CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 08 de julho de 2013

CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3

ESTRATÉGIAS DE CÁLCULOESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

08 de julho de 2013

REVISÃO

1. INTRODUÇÃO GERAL1. INTRODUÇÃO GERAL1.1 Engenharia1.2 Engenharia Química1.3 Sistema1.4 Engenharia de Sistemas1.5 Inteligência Artificial1.6 Engenharia de Processos 1.6.1 Estrutura dos Processos 1.6.2 Projeto de Processos 1.6.3 Síntese 1.6.4 Análise 1.6.5 Otimização 1.6.6 Métodos de Projeto 1.6.7 Nova Sistemática para o Projeto1.3 Organização do Texto/Disciplina1.4 Origem e Evolução da Engenharia de Processos1.5 Computação1.6 Bibliografia.

ENGENHARIA

Com ela, vieram os cursos superiores para a formação profissional de engenheiros, que vieram substituir os artesãos.

Do Artesanato à

Dedica-se à aquisição e à aplicação de conhecimentos de natureza física, técnica, matemática e econômica para a

criação, aperfeiçoamento e implementação de materiais, estruturas, máquinas e aparelhos, sistemas ou processos, com a finalidade de satisfazer as necessidades básicas da sociedade.

Engenharia Química

É o ramo da Engenharia dedicado ao projeto, à construção e à operação dos processos químicos de produção.

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS

ENG. DE EQUIPAMENTOS

Investigar mercado

para o produto

Investigar disponibilidade de matéria prima

Estabelecer as condições da reação e sub-produtos

Estabelecer o número

e o tipo dos reatores

Definir o número e o tipo dos

separadores

Definir o número e o tipo de trocadores de

calor

Estabelecer malhas

de controle

Definir o fluxogramado processo

Calcular as dimensões

dos equipamentosCalcular o consumo

de matéria prima

Calcular o consumo de

utilidades


insumos

Calcular a vazão dascorrentes

intermediárias

Investigar reagentesplausíveis Avaliar a

lucratividadedo processo

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS


Uma maior organização da execução do projeto veio com a Engenharia de Processos

A Engenharia de Processos surgiu com a “Fertilização” da Eng. Química tradicional com elementos de:

Resultando:

Utilização mais organizada e mais eficiente dos conhecimento específicos da Engenharia Química no Projeto de Processos:

- Projeto mais rápido e mais eficiente.

- Processos mais econômicos, seguros e limpos.

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS


ENG. DE PROCESSOS

Engenharia de Sistemas:No tratamento de conjuntos complexos de elementos interdependentes

Inteligência Artificial:Na resolução de problemas combinatórios

Resumindo:

Um fato relevante ao final da década de 60

Com de elementos de

Engenharia de Sistemas e Inteligência Artificial

TEORIA DE PROJETO

Começou a surgir uma

As Teorias existentes, até então, explicavam apenas fenômenos naturais ...(Química, Física, Biologia...).

Teoria de Projeto

Eng. Naval

Eng. Elétrica

Eng.Química

Eng. Mecânica

Conhecimento específico

de cada área utilizado intuitivamente

Aplicável a todas as áreas

As engenharias

experimentaram um ganho expressivo

Engenharia de Processos

Tendões: Fazem a ligação entre os músculos e os ossos.

Vísceras: São os órgãos que ficam nas cavidades do tórax e abdômen, como os pulmões, o fígado (o mais pesado do corpo), os rins, o baço, o estômago e os intestinos delgado e grosso.

São meios de transporte!OK!

E agora ?

E agora ????

O quê estes objetos têm em comum?

Apesar de inteiramente distintos quanto à forma e a finalidade, os seus processos de criação e montagem seguem uma

metodologia inteiramente análoga (exceto o corpo humano)

Esses objetos recebem, então, uma denominação genérica

SISTEMAS

Um sistema (do grego sietemiun), é um conjunto de elementos interconectados, de modo a formar um todo organizado.

21

3 4

5

7

6

Para uma dada finalidade

Processo Químico !

Eco - Sistemas Corpo Humano

Criados Sistemas Econômicos

Constatados

ConcretosTangíveis

Observa-se que SISTEMA é um conceito abrangente:

21

3 4

5

7

6

Origem AbstratosIntangíveis

Quanto à origem: constatados ou criados pelo homem

Quanto à natureza dos elementos e conexões: concretos (tangíveis) , abstratos (intangíveis)

e interdependentes (através das correntes)

O Processo Químico como um SISTEMA

Um conjunto de elementos especializados (equipamentos)

reunidos para um determinado fim (produção de um produto).

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

extrato

águaágua

vapor

EVAPORADOR

EXTRATOR

CONDENSADORRESFRIADOR

MISTURADOR

alimentação

bombaDECANTADOR

20 HP

rafinadoproduto

W11

T11

W6

T6

W4

T4

f14

f24x14

W7

T7

T3

W1

T1x11

f11

f21

T2

f12

Ar

Ae

Vlt

r

f32

f23

Ac

W8

T8

W15

T15

W13

T13

W14

T14

W12

T12

W10

T10

W9

T9

W5

T5

f13

Com o aumento da complexidade dos sistemas desenvolvidos pelo homem, pesquisadores sentiram a necessidade de estudar

formalmente as propriedades de sistemas em geral.

Engenharia de Sistemas

Sentiram que não bastava conhecer o comportamento individual dos elementos.

Esse novo campo do conhecimento foi batizado na década de 1940, no Laboratório da Bell, de Engenharia de Sistemas.

Tornou-se necessário estudar o comportamento dos elementos quando interligados a outros: o comportamento do conjunto e desenvolver técnicas para a construção de sistemas de maneira

rápida e confiável

INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL

Ramo da Ciência da Computação que estuda a forma como o homem utiliza intuitivamente

Inteligência e Raciocínio

na solução de problemas complexos,

implementando-as em máquinas

Estratégias BásicasDecomposiçãoRepresentação

O conjunto das soluções dos sub-problemas forma a solução do Problema original.

SP 1 SP 2 SP 3 SP 4

SP 1 SP 2 SP 3 SP 4

Problema Resolvido

Os subproblemas são resolvidos de forma coordenadaDECOMPOSIÇÃO

raiz

De cada estado sai uma bifurcação para os estados que

dele se originam: há uma decisão associada.

Ao longo dos ramos estão os estados intermediários

percorridos durante a resolução do problema.

Nas extremidades dos ramos encontram-se os estados finais, configurações completas, que são as soluções alternativas do problema.

REPRESENTAÇÃO

Área da Engenharia Química dedicada ao

Projeto de Processos Químicos

ENGENHARIA DE PROCESSOS

O Projeto resulta de um conjunto de ações desenvolvidas

DesdeA decisão de se produzir um determinado produto

AtéÀ conclusão do Projeto

As ações são numerosas e diversificadas !!!

PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS

É o conjunto de documentos elaborados por uma equipe de engenheiros com detalhes suficientes para a construção e a

operação de uma planta industrial

Investigar mercado

para o produto

Investigar disponibilidade de matéria prima

Estabelecer as condições da reação e sub-produtos


e o tipo dos reatores

Definir o número e o tipo dos

separadores


calor

Estabelecer malhas

de controle


Calcular as dimensões

dos equipamentosCalcular o consumo

de matéria prima


utilidades


insumos


intermediárias

Investigar reagentesplausíveis Avaliar a

lucratividadedo processo


e o tipo dos reatoresDefinir o número e o tipo dos separadores


calor

Estabelecer malhas

de controle


Investigar mercado para o produto

Investigar disponibilidade

das matérias primas

Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados

Investigar reagentesplausíveis

SELEÇÃO DEROTAS QUÍMICAS

SÍNTESE ANÁLISE

Calcular as dimensõesdos equipamentos

Calcular o consumo de matéria prima

Calcular o consumo de utilidades

Calcular o consumo dos insumos


intermediárias

Avaliar a lucratividadedo processo

Primeiro passo

DIFICULDADE:

MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

Seleção da Rota Química

Rotas para a produção de fenol

DIFICULDADE NA SÍNTESE


SÍNTESE

Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo

RM

Reator demistura

RT

Reator tubular

DS

Coluna de destilaçãosimples

DE

Coluna de destilaçãoextrativa

A

Aquecedor

R

Resfriador

T

Trocador deIntegração

Este problema é simples

O espaço das soluções é constituido apenas de 8 fluxogramas

DS

RM

R

A

A,B

P,A

P

A

(7)

RM

A,B

P,A

DS

P

A

T

(8)

RM

R

A

A,B

P,A

P

A

DE

(9)

DSRT RAA,B A,P

P

A

(11)

RM

A,B

P,A

P

A

T DE

(10)

DSRT A,P

P

A

T

A,B

(12)

RT RAA,B A,P

P

A

DE

(13)

RT A,P

P

A

T

A,B

DE

(14)

UM RISCO INERENTE À SÍNTESE . . .

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

Muitas soluções para analisar

DIFICULDADE NA ANÁLISE


ANÁLISE

1 2

Q = 10.000 kgA/h

x = 0,02 kgAB/kgAo

W1

kgB/hW2

kgB/h

y1

kgAB/kgBy2

kgAB/kgB

x1

x2

kgAB/kgAkgAB/kgA

Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0

Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB

Para cada par de valores x1,x2 resultam valores de W1, W2, y1, y2 e Lucro

Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,030

0,035

02468

101214161820

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

0,016

0,018

0,020

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE

Dificuldade: infinidade de soluções viáveis

A cada par (x1,x2) corresponde uma solução viável

OTIMIZAÇÃO

Todo problema com Multiplicidade de Soluções

Exige a busca da sua

OTIMIZAÇÃO

Solução Ótima

através da

Primeiro fator de complexidade: multiplicidade de soluções nos três níveis.

Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química.

Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.

Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.

O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.

Constata-se, assim, que ...

