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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
UNIVERSIDAD ALEJANDRO HUMBOLDT
Materia: Análisis de Estados Financieros I
Profesor: Núñez, Ricardo
CAPÍTULO 5
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Integrantes:
Salazar, Pedro V-17.919.272
Colina, Kathleen V-20.631.393
Algarín, Dorcarí V-22.447.099
Garanito, Veruska V-19.927.997
Sección 0602
Caracas, Noviembre de 2015
CAPÍTULO 5. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.
1. Preguntas de repaso:
5.1. El papel del valor del tiempo en las finanzas.
5.1 ¿Cuál es la diferencia entre valor futuro y valor presente? ¿Qué método
prefieren generalmente los gerentes financieros? ¿Por qué?
R= La diferencia que existe entre valor futuro y valor presente , es que, como
su palabra lo indica, el valor futuro será el efectivo que usted recibirá en un tiempo
o años después y el valor presente, es el valor del dinero actual.
Los administradores necesitan un modo de comparar el efectivo de hoy con
el efectivo del futuro, ellos prefieren usar el método o enfoque de valor presente,
esto para poder tomar decisiones de inversión, si es factible o no una determinada
inversión.
5.2. Montos Únicos.
5.2 Defina y explique las diferencias de los tres patrones básicos del flujo de
efectivos: 1. Mono único, 2. Anualidad y 3. Ingreso mixto.
El flujo de efectivo de una empresa se describe por medio de su patrón general. Se
define como un monto único, una anualidad o un ingreso mixto.
Monto único: es la cantidad global que se tiene actualmente o que se espera tener
en una fecha futura. Como ejemplo; $1,000 actual y $650 que se recibirán al cabo
de 10 años.
Anualidad: es el nivel de serie periódica de flujo de efectivos. Para nuestros
propósitos, trabajaremos principalmente con los flujos de efectivo anuales. Un
ejemplo; es pagar o recibir $800 al final de cada uno de los 7 años siguientes.
Ingreso mixto: es una serie de flujos de efectivo que no es una anualidad; un
ingreso de flujos de efectivo periódicos y desiguales que no reflejan algún patrón
específico.
5.3 ¿Cómo se relaciona el proceso de capitalización con el pago de intereses sobre
los ahorros? ¿Cuál es la ecuación general para calcular el valor futuro?
La capitalización se relaciona con el pago de intereses sobre los ahorros , ya que es
un proceso que determina el valor futuro de una renta actual o de
una serie de rentas periódicas al tipo de interés que se desea aplicar. Entonces,
hablamos de interés compuesto para indicar que el monto del interés ganado en
un depósito específico se vuelve parte del principal al final de un periodo
determinado y el término principal se refiere al monto de dinero sobre el que se
pagan intereses. La capitalización es la más común.
La ecuación general para calcular el valor futuro al final del periodo n es:
VFn = VP x (1+ i)n
5.4 ¿Qué efecto produciría una disminución de la tasa de interés en el valor futuro
de un depósito? ¿Qué efecto produciría en el valor futuro un aumento en el
periodo que se mantiene un depósito?
Cuanto mayor sea la tasa de interés, mayor será el valor futuro, en este caso si se
disminuye la tasa pasaría lo contrario, para cualquier tasa de interés mayor que
cero, el valor futuro es mayor que el valor presente. Si hay un aumento en el
periodo, se aumentara su valor futuro.
5.5 ¿Qué significa “valor presente de un monto futuro”? ¿Cuál es la ecuación
general para calcular el valor presente?
El valor presente es el valor actual en bs o $ de un monto futuro; es decir, la
cantidad de dinero que debería invertirse hoy a una tasa de interés determinada,
durante un periodo especifico, para igualar el monto futuro.
La ecuación es VP = VFn/(1 + i)n
5.6 ¿Qué efecto produce el aumento del rendimiento requerido en el valor
presente de un monto futuro? ¿Por qué?
El efecto que causa es que el valor presente sea menor, porque a mayor tasa de
rendimiento menor será el valor presente de un monto futuro.
5.7 ¿Cómo se relacionan los cálculos del valor presente y el valor futuro?
La relación que existe es que ambos valores dependen en gran medida de la tasa
de interés y del momento en que se recibirá el monto.
5.3. Anualidades
5.8 ¿Cuál es la diferencia entre una anualidad ordinaria y una anualidad
anticipada? ¿Cuál es más rentable? ¿Por qué?
