Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 480 s <
< s=6 241252 0 2r si rr siy (iv) Al sustituir (iv) en (ii): + =
|.|
\|+ = 622062204125 8241252rg grtr gdrgdrt( ) = + =gtg gt8 2 91
28 2s t 51 , 1 = Ejemplo 6.19: Calcule el tirante y la velocidad
media del agua a 25C, en flujo turbulento (Re
=3000)sobreunasuperficieinclinadaenunngulode =30 u
respectoalahorizontal.
UtilicelaecuacindeManningconn=0,01ylapendienteporsertanpronunciadasedebe
determinar poru sen = S . Datos:T = 25 C (temperatura del agua), Re
= 3000, =30 uy n=0,01 Se Pide: Calcula el tirante (o profundidad),
y del canal Respuesta: En la Tabla A.1 del apndice A se determina
la viscosidad cinemtica del agua a 25 C. Donde s m x / 10 897 , 02
6 = u . La pendiente del fondo es: ( ) 5 , 0 30 = = S sen SEl nmero
de Reynolds es: h hhRxVRVVR310 69 , 2 30003000 Re= = = =uu(i)
Igualando la Formula de Manning (ec. 6.121) con (i): Captulo 6:
Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 481 ( ) = = = hhhhRxRRxS
RnV3213232132 10 69 , 25 , 001 , 01 10 69 , 2 1 ( ) = = =
hhhhRxRRxS RnV3213232132 10 69 , 25 , 001 , 01 10 69 , 2 1 m x R x
Rh h3 53510 223 , 2 10 806 , 3 = =Comoelproblemadice
queesunasuperficieinclinada,sedebeasumirqueesuncanalmuy
ancho(seccintransversal,e,delaTabla6.12),dondeelradiohidrulicoesigualala
profundidad, es decir: ( ) mm m x R yh22 , 2 10 223 , 23 = =La
velocidad media del agua es: s m V / 21 , 1 =
Ejemplo6.20:EnelcanaltrapezoidaldelaFigura
E6.21,determineelanchodelfondob,elngulode inclinacinu
,elpermetroreayradiohidrulico ptimo, como funcin de la profundidad
y, requerido para transportar un caudal Q. Use la ecuacin de
Manning. Datos:Ver Figura E6.21 Se Pide: b, u , P y A Respuesta:
Para resolver ste problema se debe buscar una relacin del permetro
como una funcin de la profundidad y, posteriormente, minimizar
dicha funcin.
ElreadelaseccintransversalyelpermetrodelcanaltrapezoidaldelaFiguraE6.21son
respectivamente: 22my by Atgyby A + = + =u(i) Donde, mtg1=
uFiguraE6.21:Canaltrapezoidal del ejemplo 6.20 b u m y1 Captulo 6:
Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 482 221 211 2 m y b Ptgy b
P + + = + + =u(ii) Despejando b de (ii) y sustituyendo en (i) se
tiene:( ) ( )2 2 2 21 2 1 2 y m m Py A my y m y P A + + = + + =
(iii) Por otra parte, el caudal mediante la ecuacin de Manning (ec.
6.128) es: 2132S RnAQh= (iv) Como PARh = , la ecuacin (iv) se puede
escribir de la siguiente forma: 523235212132KP APASnQSPAnAQ = =
|.|
\|= (v) DondectteSnQK = =21 Igualando (v) y (iii): ( )2 2521 2 y
m m Py A KP + + = =Derivando P respecto a y: ( )( )0521 2 21 2
252532253=+ +=cc + + +cc=ccy KPy m m PyPy m m P yyPyPKPDonde: ( )y
m m P + =21 2 2 (vi)
ParacalcularlapendienteoptimasederivanuevamenteP,perorespectoam,yseigualaa
cero: + =||.|
\|+=cc1120 11222 2mmmmymP33= mLuego: = = = 333 1mtgu = 60
uCaptulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 483
Sustituyendo m en (vi): y P 3 2 =Sustituyendo P y m en (ii) y
(iii): y b332 =23y A =El radio hidrulico es: = =yyPARh3 232y Rh5 ,
0 =
Ejemplo6.21:Unacanaltrapezoidalconpendienteensuscostados2a1(horizontal2y1
vertical) ha de conducir 18 m3/s de agua a 25C, con una pendiente
de001 , 0 = S . Determine el ancho del fondo, la profundidad y la
velocidad para que tenga una seccin hidrulicamente ptima si n =
0,025.Datos:T = 25 C (temperatura del agua), 21= u tg , Q = 18
m3/s, S=0,001 y n = 0,025 Se Pide: b (ancho del fondo), y
(profundidad) y V (velocidad media del agua) Respuesta: Al igual
que en ejemplo anterior, se debe buscar una relacin del permetro
como una funcin de la profundidad y, para posteriormente minimizar
dicha funcin.
ElreadelaseccintransversalyelpermetrodelcanaltrapezoidaldelaFiguraE6.21son
respectivamente: 222y by Atgyby A + = + =u(i) y b Ptgy b P 5 211
22+ = + + =u(ii) Donde m = 2 Despejando b de (ii) y sustituyendo en
(i) se tiene:( ) ( )2 25 2 2 2 5 2 y Py A y y y P A + = + = (iii)
Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 484 En el
problema anterior se demostr, que de la la ecuacin de Manning (ec.
6.128) se tiene una relacin entre el rea y el permetro. Esto es:
52KP A= (iv) DondectteSnQK = =21 Igualando (iv) y (iii): ( )2525 2
2 y Py KP + =Derivando P respecto a y: ( )( )0525 2 2 25 2 2
2525353= += + + =y KPy PdydPy P ydydPdydPKPDonde resulta que: ( ) =
+ 0 5 2 2 2 y P ( ) y y P 944 , 4 1 5 4 = = (v) Ntese que en ste
problema la pendiente esta dada, por lo que no se debe buscar la
pendiente optima. Sustituyendo (v) en (ii) y despejando b, resulta:
( ) + = y b y 5 2 1 5 4 ( ) y y b 472 , 0 4 5 2 = =Sustituyendo b
en (i) y simplificando: ( ) + =22 4 5 2 y yy A ( )2 2472 , 2 2 5 2
y y A = =El radio hidrulico es: ( )( )= =yyPARh1 5 42 5 22y Rh5 , 0
=Sustituyendo A y Rh en (iv) y despejando y, se obtiene que: ( )(
)( )( )833221213225 , 0 2 5 25 , 02 5 2
= =SnQy S ynyQSustituyendo valores numricos, se obtiene que la
profundidad (o tirante) es: m y 392 , 1 =Captulo 6: Flujo
Incompresible en Tuberas y Canales 485 El ancho de la base es: m b
657 , 0 =La velocidad se obtiene por continuidad: ( )= = =22 5 2
yQAQV VA Q s m V / 759 , 3 = Ejemplo 6.22: Determine el radio de un
canal semicircular de metal corrugado, necesario para conducir 3000
L/s a una distancia de 1 km con una perdida de carga de 2m. Datos:Q
= 3000 L/s (3 m3/s) L = 1 km (1000 m), longitud del canal hf = 2 m,
perdida de carga Se Pide: R (radio del canal) Respuesta:
EnlaTabla6.13,seobtieneelcoeficientedeManningparametalcorrugado,quees:n=
0,022.Para flujo uniforme, las prdidas son iguales a la inclinacin,
por lo que la pendiente ser: 002 , 01000222 12 1= == = = SLy yS m y
y hf El rea y el permetro del semicrculo son: R p yRA tt= =22 El
radio hidrulico para un semicrculo es: 222RRRRPARh h= = =tt El
caudal mediante la ecuacin de Manning es: Captulo 6: Flujo
Incompresible en Tuberas y Canales 486 8321322132221322 22 21
|.|
\|= |.|
\|= =SnQR SR RnQ S RnAQhtt Sustituyendo valores numricos: m R
1,162 = Ejemplo 6.23: Calcule el gasto a travs del canal, cuya
seccin se muestra en la Figura E6.22. El flujo se puede considerar
permanente y uniforme y el canal tiene una pendiente de 0,001 y la
profundidad en el aliviadero y = 3 m. Datos:S = 0,001 y = 3 m n1 =
0,025; n2 = 0,035 Dimensiones, ver Figura E6.22 Se Pide: Descarga
(o caudal), Q Respuesta:
Loprimeroesdividirlaseccintransversalensub-reasquetenganigualcoeficientede
Manning. En ste caso, las divisiones de la seccin transversal se
muestran en la Figura E6.23. De las Figuras E6.22 y E6.23 se
obtiene que el rea y permetro de cada seccin: Figura E6.23: Divisin
de la seccin transversal del canal y A1 A2 l1 l2 l4 l3 l5 l6l7 l8
Figura E6.22: Canal del ejemplo 6.23 1 5 m 1 1 1 12 m 50 m 1 1 y n
= 0,025 n = 0,035 Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y
Canales 487 ( ) ( )()( )()()21766 215 , 15523 322 3222 12 52 25m
Aylyll lA = + ++= + ++=()( )()()2284 25 , 15423 350 32m Aylyl A = +
= + =m P l l l P 38 , 30 5 5 12 8 812 2 2 23 2 1 1= + + + + = + +
=m P l l P 24 , 54 3 3 5022 25 4 2= + + = + =Los radios hidrulicos
de cada seccin son: m RPARh h12 , 538 , 305 , 1551 ,111 ,= = =m
RPARh h85 , 224 , 545 , 1542 ,222 ,= = =El caudal mediante la
ecuacin de Manning es: ( ) ( ) ( ) ( )2132213221322 ,22 21321
,11001 , 0 85 , 2035 , 05 , 154001 , 0 12 , 5025 , 05 , 155|.|
\|+ |.|
\|= + = S RnAS RnAQh h smQ3976,81 = Ejemplo 6.24: Calcule el
tirante (profundidad) del aliviadero, y, en el canal del ejemplo
6.23, cuando ste descarga 1200 m3/s. Datos:S = 0,001 Q = 1200 m3/s
n1 = 0,025; n2 = 0,035 Dimensiones, ver Figura E6.22 Se Pide:
Descarga (o caudal), Q Respuesta: En ste problema se presentan dos
situaciones. Cuando0 s yel canal se reduce a un trapecio
debase12mynohayflujoporelaliviadero.Cuando0 > y
hayflujoporelcanaly aliviadero. Se asumir en principio que0 > y
, por tanto, de las Figuras E6.22 y E6.23 se obtiene que: Captulo
6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 488 ( ) ( )( )( )( )(
)21766 215 , 0 22 85222222 12 52 25y y Ay yyylyll lA + + = + ++= +
++=( )( )( )( )2284 25 , 0 502502y y Ay yyylyl A + = + = + =( ) ( )
y P y y l l l P 2 ,14 26 5 5 12 5 512 2 2 23 2 1 1+ = + + + + + + =
+ + =y P y y l l P 2 50 5022 25 4 2+ = + + = + =Los radios
hidrulicos de cada seccin son: yy yRPARh h2 14 , 265 , 0 22 8521
,111 ,++ += =yy yRPARh h2 505 , 0 5022 ,222 ,++= =La ecuacin de
Manning para secciones compuesta es: + =21322 ,22 21321 ,11S RnAS
RnAQh h ( ) ( )21322 221322 2001 , 02 505 , 0 50035 , 05 , 0 50001
, 02 14 , 265 , 0 22 85025 , 05 , 0 22 851200||.|
\|++||.|
\| ++||.|
\|++ +||.|
\| + +=yy y y yyy y y y Simplificando: ( )( )( )( )32352323522
50 035 , 05 , 0 502 14 , 26 025 , 05 , 0 22 8537947,332yy yyy
y+++++ += (i) La ecuacin (i) se resuelve numricamente mediante el
siguiente cdigo de MatLab: % Solucin Numrica de la ecuacin del
Ejemplo 6.24 %--------------------------------------------------
f=inline('(((85+22*y+0.5*y^2)^(5/3))/(0.025*((26.14+y*(2^.5))^(2/3))))+(((50*y+0.5*y^2)^(5/3))/(0.035*((50+y*(2^.5))^(2/3))))-37947.332');
y = fzero(f,3) %Calcula el cero de la funcin f y se almacenan en y
La solucin se almacena en la variable y, y el resultado es: m y
4,05 = Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 489
Ejemplo 6.25: Dibuje la curva de energa especfica correspondiente a
un canal rectangular de ancho 1 m y que maneja un caudal de 2,5
m3/s. Cunto vale la perdida de energa en un salto hidrulico cuyo
tirante aguas arriba es de 0,5m?. Cunto es la longitud del salto?
Datos:b = 1 m Q = 2,5 m3/s y1 = 0,5 m Se Pide: Graficar y vs E;
determine del salto hf Respuesta: Primeramente se calcula la
descarga (o caudal) por unidad de ancho del canal: s m qms mbQq / 5
, 21/ 5 , 223= = =La energa especfica: ( )( )2 22223189 , 08 , 9 25
, 22 yy Eyygyqy E + = + = + = (i)
EnunahojaExcelsegraficalaecuacin(i).Losdatosparaconstruirlagrficadeenerga
especfica de la Figura E6.24, se muestran en la Tabla E6.19. Para
calcular la prdida de energa, se debe calcular la profundidad (o
tirante) aguas abajo del canal. Para esto se calcula primero el
nmero de Froude aguas arriba. 036912150 3 6 9 12
15E[m]y[m]FiguraE6.24:Graficadeenerga especfica del ejemplo 6.25
Tabla E6.19: Datos para la grfica de la energa especfica E [m]y
[m]E [m]y [m] 14,32230,152,07972,00 8,17190,202,55102,50
5,35200,253,03543,00 3,84310,303,52603,50 2,95310,354,01994,00
2,39300,406,00896,00 1,77550,508,00508,00 1,48580,6010,003210,00
1,29820,8012,002212,00 1,31891,0014,001614,00 1,64171,50 Captulo 6:
Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 490 s m Vms myqV / 55 , 0/
5 , 21211= = =( )2,2595 , 0 / 8 , 9/ 512111= = = Fm s ms mgyVFEl
tirante aguas abajo se calcula mediante la ecuacin (6.150), la cual
al despejar 2yqueda: ( ) ( ) m ymFyy 1,367 1 259 , 2 8 125 , 01 8
1222 2112= |.|
\| + = + =La perdida de energa se calcula mediante la ecuacin
(6.152): ( ) ( )( )( )== =m mm my yy yE E hf5 , 0 367 , 1 45 , 0
367 , 1431 231 22 1m hf0,238 =La longitud se estima mediante la
ecuacin (6.154): 617 515413 312 21 1210 8,7771 10 7,374310 2,5160
10 4,4602 4379 , 0 2,2670 1,1778F x F xF x F x F FyLs + + + = =
4,5172yLsm Ls6,17 =
Ejemplo6.26:Determinelasdosprofundidadesquedebeteneruncanalrectangularque
maneja un caudal por unidad de ancho de 3 m2/s, si la energa
especfica es de 2 m. Datos:q = 3 m2/s E = 2 m Se Pide: y1, y2
Respuesta:
Sustituyendolosvaloresnumricosenlaecuacindeenergaespecficaysimplificandose
tiene: ( ) = + = + =2 22220,45928 , 9 2322 yyyygyqy E0 0,459 2
0,459 22 3 3 2= + = y y y y (i) Captulo 6: Flujo Incompresible en
Tuberas y Canales 491 El polinomio de la ecuacin (i) se resuelve
mediante el siguiente cdigo en MatLab: % Solucin del polinomio
y^3-2y^2+0,459=0, ejemplo 6.26
%------------------------------------------------------ Coef=[1 -2
0 0.4592]; y = roots(Coef) Las races del polinomio son: 4343 , 0 ,
0,5659 , 8685 , 1 = = = y y yComo la solucin no puede ser negativa
se tiene que: m y m y 0,5659 , 8685 , 12 1= = Ejemplo 6.27: Un
canal rectangular fabricado con hormign de 25 m de ancho,
transporta 40 m3/s de agua con una profundidad de 1,5 m. Sobre el
canal se construye un puente soportado
porcincopilaresdehormignde1mdeanchocadauno(VerFigura6.25).Determinela
profundidaddelaguadebajodelpuente.Supongaunflujosinfriccinenlavecindaddelos
pilares del puente. Datos:b1 = 25 m Q = 40 m3/s y1 = 1,5 m h = 1 m
(ancho pilares) Se Pide: y2 Respuesta: Comoelflujoessinfriccin,y
asumiendoquelapendientedel canalespequea,laecuacinde energa se
reduce a: 22222 212112 2 gyqygyqy + = + (i) El caudal por unidad de
ancho en 1 y 2 son, respectivamente: s m qms mbQq / 6 , 125/
4021311= = =Figura E6.25 Ejemplo 6.27 Vista de planta 25 m 1,5 m 1
m Vista lateral y2 1 2 Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y
Canales 492 ( ) ( )s m qms mh bQbQq / 21 5 25/ 4052231 22= ==
=Donde: m h b b 20 51 2= =Sustituyendo los valores de 1y , 1qy 2qen
(i) se obtiene que: ( )( )( )( )( ) + = + = +2222222220,2041,5588 ,
9 225 , 1 8 , 9 26 , 15 , 1yyyy0 0,204 1,5582232= + y y (ii)
Donde,mgyqy E 558 , 1221211 1= + =La solucin de la ecuacin se
resuelve con el siguiente cdigo en MatLab % Solucin del polinomio
y^3-1,558y^2+0,204=0, ejemplo 6.27
%---------------------------------------------------------- Coef=[1
-1.558 0 0.204]; y=roots(Coef) Las races de ecuacin (ii) son: 3288
, 0 , 0,4242 , 4626 , 12 2 2 = = = y y
yLasdosracespositivassonlasquepudierandarla solucin al problema.
Paraverificareltipodeflujoen1,secalculala profundidad crtica (Ec.
6.136) m ygqyc c0,6398 , 96 , 11312 31211= ||.|
\|=||.|
\|=Como 1y esmayorque 1 cy elflujoen1es subcrtico. m ygqyc
c0,7428 , 922312 31222= ||.|
\|=||.|
\|= y yc1 E y2 y1 E1=E2=Ec q2 q1 yc2 qc y2 yc
FiguraE6.26:Grficadeenerga especficaparadiferentesvalorde q
alrededor del pilar Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y
Canales 493 Luego, para que el flujo en 2 sea supercrtico, debe
pasar primero por el punto crtico 2 cy . De acuerdo al grfico de la
Figura E6.26 se puede notar que la solucin0,42422 = ycorresponde a
flujo supercrtico y la solucin4626 , 12 = ycorresponde a flujo
subcrtico. Para verificar si el flujo es subcrtico o supercrtico de
debe calcular el ancho crtico, ya que si el ancho 2bes mayor que el
ancho crtico cb , el flujo ser subcrtico y si 2bes menor que el
ancho crtico, el flujo ser supercrtico. Como el canal es
rectangular, la energa especfica crtica es segn la ecuacin (6.137):
( ) m y E y y E E Ec c c c c1,039 558 , 13232232 1= = = = = =La
velocidad crtica para un canal rectangular, segn la ecuacin
(6.138), es: ( )( ) s m V gy Vc c c/ 3,19 039 , 1 8 , 9 = = =El
caudal crtico por unidad de ancho es: ( )( ) s m q y V qc c c c/
3,314 039 , 1 3,192= = =Finalmente al ancho crtico ser: m
bqQbbQqccccc12,073,31440= = = =Como el ancho en 2, 2b , es mayor
que el ancho crtico, cb , se tiene que el flujo es subcrtico, por
lo que la solucin ser: m y 4626 , 12 =
Ejemplo6.28:Uncanalrectangulares fabricado con hormign sin acabado,
tiene unancho25myunaalturade3m(ver
FiguraE6.27).Elcanalcuandotransporta
45m3/sdeaguaatemperaturaambiente tieneunprofundidadde1,5m.Enste
canalsepiensaincorporarotroramalde agua de 40 m3/s, para un total
de 85 m3/s. Verificarsielcanalpuedemanejarel caudal de agua de 85
m3/s propuesto?. Por otra parte, en un punto del canal, pasa una
tuberadeelectricidadqueestaa1,7m desde la base del canal; por
tanto, si con el Figura E6.27 Ejemplo 6.28 Corte A-A h=3 m 25 m y1
hc = 2 m y1 y2 z hc = 1,7 m Pared lateral A A Tubera electricidad
Tubera electricidad Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y
Canales 494 nuevo caudal manejado el agua supera la altura de la
tubera, hay riesgo que el agua entre en la
tuberaypuedadaarelcableadodeelectricidad.Comosesabe,cuandosemodificala
seccin transversal del canal se produce un aumento o disminucin de
la profundidad de canal. Para ste caso, se requiere disminuir la
profundidad de agua de tal forma que sta no alcance
latuberadeelectricidad.Sedeberealizarunaexcavacinounrelleno(protuberancia)del
canalparaproducirladisminucindelaprofundidaddelagua?Cuantosedebeexcavaro
rellenar?. Se puede asumir un flujo sin friccin. Datos:b = 25 m h =
3 m Qo = 45 m3/s Q = 85 m3/s yo = 1,5 m (profundidad cuando el
flujo es Qo) hc = 1,7 m Se Pide: Verificar que cuando Q = 85 m3/sh
y > = |.|
\|= =2 2 22 2222222221 gy y qgy yqFgyyqgyVF3222gy q > (v)
Luego: ( )m ygqy 1,0578 , 94 , 32312 31222s ||.|
\|=||.|
\|sSustituyendo (v) en (iii) y simplificando: + = + = + + = + z
y z y E zgygyygyqy2 2 1 22322 212112336 , 2232 2 22336 , 2 y z =
(vi) 31,57342zz y + = + (vii) Captulo 6: Flujo Incompresible en
Tuberas y Canales 498
Comosenotaenalecuacin(vii)elniveldelasuperficiedelaguaenelpunto2,requerida
paragarantizanlatransicindesubcrticoasupercrticodependedelaalturadela
protuberancia z. La curva de la ecuacin (vii) se superpone en la
grfica de la Figura E6.28 y el punto de intercepcin da el punto
crtico. Desde el punto de vista analtico, al sustituir 2yen (vi) se
obtiene quem z 0,775 = , por lo que la altura de transicin est en(
) m y zcrtoco1,8322= +(ver Figura E6.28).
Luegoparadeterminarelvalorlmitedelaalturadelasuperficiedelagua,esdecirque
m y z 7 , 12 < + , se realiza el siguiente cambio a la ecuacin
(iv): ( ) | | | | 0 0,5898 2,36 7 , 1 0 0,5898 2,3622 23222 2 232=
+ + = + + + y y y y y y z y = + 0 0,5898 0,6622y m y 0,9452
=Sustituyendo 2yen (iv), se obtiene que la protuberancia debe tener
una altura de: m z 0,75
sComentario:Tambinsepuedelograrunadisminucindelaalturadelasuperficiedelagua
disminuyendo el ancho del canal, para producir un flujo
supercrtico. Ejemplo 6.29: Un canal rectangular fabricado con
hormign sin acabar, tiene un ancho de 4 m y una pendiente en el
fondo de 0,0009. El canal conduce 15 m3/s, y en cierta seccin a lo
largo
delcanaltieneunaprofundidadde2,2m.Considerequeelflujoesgradualmentevariadoy
determine el perfil de la superficie del libre en un tramo de 300 m
a lo largo del canal. Datos:b = 4 m S = 0,0009 Q = 15 m3/s y0 = 2,2
m L = 300 m Se Pide: Perfil de la superficie libre a lo largo de
300 m del canal. Respuesta: Para resolver el problema mediante el
mtodo de paso directo se sigue el siguiente algoritmo de clculo.
Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 499 1.Se
calcula 0Vmediante la ecuacin de continuidad: ( )( )s m Vb yQV /
705 , 14 2 , 215000= = =Tambin se calcula el Froude para verificar
el tipo de flujo: ( )( )s m FgyVF / 0,3672 , 2 8 , 9705 , 10000= =
== El flujo es subcrtico
2.Sedividelalongituddeltramodelcanaldondeseconstruirelperfilsuperficial.En
ste caso se tomaran 30 divisiones: m xLx 103030030= A = = A30 , , 2
, 1 , 0 = A = i para x i xi 3.Se supone un valor 1 + iy4.Se calcula
1 + iV11++=iii iyyV V5.Secalcula hR yn
.Comoelcanalesfabricadotododehormignsinacabar,el coeficiente de
Manning es constante y se obtiene la Tabla 6.13 que014 , 0 = = n n
. Por otro lado el canal es de seccin transversal constante, por lo
queb b = . Luego y by bRPARh h2 += =Donde 21 ++=i iy
yy6.Secalculaelvalordelapendiente, 1 + iS
.Comolapendientedelcanalesconstantese tiene que0009 , 01= =+S Si
7.Se calcula( ) y SE mediante la ecuacin de Manning: ( )(
)3421222hi iERV Vny S||.|
\| +=+ Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 500
8.Se calcula( )ES S mediante la siguiente ecuacin: ( ) ( ) ( ) y S
y S S SE E = 9.Se calcula 1 + ixcon la ecuacin: ( )Eiiiii iS
SygVygVx x||.|
\|+ ||.|
\|++ =+++2 2'21211 10.Se calcula el error en la suposicin de 1 +
iy : 100'11 1xxx xerrorii i++ + =11.Se repite desde (3) hasta (11)
mientras que001 , 0 > error . 12.Los pasos de (3) hasta (11) se
repiten para cada valor de xi.
AcontinuacinsemuestraelcdigocomputacionalenMatlabdondeseimplementael
algoritmo anterior. % Grfica del perfil superficial del Ejemplo
6.29 %------------------------------------------------ %DATOS: b =
4; %[m] S = 0.0009; Q = 15; %[m^3/s] yo = 2.2; %[m] L = 300; %[m]
n=0.014;%Coeficiente de Manning % 1) Se calcula Vo Vo=Q/(b*yo);
v(1)=Vo; y(1)=yo; x(1)=0; % 2) Se calcula dx dx = L/30; % Se inicia
el primer ciclo para cada xi for i=1:30, x(i+1)=i*dx; %3) Se supone
y(i+1) y(i+1)=1.05*y(i); % Se parte con la altura anterior %Se
inicial el ciclo repetitivo para calcular yi error = 100; j=0;
while error>0.001, %4) Se calcula v(i+1)
v(i+1)=v(i)*(y(i)/y(i+1)); %5) Se calcula el radio hidrulico y
coeficiente de Manning yp=0.5*(y(i)+y(i+1)); Rh=(b*yp)/(b+2*yp);
%6) Se calcula la pendiente del fondo. S es constante Captulo 6:
Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 501 %7) Se calcula la
pendiente del nivel de energa
Se=(n*n*0.5*(v(i)*v(i)+v(i+1)*v(i+1)))/(Rh^(4/3)); %8) Se calcula
(S-Se) SSe=S-Se; %9) Se recalcula x(i+1)
E1=y(i)+(v(i)*v(i))/(2*9.8); E2=y(i+1)+(v(i+1)*v(i+1))/(2*9.8);
xx=x(i)+(E2-E1)/SSe; %10) Se calcula el error
error1=100*abs((x(i+1)-xx)/x(i+1)); % Se debe repetir el ciclo
hasta que y(i+1) satisfaga x(i+1) j=j+1; if j==1 yy=y(i+1);
y(i+1)=1.1*y(i); error=error1; else yy1=y(i+1);
yy1=yy1-((yy-yy1)*error1)/(error-error1); yy=y(i+1); y(i+1)=yy1;
error=error1; end end end fid=fopen('Respuesta_EJ6-29.txt','w');
fprintf(fid,' x [m]y[m]V[m/s] Froude\n'); for i=1:31,
fprintf(fid,'%6.2f
%8.4f%8.4f%8.4f\n',x(i),y(i),v(i),v(i)/((2*9.8)^(1/2))); end
%Grafica la curva de la superficie figure(1); plot(x,y); grid on;
xlabel('x [m]'); ylabel('y [m]'); axis ([0 300 2.18 2.34]);
%Grafica la curva de velocidad figure(2); plot(x,v); grid on;
xlabel('x [m]'); ylabel('V [m/s]'); axis ([0 300 1.6 1.72]);
fclose(fid);
Elcdigocomputacionalresuelveelproblemamedianteelmtododepasodirectoylos
resultadossonalmacenadosenunarchivodenombreRespuesta_EJ6-29.txt,cuyos
datos se muestran en la Tabla E6.22. El perfil superficial se
grafica con los datos de la Tabla E6.22, en el mismo cdigo, y se
presenta en la Figura E6.29. Tambin se grafica la velocidad a lo
largo del canal y se muestra en la Figura E6.30. Solucin
alternativa:
Alternativamente,steproblemasepuederesolverutilizandoelmtododeintegracin
directa, donde la ecuacin que se debe integrar es la ecuacin
(6.171). Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales
502
||.|
\|
||.|
\|= yyhsoodyARnQSgAQ bx x232321c(i) Como:b bs = ,by A = ,y b P 2
+ = , y bbyRh2 += ,0 =oxSe tiene: Figura E6.29: Perfil superficial
TablaE6.22:Tabladevaloresgeneradopor
elcdigocomputacional,lacualseutiliza para graficar la superficie
libre y la velocidad a lo largo de x x [m]y[m]V[m/s] Froude 0.00
2.20001.70450.3850 10.00 2.20421.70130.3843 20.00
2.20851.69800.3835 30.00 2.21281.69470.3828 40.00
2.21711.69140.3821 50.00 2.22141.68810.3813 60.00
2.22581.68480.3806 70.00 2.23021.68150.3798 80.00
2.23461.67820.3791 90.00 2.23901.67480.3783 100.00
2.24351.67150.3775 110.00 2.24801.66810.3768 120.00
2.25251.66480.3760 130.00 2.25711.66140.3753 140.00
2.26171.65810.3745 150.00 2.26631.65470.3738 160.00
2.27091.65130.3730 170.00 2.27561.64790.3722 180.00
2.28031.64450.3715 190.00 2.28501.64120.3707 200.00
2.28971.63780.3699 210.00 2.29451.63440.3692 220.00
2.29931.63100.3684 230.00 2.30411.62760.3676 240.00
2.30891.62410.3669 250.00 2.31381.62070.3661 260.00
2.31871.61730.3653 270.00 2.32361.61390.3645 280.00
2.32851.61050.3638 290.00 2.33351.60700.3630 300.00
2.33851.60360.3622 Figura E6.30: Velocidad a lo largo del canal
Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 503 ( )| |(
)
+=
||||||.|
\|||.|
\|+
||.|
\|= y yyodyyyyx dyy bbybynQSby gbQx xo2 , 2310343232322
0,001090009 , 01,43495 121 (ii) La ecuacin (ii) se integra para los
diferentes valores de ix . Donde los resultados se muestran la
Tabla E6.23 y fueron obtenidos mediante el siguiente cdigo
computacional desarrollado en MatLab. % Clculo del perfil
superficial del Ejemplo 6.29 % mediante integracin directa.
%------------------------------------------------ y(1)=2.2; x(1)=0;
dx = 300/30; % Se inicia el primer ciclo para cada xi for i=1:30,
x(i+1)=i*dx; y(i+1)=1.05*y(i); % Se parte con la altura anterior
%Se inicial el ciclo repetitivo para calcular yi error = 100; j=0;
while error>0.001, xx=quad8('f1',y(1),y(i+1)); %Se integra
numricamente la ecuacin error1=100*abs((x(i+1)-xx)/x(i+1)); %Se
calcula el error j=j+1; if j==1 yy=y(i+1); y(i+1)=1.1*y(i);
error=error1; else yy1=y(i+1);
yy1=yy1-((yy-yy1)*error1)/(error-error1); yy=y(i+1); y(i+1)=yy1;
error=error1; end end end fid=fopen('Respuesta_EJ6-29b.txt','w');
fprintf(fid,' x [m]y[m]x [m]y[m]\n'); for i=1:15,
fprintf(fid,'%6.2f %8.4f%8.2f%8.4f\n',x(i),y(i),x(i+16),y(i+16));
end fprintf(fid,'%6.2f %8.4f\n',x(16),y(16));
Lafuncinf1llamadaporelcomandoquad8contienelafuncindelintegrandodela
ecuacin (ii), la cual se codifica en MatLab mediante las siguientes
instrucciones: Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales
504 function y = f1(x) y1=1-(1.42495./x.^3);
y2=0.0009-(0.00109*((2+x).^(4/3)))./(x.^(10/3)); y=y1./y2;
ComosepuedenotarenlaTablaE6.23,los valores obtenidos mediante
integracin directa y el mtodo de paso directo son muy similares,
porloquecualquieradelosdosmtodosson iguales de precisos.
Sedebedestacarqueambosprocesossehan
resueltoenformaiterativa,yaquesehan propuestolosvaloresde ix ydehan
determinadolosvaloresde iy deunamanera
iterativaquesatisfagaelvalorde ixestablecido.
Ejemplo6.30:Elaguaa25CquesaledelacompuertadelaFiguraE6.31seuneconun
canaltrapezoidalquetieneunapendienteinvertidadeS=-0,001.Lacompuertatieneuna
aberturam y 5 , 11 =y un ancho en el fondo del canalm b 251 = . Al
final del canal el ancho de la base es dem bf10 = .El flujo sale de
la compuerta con una velocidad de 10 m/s. Determine el perfil
superficial a lo largo del canal y de velocidad. Datos:Ver Figura
E6.31 Figura E6.31 Ejemplo 6.30 y1 S = 0,001 Hormigo, n = 0,014 b1
= 25 m 80 m50 m150 m bf = 10 m Vista Superior A A = 60 u = 60
uCorte A-A bs b y TablaE6.23:Tabladevaloresobtenidos mediante
integracin directa x [m]y[m]x [m]y[m] 0.00 2.2000160.002.2712 10.00
2.2042170.002.2759 20.00 2.2085180.002.2806 30.00
2.2128190.002.2853 40.00 2.2172200.002.2900 50.00
2.2215210.002.2948 60.00 2.2259220.002.2996 70.00
2.2303230.002.3045 80.00 2.2347240.002.3093 90.00
2.2392250.002.3142 100.00 2.2437260.002.3191 110.00
2.2482270.002.3240 120.00 2.2527280.002.3290 130.00
2.2573290.002.3340 140.00 2.2619300.002.3390 150.00 2.2665 Captulo
6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales 505 Se Pide: Perfil de
la superficie libre a lo largo del canal Respuesta: Para resolver
el problema, se utilizar el mtodo paso directo, ya que la seccin
transversal del
canalcambiaalolargodelcanal.Luego,comolaseccintransversalA,elpermetroP,el
anchodelfondodelcanalb,yelanchoenlasuperficielibrebsdependendelalongituddel
canal, se deben definir la relacin matemtica de cada una de stas
variables. El ancho en el fondo del canal y a lo largo del canal
es: < s< s < s=280 130 10130 801034980 0 25x six si xx sib
(i) La parte donde b varacon x, esta dada por una lnea recta, la
cual se obtiene de la siguiente manera: ( ) x b x bb xb xj ji
i10349 8080 13025 102510 , 13025 , 80 = |.|
\|= )`= == = La altura superficial es: 32 2 yb btgyb bs s+ = +
=u Al sustituir (ii) en bs: < s +< s + < s +=280
1303210130 80321034980 03225x siyx siyxx siybs(ii) La seccin
transversal es: ( )3602 2 2yby Atgybytgyby A + = + = + =u(iii) El
permetro es: Captulo 6: Flujo Incompresible en Tuberas y Canales
506 ( )y b P y btgy b P34311 211 22 2+ = + + = + + =u(iv) Por otra
parte, el caudal ser: ( )( )( )( )212 211 1 138,799605 , 15 , 1 25
m Atg tgyy b A = + = + =u ( )( ) s m Q s m m V A Q / 387,99 / 10
799 , 383 21 1= =
=Seaplicaelalgoritmodepasodirectopresentadoenelejemplo6.30,dondesedesarrollael
siguiente cdigo computacional en MatLab: % Grfica del perfil
superficial del Ejemplo 6.29
%------------------------------------------------ %DATOS: Vo = 10;
%[m/s] S = -0.001; %El signo negativo significa que la pendiente es
inversa al flujo yo = 1.5; %[m] x1 = 80; %[m] x2 = x1+50; %[m] x3 =
x2+150; %[m] bo = 25; %[m] n=0.014;%Coeficiente de Manning % Se
calcula el caudal Ao=bo*yo+(1/sqrt(3))*yo*yo; Q = Vo*Ao; % 1) Se
calcula V1 v(1)=Vo; y(1)=yo; x(1)=0; ys(1)=0; %Altura de un punto
en el plano del fondo ex x=0 % 2) Se calcula dx dx = x3/56; % Se
inicia el primer ciclo para cada xi for i=1:56, x(i+1)=i*dx;
ys(i+1)=-S*x(i+1); %Altura de un punto en el plano del fondo en
x(i+1) %3) Se supone y(i+1) y(i+1)=1.05*y(i); % Se parte con la
altura anterior %Se inicial el ciclo repetitivo para calcular yi
error = 100; j=0; while error>0.001, %4) Se calcula v(i+1)
v(i+1)=v(i)*(y(i)/y(i+1)); %5) Se calcula el radio hidrulico y
coeficiente de Manning yp=0.5*(y(i)+y(i+1)); if
((x(i+1)>=0)&(x(i+1)x1)&(x(i+1)