Segundo fator de complexidade: Os 3 problemas são interdependentes. A solução ótima de um

está atrelada à solução ótima dos outros dois.

Resolução por Busca Orientada por Árvore de Estados

Uma abordagem...

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados

P?? ?

D+E P+FD,E P,F

??

A+B P+CA,B P,C

??

1 PAB Cx

?

T D

2PA

B Cx

?T A

P3DE Fx

?

DM

PF

4DE x

?

M E

L

x

6

x o = 3x*

8

L

xx o = 4x*

L

10

xx o = 6x*

L

x

7

x o = 5x*

P?? ?

D+E P+FD,E P,F

??

L

x4

10

?

P3DE Fx

Nível TecnológicoSeleção de uma Rota

Fluxograma ?Dimensões ?

Nível EstruturalSíntese de um

FluxogramaDimensões ? Lucro?

Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma

Dimensionamentodos Equipamentos

e das Correntes. Lucro.Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões.

RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada

Vantagem

Varre todas as soluções sem repetições

sem omitir a ótima

Desvantagem

Explosão Combinatória(outros métodos)

INTRODUÇÃO GERAL

1

INTRODUÇÃO À

SÍNTESE DE PROCESSOS

8

6

SÍNTESE DESISTEMAS DE SEPARAÇÃO

7

SÍNTESE

SÍNTESE DE

SISTEMAS DE

INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA

INTRODUÇÃO À

ANÁLISE DE PROCESSOS

2

ESTRATÉGIAS

DE CÁLCULO

3

OTIMIZAÇÃOAVALIAÇÃO

ECONÔMICA

4 5

ANÁLISE

2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS

2.1 Objetivo e Procedimento Geral2.2 Etapas Preparatórias 2.2.1 Reconhecimento do Processo 2.2.2 Modelagem Matemática 2.2.3 Propriedades Físicas e Coeficientes Técnicos2.3 Etapas Executivas: dimensionamento e simulação 2.3.1 Informações Relevantes: condições conhecidas, metas de projeto e de operação 2.3.2 Balanço de Informação: conceito e finalidade, elementos envolvidos, graus de liberdade 2.3.3 Execução: dimensionamento, simulação, otimização 2.3.4 Módulos Computacionais: Estratégia de Cálculo, Avaliação Econômica Preliminar, Otimização Paramétrica2.4 Um Programa Computacional para Análise de Processos

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS


OBJETIVO E PROCEDIMENTO GERAL

“Bola de Cristal”

Objetivo da Análise

Prever e avaliar

o desempenho físico e econômico

ou ainda inexistente (em fase de projeto)

de um processo já existente (em operação)

Consiste em

(a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto.

BaseModelo Matemático

Prever e avaliar o desempenho FÍSICO

(b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado.

Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação.

BaseCritério Econômico

Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO

ESTRATÉGIAS

DE CÁLCULO

3

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

4

INTRODUÇÃO À

ANÁLISE DE PROCESSOS

2

OTIMIZAÇÃO

5

Resumo da Análise de ProcessosCorrespondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais

MODELOFÍSICO

MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO

Variáveis Especificadas

Variáveis de Projeto

Parâmetros Econômicos

ParâmetrosFísicos Dimensões Calculadas Lucro

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator

DimensionarEvaporador

DimensionarCondensador

DimensionarResfriador

DimensionarMisturador

SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMASNA ANÁLISE DE PROCESSOS

2. Escrever o modelo matemático.

1. Reconhecer ou desenhar o fluxograma: equipamentos,correntes, variáveis do processo.

7. Avaliar criticamente o resultado.

6. Resolver o problema.

5. Estabelecer uma estratégia de cálculo.

4. Efetuar o Balanço de Informação.

3. Identificar as variáveis conhecidas e as metas de projeto.

fundamental

mais importante

MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3

Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos

f1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 . . . . . .fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0

N equaçõesM incógnitas

Modelo do Processo Ilustrativo

01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. k – (3 + 0,04 Td) = 005. k – x13 / x12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 0

11. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0


20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

26. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0

32. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0

34. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 / W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/ W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 / W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/ W4 = 0


01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. k – (3 + 0,04 Td) = 005. k – x13 / x12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 011. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0

20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 026. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 032. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0

34. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 / W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/ W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 / W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/ W4 = 0

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS


ENG. DE PROCESSOS

Consiste em utilizar os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos

Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução dos modelos em problemas de dimensionamento, simulação eotimização.

Competem ao Engenheiro Químico

(a) Formulação (Modelagem Matemática):

(b) Resolução :

para representar o processo matematicamente.

É pré-requisito para esta Disciplina.

Formulação e Resolução !!!

Formulação e Resolução dos Modelos

A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma

Estratégia de CálculoTema deste Capítulo

Fontes de complexidade:

Em geral, os modelos de processos são muito complexos.

(c) presença de reciclos nos processos

(b) não-linearidades em muitas equações

(a) grande número de equações e de variáveis

Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ???

MODELOFÍSICO

MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO

Variáveis Especificadas

Variáveis de Projeto

Parâmetros Econômicos

ParâmetrosFísicos Dimensões Calculadas Lucro

Objetivo de uma Estratégia de Cálculo

Minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos).

FINALIDADE DO CAPÍTULO 3

3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

3.1 Equações Não - Lineares

3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES

Motivação para o estudo de equações não-lineares isoladas

No dimensionamento e na simulação de equipamentos e de processos podem surgir sistemas de equações que só podem

ser resolvidos por métodos iterativos de tentativas.

Esses métodos são extensões de métodos empregados na resolução de equações isoladas.

A equação

f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0

Pode ser representada como um “processador de informação”

3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação

fj

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

x1

x2 x i - 1

x i + 1xM

x i

As equações do modelo podem ser interligadas pelas variáveis comuns formando um sistema.

Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas.

Os elementos desse sistema são as equações.

As conexões são as variáveis comuns.

Os sistemas de equações podem ser considerados sistemas de processadores que, durante a resolução de um problema,

passam informação de uns para os outros.

f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x x

1x

2x

30

Estrutura Acíclica

f1(xo,x1,x3) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x0

x1

x2

x3

x3

Estrutura Cíclica

Estruturas Básicas

f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x x

1x

2x

30

Estrutura Acíclica

f1(xo,x1,x3) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x0

x1

x2

x3

x3

Estrutura Cíclica

Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo).

Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

Exemplo de estrutura complexa

Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema.

A estrutura de um sistema pode conter partes cíclicas e acíclicas.

Características Especiais na Engenharia de Processos

(a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações.

(b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas.

(c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior otimização.

01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. k – (3 + 0,04 Td) = 005. k – x13 / x12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 0

34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/ W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0

f1 (xo, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0 f3 (x2, x3) = 0xo

x1 x2 x3

f1 (xo, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0 f3 (x2, x3) = 0xo

x1 x2 x3

f (xo, x3) = 0

Um sistema de equações

pode ser tratado como se fosse uma única equação

f3 (x2,x3) = f3 (f2 (x1), x3) = f3 (f2 (f1(xo)) , x3)

x

x*1 2 3 4 5 6 7 8

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

6

o

Decomposição em sub-sistemas

PARTIÇÃO

1. f1(xo,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0

Uma estratégia para resolver o Sistema

1, 2[ ]

Parte Acíclica

xo* x2[ 3, 4 , 5 ,6 ]

Parte Cíclica

x67, 8[ ]

Parte Acíclica

x8

Resolução seqüencial dos sub-sistemas solução do Sistema

Assim, este Capítulo começa com métodos de resolução de equações isoladas.

Em seguida, eles são estendidos aos sistemas de equações encontrados em equipamentos e processos.


Trata-se de equações do tipo

f (x1*, x2*,…, xi,…, xn

*) = 0

em que a incógnita xi é calculada a partir dos valores conhecidos das demais variáveis xj*.

3.1 Equações Não-Lineares

3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.1.1 Representação

A equação

f (x1*, ..., xi - 1

*, xi, xi + 1*,…, xM

*) = 0

pode ser vista como um “processador de informação” assim representado graficamente:


3.1.1 Representação

fj

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

x1

x2 x i - 1

x i + 1xM

x i

A dificuldade da resolução de

f (x1*, ..., xi - 1

*, xi , xi + 1*,…, xM

*) = 0

depende da sua forma funcional.

Se a incógnita fôr x2: x1* x2 + ln x1

* = 0

Se a incógnita fôr x1: x1 x2* + ln x1 = 0

A resolução pode ser analítica simples: x2 = - (ln x1*) / x1

*

A resolução tem que ser numérica por tentativas (inúmeros métodos).

Exemplo: x1 x2 + ln x1 = 0

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação

3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.1.2 Resolução

Métodos de Aproximações Sucessivas

Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares.

Métodos deRedução de Intervalos

Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

Por diferentes raciocínios lógicos, testam novos valores até que a diferença relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

Partem de um intervalo inicial.(limites inferior e superior)

Partem de um valor inicial.

3.1.2 Resolução

Dados os limites superior xs e inferior xi , define-se o intervalo de incerteza xs - xi .

Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução.

xs

xi

(a) Métodos de Redução de Intervalos

xi

xs

xi

xs

Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida: xs - xi .

f (x)

Um método típico de Redução de Intervalos

Método da Bisseção ou Busca Binária

A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.

x

ALGORITMO

SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs

f(x)

x

xi

fi

xs

fs

x

f

xs

fs

xi

fi

x

f

f(x)

Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f

Estabelecer xi, xs, (tolerância)Calcular fi em xi

Calcular fs em xs

REPETIR

x = (xi + xs)/2Calcular f em x

Senão atualizar : xs = x : fs = f

ATÉ xs - xi

x fBISS

f (x)

Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0

Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048

xi fi x f xs fs

0,00005 -11,51 1 2 1

0,00005 -11,51

0,5 0,307

0,5 0,307

0,375 -0,231

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5 0,307

0,25 -0,88

0,375 -0,231

0,4375 0,048

0,5

0,25

0,125

0,0625

f = x1 x2* + ln x1

Fixando : x2* = 2,

Intervalo: xi = 0, xs = 1Tolerância: = 0,1

Com 6 cálculos de f, o intervalo foi reduzido a 6,25%.Com 9 cálculos, o intervalo é reduzido a menos de 1%



Calcular fs em xs

REPETIR



ATÉ xs - xi

Atribui-se um valor inicial para a incógnita.

