Upload
giomar-ozaita
View
216
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
CAPÍTULO 6 HETEROCEDASTICIDAD
UNSCH
24 de octubre de 2012
Econ. Juan A. Huaripuma Vargas
CONTENIDO
Naturaleza
Estimación
El Método de Mínimos Cuadrados Generalizados
Consecuencias de utilizar el MMCO ignorando la Heterocedasticidad
Detección de la Heterocedasticidad
Medidas correctivas
NATURALEZAEspecificación del Modelo Econométrico …
Dado el siguiente modelo:
Donde: ,
iii XY 221
0),/( jiji XXE 0)/( ii XE
22 )/( iii XE
Covarianza
Varianza
Media
Es fija !!
),0(~ 2 NIDi
iX 2
Distribución normal e independiente
NATURALEZATipos de perturbación …
22 )/( ii XE 22 )/( iii XE
Caso heterocedasticidadCaso Homcedasticidad
NATURALEZAHeterocedasticidad existe por diversas razones …
,
Lógicas errores de medición y especificación:
Modelos de aprendizaje sobre errores
Más Ingresos discrecionales
Mejoras en la técnica de recolección
Presencia de factores atípicos
Asimetría en la distribución
Transformación de los datos
Forma funcional incorrecta
,
ESTIMACIÓNEstimador mínimo cuadrático en presencia de Heterocedasticidad …
Siendo el objetivo estimar:
iii XXYE 21)/(
iii XY 21
Dado el siguiente modelo econométrico:
En presencia de heterocedasticidad el estimador mínimo cuadrático es:
22
ˆi
ii
xyx
Pero, ahora su varianza es:
22
22
2 )()ˆ(
i
ii
xx
Var
,
ESTIMACIÓNEstimador mínimo cuadrático en presencia de Heterocedasticidad …
Siendo:
iiiiiiiiii wXwwXwYw 21212 )(ˆ
Como:
0)( iE
Calculando su valor esperado se tiene:
)()ˆ( 212 iiiii EwXwwE
Entonces:
22 )ˆ( E
0 iw 1iiXw
El estimador del MMCO es insesgado!!!
,
ESTIMACIÓNVarianza de las perturbaciones en presencia de Heterocedasticidad …
Ahora, siendo:
Entonces:
)(ˆ22 iiw
Por definición se tiene:
22
222 )()ˆ()ˆ( iiwEVarE
222112 )...()ˆ( nnwwwEVar
)2...2...()ˆ( 112121222
222
21
212 nnnnnn ccwwwwwEVar
222 )ˆ( iiwVar
22
22
2 )()ˆ(
i
ii
xx
Var
¿Es mínima?
ESTIMACIÓNEstimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
Sea el siguiente estimador lineal:
Reemplazando se tiene:
iiYc2ˆ̂
Siempre y cuando que:
iiiiiiii cXccXc 21212 )(ˆ̂
Aplicando el operador de esperanza matemática:
22 )ˆ̂( E
1 iiXc 0ic 0)( iE
Este estimador arbitrario es lineal e insesgado … bajo ciertas condiciones.
ESTIMACIÓN Estimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
Si esas ciertas condiciones se cumplen:
Despejando, elevando al cuadrado y aplicando el operador de esperanza matemática, se tiene:
22222 )()ˆ()ˆ̂( iicEEVar
222112 )...()ˆ̂( nncccEVar
)2...2...()ˆ̂( 112121222
222
21
212 nnnnnn cccccccEVar
222 )ˆ̂( iicVar
iic 22ˆ̂
ESTIMACIÓNEstimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
Considerando los multiplicadores de Lagrange:
La varianza será mínima si se cumple que:
0
icZ
01
Z
02
Z
iiiii XcccZ 2122
01
icZ
0)1( iii
XccZ
02 212
iiii
XccZ
ESTIMACIÓN Estimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
De lo anterior:
][21
2221
i
i
ii
Xc
0])()1([21
2221 i
i
ii
Xc
1)()([21
2
2
2212 i
i
i
i
iii
XXXc
[2]
[3]
[1]
ESTIMACIÓN Estimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
Resolviendo el sistema [2] y [3] se tiene:
222
2
2
2
1
)]([)]()][1([
])(2
i
i
i
i
i
i
i
XX
X
222
2
2
2
2
)]([)]()][1([
])(2
i
i
i
i
i
i
i
XX
X
222
2
2
2222
)]([)]()][1([
)]1()()()[1(
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
ii XX
XX
c
Reemplazando en [1]:
ESTIMACIÓNEstimador eficiente en presencia de heterocedasticidad …
En conclusión: Este estimador mínimo cuadrático, es lineal, insesgado y tiene varianza mínima … Es un estimador eficiente …
22222
2222
2)]/([)]/()][/1([
)/()/()/()[/1(ˆ̂
iiiii
iiiiiiii
XX
YXYX
222
22
22
2
2)]/([)]/()][/1([
)/1()ˆ̂(
iiiii
i
XXVar
Como:
iiYc2ˆ̂ 22
2 )ˆ̂( iicVar Y Reemplazando:
ESTIMACIÓNEl método de mínimos cuadrados ponderados …
Supongamos el siguiente modelo Heterocedástico:
Si
Donde:
2i
1][1][][ 22 iii
i
i
i EEVar
iii XY 21
es conocido:
][][]1[ 21i
i
i
i
ii
i XY
Modelo Ponderado
Modelo Original
Modelo Ponderado Homocedástico
El estimador mínimo cuadrático del modelo ponderado es eficiente!!!
