MODELAMIENTO Y ANALISIS TRANSITORIO DE

MAQUINAS ELECTRICAS

OBJETIVO

Presentar al asistente los conceptos básicos para realizar el modelamiento requerido

en el análisis transitorio y control de las máquinas eléctricas. En el caso de las

máquinas de corriente alterna se ofrece la orientación para la obtención de los

modelos, utilizados, en los análisis de fallas y estabilidad en sistemas eléctricos de

potencia.

SUPUESTOS PARA EL MODELAMIENTO DE LA MAQUINA ELÉCTRICA

La máquina eléctrica es un dispositivo electromagnético, constituido por un circuito

magnético y circuitos eléctricos. Una parte del circuito magnético tiene movimiento y

constituye lo primordial del sistema mecánico de toda máquina eléctrica (M.E.).

En la máquina eléctrica ocurre una complicada superposición de fenómenos físicos:

térmicos, mecánicos, magnéticos, etc. Dentro del fenómeno magnético se tiene el

problema de la dispersión y desde luego la saturación.

Por esta superposición de efectos, los parámetros que permiten describir

matemáticamente a la M. E., dependen del régimen actual de operación, es decir de

las corrientes en los circuitos eléctricos.

Por las razones mencionadas, el problema analítico es prácticamente inmodelable y es

necesario utilizar (incorporar) aproximaciones, separando los factores principales y

dejando de lado los que tengan menor participación o influencia en lo que se busca del

modelo. Estas aproximaciones hacen viable, es decir, permiten llevar a cabo el

modelamiento de las M.E.

En la máquina eléctrica ideal se cumple que:

1. No hay saturación, ni histéresis, ni pérdidas magnéticas: Este supuesto

permite utilizar una dependencia lineal entre el "flujo magnético" y la fuerza

magnetomotriz "f.m.m" (circuito magnético lineal), y de ese modo es posible

aplicar el Principio de la Superposición. Como las pérdidas magnéticas son

despreciables, el flujo magnético y la f.m.m. correspondiente están en fase con

la corriente magnetizante.

a. Si fuera necesario considerar este efecto en el estudio de la M.E. ideal

se corrigen algunos parámetros o se introducen correcciones en los

resultados finales. La incorporación de la saturación es necesaria en el

análisis de transitorios que involucren grandes variaciones en la

permeabilidad del circuito magnético como por ejemplo en el estudio de

transitorios de autoexcitación, también la saturación del camino del flujo

de dispersión en el arranque de motores, etc.

b. Para el análisis de procesos transitorios de pequeña envergadura

alrededor de cierto régimen de operación, no es necesario corregir los

parámetros.

2. La distribución espacial de la f.m.m. y el campo magnético tiene forma

cosenoidal: Este supuesto posibilita despreciar los componentes superiores

de la f.m.m. (armónicos espaciales) y del campo magnético (armónicos

dentales). Esta aproximación facilita notablemente la descripción matemática y

el estudio de las máquinas eléctricas. El efecto de los armónicos superiores

del flujo, de ser necesario, se podría tomar en cuenta en los cálculos variando

la magnitud de la reactancia de dispersión de los devanados.

3. El efecto skin es despreciable y las reactancias de dispersión no

dependen de la posición del rotor: Por el segundo supuesto la M.E. puede

ser tratada como un conjunto de bobinas o circuitos acoplados en diferente

forma. Los parámetros eléctricos que identifican a tales circuitos son

resistencias, e inductancias propias y mutuas (que pueden ser constantes o

variables con la posición del rotor).

Asimismo el sistema mecánico puede ser representado por el momento de

inercia y un coeficiente de fricción.

CONVECCIONES PARA LA DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LAS M.E.

1. La f.m.m. producida al excitar una bobina tiene su máximo en la dirección en

que circula la corriente. La dirección de este máximo, define el eje magnético

de la bobina.

2. Es positiva la velocidad mecánica antihoraria.

3. Todas las potencias que ingresan a la maquina, por los bornes o por el eje son

positivas.

ECUACIÓN MECÁNICA O DE MOVIMIENTO DEL ROTOR

Para el planteamiento de la ecuación de movimiento del rotor es necesario considerar

el efecto del torque externo aplicado al eje por el motor primo, si se trata de un

generador; o por la carga mecánica, si se trata de un motor.

A este torque externo se le puede denominar genéricamente Text y Te es el torque

electromagnético producido por la máquina.

De acuerdo con la convención “todas las potencias que ingresan a la máquina por los

bornes o por el eje, son positivas", se obtiene:

CAPITULO 1

LA MÁQUINA GENERALIZADA DE CONMUTADOR

La máquina generalizada de conmutador (MGC) es la “herramienta” que será utilizada

para la descripción matemática de todas las máquinas eléctricas que poseen

conmutador, tiene las siguientes características básicas:

(1) Es de 2 polos y tiene saliencia en el estator tal como se muestra en

la Figura 1.1.