(b) Métodos de Aproximações Sucessivas

xi xs

x1 x2 x3

Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(xk - xk-1)/ xk], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

x4

Um método típico: Método da Substituição Direta

Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente:

f(xi ) = 0 xi = F(xi)


x1 = e - x1

x2

* F(x1) = e - x1

x2

*

x1 = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = - (1/ x2

*) ln x1

Duas formas de explicitar a incógnita

Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior.

f(xi ) = 0 explicitando xi = F(xi)

F(x)

x

A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi .

ALGORITMOEstabelecer xinicial, (tolerância)F = xinicial

REPETIR x = F Calcular a Função F em xATÉ Convergirxsolução = F

Condição para Convergência : |F´(x)| < 1

Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo)

x1

x2

x3

F(x)

x

(a)

F'(x)>0 |F'(x)<1

convergência monotonica

F(x)

x1

x2

x3

x

(b)

F'(x)>0 |F'(x)|>1

divergência monotonica

F’(x) > 0: Comportamento Monotônico

Modos de Convergência

ALGORITMOEstabelecer xinicial, (tolerância)F = xinicial

REPETIR x = F Calcular a Função F em xATÉ Convergirxsolução = F

Condição para Convergência : |F´(x)| < 1

Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo)

F(x)

x1

x2

x3

x

(d)

F'(x) <0 |F'(x)| >1

divergência oscilante

F’(x) < 0: Comportamento Oscilatório

(c)

F'(x)<0 |F'(x)| <1

convergência oscilante

x1

x3

x2

F(x)

x

Modos de Convergência


x1 = F(x1)(x2

* = 2 : x1 inicial = 0,5)

F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = e - x

1 x

2*

Divergência Oscilatória F’(x1) = - 1,17

Convergência Oscilatória F’(x1) = - 0,85

Solução: x = 0,4263

F(x)

x1

x2

x3

x

x1

x3

x2

F(x)

x

x F 0,5 0,346 0,3080,346 0,529 0,529

0,529 0,317 0,400

0,317 0,573 0,806

0,573 0,278 0,515

x F 0,5 0,367 0,2640,367 0,479 0,302

0,479 0,383 0,199

0,383 0,464 0,210

0,464 0,395 0,149


Equações que representam processos de operação estável, também apresentam comportamento estável, ou seja,

convergem

Em resumo

Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos:

- redução de intervalos (ex.: bisseção)

- aproximações sucessivas (ex.: substituição direta)

Esses métodos serão evocados a seguir em

Sistemas de Equações.

f1 (xo, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0 f3 (x2, x3) = 0xo

x1 x2 x3

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas

3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares3.2.1 Estrutura e Representação

A equação

f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0

Pode ser representada como um “processador de informação”

3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação

fj

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

x1

x2 x i - 1

x i + 1xM

x i

As equações do modelo podem ser interligadas pelas variáveis comuns formando um sistema.

Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas.

Os elementos desse sistema são as equações.

As conexões são as variáveis comuns.

Os sistemas de equações podem ser considerados sistemas de processadores que, durante a resolução de um problema,

passam informação de uns para os outros.

f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x x

1x

2x

30

Estrutura Acíclica

f1(xo,x1,x3) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x0

x1

x2

x3

x3

Estrutura Cíclica

Estruturas Básicas

f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x x

1x

2x

30

Estrutura Acíclica

f1(xo,x1,x3) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0

1 2 3x0

x1

x2

x3

x3

Estrutura Cíclica

Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo).

Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

Exemplo de estrutura complexa

Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema.

A estrutura de um sistema pode conter partes cíclicas e acíclicas.

Características Especiais na Engenharia de Processos

(a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações.

(b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas.

(c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior otimização.

Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo

1. f1(xo*, x1) = 02. f2(x1, x2) = 03. f3(x2, x3, x6) = 04. f4(x3, x4) = 05. f5(x4, x5) = 06. f6(x5, x6) = 07. f7(x6, x7) = 08. f8(x7, x8) = 0

Representação da Estrutura

Através da representação é possível enxergar como os processadores trocam informações.

E, assim, conceber métodos eficientes de resolução.

ANALOGIA

Somente descobrindo túneis e câmaras dos formigueiros que foi possível observar e compreender o sistema social e de

sobrevivência das formigas.

X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 1 1 0 0 0 0 0 0 02 0 1 1 0 0 0 0 0 03 0 0 1 1 0 0 1 0 04 0 0 0 1 1 0 0 0 05 0 0 0 0 1 1 0 0 06 0 0 0 0 0 1 1 0 07 0 0 0 0 0 0 1 1 08 0 0 0 0 0 0 0 1 1

Matriz Incidência (Numérica)

X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 * *2 * *3 * * *4 * *5 * *6 * *7 * *8 * *

Matriz Incidência (Gráfica)

Matrizes Esparsas !

1. f1(xo*,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0

Representação Matricial

x

x1 2 3 4 5 6 7 8

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

6

o

1. f1(xo*,x1) = 0

2. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0

Representação Gráfica (Grafo)

Ciclo !

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação

3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.2.2 Resolução

3.2.2 Resolução

Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos- método seqüencial.

Métodos Simultâneos

Calcular F1

x1(k+1) = F1

Calcular F2

x2(k+1) = F2

TESTE

TESTE

x1 = x1(k+1)

x1k

x2k

x1(k+1)

x2(k+1)

x2 = x2(k+1)

Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos.

Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ...

Todas as variáveis são alteradas simultaneamente.

Método Sequencial

Baseia-se no conhecimento da estrutura do sistema.

É um procedimento alternativo em que as equações são acionadas uma-a-uma, passando informação de uma para a outra, numa sequência lógica previamente estabelecida.

Este método é chamado de Resolução por Equações ("equation oriented").

Com isso, torna-se um método flexível e eficiente

Este método pode ser implementado através do

ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

É um algoritmo de atribuição de tarefas

Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.)

1. Atribui a cada equação a tarefa de calcular uma das incógnitas do sistema.

2. Ao mesmo tempo, organiza as equações segundo uma

Sequencia de Cálculo

que evita cálculos iterativos desnecessários, minimizando o esforço computacional na resolução do sistema.

Outros resultados

4. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo.

3. Efetua automaticamente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos.

5. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura.

x

x*1 2 3 4 5 6 7 8

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

6

o

Consiste em decompor o sistema em sub-sistemas

PARTIÇÃO"partitioning"

1. f1(xo,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0

1, 2 [ 3, 4 , 5 ,6 7, 8[ ] ] [ ]

Parte CíclicaParte Acíclica Parte Acíclica

xo* x2 x6 x8

Resolve-se os sub-sistemas sequencialmente

Ele simplesmente formaliza

ações intuitivas inteiramente óbvias

A lógica do Algoritmo é muito simples

relativas aos seguintes elementos encontrados em sistemas de equações

Equações de Incógnita Única

Variáveis de Frequência Unitária

Ciclos

Equações de Incógnita Única

xo*

1 2x

1x

2

Exemplo: equação 1 no sistemaf1 (xo

*, x1) = 0f2 (x1, x2) = 0

São equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma!

Pela lógica: são as primeiras a serem resolvidas !

Devem ser colocadas no início da Sequência de Cálculo

Varáveis de Freqüência Unitária

São variáveis que pertencem a uma só equação

Exemplo: x8 na equação 8f7 (x6*, x7) = 0

f8 (x7, x8) = 0

7 8x*

6x

7x

8

Pela lógica: só podem ser calculadas por esta equação e depois de todas as anteriores terem sido resolvidas.

Devem ser colocadas no final da Sequência de Cálculo

Ciclos

x

3 4 5 6x

3x

4x

5

6

x2 x6

x6 = f6(x5) = f6(f5(x4)) = f6(f5(f4(x3))) = f6(f5(f4(f3(x2,x6)))) = F(x6)

São conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma.

Solução exclusivamente por métodos iterativos

META DO ALGORITMO

Produzir uma sequência de cálculo a ser obedecida para a resolução do sistema com mínimo esforço computacional

1 2

Xo

*X

1X

27 8

X6

X7

X8

3 4 5

X3

X4

X5

3 4 5 6

X3

X4

X5

Equação Final

3 4 5

X3

X4

X5

3 4 5 6

X3

X4

X5

EQUAÇÃO VARIÁVEL

1 x12 x2

7 x7

6 final

8 x8

EQUAÇÃO VARIÁVEL

1 x12 x2

7 x7

3 x34 x45 x56 final

8 x8

X6Variável de Abertura

x6

META DO ALGORITMO

Sequencia de Cálculo Resultante

Algoritmo de Ordenação de Equações

Enquanto houver equações

Enquanto houver equações com incógnita única

(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo.(c) remover a variável (X na vertical).

Enquanto houver variáveis de frequência unitária

(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação (X na horizontal).Se ainda houver equações (ciclo!)

(a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação (X na horizontal).

Etapa 1

1.f1(xo*, x1) = 0

2.f2 (x1, x2) = 03.f3 (x2, x3, x6) = 04.f4 (x3, x4) = 05.f5 (x4, x5) = 06.f6 (x5, x6) = 07.f7 (x6, x7) = 08.f8 (x7, x8 ) = 0

Não há mais EIU !

1. x1 = f1(xo*)

2. x2 = f2 (x1)2.f2 (x1, x2) = 0xo

*

1 2x

1x

2


(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.

(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.

