Modelagem Matematica de Sistemas Dinamicos

1CONTROLE LINEARCONTROLE LINEAR

Maro / 2006

Modelagem Matemtica de Sistemas Dinmicos

Prof. Dr. Paulo Srgio da [email protected]

Maro / 2006 Modelagem Matemtica de Sistemas Dinmicos

Sumrio

Introduo Mtodos de Determinao de Modelos Matemticos Mtodo Analtico de Obteno de Modelos Matemticos Modelagem Analtica de Sistemas Dinmicos Linearizao de Modelos Representao de Modelos no Espao de Estado

2Maro / 2006 Modelagem Matemtica de Sistemas Dinmicos

Introduo

O objetivo da modelagem determinar uma representao matematicamente tratvel para um sistema fsico.

A essa representao damos o nome de modelo. Portanto, um modelo uma idealizao da realidade que

retm suas principais caracterstica e que matematicamente tratvel.

A modelagem uma etapa importante no projeto de sistemas de controle, posto que o xito dessa tarefa depender do modelo criado para o sistema em questo.

A modelagem matemtica de um sistema dinmico constituda por um conjunto de equaes diferenciaisque representam a dinmica do sistema com preciso ou, pelo menos, de uma forma aceitvel.


Mtodos para Determinao de Modelos Matemticos

Existem dois mtodos bsicos de modelagem:

1) Modelagem Terica (ou Analtica)Utiliza os princpios da fsica e da qumica para obter as equaes diferenciais que regem o processo a ser modelado.

2) Modelagem Experimental (ou Emprica)Usa a observao direta dos dados operacionais do processo para obter as equaes diferenciais que o descrevem.Geralmente, aplica-se uma sinal de entrada conhecido e mede-se a sada correspondente.


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosObteno de Modelos Matemticos de Sistemas Um modelo matemtico analtico de um sistema dinmico

gerado em duas etapas:1. Especificar o sistema e imaginar um modelo fsico cujo

comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento do sistema real.Neste estgio, as simplificaes so assumidas e as variveis de entrada e sada escolhidas.

2. Derivar um modelo matemtico para representar o modelo fsico, isto , escrever as equaes dinmicas do modelo fsico.Para tanto, as leis fsicas e/ou qumicas apropriadas so aplicadas para gerar um conjunto de equaes diferenciais ordinrias nas variveis de entrada e de sada.

Com o modelo matemtico obtido analiticamente, pode-se estudar o comportamento dinmico do sistema, atravs da soluo das equaes diferenciais que o descrevem e projetar estratgias de controle para obter-se o comportamento desejado.


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosModelo Fsico: do Sistema Real ao Modelo Fsico Um modelo fsico representa um sistema fsico imaginrio

que se assemelha ao sistema fsico real em suas caractersticas mais importantes, mas que mais simples (uma idealizao) e, portanto, mais propcio ao estudo.

A habilidade para simplificar a ponto de no invalidar o modelo o ponto crucial em sua elaborao.

Os seguintes tipos de aproximao so possveis: Desprezar pequenos efeitos; Assumir que o ambiente em torno do sistema no seja afetado por

ele; Substituir caractersticas distribudas por concentradas; Assumir relaes lineares de causa-e-efeito entre as variveis

fsicas; Assumir que os parmetros fsicos no variem com o tempo; Desprezar incertezas e rudos.


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosEquaes Dinmicas: do Modelo Fsico ao Modelo Matemtico

Para obter as equaes dinmicas de um processo, os seguintes passos devem ser seguidos:

1. Definio das variveis de entrada e de sada;2. Escrever as relaes sistmica (relaes de equilbrio

ou de compatibilidade inter-elementos);3. Escrever as relaes constitutivas para cada

elemento (so puramente empricas) ; e4. Combinar as relaes obtidas, obtendo as equaes

dinmicas.


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas de Nvel de Lquido Sistemas de nvel de lquido so aqueles que envolvem o

fluxo de fluidos e o seu armazenamento em tanques. Um exemplo tpico desse tipo de sistema uma caixa

dgua com vazo de entrada e vazo de sada, sendo esse ltimo regulado por uma vlvula (Sistema Real).

Modelamento Fsico Pode-se imaginar para o sistema fsico real o modelo fsico

mostrado abaixo:

eQaP

sQH

R aPmP

eT e

mTm

rea do tanque = A

msTs


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas de Nvel de Lquido

Obteno das Equaes DinmicasVariveis utilizadas: Vazo, Q(t) e

Nvel, H(t).

Equao de Sistema - balano de massa:

mm AH=

m e e s sdm dHA Q Qdt dt

= = Vamos assumir as seguintes: A massa especfica da gua constante, isto , m = e = s ; As dilataes trmicas do tanque so desprezvel, portanto, sua

rea constante.

Ento:e sQ QdH

dt A=



Equao Constitutiva - vazo por uma vlvula como funo da perda de presso:

( )Para escoamento laminar: s v v m aQ C P C P P= = Para escoamento turbulento: s v v m aQ C P C P P= =

Porm, sabendo que:

Para escoamento laminar: s vQ C g H=Para escoamento turbulento: s vQ C g H=

vem:

m aP P g H= +

Onde o parmetro Cv uma caracterstica da vlvula



Equao Dinmica - introduzindo a equao constitutiva na equao de sistema, temos:

Para escoamento laminar: e vQ C g HdHdt A

=

Para escoamento turbulento: e vQ C g HdH

dt A=

A anlise da equao dinmica revela os seguintes fatos: Parmetro do sistema: Cv, , g e A; Variveis externas a serem fornecida em funo do tempo para que

a equao tenha soluo: Qe(t); Incgnita: H(t); Condio inicial: H(0); e Caso se tome dH(t)/dt = 0, tem-se o modelo estacionrio.


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Trmicos Sistemas trmicos so aqueles que envolvem troca de

calor entre dois corpos. Um exemplo tpico desse tipo de sistema uma tanque

para aquecimento de uma dada substncia (Sistema Real).

Modelamento Fsico Pode-se imaginar para o sistema fsico real o modelo fsico

mostrado abaixo:

eq (t)

eT

sTmsT

Aquecedor

Misturador

sq (t)dm

Substncia Fria

SubstnciaQuente


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Trmicos

Obteno das Equaes Dinmicas Hipteses:

O tanque termicamente isolado; No h armazenamento de calor no isolamento; O lquido no tanque est perfeitamente misturado, isto , a

temperatura uniforme e igual a temperatura de sada. Variveis utilizadas:

Temperatura: T(t) [C] Quantidade de calor armazenado em um corpo: Q(t) [kcal] Fluxo de calor: q(t) [kcal/s]

Relaes de Sistema: Quando dois corpos de temperaturas diferentes so postos em

contato, fluir calor do mais quente para o mais frio, at que as temperaturas do dois se igualem.

( )2 1( ) ( )( ) T t T tq tR=



onde:R = 1/k = resistncia trmica [s C/kcal]k = constante de transmisso [kcal/s C]

Relaes Constitutivas: A taxa temporal de variao de temperatura de um corpo

proporcional diferena entre o fluxo de calor que entra no corpo menos o fluxo de calor que sai do corpo.

onde:C = capacidade (capacitncia) trmica do corpo [kcal/C] = m cm = massa do corpo [kg]c = calor especfico do corpo [kcal/C kg]

( ) ( )( ) e sq t q tdT tdt C

=


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Trmicos Equao Dinmica:

Em um intervalo de tempo dt, entra no tanque uma massa dm temperatura Te < Ts.

Portanto, a massa m transfere calor para a massa dm.

Por outro lado, a massa m recebe calor do aquecedor.

Como dm muito pequena quando comparada a m, a temperatura de dm varia de Te a Ts no intervalo de tempo dt.

Ento, para a substncia de sada (quente):

( ) ( ) ( )s e sdT tC q t q t

dt=



Por outro lado, usando a relao de sistema:

( )( ) ( )( ) s es T t T tq t R=

Logo:

( )( ) ( )( ) ( ) s es e T t T tdT tC q tdt R=

( ) ( ) ( ) ( )s s e edT tRC T t R q t T t

dt+ = +


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Trmicos A anlise da equao dinmica revela os seguintes fatos:

Parmetro do sistema: C e R; Variveis externas a serem fornecida em funo do tempo para que

a equao tenha soluo: qe(t) e Te(t); Incgnita: Ts(t); Condio inicial: Ts(0); e Caso de tome dTs(t)/dt = 0, tem-se o modelo estacionrio.


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Trmicos No contexto desta disciplina, Sistemas Eltricos so

sistemas formados pela combinao de trs elementos eltricos bsicos: resistor, capacitor e indutor.

Modelamento Fsico

Os trs componentes eltricos ideais so representados pelos seguintes smbolos:

Resistor:

Capacitor:

Indutor:

R

C

L

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Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Eltricos

Obteno das Equaes Dinmicas

Variveis utilizadas:

Corrente: i(t) [A]

Tenso: v(t) [V]

Relaes de Sistema:Lei de Kirchhoff das correntes: a soma algbrica de todas as correntes que entram e que saem de um n zero.

Lei de Kirchhoff das tenses: a soma algbrica de todas as tenses ao longo de uma malha zero.



Capacitor:

0

( ) ( ) 1( ) ( ) (0)t

CC C

dV t i t ou V t i t dt Vdt C C

= = +onde C a Capacitncia [F]Indutor:

0

( ) 1( ) ( ) ( ) (0)t

L Ldi tV t L ou i t V t dt idt L

= = +onde L a Indutncia [H]

Relaes Constitutivas:Resistor:

( ) ( )RV t R i t=onde R a Resistncia [Ohm]

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ExemploSeja o circuito eltrico abaixo. Obter a equao dinmica que descreve o comportamento do sistema.

RL

Ci(t)EV (t) OV (t)



Relao de Sistema:

( ) ( ) ( ) ( )L R C EV t V t V t V t+ + =Relaes Constitutivas:

( )( )Ldi tV t Ldt

=0

1( ) ( ) (0)t

C CV t i t dt VC= +( ) ( )RV t R i t=

Equao Dinmica:

0

( ) 1( ) ( ) (0) ( )t

C Edi tL R i t i t dt V V tdt C

+ + + =Como se est interessado em VC(t), substitui-se i(t) por:

( )( ) CdV ti t Cdt

=

12



2

2( ) ( ) ( ) ( )C C C E

d V t dV tLC RC V t V tdt dt

+ + =

A anlise da equao dinmica revela os seguintes fatos: Parmetro do sistema: L, C e R; Variveis externas a serem fornecida em funo do

tempo para que a equao tenha soluo: VE(t); Incgnita: VC(t); Condio inicial: (0) (0)C CV e V&


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Mecnicos Translacionais No contexto desta disciplina, Sistemas Mecnicos

Translacionais so aqueles construdos a partir da combinao de trs componentes bsicos, que representam idealizaes de fenmenos fsicos que ocorrem nos sistemas reais: massa, mola e amortecedor.

Modelamento Fsico

Os trs componentes mecnicos ideais so representados pelos seguintes smbolos:

Massa:

Mola:

Amortecedor:

k

b

m

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Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Mecnicos Translacionais


Variveis utilizadas:Deslocamento Linear: y(t) [m]Velocidade Linear: v(t) [m/s] Acelerao Linear: a(t) [m/s2]Fora: f(t) [N]

Relaes de Sistema:2 Lei de Newton: a soma de todas as foras externas agindo em uma massa igual a fora inercial agindo na mesma massa.Lei dos Deslocamentos: se dois corpos esto unidos, ento os mesmos so forados a se deslocarem com a mesma posio, velocidade e acelerao.



Mola: obedece a lei de Hooke.

[ ] [ ]1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t k y t y t F t k y t y t= + =

Relaes Constitutivas:

Massa: ( ) ( ) ( ) ( )IF t m a t m v t m y t= = =& &&

1m

2y1y

0>2 1y > y

2m

+

onde: F1(t) = fora aplicada pela mola ao componenteconectado ao terminal 1.

F2(t) = fora aplicada pela mola ao componenteconectado ao terminal 2.

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Amortecedor:

[ ] [ ]1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )F t b y t y t F t b y t y t= + = & & & &

1mb

1 22y1y

0>2 1y > y

2m

+

onde:

F1(t) = fora aplicada pelo amortecedor ao componenteconectado ao terminal 1.

F2(t) = fora aplicada pela amortecedor ao componenteconectado ao terminal 2.


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Mecnicos Translacionais Procedimento de Modelagem:

1. Arbitrar a direo e deslocamento linear para todo corpo Ou juno que puder possuir deslocamento diferente dos demais.

2. Supor 0 < y1 < y2 < < yn3. Para cada corpo (massa) obter o diagrama de corpo

livre e aplicar a 2 Lei de Newton.

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ExemploSeja o modelo fsico abaixo para o amortecedor de um automvel. Obter a equao dinmica que descreve o comportamento do sistema (deslocamento da carroceria).

u(t)

y(t)2m

Y

U



Soluo1. Arbitrar deslocamentos para todos os corpos e

junes.De acordo com a figura, escolheu-se y(t) e u(t) de forma que quando y = 0 e u = 0 o corpo est em equilbrio esttico sob a fora da gravidade.Dessa maneira, a ao do peso est sendo compensada pela deflexo permanente da mola.

2. Assumir que y(t) > u(t)3. Diagrama de corpo livre para a massa

Na massa esto agindo duas foras externas, uma aplicada pela mola (FM) e outra pelo amortecedor (FA), e a fora inercial (FI).Relao de Sistema: FI = FM + FA

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( ) ( )IF t m y t= &&[ ]( ) ( ) ( )MF t k y t u t= [ ]( ) ( ) ( )AF t b y t u t= & &

Equao Dinmica:

[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t u t k y t u t= && & &( ) ( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t k y t b u t k u t+ + = +&& & &


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Mecnicos Translacionais A anlise da equao dinmica revela os seguintes fatos:

Parmetro do sistema: m, b e k; Variveis externas a serem fornecida em funo do

tempo para que a equao tenha soluo: Incgnita: y(t); Condio inicial: (0) (0)y e y&

( ) ( )u t e u t&

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Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Mecnicos Rotacionais Sistemas Mecnicos Rotacionais so aqueles

construdos a partir da combinao de trs componentes bsicos, que representam idealizaes de fenmenos fsicos que ocorrem nos sistemas reais: massa em rotao (inrcia), mola torcional e amortecedor rotacional.

Modelamento Fsico

Os trs componentes mecnicos ideais so representados pelos seguintes smbolos:

Massa em rotao:

Mola torcional:

Amortecedor rotacional:

k

21

b

b

1 2


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Mecnicos Rotacionais

Obteno das Equaes Dinmicas Variveis utilizadas:

Deslocamento Angular: (t) [rad]Velocidade Angular: (t) [rad/s] Acelerao Angular: (t) [rad/s2]Torque: T(t) [N m]

Relaes de Sistema:Balano de Torques: a soma de todos os torques externos agindo em uma massa rotacional igual ao Torque Inercial agindo na mesma massa.Lei dos Deslocamentos: se dois corpos esto unidos, ento os mesmos so forados a se deslocarem com a mesma posio, velocidade e acelerao angular.

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m

r


Inrcia:

( ) ( ) ( ) ( )IT t J t J t J t = = = &&&

onde:J = Momento de Inrcia em torno do eixo de rotao.

= 2Volume

J r dm

Para massa distribuda:



Mola Torcional:

[ ] [ ]1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T t k t t T t k t t = + =

2Jk

210>2 1>

1J

onde: T1(t) = torque aplicado pela mola ao componenteconectado ao terminal 1.

T2(t) = torque aplicado pela mola ao componenteconectado ao terminal 2.

19



Amortecedor Rotacional:

1 2 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T t b t t T t b t t = + = & & & &0 >2 1>

onde:

T1(t) = torque aplicado pelo amortecedor ao componenteconectado ao terminal 1.

T2(t) = torque aplicado pela amortecedor ao componenteconectado ao terminal 2.

1

b1J

22J

b

1 2


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Mecnicos Rotacionais Procedimento de Modelagem:

1. Arbitrar a direo e deslocamento angular para todo corpo ou juno que puder possuir deslocamento diferente dos demais.

2. Supor 0 < 1 < 2 < < n3. Para cada corpo (massa) obter o diagrama de corpo

livre e aplicar a Lei de Balano de Torques.

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ExemploSeja o modelo fsico abaixo. Obter as equaes dinmicas que descrevem o comportamento do sistema.

T(t) o torque externo aplicado ao sistema.

2b1 2 31k 2k

1b

T

3b



Soluo1. Arbitrar deslocamentos para todos os corpos e junes.

Adota-se 1, 2 e 3 como mostrado na figura. 2. Assumir que: 0 < 1 < 2 < < n3. Diagrama de corpo livre para a inrcia J1

Em J1 esto agindo trs torques externos: o aplicado (T), o devido ao atrito com a base (b1) e o devido ao atrito com J2(b2).

Relao de Sistema: TI (t) = T(t) + T1(t) + T2(t)Relaes Constitutivas:

= &&1 1( ) ( )IT t J t = = & & 1 1 1 1 1( ) 0 ( ) ( )T t b t b t = & &2 1 2 2( ) ( ) ( )T t b t t

21



Equao Dinmica:

= + && & & & 1 1 1 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )J t T t b t b t t

( )+ + =&& & & 1 1 1 2 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )J t b b t b t T t

Diagrama de corpo livre para a inrcia J2

Em J2 esto agindo trs torques externos: o devido ao atrito com a base (b1), o devido ao atrito com J1 (b2) e o devido a mola (k1).

Relao de Sistema: TI (t) = T1(t) + T2(t) + T3(t)



Equaes Constitutivas:

[ ] = + && & & & 2 2 1 2 2 2 1 1 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )J t b t b t t k t t( ) [ ]+ + + =&& & & 2 2 1 2 2 2 1 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0J t b b t b t k t t

Equao Dinmica:

= &&2 2( ) ( )IT t J t = = & & 1 1 2 1 2( ) 0 ( ) ( )T t b t b t = & &2 1 2 2( ) ( ) ( )T t b t t

[ ]= 3 2 3 1( ) ( ) ( )T t k t t

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Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Mecnicos Rotacionais Diagrama de corpo livre para a inrcia J3

Em J3 esto agindo trs torques externos: o devido ao atrito com a base (b3), o devido a primeira mola (k1) e o devido a segunda mola (k2).

Relao de Sistema: TI (t) = T1(t) + T2(t) + T3(t)

Equaes Constitutivas:= &&3 3( ) ( )IT t J t

= = & & 1 3 3 3 3( ) 0 ( ) ( )T t b t b t[ ]= 3 2 2 1( ) ( ) ( )T t k t t[ ]= = 3 3 3 2 2( ) 0 ( ) ( )T t k t k t



A anlise da equaes dinmicas revela os seguintes fatos: Parmetro do sistema: J1, J2, J3, b1, b2, b3, k1 e k2; Variveis externas a serem fornecida em funo do

tempo para que a equao tenha soluo: T(t) Incgnitas: 1(t), 2(t) e 3 (t), Condies iniciais: & & &1 1 2 2 3 3(0), (0), (0), (0), (0) (0)e

[ ]= && & 3 3 3 3 1 3 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )J t b t k t t k t( )+ + + =&& &3 3 3 3 1 2 3 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 0J t b t k k t k t

Equao Dinmica:

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Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Eletromecnicos Sistemas Eletromecnicos so sistemas que convertem

energia eltrica em mecnica e vice-versa. So extensivamente utilizados em engenharia e

automao. Exemplos:

Motores Geradores Sensores Microfones Alto-Falantes


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Eletromecnicos

ExemploSeja um sistema composto por um motor de corrente contnua acionando uma carga, conforme o modelo fsico mostrado abaixo.Obter as equaes dinmicas que descrevem o comportamento do sistema.

ARAL

Ai (t)Av (t) Mv (t)

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Variveis utilizadas:

Corrente: iA(t) [A]

Tenso: vA(t) [V]

Velocidade de rotao: (t) [rad/s] Relaes de Sistema:

+ + =( ) ( ) ( ) ( )L R M Av t v t v t v tMotor:Carga: = +( ) ( ) ( )I bT t T t T t




Motor:

=( ) ( )Mv t k t

Carga:

=( ) ( )m AT t k i t

= ( )( ) AL A di tv t L dt =( ) ( )R A Av t R i t

= &( ) ( )IT t J t = ( ) ( )bT t b t

25



Equaes Dinmicas:

Motor:

Carga:

[ ] [ ] + + + + =&& &( ) ( ) ( ) ( )A A A A m m AJ L t bL J R t bR k k t k v t

+ + =( ) ( ) ( ) ( )AA A A Adi tL R i t k t v tdt

+ =( ) ( ) ( ) 0m Ad tJ b t k i tdtEliminando iA(t):


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Eletromecnicos A anlise da equao dinmica revela os seguintes fatos:

Parmetro do sistema: LA, RA, K, Km, J Variveis externas a serem fornecida em funo do

tempo para que a equao tenha soluo: vA(t) Incgnitas: (t) Condies iniciais: &(0) (0)e

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Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosSistemas Hidrulicos e Pneumticos Sero vistos nas disciplinas:

Acionamento de Sistemas Hidrulicos e Pneumticos e Modelagem de Sistemas Mecnicos


Modelagem Analtica de Sistemas DinmicosAtraso de Transporte Seja o sistema abaixo:

eQaP

sQH

R aPmP

eT e

mTm

rea do tanque = A

msTs

Suponha que ocorra uma variao em Te. intuitivo que deva existir um perodo de tempo durante o qual no se

verifica qualquer modificao de Ts, pois o fluido leva um certo tempo para se deslocar da sada do tanque at o sensor.

A esse intervalo, relacionado com o transporte de massa ou energia de um ponto a outro do processo e durante o qual a perturbao ainda no chegou ao ponto observado, d-se o nome de atraso de transporte, tempo morto, atraso puro, dead time ou pure time delay.

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Linearizao de Modelos

O estudo de sistemas lineares importante porque mesmo equaes no-lineares podem ser linearizadas em torno de condies operacionais estacionrias.

As equaes linearizadas descrevem adequadamente a resposta dinmica do sistema em alguma regio em torno das condies estacionrias.

A extenso da regio, a qual est relacionada com a preciso da aproximao linear, depende do tipo de no-linearidade e da magnitude da perturbao imposta ao sistema.

O quanto uma soluo linear se aproxima da realidade somente pode ser determinado por comparao com a soluo da equao original.


Linearizao de Modelos Aproximao Linear de Funo de Uma Varivel Considere um sistema com entrada u(t) e sada y(t). Seja a relao entre u(t) e y(t) dada pela funo no-linear

y(t) = f(u(t))

Se o ponto estacionrio de operao corresponde :

= == = + + +

22

21( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ...2!

o o

o o ou u u u

df d fy t f u t f u u u u udu du

ento a equao que descreve a dinmica do sistema pode ser expandida em uma Srie de Taylor em torno desse ponto:

=( ) ( ( ))o oy t f u t

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Linearizao de Modelos Aproximao Linear de Funo de Uma Varivel

Se a variao em torno do ponto de operao for pequena, podemos desprezar as derivadas de ordem maior que 1.

Ento teremos a seguinte aproximao linear para a funo:

= + ( ) ( ) ( ( ) ( ))

o

o ou u

dfy t y t u t u tdu

= ( ) ( )

ou u

dfy t u tdu


Linearizao de Modelos Aproximao Linear de Funo de Uma Varivel

( )f u

u

= ( )o oy f u

ou

=inclinao =

ou u

dfdu

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Linearizao de Modelos Aproximao Linear de Funo de Mais de Uma Varivel Seja y(t) uma funo no-linear de duas variveis, u1(t) e

u2(t), isto , y(t) = f(u1(t),u2(t)). Se o ponto estacionrio de operao corresponde :

= = + + + + + +

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2 21 2, ,

2 22 2

1 1 2 22 21 2, ,

( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )

1 1( ) ( ) ...2! 2!

o o o o

o o o o

o o ou u u u

o o

u u u u

f fy t f u u f u u u u u uu u

f fu u u uu u

ento a equao que descreve a dinmica do sistema pode ser expandida em uma Srie de Taylor em torno desse ponto:

= 1 2( ) ( ( ), ( ))o oy t f u t u t


Linearizao de Modelos Aproximao Linear de Funo de Mais de Uma Varivel Supondo que as variaes em torno do ponto de operao

so pequenas, podemos desprezar as derivadas de ordem maior que 1.

Ento teremos a seguinte aproximao linear para a funo:

+ + 1 2 1 2

1 2 1 1 2 21 2, ,

( ) ( , ) ( ) ( )o o o o

o o o ou u u u

f fy t f u u u u u uu u

+ 1 2 1 2

1 21 2, ,

( ) ( ) ( )o o o ou u u u

f fy t u t u tu u

30


Linearizao de Modelos Aproximao Linear de Funo de Mais de Uma Varivel

Exemplo: Linearizar a funo abaixo em torno do ponto de operao especificado. Avaliar o erro de utilizao da aproximao quando u1 = 5 e u2 = 10.

= = = =1 2 1 2 1 2( , ) com 6 11o oy f u u u u u e u

Soluo: a aproximao linear ser:

= + + 1 1 1 2 2 2( ) ( )o o oy y k u u k u uonde:

= = =1 2 6 11 66o o oy u u


Linearizao de Modelos Aproximao Linear de Funo de Mais de Uma Varivel

logo:

===

=

= = = 1212

61 21161

11

11uuu

u

fk uu

===

=

= = = 1212

62 11162

11

6uuu

u

fk uu

= + + 1 266 11 ( 6) 6 ( 11)y u u

Avaliao do erro quando u1 = 5 e u2 = 10:

Pela funo real temos y = 5 10 = 50

Pela funo aproximaday = 66 +11(5 6) + 6 (10 11) = 49 erro = -2%

31


Linearizao de ModelosExemplo: Mola no-linear

Obs.: o grfico da fora mostra somente sua intensidadeem funo da compresso ou distenso da mola, mas no a sua direo.


Linearizao de ModelosExemplo: Mola no-linear O ponto de operao a posio de equilbrio que ocorre

quando a fora da mola equilibra a fora gravitacional.Assim,

of Mg=

Portanto, para a mola no-linear com f =y2, a posio de equilbrio ser:

( )1/ 2oy Mg=E o modelo linear para pequenos desvios ser:

f m y = onde

2o

oy

dfm ydy

= =

32



Ento, a equao que descreve o movimento da massa ser

( ) ( )M y t f t = &&

( ) 2 ( )oM y t y y t = &&

( ) 2 ( ) 0oM y t y y t + =&&



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202

2.5

3

3.5

4

4.5Sistema Massa-Mola: comparacao entre o modelo nao-linear e linearizado para M = 1kg

Tempo [s]

y(t)

[m]

Nao-LinearEquilibrioLinearizado

33


Linearizao de ModelosExemplo: Pndulo



A condio de equilbrio para a massa

0 0o oe T = =o

O Torque aplicado a massa pela fora gravitacional T M g L sen=

E o modelo linear para pequenos desvios ser:

coso

odsenT M g L M g L M g L

d = = =

ou, como To e o, ento:

T M g L=

34



Ento, a equao que descreve o movimento da massa ser

( ) ( )J t T t = &&

( )J t M g L = &&

( ) 0J t Mg L + =&&mas

2J M L=

logo( ) 0gt

L + =&&



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Sistema Pendulo: comparacao entre o modelo nao-linear e linearizado para L = 1m

Tempo [s]

Thet

a(t)

[gra

us]

Nao-LinearLinearizado

35



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-30

-20

-10

0

10

20

30

40Sistema Pendulo: comparacao entre o modelo nao-linear e linearizado para L = 1m

Tempo [s]

Thet

a(t)

[gra

us]

Nao-LinearLinearizado


Modelos no Espao de EstadosIntroduo Forma de representao utilizada na Teoria de Controle

Moderno: Iniciada por volta de 1960; Criada para tratar de sistema MIMO e variantes no

tempo; centrada no domnio do tempo; baseada no conceito de estado.

36


Modelos no Espao de EstadosDefinies Variveis de Estado (VE): o menor conjunto de

variveis tal que uma vez conhecidos os seus valores em t = t0, a descrio do comportamento do sistema feita de modo nico para todo t t0.

O Estado de um sistema em um instante t, o conjunto de valores das VE em t.

Vetor de Variveis de Estado: o conjunto de variveis de estado de um sistema pode ser considerado como sendo um vetor (coluna) x(t) de dimenso n x 1.

[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Tnt x t x t x t=x


Modelos no Espao de EstadosDefinies Equaes dinmicas: denominao dada ao conjunto de

equaes que descreve as real aes entre entradas, sadas e estado.Seja um sistemas com n variveis de estado, r entradas e m sadas.Ento, o sistema pode ser descrito pelas seguintes equaes:

1 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ),... ( ), )( ) ( ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ),... ( ), )

.

.

.( ) ( ( ), ( ),... ( ), ( ), ( ),... ( ), )

n r

n r

n n n r

x t f x t x t x t u t u t u t tx t f x t x t x t u t u t u t t

x t f x t x t x t u t u t u t t

==

=

&&

&

37


Modelos no Espao de EstadosDefinies

Definindo-se

1 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

.

.

.( ) ( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

n r

n r

m m n r

y t g x t x t x t u t u t u t ty t g x t x t x t u t u t u t t

y t g x t x t x t u t u t u t t

==

=

[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Tnt x t x t x t nx1=x[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Trt u t u t u t rx1=u[ ]1 2( ) ( ) ( ) ... ( ) Tmt y t y t y t mx1=y



1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

( , , )...

( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

n r

n r

n n r

f x t x t x t u t u t u t tf x t x t x t u t u t u t t

t nx1

f x t x t x t u t u t u t t

= f x u

1 1 2 1 2

2 1 2 1 2

1 2 1 2

( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

( , , )...

( ( ), ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), )

n r

n r

m n r

g x t x t x t u t u t u t tg x t x t x t u t u t u t t

t mx1

g x t x t x t u t u t u t t

= g x u

Pode-se escrever:( ) ( , , ) ( )( ) ( , , ) ( )t (t) (t) tt (t) (t) t==

x f x u Equao de Estadoy g x u Equao de Sada&

38



Se o sistema for linear, pode-se escrever:

( , , )( , , )

(t) (t) t (t) (t) (t) (t)(t) (t) t (t) (t) (t) (t)

= += +

f x u A x B ug x u C x D u

ento:

( )( )( )( )

tttt

A Matriz de Estado B Matriz de Entrada C Matri

( )( )

(z de Sada D Matriz de Transmi

)( )ss o

n x nn x r

m x nm x r

onde:

(t) (t) (t) (t) (t)(t) (t) (t) (t) (t)

= += +

x A x B uy C x D u&



Portanto, a estrutura bsica de representao de um sistema linear em VE a seguinte:

(t)D

(t)A

(t)B (t)Cdt++ ++r(t)u

(t)x& (t)x (t)y

r m

n

n

n

n

n m m

m x r

n x r

n x n

m x n

39



Se o sistema, alm de linear, possuir parmetros invariantes no tempo, tem-se:

e so matrizesA B C D constantes, ,

onde:

(t) (t) (t)(t) (t) (t)

= += +

x A x B uy C x D u&


Modelos no Espao de EstadosRepresentao de Equaes Diferencias Lineares no EE Nesta seo ser apresentado um mtodo para obter-se a

representao no Espao de Estado (E) de Equaes Diferenciais Lineares (EDL).

Utilizando a notao vetorial-matricial, uma equao diferencial de ordem n pode ser representada por uma equao diferencial vetorial-matricial de primeira ordem, isto , por n equaes diferenciais de primeira ordem.

Seja a EDL genrica:

( ) ( -1)

1 1 0( ) ( -1)

1 1 0

( ) ( ) ... ( ) ( )(1)

( ) ( ) ... ( ) ( )

n n

nn n

n n

y t a y t a y t a y t

b u t b u t b u t b u t

+ + + + == + + + +

&

&

40


Modelos no Espao de EstadosRepresentao de Equaes Diferencias Lineares no EE Definindo:

1 0

2 1 1 0 1

3 2 2 0 1 2

1 1 2

1 1 0 1 2 1

( ) ( ) ( ) (2)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) (5)n n n

n n n n n

x t y t u tx t x t u t y t u t u tx t x t u t y t u t u t u t

x t x t u t y t u t u t u t u t

= =

=

& & && && && &

M

& &


Modelos no Espao de EstadosRepresentao de Equaes Diferencias Lineares no EE Ento a EDL original pode ser escrita como:

1 2 1

2 3 2

3 4 3

1 1

0 1 1 2 2 3 1

( ) ( ) ( ) (6)( ) ( ) ( ) (7)( ) ( ) ( ) (8)

( ) ( ) ( ) (9)( ) ... ( ) (10)

n n n

n n n n

x t x t u tx t x t u tx t x t u t

x t x t u tx t a x a x a x a x u t

= += += +

= += +

&&&

M&&

com a sada dada por

1 0( ) ( ) ( )y t x t u t= +

41


Modelos no Espao de EstadosRepresentao de Equaes Diferencias Lineares no EE Onde:

0

1 1 1 0

2 2 1 1 2 0

0 1 1 2 2 3 3 1 1 0 0

(11)(12)(13)

... (14)

n

n n

n n n

n n n n n n n

bb ab a a

b a a a a a

== =

=

M

Ou seja:

1(15)

i

i n i n j i jj

b a =

=


Modelos no Espao de EstadosRepresentao de Equaes Diferencias Lineares no EE Ou, na forma matricial:

( ) ( ) ( )t t u t= +x A x B&

onde

1 1

2 2

1 1

0 1 2 11 1

( ) 0 1 . . . 0 0( ) 0 0 . . . 0 0. . . . . .

( ) . . . . . .. . . . . .( ) 0 0 . . . 0 1

( )n n

n n n nn x n x n n x

x tx t

t

x tx t a a a a

= = =

x A B

( ) ( ) ( )y t t u t= +Cx D

42


Modelos no Espao de EstadosRepresentao de Equaes Diferencias Lineares no EE

[ ][ ]

1

0 1 1

1 0 . . . 0 0x n

x

==

C

D



Para obter a equao (10)

Derivar (5) para obter a derivada n-sima de y(t):

1

0 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) (16)n n n

n n nx t y t u t u t u t u t

= & && &

A n-sima derivada de y(t) pode ser obtida de (1) como sendo

( ) ( -1)

1 1 0( ) ( -1)

1 1 0

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( ) (17)

n n

nn n

n n



= + ++ + + + +

&

&

43



Substituindo (17) em (16):

( ) ( )( ) ( )

( 1)

1 1 0( ) ( 1)

0 1 1

2 2 1 1 0

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) (18)

n

n nn n

n n

n n

x t a y t a y t a y t

b u t b u t

b u t b u t b u t

= + ++ + + ++ + +

& &

L

&& &

As demais derivadas de y(t) so obtidas de (2), (3), ..., (5) e substitudas em (18), produzindo (10) quando os i so escolhidos de acordo com (15).


Modelos no Espao de EstadosRepresentao de Equaes Diferencias Lineares no EE Exemplo: Obter a representao no EE da seguinte EDLIT.

( ) 6 ( ) 5 ( ) 10 ( ) 10 ( )y t y t y t y t u t+ + + =&&& && &Soluo:

Como no existem derivadas da varivel de entrada, ento:

0 1 2 3 00 e b = = = =logo

1

1 2

2 3

3 0 1 1 2 2 3 3

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

y t x t ex t x tx t x tx t a x a x a x u t

==== +

&&&

44



tem-se

[ ] [ ]

1 1

2 2

3 3

1

2

3

( ) 0 1 0 ( ) 0( ) ( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

( ) 10 5 6 ( ) 10

( )( ) 1 0 0 ( ) 0 ( )

( )

x t x tt x t x t u t

x t x t

x ty t x t u t

x t

= = +

= +

x&

& &&

como

0 1 2 010 5 6 10a a a e b= = = =



( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t k y t u t+ + =&& &Soluo:

Como no existem derivadas da varivel de entrada, ento:

0 1 2 00 e b = = =logo

1

1 2

2 0 1 1 2 2

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

y t x t ex t x tx t a x a x u t

=== +

&&

45



tem-se

[ ] [ ]

1 1

2 2

1

2

0 1 0( ) ( )( ) ( )1( ) ( )

( )( ) 1 0 0 ( )

( )

x t x tt u tk bx t x t

m m m

x ty t u t

x t

= = +

= +

x&& &

como

0 1 01k ba a e b

m m m= = =



Soluo: A equao deve ser reescrita na forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )m y t b y t k y t b u t k u t+ + = +&& & &

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b k b ky t y t y t u t u tm m m m

+ + = +&& & &

Portanto,

0 1 0 1 2 0k b k ba a e b b bm m m m

= = = = =

46



Assim,

Ento,

0 2

1 1 1 0

2

2 0 1 1 0 0

0

0

0

bb b bb am m m

k b b k k bb a am m m m m m

= == = =

= = =

1 0 1 1

1 2 1 2

2

2 0 1 1 2 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y t x t u t x t u t x t ebx t x t u t x t u tm

b k k bx t a x a x u t x x u tm m m m

= + = + == + = +

= + = +

&

&



Logo,

[ ] [ ]

1 12

2 2

1

2

0 1( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) 1 0 0 ( )

( )

bx t x t m

t u tk bx t x t k bm m m m

x ty t u t

x t

= = +

= +

x&& &

47


Modelos no Espao de EstadosGeneralizao Caso a EDL seja funo de mais de uma varivel de

entrada, por exemplo, u1(t) e u2(t) ento:( ) ( -1)

1 1 0

( ) ( -1)

,1 1 1,1 1 1,1 1 0,1 1

( ) ( -1)

,2 2 1,2 2 1,2 2 0,2 2

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( ) (1)

( ) ( ) ... ( ) ( )

n n

n

n n

n n

n n

n n




+ + + + =

+ + + + +

+ + + +

&

&

&

Como a equao linear, a soluo y(t) pode ser decomposta em duas parcelas, uma devido a u1(t) e outra devido a u1(t).


Modelos no Espao de EstadosGeneralizao Denominando y1(t) a parcela devido a u1(t) e y2(t) a devido

a u2(t), a EDL original produz as seguintes duas equaes:

( ) ( -1)

1 1 1 1 0 11( ) ( -1)

,1 1 1,1 1 1,1 1 0,1 1

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( ) (2)

n n

nn n

n n



+ + + + =+ + + +

&

&

( ) ( -1)

1 2 1 2 0 22( ) ( -1)

,2 2 1,2 2 1,2 2 0,2 2

( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) ( ) (3)

n n

nn n

n n



+ + + + =+ + + +

&

&

48


Modelos no Espao de EstadosGeneralizao A soluo da equao (2) :

1 1 1 1

1 1 1 1

( ) ( ) ( )(4)

( ) ( ) ( )

t t u t

y t t u t

= += +

x A x B

Cx D

&

onde1,1

2,1

1

1,1

,10 1 2 1 1

0 1 . . . 0 00 0 . . . 0 0

.. . . .

.. . . .

.. . . .0 0 . . . 0 1 n

nn n n x n n xa a a a

= =

A B

[ ] 1 0,11 1 11 0 . . . 0 0 x n x = = C D


Modelos no Espao de EstadosGeneralizao A soluo da equao (3) :

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( ) ( )(5)

( ) ( ) ( )

t t u t

y t t u t

= += +

x A x B

Cx D

&

onde1,2

2,2

2

1,2

,20 1 2 1 1

0 1 . . . 0 00 0 . . . 0 0

.. . . .

.. . . .

.. . . .0 0 . . . 0 1 n

nn n n x n n xa a a a

= =

A B

[ ] 2 0,21 1 11 0 . . . 0 0 x n x = = C D

49


Modelos no Espao de EstadosGeneralizao Combinando as equaes (4) e (5):

( ) [ ]

( ) [ ]

1 2 1 1 1 2 2 2

11 2 1 2

2

11 2 1 2 1 2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

t t t t u t t u tu t

t tu t

t t

u ty t y t y t t t

u t

t t

= + = + + + = + +

= + = + = + +

= +

x x x A x B A x B

A x x B B

A x Bu

C x x D D

Cx Du

& & &


Modelos no Espao de EstadosGeneralizao

onde

[ ]

[ ]

1,1 1,2

2,1 2,2

11 2

2

1,1 1,2

,1 ,2 2

1 2 0,1 0,2 1 2

. .( )

. .( )( )

. .

n n

n n n x

x

u tt

u t

= = = = =

u B B B

D D D

50


Modelos no Espao de EstadosRepresentao de Equaes Diferencias Lineares no EE Exemplo: Um circuito eltrico pode ser representado pelo

seguinte sistema de EDLIT:

Obter a representao desse sistema de EDLI no EE assumindo a sada como sendo a corrente i1(t).

( )( )

11 2 1

2 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) (1)

1 ( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2)c

di tL R i t i t u tdt

i t dt v R i t i t u tC

+ =

+ =

Soluo: A equao (2) pode ser reescrita na forma

1 2 22

1 ( ) ( ) ( )( ) (3)di t di t du ti t RC dt dt dt

=



Isolando i2(t) em (1)

(4) em (3) fornece

12 1 1

( ) 1( ) ( ) ( ) (4)L di ti t i t u tR dt R

= +

11 1

1 1 21 1

( ) 1( ) ( )1 ( ) 1 ( ) ( )( ) ( )

L di td i t u tL di t di t du tR dt Ri t u t R

C R dt R dt dt dt

+ + = 2

1 1 1 1 1 21 1 2

21 1 1 2

1 12

( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 1 1 ( ) ( )( ) ( )

L di t di t d i t di t du t du ti t u t R L RRC dt C RC dt dt dt dt dt

d i t L di t du t du tL i t u tdt RC dt C RC dt dt

+ + =

+ + =

51



Chamando i1(t) de y(t) em (5) e dividindo por L,

Portanto

1 1 21 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6)y t y t y t u t u t u tRC LC L RC L

+ + = + && & & &

0 1

0,1 1,1 2,1

0,2 1,2 2,2

1 1

1 1 0

10 0

a aLC RC

b b b eRC L

b b bL

= =

= = =

= = =

21 1 1 2

1 12

( ) ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) (5)d i t L di t du t du tL i t u tdt RC dt C dt RC dt

+ + = +



Assim,

0,1 2,1

1,1 1,1 1 0,1

2,1 0,1 1 1,1 0 0,1

01 1 10

1 1 1 1 1 10

b

b aL RC L

b a aRC RC L LC RC RLC

= == = =

= = =

0,2 2,2

1,2 1,2 1 0,2

2,2 0,2 1 1,2 0 0,2

01 1 10

1 1 1 10 0

b

b aL RC L

b a aRC L LC RLC

= == = =

= = =

52



Logo,

[ ] [ ]

1 1

2 2

1

2

1 10 1( ) ( )

( ) ( )1 1 1 1 1( ) ( )

( )( ) 1 0 0 0 ( )

( )

x t x t L Lt tx t x t

LC RC RC RLC RLC

x ty t t

x t

= = +

= +

x u

u

&& &


Modelos no Espao de EstadosRepresentao de Equaes Diferencias Lineares no EE Exemplo: Resolver o exemplo anterior supondo agora que

a sada do sistema a tenso no resistor, isto R(i1(t)-i2(t)).

Soluo: As equaes (1) e (2) podem ser reescritas na forma:

11

2 22 2

2 2

( ) 1 1( ) ( ) (7)

( ) ( ) ( ) (8)

di t y t u tdt L L

di t d y t d u tC Cdt dt dt

+ =

+ =

Subtraindo (8) de (7) tem-se:2 2

212 2

1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( ) ( ) (9)dy t d y t d u ty t C u t CR dt L dt L dt

+ = +

53



Rearranjando (9):

2 22

12 2

( ) 1 ( ) 1 1 ( )( ) ( ) (10)d y t dy t d u ty t u tdt RC dt LC LC dt

=

Portanto

0 1

0,1 1,1 2,1

0,2 1,2 2,2

1 1

1 0 0

0 0 1

a aLC RC

b b b eLC

b b b

= =

= = == = =



Assim,

0,1 2,1

1,1 1,1 1 0,1

2,1 0,1 1 1,1 0 0,1

010 0 0

1 1 1 10 0

b

b aRC

b a aLC RC LC LC

= == = + =

= = + + =

0,2 2,2

1,2 1,2 1 0,2

2

2,2 0,2 1 1,2 0 0,2

11 10 ( 1)

1 1 1 1 10 ( 1)

b

b aRC RC

b a aRC RC LC LC RC

= = = = + =

= = =

54



Logo,

[ ] [ ]

1 12

2 2

1

2

100 1( ) ( )( ) ( )1 1( ) ( ) 1 1 1

( )( ) 1 0 0 1 ( )

( )

x t x t RCt t

x t x tLC RC LC LC RC

x ty t t

x t

= = +

= +

x u

u

&& &


Transio entre Modelos

Equaes Diferenciais

Espao deEstados

Funo de Transferncia

Transformada de Laplace (TL)

Linearizao

Condies Iniciais NulasTransformada de Laplace Inversa (TL)

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Modelagem Matematica de Sistemas Dinamicos