La diferencia entre la anualidad ordinaria y anualidad anticipada radica en que la
anualidad del flujo de efectivo ocurre. La anualidad ordinaria ocurre al final de
cada periodo y la anualidad anticipada ocurre al inicio de cada periodo. Los dos
planes de anualidades difieren únicamente en el momento en que ocurren sus
flujos de efectivo: los flujos de efectivo se reciben más rápidamente con la
anualidad anticipada que con la anualidad ordinaria.
La anualidad anticipada sería la más rentable ya que tendría un valor futuro más
alto que la anualidad ordinaria porque cada uno de sus flujos de efectivo anuales
puede ganar intereses durante un año más que cada uno de los flujos de efectivo
de la anualidad ordinaria.
5.9 ¿Cuáles son las formas más eficientes de calcular el valor presente de una
anualidad ordinaria?
La forma más eficiente seria de calcular el valor presente de cada flujo de efectivo
en la anualidad y luego sumar esos valores presentes. Alternativamente, el atajo
algebraico para obtener el valor presente de una anualidad ordinaria que hace un
pago anual de FE en n años.
5.10 ¿Cómo se puede modificar la fórmula del valor futuro de una anualidad para
calcular el valor futuro de una anualidad anticipada?
Las dos ecuaciones son casi idénticas, pero la ecuación para calcular el valor futuro
de una anualidad anticipada se modifica teniendo al final un término adicional, (1 +
i). En otras palabras, el valor que se obtiene con la ecuación para calcular el valor
futuro de una anualidad anticipada es (1 + i) veces más grande que el valor de la
ecuación de una anualidad ordinaria si las otras entradas (FE y n) se mantienen
iguales, y esto tiene sentido porque todos los pagos de la anualidad anticipada
tienen una ganancia de interés de un año adicional en comparación con la
anualidad ordinaria.
5.11 ¿Cómo se puede modificar la fórmula del valor presente de una anualidad
ordinaria para calcular el valor presente de una anualidad anticipada?
R= la ecuación para la obtención del valor presente de una anualidad anticipada se
puede modificar añadiendo a un término adicional al final, (1 + i). La razón de este
término adicional es la misma que cuando se calculó el valor futuro de la anualidad
anticipada. En la anualidad anticipada, cada pago llega un año antes (en
comparación con la anualidad ordinaria), de modo que cada pago genera un poco
más de ganancia (un año más de interés).
5.12 ¿Qué es una perpetuidad? ¿Por qué el valor presente de una perpetuidad es
igual a un pago anual de efectivo dividido entre la tasa de interés?
Una perpetuidad es una anualidad con una vida infinita, en otras palabras, es una
anualidad que nunca termina, garantizando a su tenedor un flujo de efectivo al
final de cada año (por ejemplo, el derecho a recibir $500 al final de cada año para
siempre).
El valor presente de una perpetuidad es igual a un pago anual de efectivo dividido
entre la tasa de interés, porque al hacer esta división nos arroja un monto, el cual
nos indica que para generar el flujo de efectivo o el pago anual de efectivo se
necesita o requieren lo que dará por resultado.
5.4. Ingresos Mixtos
5.13 ¿Cómo se calcula el valor futuro de un ingreso mixto de flujos de efectivo?
¿Cómo se calcula el valor presente de un ingreso mixto de flujos de efectivo?
Para calcular el valor futuro de un ingreso mixto de flujos de efectivo se tiene que
determinar el valor futuro de cada flujo de efectivo en la fecha futura especificada
y después sumamos todos los valores futuros individuales para calcular el valor
futuro total.
Y para calcular el valor presente de un ingreso mixto de flujos de efectivo el cálculo
del valor presente de un ingreso mixto de flujos de efectivo es similar al cálculo del
valor futuro de un ingreso mixto. Determinamos el valor presente de cada monto
futuro y después sumamos todos los valores presentes individuales para obtener el
valor presente total.
5.5 Capitalizacion de intereses con una frecuencia mayor que la anual.
5.14 ¿ Que efecto produce el interes compuesto a una frecuencia mayor que la
anual en a) el valor futuro y b) la tasa efectiva anual (TEA)? ¿Por qué?
a)En el valor futuro: el efecto producido es mayor monto de dinero acumulado.
b)Tasa efectiva anual: el efecto producido es el aumento de la misma al
incrementar la frecuencia de capitalizacion.
5.15 ¿Como se compara el valor futuro de un deposito sujeto a una capitalizacion
continua con el valor obtenido por medio de una capitalizacion anual?
Se podria comparar usando estas dos formulas:
1)
2)
5.16 Distinga entre una tasa nominal anual y una tasa efectiva anual. Defina la Tasa
de porcentuaje anual y el rendimiento porcentual anual.
La diferencia entre la “tasa nominal anual y la tasa efectiva anual”, es que, la
primera es la tasa de interes anual contractual, es decir, establecida, que cobra el
prestamista o promete pagar el prestatario y refleja los efectos de la frecuencia de
la capitalizacion; y la segunda es la tasa de interes anual que realmente se gana o
paga.
Tasa de porcentuaje anual: tasa nominal anual de interes que se obtiene
multiplicando la tasa periodica por el numero de periodos en un año, y que debe
informarse a los consumidores de tarjetas de credito y prestamos como resultados
de las “leyes de veracidad en los prestamos”.
Rendimiento porcentual anual: es la tasa efectiva anual de interes que los bancos
deben revelar a los consumidores de sus productos de ahorro com resultado de las
“leyes de veracidad en los ahorros”.
5.6 Aplicaciones especiales del valor del dinero en el tiempo.
5.17 ¿Cómo se determina el monto de los depositos anuales e iguales, de final de
periodo, que se requiere para acumular cierta suma al termino de un periodo
especifico, a una tasa de interes anual determinada?
Se determina con la siguiente formula:
FE=VF÷¿
5.18 Describa el procedimiento para amortizar un prestamo en una serie de pagos
periodicos e iguales.
El proceso de amortizacion del prestamo implica efectuar el calculo de los pagos
futuros durante el plazo del prestamo, cuyo valor presente a la tasa de interes
estipulada equivale al monto del principal inicial prestado.
5.19 ¿Cómo se determina el numero de periodo desconocidos cuando se conocen
los valores presente y futuro, de un monto unico o una anualidad, y la tasa de
interes aplicable?
Se determina con la siguiente formula:
T=log (VF )− log(VP)
log (1+i)
2. Problemas de autoevaluación.
AE5.1
Valores futuros para diversas frecuencias de capitalización, Delia Martin tiene
$10,000 que puede depositar en alguna de tres cuentas de ahorro durante un
periodo de 3 años. El banco A capitaliza los intereses anualmente, el banco B
capitaliza los intereses dos veces al año, y el banco C capitaliza los intereses cada
trimestre. Los tres bancos tienen una tasa de interés anual establecida del 4%.
a) ¿Qué monto tendría Delia Martin en cada banco al término del tercer año si
mantiene en depósito todos los intereses pagados?
Banco A
VF= 10,000 $ x (1+ 0.04)3= tendría 11,248.64 $ al final de los 3 años
Banco B
VF= 10,000 $ x (1+(0.04/2))3.2= 11,261.62 $ tendría al final de los 3 años
Banco C
VF= 10,000 $ x (1+(0.04/4))3.4= tendría 11,268.25 $ al final de los 3 años
b) ¿Qué tasa efectiva anual (TEA) ganaría en cada uno de los bancos?
TEA = (1 + 0.04/m)m - 1 = 0. x 100
Banco A= 4%
Banco B= 4.04 %
Banco C= 4.06 %
c) De acuerdo con los resultados que obtuvo en los incisos a) y b), ¿con qué banco
debe hacer negocios Delia Martin? ¿Por qué?
Debería quedarse con el banco c, ya que este capitaliza los intereses
trimestralmente, por lo que su ganancia o el cobro de los intereses se obtienen
más rápido y su inversión será mayor.
d) Si un cuarto banco (banco D), que ofrece también una tasa de interés
establecida del 4%, capitaliza el interés continuamente, ¿cuánto tendría Delia
Martin al término del tercer año? ¿Esta alternativa altera la recomendación
que dio en el inciso c)? Explique por qué.
Banco D
VF= 10,000 $ x (1+(0.04/12))3.12= 11,272.72 $ tendría al final de los 3 años
Claro que altera la respuesta anterior, ya que el valor futuro es mayor y el
cobro de los intereses se obtienen en menor tiempo.
AE5.2
Valores futuros de anualidades, Ramesh Abdul desea elegir el mejor de dos
ingresos de flujo de efectivo que tienen el mismo costo: la anualidad X y la
anualidad Y. La anualidad X es una anualidad anticipada con una entrada de
efectivo de $9,000 en cada uno de los próximos 6 años. La anualidad Y es una
anualidad ordinaria con una entrada de efectivo de $10,000 en cada uno de los
próximos 6 años. Suponga que Ramesh puede ganar el 15% sobre sus inversiones.
a) De manera completamente subjetiva, ¿qué anualidad considera que es la más
atractiva? ¿Por qué?