Estágio Atual da Seqüência de Cálculo

EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2

1 2 3 4 5 6 7 8

Xo

*X

1X

2X

3X

4X

5X

6X

7X

8

X6

x2 = f2(x1) = f2(f1(xo)) = f(xo)

Etapa 2

1. x1 = f1(xo*)

2. x2 = f2 (x1)3.f3 (x2, x3, x6) = 04.f4 (x3, x4) = 05.f5 (x4, x5) = 06.f6 (x5, x6) = 07.f7 (x6, x7) = 08.f8 (x7, x8 ) = 0

Não há mais VFU !

8. x8 = f8 (x7) 7. x7 = f7 (x6)

7 8x

6x

7x

8

Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária

(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.

(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.

As equações remanescentes formam um ciclo !!!

Estágio Atual da Seqüência de Cálculo


7 x78 x8

1 2 3 4 5 6 7 8

Xo

*X

1X

2X

3X

4X

5X

6X

7X

8

X6

x2 = f2(x1) = f2(f1(x0)) = f(x0)x8 = f8(x7) = f8(f7(x6)) = f(x6)

Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas

(d) Estabelecer o esquema de convergência

1 2

Xo

*X

1X

27 8

X6

X7

X8

(a) Selecionar uma Equação Final

(b) Retornar à Etapa 2 (VFU)

(c) Identificar a Variável de Abertura (a não atribuída a qualquer equação)

3 4 5

X3

X4

X5

3 4 5 6

X3

X4

X5

Equação Final

3 4 5

X3

X4

X5

3 4 5 6

X3

X4

X5


EQUAÇÃO VARIÁVEL

1 x12 x2

7 x7

6 final

8 x8

EQUAÇÃO VARIÁVEL

1 x12 x2

7 x7

3 x34 x45 x56 final

8 x8

x6

Formalmente no Algoritmo

1 2

Xo

*X

1X

27 8

X6

X7

X8

3 4 5

X3

X4

X5

3 4 5 6

X3

X4

X5

Equação Final

3 4 5

X3

X4

X5

3 4 5 6

X3

X4

X5


EQUAÇÃO VARIÁVEL

1 x12 x2

7 x7

6 final

8 x8

EQUAÇÃO VARIÁVEL

1 x12 x2

7 x7

3 x34 x45 x56 final

8 x8

x6

Se ainda houver equações

(a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação.




(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo.(c) remover a variável (X na vertical).

Enquanto houver variáveis de frequência unitária

(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação (X na horizontal).Se ainda houver equações (ciclo!)

(a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação (X na horizontal).

APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO

1. f1(xo*, x1) = 02. f2(x1, x2) = 03. f3(x2, x3, x6) = 04. f4(x3, x4) = 05. f5(x4, x5) = 06. f6(x5, x6) = 07. f7(x6, x7) = 08. f8(x7, x8) = 0

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X *

2 * *

3 * * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

1 -

2 -

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -

Seqüência

Equações de Incógnita Única (EIU)

Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X *

3 * * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

Seqüência

1 - x1

2 -

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -


Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -

Seqüência


Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical


1 2

XO

*X

1X

2

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 * *

Seqüência

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 -

Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)


X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 * *

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 -

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 - x7

8 - x8

Seqüência




7 x78 x8

1 2

XO

*X

1X

27 8

X7

X8

X6

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 * *

7 X O

8 X O

Ciclo!

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 -

7 - x7

8 - x8

Seqüência

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 X X

7 X O

8 X O

Equação Final: 6

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 final

7 - x7

8 - x8

Seqüência

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 * *

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 -

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 * *

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 -

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X * *

4 X O

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 -

4 - x4

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X O X

4 X O

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

1 - x1

2 - x2

3 - x3

4 - x4

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

Seqüência



X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8

1 X O

2 X O

3 X O X

4 X O

5 X O

6 X X

7 X O

8 X O

Variável de Abertura: x6

1 - x1

2 - x2

3 - x3

4 - x4

5 - x5

6 - final

7 - x7

8 - x8

x6

Seqüência

Resolução do Ciclo

EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x23 x34 x45 x56 final7 x78 x8

1 2 3 4 5 6 7 8

XO

*X

1X

2X

3X

4X

5X

6X

7X

8

X6

X6 x6: variável de abertura

equação final

x6

ESTABELECIMENTO DO ESQUEMA DE CONVERGÊNCIA

Insere-se um Promotor de Convergência

São apresentados dois Promotores de Convergência baseados nos métodos para equações não-lineares:

(a) Bisseção

(b) Substituição Direta

x

ALGORITMO

SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs

f(x)

x

xi

fi

xs

fs

x

f

xs

fs

xi

fi

x

f

f(x)



Calcular fs em xs

REPETIR



ATÉ xs - xi

x fBISS

f (x)

Relembrando o Método da Bisseção

A cada iteração:- arbitra-se x6a .- resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5.- pela equação 6 calcula-se f6 (x5, x6).- avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção.

x

xi

fi

xs

fs

x

f

f(x)

(a) BISSSEÇÃOx6a

3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6

BISSf6 (x5, x6)

f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0

(c)

F'(x) < 0 |F'(x)| < 1

convergência oscilante

F(x)

xx1x2 x3

(a)

F'(x) > 0 |F'(x) < 1

convergência monotonica

x1x2

F(x)

x

x3

ALGORITMO

Estabelecer xinicial, (tolerância)

F = xinicial

xsolução = F

Convergir = |(F - x)/x| <

REPETIR

x = F

Calcular a Função F em x

ATÉ Convergir

RELEMBRANDO O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA

x = F ( x)f (x) = 0 explicitando x

A solução é a interseção de F(x) com a reta de 45º onde ela é igual ao próprio x.

(b) SUBSTITUIÇÃO DIRETA

Arbitra-se x6c inicial.A cada iteração:- toma-se x6a = x6c . - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x6c.- avalia-se a convergência através do erro relativo ABS (x6c – x6a) / x6a

x1

x2

x3

x6c

x6a

x6c

3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6

SDx6a

COMPARAÇÃO DOS PROMOTORES DE CONVERGÊNCIA

(b) Substituição Direta

Arbitra-se x6a . A cada iteração, a eq.6 calcula x6c = f6(x5) : x6a = x6c (até convergir).

f6 (x5, x6)(a) Bisseção

x6a

3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6

BISS

f3 (x2,x3,x6) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0

Arbitra-se x6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f6 (x5, x6) (até convergir)

x6c

3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6

SDx6a

f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0



(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.


Enquanto houver variáveis de freqüência unitária

(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.

Se ainda houver equações

(a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação.

x*1 2

x1

x2o

7 8x

6x

7x

8

3 4 5

X3

X4

X5

3 4 5 6

X3

X4

X5 x6

Mostrar o Programa AOE.xls

Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.


Aplicação a 4 Sistemas típicos em Engenharia de Processos.

1 f1(x1, x2)2 f2(x2, x3, x4) = 03 f3(x3, x4) = 04 f4(x4) = 0

Sistema 1

G = 0 : solução única, sem variável de projetoCiclo potencial: pode haver variável de abertura

1 * *2 * * *3 * *4 *

x1 x2 x3 x4

Matriz Incidência

1 2 3 4x1 x2 x3 x4

x4Grafo



(c) remover a variável.

4 x4

3 x3

2 x2

1 x1

Seqüência de CálculoEquação Variável

Matriz Incidência x1 x2 x3 x4

1 * *

2 * * *

3 * *

4 *

X

X

X X

(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.

O Sistema 1 como um Problema de Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Acíclica

PROCESSO

LEE*4 3 2 1

x4 x3 x2 x1 AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

x4 x3 x2 x1

4 x4

3 x3

2 x2

1 x1


Sistema 2

1 f1(x1,x2)2 f2(x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4,x5) = 0

G = 1 : problema de otimização, com variável de projeto.Ciclo potencial: pode haver variável de abertura.

1 * *x1 x2 x3 x4 x5

2 * * *3 * *4 * *

Matriz Incidência

1 2 3 4x1 x2 x3 x4

x4

x5

Grafo




4 x5

3 x3

2 x2

1 x1

Seqüência de Cálculo

Equação VariávelMatriz Incidência

x1 x2 x3 x4 x5

1 * *

2 * * *

3 * *

4 * *

X

X

X X

X

Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária

(c) remover a equação.

x4 variável de

projeto

(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.

(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.

O Sistema 2 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Acíclica

x1 x2 x3 x4 x5 Equação Variável

1 o x 3 x3

2 o x x 2 x2

3 o x 1 x1

4 x o 4 x5

x4 : variável de projeto

PROCESSO

OTIMIZAÇÃOLEE*

3 2 1x3

4x2 x1 x5

x4

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

x1 x2 x3 x5

Sistema 3

1 f1(x1,x2)2 f2(x1,x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4) = 0

G = 0: solução única, sem variável de projetoCiclos potenciais: podem haver variáveis de abertura

x1 x2 x3 x4

1 * *2 * * * *3 * *4 *

Matriz Incidência

1 2 3 4x1 x2 x3 x4

x4

x1

Grafo




4 x4

3 x3

1 x2

2 final


Matriz Incidência x1 x2 x3 x4

1 * *

2 * * * *

3 * *

4 *

X

X XXX

X

x1: Variável de Abertura

O Sistema 3 como um Problema Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Cíclica

x1 x2 x3 x4 Equação Variável1 x o 4 x4

2 x x x x 3 x3

3 o x 1 x2

4 o 2 final

x1 : variável de abertura

PROCESSO

LEE*4 3 21

x4 x3 x2

x1

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

x1 x2 x3 x4

Sistema 4

1 f1(x1,x2)2 f2(x1,x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4,x5) = 0

G = 1: problema de otimização com variável de projetoCiclos potenciais: pode haver variáveis de abertura

x1 x2 x3 x4 x5

1 * *

2 * * * *

3 * *

4 * *

Matriz Incidência

1 2 3 4x

1x

2x

3x

4

x4

x1

x5

Grafo

Matriz Incidência

x1 x2 x3 x4 x5

1 * *

2 * * * *

3 * *

4 * *

X

X X X

X 4 x5

3 x3

1 x2

2 final


Equação Variável

X

X


Enquanto houver variáveis de freqüência unitária

(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.




O Sistema 4 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Cíclica

E*PROCESSO

OTIMIZAÇÃOLE

3 21x

4x

3

x4

2x

x1

5

x1

x2

x3

x5 AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

x4: variável de aberturax1 : variável de projeto

Matriz Incidência

x1 x2 x3 x4 x5

1 * *

2 * * * *

3 * *

4 * *

X

X X X

X 4 x5

3 x3

1 x2

2 final


Equação Variável

X

X

x1

x4

COMPARAÇÃO DOS 4 PROBLEMAS

PROCESSO

OTIMIZAÇÃO

*LEE x

13 2 1

x4

x3

x2

x1

x2

x3

x

x

5 5

4

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

PROCESSO

OTIMIZAÇÃO

*LEE x

13 21

x4

x3

x

2x

1

x2x

3x

x

5 5

4

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

PROCESSO*

LEE x14 3 2 1

x4

x3

x2

x1

x2

x3

x4

AVALIAÇÃO

ECONÔMICASol.únicasem ciclo

Otimizaçãocom ciclo

Sol.únicacom ciclo

Otimizaçãosem ciclo

PROCESSO*

LEE x1

4 3 21x

4x

3x

2

x1

x 2 x 3 x4

AVALIAÇÃO

ECONÔMICA

REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DOALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

- Variáveis discretas- Variáveis de cálculo direto e iterativo- Variáveis limitadas- Ciclos múltiplos- Variáveis de abertura e de projeto- Eliminação de ciclos.

Variáveis Discretas

Seus valores são limitados a um conjunto finito.

Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores.- diâmetros comerciais de tubos.- número de estágios.

Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto.Assim:

- assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador.- não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.

x = 1 : y = 3 a = 3 (não existe !)

a = 0,5 : x = 1 y = 0,5a = 1 : y = 1 x = 1

x

ya = 1

a = 0,5

G = 2 (duas variáveis de projeto)

Exemplo: y = a x [a = 1 ou a = 0,5]

Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto

Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo

Exemplo

43

21

4321

TT

TTln

)TT(TT

Nesta equação:

- é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas)- qualquer T é de cálculo iterativo (dado e as demais T’s)

As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas.

Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações.

Varáveis Limitadas

Os seus valores variam entre limites bem definidos.

Exemplos:- frações mássicas ou molares- temperaturas em trocadores de calor

Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de

projeto.

Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo

para que essa preferência seja concretizada.

Ciclos Múltiplos

f1(xo,x1,x3) 0

f2(x1,x2) 0

f3(x2,x3) 0

f4(x3,x4) 0

f5(x4,x5,x7) 0

f6(x5,x6) 0

f7(x6,x7) 0

=

=

=

=

=

=

=

1

2

4

5

6

1. x

2. x

3. final

4. x

5. x

6. x

7. final

x3

x7

Ciclos em Sequência

Primeira entrada de x7: eq. 5


Fechar o ciclo com a final mais próxima

Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.

Ciclos Aninhados

0

0

0

0

f x x x

f x x x

f x x x

f x x

f x x x

f x x x

f x x

1 o 1 7

2 1 2 6

3 2 3 5

4 3 4

5 3 4 5

6 5 6 7

7 6 7

0

0

0

( , , )

( , , )

( , , )

( , )

( , , )

( , , )

( , )

=

=

=

=

=

=

=

X4

X7

1. x1

4. x3

6. x5

3. x2

5. final

7. x6

2. final

Ciclos Múltiplos



Fechar o ciclo com a final mais próxima

Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas

(a)

1. x1

2. x2

4. x4

6. x 6

3. x 3

x7

x5

5. final

7. x8

Escolha ConvenienteCiclo com 3 equações

1. x1

2. x2

4. x4

6. x 6

3. x 3

x7

x5

5. final

(b)

7. x8

Escolha InconvenienteCiclo com 4 equações

Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o

menor número de equações.

Eliminação de Ciclos

31= 1 - X

1131. X

32= 1 - X

12

13= k X

12 / [1 + (k - 1) X

12]

3= W

1X11

r / X13

01. W2

= W1X31

/ X32

32. X

23= 03. W

15

=

2 =

T3

=

=

02'.X12

= X11

(1 - r) / [X31

+ X11

(1 - r)]

07. W

06. T

05. Vd

08.

04. X

33. X

31= 1 - X

1131. X

32= 1 - X

12

13= k X

12 / [1 + (k - 1) X

12]

3= W

1X11

r / X13

01. W2

= W1X31

/ X32

02. W1*X

11* - W

2X12

- W3

X13

= 0

32. X

23= 03. W

15

=

2 =

T3

=

=

X12

07. W

06. T

05. Vd

08.

04. X

33. X

Substituindo 01, 07, 04 e 32 em 02, esta fica só com x12 como incógnita.Explicitando x12, resulta 02’, localizada logo depois de 31. A seqüênciafica sem ciclo.

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações

3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos

Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações).

Motivação para estudar os equipamentos isolados:

Montar as rotinas de dimensionamento e de simulaçãoque integram o programa de análise do processo.

Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS


ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS

Projeto e Análise dos Equipamentosde Processo

ReatoresTrocadores de calorSeparadores

Torres de destilaçãoTorres de absorçãoExtratoresCristalizadoresFiltrosOutros...

Instrumentos de Controle Automático

CIÊNCIAS BÁSICAS

FUNDAMENTOS


Tratamento compartimentado!

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

1.6.4 Análise

Genericamente: análise significa

- decompor um todo em suas partes,

- depreender o comportamento do todo a partir do comportamento das partes.

PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE

Dimensões dos principais Equipamentos.

Consumo de utilidadesmatérias primas e insumos

Especificaçõesde projeto

Modelo Matemático

previsão

Dimensões dos principais equipamentos

Consumo de utilidadesmatérias primas e insumos

Modelo Econômico

avaliaçãoLucro

No caso de processos químicos, a Análise consiste em prever e avaliar o desempenho de cada fluxograma gerado na Síntese, para fins de comparação

W6

T6

W10 T10

W13 T13 W11

T11

W8

T8

W1

x11

T1

f11

f31

W7 T7

W5 T5

W3 x13

T3 f13 f23

W4 x14

T4 f14 f24

W12 T12

W12 T12

W14 T14

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR

CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR

BOMBA

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

13

14

15

Vd Ae

AcAr

Alimentação

Vapor

ÁguaÁgua

Benzeno

Benzeno

Produto

Condensado

W15 T15

W10 T10

W13 T13

W12 T12

RESFRIADOR

10

11

12

13

Ar

Água

W13 T13

W1

x11

T1

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato

3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

Vd

W3 x13

T3 f13 f23

W15 T15

W8

T8

W5 T5

W12 T12

CONDENSADOR

58

9

Ac

Água

W10 T10

10

Benzeno

W6

T6

W7 T7

W3 x13

T3 f13 f23

W4 x14

T4 f14 f24

EVAPORADOR

4

67

Ae

Vapor

W5 T55

Benzeno

Produto

Condensado

3

Extrato

Fragmentando o Processo ...

01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f11 - f12 - f13 = 002. Balanço Material do Benzeno: W15 - f23 = 003. Balanço Material da Água: f31 - f32 = 004. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x13 - k x12 = 005. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 Td) = 006. Balanço de Energia: (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Equação de Dimensionamento: Vd - (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) = 008. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f13 / f11 = 009. Fases em Equilíbrio T2 – Td = 010. Fases em Equilíbrio T3 – Td = 0

EXTRATOR

W1

x11

T1

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

Vd

W3 x13

T3 f13 f23

W15 T15

34. Vazão Total na Corrente 1: f11 + f31 - W1 = 035. Fração Mássica na Corrente 1: x11 - f11 / W1 = 036. Vazão Total na Corrente 2: f12 + f32 – W2 = 037. Fração Mássica na Corrente 2: x12 - f12 / W2 = 038. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 039. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 / W3 = 0

01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. x13 - k x12 = 005. k – (3 + 0,04 Td) = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) = 008. r - f13 / f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 034. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 / W1 = 036. f12 + f32 – W2 = 037. x12 - f12 / W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 / W3 = 0

35 f11

8 f13

1 f12

34 f31

3 f32

36 W2

37 x12

W3 39 x13

4 k

5 Td

38 f23

6 W15Fina

l 2

10 T3

9 T2

7 Vd

Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC.

W*1= 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato

3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

W3 x13

T3 f13 f23

T*15 = 25 oC

*= 0,0833 hr* = 0,60

Vd

W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008

T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h

W3 = 37.490 kg/hx13 = 0,0032

T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.370 kg/h

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

W15 = 37.370 kg/hW15

Vd = 11.855l

Balanço de InformaçãoV = 22N = 16C = 4G = 2 !

Metas de Projeto Máximo = 2

V = 22N = 16C = 4M = 2G = 0

DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR

Resultando a rotina DimensionarExtrator do programa BenzoDSO (diferente)

f11 = x11 * W1 '35f13 = r * f11 '08f12 = f11 - f13 '01f31 = W1 - f11 '34f32 = f31 '03W2 = f12 + f32 '36x12 = f12 / W2 '37W = Cp1 * f11 + f31a = (25 / x12) * (W + f13 * Cp2l)b = W * (T15 + 75) - f13 * Cp2l * (T15 + 75 + 25 / x12)c = f13 * Cp2l * (T15 + 75)discr = Sqr(b ^ 2 + 4 * a * c)x13 = (discr + b) / (2 * a) '06' (Variável de abertura)W3 = f13 / x13 '39 (Início do Ciclo)k = x13 / x12 '04f23 = W3 - f13 '38Td = 25 * (k - 3) '05W15 = f23 '02 (Final do Ciclo)Vd = Tau * (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07T2 = Td '09T3 = Td '10

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = 11.855L fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.370 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto).

W*1= 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

1

15

Alimentação

Extrato

3

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

V*d = 11.855 l

W*15 = 50.000 kg/h

T*15 =25 oC

r = 0,67 = 0,075 h

W2 = 99.867 kg/hx12 = 0,0007

T2 = 25 oCf12 = 67 kg/hf32 = 99.800 kg/h

W3 = 50.133 kg/hx13 = 0,0026

T3 = 25 oCf13 = 133 kg/hf23 = 50.000 kg/h

SIMULAÇÃO DO EXTRATOR

G = 0 !

W*1= 100.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11

f31

1

15

Alimentação

Extrato

3

W2

x12

T2 f12 f32

EXTRATOR

Rafinado

BOMBA

2

W3 x13

T3 f13 f23

T*15 = 25 oC

*= 0,0833 hr* = 0,60

Vd

W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008

T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h

W3 = 37.490 kg/hx13 = 0,0032

T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.370 kg/h

f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h

W15 = 37.370 kg/hW15

Vd = 11.855l

Resulta a rotina SimularExtrator do programa BenzoDSO (diferente)

f23 = W15 '02f11 = W1 * x11 '35f31 = W1 - f11 '34f32 = f31 '03a = f11 * Cp1 + f31 * Cp3b = W15 * Cp2lTd = (a * T1 + b * T15) / (a + b) '06Tau = Vd / (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07k = 3 + 0.04 * Td '05T2 = Td '09T3 = Td '10a = k - 1: 'Cells(24, 7) = ab = k * (f11 + f23) + f32 - f11: 'Cells(25, 7) = bc = f11 * f32: Cells(26, 7) = cdiscr = Sqr(b ^ 2 - 4 * a * c): 'Cells(27, 7) = discrf12 = (b - discr) / (2 * a) '04' Variável de Aberturaf13 = f11 - f12 '01 Início do CicloW2 = f12 + f32 '36x12 = f12 / W2 '37W3 = f13 + f23 '38x13 = f13 / W3 '39 Final de Ciclor = f13 / f11 '08

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 027. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 028. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 031. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11) ] / ln[(T10 - T12) / (T13 - T11)] = 0

RESFRIADOR

W10 T10

W13 T13

W12 T12

10

11

12

13

Ar

Água

W13 T13

DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR

Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar 36.345 kg/h de benzeno liquido saturado até 25 oC. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC.

W13 = T*

13 = 25 oC

W*10 = 36.345 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = T*

12 = 30 oC

10

11

12

13Ar

Água

W11 = T*

11 = 15 oC

W*10 = 36.345 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = 59.969 kg/hT*

12 = 30 oC

10

11

12

13Ar = 362 m2

Água

W11 = 59.969 kg/hT*

11 = 15 oC

W13 = 36.345 kg/hT*

13 =25 oC

V = 11N = 6C = 3M = 2G = 0 !

26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 027. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 028. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 031. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0

RESFRIADOR

W10 T10

W13 T13

W12 T12

10

11

12

13

Ar

Água

W13 T13

27. W13 = W10

29. Qr = W10 Cp2l (T10 - T13)28. W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11))26. W12 = W11

d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11

31. dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)30. Ar = Qr / (Ur dr )

Resultando a rotina DimensionarResfriador

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR

Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m2 fosse alimentado com 20.000 kg/h de benzeno ao invés de 36.345 kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento.

W*10 = 36.345 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = 59.969 kg/hT*

12 = 30 oC

10

11

12

13Ar = 362 m2

Água

W11 = 59.969 kg/hT*

11 = 15 oC

W13 = 36.345 kg/hT*

13 = 25 oC

W*10 = 20.000 kg/h

T*10 = 80 oC

W12 = 59.969 kg/hT12 = 24,5 oC

10

11

12

13A*

r = 362 m2

Água

W*11 = 59.969 kg/hT*11 = 15 oC

W13 = 20.000 kg/hT13 = 16,8 oC

Resultado do dimensionamento

V = 11N = 6E = 5G = 0 !

Resultado da simulação

Resultou a rotina SimularResfriador (diferente)

W12 = W11 '26W13 = W10 '27T = T10 - T11: a1 = 1 / (W10 * Cp2l)a2 = 1 / (W11 * Cp3): E1 = Exp(Ur * Ar * (a1 - a2))Qr = T * (1 - E1) / (a2 - E1 * a1) '30 Variável de AberturaT12 = T11 + Qr * a2 '28 Inicio de CicloT13 = T10 - Qr * a1 '29d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11If Abs(d1 - d2) < 0.00001 Then Dr = d1 Else Dr = (d1 - d2) / Log(d1 / d2) '31 Final de Ciclo

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 021. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 022. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 025. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

CONDENSADOR

W5 T5

W10 T10

W9 T9

5

8

9

10

Ar

Água

W8 T8

DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR

Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar 36.345 kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC .

W*5 = 36.345 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 T*

10 = 80 oC

W9 T*

9 = 30 oC

5

8

9

10

Água

W8 T*

8 = 15 oC

Ac

W10 = 36.345 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 228.101 kg/hT*

9 = 30 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

Ac = 120 m2

W*5 = 36.345 kg/h

T*5 = 80 oC

V = 11N = 6C = 3M = 2G = 0 !

20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 021. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 022. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 025. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

CONDENSADOR

W5 T5

W10 T10

W9 T9

5

8

9

10

Ar

Água

W8 T8

21. W10 = W5

23. Qc = W5 2

d1 = T5 - T9: d2 = T10 - T8

22. W8 = Qc / (Cp3 * (T9 - T8))20. W9 = W8

25. dc = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)24. Ac = Qc / (Uc * dc)

Resultando a rotina DimensionarCondensador

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR

Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar 20.000 kg/h de benzeno, ao invés dos 36.345 kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m2. Pretende-se que o benzeno deixe o condensador como líquido saturado. A água se encontra a 15 oC.

W*5 = 20.000 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 = T*

10 = 80 oC

W9 = T9 =

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

A*c = 120 m2

W10 = 36.345 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 228.101 kg/hT*

9 = 30 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

Ac = 120 m2

W*5 = 36.345 kg/h

T*5 = 80 oC

resultado do dimensionamento

V = 11N = 6C = 5M = 1G = - 1 !!!

Pretendido na simulação

V = 11N = 6C = 5M = 1G = -1 !!!

Este problema difere da simulação do extrator e do resfriador porque contem uma meta: o benzeno deve sair como líquido saturado, logo a 80 oC.

Daí: G = -1.

W*5 = 20.000 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 = T*

10 = 80 oC

W9 = T9 =

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

A*c = 120 m2

V = 11N = 6C = 5M = 1G = -1 !!!

W*5 = 20.000 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 = T*

10 = 80 oC

W9 = T9 =

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

A*c = 120 m2

O problema só pode ser resolvido se alguma condição conhecida deixar de sê-lo.

Uma solução consiste em transformar W8 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle.

W*5 = 20.000 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 = 20.000 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 35.718 kg/hT9 = 67,7 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 35.718 kg/hT*

8 = 15 oC

A*c = 120 m2

V = 11N = 5C = 5M = 1G = 0

W10 = 36.345 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 228.101 kg/hT*

9 = 30 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 228.101 kg/hT*

8 = 15 oC

Ac = 120 m2

W*5 = 36.345 kg/h

T*5 = 80 oC


W*5 = 20.000 kg/h

T*5 = 80 oC

W10 = 20.000 kg/hT*

10 = 80 oC

W9 = 35.727 kg/hT9 = 67,7 oC

5

8

9

10

Água

W8 = 35.727 kg/hT*

8 = 15 oC

A*c = 120 m2

resultado da simulação

21. W10 = W5

23. Qc = W5 2

24. dc = Qc / (Uc Ac)25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 (Resolução por Bisseção)22. W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8))20. W9 = W8

Resulta a rotina SimularCondensador

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 012. Balanço Material do Benzeno: f23 - f24 - W5 = 013. Balanço Material do Vapor: W6 - W7 = 014. Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Balanço de Energia na Corrente de Processo: Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Equação de Dimensionamento: Qe - Ue Ae e = 017. Definição da Diferença de Temperatura (e): e - (T6 - Te) = 018. Fases em Equilíbrio T4 – Te = 019. Fases em Equilíbrio T5 – Te = 0

EVAPORADOR

W6

T6

W7 T7

W3 x13

T3 f13 f23

W4 x14

T4 f14 f24

4

67

Ae

Vapor

W5 T55

Benzeno

Produto

Condensado

3

Extrato

38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 039. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 040. Vazão Total na Corrente 4: f14 + f24 - W4 = 041. Fração Mássica na Corrente 4: x14 - f14/W4 = 0

DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR

Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com 37.545 kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em

benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm.

W6

T*6 = 150 oC

W7 T*

7 = 150 oC

W*3 = 37.345 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 f23

W4 x*

14 = 0,10

T4 f14 f24

4

67

Ae

Vapor

W5 T55

Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

W6 = 8.569 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 37.545 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.225 kg/h

W4 = 1.195 kg/h x*

14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.076kg/h

4

67

Ae=124 m2

Vapor

W5 = 36.150 kg/h T5 = 80 oC

5Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

V = 20N = 13C = 4M = 3G = 0 !

15. De = T6 - T35. f13 = W3 x13

09. f14 = f13

34. f23 = W3 - f13

37. W4 = f14 / x14

36. f24 = W4 - f14

10. W5 = f23 - f24

13. Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T - T3) + W5 L2

12. W6 = Qe / (L 3 + Cp3 (T6 - T7))11. W7 = W6

14. Ae = Qe / (Ue De)

Resulta a rotina DimensionarEvaporador

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR

Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de área de projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de solução e não mais com 37.545 kg/h. Pretende-se que o condensado saia como líquido saturado (150 oC).

