Capitulo 2 - Densidad espectral y correlación

1

Comunicaciones Analógicas

Densidad espectral y correlación

2

Densidad espectral de energía

• Teorema de Parseval => relación entre f (t) y F(ω), energía de una señal.

∫∫∞

−∞=

∞

−∞===

ωωω

πdFdttfE

t

22 )(21)(

• |F(ω)|2 => densidad espectral de energía, permite calcular la energía en una banda de frecuencias

• F(-ω)=F(ω)* => |F(-ω)|2= |F(ω)|2 => |F(ω)|2 es par

3

• Atenuación de la energía de una señal al pasar por un sistema


222 )()()()()()( ωωωωωω HFYHFY =⇒=

∫∞

−∞==

ωωωω

πdFHEY

22 )()(21

• Energía en la salida:

h(t))(tf )(ty

4


• Si el filtro es un pasabandas estrecho:

2/0 ωω Δ±2/0 ωω Δ±−

)(ωH

2 21 ( ) ( )2YE H F d

ωω ω ω

π∞

=−∞= ∫

1

0 0

0 0

/ 2 / 22 2

/ 2 / 2

1 1( ) ( )2 2YE F d F d

ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ωω ω ω ω

π π− +Δ +Δ

=− −Δ = −Δ= +∫ ∫

5


• Si el filtro es un pasabandas estrecho:

2/0 ωω Δ±2/0 ωω Δ±−

)(ωH

∫Δ+

Δ−==

2/

2/

20

0

)(1 ωω

ωωωωω

πdFEY

1

6

• Si Δω pequeño:∫

Δ+

Δ−==

2/

2/

20

0

)(1 ωω

ωωωωω

πdFEY

ωωπ

Δ= 20 )(1 FEY


• Densidad espectral de energía: se grafica usando un banco de filtros pasabanda

7


)(tf

Pasabanda #1 Medidor de energía



Pasabanda #N Medidor de energía•••

•••

21)(ωF

22 )(ωF

23 )(ωF

2)( NF ω

8

2)(ωF


9

• Ej: Una señal f(t) se aplica a un filtro pasabajosideal, de ganancia de 1 y ancho de banda 5 [rad/s]. Determinar la energía de la señal a la entrada y a la salida.


5( ) ( )tf t e u t−= ( )H ω

10


5( ) ( )tf t e u t−= 5

0

1( )5

t j t

tF e dt

jωω

ω∞ − −

=⇒ = =

+∫2

2

1( ) ( ) * ( ) ( ) ( )25

F F F F Fω ω ω ω ωω

⇒ = = − =+

2 1 [ 5,5]( )

0 otro casoH

ωω

∈ −⎧⇒ = ⎨

⎩

( )H ω

11


2)(ωF 2)(ωY2)(ωH

251)( 2

2

+=

ωωF 2 1 [ 5,5]

( )0 otro caso

Hω

ω∈ −⎧

= ⎨⎩

12


( )25 5

0

1( ) ( )10

t tF t

f t e u t E e dt∞− −

== ⇒ = =∫

Energía de la señal de entrada

13


5 120

1 1 1 1 1 1tan (1) 0.0525 5 5 4 20YE d

ω

πωπ ω π π

−

== = = = =

+∫

Energía de la señal de salida

2 22

1 [ 5,5]1( ) , ( )025

F Hfuera

ωω ω

ω∈ −⎧

= = ⎨+ ⎩

25 2

0

1 ( ) ( )YE F H dω

ω ω ωπ =

= ∫

14

Densidad espectral de potencia

• No todas las señales tienen energía finita• Algunas de ellas tienen potencia media finita =>

señales de potencia

)()(1lim 22/

2/

2 tfdttfT

PT

Tt== ∫−∞→

• Se puede definir una densidad espectral de potencia:

∫∞

∞−= ωω

πdSP f )(

21

15

• Cálculo de Sf: Supongamos que se tiene una señal f(t), y cortamos un trozo


2T

−2T

)(tf )(tfT

16

2T

−2T

)(tfT


/2 2 2/2

1( ) ( )2T

Tf TT

E f t dt F dω ωπ

∞

− −∞= =∫ ∫

/2 2 2/2

1 1 1( ) ( )2T

Tf TT

P f t dt F dT T

ω ωπ

∞

− −∞= =∫ ∫

)(tf

17


∫∫∞

∞−∞→−∞→== ωω

πdF

Tdttf

TP TT

T

TT

22/

2/

2 )(121lim)(1lim

∫∫∞

∞−∞→

∞

∞−==⇒ ωω

πωω

πdF

TdSP TTf

2)(121lim)(

21

2T

−2T

)(tfT)(tf

18


∫∫∞

∞− ∞→

∞

∞− ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==⇒ ω

ωπ

ωωπ

dT

FdSP T

Tf

2)(lim

21)(

21

∫∫ ∞− ∞→∞−−∞ ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛==⇒ 00

0

2

],[

)(lim

21)(

21 ωω

ω ωω

πωω

πd

TF

dSP T

Tf

19


TF

S T

Tf

2)(lim)(

ωω

∞→=

= Espectro de potencia de f(t)Se puede estimar usando T grande

20

• Si se usa un trozo de largo T para aproximar Sf => la resolución en frecuencia es del orden de 1/T

• Se requieren T grandes para buena resolución de Sf.


2T

−2T

)(tfT

)2/()()()/()()(

TSaTFFTtrecttftf

T

T

ωωω ∗= =

Filtro pasabajos, baja la resolución en frecuencia.El espectro se “aplana” y pierde detalles

21

• Ej: Cálculo de Sf para señal periódica


La transformada de Fourier es:

( ) ojn tn

nf t F e ω

∞

=−∞

= ∑

( )0( ) 2 nn

F F nω π δ ω ω∞

=−∞

= −∑

22

Para obtener ft(t) se multiplica f(t) por una función pulso


Recordar que en freq. es una convolución:

( ) ( ) ( )T Tf t G t f t=

1( ) ( )2 2T

TF T Sa Fωω ωπ

⎛ ⎞= ⋅ ∗⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )TG tℑ

23


1( ) ( )2 2T

TF T Sa Fωω ωπ

⎛ ⎞= ⋅ ∗⎜ ⎟⎝ ⎠

( )01( ) 2

2 2T nn

TF T Sa F nωω π δ ω ωπ

∞

=−∞

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ∗ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ( )02 nn

TT Sa F nω δ ω ω∞

=−∞

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ ∗ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

( )02nn

TT F Sa nω δ ω ω∞

=−∞

⎛ ⎞= ⋅ ∗ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

( )0

2nn

n TT F Sa

ω ω∞

=−∞

⎛ − ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

24


( )2 02lim 2nT n

n TT F Sa

ω ω∞

→∞=−∞

⎛ − ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

Por lo tanto se tiene:

2( )( ) lim T

f T

FS

Tω

ω→∞

=

( )20( ) 2f n

nS F nω π δ ω ω

∞

=−∞

= −∑

25

• Ej: Hallar la Sf y la potencia promedio para un coseno:


)cos()( 0 θω += tAtf

Solución: descomponiéndolo en exponenciales:

0 0( )2 2

j t j tj jA Af t e e e eω ωθ θ −−= +

1 1, , 0 para otro n2 2

j jn

A AF e F e Fθ θ−−= = =

26


2 2

0 02 ( ) 2 ( )4 4fA AS π δ ω ω π δ ω ω= − + +

( )20( ) 2f n

nS F nω π δ ω ω

∞

=−∞

= −∑

22

1 1 1 2 2 4j jA A AF F F e eθ θ∗ −⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠2

21 1 1 2 2 4

j jA A AF F F e eθ θ∗ −− − −

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

( )20 0

1 ( ) ( )2fS Aπ δ ω ω δ ω ω= − + +

27


( )2 20 0

1 1( ) ( ) ( )2 2

f t A dπ δ ω ω δ ω ω ωπ

∞

−∞= − + +∫

Finalmente, se tiene la potencia promedio

2 2 2 21 1 1( )4 4 2

f t A A A= + =

1 ( )2 fP S dω ωπ

∞

−∞= ∫

28

• Ej 2: Encontrar, para T finito e infinito, la expresión para la densidad espectral de potencia de:


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=TtrectAetf tj 0)( ω

29


Solución:

( )2

t TF A rect A T SaT

ωω ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ℑ = ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

0 0( )( )2

j tt TF A rect e A T SaT

ω ω ωω ⎧ ⎫ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ℑ = ⋅ ⋅⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

22 2 0( ) ( )

2F TA T Sa

Tω ω ω−⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

30

• La densidad espectral de potencia es:

Funciones de correlación

2)(1lim)( ωω TTf FT

S∞→

=

• Se desea encontrar su representación en el tiempo:

∫∞

∞− ∞→

− ==ℑ ωωπ

τω ωτ deFT

RS jTTff

21 )(1lim21)()}({

∫∞

∞−∞→= ωωω

πτ ωτ deFF

TR j

TTTf )()(*211lim)(

31


( )( )1 2

1 1

/ 2 / 2

1 1 2 2/ 2 / 2

1 1( ) lim *( ) ( )2

T Tj t j t jf t T t TT

R f t e dt f t e dt e dT

ω ω ωτ

ωτ ω

π∞ −

=−∞ =− =−→∞= ∫ ∫ ∫

1 2

1 2

/ 2 / 2 ( )1 2 2 1/ 2 / 2

1 1( ) lim * ( ) ( )2

T T j t tf t T t TT

R f t f t e d dt dtT

ω τ

ωτ ω

π∞ − +

=− =− =−∞→∞= ∫ ∫ ∫

1 2

/ 2 / 2

1 2 1 2 2 1/ 2 / 2

1( ) lim *( ) ( ) ( )T T

f t T t TTR f t f t t t dt dt

Tτ δ τ

=− =−→∞= − + ∫ ∫

32


1

/ 2

1 1 1/ 2

1( ) lim *( ) ( )T

f t TTR f t f t dt

Tτ τ

=−→∞= +∫

ττ +=⇒=+− 1221 0 tttt

/ 2

/ 2

1( ) lim *( ) ( )T

f TTR f t f t dt

Tτ τ

−→∞⇒ = +∫

1 2

/ 2 / 2

1 2 1 2 2 1/ 2 / 2

1( ) lim *( ) ( ) ( )T T

f t T t TTR f t f t t t dt dt

Tτ δ τ

=− =−→∞= − + ∫ ∫

33

• Función de autocorrelación de f:


)()}({,)()(*1lim)(2/

2/ωτττ ff

T

TTf SRdttftfT

R =ℑ += ∫−∞→

• Nueva forma de calcular Sf.• La autocorrelación también equivale a la

convolución de f(t) con f(-t) para señales reales.

34


• En promedio, el signo de f(t) es igual al signo de f(t+ Δt) para Δt pequeño (por continuidad por tramos de la función), pero puede ser distinto para Δt grande

)(tf0t

10 tt Δ+

20 tt Δ+

)()(*)( ττ += tftfRf

35


)(tf0t

10 tt Δ+

20 tt Δ+

)()(*)( ττ += tftfRf

En promedio, f(t) y f(t+t0) tienen el mismo signo

⇒> 0)( 0τfR

⇒< 0)( 1τfR En promedio, f(t) y f(t+t1) tienen signo opuesto

Correlación: entre f(t) y f(t+τ)Para f(·) real

36

• Ej: Encontrar la autocorrelación para:


)cos(2)( 00 θω += ttf

/ 2

0 0 0/ 2

1( ) lim 2cos( )cos( )T

f TTR t t dt

Tτ ω θ ω ω τ θ

−→∞= + + +∫

Notar que se pierde la información de la fase

/ 2 / 2

0 0 0/ 2 / 2

1 1( ) lim cos( ) lim cos(2 2 )T T

f T TT TR dt t dt

T Tτ ω τ ω ω τ θ

− −→∞ →∞= + + +∫ ∫

( )0( ) cosfR τ ω τ=

37

• En general, los ruidos n(t) cambian de signo rápidamente con el tiempo

=> Rn(τ) es positiva para τ muy pequeño

• Tiene un “peak” grande en t=0 => permite separar la señal del ruido


38

• Ejemplo: Una señal de onda periódica cuadrada con ruido aleatorio.


39


40


Aunque el ruido sea tal que no permita distinguir la señal, al usar la correlación se puede “ver”.

41

• Para separar (y no sólo distinguir) la señal del ruido se debe definir otro promedio para señales: la correlación cruzada.

∫−∞→+=

2/

2/)()(*1lim)(

T

TTfg dttgtfT

R ττ

( )( )

)()(

)()()()()()()()(

)()()()(

2112

21

τ

ττττ

ττ

+=

+++++++=

=++++

tsts

tntntstntntststs

tntstnts

si s, n1, n2 no correlacionados (generados por fuentes independientes)


42

• Veamos el caso de una señal con ruido aditivo:

( )( )1 2 ( ) ( ) ( ) ( )s t n t s t n tτ τ= + + + +

si s, n1, n2 no correlacionados (generados por fuentes independientes)


( ) ( ) ( )f t s t n t= +

Analicemos*( ) ( ) ( )fR f t f tτ τ= +

2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t s t s t n t n t s t n t n tτ τ τ τ= + + + + + + +

( ) ( )s t s t τ= +

43

• Simetría:

)(*)(

)()'(*1lim)(

)()(*1lim)(

2/

2/

2/

2/

ττ

ττ

ττ

ff

T

TTf

T

TTf

RR

dttftfT

R

dttftfT

R

=−

+=−

−=−

∫

∫

−∞→

−∞→

• Parte real par, imaginaria impar


44

• Valor cuadrático medio:

PtfdttftfT

R

dttftfT

R

T

TTf

T

TTf

===

+=

∫

∫

−∞→

−∞→

)()()(*1lim)0(

)()(*1lim)(

22/

2/

2/

2/ττ

• Periodicidad:

)()()()( tRTtRtfTtf ff =+⇒=+


45

• Valor promedio: Sean f(t), g(t) dos señales. Sea f(t)=x(t)+m1, g(t)=y(t)+m2; x(t), y(t) con media cero.

/ 2

1 2/ 2

1( ) lim [ ( ) ]* [ ( ) ]T

fg TTR x t m y t m dt

Tτ τ

−→∞= + + +∫


/ 2

1 2/ 2

1( ) lim *( ) ( )T

fg TTR x t y t dt m m

Tτ τ

−→∞= + +∫

'/ 2 / 2

1 2'/ 2 / 2'

1 1( ) lim lim * ( ) ( )'

T T

fg T t TT TR x t y t dt d m m

T Tττ τ τ

=− =−→∞ →∞= + +∫ ∫

46

21

21

2/

2/

2/'

2/''

21

2/

2/

2/'

2/''

)(

)('

1lim)(*1lim)(

)()(*1lim'

1lim)(

mmR

mmdtdtyT

txT

R

mmddttytxTT

R

fg

T

Tt

T

TTTfg

T

TtT

T

TTfg

=

+ +=

+ +=

∫ ∫

∫∫

−= −=∞→∞→

−=∞→−=∞→

τ

τττ

τττ

τ

τ

• El valor medio de la correlación cruzada de f(t) y g(t) es el producto de sus valores medios.

• =>El valor medio de la autocorrelación de f(t) es el cuadrado de su valor medio.


47

• Valor máximo: es el máximo de )0(fR )(τfR

• Idea: desigualdad de Schwarz

22222

iiii babababa ΣΣ≤Σ⇒≤•

)0()0()(

)(*1lim)(1lim)()(*1lim

2

2/

2/

22/

2/

22

2/

2/

fff

T

TT

T

TT

T

TT

RRR

dttfT

dttfT

dttftfT

≤

+≤+ ∫∫∫ −∞→−∞→−∞→

τ

ττ


48

• Aditividad:

( )( )( ) * ( ) * ( ) ( ) ( )x yR x t y t x t y tτ τ τ+ = + + + +

• Si x e y no correlacionadas entre si:

)()()( τττ yxyx RRR +=+


( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( )x yR x t x t x t y t y t x t y t y tτ τ τ τ τ+ = + + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x xy yx yR R R R Rτ τ τ τ τ+ = + + +

49

Correlación para señales de energía finita

• Extensión para señales de energía finita

∫∫∞

∞−

∞

∞−+= += dttgtfrdttftfr fgf )()(*)(,)()(*)( ττττ

• Para señales reales, se parece a la convolución con una de las funciones “dada vuelta” horizontalmente:

( ) ∫∞

∞−−=∗ dttgtfgf )()()( ττ

50

• La transformada de Fourier de la correlación para energía finita da.

Correlación para señales de energía finita

2)()}({

)()(*)}({

)()(*)}({

)()(*)}({

ωτ

ωτ

τττ

τττ

ω

ωτ

τ

ωτ

τ

Fr

dteFtfr

dtdetftfr

dedttftfr

f

tj

tf

j

tf

j

tf

=ℑ

=ℑ

+=ℑ

+=ℑ

∫∫ ∫

∫∫

∞

−∞=

−∞

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

∞

−∞=

51

Ruido promediado en el tiempo

• Ruidos: poco predecibles, contaminan la señal, fluctuaciones erráticas

• Se pueden describir de forma estadística, pero no analítica.

52


• Algunos promedios para ruidos de potencia:

∫−∞→=

2/

2/)(1lim)(

T

TTdttn

Ttn

∫−∞→=

2/

2/

22 )(1lim)(T

TTdttn

Ttn

/ 2 22

/ 2

1( ) lim ( )T

TTn t n t dt

T −→∞= ∫

( ) ( ) ( )t n t n tσ = −

- Valor medio:

-Valor cuadrático medio:

-Raíz cuadrática media (rms):

-Componente alterna (ca):(no es un promedio)

53


• Notar que los promedios (que tienen la barra arriba) son constantes y no funciones de t

)(tn )(tσ

54


/ 2 22

/ 2

1( ) lim ( )T

Ttn t n t dt

T −→∞= ∫

2/ 22

/ 2

1( ) lim ( ) ( )T

Ttn t n t t dt

Tσ

−→∞= +∫

2/ 2 / 2 / 2 22

/ 2 / 2 / 2

1 1 1( ) lim ( ) 2lim ( ) ( ) lim ( )T T T

T T Tt t tn t n t dt n t t dt t dt

T T Tσ σ

− − −→∞ →∞ →∞= + +∫ ∫ ∫

22 2( ) ( ) ( )n t n t tσ= +

55

• Ejemplo: Calcular el valor medio, la potencia de ca y el valor rms para:


)cos(1)( 0ttv ω+=

56

Solución


)cos(1)( 0ttv ω+=

( )/ 2

0 0/ 2

1( ) 1 cos( ) 1 cos( ) 1T

Tv t t t dt

Tω ω

−= + = + =∫

/ 22 20/ 2

1 1( ) cos ( )2

T

Tt t dt

Tσ ω

−= =∫

22 2 3( ) ( ) ( )2

v t v t tσ= + =

2 3( )2RMSv v t= =

57

• Razón señal a ruido:


)(/)( 2 tntsNS 2=

• En decibeles:

( )210log ( ) / ( ) [ ]S s t n t dBN

2=

Potencia de la señal limpia

58

Ruido blanco de banda limitada

• Ruido blanco ideal(RB): su espectro de potencia contiene todas las frecuencias.

cteSn ==2

)( ηω

• No se puede generar físicamente (voltaje, corriente, etc) ya que:

∞== ∫∞

∞−ωω

πdSP n )(

21

• => ¡tiene potencia media infinita!

59

• Además, su correlación es:


)(22

)( 1 τδηητ =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ℑ= −

nR

• Recordar que, en promedio, f(t) y f(t+Dt) tienen el mismo signo si f es continua por tramos.

• En el caso de ruido blanco caso, Rn(t)=0 para todo t>0

τ

60


⇒¡El ruido blanco varía infinitamente rápido! (es discontinuo en todo punto del eje real), “nube” de puntos, no es realizable ni siquiera usando un computador.

• Utilidad del ruido blanco ideal: Cualquier señal de potencia (ruido) se puede modelar como ruido blanco filtrado.

61

• Si se desea un ruido f(t) con un espectro de potencia Sf(ω), se puede obtener filtrando ruido blanco, el filtro debe tener el espectro deseado:


)()()( thtntf ∗=

• Se puede usar este método con una aproximación al ruido blanco ideal.

2)(2

)( ωηω HS f =⇒

62

• Ruido blanco de banda limitada(RBBL): Tiene un espectro constante, pero con un ancho de banda B finito (pero grande)


BdPB

Bn ηωηπ

π

π== ∫−

2

2 221

• Su valor cuadrático medio (potencia) es:

• Usualmente se crea usando un generador de números aleatorios, o bien mediante ruido térmico

63


τ

Correlación de n(k) )(2

)( τδητ =nRn(k)=nº al azar en [-2,2]

Se “parecen”

RBBL RBidealRBBL

Corrrbbl.txt

64

• También se puede usar para generar ruidos con un espectro de potencia arbitrario simplemente filtrándolo:


)()()( thtntf ∗=2)(

2)( ωηω HS f =⇒

• Condición: el ancho de banda del RBBL debe ser mayor que el ancho de banda del filtro => el filtro lo “ve” como ruido blanco ideal.

65

• Otro posible uso del RBBL es identificar respuestas en frecuencia de filtros. Si H(w) es desconocido:


)()()( thtntf ∗=

)()( ωω fSH =)(2)( 2 ω

ηω fSH =⇒

• Es decir, la respuesta en frecuencia del filtro se puede identificar analizando la señal de salida.

66

• Al pasar ruido blanco por un sistema lineal, la potencia de salida es:


∫

∫∞

∞−

∞

∞−

=

=

ωωπη

ωωηπ

dHtn

dHtn

O

O

22

22

)()(

)(22

1)(

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Capitulo 2 - Densidad espectral y correlación