Capítulo 2 - cimentajon.files.wordpress.com · c) Gradiente máximo y coeficiente de seguridad frente al sifonamiento Cuando se viaja a lo largo de una línea de corriente, pasando

Capítulo 2

FFLLUUJJOO EENN MMEEDDIIOOSS PPOORROOSSOOSS PPRRIINNCCIIPPIIOO DDEE TTEERRZZAAGGHHII

Problemas de Geotecnia y Cimientos

34

Capítulo 2 - Flujo en Medios Porosos · Principio de Terzaghi

35

PROBLEMA 2.1 El permeámetro de carga constante, cuyo esquema se indica en la figura 2.1, se rellena en una altura de 2'5 m con una arena que tiene un coeficiente de permeabilidad k = 4·10-3 m/s. Se pide calcular: a) Leyes de alturas geométricas, de presión y piezométricas. b) Caudal de agua que atravesará el permeámetro.

1 2

3

4

Q

z

2'5 m

1'5 m

0'35 m

Figura 2.1


36

SOLUCIÓN a) Leyes de alturas geométricas, de presión y piezométricas El potencial (carga hidráulica o altura total) de un punto se obtiene como suma de la altura geométrica, de la altura de presión y de la altura de velocidad del agua:

g2vu

zh2

w

+γ

+=

siendo:

z: Altura geométrica respecto a un plano arbitrario. u: Presión del agua o presión intersticial. v: Velocidad del agua. g: Aceleración de la gravedad. γw: Peso específico del agua.

La altura piezométrica es igual a la altura geométrica más la altura de presión:

w

uzh

γ+=

En Geotecnia, al despreciar la velocidad del agua, coinciden la altura piezométrica con la altura total o potencial hidráulico. Tomando el plano de referencia arbitrario para las alturas geométricas en la superficie del agua del depósito (figura 2.1), y puesto que la pérdida de carga total se produce en el suelo ya que se pueden despreciar las pérdidas de carga entre los puntos 4 y 3 y entre los puntos 2 y 1, los potenciales de los puntos 1, 2, 3 y 4 son:


37

2'5 m

1 2

1'5 m

4

3

0'35 m

Altura (m)1'5

z (m)

4

Altura de presiónAltura geométricaAltura piezométrica

z

Figura 2.2

Puntos 1 y 2

m 0100

0u

zhw

111 =+=

γ+=

0hh 21 ==

w

2

w

222

u0

uzh

γ+=

γ+=

En consecuencia, la presión del punto 2 es la atmosférica (u2 = 0) Puntos 3 y 4:

m 4100

4u

zhw

444 =+=

γ+=

m 4hh 34 ==

w

3

w

333

u5'2

uzh

γ+=

γ+=

En consecuencia, la presión en el punto 3 es u3 = 15 kN / m2.


38

Siendo el flujo vertical y descendente y la sección del permeámetro constante, las variaciones de las alturas de presión, geométricas y piezométricas son lineales con z. En la figura 2.2 se muestra gráficamente las leyes. b) Caudal La pérdida de carga entre los puntos 3 y 2 es:

m404hhh 2332 =−=−=∆ y el gradiente existente entre esos dos puntos:

6'15'2

4Lh

i ==∆∆=

El área de la sección del permeámetro es:

222

m 0962'0435'0·

4·

A =π=φπ=

Aplicando la ley de Darcy, el caudal que atraviesa el permeámetro es: /sm 10·16'66'1··104·0962'0i·k·AQ 34-3 −===


39

PROBLEMA 2.2 En la figura 2.3 se muestra la sección de una presa de hormigón cimentada sobre un terreno aluvial arenoso que posee una permeabilidad k = 8·10-5 m/s y un peso específico saturado de 20'5 kN/m3, y en la que se pretende analizar los efectos de una pantalla de impermeabilización aguas abajo de la misma (caso B). Para ello, se pide: a) Calcular el caudal infiltrado. b) Obtener la distribución de subpresiones en la cimentación de la presa. c) Calcular el gradiente máximo de salida y el coeficiente de seguridad frente al

sifonamiento.

8 m

108765420 1 2 m3

1 m2 m

BA

NIVEL IMPERMEABLE

NIVEL IMPERMEABLE

8765420 1 3

9

BA

z

8 m

2 m

Caso B

Caso A

2 m1 m

6 m

z

Figura 2.3


40

SOLUCIÓN a) Caudal infiltrado En el problema se proporcionan las redes de flujo (figura 2.3) para ambos casos. Dibujada la red de flujo, el caudal infiltrado a través de un medio permeable saturado y una vez establecido el régimen estacionario, se obtiene a partir de la siguiente expresión:

Hn

nkQ

e

t ∆⋅⋅=

donde:

k: Permeabilidad del terreno. nt: Número total de tubos de corriente de la red de flujo. ne: Número total de intervalos o “saltos” existentes entre

equipotenciales, desde la equipotencial inicial hasta la equipotencial última del problema.

∆H: Pérdida de carga total o diferencia de potencial entre la primera y la última equipotencial del problema.

En ambas situaciones, la primera equipotencial es la superficie sumergida del terreno aguas arriba; la última equipotencial es la superficie sumergida del terreno aguas abajo. Tomando el plano de referencia arbitrario para las alturas geométricas en la base de la cimentación, el potencial hidráulico en un punto cualquiera Z, viene dado por:

zu

hw

zz +

γ=

siendo z la altura geométrica de dicho punto y uz la presión intersticial existente en dicho punto.