V = 20N = 13C = 7M = 1G = -1 !!!

pretendido na simulaçãoresultado do dimensionamento

W6 = 8.615 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.615 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 37.545 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h

W4 = 1.201 kg/h x*

14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h

4

67

Ae=124 m2

Vapor

W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC

5Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

W6 = 8.615 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = T*

7 = 150 oC

W*3 = 50.000 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h

W4 = x14 = T4 =f14 = f24 =

4

67

Ae=124 m2

Vapor

W5 = T5 =5

Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

V = 20N = 13C = 7M = 1G = -1 !!!

W5 = T5 =

W6 = 8.615 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = T*

7 = 150 oC

W*3 = 50.000 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h

W4 = x14 = T4 =f14 = f24 =

4

67

Ae=124 m2

Vapor

5Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

Uma solução consiste em transformar W6 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle.

Situação semelhante à da simulação do condensador

V = 20N = 13C = 6M = 1G = 0

W6 = 8.569 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 50.000 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 160 kg/h f23 = 49.840 kg/h

W4 = 17.177 kg/h x14 = 0,0093T4 = 80 oCf14 = 160 kg/h f24 = 17.017 kg/h

4

67 Vapor

W5 = 32.823 kg/h T5 = 80 oC

5Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

Ae=124 m2


W6 = 8.569 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 37.545 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h

W4 = 1.201 kg/h x*

14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h

4

67

Ae=124 m2

Vapor

W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC

5Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

W6 = 8.569 kg/hT*

6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*

7 = 150 oC

W*3 = 50.000 kg/h

x*13 = 0,0032

T*3 = 25 oC

f13 = 160 kg/h f23 = 49.840 kg/h

W4 = 17.177 kg/h x14 = 0,0093T4 = 80 oCf14 = 160 kg/h f24 = 17.017 kg/h

4

67 Vapor

W5 = 32.823 kg/h T5 = 80 oC

5Benzeno

Produto

Condensado

3 Te* = 80 oC

Ae=124 m2

resultado da simulação

15. De = T6 - T14. Qe = Ue Ae De 12. W6 = Qe / (l3 + Cpv * (T6 - T7))11.W7 = W6

35. f13 = W3 * x13

09. f14 = f13

34. f23 = W3 - f13

13. W5 = (Qe - (f13 * Cp1 + f23 * Cp2l) * (T - T3)) / l210. f24 = f23 - W536. W4 = f14 + f24

37. x14 = f14 / W4

Resulta a rotina SimularEvaporador

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global

3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS

Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos a que pertencem.

É a estratégia mais indicada para dimensionamento.

O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado.

3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL

Existem duas estratégias básicas:

- Estratégia Global- Estratégia Modular

Dimensionamento do Processo – Estratégia Global

01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. k – (3 + 0,04 Td) = 005. k - x13 / x12= 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 0

11. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0

20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

26. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0

32. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0

34. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 /W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 /W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/W4 = 0

f11 f12 f13 E V

1 * O * W15f23 5 k

2 O * f31 f32 9 T2

3 * O k 10 T3

4 * * O * * Td 17 De

5 O X T1T15 18 T4

6 * * X X O Vd 19 T5

7 * * * O X r 25 dc

8 * O X T2 35 f11

9 X O T3 8 f13

10 X O f14 1 f12

11 * O f24W5 11 f14

12 * * O W6W7 34 f31

13 * O T6 T7 Qe 3 f32

14 O X X * Te 4 f23

15 * * * * O X Ae

e 2 W15

16 * O * 6 T15

17 X X O T4 7 Vd

18 X O T5 36 W2

19 X O W8W9 37 x12

20 * O W10 38 W3

21 * O Qc T9 T8 39 x13

22 O * X X T10 41 W4

23 * * O X Ac

c 40 f24

24 * O * 12 W5

25 * X X X O W11W12 15 Qe

26 * O W13 14 W6

27 * O Qr T11T12 13 W7

28 O * X X T13 16 Ae

29 * X O * A r

r 21 W10

30 * O * 23 Qc

31 X X X * O W14T14 22 W8

32 * * O 20 W9

33 * * O * X W1 24 Ac

34 * O X x11 27 W13

35 O X X W2 32 W14

36 * * O x12 33 T14

37 * * O W3 31 dr

38 * * O x13 29 Qr

39 * * O W4 28 W11

40 * O * x14 26 W1241 * O X 30 Ar

Extrator

Evaporador

Correntes Multicomponentes

Condensador

Resfriador

Misturador

Dimensionar Processo

(03) T3 = T2

(13) T4 = T5 (16) e = T6 - T5 (22) D1 = T5 - T9: D2 = T10 - T8 : c = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(32) f11 = W1 x11 (08) f13 = f11 r(31) f31 = W1 - f11 (01) f12 = f11 - f13 (09) f14 = f13 (03) f32 = f31 (04) f23 = f13 f32 / (k f12)(34) W4 = f14 / x14 (02) W15 = f23

(33) f24 = W4 - f14 (05) T15 = T2 - (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - T2) / (W15 Cp2l) (07) Vd = (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) (10) W5 = f23 - f24 (14) Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T5 - T3) + W52

(18) W10 = W5 (20) Qc = W5 (2 + Cp2l (T5 - T10)) (12) W6 = Qe / ( 3 + Cp3 (T6 - T7)) (15) Ae = Qe / (Ue e) (24) W13 = W10 (19) W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) (21) Ac = Qc / (Uc c) (11) W7 = W6 (29) W14 = W15 - W13 (17) W9 = W8 (30) T13 = T15 + W14 (T15 - T14) / W13 (26) Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) (28) D1 = T10 - T12: D2 = T13 - T11: r = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(25) W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) (27) Ar = Qr / (Ur r) (23) W12 = W11

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global

3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.4.2 Estratégia Modular

3.4.2 Estratégia Modular

Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do

processo.

Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a

inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma.

É a estratégia mais indicada para simulação.

Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento.Cada módulo contem as equações já ordenadas para

dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

Simulação do Processo IlustrativoEstratégia Modular

W6 =8.594 kg/hT*

6 = 150 oC

W10 =36.284 kg/hT*

10 = 80 oCW13 = 36.284 kg/hT13 = 25 oC

W11 = 59.969 kg/hT*

11 = 15 oCW8 = 232.603 kg/hT*

8 = 15 oC

W*1 = 150.000 kg/h

x*11 = 0,002

T*1 = 25 oC

f11 = 300 kg/hf31 = 149.700 kg/h

W7 = 8.594 kg/hT*

7 = 150 oC

W5 = 36.284 kg/hT*

5 = 80 oC

W3 = 37.477 kg/hx13 = 0,004

T3 = 25 oCf13 = 149 kg/hf23 = 37.328 kg/h

W4 = 1.130 kg/hx14 = 0,12

T4 = 80 oCf14 = 150 kg/hf24 = 1.080 kg/h

W12 = 59.969 kg/hT12 = 29 oC

W12 = 232.603 kg/hT12 = 29 oC

W*14 = 1.080 kg/h

T*14 = 25 oC

W2 = 149.850 kg/hx12 = 0,001

T2 = 25 oCf12 = 150 kg/hf32 = 149.700 kg/h

EXTRATOR

Extrato

Rafinado

EVAPORADOR

CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR

BOMBA

1

2

3

4

5

67

8

9

10

11

12

13

14

15

V*d = 11.859 l

= 0,0617 h

r = 0,50

A*e =

124 m2

A*c = 119 m2

A*r = 361 m2

W15 = 37.328 kg/hT13 = 25 oC

O fluxograma exibe um reciclo.

A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W5

O valor inicial arbitrado para W5 pode ser aquele obtido noDimensionamento.

Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o deSubstituição Direta.

Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possívelde variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W5).

Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular

EXTRATOR

RESFRIADOR

MISTURADOR

CONDENSADOR

EVAPORADOR

SS

18. W10

20. Qc

19. c

22'. T9

21. W8

17. W9

24. W13

23. W12

25'. Qr

28. T13

27. T12

26. r

29. W15

30. T15

02. f23

32. f11

31. f31

03. f32

05. T2

07. 06. T3

01' f12

04. f13

08. r

W1

T1

x11

f11

f31

W15

T15

W45

T14

W13

T13

W10

T10

f13

f23

T3

W4

T4

x14

f14

f24

09. f14

13. T4

16. e

15. Qe

12. W6

14. W5

10. f24

11. W7

33. W4

34. x14

T5

T2

f12

f32

W5a

W5c

Repetição até convergir

|W5c – W5a| / W5a

erro relativo

SUB SimularOProcesso'----------------------------------------------------------------------------INPUT "W5= "; W5cW5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c))NoDeIteracoes = 0DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizerLOOP UNTIL ConvergirEND SUB

PRINCIPAL

Simular

Simular

Simular

Simular

Simular

Simular

Dimensionar

Dimensionar

Dimensionar

Dimensionar

Dimensionar

DimensionarExtratorExtrator

EvaporadorEvaporador

Condensador Condensador

ResfriadorResfriador

MisturadorMisturador

ProcessoProcesso

Mostrar Lucro doCalcular Lucro doEmpreendimento

Processo

Resolver Problema

Otimizar

Empreendimento

Resolver Problema

Otimizar Processo

Calcular Lucro

DimensionarExtrator





SimularExtrator

SimularEvaporador

SimularCondensador

SimularResfriador

SimularMisturador

SimularProcesso

DimensionarProcesso

Simulação de Processos com Estrutura Complexa

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

Problema:Estabelecer uma estratégia de cálculo e implementá-la sob a forma de um algoritmo executável em computador.

Cada equipamento é representado por um módulo computacional em que as equações se encontram ordenadas para simulação.

A estratégia de cálculo é a ordem em que os equipamentos devem ser simulados.

