F ) pela fora F conforme

indica a figura.

Representao grfica do momento

Binrio um sistema de duas foras iguais e com sentido contrrio.

MR = Fd

R = 0



1.4. TEOREMA DE VARIGNON

Enunciado: O momento resultante em relao a um ponto igual a soma dos momentos de cada

uma das foras em relao a esse mesmo ponto.

1.4.1. Determinao analtica da resultante

R = = F1+F2+F3

Rx0 = F1x1+F2x2+F3x3

1.5. MTODO DE CULMAN

O mtodo de Culman usado para determinao grfica da resultante de quaisquer sistemas de

foras.

Exemplo 1

Procedimento de determinao da resultante:

1 - Faz-se o traado do polgono de foras ao lado do sistema de foras;

2 - O polgono de foras traado fazendo coincidir o ponto de chegada de cada vector com o

ponto de partida do vector subsequente e marcar por uma letra o ponto de partida de cada vector

(a, b, c, d) e o ponto de chegada do ltimo vector (e);

3 - Escolhe-se um ponto aleatrio O;

4 - Traam-se rectas (a0, b0, c0, d0, e0) correspondentes a unio entre o ponto O e os pontos a, b,

c, d, e;

5 - Faz-se a translao da primeira recta (a0) de modo a interceptar a linha de aco do vector da

fora F1 no sistema de foras;

6 - Faz-se a translao da recta b0, fazendo-a interceptar a linha de aco do vector da fora F1

no mesmo ponto que a recta a0 a intercepta, deve-se ainda fazer com que a recta b0 intercepte a

linha de aco do vector da fora F2;

7 - Faz-se a translao da recta c0, fazendo-a interceptar a linha de aco do vector da fora F2

no mesmo ponto que a recta b0 a intercepta, deve-se ainda fazer com que a recta c0 intercepte a




8 - Faz-se a translao da recta d0, fazendo-a interceptar a linha de aco do vector da fora F3

no mesmo ponto que a recta c0 a intercepta, deve-se ainda fazer com que a recta d0 intercepte a


9 - Faz-se a translao da recta e0, fazendo-a interceptar a linha de aco do vector da fora F4

no mesmo ponto que a recta d0 intercepta esta fora;

10 - Devem-se prolongar as rectas a0 e e0 de modo que estas duas se interceptem;

11 - Faz-se a translao do vector da resultante determinada no polgono de foras para o ponto

de interseco das rectas a0 e e0.

12 - Caso se tenha um ponto de referncia (P) do sistema de foras, para determinar o brao da

respectiva resultante deve-se traar uma linha que faa um ngulo recto com a linha de aco da

resultante e que coincida com o respectivo ponto de referncia;

13 - O brao da resultante em relao ao ponto de referncia dado pela distncia entre o

referido ponto de referncia e o ponto de interseco entre a linha que faz 90 com a linha de

aco resultante.

Nota 1: O traado do polgono de foras deve-se fazer a escala.



Exemplo 2

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