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CAPÍTULO 3CAPÍTULO 3
ESTRATÉGIAS DE CÁLCULOESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
11 DE AGOSTO DE 2008
REVISÃO
ENGENHARIA DE PROCESSOS
Seqüência de etapas responsáveis pela transformação de uma matéria prima num produto de interesse industrial.
Conceito abrangente: inclui todas as transformações químicas espontâneas, por ação de catalisadores ou de microrganismos.
PROCESSO ???
Aplicável aos 4 Cursos da Escola de Química
Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos
ENGENHARIA DE PROCESSOS
O conjunto de ações desenvolvidas
DesdeA decisão de se produzir um determinado produto químico
AtéUm plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial.
É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!
1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS
1.3 SISTEMAS 1.3.3 Projeto
(a) previsão do desempenho do sistema.(b) avaliação do desempenho do sistema.
(a) escolha de um elemento para cada tarefa.(b) definição da estrutura do sistema.
PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE
Denominação genérica atribuída ao conjunto numeroso e diversificado de atividades associadas à criação de um sistema.
Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem:
SÍNTESE
ANÁLISE
Estabelecer o número
e o tipo dos reatoresDefinir o número e o tipo dos separadores
Definir o número e o tipo de trocadores de
calor
Estabelecer malhas
de controle
Definir o fluxogramado processo
Investigar mercado para o produto
Investigar disponibilidade
das matérias primasDefinir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados
Investigar reagentesplausíveis
SELEÇÃO DEROTAS QUÍMICAS
SÍNTESE ANÁLISE
Calcular as dimensõesdos equipamentos
Calcular o consumo de matéria prima
Calcular o consumo de utilidades
Calcular o consumo dos insumos
Calcular a vazão dascorrentes
intermediárias
Avaliar a lucratividadedo processo
Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo
RM
Reator demistura
RT
Reator tubular
DS
Coluna de destilaçãosimples
DE
Coluna de destilaçãoextrativa
A
Aquecedor
R
Resfriador
T
Trocador deIntegração
A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.
Um problema com multiplicidade de soluções
MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE
DS
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
(7)
RM
A,B
P,A
DS
P
A
T
(8)
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
DE
(9)
DSRT RAA,B A,P
P
A
(11)
RM
A,B
P,A
P
A
T DE
(10)
DSRT A,P
P
A
T
A,B
(12)
RT RAA,B A,P
P
A
DE
(13)
RT A,P
P
A
T
A,B
DE
(14)
EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE
Problema: determinar o melhor par de valoresDificuldade: infinidade de soluções viáveis
Cada par (x1,x2) é uma solução viável
1.3 SISTEMAS 1.3.6 Otimização
Fonte da complexidade: multiplicidade de soluções nos três níveis.
Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química.
Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.
Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.
O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.
Multiplicidade de Soluções
Exige a busca da
Otimização
A multiplicidade de soluções, tanto na Síntese como na Análise, conduz ao conceito de Otimização.
Solução Ótima
através da
Nível TecnológicoSeleção de uma Rota
Fluxograma ?Dimensões ?
Nível EstruturalSíntese de um
FluxogramaDimensões ? Lucro?
Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma
Dimensionamentodos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4
RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?
Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados
P?? ?
D+E P+FD,E P,F
??A+B P+C
A,B P,C
??
1 PAB Cx
?T D
2 PAB Cx
?T A
P3DE Fx
?DM
PF
4DE x
?M E
L
x
6
x o = 3x*
8
L
xx o = 4x*
L
10
xx o = 6x*
L
x
7
x o = 5x*
P?? ?
D+E P+FD,E P,F
??
L
x4
10
?
P3DE Fx
Nível TecnológicoSeleção de uma Rota
Fluxograma ?Dimensões ?
Nível EstruturalSíntese de um
FluxogramaDimensões ? Lucro?
Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma
Dimensionamentodos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões.
RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?
Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada
Vantagem
Varre todas as soluções sem
repetiçõessem omitir a ótima
Desvantagem
Explosão Combinatória
(outros métodos)
INTRODUÇÃO GERAL1
INTRODUÇÃO ÀSÍNTESE DE PROCESSOS
8
6
SÍNTESE DESISTEMAS DE SEPARAÇÃO
7
SÍNTESE
SÍNTESE DE
SISTEMAS DE
INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
INTRODUÇÃO ÀANÁLISE DE PROCESSOS
2
ESTRATÉGIASDE CÁLCULO
3
OTIMIZAÇÃOAVALIAÇÃOECONÔMICA
4 5
ANÁLISE
2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS
2.2 Etapas Preparatórias 2.2.1 Reconhecimento do Processo 2.2.2 Modelagem Matemática 2.2.3 Propriedades Físicas e Coeficientes Técnicos2.3 Etapas Executivas: dimensionamento e simulação 2.3.1 Informações Relevantes: condições conhecidas, metas de projeto e de operação 2.3.2 Balanço de Informação: conceito e finalidade, elementos envolvidos, graus de liberdade 2.3.3 Execução: dimensionamento, simulação, otimização 2.3.4 Módulos Computacionais: Estratégia de Cálculo, Avaliação Econômica Preliminar, Otimização Paramétrica2.4 Um Programa Computacional para Análise de Processos
2.1 Objetivo e Procedimento GeralCIÊNCIAS BÁSICAS
FUNDAMENTOS
ENG. DE EQUIPAMENTOS
2.1 OBJETIVO E PROCEDIMENTO GERAL
“Bola de Cristal”
Objetivo da Análise
Prever e avaliar
o desempenho físico e econômico
ou ainda inexistente (em fase de projeto)
de um processo já existente (em operação)
Consiste em
(a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto.
BaseModelo Matemático
Prever e avaliar o desempenho FÍSICO
(b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado.
(???)
Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação.
BaseCritério Econômico
Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO (???)
Dimensionamento
(c) seleção de métodos para a estimativa das propriedades e dos parâmetros físicos e econômicos.
(b) modelagem matemática
(a) reconhecimento do processo
A Análise se inicia com as seguintes etapas preparatórias:
Seguem-se as etapas executivas ligadas aos objetivos da análise:
Simulação
ESTRATÉGIASDE CÁLCULO
3AVALIAÇÃOECONÔMICA
4
INTRODUÇÃO ÀANÁLISE DE PROCESSOS
2
OTIMIZAÇÃO
5
Resumo da Análise de ProcessosCorrespondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais
MODELOFÍSICO
MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO
Variáveis Especificadas
Variáveis de Projeto
Parâmetros Econômicos
ParâmetrosFísicos Dimensões Calculadas Lucro
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3
Exemplo: Modelo do Resfriador do Processo Ilustrativo (Capítulo 2)
Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processosf1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 . . . . . .fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0
24. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 025. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 026. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 027. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 028. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 029. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0
Modelo do Processo
01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. f13 - k (f23/f32) f12 = 005. f13 - k (f23/f32) f12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 011. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0
20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 026. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 032. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 034. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 /W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 /W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/W4 = 0
CIÊNCIAS BÁSICAS
FUNDAMENTOS
ENG. DE EQUIPAMENTOS
ENG. DE PROCESSOS
Consiste em utilizar os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos
Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução dos modelos em problemas de dimensionamento, simulação eotimização.
Competem ao Engenheiro Químico
(a) a Formulação (Modelagem Matemática):
(b) a Resolução :
para representar o processo matematicamente.
É pré-requisito para esta Disciplina.
Formulação e Resolução !!!
Formulação e Resolução dos Modelos
A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma
Estratégia de CálculoTema deste Capítulo
Fontes de complexidade:
Em geral, os modelos de processos são muito complexos.
(c) presença de reciclos nos processos(b) não-linearidades em muitas equações(a) grande número de equações e de variáveis
Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ???
MODELOFÍSICO
MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO
Variáveis Especificadas
Variáveis de Projeto
Parâmetros Econômicos
ParâmetrosFísicos Dimensões Calculadas Lucro
Objetivo de uma Estratégia de Cálculo
minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos).
FINALIDADE DO CAPÍTULO 3
Familiarização com modelos matemáticos de processos:
- sua estrutura
- os métodos de resolução
- aplicações na análise de processos complexos.
Base dos “softwares” comerciais
3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não-Lineares
3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES
A resolução dos modelos passa pela resolução de equações do tipo
f (x1*, x2*,…, xi,…, xn
*) = 0
em que a incógnita xi é calculada a partir dos valores conhecidos das demais variáveis xj*.
Motivação para o estudo de equações não-lineares isoladas
Métodos de resolução de equações serão invocados adiante na resolução de sistemas de equações.
3.1 Equações Não-Lineares
3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1.1 Representação
A equação
f (x1*, ..., xi - 1
*, xi, xi + 1*,…, xM
*) = 0
pode ser vista como um “processador de informação” assim representado graficamente:
3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.1.1 Representação
f j
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
x1
x2 x i - 1
x i + 1xM
x i
A dificuldade da resolução de
f (x1*, ..., xi - 1
*, xi, xi + 1*,…, xM
*) = 0
depende da sua forma funcional.
Se a incógnita fôr x2: x1* x2 + ln x1
* = 0
Se a incógnita fôr x1: x1 x2* + ln x1 = 0
A resolução pode ser analítica simples: x2 = - (ln x1*)/x1
*
A resolução tem que ser numérica por tentativas (inúmeros métodos).
Exemplo: x1 x2 + ln x1 = 0
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1.2 Resolução
Métodos de Aproximações Sucessivas
Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares.
Métodos deRedução de Intervalos
Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.
Por diferentes raciocínios lógicos, testam novos valores até que a diferença relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.
Partem de um intervalo inicial.(limites inferior e superior)
Partem de um valor inicial.
3.1.2 Resolução
Dados os limites superior xs e inferior xi , define-se o intervalo de incerteza xs - xi .
Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução.
xsxi
(a) Métodos de Redução de Intervalos3.1.2 Resolução
xi xsxi xs
Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida: xs - xi .
Um método típico de Redução de Intervalos
Método da Bisseção ou Busca Binária
A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.
f(x)
x
ALGORITMO
SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs
f(x)
x
xi
fi
xs
fs
x
f
xs
fs
xi
fi
x
f
Estabelecer xi, xs, (tolerância)Calcular fi em xi
Calcular fs em xs
REPETIRx = (xi + xs)/2Calcular f em x
Se Sinal (f) = Sinal (fs): atualizar : xs = x : fs = fSe Sinal (f) = Sinal (fi): atualizar : xi = x : fi = f
ATÉ xs - xi
Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0
Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048
xi fi x f xs fs
0,00005 -11,51 1 2 1
0,00005 -11,51
0,5 0,307
0,5 0,307
0,375 -0,231
0,5 0,307
0,25 -0,88
0,375 -0,231
0,4375 0,048
0,5 0,307
0,25 -0,88
0,375 -0,231
0,4375 0,048
0,5
0,25
0,125
0,0625
f = x1 x2* + ln x1
Fixando : x2* = 2,
Intervalo: xi = 0, xs = 1Tolerância: = 0,1
Com 6 cálculos de f, o intervalo foi reduzido a 6,25%.Com 9, o intervalo é reduzido a menos de 1%
3.1.2 Resolução
Atribui-se um valor inicial para a incógnita.
(b) Métodos de Aproximações Sucessivas
xi xs
x1 x2 x3
Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(xk - xk-1)/ xk], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida.
x4
Um método típico de Aproximações SucessivasMétodo da Substituição Direta
Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior.
A incógnita é explicitada parcialmente: f(xi ) = 0 xi = F(xi)
F(x)
x
A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi .
ALGORITMOEstabelecer xinicial, (tolerância)F = xinicial
REPETIR x = F Calcular a Função F em xATÉ Convergirxsolução = F
Condição para Convergência : |F´(x)| < 1
Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo)
x1
x2
x3
F(x)
x
(a)
F'(x)>0 |F'(x)<1
convergência monotonica
F(x)
x1
x2
x3
x
(b)
F'(x)>0 |F'(x)|>1
divergência monotonica
F(x)
x1
x2
x3
x
(d)
F'(x) <0 |F'(x)| >1
divergência oscilante
F’(x) > 0: Comportamento Monotônico
F’(x) < 0: Comportamento Oscilatório
(c)
F'(x)<0 |F'(x)| <1
convergência oscilante
x1
x3
x2
F(x)
x
Modos de Convergência
(c)
F'(x) < 0 |F'(x)| < 1
convergência oscilante
F(x)
xx1x2 x3
F(x)
x
(a)
F'(x) > 0 |F'(x) < 1
convergência monotonica
x1x2x3
xsolução = F
Convergir = |(F - x)/x| <
ALGORITMO
Estabelecer xinicial, (tolerância)
F = xinicial
REPETIRx = F
Calcular a Função F em x
ATÉ Convergir
Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0
x1 = e - x1
x2
* F(x1) = e - x1
x2
*
x1 = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = - (1/ x2
*) ln x1
Duas formas de explicitar a incógnita:
Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0
x1 = F(x1)(x2
* = 2 : x1 inicial = 0,5)
F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = e - x
1 x
2*
Divergência Oscilatória F’(x1) = - 1,17
Convergência Oscilatória F’(x1) = - 0,85
Solução: x = 0,4263
F(x)
x1 x2x3x
x1x3x2
F(x)
x
x F 0,5 0,346 0,3080,346 0,529 0,5290,529 0,317 0,4000,317 0,573 0,8060,573 0,278 0,515
x F 0,5 0,367 0,2640,367 0,479 0,3020,479 0,383 0,1990,383 0,464 0,2100,464 0,395 0,149
Em resumo:
Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos:
- redução de intervalos (ex.: bisseção)
- aproximações sucessivas (ex.: substituição direta)
Esses métodos serão evocados a seguir em
Sistemas de Equações.
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas
3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares3.2.1 Estrutura e representação
A equação
f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0
representada como um “processador de informação”
3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação
f j
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
x1
x2 x i - 1
x i + 1xM
x i
Estrutura dos Sistemas de Equações
f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0
1 2 3x x1
x2
x30
Estrutura Acíclica
f1(xo,x1,x3) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0
1 2 3x0
x1
x2
x3
x3
Estrutura Cíclica
As equações de um modelo ser interligadas pelas variáveis comuns (conexões) formando um sistema.
Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas.
Estruturas Básicas
f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0
1 2 3x x1
x2
x30
Estrutura Acíclica
f1(xo,x1,x3) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0
1 2 3x0
x1
x2
x3
x3
Estrutura Cíclica
Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema.
Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo).
Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).
Características Especiais na Engenharia de Processos
(a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações.
(b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas.
(c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior otimização.
Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo
1. f1(xo*, x1) = 02. f2(x1, x2) = 03. f3(x2, x3, x6) = 04. f4(x3, x4) = 05. f5(x4, x5) = 06. f6(x5, x6) = 07. f7(x6, x7) = 08. f8(x7, x8) = 0
Estrutura
X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 1 1 0 0 0 0 0 0 02 0 1 1 0 0 0 0 0 03 0 0 1 1 0 0 1 0 04 0 0 0 1 1 0 0 0 05 0 0 0 0 1 1 0 0 06 0 0 0 0 0 1 1 0 07 0 0 0 0 0 0 1 1 08 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Matriz Incidência (Numérica)
X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 * *2 * *3 * * *4 * *5 * *6 * *7 * *8 * *
Matriz Incidência (Gráfica)
Matrizes Esparsas !