Simulação de Processos com Estrutura Complexa

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

Procedimento:(a) identificação dos ciclos.(b) seleção das correntes de abertura(c ) construção do algoritmo de simulação

Dificuldade: os diversos reciclos

(a) Identificação dos Ciclos

Pode-se utilizar o Método do Traçado de Percursos (labirinto)

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

Percorre-se o fluxograma anotando, numa lista dupla, as correntes (LC) e os equipamentos visitados (LE).

Corrente: 1 2 3 4 Destino : 1 2 3 1

Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado.

Equipamento 1 já visitado : ciclo 2 3 4

(a) Identificação dos Ciclos

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

ALGORITMO RESUMIDO

Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”)Colocar o seu destino na LEREPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE.ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

MATRIZ CICLO - CORRENTE

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1

Os Ciclos encontrados são registrados na

1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

14

APLICAÇÃO AO PROBLEMA ILUSTRATIVO

C: D:

3 4 5 6 711*

22 3

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

814

11

22

33

541

22

33

541

C: 1 2 3 5D: 1 2 3 4

765

86

1110 4

765

86

1110 4

7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8

13 2

7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8

13 2

C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7

1295

86

1110 4

C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7

1295

86

1110 4

12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8

13 2

12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8

13 2

C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8

13 2

C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8

13 2

Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”)Colocar o seu destino na LEREPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE.ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

(b) Seleção das Correntes de Abertura

Matriz Ciclo - Corrente

ALGORITMOCalcular os elementos de CRepetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1

1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C

000000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1

1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C

000000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C

300000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 0 0 03 0 0 0 0 0 04 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0C

380000

A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C

300000

A

(c) Construção do Algoritmo de Simulação

1 2 3 4 5 6 7 81* 2

4

5 6

7

8

9

10 11

12

13

143

Abrir C3

REPETIRSimular E3 (C4,C5)Simular E1 (C2)

REPETIRSimular E6 (C10,C11)Simular E4 (C6,C7 )Simular E7 (C9, C12)Simular E5 (C8)

ATÉ Convergir C8

Simular E8 (C13, C14)Simular E2 (C3)

ATÉ Convergir C3

Abrir C8

Corrente 1: única conhecida

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular

3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro


3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade

ASSUNTO TRANSFERIDO PARA DEPOIS DO CAPÍTULO 4

3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

(a) modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes...

A Análise de Processos é executada em ambiente de muita incerteza.

A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da

(b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis).

Fontes de incerteza:

Análise de Sensibilidade

(b) questionamento do desempenho futuro:

(a) questionamento do próprio dimensionamento:

A Análise de Sensibilidade avalia os efeitos da incerteza através de dois questionamentos ao final do dimensionamento,

Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ?

Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto que serviram de base para o

dimensionamento?

Fazem parte da Análise:

- as variáveis características do dimensionamento: dimensões.

- as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto).

- os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros).

F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.

: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.

Fundamento da Análise de Sensibilidade

Exemplo: Trocador de Calor

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A = 265,6 m2

T 2* = 25 oC

W3 = 44.000 kg/h

T3* = 15 oC

T4* = 30 oC

0

TT

TTln

)TT()TT(.4

0UAQ.3

0)TT(CpWQ.2

0)TT(CpWQ.1

32

41

3241

3433

2111

F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.

S (F; i): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i.

: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.

Fundamento da Análise de Sensibilidade

i *

F

i

*ii

ii

)(F);F(S

Exemplo:

100

U

i

U

)(A)U;A(S

A Sensibilidade é função do parâmetro

Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i*

Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais

)(F

)(F

)/(

)](F/)(F[)/;F/F(S

*i

*i

i

i*ii

*ii*

ii*

*i

1

Vantagens:(a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros.(b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau.

Nova definição de Sensibilidade:

6265

100

1001,U

)U(A

)U/U(

)]U(A/)U(A[)U/U;A/A(S

U*

***

Exemplo

Sensibilidade de F/F* à incerteza em i / i*

1

F/F*

i / i *

)(F

)(F

)/(

)](F/)(F[)/;F/F(S

*

i

*

i

*ii

i

1

*

ii

*

ii*

ii

*

F

i i *

F*

Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada

Em processos complexos é impossível obter a derivada aproximação linear

)(F

)(F

)/(

)](F/)(F[;

F

FS

*i

*i

i

i*ii

*ii

*i

i*

*i

1

i

*i

*i

*ii

*i

*i

*i

i

*ii

*i

*i

i* )(F

)(F)(F

)(F

)(F)(F,

F

FS

01,0/ *

ii

)F(

)F(ξ)ξF(1,01100

ξ,

F

FS

*i

*i

*i

*i

i*

S(F/F*;i/ i*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza

de 1% em i

|S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida

)F(

)F(ξ)ξF(1,01100

ξ,

F

FS

*i

*i

*i

*i

i*

S (T2;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686

S (T4;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156

S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99

S(W3;U) = 0

QUESTIONAMENTO DO PROJETORe-dimensionamento com U = 101

QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHO

Simulação com U = 101

DIMENSIONAMENTO ORIGINAL(BASE)

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

A = 265,6 m2

[U = 100]

T 2* = 25 oC

W3 = 44.000 kg/hT3

* = 15 oC

T4* = 30 oC

[U = 101]

A = 262,93 m2

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

T3* = 15 oC

W3 = 44.000 kg/h

T4* = 30 oC

T 2* = 25 oC

[U = 101]

T2 = 24,828 oC

T1* = 80 oC

W1* = 30.000 kg/h

T3* = 15 oC

W3* = 44.000 kg/h

T4 = 30,047 oC

A* = 265,6 m2

Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada):

n

1i*

i

*

ii*

ii

*

*

*

)/;F/F(S)(F

)(F)(F

);F(S01,0)/;F/F(S01,0)(F

)(F)01,1(F n

1i

*

ii

*

*

**

Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro:

)F(ξ

)F(ξ)ξF(1,01100)ξ/ξ;S(F/F

*

****

A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada:

Questionamento do Projeto

Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto:

i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i)

W1 1 1 0,93

T1 1,45 0,45 1,21

T3 1,01 0,56 0,88

Cp1 1 1 0,93

Cp3 - 1 0 - 0,78

U 0 - 1 - 0,13

Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

S(F; ) 3,46 2,01 3,04

Questionamento do Projeto

Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros:

i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i)

S(F; ) 3,46 2,01 3,04

Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W3, A e CT estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.

Questionamento do Desempenho

Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto:

i S(T2; i) S(T4; i)

W1 0,80 0,32

T1 0,48 0,63

T3 0,48 0,37

W3 - 0,12 - 0,47

A - 0,68 0,17

Cp1 0,80 0,32

Cp3 - 0,12 - 0,47

U - 0,68 0,17

Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

S(F; ) 0,96 1,04

Questionamento do Desempenho

Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto:

i S(T2; i) S(T4; i)

S(F; ) 0,96 1,04

Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T2 e T4 , durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.

FIM

f11 f12 f13 W15 f23 f31 f32 x13 k x12 Td Vd T2 T3 W2 W3

1 1 1 1

2 1 1

3 1 1

4 1 1 1

5 1 1

6 1 1 1 1

7 1 1 1 1

8 1 1

9 1 1

10 1 1

11 1 1

12 1

13 1 1 1

14 1 1 1

15 1 1 1

16 1 1 1

ORDENAR EQUAÇÕESMONTAR MATRIZ

EXTRATOR: DIMENSIONAMENTO

f11 f12 f13 f23 f31 f32 x13 k x12 Td tau r T2 T3 x11 W2 W3

1 1 1 1

2 1

3 1 1

4 1 1 1

5 1 1

6 1 1 1

7 1 1 1

8 1 1 1

9 1 1

10 1 1

11 1 1

12 1 1

13 1 1 1

14 1 1 1

15 1 1 1

16 1 1 1


EXTRATOR: SIMULAÇÃO

f13 f14 f23 f24 W5 W6 W7 Qe Ae De T4 T5 W4

11 1 1

12 1 1 1

13 1 1

14 1 1

15 1 1 1 1

16 1 1 1

17 1

18 1

19 1

38 1 1

39 1

40 1 1 1

41 1 1


EVAPORADOR: DIMENSIONAMENTO

f13 f14 f23 f24 W5 W6 W7 Qe De T4 T5 W4 x14

11 1 1

12 1 1 1

13 1 1

14 1 1

15 1 1 1 1

16 1 1

17 1

18 1

19 1

38 1 1

39 1

40 1 1 1

41 1 1 1


EVAPORADOR: SIMULAÇÃO

EXEMPLO: convergência pela Bisseção

31. x31 = 1 – x1132. x32 = 1 – x12a04. x13 = k x12a07. W3 = W11 x11 r / x1301. W2 = W1 x31 / x3202. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

x12a

32 04 07 0201x31

x32

x13

W3

W2BISS

x12a

f (x12)

Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura

f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

f (x)

x

xi

xs

fs

x1

f1x2

f2

fi

Esquema de convergência pela Bisseção

32 04 07 0201x31

x32

x13

W3

W2BISS

x12a

f (x12)

f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

Até convergir

EXEMPLO: convergência pela Substituição Direta

31. x31 = 1 – x1132. x32 = 1 – x12a04. x13 = k x12a07. W3 = W11 x11 r / x1301. W2 = W1 x31 / x32 02. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

x12a

32 04 07 0201x31

x32

x13

W3

W2SD

x12a = x12c

x12c

Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura

x12c = (W1 x11– W3 x13) / W2

Um instrumento fundamental para a resolução de problemas

ALGORITMO

ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema

Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema.

O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da

extração da raiz quadrada de um número.

Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações).

Algoritmos podem ser programas em computadores

Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)

Origem dos Algoritmos

An algorithm is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well.

www.nist.gov/dads/html/algorithm.html

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CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 08 de julho de 2013