Figura 1.1 Estator de MGC

(2) El estator posee dos devanados, que se representan por las bobinas

concentradas D y Q, y sus ejes magnéticos están en cuadratura. El número de

vueltas de cada bobina es y , respectivamente.

(3) El rotor tiene un devanado de conmutador (de doble capa, cerrado a

través de las delgas del conmutador) con dos juegos de escobillas: uno en el

eje directo y el otro en el eje cuadratura (Figura 1.2). Por las propiedades del

devanado de conmutador, en el rotor “se identifica dos circuitos” ó “bobinas

seudoestacionarias” de iguales características. En número de vueltas entre

cada par de escobillas es Nd y N

q, respectivamente.

(4) Las dimensiones fundamentales de la máquina son: diámetro

interno del estator (D), longitud del paquete magnético (l) y “g” el entrehierro

frente a cada polo.

Figura 1.2 Rotor de la MGC

En la Figura 1.3 se muestra el “modelo circuital” de la MGC, considerando sentido

positivo para la velocidad del rotor y la polaridad de las tensiones en las bobinas es tal

que la potencia eléctrica ingresa por los bornes de la máquina.

Figura 1.3 Modelo circuital de la MGC

1.1 PARÁMETROS DE LA MGC

Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento de la MGC en todo

régimen de operación tendrán como coeficientes sus parámetros eléctricos y

mecánicos. Debe recordarse que estas ecuaciones eléctricas serán utilizadas para la

descripción matemática de las máquinas industriales de conmutador.

En este acápite se muestran las expresiones básicas de los parámetros en función de

sus dimensiones. Se recomienda que los parámetros de las máquinas industriales de

conmutador, se obtengan a partir de ensayos.

Resistencias

La resistencia de un devanado ó circuito depende de la resistividad del conductor, la

longitud de la espira media, el número de vueltas y de la sección del conductor.

Las resistencias de cada devanado de la MGC serán:

Inductancias propias y mutuas

Para el cálculo de la inductancia propia de un devanado de MGC, en función de las

dimensiones básicas, se supone que éste es el único que se encuentra excitado con

una cierta corriente instantánea que origina un campo magnético cuyas líneas de flujo

concatena con las espiras del mismo devanado.

Este campo magnético tiene dos componentes: el magnetizante y el campo de

dispersión; cada componente está asociada a una inductancia y la suma es la

inductancia propia del devanado.

La inductancia que se asocia al flujo concatenado entre un devanado cualquiera de la

máquina, que recibe la acción del flujo magnetizante, y el devanado excitado que

produce el campo, se denomina inductancia mutua.

Para el cálculo de estas inductancias es cómodo suponer que el rotor está inmóvil.

1.1 Excitando solamente el devanado “D” con una corriente instantánea “ ” y

considerando la aproximación del circuito magnético de la MGC tal como se

muestra en la Figura 1.4.

Figura 1.4 Circuito magnético, fuerza magnetomotriz y campo magnético a lo largo del eje directo

: valor máximo de la f.m.m. del devanado D

: Valor máximo del campo magnético considerando uniforme el entrehierro,

dado por

: Valor máximo del armónico fundamental del campo magnético, dado por

: Factor de forma del campo magnético a lo largo del eje directo

Entonces, el campo magnético a considerar será:

a) El flujo concatenado magnetizante de éste devanado:

: Conductancia magnética a lo largo del eje directo

La inductancia propia magnetizante del devanado D será:

De modo análogo, la inductancia de dispersión se puede expresar como:

: Conductancia de dispersión del devanado D

Entonces la inductancia propia del devanado D:

b) El flujo concatenado con el devanado Q dado por:

Entonces la inductancia mutua

c) El flujo concatenado por el circuito ó devanado entre escobillas en eje directo

resulta:

Entonces, la inductancia mutua entre el devanado D y el circuito entre escobillas en “d”

estará dada por:

d) El flujo concatenado por el circuito entre escobillas en eje cuadratura dado por:

Por lo tanto la inductancia mutua

1.2 Excitando ahora solamente el devanado “Q” con una corriente instantánea “i Q “ y

considerando el circuito magnético de la MGC tal como se muestra en la Figura

1.5.

Figura 1.5 Circuito magnético, fuerza magnetomotriz y campo magnético a lo largo del eje

cuadratura.

: valor máximo de la f.m.m. del devanado Q.

: Valor máximo del campo magnético considerando uniforme el entrecierro,

dado por:

: Valor máximo del armónico fundamental del campo magnético, dado por:

: Factor de forma del campo magnético a lo largo del eje cuadratura.