La anualidad anticipada, porque tendría un valor futuro más alto que la
anualidad ordinaria porque cada uno de sus flujos de efectivo anuales puede
ganar intereses durante un año más que cada uno de los flujos de efectivo de la
anualidad ordinaria.
b) Calcule el valor futuro al término del año 6 de ambas anualidades.
Anualidad X
VF = $ 9,000 x (((1+0.15)6-1)/0.15) x (1+0.15) = 90,601.19 $
Anualidad Y
VF = ($ 10,000/0.15) x (1-(1/(1+0.15)6)) x (1+0.15) = 43,521.55 $
c) Utilice los resultados que obtuvo en el inciso b) para indicar qué anualidad es la
más atractiva. ¿Por qué? Compare sus resultados con la respuesta subjetiva
que dio en el inciso a).
Mi respuesta seria la que di en el inciso a), ya que al obtener los resultados en
el inciso b) podemos constatar que el valor futuro de la anualidad es mayor
AE5.3
Valores presentes de montos únicos e ingresos, Usted tiene la opción de aceptar
uno de dos ingresos de flujos de efectivo durante 5 años o montos únicos. Un
ingreso de flujos de efectivo es una anualidad ordinaria, y el otro es un ingreso
mixto. Usted puede aceptar la alternativa A o B, ya sea como un ingreso de flujos
de efectivo o como un monto único. Considerando el ingreso de flujos de efectivo y
los montos únicos relacionados con cada opción (véase la siguiente tabla), y
suponiendo un costo de oportunidad del 9%, ¿qué alternativa preferiría (A o B) y
en qué forma (ingreso de flujos de efectivo o monto único)?
A: Flujos de efectivo:
V P5 = $700/0.09 x (1 - 1/(1 + 0.09)5)
= $700/0.09 x 0.350 = $2,722.76
Monto único: $2,825
B: Flujos de efectivo:
Año calculo del valor
(n) valor presente presente
1 1,100/(1+0,09) = $ 1,009.17
2 900/(1+0,09)2 = $ 757.51
3 700/(1+0,09)3 = $ 540.53
4 500/(1+0,09)4 = $ 354.21
5 300/(1+0,09)5 = $ 194.98
valor presente $ 2,856,40
Monto único: $ 2,800
La opción o alternativa B es preferible, porque su valor presente es de $ 2,856.40
es mayor que los otros valores.
AE5.4
Depósitos necesarios para acumular una suma futura Judi Janson desea acumular
$8,000 al término de 5 años realizando depósitos anuales e iguales a fin de año
durante los próximos 5 años. Si Judi puede ganar el 7% sobre sus inversiones,
¿cuánto debe depositar al final de cada año para lograr su objetivo?
FE = $ 8,000 / (((1 + 0.07)5 - 1)/0.07)
FE = $ 1,391.13
Judi debe depositar $ 1,391.13 al final de cada uno de, para lograr su objetivo de
acumular $ 8,000 al término del último año.
3. Ejercicios de preparación.
E5.1
Suponga que una empresa realiza un depósito de $2,500 en su cuenta de mercado de
dinero. Si esta cuenta paga actualmente el 0.7% (sí, es correcto, ¡menos del 1%!), ¿cuál
será el saldo de la cuenta después de un año?
El saldo después de un año será de $ 2,517.5
VFn = VP x (1+ i)n
E5.2
Si Bob y Judy combinan sus ahorros de $1,260 y $975, respectivamente, y depositan
este monto en una cuenta que paga el 2% de interés anual, capitalizado
mensualmente, ¿cuál será el saldo de la cuenta después de 4 años?
El saldo será al final de 4 años de $ 2,420.98
VFn = VP x (1+ (i/m))n.m
E5.3
Gabrielle acaba de ganar $2.5 millones en la lotería estatal. Le dan la opción de recibir
un total de $1.3 millones ahora o un pago de $100,000 al final de cada año durante los
próximos 25 años. Si Gabrielle puede ganar el 5% anual sobre sus inversiones, desde
un punto de vista estrictamente económico, ¿por qué opción debe inclinarse?
Formula del valor presente de una anualidad ordinaria:
VPn = (FE/i) * (1-(1/(1+i) ^n))
VPn = (100000/0.05)*(1-(1/(1+0.05) ^25))
VPn = 1.409.394,457 $
R = Debería inclinarse por la anualidad ordinaria, es decir de recibir 100000 $ al final
de cada año durante los próximos 25 años siguientes.
E5.4
Su empresa tiene la opción de realizar una inversión en un nuevo software que cuesta
$130,000 actuales y que, según los cálculos, generará los ahorros indicados en la
siguiente tabla durante su vida de 5 años: OA 4 OA 3 OA 2 OA 5 OA 2 Año Ahorros
estimados 1 $35,000 2 50,000 3 45,000 4 25,000 5 15,000 ¿La empresa debería realizar
esta inversión si requiere un rendimiento anual mínimo del 9% sobre todas sus
inversiones?
LINEA DE TIEMPO
FIN DE AÑOS
Formula del valor presente
VP = VFn
( 1 + i )^n
VP = (35000/(1+0.09) ^1) = 32.110,09 $
VP = (50000/(1+0.09) ^2) = 49.598,25 $
VP = (45000/(1+0.09) ^3) = 34.748,26 $
VP = (25000/(1+0.09) ^4) = 17.710,63 $
VP = (15000/(1+0.09) ^5) = 9.748,97 $
143.916.2 $
E5.5
Joseph es su amigo.Tiene mucho dinero,pero poco conocimiento financiero.El recibio
un regalo de $ 12.000 por su graduacion y esta buscando un banco para depositar los
fondos, partner`s Savings Bank ofrece una cuenta con una tasa de interes anual del
3% compuesta semestralmente, en tanto que Selwin`s ofrece una cuenta con una
tasa de interes anual del 2.75% compuesta de manera continua. Calcule el valor de las
dos cuentas al termino de un año y recomiende a Joseph la cuenta que debe elegir.
Capitalizacion continua:
VF=(VP )×(e¿¿ x¿¿ i∗n)¿¿
VF=(12000)׿¿)
VF=12000×1.030454534
VF= $12365.45
Capitalizacion semestral:
VF=12000× (1+0.015 )2
VF=12000 x 1.030225
VF=$12362.70
Se le recomienda a Joseph elegir la cuenta de capitalizacion continua, ya que se
obtiene un valor futuro mayor que el obtenido con cualquier otra frecuencia de
capitalizacion.
E5.6
Jack y Jill acaban de tener a su primer hijo.Si se espera a que la universidad cueste $
150.000 anuales dentro de 18 años, ¿Cuánto deberian empezar a depositar
anualmente, al fin de cada año, con el proposito de acumular suficientes fondos para
pagar los costos del primer año de estudios al inicio del año 19? Suponga que puedan
ganar una tasa del rendimiento anual del 6% sobre su inversion.
FE=VF÷ ([ (1+i )n−1 ]
i)
FE=150000÷([ (1+0.06 )19−1 ]
0.06)
FE=150000÷( [3.025−1 ]0.06
)
FE=150000÷( 2.0250.06
)
FE=150000÷33.75
FE= $ 4444.44
Deberia empezar a depositar $ 4444.44 al fin de cada año a una tasa anual del 6% para
acumular fondos suficientes para pagar los costos del primer año de estudio al inicio
del año 19.
4. Problemas.
P5.1
Uso de una línea de tiempo El administrador financiero de Starbuck Industries evalúa
realizar una inversión que requiere un desembolso inicial de $25,000 y de la cual
espera obtener entradas de efectivo de $3,000 al final del año 1, $6,000, al final de los
años 2 y 3, $10,000 al final del año 4, $8,000 al final del año 5, y $7,000 al final del año
6.
a) Dibuje y describa una línea de tiempo que represente los flujos de efectivo
relacionados con la inversión propuesta de Starbuck Industries.
b) Utilice flechas para demostrar, en la línea de tiempo del inciso a), cómo la
capitalización para calcular el valor futuro puede utilizarse con la finalidad de medir
todos los flujos de efectivo al término del año 6.
c) Utilice flechas para demostrar, en la línea de tiempo del inciso b), cómo el
descuento para calcular el valor presente puede utilizarse con la finalidad de medir
todos los flujos de efectivo en el tiempo cero.
d) ¿En cuál de los métodos (valor futuro o valor presente) se basan con mayor
frecuencia los gerentes financieros para tomar decisiones? ¿Por qué?
a,b,c
Los gerentes financieros se basan más en el valor presente que en el valor futuro, ya
que suelen hacer decisiones ante el inicio de un proyecto, en el momento cero, como
lo hace el cálculo del valor actual.
P5.2
Cálculo del valor futuro, Sin consultar la función preprogramada de su calculadora
financiera, use la fórmula básica del valor futuro, junto con la tasa de interés, i, y el
número de periodos indicados, n, para calcular el valor futuro de $1 en cada uno de
los casos mostrados en la siguiente tabla.
P5.3
Caso Tasa de interés, Número de periodos, n Valor futuro
A 12% 2_____________(1 + 0.12)2 = $1.25
B 6 3_____________(1 + 0.06)3 = $1.19
C 9 2_____________(1 + 0.09)2 = $1.19
D 3 4_____________(1 + 0.03)4 = $1.13
Valor futuro, Usted tiene $100 para invertir. Si usted puede ganar el 12% de interés,
¿cuánto tiempo aproximadamente tardará su inversión de $100 para convertirse en
$200? Ahora suponga que la tasa de interés es exactamente la mitad: 6%. Con la mitad
de la tasa de interés, ¿el hecho de duplicar su dinero tardará el doble de tiempo? ¿Por
qué? ¿Cuánto tiempo tardará?
Caso A:
I = 12 %, VP = - $ 100; VF = $ 200
N= 6.12 años
Caso B:
I = 6 %, VP = - $ 100; VF = $ 200
N = 11.90 años
Se tarda poco menos de dos veces más que el doble de su valor. Una de las razones
para que sea más corta es que en el caso B hay más períodos durante los que se
produce la capitalización.
SE puede utilizar la " regla del 72 " para completar el problema. Basta con dividir 72
por la tasa de interés para obtener el número de años que se tardaría en duplicar un
saldo inicial.
Caso A: 72 / 12 = 6 años
Caso B: 72 / 6 = 12 años
P5.4
Valores futuros, En cada uno de los casos mostrados en la siguiente tabla, calcule el
valor futuro del flujo de efectivo único, depositado el día de hoy, al término del
periodo de depósito si el interés se capitaliza anualmente a la tasa especificada.
Valor futuro = Valor Futuro (1 + Interés Compuesto) Numero de periodos
A = Valor Futuro = $200 (1 + 5%) 20 B = Valor Futuro = $4,500 (1 + 8%)7
Valor Futuro = $200 (1+0.05)20 Valor Futuro = $4,500 (1+.08)7
Valor Futuro = $200 (1+1.05)20 Valor Futuro = $4,500 (1.08)7
Valor Futuro = $200 x 2,6532 Valor Futuro = $4,500 x 1,7138
Valor Futuro = $530,659.54 Valor Futuro = $7,712.21
C = Valor Futuro = $10,000 (1 + 9%) 10 D = Valor Futuro = $25,000 (1 + 10%) 12
Valor Futuro = $10,000 (1+.09)10 Valor Futuro = $25,000 (1+0.10)12
Valor Futuro = $10,000 (1.09)10 Valor Futuro = $25,000 (1.10)12
Valor Futuro = $10,000 x 2,3673 Valor Futuro = $25,000 x 3.1384
Valor Futuro = $23,673.74 Valor Futuro = $78,460.71
E = V F = $37,000 (1 + 11) 5 F = V F = $40,000 (1 +12%)9
V F = $10,000 (1+.011)5 V F = $40,000 (1+.012)9
V F = $37,000 (1.10)5 V F = $40,000 (1.20)9
V F = $37,000 x 1,6051 V F = $40,000 x 5,159780352
Valor Futuro = $59,588.87 Valor Futuro = $306,391.21
P5.5
Valor en el tiempo, Usted cuenta con $1,500 para invertir hoy al 7% de interés
compuesto anualmente.
a) Calcule cuánto habrá acumulado en la cuenta al término de: 1. 3 años, 2. 6 años, y
3. 9 años.
A los 3 primeros años
𝑖=7%=0.07
𝑛=3 𝑎ñ𝑜𝑠𝑉𝑃=$1,500
𝑉𝐹3 =$1,500 𝑥 1+0,07 3
𝑉𝐹3 =$1,500 𝑥 1.225
𝑉𝐹3 =$1,837.56
2) A los 6 años
𝑖=7%=0.07
𝑛=6 𝑎ñ𝑜𝑠𝑉𝑃=$1,500
𝑉𝐹6 =$1,500 𝑥 1+0,07 6
𝑉𝐹6 =$1,500 𝑥 1.2501
𝑉𝐹6 =$2,251.10
3) A los 9 años
𝑖=7%=0.07
𝑛=9 𝑎ñ𝑜𝑠𝑉𝑃=$1,500
𝑉𝐹9 =$1,500 𝑥 1+0,07 9
𝑉𝐹9 =$1,500 𝑥 1.838
𝑉𝐹9 =$2,757.69
c) Utilice los resultados que obtuvo en el inciso a) para calcular el monto del interés
ganado en: 1. los 3 primeros años (años 1 a 3), 2. los 3 años siguientes (años 4 a 6), y 3.
los últimos 3 años (años 7 a 9).
1) Interés ganado a los 3 primeros años:
𝑉𝐹3 −𝑉𝑃=$1,837.56−$1,500=$337.56
2) Interés ganado a los 3 años siguientes (años 4 a 6):
𝑉𝐹6 −𝑉𝑃=$2,251.10−$1,500=$413.54
3) Interés ganado a los últimos 3 años (años 7 a 9):
𝑉𝐹9 −𝑉𝑃=$2,757.69−$1,500=$506.59
c) Compare los resultados que obtuvo en el inciso b). Explique por qué el monto del
interés ganado aumenta en cada periodo sucesivo de 3 años.
Mientras el período de inversión sea mayor, también será mayor la cantidad total de
intereses cobrados, no es algo inesperado y se debe a la mayor cantidad de tiempo
que la suma principal de $ 1,500 es invertida. El punto más importante es que el
interés adicional obtenido por 3 años del período aumenta en cada período
subsiguiente de 3 años. El interés total para los 3 primeros años es $ 337.56, sin
embargo, para el segundo período de 3 años (de 3 a 6 años) el interés adicional del
trabajo es $ 413.54. Para el tercer período de 3 años (de 6 a 9 años), el interés
incremental es $ 506.59. Este creciente cambio en los intereses ganados se debe a la
composición, la obtención de intereses sobre los intereses ganados anteriores. Cuanto
mayor es el interés previo ganado, mayor será el impacto del interés compuesto.
P5.12
Concepto del valor presente, Conteste cada una de las siguientes preguntas.
a) ¿Qué inversión única realizada el día de hoy, ganando el 12% de interés anual,
valdrá $6,000 al término de 6 años?
𝑉𝑃= 𝑉𝐹 /(1+ 𝑖) 𝑛 𝑉𝑃= 6,000 /(1+ 0.12) 6 𝑉𝑃= 6,000 /( 1.12) 6 𝑉𝑃= 6,000/1.973822
V𝑃=$3,039.79
b) ¿Cuál es el valor presente de los $6,000 que se recibirán al término de 6 años si la
tasa de descuento es del 12%?
𝑉𝑃= 𝑉𝐹/ (1+ 𝑖) 𝑛 𝑉𝑃= 6,000/(1+ 0.12) 6 𝑉𝑃= 6,000/( 1.12) 6 𝑉𝑃= 6000/1.973822 𝑉𝑃=$3,039.78
c) ¿Cuál es el monto más alto que pagaría hoy a cambio de la promesa de pago de
$6,000 al término de los 6 años si su costo de oportunidad es del 12%?
𝑉𝑃= 𝑉𝐹/ (1+ 𝑖) 𝑛 𝑉𝑃= 6,000/(1+ 0.12) 6 𝑉𝑃= 6,000/( 1.12) 6 𝑉𝑃= 6000/1.973822 𝑉𝑃=$3,039.78
d) Compare y analice los resultados obtenidos en los incisos a) a c).
Las respuestas de las partes son las mismas, en cada caso se pide las mismas
preguntas pero de una manera diferente
P5.19
Valor futuro de una anualidad, Para cada uno de los casos de la tabla que se presenta a
continuación, conteste las preguntas planteadas.
a) Calcule el valor futuro de la anualidad suponiendo que es
1. Una anualidad ordinaria.
CASO A:
VF10 = 2,500* ((1+0.08)10 – 1/0.08) = 36,216.41
CASO B:
VF6 = 500 * ((1+0.12)6 – 1/0.12) = 4,057.59
CASO C:
VF5 = 30,000 * ((1+0.2)5 – 1/0.2) = 223,248.00
CASO D:
VF8 = 11,500 * ((1+0.09)8 – 1/0.09) = 126,827.45
CASO E:
VF30 = 11,500 * ((1+0.14)30 – 1/0.14) = 2,140,721.08
2. Una anualidad anticipada.
$36,216.41 x 1.08 = $39,113.72
$4,057.59 x 1.12 = $4,544.51
$223,248 x 1.20 = $267,897.60
$126,827.47 x 1.09 = $138,241.92
$2,140,721.08 x 1.14 = $2,440,442.03
b) Compare los cálculos realizados en las dos opciones del inciso a). Si todo lo demás
permanece idéntico, ¿qué tipo de anualidad (ordinaria o adelantada) es preferible?
Explique por qué.
Variación:
CASO A:
((39,113.72-36,216.41)/36,216.41)*100 =7%
CASO B:
((4,544.51-4,057.59)/4,057.59)*100=11.99% =12%
CASO C:
((267,897.6-223,248)/ 223,248)*100=20%
CASO D:
((138,241.92-126,827.45)/126,827.45)*100=8.99%=9%
CASO E:
((2,440,422.03-2,140,721.08)/2,140,721.08)*100=13.99%
La anualidad anticipada resulta en un mayor valor futuro en cada caso. Al depositar el
pago en el principio y no al final del año, tiene un año más de la capitalización.
Comparando la diferencia porcentual entre el valor futuro anticipado y el valor futuro ordinario ,
tenemos el siguiente orden: caso C (20%) , Caso E ( 14% ) , Caso B ( 11.99%) , Caso D ( 8.99%) y
finalmente el Caso A ( 7%) . En el cual vemos que la mejor inversión se hace en el caso C.
P5.26
Perpetuidades, Considere los datos de la siguiente tabla.
Caso Ecuación Valor
A $20,000/0.08 $250,000
B $100,000/0.10 $1,000,000
C $3,000/0.06 $50,000
D $60,000/0.05 $1,200,000
P5.27
Creación de una fundación, Al término de su curso de introducción a las finanzas, Marla
Lee se sintió tan complacida con la cantidad de conocimientos útiles e interesantes, que
convenció a sus padres, quienes son ex alumnos adinerados de la universidad a la que
asiste, de que crearan una fundación. La fundación permitiría a tres alumnos de escasos
recursos tomar el curso de introducción a las finanzas cada año, a perpetuidad. El costo
anual asegurado de la colegiatura y los libros del curso es de $600 por estudiante. La
fundación se creará realizando un pago único a la universidad. La universidad espera
ganar exactamente el 6% anual sobre estos fondos.
a) ¿Qué tan grande debe ser el pago único inicial que los padres de Marla deben hacer a la
universidad para financiar la fundación?
b) ¿Qué monto se necesitaría para financiar la fundación si la universidad pudiera ganar el
9% en vez del 6% anual sobre los fondos?
a. 6% tasa de interes
($600 x 3)/ 0.06 = $30,000
b. 9% porcentaje de tasa de interes
($600 x 3)/ 0.09 = $20,000
P5–31
Valor presente: Ingresos mixtos, Considere los ingresos mixtos de flujos de efectivo que
presenta la siguiente tabla.
a) Calcule el valor presente de cada ingreso usando una tasa de descuento del 15%.
CASO A:
Año 1: VP= $50,000(1+0,15 )1
=$43,478.26
Año 2: V P=$40,000
(1+0,15 )2=$30,245.75
Año 3: VP= $30,000(1+0,15 )3
=$19,725.49
Año 4:VP=$ 20,000
(1+0,15 )4=$11,435.06
Año 5: VP= $10,000(1+0,15 )5
=$4,971.77
Total de valor presente = $109,856.33
CASO B:
Año 1: VP=$10,000
(1+0,15 )1=$8,695.65
Año 2: VP= $20,000(1+0,15 )2
=$15,122.87
Año 3: VP= $30,000(1+0,15 )3
=$19,725.49
Año 4:VP=$ 40,000
(1+0,15 )4=$22,870.13
Año 5: VP= $50,000(1+0,15 )5
=$22,870.13
Total del valor presente = $91,272.98
b) Compare los valores presentes calculados y analícelos considerando el hecho de que los
flujos de efectivo no descontados suman un total de $150,000 en cada caso.
El flujo de caja del caso A, con un valor actual de $ 109.890, es más alto que el flujo de caja
del caso B que es de $ 91,290 debido a que los flujos de efectivo más grandes ocurren en
los primeros años del A, cuando su valor actual es mayor, mientras que los flujos de
efectivo más pequeños se reducen en el futuro. En el caso B es todo lo contrario, los
montos mayores ocurren en los últimos años y su flujo de efectivo se incrementa a través
de los años.