Capítulo 2 - Variáveis Aleatórias e Distribuições · 2011-08-12 · é o conjunto de todos os possíveis resultados de um ... N() = n: número de elementos do espaço amostral

Capítulo 2Variáveis Aleatórias e Distribuições

Experimento Aleatório

Não existe uma definição satisfatória de Experimento Aleatório.Os exemplos dados são de fenômenos para os quais modelosprobabilísticos são adequados e por simplicidade, sãodenominados de experimentos aleatórios.

Ao descrever um experimento aleatório deve-se especificarnão somente que operação ou procedimento deva serrealizado, mas também o que é que deverá ser observado.

E1: Joga-se um dado e observa-se o número obtido na facesuperior.E2: Joga-se uma moeda 4 vezes e o observa-se o número decaras obtido.E3: Uma lâmpada nova é ligada e observa-se o tempo gastoaté queimar.E4: Lançam-se dois dados e anota-se a soma dos pontos.

Características dos Experimentos Aleatórios

Observando-se os exemplos acima pode-se destacar algumascaracterísticas comuns:

1 Podem ser repetidos indefinidamente sob as mesmascondições.

2 Não se pode adiantar um resultado particular, maspode-se descrever todos os resultados possíveis

3 Se repetidos muitas vezes apresentarão uma regularidadeem termos de freqüência de resultados.

Espaço Amostral:é o conjunto de todos os possíveis resultados de umexperimento aleatório. Se denota por Ω

Evento:é qualquer subconjunto do espaço amostral (Ω). Denotamospor A,B,C, . . .

Operações com Eventos

Dados os eventos A,B ∈ Ω

Igualdade de eventos: (A = B) A e B são iguais se A ⊂ Be B ⊂ A.União de eventos: (A ∪ B) evento formado pelossucessos que pertencem a A ou a B ou a ambos.Interseção de eventos: (A ∩ B) evento formado por todosos sucessos favoráveis a A e a B.Diferença de eventos: (A− B) evento formado pelossucessos favoráveis a A e que não são favoráveis a B.Complemento: (Ac) evento formado por todos ossucessos que não pertencem a A

Algumas Propriedades

Dados os eventos A,B,C ∈ Ω

Lei Distributiva:A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Lei de DeMorgan:(A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

Definição Clássica de Probabilidades

A definição clássica de probabilidades foi dada por Laplace emsua obra Teoria Analítica das Probabilidades, publicada em1812. Esta definição baseia-se no suposto que todos osresultados possíveis de um experimento aleatório sãoigualmente prováveis, isto é, cada um dos elementos doespaço amostral tem a mesma probabilidade de sair. SejamN(Ω) = nΩ: número de elementos do espaço amostralN(A) = nA: número de elementos do evento AAssim a probabilidade do evento A acontecer é

P(A) =nA

nΩ=

número de casos favoráveis ao evento Anúmero de casos possíveis

Definição Formal de Probabilidades

Uma função P(.) é denominada probabilidade se satisfaz:1 ∀A ⊂ Ω, 0 ≤ P(A) ≤ 12 P(Ω) = 13 Se os eventos Aj ‘s são disjuntos ou mutuamente

exclusivos, então P(∪nj=1Aj) =

∑nj=1 P(Aj)

Propriedades1 Se φ é o evento impossível então P(φ) = 02 P(Ac) = 1− P(A), P(A) = 1− P(Ac)

3 Sejam os eventos A e B tais que A ⊂ B então P(A) ≤ P(B)

4 Sejam A e B dois eventos entãoP(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)

5 Sejam A,B e C três eventos então

P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C)

Variável Aleatória

Seja E um experimento aleatório e Ω o espaço amostralassociado. Uma função de X que associa cada elemento emΩ, a um número real X (Ω) é denominado variável aleatória.

X : Ω→ R

Variável Aleatória DiscretaQuando a imagem da variável aleatória X é um conjunto finitoou infinito enumerável.

Variável Aleatória ContínuaQuando a imagem de uma variável aleatória X é um intervalosob a reta dos números reais.

Variável Aleatória Discreta

Função de ProbabilidadeA função de probabilidade de uma variável aleatória discreta éuma função que atribui probabilidades a cada um dospossíveis valores assumidos pela variável.

p(xi) = P(X = xi) = P(w ∈ Ω|X (w) = xi)

Uma função de probabilidade satisfaz1 0 ≤ p(xi) ≤ 1, ∀i2∑

i p(xi) = 1

Função de Distribuição ou Função Acumulada deProbabilidadeé definida por:

FX (x) = P(X ≤ x), ∀x

Algumas distribuições discretas

Distribuição Bernoulli (X ∼ B(p))

Dizemos que uma variável aleatória X tem DistribuiçãoBernoulli com parâmetro p (0 ≤ p ≤ 1), se X assume apenasos valores 0 e 1, assim as probabilidades ficam:

P(X = 1) = p e P(X = 0) = 1− p

Sua função de probabilidade é dada por:

P(X = x) = px (1− p)1−x , x = 0,1

A esperança e variância é dada por:

µ = E(X ) = p σ2 = Var(X ) = p(1− p)

Distribuição Bernoulli


Distribuição Binomial (X ∼ Bi(n,p))

Considere n ensaios de Bernoulli independentes, comprobabilidade de sucesso p. A variável aleatória X que conta onúmero total de sucessos é uma variável Binomial comparâmetros n e p e sua função de probabilidade é dada por:

P(X = x) =

(nx

)px (1− p)n−x , x = 0,1,2, . . . ,n

onde(n

x

)= n!

(n−x)!x!


µ = E(X ) = np σ2 = Var(X ) = np(1− p)

Distribuição Binomial


Distribuição MultinomialA distribuição multinomial é uma generalização da binomial; nabinomial, temos n repetições de um experimento de Bernoulli ea variável em estudo, que segue a distribuição binomial,corresponde ao número de sucessos obtidos. Os experimentosde Bernoulli se caracterizam pelo fato de haver apenas doisresultados possíveis, que são, então, denotados por 0(fracasso) e 1 (sucesso). Na distribuição multinomial, temos nrepetições independentes de um experimento que tem kresultados possíveis, com respectivas probabilidades dadaspor p1,p2, . . . ,pk e

∑ki=1 pi = 1. O vetor aleatório em estudo é

(X1,X2, . . . ,Xk ), onde Xi é o número de ocorrências do i-ésimoresultado.


Distribuição MultinomialConsidere n repetições independentes de um experimentoaleatório; em cada repetição há k possíveis resultados comprobabilidades p1,p2, . . . ,pk . Se Xi é o número de ocorrênciasdo i-ésimo resultado, então o vetor (X1,X2, . . . ,Xk ) temdistribuição multinomial com parâmetros n, k ,p1,p2, . . . ,pk cujadistribuição de probabilidades é dada por

P(X1 = x1,X2 = x2, . . . ,Xk = xk ) =n!

x1!x2!, . . . , xk !px1

1 px22 . . . pxn

k

onde x1, . . . , xk são números inteiros não negativossatisfazendo

∑ki=1 xi = n e

∑ki=1 pi = 1


µi = E(Xi) = npi σ2i = Var(Xi) = npi(1− pi)

Variável Aleatória Contínua

Função de Densidade de Probabilidade:Dizemos que f (x) é uma função de densidade deprobabilidade para uma variável contínua X se satisfaz duascondições

1 f (x) > 0, ∀x ∈ (−∞,∞)

2∫ +∞−∞ f (x)dx = 1

Função de Distribuição Acumulada:Seja X uma v.a. contínua com função de densidade f(x). Afunção de distribuição acumulada, denotada por FX (x) édefinida por:

FX (x) = P(X ≤ x) =

∫ x

−∞f (t)dt ∀x ∈ R


Observações1 f (x) não representa probabilidades, a integral de f (x)

entre dois pontos produz uma probabilidade.2 Seja x0 ∈ R

P(X = x0) = P(x0 < X ≤ x0) =

∫ x0

x0

f (x)dx = 0

3 Se X é uma variável contínua, então

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b)


Propriedades1 0 ≤ FX (x) ≤ 1, ∀x ∈ R2 limx→−∞ FX (x) = limx→−∞

∫ x−∞ f (t)dt = 0

3 limx→∞ FX (x) = limx→∞∫ x−∞ f (t)dt = 1

4 A função de distribuição acumulada é não decrescente,isto é, se a ≤ b ⇒ FX (a) ≤ FX (b)

5 limh→0FX (x + h) = F (x), ∀x ∈ R, com h > 0, isto é FX écontínua à direita em todos os pontos

6 Do segundo teorema fundamental do cálculo, temos que,se FX é uma função derivável, então f (x) = d

dx (FX (x)),isto é, podemos encontrar a função densidade a partir dafunção de distribuição

Valor Esperado

Seja X uma v.a. com imagem ImgX e função de probabilidadep(x) = P(X = x) se X for discreta e função de densidade f (x)se X contínua. O valor esperado ou esperança matemáticade X denota-se por E(X ) ou µ e define-se da maneiraseguinte:

Se X for uma variável aleatória discreta

E(X ) =∑

xi∈ImgX

xip(xi) =∑

xi∈ImgX

xiP(X = xi)

Se X for uma variável aleatória contínua

E(X ) =

∫x∈ImgX

xf (x)dx =

∫ +∞

−∞xf (x)dx

sempre que∑

xi∈ImgXxip(xi) seja absolutamente

convergente e∫

x∈ImgXxf (x)dx seja finita, respectivamente.

Valor Esperado

PropriedadesSe X é uma variável aleatória e a,b constantes, então

1 E(a) = a2 E(aX ) = aE(X )

3 E(aX + b) = aE(X ) + b

Variância

Seja X uma v.a. com imagem ImgX e função de probabilidadep(x) = P(X = x) se X for discreta e função de densidade f (x)se X contínua. A variância de X denota-se por Var(X ) ou σ2 édefinida como:

Var(X ) = E [(X − E(X ))2] = E(X 2)− (E(X ))2

Se X for uma variável aleatória discreta

Var(X ) =∑

xi∈ImgX

(xi − E(X ))2P(X = xi)

Se X for uma variável aleatória contínua

Var(X ) =

∫ ∞−∞

(x − E(X ))2f (x)dx

Variância

PropriedadesSe X é uma variável aleatória e a,b constantes, então

1 Var(X ) ≥ 02 Se X = a com probabilidade 1, Var(X ) = 03 Var(aX + b) = a2Var(X )

Algumas Distribuições Contínuas

Distribuição Uniforme (X ∼ U((a,b))

Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme Contínuano intervalo [a,b], a < b, se sua função densidade deprobabilidade é dada por:

f (x) =1

b − a, se a ≤ x ≤ b


µ = E(X ) =a + b

2e σ2 = Var(X ) =

(b − a)2

12

Distribuição Uniforme


Distribuição Gamma (X ∼ Gama(α, β))

Dizemos que uma variável aleatória X tem DistribuiçãoGamma com parâmetros α e β, (α > 0, β > 0) se sua funçãode de densidade é dada por:

f (x) =βα

Γ(α)xα−1e−βx para x > 0

onde Γ(α) =∫∞

0 xα−1e−βxdx .A esperança e variância é dada por:

E(X ) =α

βVar(X ) =

α

β2

Distribuição Gamma


Distribuição Exponencial (X ∼ Exp(λ))

Dizemos que uma variável aleatória X tem DistribuiçãoExponencial com parâmetro β, (β > 0) se sua função de dedensidade é dada por:

f (x) = βe−βx para x > 0


E(X ) =1β

Var(X ) =1β2

Nota: Distribuição Exponencial é caso particular daDistribuição Gama(α, β)) quando α = 1.

Distribuição Exponencial


Distribuição Beta (X ∼ Beta(α, β))

Dizemos que uma variável aleatória X tem Distribuição Betacom parâmetros α e β, (α > 0, β > 0) se sua função de dedensidade é dada por:

f (x) =Γ(α + β)

Γ(α)Γ(β)xα−1(1− x)β−1 para 0 < x < 1


E(X ) =α

α + β

Var(X ) =αβ

(α + β)2(α + β + 1)=

E(X )(1− E(X ))

(α + β + 1)

Distribuição Beta


Distribuição Dirichlet (X ∼ Dir(α1, α2 . . . αk )

Dizemos que uma variável aleatória X = [x1, x2 . . . xk ] ondexj ∈ [0,1], j = 1 . . . k ,

∑kj=1 xj = 1 tem Distribuição de Dirichlet

com parâmetros α1, α2 . . . αk , αj > 0, j = 1 . . . k , se sua funçãode de densidade é dada por:

f (x) =Γ(A)

Γ(α1)Γ(α2) . . . Γ(αk )xα1−1

1 xα2−12 . . . xαk−1

k

onde A =∑k

j=1 αj .A esperança e variância é dada por:

E(Xj) =αj

AVax(Xi) =

αi(A− αi)

A2(A + 1)=

E(Xj)(1− E(Xj))

(A + 1)


Distribuição Normal (X ∼ N(µ, σ2))

Uma v.a. contínua X tem distribuição Normal com parâmetrosµ e σ2, se sua função de densidade é dada por

f (x) =1

σ√

2πexp

−(x − µ)2

2σ2

, para −∞ < x <∞

f (x) é simétrica em relação à µf (x)→ 0 quando x → ±∞O valor máximo que assume f (x) no intervalo [a,b]

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a

1σ√

2πexp−(x − µ)2

2σ2 dx


E(X ) = µ Var(X ) = σ2


Distribuição Normal Padrão (X ∼ N(0,1))

Seja X ∼ N(µ, σ2) e definamos a nova variável

Z =X − µσ∼ N(0,1)

Para determinar P(a ≤ X ≤ b) calculamos

P(a ≤ X ≤ b) = P(a− µσ≤ Z ≤ b − µ

σ)

Estes valores são calculados por meio da tabela.

Distribuição Normal

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Capítulo 2 - Variáveis Aleatórias e Distribuições · 2011-08-12 · é o conjunto de todos os possíveis resultados de um ... N() = n: número de elementos do espaço amostral