41

En los dos casos del problema, el potencial en el punto A (figura 2.3), que pertenece a la equipotencial inicial del problema, es conocido ya que la presión intersticial es la correspondiente a una columna de agua de 8 metros de altura:

m 10m2m8zu

h Aw

AA =+=+

γ=

Del mismo modo, en ambos casos, cualquier punto de la equipotencial última del problema, como B, posee un potencial hidráulico;

m3m2m1zu

h Bw

BB =+=+

γ=

En consecuencia, en ambos casos, la pérdida de carga total es:

m7m3m10hhH BA =−=−=∆ Para cada uno de los casos, los datos existentes y el caudal obtenido con la expresión anterior son los siguientes:

Caso k (m/s)

nt ne ∆H (m)

Q (m3/s/m)

A B

8·10-5 8·10-5

4 4

12 14

7 7

1'86·10-4 1'6·10-4

b) Distribución de subpresiones En un punto del cimiento de la presa, se denomina “subpresión” a la presión intersticial existente en dicho punto. En el problema se pide una “distribución” o ley que proporcione la presión intersticial en cualquier punto del cimiento, pudiendo obtenerse matemáticamente, pero ello se sale del alcance del texto. En su lugar, se obtendrán los valores de las presiones intersticiales en algunos puntos del cimiento y se supondrá que la variación de presiones intersticiales entre dos puntos consecutivos es lineal.


42

Puesto que las redes de flujo han sido dibujadas de manera que las figuras conformadas entre equipotenciales y líneas de corriente son aproximadamente “cuadrados curvilíneos”, la pérdida de carga entre dos equipotenciales sucesivas es siempre la misma e igual a:

enH

h∆=∆

Así pues, se tendrá:

Caso ne ∆H (m)

∆h (m)

A B

12 14

7 7

0'583 0'5

Conocido el potencial del punto A, el potencial en un punto cualquiera Z es igual al potencial del punto A menos la pérdida de carga existente entre ambos puntos. Si el punto Z se sitúa en la cimentación de la presa ( z = 0 ) y pertenece a una equipotencial dibujada en el problema, se debe verificar que:

hn10hnhu

zu

h Aw

z

w

zz ∆⋅−=∆⋅−=

γ=+

γ=

donde n es el número de saltos existentes entre la equipotencial del punto A y la equipotencial del punto Z. Esta expresión permite obtener la presión intersticial en el punto Z:

( ) 2wz m/Nk hn10100hn10u ∆⋅⋅−=γ⋅∆⋅−=

En los puntos de intersección de las equipotenciales con el cimiento, la expresión anterior proporciona los siguientes valores de la subpresión:

Punto 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 1'5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10'5 A uz 91'25 88'34 82'51 76'68 70'85 65'02 59'19 53'36 47'53 41'7 38'78 n 1'5 2 3 4 5 6 7 8 8'3 B uz 92'5 90 85 80 75 70 65 60 58'5


43

Puesto que también se conoce el potencial de la última equipotencial, el problema podría haberse resuelto diciendo que el potencial en el punto Z es el potencial del punto B más la pérdida de carga existente entre ambos puntos:

hn3hnhzu

h Bw

zz ∆⋅+=∆⋅+=+

γ=

c) Gradiente máximo y coeficiente de seguridad frente al sifonamiento Cuando se viaja a lo largo de una línea de corriente, pasando de un punto situado en una equipotencial a otro punto situado en la siguiente equipotencial, el gradiente medio existente entre dichos puntos es:

lh

ie

∆=

donde ∆h es la pérdida de carga existente entre ambas equipotenciales y l es la distancia recorrida a lo largo de la línea de corriente. Si se observan las redes de flujo, las distancias recorridas desde la penúltima equipotencial hasta la última (situada en la superficie del terreno sumergida de aguas abajo) varían según la línea de corriente seguida. Puesto que el problema pide el gradiente máximo y siendo ∆h constante e independiente de la línea de corriente seguida, según la expresión anterior se deberá tomar la distancia mínima existente entre la penúltima y la última equipotencial y ello se produce en la línea de corriente que sigue el contorno del paramento de la presa. Por otro lado, también se puede observar que, aguas abajo, las líneas de corriente intersectan verticalmente a la superficie del terreno sumergida (última equipotencial) y, en consecuencia, siendo el terreno arenoso, puede producirse la inestabilidad conocida como “sifonamiento” y cuyo coeficiente de seguridad se define como:

e

c

ii

F =


44

siendo

05'110

5'10i

wc ==

γγ′

=

el denominado “gradiente crítico”. Como se observa, el coeficiente de seguridad es mínimo para el gradiente máximo de salida. Midiendo con un escalímetro en las líneas de corriente las distancias mínimas y a partir de las expresiones anteriores, se obtienen los siguientes valores:

Caso ∆h (m)

L (m)

ie ic F

A

0'583

1'2

0'485

1'05

2'16 B 0'5 3 0'166 1'05 6'32

Como conclusión del problema, la colocación de la pantalla produce los siguientes efectos: 1. Disminuye el caudal infiltrado. 2. El gradiente de salida es menor y consecuentemente la seguridad frente al

sifonamiento es mayor. 3. Las subpresiones en la cimentación de la presa resultan ser ligeramente

mayores.


45

PROBLEMA 2.3 Durante un periodo de lluvias se produjo la filtración dibujada en el muro indicado en la figura 2.4 y el cual presentaba un drenaje vertical en su trasdós. Sabiendo que la permeabilidad de la arena es k = 3 · 10-1

m / s, que en ningún momento entró en carga el sistema de drenaje y que la presión intersticial en el punto M es igual a 60 kN / m2, se pide: a) Caudal circulante por la sección CC' del dren. b) Distribución de presiones intersticiales en el plano π.

