124

Unidad 3 La trasformada 풛 y sus aplicaciones al análisis de sistemas lineales e invariantes en el tiempo (SLIT) Comenzaremos el capítulo con la definición de la transformada 푧, la cual, como veremos más adelante es una generalización de la transformada de Fourier en tiempo discreto, estudiaremos sus propiedades más importantes y su importancia en el análisis y caracterización de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. La transformada 푧 desempeña el mismo papel para las señales y sistemas de tiempo discretos que el que tiene la transformada de Laplace para las señales y sistemas de tiempo continuo. Por otro lado la transformada 푧 se emplea para caracterizar las señales mediante la localización de sus polos y ceros. Al utilizar la transformada 푧 es posible encontrar la respuesta total de un sistema lineal e invariante en el tiempo (SLIT) en tiempo discreto a una excitación arbitraria. Con la transformada 푧 se pueden caracterizar SLIT y sus respuestas a varias señales mediante la localización de sus polos y ceros. También se presentan instrucciones en Matlab para dibujar los diagramas de polos y ceros en dos y tres dimensiones También se puede encontrar la función de transferencia de un sistema lineal invariante el tiempo descrito por una ecuación en diferencias. Así mismo se describen métodos para invertir la transformada 푧 de una señal y obtener su representación en el dominio del tiempo, así como la resolución de la transformada 푧 inversa utilizando Matlab. Por último se estudia la transformada 푧 unilateral y sus aplicaciones para la resolución de ecuaciones en diferencias lineales con condiciones iniciales diferentes de cero. Esta transformada se ha convertido en una importante herramienta en el análisis y diseño de los filtros digitales. 3.1 La transformada 풛 La transformada 푧 de una señal discreta 푥(푛) se define como la serie de potencias

푋(푧) ≡ 푥(푛) 푧

donde 푧 es una variable compleja. La relación anterior se denomina transformada directa porque convierte una señal 푥(푛) en el dominio del tiempo discreto en la señal compleja 푋(푧) en el dominio 푧. Si expandimos la ecuación anterior.

푋(푧) = ⋯+ 푥(−2)푧 + 푥(−1)푧 + 푥(0)푧 + 푥(1)푧 + 푥(2)푧 + ⋯

Se observa que la potencia de 푧 indica la posición de la muestra en la señal 푥(푛). Por convención, la transformada 푧 de una señal 푥(푛) se denota como.

푋(푧) ≡ 푍{푥(푛)}

125

Para indicar la relación entre ambos dominios 푥(푛) y 푋(푧) podemos usar la notación

푥(푛)↔ 푋(푧) Esto nos dice que podemos obtener 푋(푧) a partir de 푥(푛), también podemos calcular 푥(푛) de 푋(푧). Como la transformada 푧 es una serie infinita de potencias, dicha serie solamente existe para los valores de 푧 para los que la serie converge. La región de convergencia (RDC) de 푋(푧), es el conjunto de todos los valores de 푧 para los que 푋(푧) existe. Cada vez que encontremos la transformada 푧 de una señal 푥(푛), se debe indicar también la RDC. 3.2 Transformada 풛 para señales 풙(풏) de duración finita Ejemplo 3.1 Calcule la transformada z de las siguientes señales de duración finita. a)푥 (푛) = {1, 3,5,7,9,0,11} b)푥 (푛) = {2,4, 6, 8,10,12} c)푥 (푛) = {6,5,0,3,2, 1} d)푥 (푛) = 훿(푛) e)푥 (푛) = 훿(푛 − 푘), 푘 > 0 f)푥 (푛) = 훿(푛 + 푘), 푘 > 0 Solución a)푋 (푧) = 1 + 3푧 + 5푧 + 7푧 + 9푧 + 0푧 + 11푧 , RDC: plano 푧 completo excepto 푧 = 0. b)푋 (푧) = 2푧 + 4푧 + 6 + 8푧 + 10푧 + 12푧 , RDC: plano 푧 completo excepto푧 = 0y푧 = ∞. c)푋 (푧) = 6푧 + 5푧 + 0푧 + 3푧 + 2푧 + 1, RDC: plano 푧 completo excepto 푧 = ∞ d)푋 (푧) = 1, RDC: plano 푧 completo. e)푋 (푧) = 푧 , 푘 > 0, RDC: plano z completo excepto 푧 = 0. f)푋 (푧) = 푧 ,푘 > 0, RDC: plano z completo excepto 푧 = ∞. La RDC de señales de duración finita es todo el plano 푧, excepto 푧 = 0 y/o푧 = ∞. Estos puntos quedan excluidos, porque 푧 para 푘 > 0 no está acotada para 푧 = ∞ y 푧 para 푘 > 0 no está acotada para 푧 = 0. Desde un punto de vista matemático, la transformada 푧 es simplemente una forma alternativa de representar una señal. De la definición de la transformada vemos que el coeficiente de 푧 , es el valor de la señal en el instante 푛. En otras palabras, el exponente de 푧 contiene la información que necesitamos para identificar las muestras de la señal.

126

3.3 Transformada z para señales 풙(풏) de duración infinita Si se expresa la variable compleja 푧 en su forma polar, 푧 = 푟푒 donde푟 = |푧| y 휃 = 푧. Entonces 푋(푧) se puede expresar como

푋(푧)| = 푥(푛) 푟 푒

Ya que dentro de la RDC de 푋(푧) se debe cumplir |푋(푧)| < ∞, entonces

|푋(푧)| = 푥(푛) 푟 푒

≤ |푥(푛) 푟 푒 = |푥(푛)푟 |

es decir, |푋(푧)| es finita si y solo si, la secuencia 푥(푛)푟 es absolutamente sumable. El problema de encontrar la RDC de 푋(푧) es equivalente a determinar el rango de valores de 푟 para los que la secuencia 푥(푛)푟 es absolutamente sumable. La ecuación anterior puede rescribirse como:

|푋(푧)| ≤ |푥(푛)푟 | +푥(푛)푟

≤ |푥(−푛)푟 | +푥(푛)푟

Ambas sumatorias deben converger en alguna región del plano complejo para que 푋(푧) sea finita. Para que la primera sumatoria sea convergente que corresponde a elementos anticausales, deben existir valores de 푟 lo suficientemente pequeños para que la secuencia producto 푥(−푛)푟 , 1 ≤ 푛 < ∞, sea absolutamente sumable. Por lo tanto, la RDC de la primera suma consistiría en una circunferencia de radio 푟 < 푟 tal que 푟 < ∞, como se ilustra en la figura 3.1.b. La segunda sumatoria corresponde a elementos causales y para que esta converja, se necesitan valores de 푟 lo suficientemente grandes para que la secuencia producto푥(푛)푟 , 0 ≤ 푛 < ∞, sea absolutamente sumable. Por consiguiente, la RDC de la segunda suma será todos los puntos que están fuera de una circunferencia de radio 푟 > 푟 tal como se ilustra en la figura 3.l.a. Como ambas sumas deben converger, la RDC de 푋(푧) es la región anular del plano 푧 푟 < 푟 < 푟 , que es la zona donde ambas sumas son finitas. Esta región se muestra en la figura 3.1.c. Por otra parte si 푟 > 푟 , entonces no existe región de convergencia común para las dos sumas y de aquí que 푋(푧) no exista.

127

a.- RDC para secuencias b.- RDC para secuencias c.- RDC para secuencias lado derecho lado izquierdo de ambos lados

Figura 3.1 Tres formas de la región de convergencia de 푋(푧). Ejemplo 3.2 Determine la transformada 푧 de la señal indicada a continuación, compruebe usando Matlab.

푥(푛) = 푎 휇(푛) = 푎 , 푛 ≥ 00,푛 < 0

Solución. De la definición tenemos.

푋(푧) = 푎 푧 = (푎푧 )

Esta sumatoria converge, si|푎푧 | < 1ó |푧| > |푎|. Por lo tanto, tenemos que la transformada 푧 es

푥(푛) = 푎 휇(푛) ↔푋(푧) =1

1 − 푎푧 RDC:|푧| > |푎|

La RDC de una señal causal es el exterior de una circunferencia de radio |푎|. La figura 3.2 muestra la señal 푥(푛) y su RDC correspondiente. Obsérvese que, en general, 푎 no necesita ser real. Si hacemos푎 = 1, obtenemos la transformada 푧del escalón unidad.

푥(푛) = 휇(푛) ↔푋(푧) =1

1 − 푧 RDC:|푧| > |1|

Para resolver el ejercicio anterior usando Matlab usaremos la instrucción, 푋 = ztrans(f), esta instrucción computa la transformada 푧 de la expresión simbólica f. Esta sintaxis coloca a f como función de la variable discreta 푛 y regresa el valor de 푋 como una función de 푧. syms a n % Declara las variables en forma simbólicas f = a^n; % 푥(푛) = 푎 X=ztrans(f) % Calcula la transformada de f en función de 푧 X = -z/(a - z) % verificar la respuesta con pretty(X)

|r2| 0 Re (z)

Im (z)

Re (z) 0 | r1| |r2|

Im (z)

Re (z)

Im (z)

0 |r1|

128

(a) (b)

Figura 3.2 La señal exponencial 푥(푛) = 훼 휇(푛)(푎) y la RDC de su transformada z (b). Instrucciones en Matlab de la señal exponencial 푥(푛) = 0,9 휇(푛) de la figura 3.2.a. n=[0:20]; % vector de entrada x=(0.9).^n; % Càlculo punto a punto stem (n,x); % Gràfica xlabel('n') ylabel('x(n)') Ejemplo 3.3 Determine la transformada 푧 de la señal, compruebe usando Matlab.

푥(푛) =13 휇(푛)

Solución. La señal 푥(푛) tiene un número infinito de valores distintos de cero

푥(푛) = 1,13 ,

13 ,

13 , … ,

13

Para estos casos se debe usar la definición de la transformada 푧.

푋(푧) =13 푧 =

13 푧

푋(푧) = 1 + 13푧−1 + 1

3푧−1 + 1

3푧−1 + ⋯ =

13푧−1

Esta es una serie geométrica infinita que converge si 푧 < 1 ⇒ |푧| > . Se demuestra que

푋(푧) =1

1 − 13 푧

RDC:|푧| >13

Re (z)

Im (z)

0

|α|

RDC

129

Usando Matlab tenemos que. syms n f = (1/3)^n; X=ztrans(f) X =z/(z - 1/3) Ejemplo 3.4 Encuentre la transformada 푧 de la señal.

푥(푛) = 퐴푎 푒 휇(푛)

Solución.Usando la definición, podemos escribir

푋(푧) = 퐴푎 푒 푧 = 퐴 (푎푒 푧 ) =퐴

1 − 푎푒 푧

Podemos decir

푥(푛) = 퐴푎 푒 휇(푛)↔푋(푧) =퐴

1 − 푎푒 푧 RDC:|푧| > |푎| Ejemplo 3.5 Determine la transformada 푧 de una señal anticausal.