1. f1(xo*,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0
Representação Matricial
x
x1 2 3 4 5 6 7 8
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
6
o
Estrutura
1. f1(xo*,x1) = 0
2. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0
Representação Gráfica (Grafo)
Ciclo !
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.2.2 Resolução
3.2.2 Resolução
Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos- método seqüencial.
Métodos Simultâneos
Calcular F1
x1(k+1) = F1
Calcular F2
x2(k+1) = F2
TESTE
TESTE
x1 = x1(k+1)
x1k
x2k
x1(k+1)
x2(k+1)
x2 = x2(k+1)
Todas as variáveis são alteradas simultaneamente. Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em
disciplinas de Métodos Numéricos.Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ...
Método Seqüencial
Elementos importantes:
(a) partição(b) abertura(c) Algoritmo de Ordenação de Equações
Aproveita-se do conhecimento da estrutura do sistema para minimizar o esforço computacional.
x
x*1 2 3 4 5 6 7 8
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
6
o
Decomposição em sub-sistemas
PARTIÇÃO
1. f1(xo,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0
Uma estratégia para resolver o Sistema
1, 2 [ 3, 4 , 5 ,6 7, 8[ ] ] [ ]
Parte CíclicaParte Acíclica Parte Acíclica
xo* x2 x6 x8
Resolução seqüencial dos sub-sistemas solução do Sistema
Um instrumento fundamental para a resolução de problemas
ALGORITMO
ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema
Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema.
O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da
extração da raiz quadrada de um número.
Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações).
Algoritmos podem ser programas em computadores
Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)
Algorithm
Definition: A computable set of steps to achieve a desired result.
Note: The word comes from the Persian author Abu Ja'far Mohammed ibn Mûsâ al-Khowârizmî who wrote a book with arithmetic rules dating from about 825 A.D.. www.nist.gov/dads/HTML/algorithm.html
Origem dos Algoritmos
An algorithm (pronounced AL-go-rith-um) is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well.
AlgorithmFrom Wikipedia, the free encyclopediaFlowcharts are often used to graphically represent algorithms.In mathematics and computing, an algorithm is a procedure (a finite set of well-defined instructions) for accomplishing some task which, given an initial state, will terminate in a defined end-state. Informally, the concept of an algorithm is often illustrated by the example of a recipe, although many algorithms are much more complex; algorithms often have steps that repeat (iterate) or require decisions (such as logic or comparison). Algorithms can be composed to create more complex algorithms.
Um instrumento importante para a resolução de sistemas de equações
ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
É um algoritmo de atribuição de tarefas: a cada equação é atribuída a tarefa de calcular uma das variáveis do sistema.
3. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo.
1. Organiza as equações segundo a seqüência lógica, minimizando o esforço computacional seqüência de cálculo.
2. Efetua naturalmente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos.
Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.)
Propriedades do Algoritmo (antecipando)
4. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura.
ELEMENTOS BÁSICOS DO ALGORITMO
Equações de Incógnita Única
Variáveis de Freqüência Unitária
Ciclos
Equações de Incógnita Única
xo*
1 2x
1x
2
Exemplo: equação 1 no sistemaf1 (xo
*, x1) = 0f2 (x1, x2) = 0
Equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma!
Pela lógica: as primeiras a serem resolvidas !
Varáveis de Freqüência Unitária
Variáveis que pertencem a uma só equação
Exemplo: x8 na equação 8f7 (x6, x7) = 0
f8 (x7, x8) = 0
7 8x*
6x
7x
8
Pela lógica: só podem ser calculadas por esta equações e depois de todas que as antecedem.
Ciclos
x
3 4 5 6x
3x
4x
5
6
x2 x6
x6 = f6(x5) = f6(f5(x4)) = f6(f5(f4(x3))) = f6(f5(f4(f3(x2,x6)))) = F(x6)
Conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma.
1 2X
o*
X1
X2
7 8X
6X
7X
83 4 5
X3
X4
X5
3 4 5 6X
3X
4X
5
Equação Final
3 4 5X
3X
4X
53 4 5 6
X3
X4
X5
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
7 x7
6 final
8 x8
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
7 x7
3 x34 x45 x56 final
8 x8
X6Variável de Abertura
x6
META
Produzir uma sequência de cálculo
Estruturação intuitiva simples do Algoritmo
Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.)
Etapa 1Ordenar, na sequência direta as equações de incógnita única (EIU)
1.f1(xo*, x1) = 0
2.f2 (x1, x2) = 03.f3 (x2, x3, x6) = 04.f4 (x3, x4) = 05.f5 (x4, x5) = 06.f6 (x5, x6) = 07.f7 (x6, x7) = 08.f8 (x7, x8 ) = 0
Não há mais EIU !
1. x1 = f1(xo*)
2. x2 = f2 (x1)2.f2 (x1, x2) = 0xo
*
1 2x
1x
2
Estágio da Formação da Seqüência de Cálculo
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
1 2 3 4 5 6 7 8X
o*
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X6
x2 = f2(x1) = f2(f1(xo)) = f(xo)
Etapa 2
Ordenar, na seqüência inversa as equações com variáveis de frequência unitária (VFU)
1. x1 = f1(xo*)
2. x2 = f2 (x1)3.f3 (x2, x3, x6) = 04.f4 (x3, x4) = 05.f5 (x4, x5) = 06.f6 (x5, x6) = 07.f7 (x6, x7) = 08.f8 (x7, x8 ) = 0
Não há mais VFU !
8. x8 = f8 (x7) 7. x7 = f7 (x6)
7 8x
6x
7x
8
As equações remanescentes formam um ciclo !!!
Estágio da Formação da Seqüência de Cálculo
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
7 x78 x8
1 2 3 4 5 6 7 8X
o*
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X6
x2 = f2(x1) = f2(f1(x0)) = f(x0) x8 = f8(x7) = f8(f7(x6)) = f(x6)
Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas
(d) Estabelecer o esquema de convergência
1 2X
o*
X1
X2
7 8X
6X
7X
8
(a) Selecionar uma Equação Final(b) Retornar à Etapa 2 (VFU)(c) Identificar a Variável de Abertura (não atribuída a qualquer equação)
3 4 5X
3X
4X
53 4 5 6
X3
X4
X5
Equação Final
3 4 5X
3X
4X
53 4 5 6
X3
X4
X5
X6Variável de Abertura
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
7 x7
6 final
8 x8
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
7 x7
3 x34 x45 x56 final
8 x8
x6
Algoritmo de Ordenação de EquaçõesEnquanto houver equações com incógnita única
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.
1 2X
o*
X1
X2
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária
(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.
7 8X
6X
7X
8
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
7 x78 x8
Algoritmo de Ordenação de Equações
Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação.
3 4 5X
3X
4X
53 4 5 6
X3
X4
X5
Equação Final
3 4 5X
3X
4X
53 4 5 6
X3
X4
X5
X6Variável de Abertura
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
7 x7
6 final
8 x8
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
7 x7
3 x34 x45 x56 final
8 x8
x6
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações
Enquanto houver equações com incógnita única
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.
Enquanto houver variáveis de freqüência unitária(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação.
APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X *
2 * *
3 * * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 * *
8 * *
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Seqüência
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X *
3 * * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 * *
8 * *
Seqüência
1 - x1
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Equações de Incógnita Única (EIU)
Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 * *
8 * *
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Seqüência
Equações de Incógnita Única (EIU)
Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
1 2X
O*
X1
X2
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 * *
8 * *
Seqüência
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 * *
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
7 x78 x8
1 2X
O*
X1
X2
7 8X
7X
8X6
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 X O
8 X O
Ciclo!
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 - x7
8 - x8
Seqüência
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 X X
7 X O
8 X O
Equação Final: 6
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 X X
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 X O
6 X X
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 - x5
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 X O
5 X O
6 X X
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 - x4
5 - x5
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X O X
4 X O
5 X O
6 X X
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 - x3
4 - x4
5 - x5
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X O X
4 X O
5 X O
6 X X
7 X O
8 X O
Variável de Abertura: x6
1 - x1
2 - x2
3 - x3
4 - x4
5 - x5
6 - final
7 - x7
8 - x8
x6
Seqüência
Resolução do Ciclo (a) Selecionar uma Equação Final (b) Retornar à Etapa 2 (VFU) (c) Identificar a Variável de Abertura (d) Estabelecer o esquema de convergência
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x23 x34 x45 x56 final7 x78 x8
1 2 3 4 5 6 7 8X
O*
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X6
X6 x6: variável de abertura
equação final
x6
Esquemas de resolução do subsistema cíclico por aberturax6a
3 4 5 6
x6a
x2 x3 x4 x5 x6
BISS(a) Bisseção
A cada iteração:- arbitra-se x6a segundo o método da bisseção equações 3 e 6.- resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5.- pela equação 6 calcula-se f6 (x5, x6).- avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção.
f(x)
x
xi
fi
xs
fs
x
f
Esquemas de resolução do subsistema cíclico por abertura
(b) Substituição Direta
Arbitra-se x6c inicial.A cada iteração:- toma-se x6a = x6c . - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x6c.- avalia-se a convergência através do erro relativo.
x1
x2
x3
x6c
x6a
x6c
3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6
SDx6a
Comparação dos esquemas de resolução do subsistema cíclico
(a) Bisseção
Arbitra-se x6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f6 (x5, x6) (até convergir)
x6a
3 4 5 6
x6a
x2 x3 x4 x5 x6
BISS
(b) Substituição Direta
Arbitra-se x6a . A cada iteração, a eq.6 calcula x6c = f6(x5) : x6a = x6c (até convergir).
x6c
3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6
SDx6a
Algoritmo de Ordenação de EquaçõesEnquanto houver equações com incógnita única
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.
Enquanto houver equações
Enquanto houver variáveis de freqüência unitária(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.
Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação.
x*1 2
x1
x2o
7 8x
6x
7x
8
3 4 5X
3X
4X
53 4 5 6
X3
X4
X5 x6
Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.
Algoritmo de Ordenação de Equações
Aplicação a 4 Sistemas típicos em Engenharia de Processos.
1 f1(x1, x2)2 f2(x2, x3, x4) = 03 f3(x3, x4) = 04 f4(x4) = 0
Sistema 1
G = 0 : solução única, sem variável de projetoCiclo potencial: pode haver variável de abertura
1 * *2 * * *3 * *4 *
x1 x2 x3 x4
Matriz Incidência
1 2 3 4x1 x2 x3 x4
x4Grafo
Algoritmo de Ordenação de EquaçõesEnquanto houver equações com incógnita única
(c) remover a variável.
4 x4
3 x3
2 x2
1 x1
Seqüência de CálculoEquação Variável
Matriz Incidência x1 x2 x3 x4
1 * *
2 * * *
3 * *
4 *
X
X
X X
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.
O Sistema 1 como um Problema de Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Acíclica
PROCESSOLEE*
4 3 2 1x4 x3 x2 x1 AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
x4 x3 x2 x1
4 x4
3 x3
2 x2
1 x1
Seqüência de CálculoEquação Variável
Sistema 2
1 f1(x1,x2)2 f2(x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4,x5) = 0
G = 1 : problema de otimização, com variável de projeto.Ciclo potencial: pode haver variável de abertura.
1 * *x1 x2 x3 x4 x5
2 * * *3 * *4 * *
Matriz Incidência
1 2 3 4x1 x2 x3 x4
x4
x5
Grafo
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.
4 x5
3 x3
2 x2
1 x1
Seqüência de Cálculo
Equação VariávelMatriz Incidência
x1 x2 x3 x4 x5
1 * *
2 * * *
3 * *
4 * *
X
XX X
X
Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária
(c) remover a equação.
x4 variável de
projeto
(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.
(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.
O Sistema 2 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Acíclica
x1 x2 x3 x4 x5 Equação Variável
1 o x 3 x3
2 o x x 2 x2
3 o x 1 x1
4 x o 4 x5
x4 : variável de projeto
PROCESSO
OTIMIZAÇÃOLEE*
3 2 1x3
4x2 x1 x5
x4
AVALIAÇÃOECONÔMICA
x1 x2 x3 x5
Sistema 3
1 f1(x1,x2)2 f2(x1,x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4) = 0
G = 0: solução única, sem variável de projetoCiclos potenciais: podem haver variáveis de abertura
x1 x2 x3 x4
1 * *2 * * * *3 * *4 *
Matriz Incidência
1 2 3 4x1 x2 x3 x4
x4
x1
Grafo
Algoritmo de Ordenação de EquaçõesEnquanto houver equações com incógnita única
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.
4 x4
3 x3
1 x2
2 final
Seqüência de CálculoEquação Variável
Matriz Incidência x1 x2 x3 x4
1 * *
2 * * * *
3 * *
4 *
XX XXX
X
x1: Variável de Abertura
O Sistema 3 como um Problema Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Cíclica
x1 x2 x3 x4 Equação Variável1 x o 4 x4
2 x x x x 3 x3
3 o x 1 x2
4 o 2 final
x1 : variável de abertura
PROCESSOLEE*
4 3 21x4 x3 x2
x1
AVALIAÇÃOECONÔMICA
x1 x2 x3 x4
Sistema 4
1 f1(x1,x2)2 f2(x1,x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4,x5) = 0
G = 1: problema de otimização com variável de projetoCiclos potenciais: pode haver variáveis de abertura
x1 x2 x3 x4 x5
1 * *2 * * * *3 * *4 * *
Matriz Incidência
1 2 3 4x1 x2 x3 x4
x4
x1
x5
Grafo
Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 x5
1 * *
2 * * * *
3 * *
4 * *
X
X X X
X 4 x5
3 x3
1 x2
2 final
Seqüência de Cálculo
Equação Variável
X
X
Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária
(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.
O Sistema 4 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Cíclica
E*PROCESSO
OTIMIZAÇÃOLE
3 21x
4x
3
x4
2x
x1
5x
1x
2x
3x
5 AVALIAÇÃOECONÔMICA
x4: variável de aberturax1 : variável de projeto
Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 x5
1 * *
2 * * * *
3 * *
4 * *
X
X X X
X 4 x5
3 x3
1 x2
2 final
Seqüência de Cálculo
Equação Variável
X
X
x1
x4
COMPARAÇÃO DOS 4 PROBLEMAS
PROCESSO
OTIMIZAÇÃO* LEE x
13 2 1
x4
x3
x2
x1
x2
x3
x
x
5 5
4
AVALIAÇÃOECONÔMICA
PROCESSO
OTIMIZAÇÃO* LEE x
13 21x
4x
3
x
2x
1
x2x
3x
x
5 5
4
AVALIAÇÃOECONÔMICA
PROCESSO* LEE x
14 3 2 1x
4x
3x
2x
1x
2x
3x
4AVALIAÇÃOECONÔMICA
Sol.únicasem ciclo
Otimizaçãocom ciclo
Sol.únicacom ciclo
Otimizaçãosem ciclo
PROCESSO* LEE x
14 3 21
x4
x3
x2
x1
x 2 x 3 x4
AVALIAÇÃOECONÔMICA
REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DOALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
- Variáveis discretas- Variáveis de cálculo direto e iterativo- Variáveis limitadas- Ciclos múltiplos- Variáveis de abertura e de projeto- Eliminação de ciclos.
Variáveis Discretas
Seus valores são limitados a um conjunto finito.
Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores.- diâmetros comerciais de tubos.- número de estágios.
Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto.Assim:
- assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador.- não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.
x = 1 : y = 3 a = 3 (não existe !)
a = 0,5 : x = 1 y = 0,5a = 1 : y = 1 x = 1
x
ya = 1
a = 0,5
G = 2 (duas variáveis de projeto)
Exemplo: y = a x [a = 1 ou a = 0,5]
Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto
Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo
Exemplo
43
21
4321
TTTT
ln
)TT(TT
Nesta equação:
- é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas)- qualquer T é de cálculo iterativo (dado e as demais T’s)
As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas.
Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações.
Varáveis Limitadas
Os seus valores variam entre limites bem definidos.
Exemplos:- frações mássicas ou molares- temperaturas em trocadores de calor
Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de
projeto.
Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo
para que essa preferência seja concretizada.
Ciclos Múltiplos
f1(xo,x1,x3) 0
f2(x1,x2) 0
f3(x2,x3) 0
f4(x3,x4) 0
f5(x4,x5,x7) 0
f6(x5,x6) 0
f7(x6,x7) 0
=
=
=
=
=
=
=
1
2
4
56
1. x
2. x
3. final
4. x
5. x
6. x
7. final
x3
x7
Ciclos em Sequência
Primeira entrada de x7: eq. 5
Primeira entrada de x3: eq. 1
Fechar o ciclo com a final mais próxima
Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.
Ciclos Aninhados
00
00
f x x xf x x xf x x xf x xf x x xf x x xf x x
1 o 1 7
2 1 2 6
3 2 3 5
4 3 4
5 3 4 5
6 5 6 7
7 6 7
0
0
0
( , , )( , , )( , , )( , )( , , )( , , )( , )
===
===
=
X4
X7
1. x1
4. x3
6. x5
3. x2 5. final
7. x6
2. final
Ciclos Múltiplos
Primeira entrada de x7: eq. 7
Primeira entrada de x4: eq. 4
Fechar o ciclo com a final mais próxima
Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas
(a)
1. x 12. x 2
4. x 4
6. x 6
3. x 3
x7x5
5. final
7. x 8
Escolha ConvenienteCiclo com 3 equações
1. x 12. x 2
4. x 4
6. x 6
3. x 3
x7x5
5. final
(b)
7. x 8
Escolha InconvenienteCiclo com 4 equações
Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o
menor número de equações.
Eliminação de Ciclos
31 = 1 - X1131. X
32 = 1 - X12
13 = k X12 / [1 + (k - 1) X12 ]
3 = W1 X11r / X1301. W2 = W1X31/ X32
32. X
23= 03. W15
=
2 =
T3 =
=
02'.X12 = X11(1 - r) / [X31+ X11(1 - r)]
07. W
06. T
05. Vd
08.
04. X
33. X
31 = 1 - X1131. X
32 = 1 - X12
13 = k X12 / [1 + (k - 1) X12 ]
3 = W1 X11r / X1301. W2 = W1X31/ X3202. W1*X11* - W2 X12 - W3 X 13 = 0
32. X
23= 03. W15
=
2 =
T3 =
=
X12
07. W
06. T
05. Vd
08.
04. X
33. X
Substituindo 01, 07, 04 e 32 em 02, esta fica só com x12 como incógnita.Explicitando x12, resulta 02’, localizada logo depois de 31. A seqüênciafica sem ciclo.
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos
Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações).
Motivação para estudar os equipamentos isolados:
Montar as rotinas de dimensionamento e de simulaçãoque integram o programa de análise do processo.
Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.
CIÊNCIAS BÁSICAS
FUNDAMENTOS
ENG. DE EQUIPAMENTOS
ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS
Projeto e Análise dos Equipamentosde Processo
ReatoresTrocadores de calorSeparadores
Torres de destilaçãoTorres de absorçãoExtratoresCristalizadoresFiltrosOutros...
Instrumentos de Controle Automático
CIÊNCIAS BÁSICAS
FUNDAMENTOS
ENG. DE EQUIPAMENTOS
Tratamento compartimentado!
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
W6
T6
W10 T10
W13 T13 W11
T11
W8
T8
W1
x11
T1
f11
f31
W7 T7
W5 T5
W3 x13
T3 f13 f23
W4 x14
T4 f14 f24
W12 T12
W12 T12
W14 T14
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
Vd Ae
AcAr
Alimentação
Vapor
ÁguaÁgua
Benzeno
Benzeno
Produto
Condensado
W15 T15
W10 T10
W13 T13
W12 T12
RESFRIADOR
10
11
12
13
Ar
Água
W13 T13
W1
x11
T1
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato
3
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
Vd
W3 x13
T3 f13 f23
W15 T15
W8
T8
W5 T5
W12 T12
CONDENSADOR
58
9
Ac
Água
W10 T10
10
Benzeno
W6
T6
W7 T7
W3 x13
T3 f13 f23
W4 x14
T4 f14 f24
EVAPORADOR
4
67
Ae
Vapor
W5 T55
Benzeno
Produto
Condensado
3
Extrato
Fragmentando o Processo ...
01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f11 - f12 - f13 = 002. Balanço Material do Benzeno: W15 - f23 = 003. Balanço Material da Água: f31 - f32 = 004. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: f13 - k (f23/f32) f12 = 005. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 Td) = 006. Balanço de Energia: (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Equação de Dimensionamento: Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f13/f11 = 009. Fases em Equilíbrio T2 – Td = 010. Fases em Equilíbrio T3 – Td = 0
EXTRATOR
W1
x11
T1
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato3
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
Vd
W3 x13
T3 f13 f23
W15
T15
34. Vazão Total na Corrente 1: f11 + f31 - W1 = 035. Fração Mássica na Corrente 1: x11 - f11 /W1 = 036. Vazão Total na Corrente 2: f12 + f22 – W2 = 037. Fração Mássica na Corrente 2: x12 - f12/W2 = 038. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 039. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 0
Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC.
W*1= 100.000 kg/h
x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato
3
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
W3 x13
T3 f13 f23
T*15 = 25 oC
*= 0,0833 hr* = 0,60
Vd
W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008
T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h
W3 = 37.544 kg/hx13 = 0,002
T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.424 kg/h
f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h
W15 = 37.425 kg/hW15
Vd = 11.855l
Balanço de InformaçãoV = 22N = 16C = 4G = 2 !
Metas de Projeto Máximo = 2V = 22N = 16C = 4M = 2G = 0
DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR
f11 f12 f13 Eq. Var.1 X O X W15 f23 35 f112 O X f31 f32 8 f133 X O k 1 f124 X X O X X Td 34 f315 O X T1 T15 3 f326 X X X X X X Vd 36 W27 X X X O X r 37 x128 X O X T2 Td 5 k9 X O T3 4 f2310 X O W1 2 W1534 X O X x11 635 O X X W2 7 Vd36 X X O x12 38 W337 X X O W3 39 x1338 X X O x13 9 T239 X X O 10 T3
DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR
35. f11 = x11 W1
08. f13 = r f1101. f12 = f11 - f13 34. f31 = W1 - f11 03. f32 = f3136. W2 = f12 + f32 37. x12 = f12 / W2 e = f11 Cp1 + f31 Cp3 : f = f13 f32 * Cp2l / f12 a = 0.04 : b = f / e - 0.04 T1 + 3 : c = 3 T1 + T15 f / e d = (b2 + 4 a c)06’. Td = (d - b) / 0.08 (Variável de Abertura)05. k = 3 + 0.04 Td (Início do Ciclo)04. f23 = f13 f32 / k / f12 02. W15 = f23 (Final do Ciclo)07. Vd = (f11 / r1 + W15 / r2 + f31 / r3) 38. W3 = f13 + f2339. x13 = f13 / W309. T2 = Td 10. T3 = Td
Dimensionar o Extrator
Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = 11.855 l fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.425 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto).