B

C

D

E

F

G

HI

A

M

6'5 m

C'C

z

π

1'5 m

NIVEL IMPERMEABLE

Figura 2.4


46

SOLUCIÓN a) Caudal circulante por la sección CC' del dren Se conocen las presiones intersticiales en el punto A (nula) y en el punto M (uM = 60 kN/m2) y ambos están situados en equipotenciales (primera y tercera), (figura 2.4). Tomando el plano de referencia arbitrario para las alturas geométricas en la superficie del nivel impermeable, los potenciales de los puntos A y B son:

m601060

zu

h

m88100

zu

h

Mw

MM

Aw

AA

=+=+γ

=

=+=+γ

=

En consecuencia la diferencia de carga existente entre los dos puntos es:

m268hh MA =−=− implicando que la pérdida de carga existente entre dos equipotenciales consecutivas es ∆h = 1 m. Como en el problema anterior, el caudal infiltrado se obtiene a partir de la siguiente expresión:

h·n·kH·nn

·kQ te

t ∆=∆=

El caudal circulante por la sección CC' (figura 2.4) del dren es el correspondiente a dos tubos de corriente:

m/s/m10·61·2·10·3Q 311 −− ==


47

b) Distribución de presiones intersticiales en el plano π Las presiones intersticiales en el plano π se obtienen, como en el problema anterior, en los puntos de intersección de dicho plano con las distintas equipotenciales. Las cotas de dichos puntos se miden en la figura respecto al plano horizontal de comparación situado en el cimiento del muro (figura 2.4). Los valores que se obtienen son los siguientes:

Punto A

B C D E F G H I

z (m) u (kN/m2)

8'0 0

6'5 5

5'2 8

4'0 10

2'9 11

1'9 11

1'1 9

0'5 5

0'0 0

Esta distribución se ha dibujado en la figura 2.5. Como el drenaje no entra en carga, es decir, las presiones del agua son nulas, se puede demostrar que la separación vertical entre equipotenciales en el dren es siempre la misma. Obténgase que esa distancia es igual a 1 metro.

HI

E

F

G

B

C

D

A

π

Figura 2.5


48

PROBLEMA 2.4 Un terreno está formado por una alternancia de arenas y de arcillas. Los niveles arenosos tienen una potencia de 10 cm y una permeabilidad de 7·10-2 cm / s, mientras que los arcillosos tienen una potencia de 2 m y una permeabilidad de 4·10-6 cm / s. Calcular la relación entre los coeficientes de permeabilidad horizontal y vertical que existe en una unidad formada por un paquete de arena y por otro de arcilla.

S O L U C I Ó N Si se tiene un sistema de n niveles horizontales, la permeabilidad equivalente para flujo horizontal viene dada por la expresión:

e

ke = k = k

i

n

1i=

i

n

1i=heq

i

∑

∑

siendo ei y ki el espesor y el coeficiente de permeabilidad del nivel i, respectivamente. Para la unidad del enunciado, la permeabilidad equivalente es:

cm/s 103.3 = cm 200 + cm 10

cm/s10·4·cm 200 + cm/s 10·7·cm 10 = k

362

h−

−−

′

Si el flujo es vertical, la permeabilidad equivalente es:

k

e

e = k = k

i

i

i

n

1=i

n

1=iveq

∑

∑


49

Para la unidad del problema

cm/s 10·2'4 =

10·4

cm 002+

10·7

cm 10cm 200 + cm 10

= k6

62

v−

−−

La relación pedida es:

7'785 = 10·2'4

10·3'3 =

kk

6

3

v

h−

−

De estos resultados se pueden extraer las siguientes conclusiones: 1. La permeabilidad horizontal equivalente está más próxima a la

permeabilidad de las arenas, a pesar de que su potencia es muy inferior a la potencia de los niveles arcillosos.

2. La permeabilidad vertical equivalente es prácticamente la permeabilidad

de las arcillas. 3. Al igual que en el problema, en terrenos naturales depositados

horizontalmente, es muy normal que la permeabilidad horizontal sea muy superior a la vertical.

4. A efectos prácticos, por ejemplo, en agotamientos de excavaciones, se

deduce la importancia que pueden tener en los caudales a bombear pequeños niveles arenosos no detectados con la perforación de los sondeos.


50

PROBLEMA 2.5 Obtener y representar gráficamente las leyes de presiones totales, intersticiales y efectivas en el terreno indicado en la figura 2.6.

Las propiedades geotécnicas del terreno son:

γsat (kN/m3)

γd (kN/m3)

Grava Arena

22 20

19

4 m

Arena

Roca

1 m

5 m

Gravas

z

N.F.

Figura 2.6

SOLUCIÓN

Adoptemos el eje de referencia z con su origen en la superficie del terreno y con sentido positivo hacia abajo. Sea un plano cualquiera paralelo a la superficie del terreno situado a una profundidad z (figura 2.7). La presión total en ese plano (σ) es la que debe existir en dicho plano para que el terreno situado por encima de él esté en equilibrio. En el problema, la presión total a una profundidad z es la que equilibra el peso del terreno existente por encima.


51

σ

z

Figura 2.7

En un punto del terreno, la presión intersticial (u) es la presión que tiene el agua. Por debajo del nivel freático, la distribución de presiones intersticiales será la hidrostática ya que el agua está en reposo. Por encima del nivel freático la presión intersticial es la atmosférica (nula) ya que siendo gravas pueden despreciarse los efectos capilares. Cuando las presiones totales e intersticiales estén determinadas, las presiones efectivas (σ') podrán ser calculadas aplicando el principio de Terzaghi:

σ' = σ - u Las distribuciones de presiones totales, intersticiales y efectivas son:

0 ≤ z ≤ 4 A una profundidad z, la presión total es la debida a un espesor z de gravas secas. 2grava

d m/kNz·19z· =γ=σ

0u =

2m/kNz·19u' =−σ=σ


52

10

z (m)

60 138 198

4

510 88 98

76

u, σ, σ´ (kN / m )2

σσ'u

Figura 2.8

4 ≤ z ≤ 5 A una profundidad z, la presión total es la debida a un espesor de 4 metros de gravas secas y a un espesor (z - 4) de gravas saturadas. 2grava

satgravad m/kN12z·22·)4z(4· −=γ−+γ=σ

2w m/kN40z·10)4z(·u −=−γ=

2m/kN28z·12u' +=−σ=σ

5 ≤ z ≤ 10 A una profundidad z, la presión total es la debida a un espesor de 4 metros de gravas secas, a un espesor de 1 metro de gravas saturadas y a un espesor (z – 5) de arenas saturadas. 2arena

satgravasat

gravad m/kN2z·20·)5z(1·4· −=γ−+γ+γ=σ

2w m/kN40z·10)4z(·u −=−γ=

2m/kN38z·10u' +=−σ=σ

En la figura 2.8 se representan gráficamente las distribuciones calculadas.


53

PROBLEMA 2.6 En el terreno esquematizado en la figura 2.9, se sabe que el nivel piezométrico en las gravas se sitúa 3 m por encima del nivel freático superficial. Se pide: a) Nivel piezométrico en las gravas que provocaría el levantamiento de los

paquetes de arcillas. b) Leyes de presiones efectivas en los paquetes de arcillas suponiendo que se

ha establecido un flujo permanente. Las propiedades geotécnicas del terreno son:

Terreno

ω (%)

Gs k (m/s)

Arcilla 1 Arcilla 2

25 30

2'75 2'75

10-7 2·10-7

Gravas

1'5 m

Arcilla 2

Arcilla 1

Agua

z

2 m

4 m

A

C

B

3 m

Figura 2.9


54

SOLUCIÓN a) Nivel piezométrico en las gravas que provocaría el levantamiento de los

paquetes de arcillas Las gravas constituyen un acuífero confinado. Si se perforase un pozo, al alcanzar el techo del nivel de gravas, el agua subiría 3 metros por encima del nivel freático (figura 2.9). Puesto que las gravas están a “presión” y confinadas por las arcillas, puede producirse el levantamiento de los paquetes de arcilla si la presión intersticial en el techo del nivel de gravas es igual a la presión total (σ = u). En principio, el cálculo de dicha presión requiere la determinación de los pesos específicos saturados de las arcillas: Arcilla 1:

e = ω· G = 2'75 · 0'25 = 0'687 γsat = 20'37 kN/m3

Arcilla 2:

e = ω· G = 2'75 · 0'30 = 0'825 γsat = 19'59 kN/m3

La presión total en el techo de las gravas es: σ = 1'5 · 10 + 2 · 20'37 + 4 · 19'59 = 134'1 kN/m2 Si σ = u = 134'1 kN/m2, ello implica que la presión intersticial en el techo de las gravas sea la correspondiente a una columna de 13'41 m de altura, es decir, 5'91 m por encima del nivel freático.


55

b) Leyes de presiones efectivas en los paquetes de arcillas En principio se debe calcular la distribución de presiones intersticiales. En el problema se indica que se ha establecido un flujo estacionario. Adoptando el origen del eje z en la superficie del terreno y con el sentido hacia abajo (figura 2.9), el potencial en un punto cualquiera A de la superficie del terreno es:

m5'105'1zu

h Aw

AA =−=−

γ=

y en un punto cualquiera B del techo de las gravas:

m5'465'10zu

h Bw

BB =−=−

γ=

(Nótese que al adoptar el sentido positivo del eje z hacia abajo, las alturas geométricas se deben restar en la expresión del potencial hidráulico). Por lo tanto, la diferencia de potencial existente entre los puntos B y A es:

hB – hA = 3 m

Como el terreno es estratificado y el flujo es vertical, podemos reemplazarlo por un terreno homogéneo con una permeabilidad equivalente:

s/m10·5'1

10·2

4

10

242

ke

ek 7

77i

i

iv

−

−−

=+

+==∑∑

El gradiente existente entre el techo del nivel de gravas y la superficie del terreno es:

m5'063

i ==


56

y aplicando la ley de Darcy, el caudal que circula por un tubo vertical de sección unidad vale:

s/m5'0·10·5'1SQ 7−=

Como este caudal debe ser igual al que circula por ese mismo tubo de sección unidad en el terreno real, y por continuidad, debe ser el mismo en ambos niveles de arcilla, se debe verificar:

27

177 i·10·2i·105'0·10·5'1

SQ −−− ===

siendo i1 e i2 los gradientes existentes en los niveles 1 y 2 de arcillas, respectivamente. De la expresión anterior, se deduce que:

75'0i1 = 375'0i2 =

Ya se tienen los datos necesarios para calcular las presiones intersticiales.

0 ≤ z ≤ 2 El potencial en un punto situado a una profundidad z es:

zu

hw

−γ

=

Se conoce el potencial del punto A:

m5'105'1hA =+= y se debe cumplir que:

z·75'05'1z·i5'1hhzu

h 1Aw

+=+=∆+=−γ

=


57

Por consiguiente:

z·5'1715·)z·75'0z5'1(u +=γ++= ω2m/kN

En el punto C, 2

CC m/kN50um 2z =→=

2 ≤ z ≤ 6 El potencial del punto C es:

m325zu

h Cw

CC =−=−

γ=

Como en el apartado anterior, el potencial de un punto cualquiera situado a una profundidad z deberá cumplir:

)2z(·375'03)2z(·i3hhzu

h 2Cw

−+=−+=∆+=−γ

=

Así pues:

[ ] 2m/kNz·75'135'22·)2z(·375'0z3u +=γ−++= ω En el punto B, m 6z = , la expresión anterior proporciona el valor: 2m/kN105u = correspondiente a la presión de una columna de agua de 10'5 m. Resta ahora calcular las presiones totales y aplicar a continuación el principio de Terzaghi.


58

1055015

uσ'

Arcilla 1

Arcilla 1

5'74

29'1

σ´, u ( kN / m )21.5 m

4 m

2 m

N.F.

z (m)

z

Figura 2.10

0 ≤ z ≤ 2 2m/kNz·37'2015z·37'2010·5'1 +=+=σ

2m/kNz·5'1715u +=

2m/kNz·87'2u' =−σ=σ

2 ≤ z ≤ 6 2m/kNz·59'1956'1659'19·)2z(37'20·210·5'1 +=−++=σ

2m/kNz.75'135'22u +=

2m/kN94'5z·84'5u' −=−σ=σ En la figura 2.10 se han representado las distribuciones de presiones efectivas e intersticiales. Obsérvese que al existir un flujo de agua, la distribución de presiones intersticiales difiere de la hidrostática.


59

PROBLEMA 2.7 Un estrato acuífero de 4 m de potencia está confinado superiormente por un estrato de arcilla de 3 m de espesor e inferiormente por un estrato rocoso. Los pesos específicos de la arena y de la arcilla son 19'8 kN / m3 y 18'2 kN / m3, respectivamente. Determinar la presión efectiva en el techo y en el muro del estrato arenoso cuando su nivel piezométrico se sitúa: a) 2 m por debajo de la superficie del terreno. b) 2 m por encima de la superficie del terreno.

Arenas

Roca

Arcillas

Caso a

Caso b

2 m

Arcillas

4 m

1 m

Roca

Arenas

2 m

3 m

4 m

Figura 2.11

Solución: σ' (kN/m2)

Caso

Techo Muro

a

44'6

83'8 b 4'6 43'8


60

PROBLEMA 2.8 Un campo de fútbol está asentado sobre un terreno cuyo corte se adjunta en la figura 2.12. Si el estrato de calizas tiene una gran potencia y una alta permeabilidad, se pide:

a) Intensidades horarias en mm / h, suponiendo una lluvia constante, que inician el encharcamiento del campo de fútbol si:

i. No están saturadas las arenas limosas superiores. ii. Cuando se ha establecido ya el flujo hacia las calizas.

b) Si en un instante dado se tiene un encharcamiento de 20 cm y se ha establecido el flujo hacia las calizas, calcular en esta situación las distribuciones de presiones totales y efectivas en los niveles arenosos.

Se supondrá que la permeabilidad de las arenas limosas es independiente de su grado de saturación y no existe capilaridad.

2 m

Calizascarstificadas

Arenas limosas

Arenas limosascon bolos y gravas

z

2'5 m

Figura 2.12

Las características del terreno son:

Terreno γsat

(kN/m3)

k (m/s)

Arenas limosas Arenas limosas con bolos y

gravas

19 21

10-5 10-6


61

z

2 m

Saturado

A

B

Figura 2.13

SOLUCIÓN a) Intensidades horarias que inician el encharcamiento del campo de fútbol Por continuidad, el encharcamiento se producirá cuando la intensidad de la lluvia (caudal unitario) sea igual al máximo caudal unitario que puede infiltrarse en el terreno.

i. No están saturadas las arenas limosas superiores En esta situación se está infiltrando el agua en el terreno pero la línea de saturación está en el nivel de arenas limosas (figura 2.13). En cualquier punto de la superficie del terreno la presión del agua es nula (atmosférica), al igual que en la línea de saturación ya que en el enunciado se indica la ausencia de capilaridad.

Si se adopta el origen del eje z en la superficie del terreno y con sentido positivo hacia abajo, el potencial de un punto B cualquiera de la línea de saturación es:

BBB

BB z0zu

zh −=+−=γ

+−=ω


62

y el potencial de un punto A cualquiera de la superficie del terreno es:

000u

zh AAA =+=

γ+−=

ω

Por tanto, el gradiente queda:

1z

z

L

hhi

B

BBA ==−

=

Para este gradiente, aplicando la ley de Darcy, la intensidad pedida es:

h/mm361·m/mm1

10·h/s

13600

·s/m10i·kAQ

I3

5 ==== −

ii. Cuando se ha establecido ya el flujo hacia las calizas En esta situación, y como se indica en el enunciado que la permeabilidad de las calizas es muy elevada, las presiones del agua en este estrato serán nulas y en particular en el contacto con el nivel de arenas limosas con bolos y gravas.

Se tiene pues (figura 2.14):

000u

zh AAA =+=

γ+−=

ω

m5'40zu

zh BB

BB −=+−=γ

+−=ω

Por tanto, el gradiente es:

15'45'4

Lhh

i BA ==−=


63

B

Az

2 m

2'5 m

Figura 2.14

Se tiene ahora un flujo vertical en un medio estratificado, pudiéndose sustituir por un terreno homogéneo con una permeabilidad equivalente vertical:

s/m10·67'1

10

5'2

10

25'4

k 6

65

V−

−−

=+

=

En este caso, la intensidad pedida es:

h/mm61·m/mm1

10·h/s

13600

·s/m10·67'1i·kAQ

I3

6 ==== −

b) Con un encharcamiento de 20 cm y flujo hacia las calizas, distribuciones de

presiones totales y efectivas

m2'02'00u

zh AAA =+=

γ+−=

ω

m5'40zu

zh BB

BB −=+−=γ

+−=ω


64

A

B

0'2 m

Arenas limosas

Arenas limosascon bolos y gravas2'5 m

2 m

z

Figura 2.15

El gradiente es:

04'15'47'4

Lhh

i BA ==−=

y el caudal resultante es ahora:

2366V m/s/m10·74'104'1·10·67'1i·k

AQ −− ===

Puesto que debe verificarse que:

1'74 · 10-6 = k1 · i1 = k2 · i2 resultan los siguientes gradientes:

i1 = 0'174 (nivel de arenas limosas) i2 = 1'740 (nivel de arenas limosas con bolos y gravas)


65

z (m)

u

u, σ, σ´ (kN / m )2

σ'σ

4'5

2

0-0'2 18'5 4021'5 92'50

Figura 2.16

Siguiendo un proceso similar al del problema 2.6, se obtienen finalmente las siguientes leyes de presiones totales, intersticiales y efectivas, que han sido representadas en la figura 2.16:

0 ≤ z ≤ 2 2m/kNz·192z·1910·2'0 +=+=σ

2m/kNz·26'82u +=

2m/kNz·74'10u' =−σ=σ

2 ≤ z ≤ 4'5 2m/kN2z·2121·)2z(19·210·2'0 −=−++=σ

2m/kNz·4'73'33u −=

2m/kN3'35z·4'28u' −=−σ=σ


66

PROBLEMA 2.9 En el terreno mostrado en la figura 2.17, existe un flujo de agua vertical y ascendente. Una vez establecido el régimen estacionario y sabiendo que la presión intersticial en el punto A es uA = 26'5 kN/m2, se pide calcular: a) Caudal circulante b) Presiones efectivas en los puntos A y B Las características geotécnicas del terreno son:

Terreno

γsat (kN /m3)

k (m/s)

Arena 1 Arena 2

20 21

5·10-3

10-3

1 m

Arena 1

N.F.

1'5 m

1 m

1 mArena 2B

A

Figura 2.16

Solución: a) Q = 5·10-4 m3/s/m2

b) σ'A = 13'5 kN/m2 σ'B = 28'5 kN/m2


67

PROBLEMA 2.10 En la balsa indicada en la figura 2.18, se pide: a) Completar la red de flujo, indicándose las equipotenciales y las líneas de

corriente de contorno. b) Si la permeabilidad del terreno es k = 5 · 10-6 m/s y sabiendo que en el punto

B se ha medido una presión intersticial de 230 kN/m2, estimar las pérdidas que tendrá la balsa.

c) Si el peso específico saturado del terreno es 22 kN/m3, calcular en el punto A la presión efectiva y definir la velocidad del agua.

Nota: La resolución del ejercicio queda limitada a la utilización de los datos acotados en la figura 2.18.

11 m

A

B

NIVEL IMPERMEABLE

42 m

20 m

Figura 2.18


68

11 m

ab

0'5

A

C

B

a

b

NIVEL IMPERMEABLE

42 m

20 mz

l 1

l 2

e2

e1

Figura 2.19

SOLUCIÓN a) Red de flujo. Equipotenciales y líneas de corriente El fondo de la balsa es una superficie equipotencial. El contacto con el nivel impermeable y el eje de simetría son líneas de corriente. Para completar la red de flujo (figura 2.19), se debe comenzar prolongando la línea de corriente que pasa por el punto B hasta el fondo de la balsa, cuya intersección debe ser ortogonal ya que se trata de una superficie equipotencial. Se hace necesario a continuación trazar la línea de corriente l1 para formar los primeros cuadrados curvilíneos. La inserción de las equipotenciales e1 y e2 completan la formación de los cuadrados curvilíneos en estos dos tubos de corriente formados. Finalmente, es preciso trazar la línea de corriente l2 que delimita el tercer tubo de corriente y un cuarto y último tubo de corriente incompleto y en el que la relación b / a ≈ 0'5. En total, resultan 3'5 tubos de corriente. La condición de perpendicularidad entre líneas de corriente y equipotenciales es muy restrictiva limitando mucho el trazado.


69

b) Pérdidas de la balsa Si se adopta el origen del eje z en el fondo de la balsa y el sentido positivo hacia abajo (figura 2.19), la pérdida de carga entre el punto C y el punto B situado en el fondo de la balsa es:

m8)2311(20)uu(

)zz(h BCCB =−+=

γ−

+−=∆ω

ya que la presión intersticial en B es 230 KN/m2. Esta pérdida de carga es la que existe entre la primera y la segunda equipotencial, por lo que el caudal que se infiltra vale: m/s/m10·4'18·5'3·10·5h·N·kQ 346

t−− ==∆=

Y puesto que hay simetría se debe adoptar un caudal doble: m/s/m10·8'2Q 34−=

c) Presión efectiva y velocidad del agua en el punto A La tensión total en el punto A es : 2

satA m/kN103410·1122·42·11·42 =+=γ+γ=σ ω A y B están en la misma equipotencial, luego:

BB

AA z

uz

u−

γ=−

γ ωω


70

de donde:

2A

A m/kN450u230

)2042(u

=→γ

+−=γ ωω

Y por tanto:

2A m/kN5844501034' =−=σ

El vector velocidad en el punto A se define con su módulo, dirección y sentido. Puesto que el punto A pertenece al eje de simetría y éste a su vez es una línea de corriente (figura 2.19), la dirección y sentido de la velocidad en este punto son vertical y hacia abajo, respectivamente. Si la tensión efectiva en A es: 2

A m/kN584' =σ y sabiendo que: 2

A m/kN584z··iz·'' =γ+γ=σ ω entonces el gradiente en el punto A es:

19'042·10

42·12584i =−=

Finalmente, aplicando la ley de Darcy, el módulo del vector velocidad es: s/m10·5'919'0·10·5i·kv 76 −− ===


71

PROBLEMA 2.11 En la pantalla de la figura 2.10 se conoce la solución de equipotenciales indicada. Si el coeficiente de permeabilidad del terreno es igual a 5 · 10-6 m/s, se pide: a) Dibujar la red de corriente. b) Calcular el caudal infiltrado. c) Presión intersticial media en el pie de la pantalla.

TERRENO IMPERMEABLE

15 m 3 m 6 m 15 m1

+30

+20+21

+11

+5TE

RRENO IM

PERMEA

BLE

Figura 2.20 Solución: a) Se forman 5'5 tubos de corriente (nt = 5'5, ne =18, ∆h = 0'5 m)

b) 1'37 · 10-5 m3/s/m c) 142'5 kN/m2


72

PROBLEMA 2.12 En el terreno que se muestra en la figura 2.21 se pretende realizar una excavación al abrigo de pantallas apoyadas en el nivel de gravas. El nivel freático se encuentra en la superficie del terreno. Sabiendo que el nivel piezométrico en las gravas coincide con el nivel freático y suponiendo que ambos permanecen constantes durante la excavación, se pide: a) Calcular la profundidad máxima de excavación d que se puede

alcanzar si en todo momento se mantiene con bombeo el nivel de agua en el fondo de la excavación.

b) Para una profundidad d = 5 m, determinar el tiempo que tardaría el agua en alcanzar una altura de 4'5 m en la excavación si se deja de bombear.

10 m

Gravas

Arenas limosas

d

N.F.

Figura 2.21


Terreno γsat

(kN/m3)

k (m/s)

Arenas limosas

21

2·10-4


73

SOLUCIÓN a) Profundidad máxima de excavación d Puesto que el nivel piezométrico en las gravas coincide con el nivel freático y ambos permanecen invariables durante la excavación, los potenciales de los puntos A, C y D serán iguales (figura 2.22). No se producirá flujo alguno en el exterior de la excavación. Por debajo de la excavación, las condiciones son diferentes. Tomando el plano de referencia arbitrario para las alturas geométricas en el contacto entre las gravas y arenas, el potencial del punto A es:

m10100hzu

h CAw

AA =+==+

γ=

Cuando la profundidad de la excavación sea d, el potencial de un punto cualquiera punto B situado en el fondo de la excavación será:

m)d10()d10(0zu

h Bw

BB −=−+=+

γ=

En consecuencia, si d > 0 existirá una diferencia de carga hidráulica entre el nivel de gravas y el fondo de la excavación igual a:

d)d10(10hhH BA =−−=−=∆ produciéndose un flujo vertical y ascendente en las arenas limosas, pudiéndose originar el fenómeno de inestabilidad hidráulica conocido como “sifonamiento” El coeficiente de seguridad frente al sifonamiento se define como:

e

c

i

iF =


74

d

10 m

N.F.

A

B

z

D

C

Sección A

Arenaslimosas

Gravas

Figura 2.22

siendo ic el gradiente crítico que se obtiene como:

1'11011

iw

c ==γγ′

=

El gradiente existente en las arenas limosas para una profundidad de excavación d es:

d10d

lH

ie −=∆=

y por lo tanto,

d10d1'1

F

−

=

Teóricamente, la inestabilidad se alcanza para un valor del coeficiente de seguridad igual a la unidad. Según la expresión anterior, ello se produce para: m24'5d =


75

b) Para d = 5 m, tiempo que tardaría el agua en alcanzar una altura de 4'5 m en la excavación si se deja de bombear

Si se deja de bombear, el nivel del agua en la excavación subirá y consecuentemente el gradiente variará con el tiempo. Sea x el nivel de agua existente en la excavación en el instante t (figura 2.23). En este momento, el gradiente es:

5x5

lH

i−=∆=

y aplicando la ley de Darcy, el caudal que se infiltra es:

5x5

AkiAkQ−⋅⋅=⋅⋅=

siendo A la sección de la excavación. En el instante t + dt, la altura de agua en la excavación será x + dx, y en el espacio de tiempo dt el volumen de agua que ha entrado en la excavación (figura 2.23) es:

dxAdV ⋅= (1) Por continuidad, este volumen deberá ser igual al volumen infiltrado:

dt5

x5AkdtQdV ⋅−⋅⋅=⋅= (2)

Igualando (1) y (2) se llega a la siguiente ecuación diferencial:

dt5k

x5dx ⋅=−


76

5 m

N.F.

A

x

dx

5 m

Figura 2.23

cuya integración es inmediata:

∫∫ =

=

=⋅=

−

t

0t

5'4x

0xdt

5k

x5dx

Para la permeabilidad de las arenas limosas dada en el enunciado, se obtiene: h16s565.57t ==


77

PROBLEMA 2.13 En el terreno indicado en la figura 2.24, se quiere realizar una excavación al abrigo de unas pantallas que alcancen el nivel inferior de gravas. Suponiendo que la presión intersticial en el plano AB es constante e igual a 150 kN / m2, se pide: a) Máxima profundidad de excavación que puede realizarse con un coeficiente

de seguridad de 3 frente al sifonamiento. b) Para la situación anterior, calcúlese la distribución de presiones intersticiales

en el intradós de la pantalla.

15 m

Gravas

5 mA B

Arenas limosas

Arenas finas

Figura 2.24


Terreno γsat

(kN/m3)

k (m/s)

Arenas limosas Arenas finas

21'5 21'0

2·10-6

4·10-5


78

5 m Arenas finas

Gravas

Arenas limosas

15 - H

H

i

i

z

C

A

k1

2

1

2k

Figura 2.25

SOLUCIÓN

a) Máxima profundidad de excavación

Para verificar la seguridad frente al sifonamiento es necesario calcular los gradientes existentes. En el problema propuesto, se tiene un flujo vertical y hacia arriba desde el nivel de gravas hasta el fondo de la excavación, a través de un medio estratificado, circulando el agua con un gradiente i1 en las áreas limosas y con un gradiente i2 en las arenas finas (figura 2.25). El medio estratificado puede sustituirse por un medio homogéneo de permeabilidad equivalente kv. Además, si Q es el caudal que circula por un tubo vertical de sección unidad e i es el gradiente existente entre el techo de las gravas y el fondo de la excavación, debe cumplirse que: 2211v i·ki·ki·kQ ===


79

es decir:

1

v1 k

i·ki = (1)

2

v2 k

i·ki =

Si la profundidad de excavación es H, la permeabilidad equivalente es:

s/m10·

45'0

2H15

H20

10·4

5

10·2

H155H15

k 6

56

v−

−−+−

−=+−

+−= (2)

y el gradiente existente entre el techo de las gravas y el fondo de la excavación es:

H205H

i−−= (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1), y despejando i1 se obtiene:

H25'155H

i1 −−=

Para que el coeficiente de seguridad frente al sifonamiento en el nivel de arenas limosas sea igual a 3, se requiere que:

H25'155H

15'1i

i3F

1

crít

−−===

de donde resulta una altura de excavación:

m84'7H =


80

resultando para esta altura los siguientes gradientes:

383'0i1 =

019'0i2 = Nótese que el sifonamiento del paquete inferior de arenas finas implica el sifonamiento del paquete superior de arenas limosas. En efecto, puesto que la sección es constante el caudal también lo es, y ello implica que las leyes de presiones efectivas son lineales. Si se produjese el sifonamiento de las arenas finas, ello supondría que las presiones efectivas en todo este paquete son nulas, y en particular, sería nula en el contacto entre las arenas finas y las arenas limosas. Como en el fondo de la excavación la presión efectiva es nula, siendo las leyes lineales, se tendría que las presiones efectivas serían también nulas en las arenas limosas, es decir, se produciría el sifonamiento. b) Presiones intersticiales en el trasdós

Para el cálculo de las presiones intersticiales en el intradós de la pantalla, se adopta el origen del eje z en el fondo de la excavación y se toma el sentido positivo hacia abajo (figura 2.25). El potencial en un punto debe escribirse como:

zu

h −γ

=ω

El potencial es nulo en cualquier punto del fondo de la excavación.

0 ≤ z ≤ 7'16 Si A es un punto situado en el fondo de la excavación, el potencial de un punto situado a una profundidad z será:

z·383'0z·i0hhzu

h 1A =+=∆+=−γ

=ω


81

y en consecuencia:

2m/kNz·83'13u = Si C es un punto situado en el plano de contacto entre las arenas limosas y las arenas finas, z = 7'16 m, y su potencial vale 2'742 m.

7'16 ≤ z ≤ 12'16 En este tramo puede escribirse:

)16'7z(·019'0742'2)16'7z(·i742'2hhzu

h 2C −+=−+=∆+=−γ

=ω

y en consecuencia: 2m/kN06'26z·19'10u +=

Nótese que para z = 12'16 resulta una presión intersticial igual a 150 kN/m2, que es uno de los datos del problema.


82

PROBLEMA 2.14 En el tablestacado indicado en la figura 2.26, calcular: a) Empotramiento s necesario para tener un coeficiente de seguridad de 3 frente

al sifonamiento, sabiendo que la diferencia de potencial hidráulico entre el pie del tablestacado y el fondo de la excavación (puntos A y B) viene dado por la expresión:

∆π

π∆

Hs

arctg·H

siendo ∆H la pérdida de carga total. b) Distribuciones de presiones efectivas verticales en el tablestacado admitiendo

gradientes constantes en el trasdós y en el intradós, y flujos verticales.

El peso específico de las arenas es γsat = 21 kN/m3. Adóptese γω = 10 kN/m3.

1'5 m

Arenas B

6 m

s

A

Figura 2.26


83

SOLUCIÓN a)

∆H = 7'5 m Si ic es el gradiente crítico e im el gradiente medio entre los puntos A y B, la seguridad frente al sifonamiento se expresa:

m5'8s

sHs

arctg·H

1'1i

i3F

m

c =→

∆π

π∆

===

b) Se han representado en la figura 2.27. Se recomienda calcular la presión intersticial en el punto A. Siendo flujos verticales, las distribuciones de presiones intersticiales son lineales.

8'5 m

15

( Presiones kN / m )2

B

A

6 m

1'5 m

203'5 116 116 62'5

319'5 178'5

σ' σuu '

σu

Figura 2.27


84

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Capítulo 2 - cimentajon.files.wordpress.com · c) Gradiente máximo y coeficiente de seguridad frente al sifonamiento Cuando se viaja a lo largo de una línea de corriente, pasando