푥(푛) = −푏 휇(−푛 − 1) = 0,푛 > 0−푏 ,푛 ≤ −1

Solución. De la definición tenemos

푋(푧) = (−1) 푏 푧 = (−1) 푏 푧 = (−1) (푏 푧)

Se realizó cambio de variable,푚 = −푛 para obtener los límites de la sumatoria positivos. Usando la siguiente sumatoria∑ 퐴 , encontramos la transformada 푋(푧). 퐴 + 퐴 + 퐴 + 퐴 + ⋯ = 퐴(1 + 퐴 + 퐴 + 퐴 +. . . ) = 퐴 , si |퐴| < 1

푋(푧) = (−1)푏 푧

1 − 푏 푧 =1

1 − 푏푧

Esta sumatoria es convergente si, |푏 푧| < 1 o, equivalentemente, |푧| < |푏|. Por lo tanto,

푥(푛) = −푏 휇(−푛 − 1)↔푋(푧) = RDC: |푧| < |푏|

130

La RDC para una señal anticausal es el interior de una circunferencia de radio |푏|, tal y como se muestra en la figura 3.3. n=[-1:-1:-20]; % vector de entrada x=-(0.9).^(-n); % Càlculo punto a punto stem (n,x); % Gràfica xlabel('n') % Etiqueta del eje x ylabel('x(n)') % Etiqueta del eje y

(a) (b)

Figura 3.3 Señal anticausal푥(푛) = −푏 휇(−푛 − 1)(a) y la RDC de su transformada z (b). Comparando los resultados vemos que la señal causal 푎 휇(푛) y la señal anticausal −푏 휇(−푛 − 1) tienen formas idénticas de la transformada 푧, esto es,

푍{푎 휇(푛)} = 푍{−푎 휇(−푛 − 1)} =1

1 − 푎푧 Esta ambigüedad se resuelve únicamente si, además de indicar la transformada 푧 en su forma compacta, también se debe especificar la RDC. En resumen, una señal discreta 푥(푛) queda unívocamente determinada por su transformada 푧 푋(푧) y la región de convergencia de 푋(푧). Ejemplo 3.6 Determine la transformada 푧 de la señal

푥(푛) = 푎 휇(푛)− 푏 휇(−푛 − 1) Solución.

푋(푧) = 푎 푧 − 푏 푧 = (푎푧 ) − (푏 푧)

La primera serie de potencias converge si |푎푧 | < 1 ó |푧| > |푎|. La segunda converge si |푏푧 | < 1 ó |푧| < |푏|.

| b | r

RDC

Im (z)

Re (z)

131

Para determinar la convergencia de 푋(푧), consideraremos dos casos diferentes.

A) |푏| < |푎|: En esta situación, las dos RDC dadas no se superponen, como se muestra en la figura 3.4.a. En consecuencia, no podemos encontrar valores de 푧 para los cuales ambas series converjan al mismo tiempo. Así, pues, 푋(푧) no existe.

B) |푏| > |푎|: Para este caso, tenemos un anillo en el plano 푧 en el cual ambas

series convergen, como se muestra en la figura 3.4.b. Así, la transformada 푋(푧) será.

푋(푧) =1

1 − 푎푧 + 1

1 − 푏푧 = −(푎 + 푏)

1− (푎 + 푏)푧 + 푎푏푧 RDC: |푎| < |푧| < |푏|

(a) (b)

Figura 3.4 RDC para la trasformada z del ejemplo 3.6.

En las figura 3.5 se muestran las regiones de convergencias para diferentes tipo de señales, además que si existe la RDC para una señal que se extiende hasta el infinito por los dos lados, ésta es un anillo (región anular) en el plano 푧. De acuerdo con lo estudiado la RDC de una señal depende de su duración (finita o infinita), y de si es causal, anticausal o bilateral. 3.4 Propiedades de la transformada 풛 Deberá recordarse que la RDC resultante cuando combinamos varias transformadas 푧, es por lo menos, la intersección entre las RDC de las transformadas individuales. Linealidad Si tenemos dos señales de entrada 푥 (푛)↔ 푋 (푧) y 푥 (푛)↔푋 (푧). Entonces,

푥(푛) = 푎 푥 (푛) + 푎 푥 (푛)↔푋(푧) = 푎 푋 (푧) + 푎 푋 (푧) Para cualquier constante 푎 y 푎 . La propiedad de linealidad se puede generalizar a un número arbitrario de señales y nos permite obtener la transformada 푧 de una señal expresando ésta como la suma de varias señales elementales cuyas transformadas 푧 son conocidas.

Im (z)

Re (z)

Plano (z)

|a| |b|

|a| < |b| RDC x(z)

Im (z)

Re (z)

Plano (z)

|a|

|b|

|b| < |a| x(z) no existe

132

Tipo de señal Señales de duración infinita Señales de duración finita

Figura 3.5 Señales características y sus correspondiente RDC.

Ejemplo 3.7 Determine la transformada 푧 y la RDC de la señal

푥(푛) = 3(0,5) 휇(푛) + 5(0,9) 휇(푛)

Solución. Podemos decir que 푥 (푛) = (0,5) 휇(푛) y 푥 (푛) = (0,9) 휇(푛). Entonces, la señal 푥(푛) se puede escribir como

푥(푛) = 3푥 (푛) + 5푥 (푛)

Aplicando la propiedad de linealidad, su transformada z es

푋(푧) = 3푋 (푧) + 5푋 (푧)

Recordamos que 푥(푛) = 훼 휇(푛)↔ 푋(푧) = RDC: |푧| > |훼|

Haciendo 푎 = 3y푎 = 5, obtenemos:

r1

|z| > r1

r2

|z| < r2

r1 < |z| < r2

r1

r2

Todo plano z. Excepto z=0

Todo plano z. Excepto z=0 y z =∞

Todo plano z. Excepto z=∞

133

푥 (푛) = (0,5) 휇(푛)↔ 푋 (푧) =,

RDC: |푧| > 0,5

푥 (푛) = (0,9) 휇(푛) ↔푋 (푧) =,

RDC: |푧| > 0,9

La intersección de las RDC de 푋 (푧) y 푋 (푧) es |푧| > 0,9. Por lo tanto, la transformación global 푋(푧) es

푋(푧) =3

1− 0,5푧 +5

1 − 0,9푧 RDC: |푧| > 0,9

Ejemplo 3.8 Determine la transformada 푧 de las siguientes señales y compruebe usando Matlab. a) 푥(푛) = 푐표푠(푤 푛)휇(푛) b) 푥(푛) = 푠푒푛(푤 푛)휇(푛) Solución a) Usando la identidad de Euler del 푐표푠(푤 푛), la señal 푥(푛) se puede expresar como

푥(푛) = 푐표푠(푤 푛)휇(푛) =12 푒 휇(푛) +

12 푒 휇(푛)

Aplicando la definición

푋(푧) =12푍 푒 휇(푛) +

12푍 푒 휇(푛)

푥(푛) = 푒 휇(푛)↔푋(푧) = RDC: |푧| > 1

y

푥(푛) = 푒 휇(푛)↔푋(푧) = RDC: |푧| > 1 Para calcular la RDC tomamos de la sumatoria 푒± 푧 < 1 y recordando que 푒± = 1, por lo tanto la transformada total será

푋(푧) =

( )+

( ) RDC:|푧| > 1

Después de algunas manipulaciones algebraicas obtenemos el siguiente resultado

푥(푛) = 푐표푠(푤 푛)휇(푛)↔푋(푧) = ( )( )

RDC:|푧| > 1

134

Comprobando usando Matlab. syms n w0 f = cos(w0*n); X=ztrans(f) % Usar la instrucción pretty(X) X = (z*(z - cos(w0)))/(z^2 - 2*cos(w0)*z + 1) b) Para el caso del 푥(푛) = 푠푒푛(푤 푛)휇(푛), usando la identidad de Euler, la señal 푥(푛) se puede expresar como

푥(푛) = 푠푒푛(푤 푛)휇(푛) =12푗 푒 − 푒 휇(푛)

Aplicando la definición de la transformada 푧, obtenemos.

푋(푧) =12푗

11 − 푒 푧 −

11− 푒 푧

RDC:|푧| > 1

푋(푧) =12푗

푧 (푒 − 푒 )1− 2푧 푐표푠(푤 ) + 푧 RDC:|푧| > 1

Y, finalmente,

푥(푛) = 푠푒푛(푤 푛)휇(푛)↔푋(푧) =푧 푠푒푛(푤 )

1 − 2푧 푐표푠(푤 ) + 푧 RDC:|푧| > 1

Usando Matlab. syms n w0 f = sin(w0*n); X=ztrans(f) % Usar la instrucción pretty(X) X = (z*sin(w0))/(z^2 - 2*cos(w0)*z + 1) Desplazamiento en el tiempo Si

푥(푛)↔푋(푧) Entonces

푥(푛 − 푘)↔푧 푋(푧) 푥(푛 + 푘)↔푧 푋(푧)

La RDC de 푧 푋(푧) es la misma que la de 푋(푧) excepto para 푧 = 0, si 푘 > 0, y 푧 = ∞, si 푘 < 0 para el caso de señales finitas.

135

Ejemplo 3.9 Calcular la trasformada de 푥(푛) = 푥(푛 − 푛 )휇(푛 − 푛 ). Solución Aplicando la definición.

푋(푧) = 푥(푛 − 푛 )휇(푛 − 푛 ) 푧

Ya que 휇(푛 − 푛 ) = 1 para 푛 ≥ 푛 , los límites de la transformada serán.

푋(푧) = 푥(푛 − 푛 ) 푧

Hacemos un cambio de variable 푚 = 푛 − 푛 .

푋(푧) = 푥(푚) 푧 ( ) = 푧 푥(푚) 푧 = 푧 푋(푧)

Se puede concluir.

