1

CAPITULO 7.-LA TRANSFORMADA z.

7.1 Introducción.

7.2 La transformada z.

7.3 Propiedades de la región de convergencia.

7.4 Propiedades de la transformada z.

7.5 Inversión de la transformada z.

7.6 Análisis mediante transformadas de sistemas LTI.

7.7 Estructuras de programación para implementar sistemas en tiempo discreto.

7.8 La transformada z unilateral

7.1 Introducción.

Generalizamos la representación senoidal compleja de la DTFTCaracterización más amplia de sistemas y su interacción con señales

*señales no absolutamente sumables(ej. : respuesta impulso de un sistema inestable)

PropiedadesFunción de transferencia

Estudio de las características de sistemasObtención de estructuras de programación para implementar sistemas en tiempo discreto en computadoras

2

7.2 La transformada z.Ω= jerz

)()cos(][ nsenrjnrznx nnn Ω+Ω==

( ) ( ))()()(cos)(][

)()(][

)(][)(

:)(;::)(

][)()(][][][

][][][*][][][

)()(

)(

ΩΩΩ

Ω

∞

−∞=

−

∞

−∞=

−∞

−∞=

−∞

−∞=

−

∞

−∞=

+Ω++Ω=

==

==

=

=⇒=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

−===

∑

∑∑∑

∑

jnjnj

njnzjnzj

zj

k

k

n

nn

k

knn

k

k

k

kn

k

rensenrzHjrenrreHny

erezHzezHny

ezHzkhzH

ticocatacterísvalorzHticacatacterísfunciónzticacaracterísrelaciónzzHzH

zkhzHzzHzzkhzkhny

knxkhnxnhnxHny

φφ

φφ

φ

Figure 7.1 (p. 554)Real and imaginary parts of the signal zn.

3

7.2a cont.

[ ]

∫

∫∫

∫

∑∑

∑

−

Ω

Ω

−

ΩΩ

−

Ω

Ω

−

Ω−

Ω−

∞

−∞=

Ω−−∞

−∞=

−ΩΩ

Ω

∞

−∞=

−

=

=Ω=Ω=

Ω=Ω=

Ω=

⎯⎯ →←

==

=

=

dzzzHj

nh

rzdzjdjredz

derreHdereHrnh

dereHrnh

reHrnh

ernhrenhreH

rez

znhzH

n

j

njjnjjn

njjn

jDTFTn

n

njn

n

njj

jn

n

1)(2

1][

;

)()(21)(

2][

)(21][

)(][

][)(][)(

][)(

π

ππ

ππ

π

π

π

π

π

r

r

Frecu-enciaContinua (ω,Ω)Discreta (k)

Periódica (k,Ω)

Discreta [n]

No periódica

(k,ω)

Continua (t)

No periódica (t,n)Periódica (t,n)Tiempo

[ ] tjk

k

ekXtx 0)( ω∑∞

−∞=

=

[ ] dtetxT

kX tjkT0

0)(1 ω−∫=

Tπω 20 =⇒x(t) periodo T

FS FT

DTFS DTFT

njk

Nnenx

NkX 0][1][ Ω−

=∑=

njk

NkekXnx 0][][ Ω

=∑=

Nπ2

0 =Ω⇒x[n] y X[k] periodo N

( ) Ω= Ω

−

Ω∫ deeXnx njjπ

ππ21][

( ) nj

n

j enxeX Ω−∞

−∞=

Ω ∑= ][

( )ΩjeX tiene periodo 2π

∫∞

∞−= ωω

πω dejXtx tj)(

21)(

∫∞

∞−

−= dtetxjX tjωω )()(

4

7.2b cont.

ROCrnxnecesariacondición

rnxznx

zXnx

dzzzXj

nx

DTFTzXeXznxzX

r

n

n

nn

z

n

ezjr

n

nj

⎯→⎯⇒

=

⎯→←

=

=⎯→⎯=

∑

∫

∑

∞

−∞=

−

−−

−

=Ω=

∞

−∞=

−Ω

][

][][

)(][

)(2

1][

|)()(][)(

1

1

π

∏∏

=−

=−

−−

−−

−

−=

++++++

= N

k k

M

k kN

N

MM

zd

zcbzazazbzbbzX

11

11

01

1

110

)1(

)1(1

)(K

K

Figure 7.2 (p. 556)Illustration of a signal that has a z-transform, but does not have a DTFT. (a) An increasing exponential signal for which the DTFT does not exist. (b) The attenuating factor r–n

associated with the z-transform. (c) The modified signal x[n]r–n is absolutely summable, provided that r > α, and thus the z-transform of x[n] exists.

α=a

5

Ejemplo 7.2][][ nunx nα=Determine la transformada z de la señal :

Describa las ubicaciones de la ROC y los polos y ceros de X(z) enel plano z

ααα

αα

−=

−=⇒>

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

−

∞

=

∞

−∞=

−∞

−∞=

− ∑∑∑

zz

zzXz

zznuznxzX

n

n

n

nn

n

n

1

0

11)(

][][)(

α=a

Ejemplo 7.3]1[][ −−−= nunx nαDetermine la transformada z de la señal :

Describa las ubicaciones de la ROC y los polos y ceros de X(z) enel plano z

ααα

αα

αα

−=

−−=⇒<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−−−==

−

∞

=

∞

=

−

−∞=

∞

−∞=

−∞

−∞=

−

∑∑

∑∑∑

zz

zzXz

zzzX

nkz

znuznxzX

k

k

k

k

n

n

n

nn

n

n

1

01

1

111)(

1)(

]1[][)(

α=a

6

Problema 7.1][)2/1(]1[][ nununx n+−−−=Determine la transformada z de la señal :

Describa las ubicaciones de la ROC y los polos y ceros de X(z) enel plano z

121,

)1(21

232

121)( <<

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

+−

= zzz

zz

zz

z

zzX

7.3 Propiedades de la región de convergenciaLa ROC se relaciona con las características de una señal z[n] en eldominio del tiempo, se utiliza para encontrar transformadas inversas.La ROC no pede contener ningún polo.

La ROC para una señal de duración finita incluye el plano z completo,excepto posiblemente z=0 y/oSupongamos que x[n] no es cero únicamente en el intervalo

La única señal cuya ROC es el plano z es :

∞=z

∑=

=

−=⇒≤≤2

1

][)(21

nn

nn

nznxzXnnn

][][ ncnx δ=

7

7.3 Propiedades de la región de convergenciaSeñales de duración infinita y acotadas

Señal lateral derecha : x[n]=0 para n< n1La ROC es de la forma |z|>r+

Señal lateral izquierda : x[n]=0 para n>n2La ROC es de la forma |z|<r-

Señal bilateralLa ROC es de la forma r+<|z|<r-

7.4 Propiedades de la transformada zy

zx

z RROCconzYnyRROCconzXnx )(][;)(][ ⎯→←⎯→←

LINEALIDAD

INVERSIÓN EN EL TIEMPO

CORRIMIENTO EN EL TIEMPO

MULTIPLICACIÓN POR SECUENCIA EXPONENCIAL

CONVOLUCIÓN

DIFERENCIACIÓN EN EL DOMINIO DE Z

I yxz RRmenosalROCconzYbzXanybnxa )()(][][ +⎯→←+

x

z

RROCcon

zXnx 11][ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎯→←−

∞==⎯→←− − ||,0),(][ 00 zzparateposiblemenexceptoRROCconzXznnx x

nz

xzn RROCconzXnx ||][ α

αα ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎯→←

I yxz RRmenosalROCconzYzXnynx )()(][*][ ⎯→←

xz RROCconzX

dzdznxn )(][ −⎯→←

8

Toda z1

ROCTransformadaSeñalTransformadas de z básicas (1)

∫ −= dzzzXj

nx n 1)(21][π

∑∞

−∞=

−=n

nznxzX ][][

111

−− z

][nδ][nu 1>z

][nunα

][nun nα

][)][cos( 1 nunΩ

][)]([ 1 nunsen Ω

111

−− zα

21

1

)1( −

−

− zzαα

α>z

α>z

1>z

1>z21

11

1

cos21cos1

−−

−

+Ω−Ω−

zzz

21

11

1

cos21 −−

−

+Ω−Ω

zzsenz

][)]cos([ 1 nunr n Ω

][)]([ 1 nunsenr n Ω

221

11

1

cos21cos1

−−

−

+Ω−Ω−

zrrzrz

221

11

1

cos21 −−

−

+Ω−Ω

zrrzsenrz

rz >

rz >

ROCTransformada bilateralSeñal

Transformadas bilaterales para señales que son distintasde cero para n<0

111

−− z

]1[ −−− nunα 111

−− zαα<z

]1[ −−nu

]1[ −−− nun nα 21

1

)1( −

−

− zzαα α<z

1<z

9

X(z)Y(z)no

X(z/α)vea abajo

aX(z)+bY(z)Y(z)X(z)

Transformada unilateral

X(z)Y(z)X(1/z)X(z/α)

aX(z)+bY(z)Y(z)X(z)

Transformada bilateral

x[n]*y[n]

|α|Rxαnx[n]1/ Rxx[-n]

ax[n]+by[n]

Rx excepto posibl.para |z|=0,inf.x[n-k]

Rx excepto posibl. En la suma o eliminación de z=0

nx[n]

Ryy[n]Rxx[n]

ROCSeñal

Propiedades de la transformada z

)(zXz k−

)(zXdzdz−

yx RRmenosal ∩

yx RRmenosal ∩

Propiedades de corrimiento en el tiempo de la transformada z unilateral

0,]1[]1[]0[][

0,]1[]1[][][1

11

>∀+−−−−−⎯→←−

>∀+−+++−+−⎯→←−−

−+−−

kzkxzxzxknx

kzxzkxkxknxkkz

kz

u

u

X(z)z

X(z)zk

k

L

L

)(zXdzdz−

7.5 Inversión de la transformada z7.5.1 EXPANSIONES EN FRACCIONES SIMPLES

imi

zni

imi

zni

ri

i

i

i

i

ii

kk

kznkk

kk

kznkk

N

k k

k

N

k k

MM

NN

MM

dzROCconzd

Anudm

mnnA

dzROCconzd

Anudm

mnnA

zdA

zdA

zdA

vecesrd

dzROCconzd

AnudA

dzROCconzd

AnudAzd

AzX

NMzd

zbzbbzazazbzbb

zBzAzX

<−

⎯→←−−−

−++−

>−

⎯→←−

−++−−−

⇒

<−

⎯→←−−−

>−

⎯→←−

=

<−

+++=

++++++

==

−

−

−−−

−

−=

−

=−

−−

−−

−−

∑

∏

||)1(

]1[)()!1(

)1()1(

||)1(

][)()!1(

)1()1()1(

,,)1(

,1

:

||1

]1[)(

||1

][)(;1

)(

,)1(1)(

)()(

1

1

1211

1

11

1

11

110

11

110

111

K

K

K

K

K

K

10

7.5a cont.∑∞

−∞=

−=n

nznxzX ][)(

La relación entre la ROC asociada con X(z) y cada polo determinasi la transformada inversa lateral derecha o la lateral izquierda seeligen para cada término.La propiedad de linealidad indica que la ROC de X(z) es la inter-sección de las ROC asociadas con los términos individuales en laexpansión en fracciones parciales.Comparamos la localización de cada polo con la ROC de X(z).

7.5b cont.7.5.2 EXPANSIONES EN SERIE DE POTENCIAS

∑∞

−∞=

−=n

nznxzX ][)(

ROC |z|>a señal lateral derecha

ROC |z|<a señal lateral izquierda

Método división larga: cuando X(z) sea un cociente de polinomios

∑∞

−∞=

−=n

nznxzX ][)(

∑∑∞

−∞=

−−∞

−∞=

==n

n

n

n znxznxzX )(][][)( 1

11

Problema 7.24

221;

123

3)(2

2

<<−+

−= z

zz

zzzX

Utilice el método de la expansión en fracciones simples para calcular la inversa de la siguiente transformada z :

]1[)2(2][21][

212

211

1)(

2,12123

1

21211

231

31

123

3)(

11

1121

1

2

2

−−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

++

−

−=

=−=−=−

+=

++

−=

−+

−=

−+

−=

−−

−−−−

−

nununx

zzzX

BABABA

zB

z

A

zz

z

zz

zzzX

nn

Problema 7.28

21

2;

411

1)( >−

=−

zz

zX

Utilice la expansión en serie de potencias para calcular la inversade la siguiente transformada z :

imparnsinyparnsi

knnx

zknzzzzX

nk

k

n

n

k

kkn

k

kk

k

kk

k

k

,00,)2/1(

]2[21][

]2[21

21

41

41)(

2

0

0 0

22

0

22

0

2

0

2

>=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

∑

∑ ∑∑∑∑∞

=

∞

=

−∞

=

=∞

=

−∞

=

−∞

=

−

δ

δ

12

Problema 7.28b

21

2;

411

1)( >−

=−

zz

zX

Utilice el método de la expansión en fracciones simples para calcular la inversa de la siguiente transformada z :

imparnsinyparnsi

nunx

zzzXBA

ABBA

z

zABBA

z

B

z

A

zzX

nnn

,00,)2/1(

][21

21

21][

211

1

211

121)(

21

01

411

)(21)(

211

211

411

1)(

11

2

1

112

>=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

+=⇒==

=−=+

−

−++=

−+

+=

−=

−−

−

−

−−−

7.6 Análisis mediante transformadas de sistemas LTI

Examinaremos la relación entre función de transferencia y las Características entrada-salida de sistemas LTI en tiempo discreto.

)()()(;)()()(][*][][

zXzYzHzXzHzYnxnhny ==⇒=

* Relación entre la función de transferencia y la ecuación en diferencias

∑

∑∑∑

∑∑∑∑

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

==

==⇒=

=⎯→←−=−

N

k

kk

M

k

kkM

k

kk

N

k

kk

M

k

kk

N

k

kk

M

k

zk

N

kk

za

zb

zXzYzHzbzXzazY

zXzbzYzaknxbknya

0

0

00

0000

)()()()()(

)()(][][

Función de transferencia racional

13

7.6a cont.

)(][

~;)1(

)1(~)(

0000

:~;)1(

)1(~)(

11

11

110

110

0

0

11

11

0

0

zXnh

ab

bzdz

zczbzH

zenésimolordendeceroaaasizenésimopordendepolobbbsi

gananciadefactorabb

zd

zcb

za

zbzH

z

l

plN

k kl

pM

k kp

l

p

N

k k

M

k kN

k

kk

M

k

kk

⎯→←

=−

−=

⇒=−⇒=====−⇒====

=−

−==

∏∏

∏∏

∑

∑

−

=−−

−

=−−

−

−

=−

=−

=

−

=

−

L

L

Debemos conocer la ROC para calcular h[n].La ecuación en diferencias no brinda información de la ROC

Deberán conocerse otras características del sistema : la estabilidad ola causalidad

7.6b cont.•Relación de la función de transferencia y la descripción en variables de estado

[ ]dzzH

zXzHzXdzzYzXDzzY

zXzzzXzz

zXzzz

zQ

zQzQ

z

tq

tqtq

t

z

z

N

z

N

+−=

=+−=

+=⎯→←+=

−=

=−=−⎯→←+=+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎯→←

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+=+=+

−

−

−

bAIcbAIc

qccqbAIq

bqAIbqAqbAqq

qqcq

bAqq

1

1

1

2

1

2

1

)()()()()()()(

)()(~)(x[n]D[n]y[n])()()(~

)()(~)()()(~)(~x[n][n]1][n

)(

)()(

)(~

)(

)()(

)(;x[n]D[n]y[n]

x[n][n]1][nMM

La función de transferencia es invariante para una transformacióndel vector de estado del sistema.

14

7.6c cont.•Estabilidad y causalidad

derechaslateralesinversasastranformadnhzHnhnnh

z :][)(][00][

⇒⎯→←

<∀=⇒CAUSAL

7.6d cont.ESTABLEh[n] es absolutamente sumable y existe su DTFT.La ROC debe incluir el circulo de unitario en el plano zUn polo dentro del circulo unitario aporta a la respuesta al impulsoun término lateral derecho que decae exponencialmente.Un polo fuera del circulo unitario aporta a la respuesta al impulsoun término lateral izquierdo que decae exponencialmente.

15

7.6e cont.Sistemas ESTABLES Y CAUSALESDeben tener sus polos dentro del circulo unitario.Dichos polos aportan términos exponenciales decrecientes lateralesderecho o causales a la respuesta al impulso.

7.6f cont.•Sistemas inversos

0

0

11

11

0

01

11

11

~;)1(~

)1()(

1)(

1)()(][][*][)()()(][*][][

)()()(][*][][

abb

zcb

zd

zb

za

zHzH

zHzHnnhnhzYzHzXnynhnx

zXzHzYnxnhny

M

k k

N

k kM

k

kk

N

k

kk

=−

−===

=⇒=

=⇒=

=⇒=

∏∏

∑

∑

=−

=−

=

−

=

−

−

−−

−−

δ

Sistema de FASE MÍNIMA : todos sus ceros y polos están dentrodel circulo unitario, el sistema y suinverso son estables y causales.

16

7.7 Estructuras de programación paraimplementar sistemas en tiempo discreto

)(][)()()()(][

)( zYnyzXzHzYzXnx

zH zz ⎯→←⇒=⇒

⎯→←

Hay muchas implementaciones de diagramas de bloques diferentesque corresponden a un sistema con una característica entrada-salida.Elegir optimizando criterios asociados con el cálculo :

-Número operaciones,-Sensibilidad del sistema a los redondeos numéricos de los cálculos

En las representaciones mediante diagramas de bloques del Capitulo 2implementamos sistemas descritos por ecuaciones en diferencia Teníamos las operaciones :

Corrimiento en el tiempo, operador S (z-1 en transformadas z)Multiplicación por constanteSumas

Figure 2.33 (p. 162)Block diagram representation of a discrete-time LTI system

described by a second-order difference equation.

..]2[],1[0]2[]1[][]2[]1[][

]2[]1[][]2[]1[][][]2[]1[][]2[]1[][][

21021

21021

21

210

ICyynnxbnxbnxbnyanyany

nxbnxbnxbnyanyanynwnyanyany

nxbnxbnxbnw

−−⇒≥−+−+=−+−+−+−++−−−−=

+−−−−=−+−+=

Forma I directa

17

7.7a cont.

22

11

22

110

22

110

22

11

21021

1)()()(

))(()1)((

..0]2[]1[0]2[]1[][]2[]1[][

−−

−−

−−−−

++++

==

++=++

=−=−⇒≥−+−+=−+−+

zazazbzbb

zXzYzH

zbzbbzXzazazYzdatransformalaaplicando

nulasICyynnxbnxbnxbnyanyany

Forma directa I

7.7b cont.Para obtener la forma directa II :[ ] [ ]

[ ]

22

11

2

22

1101

1

2

21

2122

11

22

1102

21

1

22

110

11)(

)(

)()()()()()(

)()()()(

)()(1

11)(

)()(

−−

−−

−−−−

−−

−−

++=

++=

===

=++

++=++++

==

zazazH

zbzbbzH

zFzHzYzXzHzF

zXzHzHzY

zHzHzaza

zbzbbzazazbzbb

zXzYzH

Forma directa II

18

7.7c cont.

∏∏∏

∑

∑=

=−

=−

=

−

=

−

=−

−==

p

iiN

k k

M

k kN

k

kk

M

k

kk

zHzd

zcb

za

zbzH

11

11

1

0

0 )()1(

)1(~)(

Implementación en cascada

Implementación en paralelo

∑∏

∑

∑

∑=

=−

=

−

=

−

=

−

=−

==p

iiN

k k

M

k

kk

N

k

kk

M

k

kk

zHzd

zba

za

zbzH

11

100

0

0 )()1(

1

)(

Las Hi(z) contienen subconjuntos distintos de ceros y polos de H(z).Los Hi(z) son de primero o segundo orden.

Cada Hi(z) contiene un conjunto distinto de los polos de H(z), unoo dos polos.

Problema 7.39

)()(

411

2

411213

][

211

1

21

1

21

1

211

2][

][21][

2][

2][

212][

2122

1

1111

zHzHzz

zzH

zzjzjzzH

nunujnujnunhnnnn

+=+

+−

+=

++

++

−+

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

−

−−−−

Dado el sistema definido por la ecuación en diferencias, dibuje una implementación de diagrama de bloques como una combinación en paralelo de secciones de segundo orden con coeficientes de valores reales.

19

Problema 7.39a

22

2

1

1

411

2)(;

411213

)(−−

−

+=

−

+=

zzH

z

zzH

7.8 La transformada z unilateral.

)(][

0,][;][)(0

zXnx

nnxdesolodependeznxzX

uzn

n

⎯→←

≥∀=∑∞

=

−

Apropiada en problemas que incluyan señales y sistema causalesNo necesitamos usar ROC.Permite estudiar sistemas descritos por ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales no nulas.Para señales causales coinciden las transformadas z bilateral yunilateral.Satisface las mismas propiedades que la transformada z bilateralexcepto la propiedad de corrimiento.

20

7.8a cont.Propiedad de corrimiento

0,]1[]1[]0[][

0,]1[]1[][][

]1[]1[

)(][

)(]1[][]1[][]1[

]1[]1[]1[][)(

][)(;]1[][

1

11

1

0

1

0

)1(

1

100

0

>∀+−−−−−⎯→←−

>∀+−+++−+−⎯→←−

+−⎯→←−

⎯→←

+−=+−=+−=

=−+−=−==

=−=

−

−+−−

−

−∞

=

−−∞

=

+−

−=∞

=

−∞

=

−∞

=

−

∞

=

−

∑∑

∑∑∑

∑

kzkxzxzxknx

kzxzkxkxknx

xnx

zXnx

zXzxzmxzxzmxx

znxxznxznwzW

znxzXnxnw

kkz

kz

z

zm

m

m

m

nm

n

n

n

n

n

n

n

n

u

u

u

u

X(z)z

X(z)z

X(z)z

k

k

1

L

L

7.8b cont.Solución de ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales

Las condiciones iniciales se incorporan como una propiedad decorrimiento en el tiempo.

)()()()()(

)()()(

][)(

)(;)(

)()()()()(][][

][,],2[],1[][

0,]1[]1[][][

)()(

1

0 1

00

00

11

zYzYzAzCzX

zAzBzY

zmkyazC

zbZBzazA

zXzBzCzYzAknxbknya

NyyyinicialesscondicioneNX(z)zknxcausalsistema

kzxzkxkxknx

nf

N

m

mN

mkk

M

k

kk

N

k

kk

M

k

zk

N

kk

kz

kz

u

u

+=−=

+−=

==

=+⎯→←−=−

−−−⇒⎯→←−⇒

>∀+−+++−+−⎯→←−

∑ ∑

∑∑

∑∑

−

=

−

+=

=

−

=

−

==

−

−+−−

L

L X(z)z k

21

Ejemplo 7.23_1

Suponemos que abrimos una cuenta bancaria con 10.000 €El banco nos da un interés compuesto mensual “r” es del 6 %A partir del primer mes del segundo año sacamos 100 € mensualesDeterminar el balance al final de cada mesCalcula cuantos meses tienen que transcurrir para que dicho balancese haga cero.Sea :ρ=1+r/100=1+(6/12)/100=1,005x[n] ingreso/adeudo mensualy[n] balance después del ingreso/adeudo mensual

y[-1]=10.000 € condición inicialHay un retardo de 2 entre el índice temporal “n” y el índice del mesy[n] representa el balance de la cuenta al principio del mes ”n+2”El primer adeudo de 100 € lo realizaremos al principio del mes 13

(n=11)

Ejemplo 7.23_1a

[ ]

][)005,1(050.10]11[)005,1(000.20]11[000.20][005,11050.10

005,11000.20

1000.20)(

)()(005,11

)000.10(005.1)005,11)(1(

100)(

1100)(]11[100][

1]1[

1)()(

]1[)()()1()()(]1[)(

][]1[][

11

11

11

1

11

)()(111

11

1

11

11

1

1

nunununyzz

zz

zzY

zYzYzzz

zzY

zzzXnunx

zy

zzXzY

yzXzYzzXzYzyzY

nxnyny

nn

nf

z

+−−−=

−+

−−

−=

+=−

+−−

−=

−−

=⎯→←−−=

−−

+−

=

−+=−

=+−−

=−−

−

−−

−

−

−

−−−

−

−

−

−−

−

−

ρρ

ρ

ρρ

ρ

ρ

El balance se hace cero al sacar dinero al principio del mes 163

22

Figure 7.30a (p. 601)Solution to Example 7.23_1, depicted as a function of the

month. (a) Account balance at the start of each month following possible withdrawal.

Figure 7.30b (p. 601)(b) Natural response.

23

Figure 7.30c (p. 602)Forced response.

Ejemplo 7.23_2

Suponemos que abrimos una cuenta bancaria con 10.000 €El banco nos da un interés compuesto mensual “r” es del 6 %A partir del primer mes del segundo año sacamos 100 € mensualesDeterminar el balance al final de cada mesCalcula cuantos meses tienen que transcurrir para que dicho balancese haga cero.Sea :ρ=1+r/100=1+(6/12)/100=1.005x[n] ingreso/adeudo mensualy[n] balance después del ingreso/adeudo mensual

mes=1 , n=0 , y[0]=10.000 €Hay un retardo de 1 entre el índice temporal “n” y el índice del mesy[n] representa el balance de la cuenta en el mes ”n+1”El primer adeudo de 100 € lo realizaremos en el mes 13 (n=12)

24

Ejemplo 7.23_2a

]12[)005.1(000,20]12[000,20][)005,1(000.10][005,11

000.201000.20

005,11000.10)(

)005,11)(1(100

005,11000.10)(

1100000.10)(]12[100][000.10][

1)()(

)()()1()()()(

][]1[][

12

1

12

1

12

1

11

12

1

1

12

1

1

1

−−−+=

−−

−+

−=

=−−

−−

=

−−=⎯→←−−=

−=

=−

=−

=−−

−

−

−

−

−

−

−−

−

−

−

−

−

−

−

nunununyz

zz

zz

zY

zzz

zzY

zzzXnunnx

zzXzY

zXzYzzXzYzzY

nxnyny

nn

zδ

ρ

ρ

ρ

ρ

El balance se hace cero al sacar dinero el mes 163

Problema 7.17

25

Problema 7.20

Problema 7.21

26

Problema 7.24

Problema 7.29

27

Problema 7.31

Problema 7.31

28

Problema 7.32

Problema 7.38

29

Problema 7.39

Problema 7.41

30

Problema 7.42

Problema 7.42