Aula 2: Vari veis Aleat rias Discretas e Cont nuas e suas ...de.ufpe.br/~leandro/SlidePEP915Aula2.pdf · Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Principais Distribuições

Tipos de Variáveis Aleatórias Variável Aleatória Discreta Principais Distribuições Discretas Variável Aleatória Contínua

Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas eContínuas e suas Principais Distribuições.

Prof. Leandro Chaves Rêgo

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE

Recife, 14 de Março de 2012


Tipos de Variáveis Aleatórias

Na grande maioria dos problemas práticos, encontramos dois tipos de variáveisaleatórias: as discretas e as contínuas.

Definição 1.1

Uma variável aleatória X é discreta se assume um número enumerávelde valores, ou seja, se existe um conjunto enumerável x1, x2, . . . ⊆ IR

tal que X (w) ∈ x1, x2, . . ., ∀w ∈ Ω. A função p(xi ) definida porp(xi ) = PX (xi), i = 1, 2, . . . e p(x) = 0 para x /∈ x1, x2, . . ., échamada de função probabilidade de X .

Exemplos de Variáveis Aleatórias Discretas são: número de

bits transmitidos com erro em um canal de comunicação,

número de lançamentos de uma moeda até a obtenção da

primeira cara, número de consumidores que chegam em uma

determinada fila.


Tipos de Variáveis Aleatórias

Definição 1.2

Uma variável aleatória X é contínua se existe uma função fX (x) ≥ 0tal que

FX (x) =

∫

x

−∞fX (t)dt,∀x ∈ IR .

Neste caso, X assume pode assumir uma quantidade não-enumerávelde valores e a função fX é chamada de função densidade deprobabilidade de X .

Exemplos de Variáveis Aleatórias Contínuas são: peso,

comprimento, voltagem, corrente, pressão, temperatura,

tempo.


Variável Aleatória Discreta

Vimos que se X é uma variável discreta, então assume um número enumerávelde valores x1, x2, . . . e podemos descrever seu comportamento probabilísticodeterminando sua função probabilidade p de massa que determina aprobabilidade de cada um dos possíveis valores que X pode assumir. Destemodo, temos que para qualquer evento de interesse A, podemos calcularP(X ∈ A) somando as probabilidades de todos os valores xi que estão em A,ou seja, P(X ∈ A) =

∑

i :xi∈Ap(xi ).

Em particular, temos que a função de distribuição acumulada de uma variávelaleatória discreta X , FX (x) = P(X ≤ x) =

∑

i :xi≤xp(xi ), é sempre uma função

degrau com saltos nos pontos de xi de altura p(xi ).


Exemplo

Exemplo 2.1

Assuma que X é uma variável aleatória discreta que assume os valores 2, 5,e 7 com probabilidades 1/2, 1/3, e 1/6, então sua função de distribuiçãoacumulada é:

FX (x) =

0 se x < 2,1/2 se 2 ≤ x < 5,5/6 se 5 ≤ x < 7,1 se x ≥ 7.


Exemplo

Exemplo 2.2

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X é dada por

F (x) =

0 se x < 0,1/4 se 0 ≤ x < 1,3/8 se 1 ≤ x < 3,1/2 se 3 ≤ x < 6,3/4 se 6 ≤ x < 10,1 se x ≥ 10,

(a) Determine a função probabilidade de massa de X .

(b) Determine P(1 ≤ X < 6|X < 9).


Esperança de uma Variável Aleatória Discreta

Considere o cálculo do resultado médio de 1000 lançamentos de um dado. Umamaneira de calcular este resultado médio seria somar todos os resultados edividir por 1000. Uma maneira alternativa seria calcular a fração p(k) de todosos lançamentos que tiveram resultado igual a k e calcular o resultado médioatravés da soma ponderada:

1p(1) + 2p(2) + 3p(3) + 4p(4) + 5p(5) + 6p(6).

Quando o número de lançamentos se torna grande as frações de ocorrência dosresultados tendem a probabilidade de cada resultado.

Definição 2.3

Se X é uma variável aleatória discreta assumindo valores x1, x2, x3, . . . comprobabilidade p1, p2, p3, . . ., respectivamente, então sua esperança é dadapela fórmula

EX =∑

i

xipi ,

desde que este somatório esteja bem definido. Caso EX seja finita, diz-seque X é integrável.


Exemplos

Exemplo 2.4

Considere uma variável aleatória X tal que: P(X = −1) = 0,25,P(X = 0) = 0,5 e P(X = 2) = 0,25. Então,

EX = −1(0,25) + 0(0,5) + 2(0,25) = 0,25.

Observação 2.5

Não confunda a esperança de uma variável aleatória com o seu valor maisprovável. Neste exemplo, EX = 0,25, porém o valor mais provável é 0. Ovalor mais provável de uma variável aleatória é conhecido como moda davariável. A esperança (valor esperado ou média) de uma variável aleatóriaX é para ser interpretada como a média aritmética do valor de X quando serepete os experimento várias vezes e calcula-se o valor de X para cada umadas realizações do experimento.


Variância de uma Variável Aleatória Discreta

Como vimos diferentes variáveis aleatórias podem ter a mesma esperança. Porexemplo, considere uma variável X que descreve o resultado de um dadohonesto e uma variável Y que é igual a 3 se uma moeda honesta for jogada ecair cara e igual a 4 se a moeda cair coroa. Temos

EX = (1 × 16) + (2 × 1

6) + (3 × 1

6) + (4 × 1

6) + (5 × 1

6) + (6 × 1

6) = 3,5, e

EY = (3 × 12) + (4 × 1

2) = 3,5.

Portanto, não se consegue distinguir entre as variáveis X e Y do ponto de vistada esperança. Porém, a variável aleatória Y é mais concentrada ao redor daesperança. Portanto, uma maneira de distinguir entre essas variáveis é utilizaralguma medida de dispersão ou variabilidade. Para isso define-se a variância deuma variável aleatória.


Definição da Variância de uma Variável AleatóriaDiscreta

Definição 2.6

A variância de uma variável aleatória discreta X é uma média ponderadadas distância entre os valores que X pode assumir e a esperança de X , ondeos pesos são as probabilidades de cada um desses valores que X assume.Formalmente, se X assumir os valores x1, x2, . . . com probabilidadep1, p2, . . ., respectivamente, então sua esperança é dada pela fórmula

Var(X ) =∑

i

(xi − EX )2pi .


Desvio-Padrão de uma Variável Aleatória

Note que se X for medido em uma dada unidade de medida (por exemplo, m),então a variância de X será medida em valores de quadrado desta unidade(m2). Por isto, às vezes é comum se utilizar o desvio-padrão de uma variávelaleatória como medida de sua variabilidade. O desvio-padrão σ(X ) de X éigual a

√

Var(X ).


Exemplos

Exemplo 2.7

O número X de mensagens enviadas por hora, através de uma rede decomputadores, tem a seguinte distribuição: X assume os valores10, 12, 15, 20 com probabilidades 0,1; 0,3; 0,5; 0,1, respectivamente.Determine o desvio-padrão e a esperança de X .


Aleatória ou Uniforme Discreta

Definição 3.1

Dizemos que X tem uma distribuição uniforme discreta com parâmetro n,onde n é um número inteiro positivo, se X (w) ∈ x1, x2, . . . , xn e p(xi ) =

1n,

para i ∈ 1, . . . , n.

A função de probabilidade uniforme discreta pode ser utilizada sempre que ospossíveis valores da variável aleatória forem equiprováveis, como é o caso demodelar mecanismos de jogos (por exemplo, dados e moedas balanceados,cartas bem embaralhadas). Utilizando a propriedade de aditividade daprobabilidade, é fácil ver que para qualquer evento A ⊆ x1, x2, . . . , xn, temosque P(X ∈ A) = ||A||

n.

É fácil ver que se X tem uma distribuição uniforme discreta, então:

EX =1n

n∑

i=1

xi , e VarX =1n

n∑

i=1

(xi − EX )2.


Bernoulli

Definição 3.2

Dizemos que X tem uma distribuição Bernoulli com parâmetro p, onde0 ≤ p ≤ 1, se X (w) ∈ x0, x1 e p(x1) = p = 1 − p(x0).

A função de probabilidade Bernoulli pode ser utilizada para modelar aprobabilidade de sucesso em uma única realização de um experimento. Nestecaso, tem-se x0 = 0 (fracasso) e x1 = 1 (sucesso) e p é conhecida comoprobabilidade de sucesso do experimento. Em geral, qualquer variável aleatóriadicotômica, ou seja que assume somente dois valores, pode ser modelada poruma distribuição Bernoulli. Denomina-se de ensaio de Bernoulli, qualquerexperimento que tem uma resposta dicotômica. Um exemplo clássico de umensaio Bernoulli é o lançamento de uma moeda não necessariamentebalanceada.

É fácil ver que se X tem uma distribuição Bernoulli assumindo valores 0 e 1com probabilidades 1 − p e p, respectivamente, então:

EX = p, e VarX = p(1 − p).


Binomial

Definição 3.3

Dizemos que X tem uma distribuição Binomial com parâmetros n e p, onden é um número inteiro e 0 ≤ p ≤ 1, se X (w) ∈ 0, 1, . . . , n ep(k) =

(

n

k

)

pk(1 − p)n−k , para k ∈ 0, 1, . . . , n.

Uma distribuição binomial pode ser obtida quando se considera n repetiçõesindependentes de ensaios Bernoulli, e estamos interessados no total de vezesque nesses ensaios obtivemos valor x1 para a variável. A função deprobabilidade binomial pode ser utilizada para modelar a quantidade de errosem um texto de n símbolos quando os erros entre símbolos são assumidosindependentes e a probabilidade de erro em um símbolo do texto é igual a p.Também pode ser utilizada para modelar o número de caras em n lançamentosde uma moeda que possui probabilidade p de cair cara em cada lançamento.Se p = 1/2, temos um modelo para o número de caras em n lançamentos deuma moeda justa. A figura a seguir nos mostra a função probabilidade demassa da Binomial(8; 0,2).


Binomial (cont.)


Binomial (cont.)

Se Y1,Y2, . . . ,Yn são variáveis aleatórias Bernoulli(p) independentes queassumem os valores 0 ou 1, então X = Y1 + Y2 + . . .Yn tem uma distribuiçãoBinomial(n, p).

Deste modo, é fácil ver que:EX = np, e

VarX = np(1− p).

Pode-se provar que o valor mais provável de uma variável aleatória binomial éigual ao maior inteiro menor que (n + 1)p. No exemplo da figura anterior,observe que o valor mais provável é para k = 1, pois (n + 1)p = 1,8.


Exemplos

Exemplo 3.4

Uma moeda com probabilidade 0,4 de cair cara é jogada 5 vezes, qual aprobabilidade de se obter exatamente 2 coroas?Solução: Seja X o número de caras obtidos. Como jogamos a moeda 5vezes, o evento obter exatamente 2 coroas é igual ao evento obterexatamente 3 caras. Portanto, P(X = 3) =

(

5

3

)

(0, 4)3(0, 6)2.

Exemplo 3.5

A taxa de sucesso de um bit em uma transmissão digital é 90%. Se 20 bitsforem transmitidos, qual a probabilidade de que exatamente 15 deles tenhasido transmitidos com sucesso? Qual a probabilidade de que no máximo 18deles tenham sido transmitidos com sucesso?


Exemplos

Exemplo 3.6

Suponha que para uma dada moeda viciada a probabilidade de que ocorram3 caras seja igual a probabilidade que ocorram 4 caras se esta moeda forjogada 8 vezes de forma independente. Determine a probabilidade deocorrerem 3 caras em 8 lançamentos independentes desta moeda.


Geométrica

Definição 3.7

Dizemos que X tem uma distribuição Geométrica com parâmetro β, onde0 ≤ β < 1, se X (w) ∈ 1, 2, 3, . . . e p(k) = (1 − β)βk−1, parak ∈ 1, 2, 3, . . ..

A função de probabilidade Geométrica pode ser utilizada para modelar onúmero de repetições do lançamento de uma moeda até a primeira ocorrênciade cara, o instante de tempo, medido em unidades de tempo inteira, até achegada do próximo consumidor em uma fila, ou até a próxima falha em umequipamento.

Se X for uma variável aleatória com distribuição de probabilidade Geométricacom parâmetro β, pode-se provar que:

EX =1

1 − β, e

VarX =β

(1 − β)2.


Exemplo

Exemplo 3.8

Suponha que joga-se uma moeda com probabilidade de cara igual a0 < p < 1 independentemente até que uma coroa ocorra. Seja X o númerode repetições necessárias até que coroa apareça nesta sequência, de modoque se o primeiro lançamento for coroa temos que X = 1. Qual aprobabilidade do evento X = k para k ∈ 1, 2, 3, . . .? Note que para queX = k é necessário que os primeiros k − 1 lançamentos sejam caras e ok-ésimo lançamento seja coroa, logo pela independência dos lançamentos,temos que P(X = k) = pk−1(1 − p). Ou seja X é uma variável geométricacom parâmetro p.


Propriedade

Observação 3.9

Pode se provar que se X tem uma distribuição geométrica com parâmetro β,então para quaisquer dois inteiros positivos s e t,

P(X > s + t|X > s) = P(X > t),

ou seja, se soubermos que X é maior que s então a probabilidade que X sejamaior que s + t é igual a probabilidade incondicional de X ser maior que t.Esta propriedade é conhecida como falta de memória. Por isso, adistribuição geométrica é útil para modelar tempos de vida útil deequipamentos que não sofrem efeitos de envelhecimento ou degradação como tempo.


Hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica descreve o número de sucessos em umasequência de n amostras de uma população finita sem reposição.Por exemplo, considere que tem-se uma carga com N objetos dos quais D têmdefeito. A distribuição hipergeométrica descreve a probabilidade de que emuma amostra de n objetos distintos escolhidos da carga aleatoriamenteexatamente k objetos sejam defeituosos.

Em geral, se uma variável aleatória X segue uma distribuição hipergeométricacom parâmetros N,D , e n, então a probabilidade de termos exatamente k

sucessos é dada por

p(k) =

(

D

k

)(

N−D

n−k

)

(

N

n

) .

Esta fórmula pode ser entendida assim: existem(

N

n

)

possíveis amostras semreposição. Existem

(

D

k

)

maneiras de escolher k objetos defeituosos e existem(

N−D

n−k

)

maneiras de preencher o resto da amostra com objetos sem defeito.


Hipergeométrica

Quando a população é grande quando comparada ao tamanho da amostra (ouseja, N for muito maior que n) a distribuição hipergeométrica é aproximadarazoavelmente bem por uma distribuição binomial com parâmetros n (tamanhoda amostra) e p = D/N (probabilidade de sucesso em um único ensaio).Se X for uma variável aleatória com distribuição de probabilidadeHipergeométrica com parâmetro N,D ,n, pode-se provar que:

1 EX = nD

N.

2 VarX = nD

N

(N−D)(N−n)N(N−1)

.


Exemplo

Exemplo 3.10

Suponha que uma urna contém 20 bolas brancas e 10 bolas pretas. Se 4bolas são retiradas da urna. Determine:

(a) A probabilidade de pelo menos uma bola ser branca, se as bolas sãoretiradas com reposição.

(b) A probabilidade de pelo menos uma bola ser branca, se as bolas sãoretiradas sem reposição.


Poisson

Definição 3.11

Dizemos que X tem uma distribuição Poisson com parâmetro λ, onde λ ≥ 0,

se X (w) ∈ 0, 1, . . . e p(k) = e−λ λk

k!, para k ∈ 0, 1, . . ..

A função de probabilidade Poisson é utilizada para modelar a contagem donúmero de ocorrências de eventos aleatórios em um certo tempo T : número defótons emitidos por uma fonte de luz de intensidade I fótons/seg em T

segundos (λ = IT ), número de clientes chegando em uma fila no tempo T

(λ = CT ), número de ocorrências de eventos raros no tempo T (λ = CT ).


Poisson

A figura a seguir nos mostra a função probabilidade de massa da Poisson para3 valores de parâmetros 1, 4, e 10.

Se X for uma variável aleatória com distribuição de probabilidade Poisson comparâmetros λ, pode-se provar que:

1 EX = VarX = λ e Moda(X ) é o maior inteiro menor ou igual a λ.


Exemplo

Exemplo 3.12

Se a probabilidade de 0 fótons serem emitidos no tempo T é igual a 0,1,então qual a probabilidade de pelo menos 2 fótons serem emitidos no tempoT?

Exemplo 3.13

Suponha que o número de clientes que chegam em um banco segue umadistribuição de Poisson. Se a probabilidade de chegarem 3 clientes for otriplo da de chegarem 4 clientes em um dado período de 10 minutos.Determine:

(a) Qual o número esperado de clientes que chegam em um período de 1hora neste banco?

(b) Qual o número mais provável de clientes que chegam em um períodode 1 hora neste banco?


Variável Aleatória Contínua

Em muitos fenômenos que analisamos na prática, as variáveis aleatóriasenvolvidas têm natureza contínua podendo assumir uma quantidade nãoenumerável de valores. Vimos na seção anterior que se uma variável aleatória écontínua, então existe uma função fX (x) ≥ 0 tal que FX (x) =

∫

x

−∞ fX (t)dt.Uma função f (x) ≥ 0 é densidade de alguma variável aleatória se e somente se,∫∞−∞ f (x)dx = 1, já que neste caso é pode-se provar que a função F definida

por∫

x

−∞ f (t)dt é uma função de distribuição acumulada. Logo, a distribuiçãode uma variável aleatória contínua X pode ser determinada tanto pela funçãode distribuição acumulada FX ou pela sua função de densidade fX .Como vimos P(X = a) = FX (a)− FX (a

−). No caso, de uma variável aleatóriacontínua, temos que

FX (a)− FX (a−) =

∫

a

−∞fX (t)dt −

∫

a−

−∞fX (t)dt = 0.

Portanto, para qualquer variável contínua X , sua função de distribuiçãoacumulada é contínua, o que implica que a probabilidade de ela assumirqualquer número real a é igual a 0.


Variável Aleatória Contínua

Para melhor compreender este tipo de variável aleatória considere aprobabilidade de escolher um número real entre 0 e 1 considerando que todosos valores têm a mesma chance de serem escolhidos. Como existem, umaquantidade infinita não-enumerável de números entre 0 e 1, a probabilidade dese escolher um número específico, por exemplo,

√2

2, é igual a 0. Neste caso, só

faz sentido falar na probabilidade do número escolhido estar em determinadosubintervalo. Em geral, se a e b são números reais tais que a < b, tem-se nocaso de variável aleatória contínua X que

P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) =

∫

b

a

f (t)dt.

Analogia: A massa de qualquer ponto no espaço é igual a zero, pois um pontoé admensional. Para descrevermos a distribuição de massa de um certo objetodefine-se sua densidade de massa. Para obtermos a massa de uma dada regiãodo objeto integra-se a densidade de massa na região de interesse. A mesmaidéia se aplica a densidade de probabilidade: é uma função que ao integrarmosobtemos uma probabilidade de uma dada região da reta real.


Observação

Note que como para calcular probabilidades, utilizando uma função densidadede probabilidade f , estamos apenas interessados na integral de f , ou seja, naárea compreendida entre a função f e o eixo dos x no plano cartesiano, sealterarmos a definição de uma densidade f em alguns pontos isolados, nãoestaremos alterando esta área e portanto do ponto de vista do cálculo deprobabilidades, alterar a função densidade de probabilidade em pontos

isolados não influi em nada.


Exemplo

Exemplo 4.1

Suponha que um ponteiro de relógio se move de modo contínuo. Aoolharmos para o relógio em um instante aleatório seja X o valor do ânguloem graus que o ponteiro forma com a reta que passa pelo pontos queindicam 3 e 9 horas.

(a) Determine a função densidade de probabilidade de X .

(b) Determine P(90 < X < 180|X < 270).


Exemplo

Exemplo 4.2

A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por

f (x) =

0 se x < 0 e x ≥ 1,cx4 se 0 ≤ x < 1.

(a) Determine a constante c.

(b) Determine P(1/2 < X < 2/3).


Esperança de uma Variável Aleatória Contínua

Como vimos no caso discreto a Esperança de uma variável aleatória é análogoao centro de gravidade de uma certa distribuição de massa. Isto motiva aseguinte definição de esperança.

Definição 4.3

Se X é uma variável aleatória contínua com função densidade deprobabilidade f , então sua esperança é dada pela fórmula

EX =

∫ ∞

−∞xf (x)dx ,

desde que a integral esteja bem definida. Caso EX seja finita, diz-se que X

é integrável.


Exemplo

Exemplo 4.4


f (x) =

0 se x < 0 e x ≥ 1,5x4 se 0 ≤ x < 1.

(a) Determine EX .

Observação 4.5

Este exemplo ilustra que a esperança de X não é o valor que maximiza afunção densidade de probabilidade, este valor é conhecido como moda dadistribuição de X .


Variância de uma Variável Aleatória Contínua

Definição 4.6

A variância de uma variável aleatória contínua X com função densidade deprobabilidade f é dada pela fórmula

Var(X ) =

∫ ∞

−∞(x − EX )2f (x)dx .


Exemplo

Exemplo 4.7


f (x) =

0 se x < 0 e x ≥ 1,5x4 se 0 ≤ x < 1.

(a) Determine VarX .


Uniforme

Definição 5.1

Dizemos que X tem uma distribuição uniforme com parâmetros a e b, onde a

e b são números reais e a < b, se a função densidade de X é igual a

fX (x) =

1b−a

, se a ≤ x ≤ b,

0 , caso contrário.

Este modelo deve ser usado quando se acredita que a probabilidade de umsubintervalo de [a, b] é proporcional ao seu comprimento. Esta distribuiçãotambém é frequentemente utilizada para, modelar a fase de osciladores e fasede sinais recebidos em comunicações incoerentes. Ela também serve paramodelar a escolha de um número aleatório entre a e b.


Uniforme (cont.)

Neste caso, a função de distribuição acumulada é dada por:

FX (x) =

∫

x

a

1b − a

dt =

0 , se x < a,x−a

b−a, se a ≤ x < b,

1 , se x ≥ b.

É fácil ver que se X tem uma distribuição uniforme no intervalo [a, b], então:

EX =a + b

2, e

VarX =(b − a)2

12.


Exemplo

Exemplo 5.2

Sabe-se que é igualmente provável que um dado cliente possa requisitar umserviço no tempo disponível de serviço [t0, t1]. Se o tempo necessário paraexecutar este serviço é igual a τ < t1 − t0, qual a probabilidade que oserviço será executado antes do término do intervalo de tempo disponível deserviço?Solução: Para que o serviço seja executado em tempo hábil, é necessárioque o cliente o requisite antes do tempo t1 − τ . Logo,P(X ≤ t1 − τ ) = 1

t1−t0

∫

t1−τ

t0dt = t1−τ−t0

t1−t0.


Exponencial

Definição 5.3

Dizemos que X tem uma distribuição Exponencial com parâmetro λ, ondeλ > 0 é um número real, se a função densidade de X é igual a

fX (x) =

λe−λx , se x ≥ 0,0 , caso contrário.

A densidade exponencial pode ser utilizada para modelar os seguintesfenômenos: tempo de vida de componentes que falham sem efeito de idade;tempo de espera entre sucessivas chegadas de fótons, emissões de elétrons deum cátodo, ou chegadas de consumidores; e duração de chamadas telefônicas.


Exponencial (cont.)


Exponencial (cont.)

Neste caso, a função de distribuição acumulada é dada por:

FX (x) =

∫

x

0

f (t)dt =

0 , se x < 0,1 − e−λx , se x ≥ 0.

Pode-se provar que

EX =1λ

, e

VarX =1λ2

.


Propriedade

Observação 5.4

A distribuição exponencial também possui a propriedade de falta dememória, ou seja, para quaisquer s ≥ 0 e t ≥ 0, temos

P(X > s + t|X > s) = P(X > t).


Exemplo

Exemplo 5.5

Observa-se que um tipo particular de chip é igualmente provável durarmenos que 5.000 horas ou mais que 5.000 horas. Determine:

(a) Determine o tempo de duração médio de um chip deste tipo.

(b) Qual a probabilidade que o chip durará menos de 1.000 horas ou maisde 10.000 horas?

Solução: Seja X o tempo de duração de um chip deste tipo. Tempos que X

tem uma distribuição exponencial, devemos agora determinar seuparâmetro. Sabe-se que P(X < 5000) = P(X > 5000), e comoP(X < 5000) + P(X > 5000) = 1, temos que P(X < 5000) = 0,5. Portanto,1 − e−λ(5000) = 0,5, ou seja, λ = log 2

5000. Então, o tempo de duração médio

deste tipo de chip é 5000log 2

horas.Para calcular a probabilidade desejada temos que

P([X < 1000] ∪ [X > 10000]) = P(X < 1000) + P(X > 10000)

= 1 − e− log 2

5 + e−2 log 2 = 1 − (2)−

15 + (2)−2 = 0,3794.


Normal ou Gaussiana

Definição 5.6

Dizemos que X tem uma distribuição Normal (ou Gaussiana) comparâmetros µ e σ, onde µ e σ > 0 são números reais, se a função densidadede X é igual a

fX (x) =1

σ√

2πe

−(x−µ)2

2σ2 .

Historicamente, esta distribuição foi chamada de “normal” porque ela era

amplamente aplicada em fenômenos biológicos e sociais que era sempre tida

como a distribuição antecipada ou normal. Aplicações da distribuição normal

incluem variabilidade em parâmetros de componentes manufaturados e de

organismos biológicos (por exemplo, altura, peso, inteligência). (Pode parecer

estranho, modelar quantidades que só assumem valores positivos por uma

distribuição normal onde valores negativos aparecem. Nestes casos o que

ocorre é que os parâmetros µ e σ2 devem ser escolhidos de modo que a

probabilidade da variável assumir um valor negativo seja aproximadamente nula

de modo que a representação seja válida.)


Normal (cont.)

Observe que a densidade é simétrica em torno do parâmetro µ, e quanto menoro parâmetro σ mais concentrada é a densidade em torno deste parâmetro µ.Pode-se provar que os pontos µ− σ e µ+ σ são os pontos de inflexão dográfico de fX .


Normal (cont.)

Pode-se provar que µ e σ2 são iguais a esperança e a variância da distribuiçãonormal, respectivamente. Se µ = 0 e σ2 = 1 chamamos esta densidade denormal padrão ou normal reduzida.

Teorema 5.7

Se X ∼ N(µ, σ2) e se Y = aX + b, onde a > 0 e b ∈ IR, então Y terá

distribuição N(aµ+ b, a2σ2).

Prova: Note que

FY (y) = P(Y ≤ y) = P(aX + b ≤ y) = P(X ≤ y − b

a) = FX (

y − b

a).

Derivando a expressão acima em relação a y , temos

fY (y) =1afX (

y − b

a) =

1√2πaσ

e−(

y−ba

−µ)2

2σ2 =1√

2πaσe

(y−(b+aµ))2

2a2σ2 ,

ou seja, Y ∼ N(aµ+ b, a2σ2).


Normal (cont.)

Corolário 5.8

Se X ∼ N(µ, σ2), então Y = X−µ

σtem distribuição normal padrão.

Pode-se provar que se Xi ∼ N(µi , σ2i ) são independentes, e ai ∈ IR , para

i = 1, 2, 3, . . ., então Y = c +∑

n

i=1 aiXi também tem distribuição normal commédia EY = c +

∑

n

i=1 aiµi e variância VarY =∑

n

i=1(aiσi )2.


Tabulação da Distribuição Normal

Se X ∼ N(0, 1), então

P(a < X ≤ b) =

∫

b

a

1√2π

e−x2

2 dx .

Esta integral não pode ser resolvida analiticamente, contudo métodos deintegração numérica podem ser empregados para calcular integrais da formaacima e de fato valores de P(X ≤ s) existem em várias tabelas. A função dedistribuição acumulada de uma normal padrão é usualmente denotada por Φ.

Portanto, temos que Φ(s) =∫

s

−∞1√2π

e−x2

2 dx . Então, consultando valores deΦ em uma tabela, podemos determinar que P(a < X ≤ b) = Φ(b)− Φ(a).Utilizando o resultado do Corolário 5.8 e valores de Φ, podemos obter paraqualquer X ∼ N(µ, σ2), o valor de P(a < X ≤ b):

P(a < X ≤ b) = P(a − µ

σ<

X − µ

σ≤ b − µ

σ)

Φ(b − µ

σ)− Φ(

a − µ

σ)


Observação

Observação 5.9

Da simetria em torno de zero da normal padrão, temos queΦ(s) = P(X ≤ s) = P(X ≥ −s) = 1 −Φ(−s) para qualquer valor de s. Estarelação pode ser útil, pois frequentemente tabelas da distribuição normal sópossuem os valores positivos de s.


Exemplo

Exemplo 5.10

Suponha que X tenha uma distribuição N(2; 0,16). Empregando a tábua dedistribuição normal, calcule as seguintes probabilidades:

(a) P(X ≥ 2,3).

(b) P(1,8 ≤ X ≤ 2,1).

Solução: Parte (a),

P(X ≥ 2,3) = 1 − P(≤ 2,3) = 1 − Φ(2,3 − 2

0,4)

= 1 −Φ(0,75) = 1 − 0,7734 = 0,2266.

Parte (b),

P(1,8 ≤ X ≤ 2,1) = Φ(2,1 − 2

0,4)− Φ(

1,8 − 20,4

)

= Φ(0,25) − Φ(−0,5) = 0,5987 − 0,3085 = 0,2902.


Exemplo

Exemplo 5.11

Uma clínica de emagrecimento recebe pacientes com peso seguindo umadistribuição normal com média 100Kg e desvio-padrão 20Kg. Os 25% depacientes com menor peso são classificados como magros enquanto os 25%de maior peso são classificados como obesos. Determine os valores quedelimitam cada uma dessa classificações.

Documents

Aula 2: Vari veis Aleat rias Discretas e Cont nuas e suas ...de.ufpe.br/~leandro/SlidePEP915Aula2.pdf · Aula 2: Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas e suas Principais Distribuições