푥(푛) = 푥(푛 − 푛 )휇(푛 − 푛 ) ↔푋(푧) = 푧 푋(푧) Ejemplo 3.10 Aplicando la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la transformada 푧, determine las transformadas 푧 de las señales 푥 (푛) = 푥(푛 + 2) y 푥 (푛) = 푥(푛 − 2), a partir de la señal 푥(푛) = 2,4, 6, 8,10,12 . Solución La transformada 푋(푧) de la señal 푥(푛) = 2,4, 6, 8,10,12 será: 푋(푧) = 2푧 + 4푧 + 6 + 8푧 + 10푧 + 12푧 , RDC: plano 푧 completo, excepto 푧 = 0y푧 = ∞. Aplicando la propiedad de desplazamiento a la señal 푥 (푛). Su transformada 푋(푧), es

푋 (푧) = 푧 푋(푧) = 푧 (2푧 + 4푧 + 6 + 8푧 + 10푧 + 12푧 ) 푋 (푧) = 2푧 + 4푧 + 6푧 + 8푧 + 10 + 12푧

La multiplicación por 푧 no cambia la RDC. Todo el plano 푧 excepto푧 = 0y푧 = ∞. Para la señal 푥 (푛) = 푥(푛 − 2), aplicando la propiedad de desplazamiento para el caso de retardo, su transformada 푋(푧) es

136

푋 (푧) = 푧 푋(푧) = 푧 (2푧 + 4푧 + 6 + 8푧 + 10푧 + 12푧 ) 푋 (푧) = 2 + 4푧 + 6푧 + 8푧 + 10푧 + 12푧

Debido a la multiplicación por 푧 , la RDC de 푋 (푧) no incluye el punto 푧 = ∞ aunque estaba contenido en la RDC de 푋(푧). Ejemplo 3.11 Determine la transformada 푧 de la señal

푥(푛) = 1,0 ≤ 푛 ≤ 푁 − 10,푒푛푒푙푟푒푠푡표

Solución. Podemos determinar la transformada 푧 de esta señal usando la siguiente sumatoria.

푎 =푁,푎 = 1

1− 푎푁1−푎 ,푎 ≠ 1

푋(푧) = 푥(푛)푧 = (1) (푧 ) =1− (푧 )푁

1− 푧=

1− 푧1 − 푧

Dado que 푥(푛) tiene duración finita y es causal, su RDC es el plano 푧 completo, excepto 푧 = 0. También podemos encontrar la transformada 푧, observando que 푥(푛) se puede expresar en términos de dos señales escalón unidad.

푥(푛) = 휇(푛)− 휇(푛 − 푁)

Usando la propiedad de linealidad y desplazamiento.

푥(푛) = 휇(푛)− 휇(푛 − 푁) ↔ 푋(푧) = 푍{휇(푛)} − 푍{휇(푛 − 푁)} 푋(푧) = 푍{휇(푛)} − 푧 푍{휇(푛)} 푋(푧) = (1 − 푧 )푍{휇(푛)}

Sin embargo, ya conocemos la transformada del escalón unidad.

푥(푛) = 휇(푛) ↔푋(푧) =1

1 − 푧 RDC:|푧| > 1 Por lo tanto la transformada será

푋(푧) = (1− 푧 )1

1− 푧

Debido a que la señal es finita, la RDC es el plano 푧 completo, excepto 푧 = 0.

137

Escalado en el dominio 풛 Si

푥(푛)↔푋(푧) RDC: 푟 < |푧| < 푟

Entonces

푎 푥(푛) ↔푋( )RDC:|푎|푟 < |푧| < |푎|푟

Demostración. De la definición de la transformada directa

푍{푎 푥(푛)} = 푎 푥(푛)푧 = 푥(푛)(푎 푧)

푍{푎 푥(푛)} = 푋 푎−1푧 = 푋(푧/푎)

Dado que la RDC de 푋(푧) es 푟 < |푧| < 푟 , la RDC de 푋(푎 푧) es 푟 < |푎 푧| < 푟 ò |푎|푟 < |푧| < |푎|푟 para cualquier constante 푎, real o compleja. Al aplicar escalado de 푎 , equivale a remplazar 푧 por 푧/푎. Para entender mejor el significado y las consecuencias de la propiedad de escalado, expresamos 푎 y 푧 en forma polar como, 푎 = 푟 푒 y 푧 = 푟푒 . Podemos ver que la relación 푧/푎 se convierte en

푧/푎 =푟푟 푒 ( )

Este relación se traduce en la contracción (si 푟 > 1) ó la expansión (si 푟 < 1) del plano 푧 en combinación con una rotación (si wo ≠ 2kπ ) de éste (ver la figura 3.6). Esto explica por qué cambia la RDC cuando |푎| < 1. El caso |푎| = 1, es decir, 푎 = 푒 es de especial interés, ya que implica solamente una rotación del plano 푧.

Figura 3.6 Correspondencia entre el plano z y el plano w.

푃푙푎푛표 푧

푤 = 푎−1푧

푅푒(푧)

푃푙푎푛표

0

퐼푚(푤)

푅푒(푤)

푤

푤−푤0 0

퐼푚(푧) 푧

푟

푤 −푤

푤

138

Ejemplo 3.12 Determine la transformada 푧 de las señales a)푥(푛) = 푎 푐표푠(푤 푛)휇(푛) b)푥(푛) = 푎 푠푒푛(푤 푛) 휇(푛) Solución De la transformada 푥(푛) = 푐표푠(푤 푛)휇(푛) ↔푋(푧) = ( )

( )RDC:|푧| > 1

푎 푐표푠(푤 푛) 휇(푛)↔ ( )

( )RDC: |푧| > |푎|

De forma similar 푥(푛) = 푠푒푛(푤 푛)휇(푛)↔푋(푧) = ( )

( )RDC:|푧| > 1

푎 푠푒푛(푤 푛) 휇(푛)↔ ( )

( )RDC: |푧| > |푎|

Comprobando usando Matlab. syms n w0 a f = a^n*cos(w0*n); g= a^n*sin(w0*n); X=ztrans(f) % Usar la instrucción pretty(X) Y=ztrans(g) % Usar la instrucción pretty(Y) Respuesta X = -(z*(cos(w0) - z/a))/(a*(z^2/a^2 - (2*z*cos(w0))/a + 1)) Y = (z*sin(w0))/(a*(z^2/a^2 - (2*z*cos(w0))/a + 1)) Inversión temporal Si

푥(푛)↔푋(푧) RDC: 푟 < |푧| < 푟

Entonces

푥(−푛)↔푋(푧 ) RDC: < |푧| <

Cuando reflejamos una señal, es equivalente a reemplazar 푧 por 푧 en la fórmula de la transformada. En otras palabras una reflexión en el dominio del tiempo se corresponde con una inversión en el dominio 푧. Demostración. De la definición, tenemos

푍{푥(−푛)} = 푥(−푛) 푧 = 푥(푙) (푧 ) = 푋(푧 )

139

donde hacemos el cambio de variable 푙 = −푛. La RDC de 푋(푧 )es

푟 < |푧 | < 푟 o equivalentemente < |푧| < Observe que la RDC de 푥(푛) es la inversa de la correspondiente a 푥(−푛). Esto significa que si 푧 pertenece a la RDC de 푥(푛), entonces pertenece a la RDC de 푥(−푛). Ejemplo 3.13 Determine la transformada 푧 de la señal

푥(푛) = 휇(−푛)

Solución. Ya conocemos la transformada 푧 del escalón unitario.

휇(푛) ↔ RDC:|푧| > 1 Por lo tanto

휇(−푛) ↔1

1 − 푧 RDC:|푧| < 1 Diferenciación en el dominio z. Si 푥(푛)↔푋(푧), entonces 푛푥(푛)↔−푧 ( )

Demostración. Diferenciando ambos lados de la ecuación que define la transformada 푧 de una señal discreta 푥(푛), dada por; 푋(푧) ≡ ∑ 푥(푛)푍

푑푋(푧)푑푧 = 푥(푛)(−푛) 푧 = −푧 [푛푥(푛)] 푧

−푧푑푋(푧)푑푧 = 푍{푛푥(푛)}

Ambas transformadas tienen la misma RDC. Ejemplo 3.14 Determine la transformada 푧 de las señales, verifique usando Matlab para el caso a. a) 푥(푛) = 푛푎 휇(푛) b) 푥(푛) = 푛 para 0 ≤ 푛 ≤ 푁 − 1

140

Solución a) La señal 푥(푛) se puede expresar como 푛푥 (푛), donde 푥 (푛) = 푎 휇(푛).

푥 (푛) = 푎 휇(푛)↔ 푋 (푧) = RDC:|푧| > 푎

Por tanto, usando la propiedad de la diferenciación, obtenemos

푛푎 휇(푛)↔푋(푧) = −푧 =( )

RDC:|푧| > |푎| Comprobando con Matlab. syms n a f =n*a^n; X=ztrans(f) % Usar la instrucción pretty(X) Respuesta. X =(a*z)/(a - z)^2 Si hacemos 푎 = 1, encontramos la transformada 푧 de la señal rampa unidad.

푛휇(푛)↔( )

RDC:|푧| > 1

b) La señal 푥(푛) = 푛 para 0 ≤ 푛 ≤ 푁 − 1 se puede expresar como 푛푥 (푛), donde 푥 (푛) = 1 para 0 ≤ 푛 ≤ 푁 − 1. Tomando del Ejemplo 3.11 la transformada de 푥 (푛) = 1 para 0 ≤ 푛 ≤ 푁 − 1.

푥 (푛) = 1 para 0 ≤ 푛 ≤ 푁 − 1 ↔ 푋 (푧) = RDC es el plano 푧 completo, excepto 푧 = 0. Por la propiedad de diferenciación

푛푥 (푛)↔푋(푧) = −푧푑푋푑푧 =

푧 + (푁 − 1)푧 − 푁푧(1− 푧 )

Se mantiene la RDC, el plano 푧 completo, excepto 푧 = 0. Ejemplo 3.15 Utilizando las propiedades de la transformada 푧 determine la transformada 푧 푋(푧) de la señal.

푥(푛) = (푛 − 2)0,5 cos휋3 (푛 − 2) 휇(푛 − 2)

141

Solución. Se aplica la propiedad del desplazamiento.

푋(푧) = 푍{푥(푛)} = 푧 푍 푛0,5 cos(휋푛3 )휇(푛)

Posteriormente usamos la propiedad de la diferenciación a 푍 푛0,5 푐표푠( )휇(푛) . Donde la transformada de 푋 (푧) es la indicada a continuación, esta no cambia su RDC.

푋 (푧) = 푍 0,5 푐표푠휋푛3 휇(푛)

La transformada 푋(푧) total sera.

푋(푧) = 푍{푥(푛)} = 푧 푍 −푧푑[푋 (푧)]

푑푧

Aplicando la propiedad de escalamiento a 푍 0,5 푐표푠 휇(푛) .

푍 0,5 푐표푠 휇(푛) =, ( )

( , ) .; RDC:|푧| > 0.5

푍 0,5 푐표푠 휇(푛) = ,

, ,; RDC:|푧| > 0.5

Ahora derivando el resultado de la transformada 푧 anterior, no se cambia la RDC.

푋(푧) = 푧 −푧 ( ) ) RDC:|푧| > 0,5

푋(푧) = 푧 ,, ,

RDC:|푧| > 0,5

푋(푧) = 푧 , , ,, , ,

RDC:|푧| > 0,5

푋(푧) = , , ,, , ,

RDC:|푧| > 0,5

Convolución de dos secuencias Si tenemos dos transformada 푥 (푛) ↔푋 (푧) y 푥 (푛) ↔푋 (푧) Entonces 푥(푛) = 푥 (푛) ∗ 푥 (푛)↔푋(푧) = 푋 (푧)푋 (푧) La RDC de 푋(푧) es, por lo menos la intersección de las transformadas de 푋 (푧) y 푋 (푧).

142

Demostración. La convolución de 푥 (푛) y 푥 (푛) se define como

푥(푛) = 푥 (푘)푥 (푛 − 푘)

La transformada 푧 de 푥(푛) es

푋(푧) = 푥(푛)푧 = 푥 (푘)푥 (푛 − 푘) 푧

Intercambiando el orden de las sumatorias y aplicando la propiedad del desplazamiento en el tiempo obtenemos

푋(푧) = 푥 (푘) 푥 (푛 − 푘)푧

푋(푧) = 푥 (푘) [푋 (푧)푧 ]

푋(푧) = 푋 (푧) 푥 (푘) 푧

푋(푧) = 푋 (푧)푋 (푧) = 푋 (푧)푋 (푧)

Dependiendo de la longitud de las señales, a veces es mas eficiente transformar 푥 (푛) y 푥 (푛) al dominio 푧, multiplicar sus transformadas y calcular su transformada inversa, que realizar la convolución en el dominio del tiempo discreto. Ejemplo 3.16 Calcule la convolución 푥(푛) de las señales. 푥 (푛) = {1,1,3} 푥 (푛) = {1,0,3}

Solución. Utilizando Matlab. x1= [1 1 3]; x2= [1 0 3]; x = conv(x1, x2) x = {1,1,6,3,9} También podemos llegar al resultado anterior, utilizando la transformada 푧 푋(푧) de cada señal discreta.

푋 (푧) = (1 + 푧 + 3푧 ))

143

푋 (푧) = (1 + 3푧 )

Aplicando la propiedad de la convolución, realizamos la multiplicación de 푋 (푧) y 푋 (푧), al resultado le calculamos la transformada inversa.

푋(푧) = 푋 (푧)푋 (푧) = (1 + 푧 + 3푧 ))(1 + 3푧 ) 푋(푧) = 1 + 푧 + 6푧 + 3푧 + 9푧

푥(푛) = 훿(푛) + 훿(푛 − 1) + 6훿(푛 − 2) + 3훿(푛 − 3) + 9훿(푛 − 4) La propiedad de la convolución es uno de los resultados más importantes de la transformada 푧, ya que convierte la convolución de dos señales (en el dominio del tiempo) en la multiplicación de sus transformadas. El cálculo de la convolución de dos señales usando la transformada 푧 exige los siguientes pasos: 1. Calcular la transformada 푧 de las señales a convolucionar. 푋 (푧) = 푍{푥 (푛)}푋 (푧) = 푍{푥 (푛)}, pasar del dominio del tiempo → dominio 푧. 2. Multiplicar las dos transformadas 푧. 푋(푧) = 푋 (푧)푋 (푧),dominio 푧.

3. Encontrar la transformada 푧 inversa de 푋(푧). 푥(푛) = 푍 {푋(푧)}, pasar del dominio del tiempo → dominio 푧. Este procedimiento en la mayoría de los casos, es más eficiente desde el punto de vista computacional que el cálculo de la convolución. Ejemplo 3.17 Si 푥(푛) = 휇(푛) es la entrada del sistema con respuesta impulsional ℎ(푛) = 0,5 휇(푛), encontrar la salida 푦(푛). Solución. La salida en el dominio 푧 será 푌(푧) = 푋(푧)퐻(푧). Utilizando la propiedad de la convolución podemos escribir.

푌(푧) =푧

(푧 − 1) .푧

(푧 − 0,5)

푌(푧)푧 =

푧(푧 − 1)(푧 − 0,5) =

퐴(푧 − 1) +

퐵(푧 − 0,5)

Calculando las constantes 퐴 y퐵 por el método de expansión en fracciones parciales, el cual se estudiara más adelante, donde 퐴 = 2 y 퐵 = −1.

푌(푧)푧 =

2(푧 − 1)−

1(푧 − 0.5)

Por lo tanto 푌(푧)

144

푌(푧) =2푧

(푧 − 1) −푧

(푧 − 0,5) =2

(1− 푧 ) −1

(1 − 0,5푧 )

El caso de la transformada inversa se verá mas adelante.

푦(푛) = 2휇(푛) − 0,5 휇(푛)

Correlación de dos secuencias Si tenemos dos transformada 푥 (푛)↔푋 (푧) y 푥 (푛)↔푋 (푧) Entonces

푟 (푙) = 푥 (푛)푥 (푛 − 푙)↔푅 (푧) = 푋 (푧)푋 (푧 )

Demostración. Recordemos que 푟 (푙) = 푥 (푙) ∗ 푥 (−푙) Usando las propiedades de la convolución y la inversión temporal, obtenemos

푅 (푧) = 푍{푥 (푙)}푍{푥 (−푙)} = 푋 (푧)푋 (푧 ) La RDC de 푅 (푧) es, como mínimo, la intersección de las regiones de convergencia de 푋 (푧) y 푋 (푧 ). Como en el caso de la convolución, la correlación cruzada de dos señales se hace fácilmente según la multiplicación polinómica de la convolución e invirtiendo después el resultado. Ejemplo 3.18 Determine la autocorrelación de la señal

푥(푛) = 푎 휇(푛) ,− 1 < 푎 < 1 Solución. Dado que la autocorrelación de una señal es la correlación de ella consigo mismo da como resultado

푅 (푧) = 푍{푥 (푙)}푍{푥 (−푙)} = 푋 (푧)푋 (푧 ) Sabemos que la transformada de 푥(푛) = 푎 휇(푛)↔푋(푧) = RDC: |푧| > |푎| (señal causal) y la transformada

푋(푧 ) = RDC: |푧| >| |

(señal anticausal) Por lo tanto

푅 (푧) = =( )

RDC: |푎| < |푧| <| |

145

Dado que la RDC de 푅 (푧) es un anillo, la transformada inversa dará 푟 (푙), el cual será una señal bilateral, aunque 푥(푛) sea causal. Para obtener 푟 (푙), la transformada inversa de 푅 (푧) tenemos que descomponer el polinomio

푅 (푧) = ( )

= .

−

por lo que

푟 (푙) =1

1 − 푎 푎 휇(푙) + 1푎 휇(−푙 − 1)

Multiplicación de dos secuencias Si 푥 (푛)↔푋 (푧) y 푥 (푛)↔푋 (푧)

Entonces 푥 (푛) = 푥 (푛)푥 (푛)↔푋(푧)= ∮ 푋 (푣)푋 푣 푑푣 donde 퐶 es un contorno cerrado que contiene el origen y se encuentra en la región de convergencia común a 푋 (푣) y 푋 (1/푣). Demostración. La transformada 푧 푋(푧) de 푥 (푛) es

푋(푧) = 푥 (푛)푧 = 푥 (푛)푥 (푛)푧

sustituimos la transformada inversa para 푥 (푛) en la transformada 푧 푋(푧), en la ecuación de la definición de la transformada 푧 inversa e intercambiemos el orden de la suma y la integración.

푥 (푛) =1

2휋푗 푋 (푣)푣 푑푣

Así, obtenemos

푋(푧) =1

2휋푗 푋 (푣) 푥 (푛)푧푣

푣 푑푣

La suma entre corchetes es simplemente la transformada 푋 (푧) calculada en 푧/푣.

푋(푛) =1

2휋푗 푋 (푣)푋푧푣 푣 푑푣

146

Para obtener la RDC de 푋(푧) hay que tener en cuenta que si 푋 (푣) converge 푟 < |푣| < 푟 y 푋 (푣) converge para 푟 < |푧| < 푟 , entonces la RDC de 푋 (푧/푣) es 푟 < < 푟 . Por lo tanto, la RDC de 푋(푧) es, como mínimo, 푟 푟 < |푧| < 푟 푟 . Esta propiedad se utilizara al estudiar el diseño de filtros mediante la técnica de enventanado, donde se multiplica la respuesta impulsional de un sistema IIR por una “ventana” de duración finita que trunca la respuesta impulsional del sistema IIR. Para las secuencias complejas 푥 (푛) y 푥 (푛), podemos definir la secuencia producto 푥(푛) = 푥 (푛)푥∗(푛). Entonces, la correspondiente convolución integral compleja es

푥(푛) = 푥 (푛)푥∗(푛) ↔1

2휋푗 푋 (푣)푋∗푧∗

푣∗

푣 푑푣

Relación de Parseval Si 푥 (푛) y 푥 (푛) son dos secuencias complejas, entonces

푥 (푛)푥∗(푛) =1

2휋푗 푋 (푣)푋∗ 1

푣∗ 푣 푑푣

siempre que 푟 푟 < |1| < 푟 푟 donde 푟 < |푧| < 푟 , y 푟 < |푧| < 푟 , son las RDC de 푋 (푧) y 푋 (푧). Esta demostración se obtiene directamente de la propiedad, multiplicación de dos secuencias, 푋(푧) = ∮ 푋 (푣)푋 푣 푑푣 evaluando 푋(푧) en 푧 = 1. El teorema del valor inicial Si 푥(푛) es causal, es decir, 푥(푛) = 0 para 푛 < 0, entonces

푥(0) = lim→

푋(푧)

Demostración. Ya que 푥(푛) es causal, aplicando la definición de la transformada 푧.

푋(푧) = 푥(푛) 푧 = 푥(0) + 푥(1)푧 + 푥(2)푧 + ⋯

si 푧

→∞, obviamente 푧

→ 0, dado que 푛 > 0, por lo tanto se obtiene el teorema del

valor inicial. Ejemplo 3.19 Determine el valor inicial de la señal

푋(푧) =2푧 + 1,5

푧 + 1,3푧 + 0,3

147

푥(0) = 푙푖푚→

푋(푧) = 푙푖푚→

2푧 + 1,5

푧 + 1,3푧 + 0,3

Multiplicando numerador y denominador por 푧 , nos queda

푥(0) = 푙푖푚→

2 + 1,5

푧1 + 1,3

푧 + 0,3푧

→ 푥(0) = 2

Todas las propiedades de la transformada 푧 que se han presentado en esta sección se resumen en la Tabla 3.1 para facilitar su consulta.

Tabla 3.1 Propiedades de la transformada z Propiedad Dominio tiempo Dominio z RDC

푥(푛) 푥 (푛) 푥 (푛)

푋(푧) 푋 (푧) 푋 (푧)

푟 < |푧| < 푟 RDC1 RDC2

Linealidad 푎 푥 (푛) + 푎 푥 (푛) 푎 푋 (푧) + 푎 푋 (푧 Como mínimo la

intersección de RDC1 y RDC2

Desplazamiento 푥(푛 − 푘) 푧 푋(푧) 푋(푧) excepto 푧 = 0, si 푘 > 0, y 푧 = ∞, si

푘 < 0

Escalado dominio z 푎 푥(푛) 푋(푧푎) |푎|푟 < |푧| < |푎|푟

Inversión temporal 푥(−푛) 푋(푧 ) 1푟 < |푧| <

1푟

Diferenciación dominio z 푛푥(푛) −푧

푑푋(푧)푑푧 푟 < |푧| < 푟

Convoluciòn 푥 (푛) ∗ 푥 (푛) 푋 (푧)푋 (푧) Como mínimo la

intersección de RDC1 y RDC2

Correlación 푟 (푙) = 푥 (푙) ∗ 푥 (−푙) 푅 (푧) = 푋 (푧)푋 (푧 ) Como mínimo, la

intersección de las RDC de 푋 (푧) y 푋 (푧 )

Multiplicación 푥 (푛)푥 (푛) 1

2휋푗 푋 (푣)푋푧푣 푣 푑푣

Como mínimo,

푟 푟 < |푧| < 푟 푟

Relación Parseval 푥 (푛)푥∗(푛) 1

2휋푗 푋 (푣)푋∗

1푣∗ 푣 푑

Teorema Valor Inicial Si 푥(푛) es causal

푥(0) = lim

→ 푋(푧)

148

En la tabla 3.2 se encuentra un resumen de pares de transformada z. En dicha tabla vemos que las transformadas son todas funciones racionales; es decir, cocientes de polinomios en z . Como veremos seguidamente, las transformadas racionales no son sólo las transformadas de una serie de señales importantes, sino que también surgen al caracterizar sistemas discretos lineales e invariantes en el tiempo, descritos mediante ecuaciones en diferencias con coeficientes constantes.

Tabla 3.2 Pares de transformada con su RDC Señal 푥(푛) Transformada, 푧 푋(푧) Transformada, 푧 푋(푧) RDC 훿(푛) 1 1 Todo z

휇(푛) 1

1 − 푧 푧

푧 − 1 |푧| > 1

푎 휇(푛) 1

1 − 푎푧 푧

푧 − 푎 |푧| > 푎

푛푎 휇(푛) 푎푧

(1 − 푎푧 ) 푎푧

(푧 − 푎) |푧| > 푎

(푛 + 1)푎 휇(푛) 1

(1 − 푎푧 ) 푧

(푧 − 푎) |푧| > 푎

−푎 휇(−푛 − 1) 1

1 − 푎푧 푧

푧 − 푎 |푧| < 푎

−푛푎 휇(−푛 − 1) 푎푧

(1 − 푎푧 ) 푎푧

(푧 − 푎) |푧| < 푎

cos(푤 푛)휇(푛) 1 − 푧 cos(푤 )

1 − 2푧 cos(푤 ) + 푧 푧 − 푧 cos(푤 )

z − 2z cos(w ) + 1 |푧| > 1

푠푒푛(푤 푛)휇(푛) 푧 sen(푤 )

1 − 2푧 cos(푤 ) + 푧 푧 sen(푤 )

푧 − 2푧 cos(푤 ) + 1 |푧| > 1

푎 cos(푤 푛) 휇(푛) 1 − 푎푧 cos(푤 )

1 − 2푎푧 cos(푤 ) +푎 푧 z − 푎푧 cos(푤 )

z − 2푎푧 cos(푤 ) +푎 |푧| > 푎

푎 푠푒푛(푤 푛)휇(푛) 푎푧 sen(푤 )

1 − 2푎푧 cos(푤 ) +푎 푧 푎푧 sen(푤 )

z − 2푎푧 cos(푤 ) +푎 |푧| > 푎

3.5 Transformada 풛 en forma racional. Una clase de transformada 푧 encontrada en sistemas digitales es aquella donde 푋(푧) es una función racional y se representa como el cociente de dos polinomios en 푧 (o 푧), y viene dada por la ecuación en diferencias.

푎 푦(푛 − 푘) = 푏 푥(푛 − 푘)푎 ≡ 1

149

Tomando la transformada 푧 en ambos lados de la ecuación y desarrollando el primer término de la sumatoria para la salida del sistema 푌(푧), obtenemos

푌(푧) 푎 푧 = 푋(푧) 푏 푧

푌(푧)푋(푧) =

∑ 푏 푧∑ 푎 푧

푌(푧)푋(푧) =

∑ 푏 푧1 + ∑ 푎 푧

3.6 Polos y ceros Para función racional 푋(푧), los ceros son los valores de 푧 para los cuales 푋(푧) = 0, y los polos son los valores de 푧 para los cuales 푋(푧) = ∞.

푋(푧) =푁(푧)퐷(푧) =

푏 + 푏 푧 + ⋯+ 푏 푧푎 + 푎 푧 + ⋯+ 푎 푧 =

∑ 푏 푧∑ 푎 푧

Si 푎 ≠ 0 y 푏 ≠ 0, evitamos las potencias negativas de 푧 sacando como factor común los términos 푏 푧 y 푎 푧 , en el numerador y el denominador respectivamente.

푋(푧) =푁(푧)퐷(푧) =

푏 푧푎 푧

푧 + 푏푏 푧 + ⋯+ 푏

푏푧 + 푎

푎 푧 + ⋯+ 푎푎

Dado que 푁(푧) y 퐷(푧) son polinomios en 푧, se pueden expresar en forma de productos

푋(푧) =푁(푧)퐷(푧) =

푏푎 푧

(푧−푧 )(푧 − 푧 ) … (푧 − 푧 )(푧 − 푝 )(푧 − 푝 ) … (푧 − 푝 )

푋(푧) = 퐺푧∏ (푧 − 푧 )∏ (푧 − 푝 )

donde 퐺 = , así 푋(푧) tiene 푀 ceros en 푧 = 푧 ,푧 , … 푧 , 푁 polos en 푧 = 푝 ,푝 , … 푝 , que son las raíces del polinomio del numerador y denominador respectivamente, y |푁 −푀| ceros en el origen (si 푁 > 푀) ó |푁 −푀| polos en el origen (푧 = 0), si 푁 < 푀. También pueden encontrarse polos ó ceros en 푧 = ∞. Existe un cero en 푧 = ∞, si 푋(∞) = 0 y existe un polo en 푧 = ∞, si 푋(∞) = ∞. Si contamos los polos y ceros, incluyendo los que están en 푧 = 0 y en el infinito, encontramos que 푋(푧)tiene exactamente el mismo número de polos que de ceros.

150

3.6.1 Diagrama de Polos y ceros. Podemos representar gráficamente 푋(푧) mediante un diagrama de polos y ceros en el plano complejo, que muestra la localización de los polos mediante cruces (x) y la de los ceros mediante círculos (o). La multiplicidad, tanto de polos como de ceros se indica mediante un número al lado de la correspondiente cruz o círculo, por definición, la RDC de una transformada 푧 no puede contener ningún polo.

Figura 3.7 Diagrama de polos y ceros para la señal 푥(푛) = 훼 휇(푛).

3.6.2 Raíces de un número complejo Considere un número complejo en su forma polar 푧 = 푟푒 , centrado en el origen del eje de coordenadas con radio 푟 y ángulo 휃. Cuando 휃 se incrementa, 푧 se mueve alrededor del círculo en sentido contrario a las agujas del reloj. En particular cuando, 휃 se incrementa por 2휋, llegamos de nuevo al punto original; esto también aplica si 휃 se decrementa por 2휋. Esto se evidencia en la figura 3.8.

Figura 3.8 Representación de un numero complejo.

Esto nos lleva a decir que dos números complejo 푧 = 푟 푒 and 푧 = 푟 푒 son iguales si y solamente si 푟 = 푟 y 휃 = 휃 + 2휋푘, donde 푘 es un entero (푘 = 0, ±1, ±2, . . . ). Se tiene un números complejo 푧 = 푟 푒 y se quiere calcular la raíz "n-ésima" de 푧 , sabemos que su raíz es un números complejo no cero de la forma polar 푧 = 푟푒 . Podemos decir que la raíz "n-ésima" del números complejo 푧 se puede escribir de la forma 푧 = 푧 ó 푟푒 = 푟 푒 → 푟 푒 = 푟 푒 . De acuerdo a la ecuación anterior podemos decir que 푟 = 푟 y 휃푛 = 휃 + 2휋푘, donde 푘 es cualquier números entero (푘 = 0, ±1, ±2, . . . ). Así 푟 = 푟 , donde el radical denota el único valor positivo de la raíz "n-ésima" del número real 푟 y 휃 = = + donde 푘 es cualquier número entero (푘 = 0, ±1, ±2, . . . ).

0 a Re (z)

Im (z)

RDC

x O

151

Podemos colocar las raíces del número complejo 푧 = 푟 푒 en forma exponencial ( 푧 = 푟푒 ).

푧 = 푟 푒 ( ) 푘 = 0, ±1, ±2, …

Vemos inmediatamente de su forma exponencial que todas las raíces son iguales y caen en el círculo con radio |푧| = 푟 y centro en el origen, además se observa que los ángulos se encuentran igualmente espaciados, comenzando con 휃 /푛. Cuando 푛 es mayor o igual a tres, las raíces caen en los vértices de un polígono regular de lado 푛 inscrito en un círculo con radio igual a 푟 . Ejemplo 3.20 Determine el diagrama de polos y ceros de la señal.

푥(푛) = 푎 ,0 ≤ 푛 ≤ 푀 − 10,푒푛푒푙푟푒푠푡표 donde 푎 > 0.

Solución

푋(푧) = (푎푧 ) =1 − (푎푧 )

1 − 푎푧 =푧 − 푎

푧 (푧 − 푎)

Dado que 푎 > 0, con 푎 = 푎. 1 = 푎푒 , para 푧 = 푎 , entonces podemos escribir 푧 = 푎 푒 se deduce que 푧 = 푎푒 / . Es decir la ecuación 푧 = 푎 tiene 푀 raíces para 푧 = 푎푒 / 푘 = 0,1, … ,푀. El cero en 푧 = 푎 se cancela con el polo en 푧 = 푎. Por tanto,

푋(푧) =(푧 − 푧 )(푧 − 푧 ) … (푧 − 푧 )

푧 tiene 푀 − 1 ceros y 푀 − 1 polos. La figura 3.9.b muestra un ejemplo de localización de los polos para 푀 = 6. Obsérvese que la RDC es el plano 푧 completo excepto 푧 = 0 debido a que los 푀 − 1 polos están localizados en el origen. Ejemplo 3.21 Utilizando Matlab encuentre y grafique las raíces del ejemplo 3.20 para 푀 = 6, con 푎 = 4 y realice el diagrama de polos y ceros para 푀 = 6, con 푎 = 1. Solución Gráfica de las raíces complejas del numerador, para 푀 = 6 y 푎 = 4.

152

푋(푧) =푧 − 푎

푧 (푧 − 푎) =푧 − 푎

푧 − 푎푧 =푧 − 4푧 − 4푧

x=roots([1 0 0 0 0 0 -4^6]); x1=real(x); y1=imag(x); compass(x1,y1)%Grafica vectores coord.cartesiana centro origen/grid. text(5.9,0,'Re(z)','HorizontalAlignment','center','FontSize',10); text(0,5.8,'Imag(z)','HorizontalAlignment','center','FontSize',10); text(3.0,3.0,'|z|= r = 4','HorizontalAlignment','center','FontSize',10); Diagrama de polos y ceros para 푀 = 6, con 푎 = 1.

푋(푧) =푧 − 푎

푧 − 푎푧 =푧 − 1푧 − 푧

N =([1 0 0 0 0 0 -1^6]); % Coeficientes del polinomio del numerador D =([1 -1 0 0 0 0 0 ]); % Coeficientes del polinomio del denominador zplane(N,D) text(-0.35,0.03,' M-1 polos\rightarrow ','FontSize',10, 'HorizontalAlignment', 'left');

(a) (b) Figura 3.9 Raíces para la señal 푥(푛) = 4 휇(푛), 0 ≤ 푛 ≤ 푀 − 1 con 푀 = 6 y diagrama de polos y ceros para la

señal 푥(푛) = 휇(푛), 0 ≤ 푛 ≤ 푀 − 1 con 푀 = 6 En caso que exista el diagrama de polos y ceros, se puede determinar la transformada 푋(푧) y por ende su transformada inversa, con la excepción del factor de escala 퐺. Esto se ilustra en el ejemplo 3.22. Ejemplo 3.22.Determine la transformada 푧 y la señal correspondiente al diagrama de polos y ceros de la figura 3.10.

153

Solución. Existen dos ceros en 푧 = 0, 푧 = 푟푐표푠(푤 )y dos polos en 푝 = 푟푒 y 푝 = 푟푒 . Sustituyendo estas relaciones en la siguiente ecuación, obtenemos.

푋(푧) = 퐺(푧 − 푧 )(푧 − 푧 )(푧 − 푝 )(푧 − 푝 ) = 퐺

푧(푧 − 푟푐표푠(푤 ))(푧 − 푟푒 )(푧 − 푟푒 ) RDC: |푧| > 푟

Después de algunas manipulaciones algebraicas obtenemos

푋(푧) = 퐺1 − 푟푧 cos(푤 )

1 − 2푟푧 cos(푤 ) + 푟 푧 RDC: |푧| > 푟

Este es el caso de la transformada del coseno, ya vista

푥(푛) = 퐺(푟 cos(푤 푛))푢(푛) Vemos que el producto (푧 − 푝 )(푧 − 푝 ), donde 푝 y 푝 son complejos conjugados da un polinomio con coeficientes reales. En general, si un polinomio tiene coeficientes reales, sus raíces son números reales o pares complejos conjugados.

Figura 3.10 Diagrama de polos y ceros del ejemplo 3.22

Ejemplo 3.23 Encuentre el diagrama de polos y ceros de la siguiente función racional utilizando Matlab.

푋(푧) =(푧 − 2,4푧 + 2,88)

(푧 − 0,4푧 + 0, 64푧 + 1)

Solución. Para un sistema en forma de función de transferencia usamos la función zplane(b,a), donde b y a son los vectores filas del numerador y denominador respectivamente. Para un sistema en forma de polos y ceros se utiliza la función zplane(z,p), donde 푧 y 푝, son los ceros y polos del sistema en vectores columna. Para el caso de un sistema como función de transferencia. b=[1 -2.4 2.88] % Coeficientes del polinomio del numerador a=[1 -0.4 0.64 1] % Coeficientes del polinomio denominador zplane(b,a)

ROC

Im (z)

Re (z) r

z1

P1

P2

z2 ω0 ω0

154

Para el caso de un sistema donde se calculan los polos y ceros, usamos la instrucción: [z,p,k] = tf2zp(b,a) en combinación con zplane(z,p). La figura 3.11 muestra el diagrama de polos y ceros del ejemplo 3.23. El símbolo 'o' representa un cero y el símbolo 'x' representa un polo. El diagrama incluye el círculo unitario para referencia.

Figura 3.11 Diagrama de polos y ceros para la señal 푋(푧) = . .

( . . )

3.6.3 Grafica de Polos y Ceros en tres dimensiones. Como hemos visto, la transformada 푧 푋(푧) es una función compleja de la variable compleja 푧 = 푅푒(푧) + 푗퐼푚(푧). Evidentemente, el módulo de 푋(푧), es una función real y positiva de 푧. Dado que 푧 representa un punto del plano complejo, |푋(푧)| es una función bidimensional y describe una superficie. Esto se muestra en el ejemplo 3.24.

Ejemplo 3.24 La figura 3.12 muestra la gráfica de la superficie |푋(푧)|, para 푧 = 푒 de la transformada 푧 indicada a continuación.

푋(푧) =(푧 − 1)

(푧 + 4)

Solución. A continuación se indican las instrucciones en Matlab. [theta,r]=meshgrid((0:5:360)*pi/180,0:0.1:3); % Crea una malla en coordenadas polares [x,y]= pol2cart(theta,r); % Crea una malla en coordenadas rectangulares z=x+i*y; % Crea un vector de números complejos cplxmap(z,20*log(abs((z-1)./(z.^2+4+eps)))) xlabel('Eje Real','FontSize',16) ylabel('Eje Imag','FontSize',16) zlabel('20log(abs)','FontSize',16) colormap hsv axis([-3 3 -3 3 -40 30]) % Acota el eje x,y,z Esta grafica tiene un cero en 푧 = 1y dos polos en 푝 y 푝 = ±j2 . Observe los elevados valores cerca de las singularidades (polos) y el valle (cero) cerca de 푧 = 1.

155

Figura 3.12 Grafica de polos y ceros en tres dimensiones para la señal X(z)= (z -1)/(z^2+4)

3.6.4 Localización de los polos y comportamiento en el dominio del tiempo de señales causales Se considerara la relación que existe entre la localización de los polos en el plano 푧 y la forma de la señal correspondiente en el dominio del tiempo. Trataremos únicamente con señales reales y causales. Veremos varios casos del comportamiento de las señales causales de los polos de la transformada que están contenidos en la región |푧| < 1, en |푧| > 1, o en la circunferencia |푧| = 1. La circunferencia |푧| = 1 con radio 1, se conoce como circunferencia unidad. 1.- Señales de primer orden. Señal causal real con un polo, esta tiene la forma de una exponencial real.

푥(푛) = 푎 휇(푛)↔푋(푧) =1

1 − 푎푧 RDC: |푧| > |푎| que tiene un cero en 푧 = 0 y un polo en 푝 = 푎sobre el eje real. La figura 3.13 muestra el comportamiento de la señal con respecto a la localización del polo, en relación con la circunferencia unidad. La señal es decreciente si el polo está en el interior de la circunferencia unidad, constante si está sobre la circunferencia unidad, y creciente si está fuera de la circunferencia unidad. Un polo negativo indica que la señal alterna el signo entre muestras sucesivas. Deben evitarse las señales causales con polos fuera de la circunferencia unidad ya que no están acotadas y causan desbordamientos e inestabilidad en los sistemas digitales. 2.- Señales de segundo orden. Señal causal real con un polo doble, tiene la forma.

푥(푛) = 푛푎 휇(푛) La transformada 푋(푧)es

156

푋(푧) =푎푧

(1 − 푎푧 ) =푎푧

푧 (푧 − 푎) =푎푧

(푧−푎) RDC: |푧| > |푎|

Figura 3.13 Comportamiento en el dominio del tiempo de una señal causal de un solo polo en función de la

localización en la circunferencia unidad.

Esta es una función con un polo en 푧 = 푎 de multiplicidad dos y un cero en 푧 = 0. El comportamiento de la señal con respecto a la localización de los polos, en relación con la circunferencia unidad, se muestra en la figura 3.14. Se observa que una señal con un polo doble sobre la circunferencia unidad no está acotada. 3.- Señal causal con un par de polos conjugados. Para este caso la señal de entrada viene dada por la siguiente expresión, la cual será deducida más adelante.

푥(푛) = 2|퐴|(|푟|) 푐표푠(푤 푛 + 훼)휇(푛),푅푂퐶푒푠|푧| > |푟| La figura 3.15 muestra el caso de esta configuración y da como resultado una señal sinusoidal ponderada de forma exponencial. La distancia 푟 de los polos al origen determina la envolvente de la señal sinusoidal, y el ángulo con el eje real positivo, es la frecuencia relativa. Obsérvese que la amplitud de la señal es creciente si 푟 > 1, constante si 푟 = 1 (señales sinusoidales) decreciente si 푟 < 1.

Plano (z)

-1 1

1

-1

x(n)

n

1

-1

x(n)

n

-10

-5

10

5

x(n)

n

-1

x(n)

n

1

-10

-5

10

5

x(n)

n

x(n)

1

-1

n

x x x x x x . Escalón Unitario

Escalón Unitario alternado

Exponencial decreciente

Exponencial decreciente alternada.

Exponencial creciente

Exponencial creciente alternada

157

Figura 3.14 Comportamiento en el dominio del tiempo de una señal causal de un polo doble real en función

de la localización en la circunferencia unidad.

La figura 3.16 muestra el comportamiento de una señal causal con un par de polos dobles conjugados sobre la circunferencia unidad, lo que nos dice muestra que los polos múltiples sobre la circunferencia unidad deben tratarse con mucho cuidado. En resumen, las señales reales causales con polos reales simples o pares de polos simple complejos conjugados que están dentro ò sobre la circunferencia unidad, están siempre acotados en amplitud. Además, una señal con un polo o un par de polos complejos conjugados cerca del origen decrece más rápidamente que una señal con un polo o par de polos complejos conjugados también dentro pero cerca de la circunferencia unidad. Tal y como se puede ver en las gráficas, el comportamiento de una señal en el tiempo está directamente relacionado con la localización de los polos en relación con la circunferencia unidad. Los ceros afectan muy levemente el comportamiento de las señales, pero no fuertemente como los polos. Por ejemplo, en el caso de señales sinusoidales, la presencia y localización de los ceros afecta sólo a su fase. En este punto, debemos destacar que todo lo dicho sobre señales causales se aplica también a sistemas LIT causales, dado que su respuesta impulsional es una señal causal. De aquí que sí el polo de un sistema está fuera de la circunferencia unidad y la respuesta impulsional del sistema no está acotada, el sistema será inestable.

Plano (z)

-1 1 x x x x x x . 2 2 2 2 2 2

n

1

x(n)

-1 10

n

-10

-5

5

x(n)

5

x(n)

10

n

10

5

n

1

x(n)

-1

-10

-5

10

5

x(n)

n

n

10

5

x(n)

-10

-5

158

Figura 3.15 Comportamiento en el dominio del tiempo de una señal causal de un par de polo conjugado en función de la ubicación en la circunferencia unidad.

Figura 3.16 Comportamiento en el dominio del tiempo de una señal causal de un par de polo conjugado doble ubicados sobre la circunferencia unidad.

3.7 La función de transferencia de un sistema lineal invariante el tiempo En el Capítulo 2 se demostró que la salida 푦(푛) de un sistema lineal invariante en el tiempo con respuesta impulsional ℎ(푛) y secuencia de entrada 푥(푛), esta dada por la convolución 푦(푛) = ℎ(푛) ∗ 푥(푛). La propiedad de la convolución, expresa esta relación en el dominio 푧 como 푌(푧) = 퐻(푧)푋(푧), donde 푌(푧) es la transformada 푧 de la secuencia de salida 푦(푛), 푋(푧) es la transformada 푧 de la secuencia de entrada 푥(푛) y 퐻(푧) es la transformada 푧 de la respuesta impulsional ℎ(푛). Si conocemos ℎ(푛) y 푥(푛) podemos determinar sus transformadas 푧, 퐻(푧) y 푋(푧) luego multiplicarlas para obtener 푌(푧), y así determinar 푦(푛) calculando la transformada 푧 inversa de 푌(푧). Entonces podemos determinar la respuesta impulsional del sistema 퐻(푧) según la relación.

퐻(푧) =푌(푧)푋(푧)

y calculando después la trasformada 푧 inversa de 퐻(푧).

Plano z

1 푤

r

x(n)

n 0

푟

1 0

Plano z

푤

1 x

x

x

x

r = 1

n

x(n)

0

Plano z

1 푤

r

x

x

n

푟

0

x(n)

m=2

m=2

1 0

Plano z

푤

x

x

0

x(n)

n

159

Está claro que 퐻(푧) representa la caracterización del sistema en el dominio 푧, mientras ℎ(푛) es la caracterización correspondiente en el dominio del tiempo. En otras palabras, 퐻(푧) y ℎ(푛) son descripciones equivalentes del sistema, cada una en un dominio. La transforma 퐻(푧) se denomina función de transferencia del sistema. Cuando se describe el sistema mediante una ecuación lineal en diferencias con coeficientes constantes de la forma

푌(푧) = − 푎 푌(푧)푧 + 푏 푋(푧)푧

푌(푧)푋(푧) =

∑ 푏 푧1 + ∑ 푎 푧

o, equivalentemente,

퐻(푧) =∑ 푏 푧

1 + ∑ 푎 푧

Esto significa que un sistema lineal invariante en el tiempo descrito por una ecuación en diferencias con coeficientes constantes, tiene una función de transferencia racional. De la ecuación anterior obtenemos dos clases especiales de función de transferencia muy importantes. La primera, si 푎 = 0, para 1 ≤ 푘 ≤ 푁 (sistema no recursivo), entonces.

퐻(푧) = 푏 푧 =푧푧 푏 푧 =

1푧 푏 푧

En este caso, 퐻(푧) contiene 푀 ceros, cuyos valores están determinados por los parámetros del sistema {b }, y un polo de orden 푀 en el origen. Dado que el sistema contiene 푀 polos triviales en 푧 = 0 y 푀 ceros no triviales, se le denomina sistema de todo ceros. Un sistema así tiene una respuesta impulsional de duración finita, y se denomina sistema FIR (finite impulse response) o sistema de media móvil (sistema MA). Por otra parte, si 푏 = 0, para 1 ≤ 푘 ≤ 푀, el sistema es recursivo y la función de transferencia del sistema se reduce a

퐻(푧) =푏

1 + ∑ 푎 푧=푧푧

푏∑ 푎 푧

=푏 푧

∑ 푎 푧푎 ≡ 1

En este caso, 퐻(푧) contiene 푁 polos, cuyos valores quedan determinados por los parámetros del sistema {푎 } y un cero de orden 푁 en el origen 푧 = 0. Este sistema se denomina sistema de todos polos. Debido a la presencia de los polos, la respuesta

160

impulsional del sistema es de duración infinita y se llama sistema IIR (infinite impulse response). La forma general de la función de transferencia contiene tanto polos como ceros y, por ello, el sistema correspondiente se denomina sistema de polos y ceros, con 푁 polos y 푀 ceros. Los polos y/o ceros, tanto en 푧 = 0 como en 푧 = ∞, no se cuentan explícitamente. Debido a la presencia de polos, un sistema de polos y ceros es un sistema IIR. Ejemplo 3.25 Determine la función de transferencia y la respuesta impulsional del sistema descrito por la ecuación en diferencias. Así como la salida del sistema para 푥(푛) = 휇(푛).

푦(푛)− 0,7푦(푛 − 1) = 푥(푛)

Solución. Calculando la transformada 푧 de la ecuación en diferencias, obtenemos

푌(푧) − 0,7푧 푌(푧) = 푋(푧) Por tanto, la función de transferencia es

Y(푧)X(푧) ≡ 퐻(푧) =

11 − 0,7푧 =

푧푧 − 0,7

El sistema tiene un polo en 푧 = 0,7 y un cero en el origen, la RDC |푧| > 0,7. La transformada inversa es la respuesta impulsional del sistema.

ℎ(푛) = (0,7) 휇(푛) La salida del sistema viene dada por 푌(푧) = 퐻(푧)푋(푧), donde

푋(푧) =푧

푧 − 1

Utilizando la propiedad de multiplicación en 푧

푌(푧) =푧

푧 − 0,7 ∗푧

푧 − 1

Utilizando el método de expansión en fracciones simples y realizando algunas operaciones matemáticas, nos queda

푌(푧) =3,33

1 − 푧 +(−2,33)

1 − 0.7푧

161

La transformada inversa

푦(푛) = 3,33(1) 휇(푛)− 2,33(0,7) 휇(푛) 3 . 8 Inversión de la transformada 풛 A menudo, tenemos la transformada 푧 de una señal y queremos determinar la señal. El procedimiento para transformar desde el dominio 푧 al dominio del tiempo se denomina transformada 푧 inversa. Existen tres métodos, frecuentemente utilizados en la práctica, para el cálculo de la transformada 푧 inversa: 1.- Cálculo directo, mediante integración de contorno. 2.- Expansión en serie de potencia de términos en 푧 y 푧 . 3.- Expansión en fracciones simples y búsqueda en tabla. 3.8.1 La transformada z inversa mediante integración de contorno En esta sección consideraremos como obtener 푥(푛) a partir de la transformada 푧 푋(푧) con su RDC. De la teoría de variable compleja, la transformada inversa de 푧 se puede obtener por la formula.

푥(푛) =1

2휋푗 푋(푧)푧 푑푧

Donde 퐶 significa la integral compleja a lo largo de un contorno cerrado dentro de la RDC de 푋(푧)en sentido contrario a las agujas del reloj, encerrando el origen del plano 푧. Sin embargo, la dificultad de evaluar directamente esta integral hace que aparezcan métodos alternativos de obtener la transformada 푧 inversa. 3.8.2 La transformada 풛 inversa mediante expansión en serie de potencias La idea de este método es la siguiente: dada una transformada 푧 푋(푧) con su correspondiente RDC, podemos expandir 푋(푧) en una serie de potencias de la forma

푋(푧) = 퐶 푧 = 푥(푛)푧

que converge en la RDC dada. Como consecuencia de la unicidad de la transformada 푧, 푥(푛) = 퐶 para todo 푛. Cuando 푋(푧) es racional, la expansión se puede realizar efectuando la división. Para ilustrar esta técnica, invertiremos algunas transformadas 푧 donde interviene la misma expresión de 푋(푧), pero con RDC diferentes. Esto nos permitirá, además, resaltar la importancia que tiene la RDC al trabajar con transformadas 푧. Ejemplo 3.26 Determine la transformada 푧 inversa por el método de expansión en serie de potencias. Compruebe usando Matlab.

162

푋(푧) =1

1 + 16 푧 − 1

3 푧

Para los casos: 퐚)RDC:|푧| > |2/3| 퐛)RDC:|푧| < |1/2| Solución Debido a que la RDC es el exterior de un círculo, 푥(푛) es una señal causal. Buscamos, por tanto, una expansión en serie de potencias negativas de 푧. Para ello se ordenan el numerador y el denominador del mayor al menor exponente y se realiza una división de polinomios. Por otro lado antes de realizar una división de polinomios se debe conocer la región de convergencia para saber cómo debemos ordenar los polinomios del numerador y denominador. 1 1 + 푧 − 푧

1 + 푧 − 푧 1 − 푧 + 푧 − 푧 +…

− 푧 + 푧

− 푧 − 푧 + 푧

+ 푧 − 푧

+ 푧 + 푧 − 푧

− 푧 + 푧

− 푧 − 푧 + 푧

− 푧 − 푧 La serie de potencia resultante es el cociente de la división.

푋(푧) =1

1 + 16 푧 − 1

3 푧= 1 −

16 푧 +

1336 푧 −

25216 푧 −

1811296 푧 + ⋯

Se puede deducir que la trasformada inversa de 푋(푧) es

푥(푛) = 1,−16 ,1336 ,−

25216 ,

1811296 , …

Obsérvese que en cada paso del pRDCeso de división, eliminamos el término con la menor potencia de 푧 . Comprobando el resultado con Matlab, para este caso, se cambia en Matlab en el menú file/preferences/numeric/format/rational para que el resultado sea en fracción.