W*1= 100.000 kg/h
x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC
f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h
1
15
Alimentação
Extrato
3
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
V*d = 11.855 l
W*15 = 50.000 kg/h
T*15 =25 oC
W*1= 100.000 kg/h
x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC
f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h
1
15
Alimentação
Extrato
3
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
T*15 = 25 oC
*= 0,0833 hr* = 0,60
W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008
T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h
W3 = 37.544 kg/hx13 = 0,002
T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.424 kg/h
W15 = 37.425 kg/hW15
Vd = 11.855 l
r = 0,67 = 0,075 h
W2 = 99.867 kg/hx12 = 0,0007
T2 = 25 oCf12 = 67 kg/hf32 = 99.800 kg/h
W3 = 50.133 kg/hx13 = 0,0026
T3 = 25 oCf13 = 133 kg/hf23 = 50.000 kg/h
SIMULAÇÃO DO EXTRATOR
G = 0 !
f11 f12 f13 Eq. Var.1 X X O W15 f23 2 f232 X O f31 f32 35 f113 X O k 6 Td4 X X X X X Td 5 k5 O X T1 T15 9 T26 X X O X X Vd 10 T37 X X X X O r 34 f318 X O O T2 3 f329 X O T3 7 10 X O W1 f12 1 f1334 X O X x11 435 O X X W2 8 r36 X X O x12 36 W237 X X O W3 37 x1238 X X O x13 38 W339 X X O 39 x13
SIMULAÇÃO DO EXTRATOR
02. f23 = W15
35. f11 = W1 x11 a = f11 Cp1 + f31 Cp3
b = W15 Cp2l
06. Td = (a T1 + b T15) / (a + b) 05. k = 3 + 0.04 Td 09. T2 = Td
10. T3 = Td 32. f31 = W1 - f11
03. f32 = f31 07. = Vd / (f11 / r1 + W15 / r2 + f31 / r3)04. f12 = f11 f32 / (f32 + k * f23) (Variável de Abertura)01. f13 = f11 - f12 (Início e Final do Ciclo)08. r = f13 / f11
36. W2 = f12 + f32
37. x12 = f12 / W2
38. W3 = f13 + f23
39. x13 = f13 / W3
Simular o Extrator
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 027. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 028. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 031. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0
RESFRIADOR
W10 T10
W13 T13
W12 T12
10
11
12
13
Ar
Água
W13 T13
DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar 36.345 kg/h de benzeno liquido saturado até 25 oC. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC.
W13 = T*
13 = 25 oC
W*10 = 36.345 kg/h
T*10 = 80 oC
W12 = T*
12 = 30 oC
10
11
12
13Ar
Água
W11 = T*
11 = 15 oC
W*10 = 36.345 kg/h
T*10 = 80 oC
W12 = 59.969 kg/hT*
12 = 30 oC
10
11
12
13Ar = 361 m2
Água
W11 = 59.969 kg/hT*
11 = 15 oC
W13 = 36.345 kg/hT*
13 =25 oC
W11 W12 Eq. Var
26 X O W10 W13 27 W13
27 X O Qr T11 T12 29 Qr
28 O X X X T10 T13 28 W11
29 X O X X Ar r 26 W12
30 X O X 30 Ar
31 X X X X O 31 r
DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR
27. W13 = W10
29. Qr = W10 Cp2l (T10 - T13)28. W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11))26. W12 = W11
30. Ar = Qr / (Ur dr ) d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11
31. dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)
Dimensionar o Resfriador
SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR
Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saida do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m2 fosse alimentado com 20.000 kg/h de benzeno ao invés de 36.345 kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento.
W*10 = 36.345 kg/h
T*10 = 80 oC
W12 = 59.969 kg/hT*
12 = 30 oC
10
11
12
13Ar = 361 m2
Água
W11 = 59.969 kg/hT*
11 = 15 oC
W13 = 36.345 kg/hT*
13 = 25 oC
W*10 = 20.000 kg/h
T*10 = 80 oC
W12 = 59.969 kg/hT12 = 25 oC
10
11
12
13A*
r = 361 m2
Água
W11 = 59.969 kg/hT*
11 = 15 oC
W13 = 20.000 kg/hT13 = 17 oC
Resultado do dimensionamento
W11 W12 Eq. Var
26 X O W10 W13 26 W12
27 X O Qr T11 T12 27 W13
28 X X X O T10 T13 28 T12
29 X X X O Ar r 29 T13
30 X X X Qr 31 r31 X X X X O 30
SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR
26. W12 = W11
27. W13 = W10 T = T10 - T11
a1 = 1 / (W10 Cp2l): a2 = 1 / (W11 Cp3): e1 = Exp (Ur Ar (a1 - a2))30. Qr = T (1 - E1) / (a2 - E1 * a1) (Variável de Abertura)28. T12 = T11 + Qr a2 (Início do Ciclo)29. T13 = T10 - Qr a1
d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11
31. dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2) (Fim do Ciclo)
Simular o Resfriador
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 021. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 022. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 025. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0
CONDENSADOR
W5 T5
W10 T10
W9 T9
5
8
9
10
Ar
Água
W8 T8
DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar 36.345 kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC .
W*5 = 36.345 kg/h
T*5 = 80 oC
W10 T*
5 = 80 oC
W9 T*
8 = 30 oC
5
8
9
10
Água
W8 T*
8 = 15 oC
Ac
W10 = 36.345 kg/hT*
5 = 80 oC
W9 = 228.101 kg/hT*
9 = 30 oC
5
8
9
10
Água
W8 = 228.101 kg/hT*
8 = 15 oC
Ac = 119 m2
W*5 = 36.345 kg/h
T*5 = 80 oC
W8 W9 Eq. Var
20 X O W5 W10 21 W10
21 X O Qc T8 T9 23 Qc
22 O X X X T5 T10 25 c
23 X O X X Ac c 22 W8
24 X O X 20 W9
25 X X X X O 24 Ac
DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR
21. W10 = W5
23. Qc = W5 2
d1 = T5 - T9: d2 = T10 - T8
25. dc = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)22. W8 = Qc / (Cp3 * (T9 - T8))20. W9 = W8
24. Ac = Qc / (Uc * dc)
Dimensionar o Condensador
SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar 20.000 kg/h de benzeno, ao invés dos 36.345 kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m2. O condensador conta com um sistema de controle que manipula a vazão de água de modo a garantir a saida do benzeno como líquido saturado. A água se encontra a 15 oC.