El campo magnético a considerar será:

a) El flujo concatenado magnetizante de éste devanado:

: Conductancia magnética a lo largo del eje cuadratura

La inductancia propia magnetizante del devanado Q será:

En forma análoga, la inductancia de dispersión se puede escribir como:

: Conductancia de dispersión del devanado Q

Entonces la inductancia propia del devanado Q:

b) El flujo concatenado con el devanado D dado por:

Entonces la inductancia mutua

c) El flujo concatenado por el circuito ó devanado entre escobillas en eje directo:

y

d) El flujo concatenado por el circuito ó devanado entre escobillas en eje cuadratura

resulta:

La inductancia mutua entre el devanado Q y el circuito entre escobillas en “q” es:

1.3 Aplicando procesos similares se puede obtener:

Excitando el circuito entre escobillas en eje directo se obtiene:

, ,

Excitando el circuito entre escobillas en eje cuadratura se obtiene:

,

Donde:

, ,

Inductancias rotacionales

Se produce máxima tensión inducida de tipo rotacional en el circuito establecido entre

un par de escobillas de un devanado de conmutador, cuando se cumple las

condiciones siguientes:

a) El rotor se impulsa a cierta velocidad

b) Existencia de un campo magnético cuyas líneas de fuerza se orienten a lo largo

de un eje magnético que sea perpendicular a la recta que une las escobillas

(Figura 1.6).

En el caso de la figura 1.6 el valor máximo de la tensión inducida entre las

escobillas y con la polaridad indicada es:

Fig. 1.6 Tensión inducida rotacional

: Inductancia rotacional del devanado “y” sobre el circuito entre escobillas

“x”. Está dada por:

Donde: es la conductancia magnetizante a lo largo del eje “y”.

1.4 ECUACIONES ELÉCTRICAS

Las ecuaciones (de tensión) eléctricas de cada devanado (Fig. 1.7) se escriben

considerando los siguientes componentes:

(1) Las tensiones en terminales, las cuales se han elegido de modo que la energía

ingrese al devanado.

(2) La caída de tensión en la resistencia.

(3) La tensión debida al cambio de la corriente en el propio devanado, es la tensión

inducida por el flujo propio.

(4) Las tensiones debidas al cambio de las corrientes en todos los otros

devanados, son las tensiones inducidas por el flujo mutuo.

(5) Las tensiones rotacionales inducidas solo en los circuitos entre escobillas de

los devanados de conmutador.

Fig. 1.7 Modelo de máquina generalizada de conmutador

Por lo tanto las ecuaciones eléctricas de la MGC (con sus bobinas desconectadas)

son:

1.5 TORQUE ELECTROMECÁNICO

Las ecuaciones eléctricas de la MGC pueden escribirse de modo matricial:

Donde:

[v], [i]: vectores de tensión y corriente

[R]: matriz de resistencias;

Diag [R] =

[L] matriz de inductancias

[G]: matriz de inductancias rotacionales

: Velocidad mecánica del rotor

Pre-multiplicando ambos miembros por [i]t se obtiene:

: Potencia eléctrica instantánea entregada a la máquina

: Pérdidas eléctricas en los devanados

: Potencia almacenada en el campo magnético

: Potencia electromagnética (potencia eléctrica convertida en mecánica)

Luego el torque electromagnético resulta:

Reemplazando la matriz de inductancias rotacionales, el torque resulta:

1.6 ECUACIONES DE MÁQUINAS DE CONMUTADOR

a) La máquina de excitación independiente

Para obtener la máquina de excitación independiente solo deben usarse los

devanados D y q de la MGC.

Fig. 1.8 Máquina de excitación independiente

Las ecuaciones eléctricas son:

La ecuación de movimiento del rotor ó ecuación mecánica:

Donde:

Motor de excitación independiente con giro positivo

Si las tensiones aplicadas son: y

Fig. 1.9 Motor de excitación independiente

Al hacer é , y al cambiar los subíndices D por “f” y q por “a” en los

parámetros, se obtiene las siguientes ecuaciones eléctricas:

La ecuación mecánica ( ):

Generador de excitación independiente con giro positivo

Fig. 1.10 Generador de excitación independiente

En éste caso: , ; además

Por lo tanto la ecuación eléctrica será:

La ecuación mecánica:

Motor serie con giro positivo

Fig. 1.11 Motor serie

Si en las ecuaciones del motor de excitación independiente se cambia el subíndice “f”

por “s”, y se reemplaza:

Se obtiene la ecuación eléctrica (E.E.)

La ecuación mecánica (E.M.)

Motor shunt con giro positivo

Fig. 1.12 Motor shunt

Procediendo de modo similar que en los casos anteriores se obtiene:

Generador shunt con giro positivo

Fig. 1.13 Generador shunt

Las ecuaciones resultan: