CAPITULO 4 Matematica Financiera

MATEMATICASFINANCIERAS

Hace algunos años éste era un tema al que pocaímportancia se le daba no sólo en el ámbito de lasempresas (sobre todo las medianas y pequeñas),sino también en las uníversídades donde en elmejor de los casos era una materia electiva. Hoypodemos ver cómo se le consíder¿t materia básicano solamente en los programcts de Administraciónde Empresas, Contctduría y Economía, sinotambién en programas cle Ingeniería.

Las Matemáticas Financieras (MF), tambiéndenominadas "Ingeniería Económ.ica", recogenuna serie de técnicas que penniten al ejecutivomanipular un concepto que está presente en lct

mayoría de las decisiones cotidianas: la tasa deInterés.

El propósito de este capítulo es permitir elaprendizaje de las técnicas de MatemtíticusFinancieras que mds aplican en la toma dedecisiones, a través de la explicación de losconceptos fundamentales que las soportan y de lasolución de abundantes ej ercicios prrícticos.

Esto ayudartí al lector a enfrentar sin temores losproblemas cotidianos cuya solucíón requiere de lct

aplícación de dichcts técnicas y podrd, igualmente,consultar sin ningún temor cualquier textoavanzado sobre Ia materia.*

- ADMINISTRACION FINANCIERA-FUNDAMENTOS Y APLICACIONESOscar León García S.

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92 Capítulo 4

El dominio de las matemáticas financieras permite a quien las utiliza realizat infinidad

de análisis de tipo financiero, entre los cuales podemos mencionar los siguientes:

o Determinar el verdadero costo de una altemativa de financiación, o la verdadera

rentabilidad de una inversión.o Diseñar una política de descuentos.o Establecer planes de financiamiento a los clientes cuando se vende a crédito.

o Seleccionar e1 mejor plan para amortizar deudas, según los criterios de liquidez y

rentabilidad que tenga la empresa.. Calcular el costo de capital.o Escoger las alternativas de inversión a corto o largo plazo que sean más favorables

Seleccionar entre alternativas de costos.

Evaluar un proyecto de inversión

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO, EQTIIVALENCIA Y TASA DEINTERES

¿,Preferiría usted recibir $100.000 dentro de un año a recibirlos hoy? Es posible que no,

debido, entre otros, a factores tales como:

¡ La inflación, que hace que dentro de un año el poder adquisitivo de ese dinero sea

menor, es decir, que se desvalorice.c La oportunidad que usted tendría de invertirlos en alguna actividad, haciendo que

no solamente se protejan de la inflación, sino también que generen una utilidad

adicional.o El riesgo de que quien se los debe entregar ya no esté en condiciones de hacerlo.

Por 1o tanto, si la opción fuera recibirlos dentro de un año, usted la aceptaría solamente

si le entregaran una cantidad adicional que compensara los tres factores mencionados

aniba.

De lo anterior surge el concepto del Valor del Dinero en eI Tiempo que sugiere que en

nuestras manos y nosotros tomando decisiones con é1, el dinero tiene la capacidad de

generar más dinero, es decir, de generar más valor.

Si, por ejemplo, usted aceptara=ól*igiera recibir $140.000 dentro de un año a cambio de

aceptar no recibir $100.000 hoy, quiere decir que para usted esos dos valores son

Equivalentes, es decir indiferentes, en el sentido de que cualquiera de las dos opciones

lo deiaría a usted satisfecho.

De lo anterior surge a su vez otro concepto, el de Equivalencía, que sugiere que para un

inversionista particular dos valores (diferentes), ubicados en diferentes momentos del

tiempo pueden serle indiferentes.

Cuando la riqueza obtenida en un período se relaciona con el capital inicialmentecomprometido para producirla, obtenemos lo que universalmente se denomina Tasa de

Interés. En nuestro ejemplo la riqueza generada fue de $40.000, que representat el 407o

de interés sobre el valor original de $100.000.

Generalmente y para efectos comerciales, la Tasa de Interés se expresa en términosanuales, aunque no hay ningún inconveniente en que se exprese para períodos menores

(mes, trimestre, semestre, etc.), de acuerdo con a1gún propósito particular.

CANCEPTO CLA'u"iValor d.el dinero en rt fiEl dinero en el tiett:. t*capacidadde gene'-. fidinero, es decir, de . nüriqueTa o mtís valc'

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Matemáticas Financieras 93

Quiere decir, por lo tanto, que lo que un inversionista exige como cantidad <liferencialpor el hecho de no disponer del dinero ahora a cambio de hacerlo dentro de un períododeterminado, se llama Interés, cuya magnitud variará de acuerdo con sus expectativasy el riesgo que él considera está asumier.rdo al comprometer sus fondos. Expresadocomo un porcentaje, este interés también suele llamarse Tesa Mínima Requerida deRetorno o Tasa Mínima Requerida de Pendimíento (TMRR), concepto que se explicóen el capítulo 2. Recuerde el lector que en dicho capítulo se dijo que todas las personastenían criterios diferentes frente a las inversiones, lo que hace, pues, que el concepto de

interés sea en parte relativo al depender del criterio de quien invierte o presta el tlinero.

El concepto de Equivalencia, aunque sencillo, es extremadamente importante ya que nose puede hablar de equivalencia sin hacer mención de la tasa de interés que satisfacedicha condición. Por ejemplo, $100.000 hoy son equivalenres a $140.000 denrro de unaño a una tasa del 40Vo. Iglalmente, al 357o, $13,5.000 dentro de un año sonequivalentes a $100.000 hoy. O también, $160.000 dentro de un año son equivalentes a

$100.000 hoy a una tasa del 60Vo, etc.

INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Cuando sobre un préstamo el interés que se reconoce es igual a la tasa que se cobra porperíodo multiplicada por el número de períodos, se dice que se está cobrando interéssimple.

Por ejemplo, si una empresa toma un préstamo de $500.000 por 3 meses al Z.5Vomensual bajo la modalidad simple, al final tendrá que pagar el capital más unosintereses acumulados de $37.500 que se obtienen así: 500.000 x 2.5Vo x 3. euieredecir esto que los intereses que se causaron cada mes y que no fueron pagados noacumularon ningún tipo de interés adicional.

Bajo la modalidad de interés compuesto se supone que los intereses causaclos cadaperíodo pasan a conformar un nuevo capital sobre el cual se causarán los intereses delperíodo siguiente.

Si en el ejemplo ésta fuera Ia condición, el pago al final del tercer mes sería, además delcapital inicial, unos intereses acumulados de $38.445,3 I que se calculan como apareceen el Crrl-dro 4-l que se muestra adelante.

Allí el lector podrá observar, que el valor de $538.445,31 obtenido al final equivale amultiplicar 500.000 x 1,025 tres veces consecutivas. Igualmente, el valor de losintereses acumulados se obtiene restando al monto total acumulado, el valor inicial delpréstamo.

Cuadro 4-1. Acumulación de intereses compuestos

No sobra aclarar que además de la condición simple o compuesta para el interés,también podrá pactarse el momento de pago de éstos (mensuales, trimestrales, etc.), y sison anticipados o vencidos. Las implicacianes de estas condiciones serán discutidasmás adelante en el presente capítulo.

,\lucha gente discute si es lógico y justo cobrar intereses compuestos. Pensemos en lasieuiente situación.

m¡ t ^..; '.:uerida derlliirrll - .: -¡rio es surflllllilr] ::

500.000,00 12.500.00 512.5002 512.500,00 12.812.50 525.312.503 525.312,50 13.132,81 538.445.31

rlll li ,. .. il1ce¡lnrL,il]rii rr ' : st'glores

t:::: ,.' :dos en,t - '¿ntos del

I94 Capítulo 4

Suponga que usted deposita un millón de pesos en una entidad que ofrece pagar el 307o

anual, liquidables cada mes, es decir, el 2,5Vo mensual vencido. Usted desea rcalizaresta transacción sólo durante un mes con la esperanza de que los $25.000 que recibirá alfinal los destinará al pago de la última cuota de un bien que igualmente compró a

crédito hace algún tiempo. Cuando va a reclamar sus intereses, en la entidad financierale dicen que ha habido unos problemas que impiden pagárselos y por lo tanto le pidenque por favor regrese dentro de 30 días, al cabo de los cuales le devolverán su capital ylos intereses de los dos meses.

Para usted no incumplir con la cuota de $25.000 que debía pagar, le solicita a un amigoque se los preste, e1 cual lo hace cobrándole, igualmente, el 2,5Vo, para 1o cual usted le

firma un documento por $25.625 con vencimiento a 30 días. Cuando al cabo de un mes

usted va a la entidad financiera por su dinero, le entregan un cheque por $1.050.000.

¿Estaría usted de acuerdo con este pago?

Lo más lógico es que no 1o esté, ya que dicha entidad al no cumplirle con el pago en el

primer mes, hizo que usted incurriera en un costo de oportunidad de $625 que es

precisamente el interés que deberá reconocerle a su amigo por el préstamo de los

$25.000. De forma que usted reclamará sus derechos y exigirá que le paguen dichasuma. En otras palabras, que le reconozcan intereses sobre los intereses causados y nopagados en el momento acordado, es decir, que le respeten su criterio de "Equivalencia"ya que para usted son equivalentes $ I .000.000 hoy a $ I .050.625 dentro de dos meses yno $1.000.000 hoy a $1.050.000 en el mismo lapso.

O sea que sí es lógico y justo que se cobren intereses compuestos ya que éstos tienen en

cuenta el valor del dinero en el tiempo, es decir, reconocen el hecho de que quien prestay no recibe los intereses en el momento de su causación tiene el derecho de cobrarintereses sobre éstos, para compensar el costo de oportunidad en el que incurre por nohaberlos podido disfrutar antes.

Además, eso de los intereses compuestos no es nada nuevo. Si usted lleva su dinero a

una entidad financiera, lo coloca a una determinada tasa y cada mes cuando va a

reclamar los intereses los deposita de nuevo a esa misma tasa, ésta se los recibirá. Es

más, si usted les dice que para no tener que ir todos los meses, más bien se loscapitalicen automáticamente, más cómodo para ellos. ¿Y eso cómo se llama?Sencillamente "Interés Compuesto". Luego, si las entidades financieras pagan interéscompuesto es porque ésta es una práctica normal y por lo tanto es lógico que también lopuedan cobrar.

Surge ahora otro elemento de discusión: ¿Cuál es peíodo de causación de losintereses? ¿Quién dice que es un mes? ¿Por qué no un trimestre o un semestre?

Comercialmente se supone que un servicio se paga cuando se presta y que hay un límitede tiempo en el cual éste debe ser pagado para poder seguir disfrutándolo. Sianalizamos algunos de los más importantes servicios de terceros a los que la empresarecure para su normal funcionamiento nos encontramos que generalmente su períodode causación es un mes. Por ejemplo, la energía, el arrendamiento, el teléfono, elseguro social, etc. Para el servicio que se paga por el préstamo de dinero, o sea elinterés, también se ha establecido como costumbre su liquidación mensual. Que tantoel interés como los demás servicios no se paguen en ese lapso es otro problema. Elhecho es que cada mes se contrae la obligación de pagarlos, es decir, se causan, y si estono se hace habrá lugar al reconocimiento de una compensación al acreedor por el costode oportunidad asumido por éste.

Ahora bien, es posible que entre acreedor y deudor se pacten períodos de causaciónmayores que un mes. Veamos.

El cobro de inferés tes lógico.

EI período de causacic,ínterés es, generalmeri:tmes, pero cualt¡uier or,de condición puede serpactada entre prestani;prestatario.

:'Tnulas de matemtíticas, :eras permiten calcular. ; equivalentes ubicados

tllr a r ent e s mome nt o s de I


Si volvemos a nuestro ejemplo y suponemos que tanto usted como la entidad financieraestuvieron de acuerdo en que el dinero se prestaría por dos meses, ¿aceptaría usted los

$50.000 de intereses por el mencionado período? De nuevo. debemos responder que no,

pues si así se hiciera la tasa de interés mensual recibida ya no sería del 2,57o sino una

menor. Piense el lector en este problema, trate de determinar cuál sería la tasa que

realmente ganaría si aceptara el mencionado valor y cuál sería la tasa que debería cobrarpara prestar su dinero por los dos meses, es decir, la tasa bimestral, para que fuera

equivalente al 2,5Vo mensual. En el ejercicio ilustrativo No.18, más adelante en este

capítulo aparece resuelta esta situación. Remítase el lector al mencionado ejercicio una

vezhaya comprendido el concepto de interés efectivo que se explica más adelante.

Como al cabo de dos meses se deberían acumular $1.050.625, la tasa de interés a cobrar

si los intereses se liquidaran cada dos meses sería del 5,0625Vo bimestral.

Si usted aceptara que le liquiden los intereses cada trimestre la tasa de interés a cobrar

sería del 1,689IVo trimestral que se deduce del valor equivalente acumulado al cabo de

tres meses tal como aparece en el cuadro 4-2

FORMULAS DE MATEMATICAS FINANCIERAS

Si en vez de solicitarle a usted la liquidación trimestral de intereses, se le pidiera que

permitiera liquidarlos cada año. ¿Qué tasa de interés exigiría para aceptar dichapropuesta?

Una opció,p sería completar el Cuadro 4-2, 1o cual implicaría calcular el valoracumulado mes tras mes (obteniendo un cuadro de 12 renglones), lo cual sería muydispendioso. O lo que es 1o mismo, deberíamos multiplicar 1.000.000 x 1,025 doce

veces consecutivas con el fin de hallar el valor equivalente que se acumularía en este

lapso y a partir esta cifra deducir la tasa de interés que buscamos, lo que igualmente es

un pfoceso engoffoso.

Pensando en la problemática planteada por esta alternativa y otras que plantearemos

más adelante. hace muchos años. académicos estudiosos de las Matemáticas Financieras(MF), diseñaron una serie de fórmulas denominadas "fórmulas de matemáticas

financieras" cuyo propósito es permitir el cálculo de valores equivalentes en diferentes

momentos del tiempo, por lo que también se les denomina "fórmulas de equivalencia".

Las alternativas que se pueden presentar y las respectivas fórmulas a utilizar para su

manejo se ilustrarán a continuación, teniendo en cuenta que sólo demostraremos la

primera fórmu1a que es justamente la que soluciona nuestro problema del millón de

pesos y que es a la vez la más sencilla y la más impoftante. Si el lector desea

profundizar en la forma como se obtienen las demás fórmulas, deberá remitirse a

cualquier texto de ingeniería económica.

Para expresar las fórmulas utilizaremos los siguientes símbolos y criterios:

l 1.000.000 25.000 1.025.000 2.5Va mensual

2 1.025.000 25.625 1.050.625 5.0625Va bimestral

3 1.050.625 26.266 1 .076.891 7 ,6891Va trimestral

Cuad¡o 4-2. Cálculo de la tasa de interés para diferentes tipos de período de liquidación

96 Capítulo 4

P-

Fr=P+P(i)

y sacando factor común P obtenemos

Fr=P(1+i)=1.025.000

Al final del segundo mes el monto acumulado Fz será:

Valor presente o principal de un préstamo o inversión' Se supone

ubicadf al principio, o momento cero (0), con respecto a los demás

períodos cons iderados.^cuota

uniforme y periódica. Está ubicada al final de cada período.

val0r futuro o valor acumulado al final de un determinado número de

períodos.Tasa de interésNúmero de períodos (meses, trimestres, semestres, años' etc')'

A-F-

l=Jl=

Las cuotas deben Poseercaracterísticas:l. Deben ser uniform,.

decir, iguales.

2. Deben ser Periódíc -decir, darse en tori

períodos.3. Deben estar ubica¡;"

final del período

Lafórmula No.1

F=P(]+i)'eslamás,y a Ia vez la mtís imPo'de todas.

Fórmala No.l Acumulación de un valor Presente. o sea hallar una cantidad F'

producto de acumular una cantidad inicial P, a la tasa de interés i, durante n períodos'

bn adelante seguiremos llamando esta opción " Encontrar _F, dado P' y la

simbolizaremos así: (F/P, iTa, n.), donde F/P se lee "Encontrar F dado P"' La forma

gráfica de ilustrarla es la siguiente:

F=?

n

El gráfico supone que se invierte una cantidad P en el momento cero (0) con el fin de

retiraf una cantidad F en el momento n. Esta sería la situación para un inversionista' El

gráfi.copara quien recibe el dinero sería el contrario y significaría recibir una cantidad P

en el momento cero, con el fin de devolver una cantidad F en el momento n' o sea:

P

ilil tl

.iiil r l

n

E-.'

puede concluirse que la ilustración gráfica de un problema dependerá de la parte

implicada para la cual quiere resolverse. En adelante consideraremos irelevante el

hecho de elaborar el gráfico en un sentido u otro'

Para desarrollar la fórmula de esta primera alternativa retomemos el caso del préstamo

del millón de pesos en el que se requería conocer el valor acumulado al final de los doce

meses a una tasa del2,57o mensual'

veamos primero cual sería el valor acumulado al final del primer mes, o sea Fr.

F1 = 1.000.000 + 1.000'000 (0'025) = 1'025'000

reemplazando 1os valores por los símbolos tenemos que:

F" = 1.025.000 + i.025.000 (0,025) = 1.050'625

riili.,-.':ultiplicadorulr r'"'! a'. e rtír unT

- --, equivalente,- , .. -.:4adasr, :. :.riodoy tasa

Matemáticas Financieras

Utilizando los símbolos y obteniendo el respectivo factor común obtenemos:

Fz=P(1+i) +P(1+i)(i)=P(1 +i) tl +il =P(1 +i): = 1.050.625

Al final del tercer mes el valor acumrllado F3 será:

F¡ = 1.050.625+ 1.050.625 (0,025) = L076.891

F:=P(l+i)2 +P(1+i)(i)= P(1 +i¡2 ¡l +il = P(1 +i)3 = 1.076.891

Analizando las expresiones de los valores acumulados mes tras mes nos encontramosante la presencia de una serie del tipo:

F"=P(1+i)"

Lo que sugiere que el valor acumulado al final del mes 12 seú:.

Frz = 1.000.000 (1 + 0,025)12 = 1.000.000 (1,344889) = 1.344.889

Que implica que la tasa de interés que debería exigirse en el evento de aceptar laliquidación anual, sería del 34,48897o anual.

Al valor 1,344889 que aparece entre paréntesis se le denomina " Factor" .

En este caso, 1,344889 que es la cifra que se obtiene de desarrollar la parte algebraicade la fórmula, es un valor que sólo sirve para una cosa: Encontrar, a partir de cualquiermonto, un valor que se acumula al cabo de 12 períodos si la tasa es del 2,5Vo porperíodo. Expresado como símbolo se escribe (FIP.2.57o. i2), y se leería "encontrar Fdado P, al2,S7o en 12 períodos". O sea que FiP no significa "F sobre P".

El simbolismo general de la situación planteada en esta primera fórmula se escribiría(FlP, i%o, n), que se lee "encontrar F dado P, a la tasa de interés !, en n períodos".

Para simplificar y siempre y cuando no sea necesario para la explicación pertinente, enel futuro continuaremos aproximando los decimales en las respuestas, más no en losfactores ni en las tasas de interés. Para los factores siempre utilizaremos 6 cifrasdecimales.-€üando se trate de deducir o manipular tasas de interés utilizaremos cuatrocifras decimales.

En general diremos que:\i

F=P(1+i)"

F = P (FIP, i"/o, n)

Fórmula No.1

iilrl ." -,,

lllllrllll' " ,

tladora-;itorronirio.

MANEJO DE LA CALCULADORA FINANCIERA

Es posible que el lector nunca tenga que recurir a las fórmulas para solucionar unproblema específico, y mucho menos que deba aprenderlas de memoria, pues para elloexiste la Calculadora Financiera cuya utilidad es el ahorro de tiempo que implica suuso, en aras de que quien la úlliza disponga de más tiempo para pensar, plantearalternativas y evaluar los resultados.

I98 Capítulo 4

Las Calculadora Financiera debe considerarse como un mero instrumento para facilita¡los cálculos pues su manejo, más que un proceso mecánico, es un proceso racional en el

sentido de que la clave estó en plantear adecuadamente el problema que se quiereresolver, para luego plasmarlo en forma de instrucciones en la máquina.

Lo anterior sugiere que para poderlas aprovechar al máximo, el usuario debe conocer ktclatepararesolverunmuy bien todos los elementos teóricos involucrados en las operaciones. Por eso se problema de MF está en

aconseja que cada que se tenga que resolver un problema siempre se elabore primero un planrearlo adecuadamente'

gráfico de la situación planteada, para luego poder introducir los datos en iacalculadora, la cual es de muy fácil manejo.

Los modelos máfropulares en el mercado son la lzc, IIB-II y t9B-n de HewlettPackard (HP) y la FC100 y FC200 de Casio.

Las operaciones básicas se hacen utilizando cinco teclas que representan, a su vez, las

cinco variables utilizadas en las fórmulas. Ellas son:

N M t?v lfMil kv IDonde:

NIVo

PVPMTFV

Los modelos 178-II y 198-II de HP ofrecen la posibilidad de manejar las variables en

varios idiomas, entre ellos el Español. En ellas, las teclas aparecen como se ilustra a

continuación, donde IToA significa tasa de interés anual.

tr @ |vA-l fPAGol [v-lDado que la gran mayoría de usuarios, por su menor costo, poseen modelos de la marca

Casio que sólo maneja el idioma Inglés, en este texto adoptaremos las variables en este

idioma

Una vez definidas las variables que'tntran en juego, producto de la elaboración delgráfico, se introduce el valor de cada una de ellas digitando su valor en el tecladonumérico y luego oprimiendo la tecla respectiva. Para pedir el valor de la variabledesconocida, simplemente se oprime la tecla correspondiente después de introducir laúltima variable conocida y la calculadora mostrará el resultado.

Así tenemos que el ejemplo del millón de pesos que utilizamos para explicar la primerafórmula se resolvería en la siguiente forma:

N MTPV_I fPMrl I FV I E@12 2,5 1.000.000 - 1.344.889

Con respecto a esta secuencia y el resultado obtenido en nuestro ejemplo, sugerimos al

lector que antes de comenzar a digitar en su calculadora, si no conoce su forma de uso,tenga en cuenta lo siguiente:

Secuencias según el modelo de calculador¿. La secuencia no es siempre la misma para

todas las calculadoras. Dependiendo de la marca y el modelo hay pequeñas diferencias,que aparecen claramente especificadas en el respectivo manual del usuario.

Número de períodosTasa de interés del períodoValor presente (P), por sus iniciales en Inglés (present value)Pago o cuota (A), por su abreviatura en Inglés (payment).Valor futuro (F), por sus iniciales en Inglés (future value)


Por ejemplo, en las calculadoras Casio antes de oprimir la tecla correspondiente a lavariable desconocida debe oprimirse una adicional, denominada COMP, abreviatura dela palabra inglesa compute, que significa computar o calcular y que aparece a laizquierda de la tecla n. Igualmente, en el modelo FC200, además de que para pedir unresultado hay que digitar la mencionada tecla, debe igualmente digitarse ia tecla EXE,abreviatura de la palabra inglesa Execute, que significa ejecutar y que aparece en elextremo inferior derecho de la calculadora.

Igualmente, las calculadora Casio deben estar configuradas en moclo financiero, el cualse activa digitando la tecla MODE y en número l. En la pantalla aparecerá la palabraFIN que significa Financiero.

El resumen de las secuencias aparece en el cuadro 4-3. Se invita al lector a intentarlasde acuerdo con el modelo de calculadora que posea.

17",PVPMT I

EXE'-- -l

II

I

l-"ly __ __ _i"go:vrL _ Iy^. ""-_ l_c-.*o_¡a.e nvCuadro 4-3 Secuencia de digitación en la calculadora financiera

2.

En las calculadoras HP 178-II y 198-II, para encontrar las teclas que representan lasvariables de las fórmulas debe ingresarse al menú correspondiente siguiendo estasinstrucciones.

1. Situarse en el menú principal de la calculadora. Digitando la tecla amarilla y luegola tecla que dice EXIT (salir). Digitar la tecla amarilla se hace con el fin de activiropciones que en el tablero de la calculadora aparecen escritas con dicho color. Ennuestro caso, encima de la tecla EXIT aparece en color amarillo la palabra MAIN(principal), 1o que significa que haber digitado ra anterior secuencia no implicó"salir" del menú sino ir al menú "principal".Entrar al Menú Financiero. Al digitar las teclas propuestas en el numeral anterioraparecen en la pantalla de la calculadora, y en orden de izquierda a derecha, cincoopcianes a saber: FIN - BUS - suM - TIME - soLVE, suponiendo el uso delidioma Inglés. Estas opciones se activan con las teclas blancas de la primera fila,que están debajo de la pantalla. La opción FIN que significa "Menú Financiero', seactivaría digitando la primera tecla blanca de la izquierda que es Ia que está justodebajo de dicha opción.Entrar al Menú del Valor del Dinerc,¡ en el Tiempo. Al entrar al menú financieroaparecen en la pantalla, de izquierda a derecha, las cinco opciones siguientes: TVM- ICONV - cFLo - BOND - DEPRC. La primera opción corresponde a las inicialesde las palabras en Inglés Tíme value Money, o sea valor del Dinero en el Tiempoque es al menú que debemos entrar digitando la primera tecla blanca de la primérafila, que es la que aparece justo debajo de dicha opción. Al hacerlo aparecérán loscinco campos básicos.Configurar I Pago por Año. Al aparecer los cinco campos después de seguir lainstrucción anterior también aparecerá en el costado izquierdo de la panálla elmensaje "l2 P/YR" que en Español significa "12 pagos por Año,' (li paymentsper Year). Este mensaje supone que la calculadora está configurada de forma quelos intereses se liquidan 12 veces al año, es decir, mensualmente, con lo que 1a tásade interés a digitar en el campo r7o debería ser una tasa anual, que la máquinadivide automáticamente por 12. A juicio del autor esta situación representa uninconveniente (aunque no grave ni insalvable), que poseen estos dos modeios decalculadora financiera. Ello en virtud de que si tenemos que desarrollar r.an¡:

3.

4.

I100 Capítulo 4

operaciones en las que los intereses se liquidan en forma diferente en cuanto ai

tiénpo, habría que configurar ia calcuiadora para cada operación. Por ejempio. si

los intereses se pagan cada bimestre, habría que colocarla en seis pagos por año (6

P/YR), si se pagan trimestralmente se colocaría en cuatro pagos por año (4 P/YR).

etc., io cual es supremamente engorroso ya que para realizar cada configuración

hay que digitar la opción "OTHER" (Otro menú), que aparece al extremo derecho

de la pantalia al lado de FV.

para evitar esta engorrosidad se sugiere mantener siempre la calculadora

configurada en un pago por año, "1 P/YR",1o cual signilicará que la tasa de interés

que se introduzca no será propiamente una tasa anual sino más bien la Tosa del

PeríorJo en Cuestión y así, a pesar de que en el menú el campo para el interés

aparece como IToYR (Tasa de Interés Anual ó IToA), deberá seguirse leyendo como

lá tasa de interés del período, de forma que ei valor a introducir no sería la tasa

anual silo la que corresponda de acuerdo con el ejercicio que se esté resolviendo'

que es la forma que corresponde con la secuencia sugerida en el cuadro 4-3.

Para colocar la calculadora en "1 P/YR", después de digitar la opción "OTHER".

digitar el número uno (l), luego la tecla del extremo izquierdo de la primera fila,

qr" .oo"uponcle a la opción P/YR y por último 1a tecla EXIT para regresar al menú

de los campos básicos.

Resultudos con signo negativo. Para cualquiera de los modelos de ias marcas

mencionadas, si el lector ha seguido la secuencia del Cuadro 4-3 ha obtenido como

resultado un valor ne-qativo de $1.344.889 (aproximando los decimales), lo cual no debe

preocuparnos. Sucede que para ia calculadora cada problema es un flujo de caja, tal

como 1o ilustra el gráfico de la fórmula No.1, y por lo tanto, si un valor se introduce

positivo, ella arroja el restlltado con signo contrario y viceversa.

Es decir, que el signo negativo no significa un desembolso, ni una pérdida, ni una cifra

¿lgebraicamente negativa. Só1o significa que el flujo obtenido es de sentido contrario al

introducido originalmente para la solución del problema.

En nuestro ejemplo, si queremos que el valor futuro obtenido de $1.344.889 nos dé

positivo, debemos introducir el millón de pesos de valor presente con signo negativo, lo

cual se hace cambiándole de signo con la tecla +/- antes de grabar dicho valor en el

campo corespondiente. En algunas calculadoras como la Casio FC200 y la HP 12C el

cambio de signo se realiza con tec.las diferentes. Sírvase el lector consultar el manual

para verificar esta rutina.

Si en este punto de la explicación el lector no ha obtenido el resultado correcto,

concéntrese en lo que explicaremos a continuación.

Memorias Substitutivas. Las cinco teclas que representan las variables de las fórmulas

de MF operan a su vez como memorias, que no son acumulativas como las que estamos

acostumbrados a operar en las calculadoras convencionales, sino que son memorias

s¡bstitutivas, es decir, que cuando introducimos un dato en algún campo éste reemplaza

e1 que había allí de alguna operación anterior.

En la mayoría de los manuales de las calculadoras la primera instrucción en la secuencia

es borar la información que haya en los cinco campos mencionados con el fin de evitar

que en caso de que haya información en un campo no utilizado, el resultado sea

incomecto.En e1 ejemplo, si de operaciones anteriores hubiera algún dato en el campo PMT, lacalculadora Io procesaría y arrojaría un dato incorrecto, lo cual se evita grabando el

valor cero (0) en dicho campo.

Pttl u (\'ilar Itt (ngorro5¡G.

qu. ¡ntpli(lt cl modo da -

pagos por año" en los

tnod''los HP ITBll y HP, -

se sugíere mantener lacalculadora en " 1 ¡trLgo .

año".

El restiltado con sigt

negatívo sólo signiJí

éste es un.t'lujo de ct

sentido contrario tliintrodujo inicialme¡

Los campos básícoscalcttladoras finantia su rez, memorías.¡ub.ttitutivas.

ri,t

f

ill,,iliillti ;;" .i comando 'borrará: metnorias", no es lo

;.: : --:ejable en la-.; ie los casos.

*.lción puede

'-.-;e en cualquier': i:epto la variable

;1,'...,.tit que siempre se

-.;,: .a tecla RCL,t '" luego eI campo;* ,s el dato que allí se

Utilizar este espacio:a¡a realizar el;_jercicio propuesto

Borrar la información de todos los campos, como lo sugieren los manuales, puede sercontraproducente cuando hay que hacer varias operaciones con datos comunes. porejemplo, si en el ejercicio ilustrado requiriéramos él valor que se acumula no en l2 sinoen 24 meses, borrar los campos supondía tener quJ digitar de nuevo toda lainformación.


con la digitación del cero (0) en el campo pMT no utilizado en nuestro ejemplo, sólobasta con introducir el nuevo valor de N y pedir el resultado, tal como se ilustra acontinuación.

NEI-PV_I lPMrl l-FV_l @12

24

P= F x 1

(1 + i)n

P = F (PIF, i/", n)

2,5 1.000.000 0 ? - 1.344.889

? - 1.808.726

Ias cifras se pueden introducir en cualquier orden. Pero siempre digitando al final latecla para pedir el valor de la variable desconocida, que es la que aparece con el signode interrogación (?) en el gráfico que ilustra la secueniia. obsérvese, igualmente, qué latasa de interés entra como una cifra entera y no como un decimal.

Si a pesar de las instrucciones dadas, el lector aún no obtiene el resultado correcto, unabuena forma de encontrar el error es monitorear los contenidos de los diferentes camposlo cual se hace digitando la tecla RCL (Recall), que significa recordar algo que está enalguna memoria y luego la tecla del campo

"oo"spondi"nte. por ejempro, si digitamosRCL n deberá aparecer el varor 24, que correspónde al segundo probl"-u plánteado

arriba, es decir, encontrar el valor acumulado al cabo de 24 meses.

Se invita al lectgr a rcalizar a continuación los siguientes dos cálculos adicionales apartir del resultado obtenido para 24 meses, para lo cual se sugiere que escriba abajo,primero los valores que deben digitarse y luego proceda a hacerl,o en la calculadora. Noolvidar que por haber datos comunes, no hay necesidad de repetir su digitación.

' Si envez de 24 meses, quisiéramos saber el valor que se acumularía en 48 meses.o ¿Qué valor se acumularía en 48 meses no al 2,5Vo sino al3Vo?

EMfP-vl ml I FVI rtt*-,. i' J"'-' * '?''L

' ' "'" ' -'

i. *.i t, - lt¡y:, tJ) i- ¡ ..¡,1¿¿_].-, .t

{d9más de que el presente capítulo contiene bastantes ejercicios ilustrativos resueltos,al final del capítulo se ofrecen al lector dos extensos talleres para resolver.

Fórmulu No.2 vqlor Presente de un Monto Futuro. o sea hallar una cantidad p, que ala tasa de interés i, equivale a otra cantidad F ubicada un determinado número deperíodos más adelante. La seguiremos denominando "Encontrar p, Dado F,, y lasimbolizaremos (P/F, ivo,n). Despejando p en la fórmula No.l obtenemos la fórmulapara esta alternativo que junto con el gráfico corespondiente se ilustra a continuación:

0

P=?Fórmula No.2

)D2' Capiru-to 4

Por ejemplo, ¿si una empresa tiene una factura por $5.000.000 que se vence dentro de90 días y por requerir dicho dinero con urgencia decide descontarla o venderla a unacompañía financiera que cobra el 2,'77o mensual de interés, ¿cuánto recibirá hoy pordicha factura?

Resolviendo con la fórmula tendríamos:

P = 5.000.000 I (1 + 0,027)3

= 5.000.000 / (1,083207)

= 4.615.924

Lo anterior quiere decir que si se colocan $4.6t5.924 al 2,7Vo mensual, al cabo de 3

meses se tendrá acumulada una cantidad similar al valor de la factura que la empresa le

cobraría a su cliente en caso de decidir el no descuento de ésta.

Sin embargo, se drjo que \a forma más ráprda de rea\izar esta operaclón es uti\izando \a

calculadora financiera, en 1a que las teclas a digitar siguen la secuencia que aparece a

continuación:

ñ@t PVltPMrlf FV I Gtññ- 5.000.000 4.615.924

Obsérvese que el valor futuro ha sido introducido con signo negativo, lo cual es

opcional, pára obtener la respuesta con signo positivo. En adelante adoptaremos la

costumbre de digitar el valor con signo negativo, cuando sólo se utiliza un campo para

introducir la variable conocida. como en este caso'

En este punto es importante destacar un aspecto de gran importancia eir el manejo de la

calculadora financiera y es la coincidencia que debe existir entre la tasa de interés y el

tipo de período. Si bien el planteamiento del ejercicio dice que la factura se veñce en 90

días y la tasa de descuento es mensual, en el campo N no podemos colocar un valor de

90 puesto que no habría la requerida coincidencia. Si la tasa es mensual, entonces el

tipo de período debe ser el mes, en este caso tres.

Si en el ejercicio anterior la tasa de interés fuera el 3,2Vo merÉtJal, ¿cuánto se recibiríapor la factura? Veamos la solución y analicémosla.

tr@früFMT]f_l @5.000.000 4.549.157

Obsérvese que el valor a recibir es menor. ¿Por qué? Porque a una mayor tasa de

interés, para tener acumulados los $5 millones al cabo de tres meses se requeriría

invertir menos dinero hoy. Otro ejemplo sencillo aclara la anterior afirmación. Si

queremos tener acumulados dentro de un año $150 millones y 1a tasa es del 207o anual,

hoy requeriíamos invertir $125 millones (porque $125' x 1,2 = $150'); pero si la tasa

de interés no fuera el 207a sino el 507o,hoy sólo habría que invertir $100 millones(porque $100' x 1,5 = $150')

De 1o anterior podemos concluir que a medida que se utiliza una mayor tasa de interés

para traer un monto futuro a valor presente, este último va siendo menor. Es decir, que a

mayor tasa. menor valor presente y viceversa.

Para continuar con la práctica y a parlir del resultado obtenido, resuelva el lector las dos

siguientes opciones:¡ Si 1a tasa de interés fuera el 2,37o mensual ¿cuánto recibiría la empresa por la

factura?

2,7

Debe existir coittc::entre el tipo de per. ,:t:

Íasa de interés.

3,2

CONCEPTOEfecto de la taicsobre el valor ¡A mayor tasa :,descuento. tt',¿"

presente obt¿". ¡:'

Utilizar este esPaclo

para realizar eiejercicio propuesto

tr @tPVl trMTl rFVl M!7- T ", flL' I l.-l \

'1.:1 '1)7'.'-:':i l

No olvidar que por haber datos comunes no hay necesidad de repetir su digitación' Para

el caso ¿e toi Zi días se puede utilizar período fraccionario. es decir n=2,5.

Fórmulu l¡1o.3 Acumulación de unT serie de cuotas. o sea hallar una cantidad F' que

a la tasa de interés i, equivale o se paga con una serie de n cuotas A, que deben cumplir

tres condiciones:

1. Son Uniformes, es decir, todas son iguales'

2. San Periódicas, es decir, que se dan período tras período sin interrupción alguna.

3. Están ubicadas al final defperíodo, es decir, que son Cuotas Vencida's'

Llamaremos a esta altemativa "Encontrar F, Dado A", se simbolízatá(FlA' i7o' n) y su

ilustración gráfica y fórmula correspondiente es la siguiente:

M atemáticas Financieras l, i-i

Si el vencimiento fuera dentro 75 días en vez de 90, y suponiendo el mismo 2,3%

de interés, ¿,cuánto se recibiría?

(1+i)n-1F =At

¡

F = A (F/A, i%, n)

La obtención de la fórmula anterior implica una demostración matemática que el lector

podrá consultar en cualquier texto de ésta materia y que para nuestros propósitos, tal

.o-o yu se dijo, no se requiere ilustrar, por lo que simplemente se enuncia. Lo mismo

se hará con las fórmulas de las restantes alternativas'

Por ejemplo, ¿cuánto tendremos acumulado al cabo ^de

dos año^s si depositamos

StOO.óOO at final de cada mes en una cuenta que paga en 27o mensual?