ESTIMACIÓNEl método de mínimos cuadrados ponderados …
Dado el siguiente modelo muestral ponderado:
Donde:
*2
*01
ˆˆ*ˆ ii XXY
i
ii
YY
*ˆi
ii
XX
*i
X1*
0 i
ii
*
Considerando el método de mínimos cuadrados ordinarios:2*
2*01
2 )ˆˆ( iii XXYe
0)ˆˆ(2ˆ*0
*2
*01
1
2
XXXY
eii
i
0)ˆˆ(2ˆ
**2
*01
2
2
iiii XXXYe
ESTIMACIÓN El método de mínimos cuadrados ponderados …
De donde se deduce las siguientes ecuaciones normales:
Resolviendo el sistema se tiene:
**02
2*01
*0
* ˆˆii XXXXY
2*2
**01
2** ˆˆiiii XXXXY
22222
2222
2)]/([)]/()][/1([
)/()/()/()[/1(ˆiiiii
iiiiiiii
XX
YXYX
CONSECUENCIAS Estimación MMCO considerando heterocedasticidad …
Se puede demostrar que:
)ˆ()ˆ̂( 22 VarVar
Por tanto:
Los intervalos de confianza son innecesariamente grandes
Las pruebas t y F nos proporcionan resultados imprecisos
CONSECUENCIAS Estimación MMCO ignorando la heterocedasticidad …
Es el caso más probable: La varianza utilizada es sesgada.
Se sobre estima o subestima.
El sesgo depende de la relación que existe entre la varianza de las perturbaciones y la variable exógena.
Las conclusiones que se lleguen a hacer con base a la inferencia estadística son erróneas.
DETECCIÓN Reglas prácticas …
Informales:
Naturaleza del problema
Método gráfico
Pruebas Formales:
Prueba de Park
Prueba de Glejser
Prueba de correlación por grado de Spearman
Prueba de Goldfeld-Quandt
Prueba de Breusch-Pagan-Godfrey
Prueba de White
SOLUCIÓN Supuestos razonables sobre el patrón de heterocedasticidad …
Supuesto 1:222 )( ii XE
Con base al cuál se obtiene el siguiente modelo ponderado:
i
i
ii
i
XXXY 21
1
Se puede proceder a aplicar el MMCO al modelo ponderado
222
2 ][1][ i
ii
i EXX
E
Siendo el modelo ponderado homocedástico:
SOLUCIÓN Supuestos razonables sobre el patrón de heterocedasticidad …
Supuesto 2:
ii XE 22 )( Con base al cuál se obtiene el siguiente modelo ponderado:
i
i
ii
i
XXXY 21
1
Se puede proceder a aplicar el MMCO al modelo ponderado
222 ][1][ i
ii
i EXX
E
Siendo el modelo ponderado homocedástico:
SOLUCIÓN Supuestos razonables sobre el patrón de heterocedasticidad …
Supuesto 3:222 )]([)( ii YEE
Con base al cuál se obtiene el siguiente modelo ponderado:
)()(1
)( 21i
i
ii
i
YEYEYEY
Se puede proceder a aplicar el MMCO al modelo ponderado
222 ][)(
1])(
[ i
ii
i EYEYE
E
Siendo el modelo ponderado homocedástico: