Capitulo 5

5.6)

1)

a)

13 1 3 3 3 3

11 0 1 101 2xy xy x xxe dydx e dx e dx e x e e

b)

1 3331 3 1 1 3

0 0 0 000

41

3 3

yxy xy y

eeye dxdy e dy e dy y

c)

2

2 2 2220 0 0 00

0

2 4cos cos2 2

x xx xy dydx sen xy dx sen dx

d)

22

3 2 3 3 3 3

2 22 1 2 21

3 3 3ln ln ln ln 3ln 3 2 ln 2 12 2 2 2yy x dydx x dx x dx x x x

e)

2

12 ln 2 2 1 ln 1 1

4 ln 4 3ln 3 3ln 3 2 ln 2 10ln 2 6 ln 3

x x x x x x

2)

a)

Capitulo 5

b)

c)

x

y

x

y

Capitulo 5

d)

e)

x

y

x

y

Capitulo 5

f)

g)

x

y

x

y

Capitulo 5

h)

i)

x

y

x

y

Capitulo 5

j)

k)

x

y

x

y

Capitulo 5

l)

m)

x

y

x

y

Capitulo 5

n)

x

y

x

y

Capitulo 5

3)

a)

2 4

0 2

2

24

,x

y x

xy

f x y dydx

b)

3

3

1

0,

x

x

x x

x x

f x y dydx

c)

x

y

Capitulo 5

22 2

0 1 1 ln

ln

, ,

x

e e

y

e yx y

f x y dxdy f x y dxdy

d)

2

2

2

4 1 4

0 1 4

2 32 3 1 1

1 4

1 4

,y

y

y x xy x x

y x

x y

f x y dxdy

e)

2 2

2 40

2 2

24

,y

arcseny

x y

x y

arcseny x

f x y dxdy

f)

4 2

0,

x

y x

f x y dydx

g)

Capitulo 5

12 3 12

110 233

13

12

, ,y

yy

x y

x y

f x y dxdy f x y dxdy

4)

226 2 6 6

0 0 0 00

4 4 10 60 .2xx dxdy x dy dy u v

5)

22

42 42 4 2 2 2 3

2 2 2

23 4 52

2

8 8 32 4 8 82 2

8 89632 2 83 4 10 15

xx

y xx y dydx y xy dx x x x dx

x x xx x x

3 324 4 42 2

0 0 0

43 52 2

0

8 8 8 82

32 4 8963 5 15

yy

yy

xx y dxdy x yx dy y y y y dy

y y

6)

2 2 20 0 0 00

20

cos cos 1

12

xx

xsen x y dydx x y dx x dx

sen x x

Capitulo 5

7)

2

2 2 2 2 200 0 0 00

cos cos 1senxsenydxdy x senydy senydy y

8)

122 1 2

1 1 11

ln ln 02

y x y xdydx dxx x

9)

22

43 62 4 2 22 2 2 2 4

0 0 0

23 7 5

0

64 43 3 3

64 4 42883 3 21 5 105

yy

x yx y dxdy y x dy y y dy

x y y y

10)

42 4 2 2

21 3 1 13

2 2

1 1

1 1 14 3

ln 4 ln 3 ln 6 ln 5 ln 5 ln 4 2 ln 5 3ln 2 ln 3

dxdy dy dyx y y yx y

y y

11)

2

2

2 5

1 1

52 22 4 2 3

1 11

22 5 3 4 2

1

2

25 5 2 1

5 2 1533252 5 3 4 2 20

y

y

x y dxdy

x yx dy y y y y y dy

y y y y yy y

12)

Capitulo 5

2 22 2 2 31 21 1 11

22 4

1

92 4 4

xx

xx

x xdxdy dy x x dyy y

x x

13)

2

2

22

121 1 1 1 3

1 1 1 11

14 2

1

22

2 04 2

xx

xx

yx y dydx xy dx x x dx

x x

14)

2 2 2 2 44 4 4 44 16400 0 0 00 0

1 1 1 14 8 8

xxx x x xe dydx ye dx xe dx e e

15)

1 1 1 11 201 0 1 1

132

1

1 2 1

23

x xx dydx xy y dx x x dx

x x x

16)

222 2 22 4 2

1 3 2 1 13 2

253 2

1

2 9 12 4

43 6 45 5

xx

x xydydx y dx x x x dx

x x x x

17)

Capitulo 5

3 5 3 53 5 3 50 1 0 12 2 2 22 2 2 2

1 0 4 1 0 4

2 20 12 2

1 0

0 13 2 3 3 2 3

1 0

3 5 3 5 42 2 2 2

5 5 4 02 4 3 2 4 3

x xx x

x x x xxdydx xdxdy xy dx xy dx

x x x xx dx x dx

x x x x x x

18)

22

24 212 1 2 2 3

2 0 2 202

04 2

yy y yydxdy xy dy y y dy

Fazer amanha

19)

20)

1

1 22 21 102 2 0

221 2 12

2

1 12 2 2

1 1 1 112 2 2 2

xx yx y dydx yx dx

dx xx x

21)

22)

23)

24)

5.8)

1)

262 22 2 2 42 2 2 2 2

2 0 02 2 20 2

32 32 326 3 3 3rx y dxdy r rdrd d d

Capitulo 5

2)

22 2 2

00 0 0 00

1 1cos cos 4 1 1 cos 4 1 cos 42 2 2 2

sen r rdrd r d d

3)

5

25 5 5 42 2 04 4 420 0 0 00

ln 51 1 5 ln 5ln 1 ln 51 2 2 2 8rdrd r d d

r

4)

1 1 12 2 22 2 22 2 22

3 00 0 0 02 2 0

12 2

1 1 1 1 11

1 12

aa rdrd r d a d a

r

a

5)

a)

442 4 2 4 2 22 3 4

0 0 0 0 0 00

222 2 2

0 00

164

44 1 cos 2 4 1 2cos 2 cos 2 4 2 122 8

sensen sen rr rdrd r drd d sen d

send d sen

b)

232 2 22

00 00

2 2 cos 03rsen d r dr

c)

131 2

00 00

2cos3 3rsen d r dr

d)

Capitulo 5

2 2

3 42 22 2 2 2

0 0 0 0 00

2

0

1 1 2cos 2 cos 23 3 12

1 s 4212 2 8 16

sensen

x y yr sen

r senr sen drd sen d d d

ensen

e)

132 1 2 22 2 2

0 0 0 00

1 1 21 13 3 3

r rdrd r d d

f)

232 24 4

00 00

4 2cos3 3rd r dr sen

g)

232 26 6

00 00

4cos3 3rd r dr sen

h)

322

0 0 2a ad r dr

i)

cos3cos 2 4

0 0 0 00

00

1cos cos cos3 3

1 1 cos 2 1 22cos 1 23 2 2 3 2 4 2

rd r dr d d

send sen

6)

Capitulo 5

332 3 22

00 11

523 3rd r dr

7)

2 2 22 2 22 400 0 0

1 14 4

r rd e rdr e e

8)

4cos34cos 2 4

0 0 0 00

2

00

64cos cos cos3 3

16 16 s 41 2cos 2 cos 2 2 2 83 3 2 8

rr drd d d

end sen

9)

4s44s 3 4 22 2 2 2

0 2s 0 0 02s

2

0

60 s 60 1 2cos cos4

4 4560 22 8 2

enen

enen

rr drd d en d d

sensen

10)

232 2 22

04 40

8 2 53 3 2 5

artgc artgcrr sen drd sen d

11)

Capitulo 5

2 2

142 1 23

0 0 00

2

3

206

03

1

3cos 6 cos 02

xu

yv

u v

rr sen drd sen d

12)

132 1 22

00 00

23 3rd r dr

13)

2 2

122 1 2

00 00

32

2

1 02

02

1

2 22

u xyv

u v

rd rdr

14)

Capitulo 5

2 1 2 1 2 1 2 12 2

0 0 0 0 0 0 0 0

2 1 2 1 2 12 2

0 0 0 0 0 0

1 12 212 2 220 0 00

0 0

8 cos 8 cos

8 cos

4 cos 82 2

rsen r rdrd rdrd r sen drd r drd

rdrd r sen drd r drd

r rr sen

15)

2

11 22 20 0

2 2

cos 1 13 6 6

r rdrd sensen r d

16)

52 22 5 22 2

0 4 04

25 25 16ln ln 2 ln 25 8ln162 2 2 2 2

25 92 ln 25 32ln 22 2

r rd r rdr d r

17)

4 2 4 4

0 0 0 00

64 64 16 42 83 3 3 2 8

sen senr sen drd sen d sen d sen

18)

42 3

0 0

42 cos 3

0 0

42 3

0 0

2

32

32

a

a

asen

ar drd

ar drd

ar drd

19)

Capitulo 5

2 24 4

00 1

7 7 2cos3 6

r drd sen

20)

2 2

2 1 2 2

0 0

2 1 2

0 0

3

2

3 06

02

1

36 36 cos 36 cos 6

36 36 6 108

xu

yv

u v

r r rdrd

r rdrd

21)

2 2

1 2 2 2 220 0

1 220 0

3

4

3 012

04

1

144 144 cos 144 12

144 144 12 216

xu

yv

u v

r r sen rdrd

r rdrd

22)

Capitulo 5

0 4

1 0

22

1 112 2

1 1 22 2

42

u x yv y x

u v xu v y

u dudv

23)

5.10)

1)

234 2 42

0 0 00

4 12843 3xx dxdz dz

2)

234 2 42

00 00

4 12843 3xx dxdy y

3)

4 4 4 442 2 2 3

00 0 0 0

43 42

0

2 2 8 2 4

4 1683 4 3

x xx dydx y x y dx x x x dx

x xx x

4)

Capitulo 5

21 1 2 12 2 3

0 0 0 0 2x

x y dydx r drd

5)

2223

2 4 2 2 22 2 000 0 0 0

0

cos8 8 4 32

3x r

y dydx r r sen drd r

6)

4 5 4 452 2 200 0 0 0

3801 5 53

x dydx y x y dx x dx

7)

3

3 2 4 22 2220 0 0

0

9 819 22 2 4r rr rdrd d

8)

4

4 2 4 32 2230 0 0

0

16 3 12816 32 4 3r rr rdrd d

9)

22 42 4 22 2

0 0 0 0

1288 4 8 43

xxx dydx y x dx

10)

2

434 16 2 4 4 2 220 000 0 0 0

0

10 10 cos 5 1603

x rx dydx r rdrd r sen

11)

Capitulo 5

2 2

2 2

2 3 2 3 2 3 2 3

0 0 0 0 0 0 0 0

3 33 22 2

0 00 0

2 3 9

9

5 3 5 3 5 5 3

35 cos 5 1353 2

x y

u v

v rdrd rsen rdrd rsen rdrd rdrd

r r

12)

22

2 2

2 2 3 2 2 32

0 0 0 0

2 2 3420

0

3 12

12

16 43 3

6 24 343

x y

u v

rdrd rdrdr

rr

13)

32 3 2 5 2 2 52 2 2

00 5 0 0 0 059 2 9

16 46103 3

r rdrd rdrd d r d r

14)

Capitulo 5