F = r00.000 [(l + 0,02)24-11 / 0,02

= 100.000 (1,608437 - l) / 0,02

= 100.000 (30,421862)

= 3.042.186

Y resolviendo en la calculaclora, que es 1o más apropiado, tendríamos:

E _.,

nFórmula No.3

AAAAiA

rvE? if'l¿

Étjit

'io.3 supone que

:11 no devenga o

: ! S \A q\e estó

. ntismo momento

:¿ o retira el.-ido.

trtrfPV_l lT-Mrl fFVl f@- 100.000 3.042.1 86

Observe el lector cómo, de acuerdo con el gráfico que ilustra esta situación' la última

cuota no gana intereses y teóricamente se retira el mismo día que se deposita (junto con

el resto del dinero u"o.uludo;, 1o cual no es muy lógico ni sucede en la práctica, ya que

cuando una persona decide ahorrar el primer depósito lo hace inmediatamente, es decir,

en el momento cero (0), y no al final del primer período tal como lo muestra el gráfico

de esta fórmula.

¿Por qué se da esta situación? Digamos en principio que sencillarnente porqlle lo que la

fórmula resuelve es esa situación y no otra. Es decir, que su diseño se planteó en

r =__-_

104 Capítulo 4

función de esa situación, que supone cuotas vencidas'

Sin embargo esto no quiere decir que no podamos calcular el valor acumulado si la

prinera "u-oro

," deposita en el momento cero, o sea al principio del primer período, y la

últi*u al principio del último, que es 1o que ocufre en la realidad cuando se trata de

resolver pioblemas que involucrán ahorros. De hecho este es un prohlema muy fácil de

resolver tal cc¡ino vsfernos a continuación.

si los clepósitos cle $100.000 se hacen al principio de cada mes el gráfico sería:

24

100.000 '100.000

Lo que significa que si apiicamos la fórmula No.3 a 24 cuotas de $100'000

obtendremos un valor futuro que estaría ubicado al final del mes 23 y como el dinero

g¿1na un :interés óel Za/c mensual quiere clecir que para obtener el valor F que buscamos

sókt basta con agfegaf un período adicional de interés, 1o ctlal se obtiene multiplicando

el VF obtenido pori,02 paraun resultaclo de $3.103.030 ($3.04-2.186 x 1,02)

Cuando las cuotas son anticipadas y no vencidas la solución en la calculadora financiera

se obtiene conflgr,rránciola en el denomjnado "Mr¡¿lo Antici¡toclo"' En las calculadoras

Casio ello se hace cligitando la tecla BGN que es la abreviatt¡ra de la palabra Inglesa

Begin. que tracluce comienzo o comenzaf. En modelo Casio FC200 se activa operando

priirero-la teel¿r amarilla que dice SHIFT y iuego 1a tecla MODF, encima de la cual en

color am¡irillo ap¿trece la abreviatura BGN. En Ia HPI2C el modo anticipado se activa

operanCo prirneio la tecl¿r cle color azul -V luego el número 7 que es ia tecla donde

oi"r..", .n ,ii.ho color. Ia abreviatura BEG. Para estos modelos' una vez activado el

¡locio de cuota anticipada. en la pantalla aparecerá la abreviatula BGN (BEGIN en el

caso de ia HPl2C), la cual ilo se borará hasta que la calculadora haya sido de nuevo

cclnfigurada en modo de cuota I'encida.

Para las calcuiadoras HP 17B-II y 19B-II el modo anticipado se activa entr¿rndo al menú

OTHER (el mismo por donde configuramos la calculadora en un pago por año). y cuya

tecla aparece en ia pantalla al extremo clerecho. después de FV. Al entrar en dicho

'renú, ia segunda opción dice BEC, que rii activarse y luego regresando a las teclas

básicas digitando AXff ae¡a la calculadora configurada en modo anticipado.

Al pedir FV para las 24 cuotas anticipadas de $100.000, obtendremos el siguiente

resuitado:

N@tf"_ltrMrlF] @24 2 0 -100.000 ? 3.1 03.030

Con la calculadora en modo de cuota anticipada

No olvidar reconfigurar la calcuiadora en modo de cuota vencida cuando ya no se

requiera tenerla en modo anticipado, con el fin de evitar errores en cálculos posteriores.

En las calculadoras casio se hice digitando de nuevo la opción BGN. En la HP 12C

operando la tecla azul y el número 8 en cuya tecla aparece la palabra END. En los

modelos I7B-II y I9B-II entrando al menú OTHER (el mismo que se activo para

conf igurarla en modo anticipado), se activa la tercera opción qlle es END y se digita la

tecla EXIT para regresar al menú de las teclas básicas'

100.000

ril]lllulti

rilillll l

-.,.!icipado sólo- ,:-.: cuotas. ::. .. tlunca para

,:-:ícipados.


Es muy importante que el lector tenga en cuenta que la opción anticipada es sólo para

Cuotas Anticipadas y no para Intereses Anticipados, los cuales estudiaremos en secciónposterior.

A partir del último resultado obtenido para cuota anticipada, resuelva el lector las dos

siguientes opciones:. Si el depósito, enyez de ser $100.000 es de $150.000 ¿Cuál será el nuevo valor

acumulado?. A partir del resultado anterior ¿Cuál será el valor acumulado si la cuota es vencida

y no anticipada?

tla-.-l 'J

11.¡tt',:: eSte eSpaCiO

:¡lizar el: r propuesto

A=?

A=F* |

(1+i)n-1

A = F (A/F, i%, n)

Fórmula i.lo.A

Por ejemplo, una persona está pensando en viajar a los próximos juegos olímpicos que

se celebrarán dentro de 25 meses. Se estima que para esa fecha el costo del programa,que incluye pasajes, alojamiento y tiquetes para entrar a los diferentes espectáculos

deportivos será de $18.500.000. El desea ahorrar una cantidad fija mensual en una

entidad financiera que reconoce el 2,17o mensual de forma que dentro de 25 meses

tenga el dinero requerido para el viaje. ¿De cuánto será el valor de cada una de las 25

cuotas?

N @TPVI tPMr--l tFV-l @18.500.000 548.655

Con la situación planteada por la fórmula No.4 ocurre lo mismo que en el caso de lafórmula No.3 en el sentido en que su aplicación supone que las cuotas son vencidas y lológico es que si deseamos comenzar a ahorrar, la idea es depositar la primera cuota hoymismo (o sea en el momento cero). Configurando la calculadora en modo anticipado se

obtendría el siguiente resultado:

tr @ fEv-l [P-M}l l-FV ] EE@25 2,4 0 ? - 18.500.000 535.796

2,425

tr@TPVItPMrl

No olvidar que por haber datos comunes no hay necesidad de repetir su digitación.

Tenga en cuenta el cambio de modo anticipado a modo vencido.

Fórmul& No.4 Serie de Cuotus que Paga un Vulor Futuro. Es el caso contrario al

planteado en la fórmula No.3, es decir, encontrar el valor de una serie de n cuotas A que

colocadas a la tasa de interés i equivalen o pagan un valor futuro conocido F. Lo

denominaremos "Encontrar A, Dado F" y los símbolos que 1o identificarán serán éstos:

(A/F, iTo, n). El gráfico y la fórmula, que se obtiene despejando A en la fórmula No.3,se ilustran a continuación:

Con la calculadora en modo de cuota anticipada

Resuelva el lector 1as siguientes dos opciones:

¡ caicular el valor de la cuota si el valor del plan es de 20 millones de pesos.

o Con este nuevo valor del plan recalcular la cuota para un plazo de 20 meses y una

tasa de interés del 2,6Vo mensual'

No olvidar que por haber datos comunes, no hay necesidad de_ repetir su digitación'

T.ngu"n.,"ntoqu"lacalculadoradebeestarconfiguradaenmodoanticipado.

Fórmula No.S serie de cuotas que Paga un vulor Presente. consiste en hallar el

valor de una serie de n cuotas A, que a la tasa de interés i, equivalen o pagan un valor

presente P conocido, ubicado ai principio del primer período' Se denominará

',Encontrar A, Dado p,, y la identificaremos como (AIP, i%o, n). Su representación

gráfica y fórmula se presenta a continuación'

106 Capítulo 4

A =Pxi-11!)'-(1+i)n-1

\=P (NP,i/",

Por ejemplo, si se compra una máquina por $5Q'000'000 que debe pagarse en 3 años en

.uotu, tri-"rtrales a la tasa del 8olo trimestral, ¿cuál será el valor de cada cuota?

tr EfE"-l lF-Mrl l-F"_l @12 I - 50.000.000 6.634.751

Recordemos que como debe haber coincidencia entre la tasa de interés y el tipo de

período, si la cuota es trimestral, el plazo de tres años debe expresarse sobre esta base'

es decir, l2 trimestres

Resuelva el lector las siguientes dos opciones:

. Si la cuota "s

,oenJual y la tasa de interés es el 2,'157a, ¿Cuál será el valor de las

cuotas?. A partir del resultado anterior ¿cuál sería el nuevo valor de la cuota si esta fuera

anticipada?

E E f PVl tr-Mrl f FVl @- 3-as - b'i* i' -1 a-l .,, .

\

No olvidar que por haber datos comunes no hay necesidad de repetir su digitación'

Tenga en cuÉnta que la calculadora debe estar configurada en modo anticipado para la

,.gu"ndu pfegunta, en la cual se observa que si la cuota es anticipada el plazo se reduce a

:ir'r.sei. hecho del que muchas veces el incauto deudor, si no conoce las MF, no se

percata. En dicho .uro lu primera cuota se paga en el momento cero y hace por lo tanto,

las veces de una cuota inicial.

Utilizar este espacli

para realizar el

ejercicio propuesto

Fórmula No.5

AA A A=?


Fórmula No.6 Valor Presente de unq Serie de Cuotas. Es la última alternativa yconsiste en hallar un valor P ubicado al principio del primer período, que equivale o sepaga con una serie de n cuotas A conocidas, a la tasa de interés i. Se denomina"EncontrarP, Dado A" y su símbolo es (P/A, iTo,n). su fórmula se deduce despejandoP en la anterior, o sea en la número 5. Veámosla junto con su gráfico.

P=?

0p =¡,(1

+ i)n - 1

i(1+¡)"

P = A (P/A, i%, n

Fórmula No.6

Por ejemplo, usted desea comprar un apaftamento sobre planos, cuya fecha estimada determinación es un año a partir de la fecha. El precio del apartamento es de 100 millonesde pesos que usted pagaú en la siguiente forma: 8 millones de entrada para garantizar elnegocio. Un crédito por 50 millones con una entidad hipotecaria al momento de laentrega. El resto, o sea 42 millones, se pagarán en 12 cuotas iguales de 3,5 miilones. Sinembargo, usted dispone del dinero para evitar tener que realizar los pagos mensuales yle propone al constructor que podría anticiparlos a cambio de que éste le conceda undescuento. Si la tasa de interés que negocian es el 3vo mensual. ¿Cuánto deberá pagarhoy junto con los 8 millones iniciales?

La secuencia para resolver este ejercicio en la calculadora financiera sería la siguiente:

N @ tPVl tFMrl frvl @- 3.500.000 34.839.014

Resuelva el lector las dos siguientes opciones;Si el constructor del apartamento decidiera aceptarle pagar el valor obtenido de$34.839.014 junto con los 8 millones iniciáles, en 6 cuotas mensuales anticipadas,¿cuál sena el valor de éstas?

Y si aceptara 5 millones iniciales y 15 cuotas mensuales vencidas, ¿de cuántoquedarían?

-E@' 42i6a¿ )1-'; ' -7'6i15'5 t '' 5 ' '- +f,q'r;i- r, ; ,

No olvidar que por haber algunos datos comunes, no hay necesidad de repetir sudigitación. Tenga en cuenta que para la primera pregunta la calculadora debe estarconfigurada en modo anticipado.

EJ ERCIC IOS I LU STRATIVOS

A continuación se presentan abundantes ejercicios adicionales ilustrativos de las seisaltemativas planteadas, que considerarán otras situaciones adicionales que se pueclenpresentar, tales como la-forma de calcular un factor, una tasa de interés y el número deperíodos, entre otras.

Eiercicio ilustr(ttivo No.1 Un futuro comprador de un automóvil va a una concesionariacon el fin de comprar uno financiado. AI llegar, el vendedor le pregunta que en cuá1modelo estaía interesado a lo que él contesta que ello depende del precio del r'ehícul¡ ,.

su presupuesto. Deciden entonces comenzar el negocio partiendo de la capaci,i.; :.comprador quien dice que para destinar a tal fin tiene disponible una CUorá ntii.:** -:

12

L tilizar este espacio::ia realizar el:,'ercicio propuesto

$500.000 durante los próximos 18 meses e igualmente una cuota inicial de $5'000'000'

La tasa de interés que cobra la empresa que financia los vehículos es del 2,87o mensual.

¿Cuál será el valor áet u"ttituto que el comprador puede adquirir con dicho

presupuesto'i

El gráfico que explica esta situación nos ayuda a su mejor comprensiór''

108 Capítulo 4

o-1

0

- 500.000

El valor del vehículo es, por lo tanto: 5.000.000 + 6.994.490 = 71.994.490

10.000.000

500.000 500 000

DondePseríaelvalorquesepagacon18cuotasmensualesde$500'000a]t2,8vodeinterés mensual y por lo tanto equivale al monto que se le financiara al comprador' Por

lo tanto, el valor del vehículo que podría comprariería igual a P + $5'000'000

E@fr"l l'*l f FVl @6.994.4902,81B

Ejercicio ilustrqtivo No.2 Supongamos que- el modelo que se ajusta al precio obtenido

en el ejercicio anterior no es del'agrado del comprador, quien muestfa preferencia por

otro cuyo precio es de $15'000'000'

El vendedor le dice que entonces debe dar una cuota inicial de $8'005'510 (o sea el

valorclelvehículomenoselvalorafinanciarde$6.994.490,yacalculado),aloqueelcomprador contesta qu" no tiene disponible más dinero por el momento y que más bien

ese mayor valor del ,ru"uo *od"to ," lo dividan por la mitad para pagarlo en dos cuotas

extrasasí:unaenelmes6ylaotraenelmes12.¿Clá|seráelvalordedichascuotas?

El gráfico del problema es ahora el siguiente:

500.000 500.000 5oo'000 500'000rl++F''=? F'=?

O sea que deben hallarse dos valores, Fr Y Fu ubicado.s en los meses 6 y 12

,"rp""tio:o-.nte, equivalentes al mayor valor que debe financiarse y que es igual a:

15.000.000 - 5.000.000 - 6.994.190 = 3.005.510

Doncie 15.000.000 es e1 valor del vehículo que al restarle la cuota inicial nos da un valor

rotal a financiar de l0 *liion"* de pesos, y b6.994.490 es el valor presente' o sea lo que

hoy se pagaría con las 18 cuotas de $500'000'

si el valor presente de cada cuota extra F es la mitad de $3.005'510, o sea $1'502'755'

10s dos valores futuros se obtendrán acumulando este último valor en 6 y 12 meses

respectivamente, obteniéndose los siguientes resultados:


1.773.564

2.093.175

',,, i , -:t extras se Es importante agregar que las cuotas extras son pagos adicionales a las cuotas normales,n: ; ',;r. pagos adicionales calculadas de acuerdo con las características del crédito. por ejemplo, en el mes seis se¡ :': normaL pagaríanen total $2.2'/3.564 y en el mes doce $2.593.175.

Ejercicio ilustrutivo No.3 Al conocer el valor de las cuotas extras, el comprador diceque, por un lado, no le agrada que sean desiguales y por el otro, que realmente en 12

meses no ve posible pagar tanto dinero, por 1o que le pide al vendedor que le calculemás bien dos pagos que sean iguales, una en el mes seis y la otra en el mes 18 y que leaumente la cuota normal a $550.000. El gráfico de esta nueva alternativa sería elsiguiente:

1 0.000.000

0

550.000 550.000

F,

550.000

I

tE -a

ce matemáticas Todo gráfico de Matemáticas Financieras ilustra una situación de equivalencia. EI-lsresenta.un gráfico anterior sugiere, por 1o tanto, que 10 millones de hoy son equivalentes a 18

:':',:'!,':!o.lno pagos de $550.000 en los próximos 18 meses y dos pagos extras iguales, uno en el mes. Jur|alcnct0.

6 y otro en el 18.

O sea que si calculamos qué parte de los 10 millones de pesos se paga con las 18 cuotasde $550.000, la diferencia será lo que se cancelaría con las dos cuotas extras.Resolvamos esta primera parte trayendo a valor presente las 18 cuotas, para continuarcon la explicación.

tr @ t-PVl |e't¡r I f FV-l E!@

z.soo.ool II r 6 18

- ---\AAr--T-V\A/----1ttF1 Fz= ?

Pareciera que F1 y F2 podrían considerarse como cuotas A, pero no es así, pues nocumplen una de las tres condiciones que se requieren para ello: Son uniformes, estánubicadas al final de un período, pero no son periódicas. La primera esta definida para unperíodo de seis meses, es decir, un semestre y la segunda está definida para 12 meses. es

decir, un año. ¿Qué hacer, entonces, para resolver el problema?

El gráfico nos permite plantear ia siguiente ecuación: 2.306.061 = VP(Fr) + VP(F; r

Que se leería como que $2.306.061 es igual al valor presente de F1 ntás eipresente de F2.

tr E l-PVl tr-Mil f-FVl E@6 2,8 - 1.502.755

12

18 2,8 ? -550.000

El valor presente de los pagos extras iguales sería:

Y el problema que estamos resolviendo se reduce a

?

,

o 7.693.939

10.000.000 - 7 .693.939 = $2.306.06 I

la siguiente situación:

Capítulo 4

ElVPdeFlesigualaFlmultiplicadoporelfactorquelotraeav¿lorpresenteal2,SToen 6 meses. E1 mismo planteamiento up1i"u para F2 cónsiderando 18 meses' Es decir:

2.306.061= F1 (PlF' 2'87a' 6) + F2 (P/F' 2'8Vo' 18)

como el factor es ni más ni menos que la solución de la parle algebraica de la fórmula'

en nuesrro caso la ",i*;;;^;,-;

r"u i¡tr*ll', para obtenerlo en la calculadora financiera

bastaría con asumir rn uuioti" $1 para la.vaiiable conocida (en nuestro caso' F)'

Porlotanto'elfacfotEncon/rarPDacloFsedigitaríaenlasiguienteformaenlacalculadora:

tr@fPV-l l''*I f'"-l E@-1

Los factores que estamos buscando se obtendrían así:

tr @fE"_l fPM-r_l fFV-l @6 2,8 ? 0 '1 0',847308

18 0'608309

Nuestra ecuación quedaría así: 2'306'061= Fr (0'847308) + Fz (0'608309)

Y como Fr = Fz podemos considerarlos como un factor común obteniendo:

2.306.061 = F (0,847308 + 0,608309)

' = ?33Í 3Í1 t 1'4s56t7

Quiere decir que el nuevo plan de financiación a presentar al cliente es:

Para calcular factoresoperar Ia calculadora

financiera con un Pes(

Lo que se Ya a encontr:'incógnitaY Io dado es 5)

$r5.000.0005.000.000

10.000.000550.000

1.584.2501.s84.250

EjercicioilustrutivoNo.4Peronuestroclienteaunnosedecide.Todavíadudadesucapacidad de pagar cuotas extras de la magnitud obtenida y más bien pide que se le

concedalaposibilidaddepagar3cuotasextrasenlosmeses6,12y18,de$800.000cadaunaaloqueetuen¿e¿o-.lerespondequeellopodríahacer'que-lacuotainicialseaumente y si el cliente .ro ,i.n. más dinero áisponibie, entonces habría que aumentar el

valor de la cuota mensual, por lo que el comprador pregunta que de cuánto le quedarían

en este caso dichas cuotas.

Iu,u poo", encontrar .i no"uo valor de A debemos primero calcular cuánto se paga' en

pesos de hoy, con ru, t ", "oorus

extras de $800.00ó. Es decir, hay que hallar el valor

presenre de estos tr", p;;;;. Ei valor así obtenido se restaría del valor total a financiar

de $10.000.000 para e.rcántrar entonces la parte de la financiación que se pagará con 18

cuotas.

- Valor del vehículo

- Cuota inicial- Valor a tinanciar- 18 cuotas mensuaJes de

- Cuota extra enéi mes 6

- Cuota extra en el mes 18

El valor presente de las tres cuotas extras se obtiene así:

- 800.000

La suma de los tres valores presentes es

pagará con las 18 cuotas es:

10.000.000 - l.

Por último hallemos el valor de cada una

financiar.

de $1.738.838 y


677.846

574.345486.647

por lo tanto, el valor que se

738.838 = 8.261.162

de las 18 cuotas que pagan el restante valor a

tr @ trvl tPMr-l frv I @6 2,8

12

1B

?

?')

$ 1 5.000.0005.000.000

r 0.000.000590.548800.000800.000800.000

$15.000.000s.000.000

10.000.000600.000800.000800.000s82.637

18 2,8 " 8.261.162

Quiere decir que el nuevo plan de financiación para el cliente es:

[email protected]

- Valor del vehículo- Cuota inicial- Valor a financiar- 18 cuotas mensuales de- Cuota extra en el mes 6- Cuota extra en el mes 12


Ejercicio ilustrqtivo No.5 Obtenido el nuevo valor de las cuotas mensuales, el

comprador dice que para tener un mejor control de sus egresos, por favor le redondeen

las cuotas a $600.000 cada una y que la diferencia se la deduzcan de la cuota extra en el

mes 18.

El ajuste areaTizar en la últrma cuota extra se obtendría acumulando 18 porciones de

59.452 correspondientes a la diferencia entre la cuota obtenida de $590.548 y la que él

desea ajustar de $600.000.

N@18 2,8 - 9.452 217.363

Así, el nuevo plan de pago es el siguiente:

- Valor del vehículo- Cuota inicial- Valor a financiar- 18 cuotas mensuales de- Cuota extra en el mes 6- Cuota extra en el mes 12


Ejercicio ilustrutivo No.ó Después de haber comprado el automóvil acogiéndose a laalternativa planteada en el problema anterior, el comprador comienza a pagar sus

cuotas. En el mes 6, cuando paga la cuota normal de $600.000 y la primera cuota e\triide $800.000, decide que puede aumentar considerablemente el valor de las prórintas 6

cuotas mensuales de forma que no tenga que pagar la cuota extra del mes 11. -tr:cuánto se Ie incrementaráLa cuota durante los meses 1 a 12?

l12 Capítulo 4

La respuesta se obtiene hallando

ubicados al final del mes 12, o sea:

el valor de 6 cuotas que equivalgan a $800'000'

2,8

f @fE"_l IT-MTI f *l @- 800.000 124,301

Con lo que las 6 cuotas comprendidas entre los meses 1 y l2le quedarán de:

124.301+ 600 000 =124'301

Ejercicio ilustrativo No'7 ¿A qué tasa de interés mensual se paga un préstamo de

SOOO.OOO en 12 cuotas de $59'500?

El gráfico de este problema es la mejor ayuda para comprender la forma de resolverlo

en la calculadora financiera'

600.000

59.500 59.500

Dijimos anteriormente que todo gráfico de MF reflejaba una condición de equivalencia'

de forma que lo que nos preguntan es la tasa que háce equivalentes-$600.000 hoy a 12

cuotas mensuales de SSq'SOó, es decir' qu" 'i po' ejemqlo. invirtiéramos $600'000 y

recibiéramos 12 pagos á. SSq.ioO cuál ser?a ta rentauitidad obtenida de dicha inversión'

La forma de plantearlo en la calculadora y 1a solución correspondiente seía:

E@fPVl lr*1 f *l @12 ? - 600.000 59 500 o 2',7833%

Es claro que la variable desconocida es iTa. La clave esta en comprender por qué los

valores deben tene*ig* "o;t urio, lo cual se logra analizando la situación planteada en

el gráfico. Los $600.00ó]jf;;tiüi; J. t"nti¿J.ontrario al flujo de $59'500 v por ello

debe tener signo contrario a éste. Ei signo negativo puede colocarse a cualquiera de los

dos valores.

EjercícioilustrutivoNo.S¿Encuántosañosseduplicaráunainversiónhechahoyconun interés de7207a7a anual?

El gráfico sugiere que si inveftimos cualquier cantidad hoy (por ejemplo $l para

simplificar),dentrodeunnúmeroindeterminadodeañostendríamoseldoblededichacantidad si la tasa ", "l

20ok anual, y en la misma forma que en el ejercicio anterior'

dicho gráfico muestra q* f"t l"¡"s á" "ntrada

y salida tienen sentid" tgtt*i1:^p^:l:

qu. .,iurqul.ru ¿. tor'áos deberá digrlarse en la calculadora con signo negatrvo'

Veamos:

Cuando se ::,-

caja de seri::-.

de ellos dei,con signo c

calculador.''

Matemáticas Financieras ll3

N @ l-pv I lTMrl f-FV I E@i-1

Resuelva el lector los dos siguientes problemas:. ¿A qué tasa de interés mensual $150.000 se convierten en $1.000.000 en 6 años?o ¿En cuántos años se dará la misma conversión anterior si la tasa es eI 7-5i7a

trimestral?

N Et*_l try'l lrvl @ill3- r- */1.:r.-'. E- . 3-, : I ,. ir:r.*| , r,.;¿,,--

' 't i'') 1'

Tenga en cuenta la conversión del tipo de período de acuerdo .on lu toru de interés.