W10 = 36.345 kg/hT*
10 = 80 oC
W9 = 228.101 kg/hT*
9 = 30 oC
5
8
9
10
Água
W8 = 228.101 kg/hT*
8 = 15 oC
Ac = 119 m2
W*5 = 36.345 kg/h
T*5 = 80 oC
W*5 = 20.000 kg/h
T*5 = 80 oC
W10 = 20.000 kg/hT*
10 = 80 oC
W9 = 35.718 kg/hT9 = 67,7 oC
5
8
9
10
Água
W8 = 35.718 kg/hT*
8 = 15 oC
A*c = 119 m2
resultado do dimensionamento
W8 W9 Eq. Var
20 X O W5 W10 21 W10
21 X O Qc T8 T9 23 Qc
22 O X X X T5 T10 24 c
23 X O X X Ac c Biss 25 T924 X X O 22 W8
25 X O X X X 20 W9
SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR
21. W10 = W5
23. Qc = W5 2
24. dc = Qc / (Uc Ac)25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 (Resolução por Bisseção)22. W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8))20. W9 = W8
Simular o Condensador
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 012. Balanço Material do Benzeno: f23 - f24 - W5 = 013. Balanço Material do Vapor: W6 - W7 = 014. Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Balanço de Energia na Corrente de Processo: Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Equação de Dimensionamento: Qe - Ue Ae e = 017. Definição da Diferença de Temperatura (e): e - (T6 - Te) = 018. Fases em Equilíbrio T4 – Te = 019. Fases em Equilíbrio T5 – Te = 0
EVAPORADOR
W6
T6
W7 T7
W3 x13
T3 f13 f23
W4 x14
T4 f14 f24
4
67
Ae
Vapor
W5 T55
Benzeno
Produto
Condensado
3
Extrato
38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f33 – W3 = 039. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 040. Vazão Total na Corrente 4: f14 + f24 - W4 = 041. Fração Mássica na Corrente 4: x14 - f14/W4 = 0
DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com 37.545 kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm.
W6
T*6 = 150 oC
W7 T*
7 = 150 oC
W*3 = 37.545 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 f23
W4 x*
14 = 0,10
T4 f14 f24
4
67
Ae
Vapor
W5 T55
Benzeno
Produto
Condensado
3 Td* = 80 oC
W6 = 8.615 kg/hT*
6 = 150 oCW7 = 8.615 kg/hT*
7 = 150 oC
W*3 = 37.545 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h
W4 = 1.201 kg/h x*
14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.081 kg/h
4
67
Ae
Vapor
W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Te* = 80 oC
f13 f14 Eq Var11 X O f23 f24 W5 17 e12 X X O W6 W7 18 T413 X O T6 T7 Qe 19 T514 O X X X Te T3 39 f1315 X X X O X X Ae e 11 f1416 X O X 38 f2317 X X O T4 41 W418 X O T5 40 f2419 X O W3 12 W538 X O X x13 15 Qe39 O X X W4 16 Ae40 X O X x14 14 W641 X O X 13 W7
DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR
15. De = T6 - T35. f13 = W3 x13
09. f14 = f13
34. f23 = W3 - f13
37. W4 = f14 / x14
36. f24 = W4 - f14
10. W5 = f23 - f24
13. Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T - T3) + W5 l212. W6 = Qe / (l3 + Cp3 (T6 - T7))11. W7 = W6
14. Ae = Qe / (Ue De)
Dimensionar o Evaporador
SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de área de projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de solução e não mais com 37.545 kg/h. O evaporador é dotado de um sistema de controle que manipula a vazão de vapor de modo a garantir que esse vapor saia como líquido saturado a 150 oC.
W6 = 8.615 kg/hT*
6 = 150 oCW7 = 8.615 kg/hT*
7 = 150 oC
W*3 = 37.545 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h
W4 = 1.201kg/h x*
14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h
4
67
Ae
Vapor
W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Td* = 80 oC
W6 = 8.615 kg/hT*
6 = 150 oCW7 = 8.615 kg/hT*
7 = 150 oC
W*3 = 50.000 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 = 160 kg/h f23 = 49.840 kg/h
W4 = 16.931 kg/h x14 = 0,095T4 = 80 oCf14 = 160 kg/h f24 = 16.771 kg/h
4
67
Ae
Vapor
W5 = 33.069 kg/h T5 = 80 oC5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Te* = 80 oC
resultado dodimensionamento
f13 f14 Eq Var11 X O f23 f24 W5 17 e12 X O X W6 W7 16 Qe13 X O T6 T7 Qe 14 W614 O X X X Te T3 13 W715 X X O X X X Ae e 18 T416 O X X 19 T517 X X O T4 39 f1318 X O T5 11 f1419 X O W3 38 f2338 X O X x13 15 W539 O X X W4 12 f2440 X X O x14 40 W441 X X O 41 x14
SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR
15. De = T6 - T14. Qe = Ue Ae De 12. W6 = Qe / (l3 + Cpv * (T6 - T7))11.W7 = W6
35. f13 = W3 * x13
09. f14 = f13
34. f23 = W3 - f13
13. W5 = (Qe - (f13 * Cp1 + f23 * Cp2l) * (T - T3)) / l210. f24 = f23 - W536. W4 = f14 + f24
37. x14 = f14 / W4
Simular o Evaporador
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global
3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos e que pertencem.
É a estratégia mais indicada para dimensionamento.
O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado.
3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL
Existem duas estratégias básicas:
- Estratégia Global- Estratégia Modular
Dimensionamento do Processo – Estratégia Global
01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. f13 - k (f23/f32) f12 = 005. f13 - k (f23/f32) f12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 011. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0
20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 026. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 032. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 034. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 /W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 /W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/W4 = 0
f11 f12 f13 E V1 * O * W15f23 5 k2 O * f31 f32 9 T23 * O k 10 T34 * * O * * Td 17 De5 O X T1T15 18 T46 * * X X O Vd 19 T57 * * * O X r 25 dc8 * O X T2 35 f119 X O T3 8 f1310 X O f14 1 f1211 * O f24W5 11 f1412 * * O W6W7 34 f3113 * O T6 T7 Qe 3 f3214 O X X * Te 4 f2315 * * * * O X Ae e 2 W1516 * O * 6 T1517 X X O T4 7 Vd18 X O T5 36 W219 X O W8W9 37 x1220 * O W10 38 W321 * O Qc T9 T8 39 x1322 O * X X T10 41 W423 * * O X Ac c 40 f2424 * O * 12 W525 * X X X O W11W12 15 Qe26 * O W13 14 W627 * O Qr T11T12 13 W728 O * X X T13 16 Ae29 * X O * A r r 21 W1030 * O * 23 Qc31 X X X * O W14T14 22 W832 * * O 20 W933 * * O * X W1 24 Ac34 * O X x11 27 W1335 O X X W2 32 W1436 * * O x12 33 T1437 * * O W3 31 dr38 * * O x13 29 Qr39 * * O W4 28 W1140 * O * x14 26 W1241 * O X 30 Ar
Extrator
Evaporador
Correntes Multicomponentes
Condensador
Resfriador
Misturador
Dimensionar Processo
(03) T3 = T2
(13) T4 = T5 (16) e = T6 - T5 (22) D1 = T5 - T9: D2 = T10 - T8 : c = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(32) f11 = W1 x11 (08) f13 = f11 r(31) f31 = W1 - f11 (01) f12 = f11 - f13 (09) f14 = f13 (03) f32 = f31 (04) f23 = f13 f32 / (k f12)(34) W4 = f14 / x14 (02) W15 = f23
(33) f24 = W4 - f14 (05) T15 = T2 - (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - T2) / (W15 Cp2l) (07) Vd = (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) (10) W5 = f23 - f24 (14) Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T5 - T3) + W52
(18) W10 = W5
(20) Qc = W5 (2 + Cp2l (T5 - T10)) (12) W6 = Qe / ( 3 + Cp3 (T6 - T7)) (15) Ae = Qe / (Ue e) (24) W13 = W10 (19) W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) (21) Ac = Qc / (Uc c) (11) W7 = W6 (29) W14 = W15 - W13 (17) W9 = W8 (30) T13 = T15 + W14 (T15 - T14) / W13 (26) Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) (28) D1 = T10 - T12: D2 = T13 - T11: r = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(25) W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) (27) Ar = Qr / (Ur r) (23) W12 = W11
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.4.2 Estratégia Modular
3.4.2 Estratégia Modular
Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo.
Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma.
É a estratégia mais indicada para simulação.
Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento.Cada módulo contem as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).
Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular
O fluxograma exibe um reciclo.
A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W5
O valor inicial arbitrado para W5 pode ser aquele obtido noDimensionamento.
Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o deSubstituição Direta.
Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possívelde variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W5).
Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular
EXTRATOR
RESFRIADOR
MISTURADOR
CONDENSADOR
EVAPORADOR
SS
18. W10
20. Qc
19. c
22'. T9
21. W8
17. W9
24. W13
23. W12
25'. Qr
28. T13
27. T12
26. r
29. W15
30. T15
02. f23
32. f11
31. f31
03. f32
05. T2
07. 06. T3
01' f12
04. f13
08. r
W1
T1
x11
f11
f31
W15
T15
W45
T14W13
T13
W10
T10
f13
f23
T3
W4
T4
x14
f14
f24
09. f14
13. T4
16. e
15. Qe
12. W6
14. W5
10. f24
11. W7
33. W4
34. x14
T5
T2
f12
f32
W5a
W5c
Repetição até convergir :
|W5c – W5a| / W5a
SUB SimularOProcesso'----------------------------------------------------------------------------INPUT "W5= "; W5cW5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c))NoDeIteracoes = 0DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizerLOOP UNTIL ConvergirEND SUB
PRINCIPAL
Simular
Simular
Simular
Simular
Simular
Simular
Dimensionar
Dimensionar
Dimensionar
Dimensionar
Dimensionar
DimensionarExtratorExtrator
EvaporadorEvaporador
Condensador Condensador
ResfriadorResfriador
MisturadorMisturador
ProcessoProcesso
Mostrar Lucro doCalcular Lucro doEmpreendimento
Processo
Resolver Problema
Otimizar
Empreendimento
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
Simulação de Processos com Estrutura Complexa
1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
14
Procedimento:(a) identificação dos ciclos.(b) seleção das correntes de abertura(c ) construção do algoritmo de simulação
(a) Identificação dos Ciclos
O procedimento é o de Traçado de Percursos (labirinto)Trabalha-se com uma Lista Dupla: corrente e equipamento de destino.O resultado é lançado na Matriz Ciclo-Corrente (correntes que participam de cada ciclo).
Corrente: Destino :
1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
14
C: D:
3 4 5 6 711*
22 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
814
11
22
33
541
22
33
541
C: 1 2 3 5D: 1 2 3 4
765
86
1110 4
765
86
1110 4
7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8
13 2
7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8
13 2
C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7
1295
86
1110 4
C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7
1295
86
1110 4
12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8
13 2
12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8
13 2
C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8
13 2
C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8
13 2
(b) Seleção das Correntes de AberturaMatriz Ciclo - Corrente
ALGORITMOCalcular os elementos de CRepetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1
1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C
000000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1
1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C
000000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C
300000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 0 0 03 0 0 0 0 0 04 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0C
380000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C
300000
A
(c) Construção do Algoritmo de Simulação
1 2 3 4 5 6 7 81* 2
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
143
Abrir C3
REPETIRSimular E3 (C4,C5)Simular E1 (C2)
REPETIRSimular E6 (C10,C11)Simular E4 (C6,C7 )Simular E7 (C9, C12)Simular E5 (C8)
ATÉ Convergir C8
Simular E8 (C13, C14)Simular E2 (C3)
ATÉ Convergir C3
Abrir C8
Corrente 1: única conhecida
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular
3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Fontes de incerteza:
(a) modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes...
A análise de processos é executada em ambiente de muita incerteza.
A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através daAnálise de Sensibilidade
(b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis).
(b) questionamento do desempenho futuro. Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto ?
(a) questionamento do próprio dimensionamento.Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ?
A Análise de Sensibilidade consiste de dois questionamentos óbvios efetuados ao final do dimensionamento, realizado em ambiente de incerteza.
Fazem parte da Análise:
- as variáveis características do dimensionamento: dimensões.
- as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto).
- os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros Controle !!!).
F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.
: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.
Fundamento da Análise de SensibilidadeExemplo: Trocador de Calor
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A = 265,6 m2
T 2* = 25 oC
W3 = 44.000 kg/h
T3* = 15 oC
T4* = 30 oC
0
TTTTln
)TT()TT(.4
0UAQ.30)TT(CpWQ.2
0)TT(CpWQ.1
32
41
3241
3433
2111
F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.
S (F; i): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i.
: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.
Fundamento da Análise de Sensibilidade
i *
F
i
*ii
ii
)(F);F(S
Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i*
Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais
)(F)(F
)/()](F/)(F[
)/;F/F(S*i
*i
*ii
i
1
*ii
*ii*
ii*
Vantagens:(a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros.(b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau.
Nova definição de Sensibilidade:
Sensibilidade de F/F* à incerteza em i / i*
1
F/F*
i / i *
)(F)(F
)/()](F/)(F[
)/;F/F(S*i
*i
*ii
i
1
*ii
*ii*
ii*
F
i i *
F*
Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada
Em processos complexos é impossível obter a derivada aproximação linear
)(F)(F
)/()](F/)(F[
)/;F/F(S*i
*i
*ii
i
1
*ii
*ii*
ii*
i
*i
*i
*ii
*i
*i
*i
i
*ii
*i*
ii*
)(F)(F)(F
)(F)(F)(F
)/;F/F(S
01,0/ *ii
)*i
*i
*i*
ii*
F()F(ξ)ξF(1,01100)/ξ;S(F/F
S(F/F*;i/ i*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza
de 1% em i
|S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida
)*i
*i
*i*
ii*
F()F(ξ)ξF(1,01100)/ξ;S(F/F
S (T2;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686
S (T4;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156
S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99
S(W3;U) = 0
QUESTIONAMENTO DO PROJETORe-dimensionamento com U = 101
QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHOSimulação com U = 101
DIMENSIONAMENTO ORIGINAL(BASE)
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A = 265,6 m2
[U = 100]
T 2* = 25 oC
W3 = 44.000 kg/hT3
* = 15 oC
T4* = 30 oC
[U = 101]
A = 262,93 m2
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
T3* = 15 oC
W3 = 44.000 kg/h
T4* = 30 oC
T 2* = 25 oC
[U = 101]
T2 = 24,828 oC
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
T3* = 15 oC
W3* = 44.000 kg/h
T4 = 30,047 oC
A* = 265,6 m2
Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada):
n
1i*i
*ii*
ii*
*
*
)/;F/F(S)(F
)(F)(F
);F(S01,0)/;F/F(S01,0)(F
)(F)01,1(F n
1i
*ii
**
**
Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro:
)F(ξ)F(ξ)ξF(1,01100)ξ/ξ;S(F/F
*
****
A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada:
Questionamento do Projeto
Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto:
i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i)W1 1 1 0,93
T1 1,45 0,45 1,21
T3 1,01 0,56 0,88
Cp1 1 1 0,93
Cp3 - 1 0 - 0,78
U 0 - 1 - 0,13
Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.
S(F; ) 3,46 2,01 3,04
Questionamento do Projeto
Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros:
i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i)S(F; ) 3,46 2,01 3,04
Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W3, A e CT estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.
Questionamento do Desempenho
Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto:
i S(T2; i) S(T4; i)W1 0,80 0,32
T1 0,48 0,63
T3 0,48 0,37
W3 - 0,12 - 0,47
A - 0,68 0,17Cp1 0,80 0,32
Cp3 - 0,12 - 0,47
U - 0,68 0,17
Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.
S(F; ) 0,96 1,04
Questionamento do Desempenho
Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto:
i S(T2; i) S(T4; i)S(F; ) 0,96 1,04
Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T2 e T4 , durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.