Capitulo 2 Sistemas Dinamicos

Capítulo 2

Sistemas Mecánicos I

2.1 Elementos mecánicos de parámetros

concentrados

2.2 Sistemas mecánicos básicos

Inercia

Rigidez

Amortiguamiento

Fuerza

Segunda ley de movimiento de Newton

Respuesta libre

Respuesta forzada con Simulink

1

Elementos Mecánicos de Parámetros Concentrados: inercia

Masa, m Momento de Inercia Mecánico, J

Teorema del eje paralelo

2

m

J r dm

2J J md

2

21 ( ) 1

2 2

dx tT m mx

dt

2

21 ( ) 1

2 2

d tT J J

dt

Energía Cinética

Traslación Rotación

2

2

( )( )i

d x tf t m mx

dt

2

2

θ( )( ) θi

d tm t J J

dt

Fuerza Inercial Momento (torque) inercial

Unidades SI: kg-m2

Unidades SI: kg

Ejemplo

Cilindro

2 2

0

ρ ρh

V A

J r dV r dA dx

4 3 2 2 3 4

1 1 2 1 1 1 2 2

πρ

10

hJ R R R R R R R R 21

2J mR

2πdA rdr

3 4

0 0 0

22

xRh h

xJ r dr dx R dx

2 11x

R RR R x

h

1 2R R R

Ejemplo 2.1

Elementos Mecánicos de Parámetros Concentrados: inercia

2

m

J r dm

Ver MATLAB Ejemplo 2.1

../../MATLAB/Ejemplo 2-1.m

Rigidez (constante del resorte)4

364t

Gdk

nR

Energía potencial Elástica


Fuerza elástica Torque (momento) elástico

c c

Resorte helicoidal

1 2( ) ( ) ( ) ( )e t tf t k x t k x t x t 1 2( ) ( ) ( ) ( )e r rm t k t k t t

21

( )2

e tU k x t 21

( )2

e rU k t

42

64r

E G dk

nR

Unidades SI: N-mUnidades SI: N/m

Elementos Mecánicos de Parámetros Concentrados: resorte

G: módulo elasticidad transversal (shear modulus)

d: diámetro del alambre

n: número de vueltas

R: radio

E: módulo de Young (de elasticidad)

Serie Paralelo

Conexiones de resortes traslacionales

1 2f f f

1 2pk k k

1 2x x x

1 2f f f

1 2x x x

1 2

1 1 1

sk k k

Rigidez equivalente

Principios


6

Ejemplo 2.2


Rigidez equivalente

Aplicamos la misma fuerza:

Candidatos:

Rigidez individual:

Elementos mecánicos de parámetros concentrados

7

Amortiguadores

• Amortiguación: pérdida de energía

• Mecanismos de amortiguación:

• Viscoso

• De fricción


8

Amortiguadores

• Amortiguamiento Viscoso:

• Fuerzas o torques son proporcionales a la velocidad relativa

entre un cuerpo en movimiento y el fluido que lo envuelve.

• Traslacional:

• Rotacional:

Coeficiente de amortiguación viscoso

Fuerza de amortiguación:

Torque de amortiguación:


9

Amortiguadores

• Coeficiente de amortiguación viscoso (c):

c = función de parámetros geométricos y de

materiales

• Ley de Flujo Viscoso de Newton:

Tensión de Corte:

Coeficiente de viscosidad dinámico Gradiente de la velocidad relativa entre la

superficie móvil y la fija

• Fuerza de amortiguación:


10

Ejemplo 2.3

Amortiguadores


11

Ejemplo 2.3

Velocidad del fluido a una distancia z de la superficie fija:

Entonces:

La fuerza de amortiguación (arrastre) es:

Pero:

Entonces:

Amortiguadores

g

v

dz

zdv

)(

Coeficiente de Amortiguación

2 42

16i i

t

o i

Dl Dc R

D D

Energía Disipada

(perdida)

Fuerza de amortiguación Torque de amortiguación

Amortiguadores de Pistón

1 2( ) ( ) ( ) ( )d t tf t c x t c x t x t 1 2( ) ( ) ( ) ( )d r rm t c t c t t

2

( )d tU c x t dt 2

( )d rU c t dt

3

2

ir

o i

D lc

D D


12


Di: diámetro del pistón

l: longitud del pistón

Do: diámetro del cilindro

ρ: densidad del fluido

μ: coeficiente de viscosidad dinámica

R: resistancia del fluido

Serie Paralelo

Principios

Conexiones de amortiguadores

1 2f f f

1 2pc c c

1 2x x x

1 2f f f

1 2x x x

1 2

1 1 1

sc c c

Coeficiente de

amortiguación

equivalente

x1

c1f

c2

x2x

c1

f

c2

13



14

Amortiguación de Coulomb (o de fricción seca)

Ocurre en la

interface entre dos

cuerpos en

movimiento relativo

y en contacto

Fuerza de fricción:

Energía disipada:

coeficiente de

fricción

cinemática

fuerza normal


15

Actuación (función de fuerza)

Inercia

Resorte

Amortiguador

Actuación o fuerza

sistema mecánico

(fuerzas o torques)

f genera desplazamiento xm causa una rotación θ

Sistemas mecánicos: Segunda ley de Newton

Equación para sistemas de un DOF

LibreNo amortiguada

1

n

i

i

mx f

1

θn

ti

i

J m


Respuesta

Forzada

Natural

Amortiguada

No amortiguada

Amortiguada

(Frecuencia natural, ωn)

=

16

Sistemas Mecánicos: respuesta natural

Sistema traslacionalSegunda ley de Newton

Frecuencia Natural, ωn

mx kx 0k

x xm

sin ωx X t

2ω 0x x

ω ωn

k

m

0

0

0 0

0 0

sin ω sin ω

ω cos ω ω cos ω

n nt t

n n n nt t

x X t X t

v X t X t

0

0sin ωn

xX

t

0

0ω cos ωn n

vX

t

Modelo matemáticoCondiciones iniciales

Solución

Amplitud

17

Palancas Mecánicas

Amplificación, a

Aproximación de rotación pequeña

Reubicación de inercia

" ' θC Cz CC CC l

B B A

A A B

z l fa

z l f

Reubicación de rigidez

2

AB A

B

lm m

l

2

AB A

B

lk k

l

Bn

B

k

m

18


19

Ejemplo 2.4: Sistema de palanca+masa+resorte


= 15,81 rad/s

20

Ejemplo 2.4: Diagrama de Cuerpo Libre


= 14.51 rad/s

Modelo Matemático:

Solución de la ecuación diferencial:

Ver MATLAB/Ejemplo 2.4



Sistemas de engranajes

11 1 2 2 2

2 2 1 1 1 2

θ θ θ

θ θ θt

t

mN R

N R m


Sistemas de engranajes

Ejemplo 2.5

2

1,1 1 2

2

e

Nk k k

N

Dados:

J1, J2, k1, k2, N1, N2

Encuentre: ωn

Energía elástica potencial:

Pero,

Energía cinética:

= 416.10 rad/s

Ver MATLAB/Ejemplo 2.5


Sistemas mecánicos: respuesta libre amortiguada

Sistema traslacionalSegunda Ley de Newton

Modelo Matemático

Solución

mx cx kx

2( ) sin 1nt

nx t Xe t

22

0 0 0 0

2

21 0

0 0

2ξ ω ω1

ω 1 ξ

ω 1 ξtan

ξω

n n

n

n

n

v v x xX

x

v x

Si se conocen las Condiciones Iniciales:

22ξω ω 0n nx x x

n

k

m

2 n

c

m

Factor de amortiguación

Frecuencia Natural

23

Caso Subamortiguado

Definimos: Frecuencia amortiguada

24

Respuesta de un sistema libre amortiguado


= 0.064s

25

Ejemplo 2.7


Relación:

Energía perdida en

amortiguación viscosa:

Energía total perdida por el sistema: Sistema equivalente:

Coeficiente de amortiguación equivalente: = 51.25 N-m-s

26

Sistemas de Primer Orden

Sistemas mecánicos: respuesta forzada con Simulink

Constante de TiempoSensitividad estática

(ganancia)

27

Ejemplo 2.8: Sistema de Primer Orden


Entrada:

Parámetros:

Del diagrama del cuerpo libre:

(2da Ley de Newton)

Donde:

Forma útil para

trabajar en Simulink:

28



Ver MATLAB/SIMULINK/Ejemplo 2.8

../../MATLAB/Simulink/Ejemplo_2_8.mdl

29



k1=100N/m; c1=20N-s/m k2=200N/m; c2=20N-s/m

k3=100N/m; c3=10N-s/m

30

Sistemas de Segundo Orden


Factor de amortiguaciónFrecuencia natural

31

Ejemplo 2.9: Sistema de Segundo Orden


Modelo físico

Diagrama de Cuerpo libre

32



Segunda Ley de Newton

Para rotaciones

pequeñas:

Combinando estas ecuaciones se llega a:

33



Comparando con la forma estándar de la ecuación:

34



ωn = 13.13 rad/s;

ξ = 0.29;

K = 4,31

35



Ver MATLAB/SIMULINK/Ejemplo 2.10 Ver MATLAB/Ejemplo 2.10

../../MATLAB/Simulink/Ejemplo_2_10.mdl


36



37

Problemas

Capítulo 2: Sistemas Mecánicos I

Elementos mecánicos de parámetros concentrados: inercia

Problema 2.1

38

Elementos mecánicos de parámetros concentrados: resortes

Problema 2.4

39

Elementos mecánicos de parámetros concentrados: amortiguación

Problema 2.7

40Ver MATLAB/Problema 2.7

../../MATLAB/Problema 2-7.m

Documents

Capitulo 2 Sistemas Dinamicos