Eiercicio ilustrstivo No.9 Calcular el valor presente de una serie de infinitas cuotas de$ 100.000 a la tasa del 2,5Va mensual .

Matemáticamente se puede demostrar que en la fórmula No.5, que permite encontrar unvalor presente dada una serie de cuotas, cuando n tiende a infiniio, it es igual al valor dela cuota dividido por la tasa de interés, es decir, A/i. (Dicha demostráción escapa alpropósito de este texto).

En nuestro ejemplo la respuesta sería: 54.00r).000 r $ I u0.000/0,025 I

La lógica de lo anterior se puede apreciar considerando las mismas cifras de nuestroejemplo pero asumiendo que éste consiste en la compra de un bono del tesoro nacionalpor $4.000.000 que paga el 2,57o mensual, el cual supuestamente nunca se redime. Elloimplicará que nosotros y nuestros herederos recibirán a perpetuidad los interesescorrespondientes de $100.000. Si alguien quisiera comprar dicho bono, sea a nosotros oa nuestros herederos, tendría que pagar, igualmente, cuatro millones, situación que serepetiría por siempre.

Pero, ¿cómo se plantea una situación como ésta en la calculadora financiera?

consideremos, por ejemplo. 50 años, o sea 600 meses, para calcular el valor presentebuscadol

tr @ t-PVl600 2,5 ? 100.000 $3.999.99e

3,82A

'.-:,1de a infinito el'::e de una seríe de

,.r.tl al valor de la'

. i !1 por la tasa de

La cifra obtenida es cuatro millones ya que la diferencia de un peso es irrelevanteconsiderando el valor de Ia transacción^

El resultado sugiere que cuando se consideran períodos como 50 años, es como siestuviéramos asumiendo una n infinita. Ello debido a que el flujo de caja del mes 601,por ejemplo, no representa un valor significativo en pesos de hóy. Calculemos el valorpresente de los 9100.000 que estarían ubicados en el citado mes 6bl.

N@l-PV_l601 2,5 100.000 $0,03592

:.,rzar este espacio.:, reaiizar el::;icio propuesto

Es decir, 3,59 centavos, que no afectan para nada la decisión que se esté tomando

114 Capítulo 4

recibir de $100'000 mensuales'

Calculemos ahora el

considerando 40, 30 Y

ralor Presente cle los intereses a

20 años respectivamente'

E@r"rryry w480 2,5

360

?,)

100.000 3.999"449

3.989.325

240?-

'J:,jJ:'"fi:1T;""J,1;ffi;-.ru¡'iiiT:rffiJTT#J:*'"'"'J*:'Ji'fiTH 'ffl,riilt;;";;;i;;

de dicho lupso es como hablar de /u artu:' uLruv v' ' Iuios rle taia ubic't'

ffi#;i;"t finun.i.r"t' ttó de ese tapso es

,"J,::il;:'#:J;:ü'i.l¿,1'::il":il1*.*1liH"i''"ifii{$,fri;"tTiff"?ii:il: ':;í:í';:::'ii;:i;:"

con:iderarse.oro irr"l."u."ü ,*J.on..d..iu'u1t¿ un ¿t"u"nto de esa magnitud en

un n.go.io de $4'000'000?

Eiercic.io,t",::!::-::;1g:ffiil:TJll"ffi f ,*"1iT:i;$T":::"f ffi':l:entidad que reconoce ,e\

t9,Vo 11u:].i:rt:::T;,'tt'"t", á- "ños

v hacer un ahorro "^]T d:

li*ioffio aLrinar de caiilTi:Ti;,i;.1';;';. ¿i"r"'; dinero se tendrá ar rinar

::nrt"t3tlr',:'ll; lii"''"'1;;';';;"' e I grá ri co de e sr e p robr e m a

Pdmeroencontremoselvaloracunuladoalfinaidelañoseis,queeslasumadelasu.rrmul"tiooes Parciales' así:EtrEryry#

o 19 *1'000000 0 ' '

4 -2oo ooo ; ;I::: .

1

6 0 - 100 000 ? 968 295

TOTAL 4'447 '124

Recordemo s que ros "'p

u"io'' "^!t:1":,';;i:nil Jffi oj"'1T'n'::""::t#' "J?:

campos permanecen sin cambio' CoT: '

ganando el l9@o J;'i:i "'i"t tt","'-'"'ado al final det año 9 sera:

tr@r__'irryry mg 19 - 4'447 '124 o '

Ei e r c i c i o,, lr-:,-,*,01,X,: i i -: ff ,,Hf :'J L:il : -':' ll"i i*F,

I 1[::: h"H';:píeoe adqulr'' Lu 0., rOqo pasader^ ,, ir'i^''l'oigrnao ot:1'-':;rlo'J:Tlñ.il'li,J:^opción de compra del ru?o P,"l1l'"-l---.0 ol uajcx del canon men

,le inrerés "t "' 'il"*t"t"li' ti"ut será el valor del canon men

En el grárico que ilusrra la situación y que aparece ailelante' ':;"j: ;:ST#t"J"t:rt;

:n;Ll,:'T[:a+:TJt; *¡6': ;J'riii"iJ:"ii1:i ffi '' i' i"i ^'i ' decide

la empresa' ott'lt't" t*t'otu'tt en 1a mayoría de 1os casos'

Comoeivalordelaopcióndecompraesdeln-risnrosentidoqueeldelascuotas,ypof


lo tanto, contrario al del valor inicial. debecontrario al utilizado para introducir el valor de

25.0 00.000

digitarse en la calculadorala máquina. Veamos:

A A A=

I

ü2 _5 00.0

trEl PVI l*il trv I @q

' . tlor económico..-.:ia es el precio

^-:.!nn si la:. :ontado.

tr@l-PV-l l*M-'_l l-FVl @ilI 1 .1 05.000 72.687 4,0288"/. mensual

Ejercicio ilustrativo No.l3 una empresa fabricante de ropa contrata con otra,fabricante a su vez de una acreditada marca de zapatos, los derechos de fabricación deprendas con la misma marca de los zapatos durante 6 años. Dicho contrato estipula unpago anual de $200.000 más $20 por cada prenda vendida. Al cabo del primei año laempresa dueña de la marca le propone a la empresa confeccionista de ropa que por unpago único de un millón de pesos podrá continuar explotando los derechos duranté los 5años restantes sin lugar a pagos adicionales. ¿Cuántas prendas tendrá que vender lacompañía confeccionista para optar por la propuesta si su tasa de intérés esperada(TMRR) es del40Vo anual?

El gráfico ilustrativo de esta situación es el siguiente:

24

trz4748'Tl*TT1

48 2,8 - 25.000.000 2.500.000 927.916

Observe el lector cómo, a diferencia de los ejercicios anteriores, en este caso se utilizantodos los campos.

Ejercicio íIustrativo No.12 El precio de lista de una nevera en un almacén es de$l'300.000. Si se compra de contado nos conceden un descuento del I5Vo. A crédito lapodemos pagar en 24 cuotas de $72.681 calculadas sobre el precio de lista y con el2,57a de interés de financiación, ¿Cuál es la tasa de interés que verdaderamente nosestán cobrando?

Aquí debe quedarnos muy claro que si de contado nos conceden el l5Ta de descuento esporque el verdadero valor económico del bien es de $1.105.000 de forma que el gráficoque explica el problema sería:

1 .1 05.000

0

72.687 72.687

Y por lo tanto el verdadero costo financiero sería el 4,02887o mensual que se obtiene dela siguiente manera:

con slsno

Il16 Capítulo 4

'1.000.000

200.000 + 20X

Y lo que la empresa debe decidir es desembolsar hoy $1.000.000 a cambio de no

desembolsar en los próximos 5 años $200.000 más $20 por el número de prendas

vendidas cada año, cantidad ésta que se representa por la incógnita X.

El número de prendas que deberían venderse para que sea indiferente cualquiera de las

dos alternativas se obtiene resolviendo la siguiente ecuación:

L000.000 = (200.000 + 20X) (P/A, 407o,5)

El factor en la calculadora se obtiene de la siguiente forma:

40

I 'ifi

rÍl

,,iillfir¡lli¡lti" itnr

, lllll,uuru¡r

Uttlizar este espaciopara realizar el ejercicpropuesto

tr @ fTvl l-PMr I tFV-l @-1 2,035164

1.000.000 = 200.000 (2,035164) + 20X (2,035164)

40.70328x = 1.000.000 -401033X = 592.967140,7033X = 14.568 prendas anuales

O sea, que si las ventas futuras esperadas no sobrepasan esa cantidad es preferible

continuar con el contrato. Probemos esto calclllando el valor presente de los pagos

futuros si solamente se vendieran 12.000 prendas cada año.

P = 200.000 (2,035164) + 20 (12.000)(2,035164)

= 407.033 + 488.439

= 895.4'72

Por lo tanto, si ante dicha expectativa la empresa paga el millón de pesos perdería en

pesos de hoy $104.528, (1.000.000 - 895.412).

Calcule el lector el valor presente iL la utilidad que se obtendría si se vendieran 18.000

prendas anuales.

EL INTERES EFECTIVO

Remitámonos de nuevo al ejemplo que utilizamos al final de la explicación del interés

simple y compuesto al principio del capítulo, concretamente en 1o referente a laposibilidad de pactar períodos de causación mayores a un mes. En dicho ejemplo se

depositaba $1.000.000 en una entidad financiera y se calculó la tasa que debía

reconocer Ia entidad financiera en caso de que los intereses se liquidaran cada año y no

cada mes.


Ello se hizo aplicando la fórmula No. I y obtuvimos una tasa del 34,4gg9zo anual. Estatasa de interés es la denominad,a Tasct Efectiva, que se define como la vercladera tctsa deinterés que se incurre por un préstamo o se obtiene de tma inversión.

Recordemos el procedimiento que utilizamos para llegar a la tasa del 34,4gg9Vo anualen el ejemplo del millón de pesos.

Lo primero que hicimos fue capitalizar este monto al 2,5vo durante 12 meses, así:

tr tr [pvl lTMrl fr" I @tq 1.000.000 1.344.88912

, ..-.ctiyo puede ser:. _:-;ra cualquier tipo': ::ierente a un año-

!1, .'"-;r Ia tastt, : '. rIlÍnente se. '. ,:er la tasa:. -,,¡¡tdicíón de

"'.. Hay casos en' : "equiere tal

Por simple observación nos dimos cuenta que el millón de pesos producía intereses por$344'889 que representan el 34,4889vo anial sobre el valoi in'uertldo al principio, quecomo dijimos, se denomina Tasa Efectiva, en este caso anual.

Para la compañía financiera que pagó el interés, esta tasa es, igualmente, la tasa efectivaque incurrió, que en su caso se llamará "costo efectivo lel préstamo,'. para elprestamista se llamaría "rendimiento efectivo", que para el caso del ejemplo fuecalculado sobre base anual, es decir, interés efectivo anual, lo que no significa que éstees- el único lapso para el cual se calcula dicha tasa efectiva. Como veremos másadelante, puede calcularse el interés efectivo para cuarquier tipo de período, porejemplo, mes, bimestre, trimestre, semestre, etc. por ello és que iambién se habra deInterés Periódico o Tasa Perióclica, para resaltar el hecho ae que las tasas ef'ectivas nonecesariamente se calculan para periodos de un año.

Recordemos que la tasa de interés que ofiecía la entidad financiera era del 307a amtal,liquidables cada mes, es decir, eli,5Eo mensual. Esta tasa del 30vo es la denominadaTasa Nominal que definiremos como una simple tasa de interés a partir ele la cual, ydependiendo de la Condición cre Capitarización, se obtiene ra Tasa É¡e.tivo.

El hecho de denominarla una "simple tasa cJe interés,,sugiere que esta no es una cifratrascendental en ningún anárisis. Es más bien un valor

-con

"i qu" muchas veces sedistrae a ahorradores incautos como 1o explicaremos más adelante. gt rrecho es que estatasa es un valor que generalmente se requiere para poder encontrar la efectiva que sí esla tasa que nos impofa, pues es la cifra que refleja la realidad de la situación analizada.

r a Condición de Capitalización o Períod.o de Capitaliz.acíón, define el momento en quelos intereses se liquidan o causan, independientemente de que se paguen o no.

Así tenemos que para haber podido calcular la tasa efectiva requerimos de dos datos: la 'fnominal anual y la condición de capitalización. Es decir,'que cuando la entidadfinanciera anuncia que reconoce er 30vo anual y lo liquida, .s decir, lo capitaliza cadames' implícitamente está sugiriendo que la base de liquidación es el i,52, mensual y essobre esta tasa que debe calcurarsé cualquier tasa efectiva para tipos de períododiferentes al mes. En nuestro caso estamos hablando del año.

La costumbre comercial es expresar la tasa de interés en forma anual, y si expresamenteno se dice que ésta es efectiva es porque es nominal, que se calcuia multiplicando latasa de interés del subperíodo por el número de subperíoáo, ¿"r uno, que en este caso esel Período en Cuestión, que definiremos como el péríodo para el

"uul'.. quiere calcular

la tasa efectiva.

Para desarrollar la fórmula del interés efectivo utilizaremos la siguiente simbología:

r118 Capítulo 4

[" = Tasa de Interés Efectivor = Tasa Nominal del período en cuestiónt = Número de subperíodos de capitalización del período en cuestión

Del ejemplo del millón de pesos colocado al 2,57o mensual durante un año se puede

piantear la siguiente igualdad:

1.344.889 = 1.000.000(1 +0,025)'2

la cual podemos descomponer en

1.000.000 + 344.889 = 1.000.000 (1 + 0,30/12)12

Donde $344.889 es el resultado de multiplicar $1.000.000 por la tasa obtenida del

34,497o anual, es decir, la tasa efectiva, o sea:

1.000 000 + 1.000'000 (34,48897o) = 1'000 000 (l + 0'30/12)'2

Si reemplazamos estos valores por los símbolos que definimos tenemos que:

P+P(I.)=P(l +r/t)'

Sacando factor común P se obtiene que:

P(1+I")=P(1+r/t)'

Dividiendo por P en ambos lados de la ecuación y despejando Ie, que es la incógnitaque queremos despejzr, nos queda la fórrnula definitiva

La costumbre cotnerciaexpresar las tasas de itienJbrma anual.

si expresamenÍe no se ..

que utla tasa es efectit'.porque es nominal.

l"=(1+r/t)t-1 Fórmula No.7

Donde r/t es el interés de cada subperíodo de capitalización expresado en forma

decimal; en nuestro ejemplo 0,025 o 2,5Vo, como resultado de dividir 0,30112. Esta

fórmula, como el lector podrá observar es ni más ni n,enos que la fórmula No.l de

acumulación de un valor preseltte, en la cual iTo ha sido descompuesta como una

fracción que es igual a la tasa nominal del período dividida por el número de

subperíodos de capitalización.

Estudiemos ahora las tres principales variantes que se pueden presentar en el cálculo del

interés efectivo. Ello 1o haremos en los siguientes tres ejercicios ilustrativos, en ios

cuales realizaremos las operaciones utilizando tanto la fórmula como la calculadorafinanciera.

Ejercicio ilustrativo No.t4 Hallar el interés efectivo anual, a partir del 367o anualnominal si la capitalización es mensual, bimestral, trimestral, semestral y anual.

I" base mensual

I. base bimestral

= (1 + 0,36112)t2 - 1

= 1l + 0,03)'2 - I= 1,425761 - 1

= 0,425761

= 42,5161Vo EA (Ef-ectivo Anual)

= (1 + 0,36/6)6 - 1

= 1t + 0,06)6 - 1

= 1.4185i9 - 1

= 0.418519

= 41.8519ok EL

Matemáticas Financieras r19

I" base trimestral

I" base semestral

I. base anual

= (1 + 0,36/4)1 - 1

= (l + 0,09)1 - 1

= l,4r r582 - 1

= 0,41 1582

= 41,1582Ea EA

= (l + 0,36t2)2 - |

= (t + 0,18)2 - I= 1,3924 - 1

= 0,3924

=39,24Va EA

= (l + 0,36ll)1 - 1

= (1 + 0,36)1 - 1

= 1,3600 - I

= 0,36

= 36Vo EA

.:ión de-..¡ción determína el,;e superados de

- -;¡ión.

-le tasas efectivas,,.adora, a parlir de..tirali,ación. leríodo en. rectliza

'-- . un peso.

Obsérvese en estas soluciones cómo la condición de capitalización determina el valorde t con respecto al período total de un año, es decir, que si la capitalización es mensualhabrá 12 subperíodos de capitalización, si ésta es bimestral habrá 6 subperíodos decapitalización (porque 6 bimestres tiene el año), y así sucasivamente.

Para obtener tasas efectivas en la calculadora financiera, y en la misma forma utilizadapara los factores, se realiza la operación con un peso ($1), es decir, acumulando unpeso, lo cual affoja como resultado un factor de acumulación del cual se deduce el pesooriginalmente invertido para así obtener la tasa efectiva, como se ilustra a continuación.

tr tr tFvl-1-1-1-t-1

0

0n

0

0

?

?

?

?2

'1.:':::,': "! , Del ejercicio podemos concluir que r/t es la tasa nominal y a la vez Ia efectiva de cada-.: et cuat se autere,:,:,,'"";;;r,;,:.^"'' tipo de subperíodo de capitalización. Así por ejemplo, 0,36/2 = 0,18 = l8olo es la tasa

nominal y efectiva para el semestre cuando Ia capitalización es semestral.

Sin embargo, el anterior ejemplo no se presenta en la realidad ya que si nos ofrecieranescoger entre las alternativas propuestas. todos escogeríamos pagar el 367o anual,-vencido Io que significa que en Ia realidad si solicitáramos períodos de liquidación delos intereses mayores a un mes, por ejemplo cada tres meses, nos calcularían una tasamayor que la que resultaría de multiplicar la mensual por tres, o sea una mayor que el9Vo.La forma de obtener dicha tasa se ilustra en el ejercicio No.12.

Pero a pesar de 1o anterior. este ejercicio nos permitirá comprender el verdaderosignificado del interés efectivo. Observemos los resultados obtenidos tanto con laaplicación de Ia fórmula como con la calculadora financiera. ¿Qué comportamientoreflejan?

Como puede verse, la tasa efectiva va disminuyendo a medida que el período decapitalización aumenta, es decir, mientras más tarde se cobran los intereses; y esto es asíporque mientras más plazo nos den para pagarlos, más dinero tendremos disponible enla mano para realizar operaciones y por lo tanto incurriremos en un menor costo deoportunidad que si tuviéramos que pagarlos antes. Ampliemos esta explicación.

Si los intereses se liquidaran mensualmente, cuando pagamos los intereses de-:r:-.:

1236649218tJb

1,425761

1 ,4185191,4115821,3924

1,36

42,5761%41,8519%41J582%39,24/"36%

l2O CaPítulo 4

Interés Mensual:lnterés Bimestral:Interés Trimestral:

Interés Semestral:

Interés Anual:

mes incurrimos en el costo de oportunidad de no poder utilizar estos dineros durante los

once meses restantes alr;;' ¿i^id" pug:i:.1',t::" l:,:::1'":.:::ir"^t"i:i:' il:;once meses restantes del ano' L-uduuu t-"iilu,ifiru. estos dineros durante los diez

i;;;**"t en el costo de oportunidad de no po

meses restantes y así sucesivamente'

Silosinteresesseliquidaranbimestralmente,cuandopagamos.loscorrespondientesalprimer bimestre ln"urri*o, "n

el costo a" oporirrnlaaA be"no-poder.utrlizar estos dineros

durante los diez meses restantes, pero ,on ,"rf""ro a la alierlativa de pago mensual

estamos incurriendo .11 ," ."ri"'¿;, oportunidJd menor ya que los supuestos intereses

;;;;;;"*"tr'*iH:igtf #:{tf*{'"*LTi?.*J'J:ii'1^:::1"'1:mes, nos Permlten d1s[

inrereses que se a"u"n'ffii- á rinur ¿"r t.J". Á"t y qu" sólo se pagan al final del

cuarto.

si los intereses se riquidaran trimestralmente, cuando pagamos.los conespondientes al Lafrecuenciade'

primer rrimesrre in"ooiiro, "n el cosro o. opori.iiüJ q;;:ry9::-Ttrit"t"ttt dineros in,tereses impticr;

durante los nueve meses restantes, pero *" ,.rp"". a las alternati"tt át ptg" mens-yll d"ir::r#H:;,"q:,:,,:;

v bimestral estamos ir;.;;J" ;n'un .orto de lportunidad menor,ya que los supuestos hecho de tener 1i1,,

In,"..r., que se ¿.u.n iiqui¿ar en el prir", r.!. ul no ,.. pagados hasta el iinal del ,lii,,,'u 'n

motlo i

tercer mes no, n"r-ii"ti";*"*. ¿"'.r. ál""to durante dos meses' y los supuestos clecisiones'

inrereses que se d.b.; hq;ií";'"-n "i ,"gonO;;t, ;i ;; ser pagados hasta el final del

;;;;";., nós permiten disponer de ese dinero durante un mes'

utilizando la misma argumentación para las formas de liquidación semestral y anual'

llegamos a la conclusi#ü; ; tisa efectiva está conformada por dos elementos o

pafies, a saber:

oLapartenominal,queesla.quedeterminaelvalordelosinteresesapagar'esdecir'

."),;:)::"';::i:i:":nnT'":ffi :u'ffi o.pagarros'1"i"::.,"oadeterminado

tiempo. Mientras más rápido f'uyu qu" p"litfJt "-uyot

es el costo de oportunidad

en el que se incurre y poiio tanto mayor es la tasa efectiva'

Porlotanto,delosresultadosobtenidosenlacalculadorafinancieradiríamosquelatasa del 42,5'76l'ose descompone en dos ptn"l' n :OZ que determina el monto de los

intereses a pagar' *á';;';t? loh que"' h t"ti" ¿" ápotioniaud'que implica pagar los

intereses cada mes. ,g*r-""*'. el il,ss tsE, iá'á"r.o-pon. .n 9:r partes: El 367o que

determina el monto de los intereses u nu'ui';;t ;i 5'85197o qu" "t el costo de

oportunidad qu" l'''ptito lagat los intereses cada dos meses y que es un costo menor

que el anterio. yu qo" '"Jdffit at más dinero en mano para trabajar con él'

Elmismoplanteamientosehaceparalasdemástasasobtenidashastallegaralaúltima,es decir er 36vo,que también se descompo;;;;;t partes: El 367o que determina el

monto de los intereses a pagar' má¡ cgro fOl t"tit át óortunidad por haber tenido todo

eldinerodelosinteresesdisponibleduranteelaño,puiuop".urconellos'Porejemplo'un préstamo ¿" $roo¡oó'tajo las ¿ir"."ni.r--uii"ilutiuát de liquidación de interés

propuestas .n "t

pt"'""ná""¡"-pf" implicaría tealizat los siguientes pagos:

l2Dasosde 51.000 = $36'000

r. n"oo, de $0.000 = $16.000

4 na"eo. de Sq.000 = 536 000

Z oooo* de $1 8.000 = 516 000

f pugo d" $36 000 = $i6'000

obsérvesecómoapesardequeenelE'stadodeResultadossiempreaparecerían$36.000como gasro inrerés, .t ;*;J;; n"t".los t"niao lu" pugar con diferente frecuencia hace

que se incur-ra "n

.orroi"UJ ofortoniauO diferenies q,t"" implican la obtención de tasas

Matemáticas Financieras I2t

efectivas diferentes.

La tasa efectiva está conformada, por 1o tanto, por una pane explícita que es la partenominal y una parte implícita que es el costo de oportunidad que, tal como se explicó,surge del hecho de tener que pagar los intereses cada determinado tiempo.

Ejercicio ilustrstivo No.t5 Calcular el interés efectivo mensual. bimestral, trimestral,semestral y anual equivalente al 30Vo anual capitalizado mensuaimente.

Obsérvese como, a diferencia del ejercicio anterior en el que se planteaban varias

alternativas de capitalización, en éste sólo hay una y por 1o tanto, con base en elladeberán expresarse las tasas efectivas de los demás períodos solicitados. La tasa de

capitalización, por lo tanto, siempre será única: eI 2,57o mensual, lo que implica que latasa efectiva del mes es el mismo 2.57o.

Obsérvese también cómo no se ha especificado si la tasa del 307o anual es nominal oefectiva. Cuando esto sucede, y tal como ya dijimos, se presume que es la nominal ypor lo tanto, cuando sea la efectiva, ello se dirá expresamente en el problema en

cuestión tal como veremos en el próximo ejercicio ilustrativo.

La solución utilizando la fórmula es la siguiente:

I" bimestral = (l + 0,025)2 - I= 1.050625 - I= 0.050625

= 5,06257obimestral

= (1 + 0,025)3 - 1

= 1.076891 - 1

= 0.076891

= 1 .68917o trimestral

= 11 + 0,025)6 - I

= 1.159693 - I

= 0,159693

= 15,9693Va semestral

= 1t + 0,025)12 - 1

= 1.344889 - I

= 0.344889

= 34.4889Vo antal

I" trimestral

I" semestral

I" anual

Como observará el lector, este ejercicio es justamente el que utilizamos al principio delcapítulo para comenzar la explicación de las fórmulas de Matemáticas Financieras, en elque depositábamos un millón de pesos para los cuales se proponían diferentes formas deliquidación de los intereses. Se ha agregado en esta opoftunidad la altemativa deIiquidación semestral, no considerada inicialmente.

En la calculadora financiera, y teniendo claridad con respecto a que la tasa de

capitalización es única, el 2,57o, este ejercicio se resolvería en la siguiente forma:.', .tn período de

' -. -és diferente al'" el prestamista o

" .-.-iera, se calcula.:..iiralente para,: solicítado.

trtrtrvl l*rl tFV I @2 2,5 -1 0

.J

12

Todas las anteriores tasas poseen dos

? 1,050625 = 5,0625% bimestral

? 1,076891 = 7 ,6891% trimestral

? 1,159693 = 15,9693%semestral? 1,344889 = 34,4889% anual

características: son efectivas l a 1"

122 Capítulo 4

equivalentes. lo que significa que es Io mismo prestar (o invertir), al 2,57o mensual, o al

5,0625Vc bimestral, o all,689lTo trimestral, o al 15,969370 semestral, o al 34,48897o

anual.

Ejercicio ilustrativo No.16 Encontrar la tasa efectiva mensual, bimestral, trimestral y

semestral equivalente a una tasa efectiva anual del 49,35ok.

Observe el lector cómo en los dos ejercicios anteriores se partía de una tasa expresada

para un período determinado, la cual servía de base para encontrar otra para un período

n1uyor, és decir, íbamos de tasas más pequeñas a encontrar tasas más grandes tal como

ilustra el gráfico 4-1 El caso que plantea este ejemplo es diferente ya que se parte de

una tasa efectiva mayor para encontraf una menor, de forma que la ecuación que se

puede plantear es la siguiente:

0.4935 = (1 +r/t)t- I

Cr¡tico +-t Situación planteada en los ejercicios ilustrativos 1:l y l5

Y si se tiene claridail en el senticlo de que la tasa a buscar es r/t, o se¡ el interés del

subperíodo, no habrá ninguna dificultad para resolver cualquier problema de este tipo.

El gráfico 4-2 ilustra el problema planteado en este ejercicio.

f-r--_-l

ffi-zg*+\F+!t\@@ i+-

[a¡mestr.l frrimestr]

Ejercicio No. 14 Ejercicio No. 15

[[-lfJ ^ltanual r\r l"

I

lMensuall Femestr.l

,\

Ejercicio No. 16

Gráfico ¿1-2 Situación planteada en el ejercicio ilustrativo ló

Aunque la ecuación contiene dos incógnitas, no tenemos porque preocuparnos ya que el

mismo enunciado del problema nos determina una de ellas. Así, si queremos encontrar

la tasa mensual, quiere decir que t = 12, con lo que tendríamos:

o sea qlle,

y por io tanto,

0,493-5 = qt +r/t)r2 _ I

(1,4935)ttt) = I +rlt1.033992_1 = 0,0339c12= rtt

rlf = 3,3992o/c mensual

El valor ¡ será la tasa nominal anual que corresponde a una ef'ectiva mensual del

3,39927c la cual es i-eual a 0,033992 x 12=0,407901 =10,1904Vo cifra que no nos interesa

pues no es la incógnita que se Pide.


tr@12 ? -1

6?4?2?

Las anteriores tasas también poseen dos características: son efectivas y a la vezequivalentes, lo que significa qlle es lo mismo prestar (o invertir). al 3,39927o mensual,o aI 6,91397a bimestral, o al 10.54817o trimestral, o al 22,2088Va semestral, o al 19,35Vr¡

anual.

¿Y cuál sería la tasa diaria equivalente?

Dependiendo del propósito, se pueden utilizar 360 o 365 días, lo que arrojaría lossiguientes resultados:

La tasa bimestral (para Ia cual t será igual a 6), se calculará así:

0,,1935 = (l +r/t)b - t11.49.i.s1r'' = l+r/t1,069139 -1 = rlt

0.0691 39 = r/t

y por lo t¿rnto, r/t = 6,91397c bimestral

Resuelva el lector el resto del ejercicio y confronte con los siguientes resultados:

r/t trimestral = I0.5481c/or/t semestral = 22.2088cf,

La solución en la calculadora financiera implica la obtención de la tasa de interés de unsubperíodo determinado, dada una efectiva anual, para lo cual podemos apoyamos en elsiguiente planteamiento: Si la tasa ef'ectiva anual es el 49,35Vo es porque si invertimosun peso al principio del año al final este se convertirá en $1,493-5 independientementedel tipo de capitalización que se utilice, y esto se "escribe" en la calculadora financieraen la siguiente fbrma:

Ntr1,4935

Entendido el planteamiento se sugiere, entonces, que en el caso de la tasa ef'ectivamensual debemos encontrar la tasa mensual que hace que en doce meses un peso se

convierta en $ I ,493-5 y así sucesivamente para las demás alternativas del ejercicio, talcomo apurece a conlinuación.

1,4935 3,3992Y"mensual

6,9139% bimestral

10,5481"/" trimestral

22.2088% semestral

trE1,4935 0,11 15% diario

0.1 100% diario

A diferencia de los dos ejercicios anteriores en los que se desarrollaba un proceso de

¿rcumulación de un peso realizando un cjercicio algebraico de potenciación, lo que

hemos hecho en este ha sido desamollar un proceso de "desacumulación", para lo cualse ha realizado un ejercicio algebraico cle re.dicación.

360 ? -1

365 ?

r

Se puede emitir ahora el siguiente Drocedimicnr^ ññ^ñ^+<^,-: ^;i',T¿T'* j: jiifs]iÉT:ii:,',".TillT:tüT,T;Jllt't?;iTtl,t"HTff;decir. desacumulamos

iamos rasas efecrivas u ojlli..d. rasas más ;r;;;"r, radicamos, eslos que;1il;;;;i"ru::it:J i:'Ji::'ot'ientos

en ra carcñradora rinancie.a ,on

Eiercicio ilustrativo !9'17 Hay infinidad de alternativas adicionares a ras pranteadas entos ejercicios r5 v r6.

"n roi o;;';;;;r;;r", ,-.r,.",rr',r"rll''.or,"arenres. En losgráfico' 4-r y 4-3 puede.verseo*

"il#: como harar unu,uru r.n,,"rrrur a parrirdei::"il'ffiXil ,1*l.X,,3,Ti'..,fl;j:Íi} una semesrrar, no rueron consideradas

r Hallar Ia tasa efecti. Ha,,ar," o," *n.,ill ;:il::ilXl ü:illfli: :^1'r1^1;i1ff ,,Ti

r Hallar la tasa efecriva bimestrat "q;i";#;; 11,8% semesh.al. Hallar la tasa ef'ectiva mensual equivalente allo/c trimestral

En las dos primeras opciones estamos yendo de. una tasa pequeña a buscar una;.rJfffl,hTil"*,:io;, ro q;",i;riu'q," debemos .áiüu. un proceso desiguienrei;,.;;;1";.ffiil:::"d;,:,t";:'"t"o No'15 lo cual se resolvería en la

tr@ryr[*'L-Fvr @2 53 _1 o1,5 2,4 -1 o '

1o'B8og%semestral? 3,6215% trimestrat

3Xl:il::iiit:'""J ffi,T":H:gundo ejempro se uriliza período decimar ya que un

En las dos últimas opciones estamos buscando unas. tasas equivalentes más pequeñasque las propuestas como .ba-se

¿" .a1."i", l" que significa que debemos realizar unproceso de "desacumuración" como er propu.r,o en el ejercicio No.t6. veamos.

tr@r-F"rT"rr*r @3 ? _1 O 1,118 3,7880%bimestral3 ? _1 0 1,07 2,2809%mensuat

i,l,lffi::: ff*.:i",ifiJJ,,:es en ambos casos ya que tres bimesrres tiene er semestre y

Ejercicio ilustrafivo No.l8 Al principio del capírulo, cuando hablábamos del interéssimple y compuesto planteamos el caso de un depósito de $1.000.000 en una compañíafinanciera qué reconocía el 2,5Vo mensual de intirés. Si usted aceptara recibir al cabode dos meses $1.050.000 ¿cuál sería el verdadero interés mensual qué estaría ganando?

Cuando se quiera encttasa efectiva a partir aefectiva que es mavor .primera, lo que se le p.cu I t t r I a d o ra finan(. ¡ e t,t.tasa cle interés que per-se dé una deferminacloacumulacíón de un pe:

N tr t * I lFnlr I \-T" I GñlllRFil1.000.000 1.050.000 2,4695"/.

Valor que es inferior a la tasa ofrecida del2,57o mensual

Ejercicio ilustrativo No.19 Si se depositan $500.000cuatro años al 207o anual capitalizado semestralmente,dentro de 10 años?

hoy y $1.500.000 dentro de

¿cuánto se tendrá acumulado


tr tr |-PVl2 10 -1 0

10 21 - 500.000 0

6 - 1.500.000

La suma de las dos acumulaciones parciales, que es de $8.071 .393 es la cifra buscada.

';rtejan pagos Lo que hemos hecho aquí ha sido manipular la tasa de interés en el sentido de hallar una:le.nnnipular .tanto que se ajuste al período de pago de un año. Pero si no deseamos hacer esto y dado que:rés como el tipo son cuotas únicás, podemos manipular más bien el período de pago y considerar más

bien períodos de un semestre para los cuales el interés efectivo es el 107o, con lo que laacumulación se haría para un total de 20 semestres y así el gráfico sería:

500.000 1.500.000

La siguiente tabla ilustra la forma de resolver en Ia calculadora financiera.

500.000 1 .500.000

Para resolver en la calculadora debemos primero determinar la tasa de interés efectivoanual equivalente a una capitalización semestral del l07o y luego, con dicha tasarealizar las acumulaciones corespondientes tal como se ilustra a continuación:

?

?

2

21 ,0"/.

3.363.7504.707.643

20

12

'tejctn cuotas sólo:ula la tasa de

?

2

-1

0

n

- 500.000

13,4225%

9"400.801

trEfrvltrMr--ltFVl @10 -500.000 0 ?

- 1.500.000 ?

Eiercicio ilustrativo No.20 Si se depositan $500.000 cada seis meses durante 5 años,

¿cuánto dinero se tendrá al final si la tasa es el 26Vo anual capitalizado trimestralmente?

Por tratarse de una serie de pagos, la única alternativa es manipular la tasa de interésteniendo que calcularse, por lo tanto, una tasa semestral efectiva equivalente al 6,57atrimestral (.0,2614), para luego proceder a calcular el valor acumulado correspondiente,así:

tr-1

10 semestres

500.000 500.000

tr[4tPVltPMrlfrvl EE@2 6,5

10 13,42

Ej ercicio ilustrutiv o N o.2 l

3.363.750

4.707.643

Resolvamos el ejercicio ilustrativo número tres !u::r'

126 Capítulo 4

que las cuotas extras

sería:

fueran en los meses 8 y 16' en cuyo caso el gráfico del problema

Donde los dos pagos extras cumplen las características que debe poseer las cuotas para

poder ser pro..iuáu, en la calcuüdora. Recordémoslas: Uniformes, periódicas y al final

del período. En este caso el período es de ocho meses, por 1o que debemos calcular Ia

tasa equivalente para éste y luego obtener el valor de las dos cuotas extras, asi:

0

24,7225"k cada 8 meses

1.596.298

I

ñ

?

0

?

? -1

2,51 -1

? -1

8,2 -1

2,51% mensual

34,6464% EA

8,2% trimestral

37,0595% EA

FOBMAS DE AMORTIZAR PRESTAMOS

Teóricanrente existen inflnitas formas de amortizar un préstamo debido a que deudores Prestunti'tÍtts t ¡'

y acreedores pueden pactar libremente las condiciones. Con el fin de profundizar un p.ueden¡tactat tt:

poco más en el concepto de equivalencia, analizaremos cuatro alternátivas para un de ontortilr tttt

préstamo de $100.000 aI 24% anual durante 4 años'

f @f 'Llfñ'-1 fr"l @B 2.8 -1 0

2 24,7225 -2.306.061 ?

con 1o que el nuevo plan de financiación a presentar al cliente es:

$ 15.000.0005.000.00i)

10.000.000s50.000

r.596.2981.596.298

Ejercicio ilustrativo No.22 Para la compra de un automóvil nos ofrecen dos

ptsibilidades de pago: 24 cuotas mensuales calculadas con el factor 0,055975 o 16

tuotas trimestrales calculadas con el factor 0,114125. ¿Qué tasa de interés efectiva

anual nos están cobrando en cada una de las opciones?

Utilizando la simbología de los factores podemos expresar el problema en la siguiente

forma:(A/P, '1, 2¿l) = 0'055975.(AIP, ?, t6i) = 0,1 t 4425

Las tasas de interés mensual y trimestral y sus equivalentes anuales se obtendrían en la

calculadora financiera siguiendo este procedimiento:

E @fFv-l tPMrl t-F"l @24

12

16

4

- Valor del vehículo- Cuota inicial- Valor a financiar- I 8 cuotas mensuales de



0,055975

0

0,114425

0

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CAPITULO 4 Matematica Financiera