163

b=[ 1 ]; a=[1 1/6 -1/3]; [x,n]=impz(b,a) % Función que realiza la división. x = 1 -1/6 13/36 -25/216 181/1296 -481/7776 b) La RDC es el interior de una circunferencia. Por lo tanto, la señal es anticausal. Para obtener la expansión en serie de potencias positivas de 푧, se ordenan el numerador y el denominador del menor al mayor exponente y se realiza la división. 1 − 푧 + 푧 + 1

1 − 푧 − 3푧 −3푧 − 푧 − 푧 − 푧 +…

+ 푧 + 3푧

+ 푧 − 푧 − 푧

+ 푧 + 푧

+ 푧 − 푧 − 푧

+ 푧 + 푧

+ 푧 − 푧 − 푧

+ 푧 + 푧

푋(푧) =1

1 + 16 푧 − 1

3 푧= −3푧 −

32 푧 −

394 푧 −

758 푧 −

54316 푧 …

En este caso, x(n) = 0 para n ≥ 0. Se deduce que la trasformada inversa de 푋(푧) es:

푥(푛) = …−54316 ,−

758 ,−

394 ,−

32 ,−3,0, 0

Observamos que en cada paso de este proceso de división se elimina el término con la menor potencia de 푧. Este método no proporciona la respuesta en forma cerrada de 푥(푛), excepto cuando el resultado es lo suficientemente simple como para inferir el término general de 푥(푛), el proceso de división resulta tedioso si se desea determinar 푥(푛) cuando 푛 es grande. Este método es recomendable sólo cuando se desea determinar los primeros valores de la señal.

164

Instrucciones en Matlab para comprobar el resultado. b=[ 1 ]; a=[-1/3 1/6 1]; [x,n]=impz(b,a) x = -3 -3/2 -39/4 -75/8 -543/16 Ejemplo 3.27 Determine la transformada 푧 inversa por el método de expansión en serie de potencias. Compruebe usando Matlab.

푋(푧) =푧 − 4

1− 푧 + 푧 Para los casos: a) Señal causal. b) Señal anticausal Solución a) Para este caso se ordenan el numerador y el denominador del mayor al menor exponente y se realiza la división. 푧 − 4 푧 − 푧 + 1 푧 − 1 + 푧 푧 − 3푧 − 4푧 −푧 + 3푧 −3 − 푧 −3 + 3푧 − 3푧 −4푧 + 3푧 −4푧 + 4푧 − 4푧 −푧 + 4푧 −푧 + 푧 − 푧 +3푧 + 푧 +3푧 − 3푧 + 3푧 +4푧 − 3푧 La serie de potencia resultante es el cociente de la división.

푋(푧) =푧 − 4

푧 − 푧 + 1 = 푧 − 3푧 − 4푧 −푧 + 3푧 + 4푧 … Se puede deducir que la trasformada inversa de X(z) es

푥(푛) = 0, 1,−3,−4− 1, 3, 4 … Utilizando Matlab tenemos.

165

b=[1 -4]; a=[1 -1 1]; [x,n]=impz(b,a) x = 1 -3 -4 -1 3 4 b) Se ordenan el numerador y el denominador del menor al mayor exponente y se realiza la división. −4 + 푧 1 − 푧 + 푧 −4 + 4푧 − 4푧 −4 − 3푧 + 푧 +4푧 + 3푧 −3푧 + 4푧 −3푧 + 3푧 − 3푧 푧 + 3푧 푧 − 푧 + 푧 +4푧 −푧 +4푧 − 4푧 + 4푧 +3푧 − 4푧 +3푧 − 3푧 + 3푧 −푧 − 3푧

푋(푧) =−4 + 푧

푧 − 푧 + 1 = −4 − 3푧 + 푧 + 4푧 +3푧 − 푧 + ⋯ Se puede deducir que la trasformada inversa de 푋(푧) es

푥(푛) = … ,−1,3,4,1,−3,−4 Con Matlab tenemos. b=[-4 1]; a=[1 -1 1]; [x,n]=impz(b,a) x = -4 -3 1 4 3 -1

166

3.8.3 La transformada 풛 inversa mediante expansión en fracciones parciales Si 푋(푧) es una función racional, como la expresada a continuación.

푋(푧) =푁(푧)퐷(푧) =

∑ 푏 푧∑ 푎 푧

=푏 + 푏 푧 + ⋯+ 푏 푧푎 + 푎 푧 + ⋯+ 푎 푧

Si suponemos 푎 = 1, así la ecuación anterior se puede expresar como

푋(푧) =푁(푧)퐷(푧) =

푏 + 푏 푧 + ⋯+ 푏 푧1 + 푎 푧 + ⋯+ 푎 푧

Si 푎 ≠ 1, podemos dividir numerador y denominador por 푎 . Una función racional de la forma anterior se denomina propia si 푎 ≠ 0 y 푀 < 푁. Esto es equivalente a decir que el número de ceros finitos es menor que el número de polos finitos. En caso de que la función racional sea impropia (푀 ≥ 푁), se puede escribir como la suma de un polinomio y una función racional propia y se puede expresar como.

푋(푧) =푁(푧)퐷(푧) = 푐 + 푐 푧 + ⋯+ 푐 푧 ( ) +

푁 (푧)퐷(푧)

Donde el polinomio 푐 + 푐 푧 + ⋯+ 푐 푧 ( ) y el polinomio 푁 (푧) corresponden al cociente y al residuo respectivamente, de la división del numerador 푁(푧) con el denominador 퐷(푧). Este procedimiento se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 3.28 Exprese la siguiente transformada racional impropia en términos de un polinomio y una función propia.

푋(푧) =1 + 3푧 + 11

6 푧 + 13 푧

1 + 56 푧 + 1

6 푧

Solución Debemos reducir el numerador de manera que los términos 푧 y 푧 sean eliminados y detendremos la división cuando el orden del resto sea 푧 . Se ordenan la división de la misma manera que para determinar la expansión de potencias de señales anticausales.

167

+ 푧 + 푧 + 3푧 + 1 푧 + 푧 + 1

+ 푧 + 푧 + 2푧 2푧 + 1

+ 푧 + 푧 + 1

+ 푧 + 푧 + 1

푧

푋(푧) = 1 + 2푧 +16 푧

1 + 56 푧 + 1

6 푧

Nos centraremos en la inversión de transformada racionales propias, ya que cualquier función impropia puede escribirse en términos de una función propia. Sea 푋(푧) una función racional propia.

푋(푧) =푁(푧)퐷(푧) =

푏 + 푏 푧 + ⋯+ 푏 푧푎 + 푎 푧 + ⋯+ 푎 푧

Donde 푎 ≠ 0 y 푀 < 푁, Para simplificar nuestra discusión, eliminamos las potencias negativas de 푧 multiplicando el numerador y el denominador por 푧 . Así, obtenemos.

푋(푧)푧 =

푏 푧 + 푏 푧 + ⋯+ 푏 푧푎 푧 + 푎 푧 + ⋯+ 푎

El objetivo principal es descomponer la función racional 푋(푧)/푧 como una suma de fracciones simples. Para esto, factorizamos el polinomio del denominador en factores que contengan los polos 푝 , 푝 , … , 푝 de 푋(푧)/푧, distinguiremos tres casos. Procedimiento para calcular la transformada z inversa. .-Dividir la 푋(푧) por la variable 푧 para obtener la relación 푋(푧)/푧 .-Expandir 푋(푧)/푧 en fracciones parciales. .-Calcular los coeficientes .-Multiplicar las fracciones parciales por 푧 para obtener la relación 푋(푧). .-Obtener separadamente el inverso de cada término, tomar en cuenta la RDC. 3.8.3.1 Caso 1: Polos diferentes Suponga que los polos 푝 , 푝 , … , 푝 son todos diferentes, entonces buscamos una expresión de la forma.

푋(푧)푧 =

퐴푧 − 푝 +

퐴푧 − 푝 + ⋯+

퐴푧 − 푝

Para obtener los coeficientes 퐴 ,퐴 , … ,퐴 , se multiplica ambos lados por cada uno de los términos (푧 − 푝 ), 푘 = 1,2, … ,푁, y se evalúan las expresiones resultantes en cada

168

una de las posiciones de los polos, 푝 ,푝 , … ,푝 . Así, en general, tenemos

(푧 − 푝 )푋(푧)푧 =

(푧 − 푝 )퐴(푧 − 푝 ) + ⋯+ 퐴 + ⋯+

(푧 − 푝 )퐴푧 − 푝

Como consecuencia, evaluando en 푧 = 푝 la ecuación anterior obtenemos el k-ésimo coeficiente

퐴 =(푧 − 푝 )푋(푧)

푧 푘 = 1,2, … ,푁

La expansión de 푋(푧)/푧 como una suma de fracciones simples y la fórmula general para calcular los coeficientes 퐴 son válidas tanto para polos reales como complejos. Una vez calculado los coeficientes 퐴 ,퐴 , … ,퐴 , el polinomio 푋(푧) se puede expandirse en fracciones simples de acuerdo a la forma siguiente.

푋(푧) = 퐴1

1 − 푝 푧 + 퐴1

1 − 푝 푧 + ⋯+ 퐴1

1 − 푝 푧

La transformada 푧 inversa, 푥(푛) = 푧 {푋(푧)}puede obtenerse invirtiendo cada uno de los términos de la ecuación anterior y realizando la correspondiente combinación lineal. De la Tabla 3.3, se tiene que estos términos se pueden invertir usando la fórmula

푍1

1 − 푝 푧 =(푝 ) 휇(푛),푠푖푅푂퐶: |푧| > |푝 |(푠푒ñ푎푙푒푠푐푎푢푠푎푙푒푠)

−(푝 ) 휇(−푛 − 1),푠푖푅푂퐶: |푧| < |푝 |(푠푒ñ푎푙푒푠푎푛푡푖푐푎푢푠푎푙푒푠)

En una señal 푥(푛) causal, la RDC es |푧| > 푝 , donde 푝 = 푚푎푥{|푝 |, |푝 |, … , |푝 |} Para una señal 푥(푛) anticausal, la RDC es |푧| < 푝 , para 푝 = 푚푖푛{|푝 |, |푝 |, … , |푝 |} En el caso, que todos los términos de 푋(푧) son componentes de señal causales la señal 푥(푛) viene dada por

푥(푛) = (퐴 푝 + 퐴 푝 + ⋯+ 퐴 푝 )휇(푛)

Si todos los polos son reales, la ecuación anterior es la expresión para la señal 푥(푛). Por tanto, una señal causal, que tiene una transformada 푧 con todos los polos diferentes y reales, es una combinación lineal de exponenciales reales. Para el caso, que todos los términos de 푋(푧) son componentes de señal anticausales la señal 푥(푛) viene dada por

푥(푛) = −(퐴 푝 + 퐴 푝 + ⋯+ 퐴 푝 )휇(−푛 − 1)

169

Ejemplo 3.29 Determine la transformada z inversa de

푋(푧) =3푧

푧 − 14 푧 − 1

8

Con las siguientes regiones de convergencias a) |푧| >

b) |푧| <

c) < |푧| < Solución. En primer lugar, eliminamos las potencias negativas si existen, luego se calculan los polos de 푋(푧), son 푝 = ½ y 푝 = −¼. En consecuencia, la expansión en fracciones simple es.

푋(푧)푧 =

3

푧 − 12 푧 + 1

4=

퐴

푧 − 12

+퐴

푧 + 14

Una manera simple de determinar 퐴 consiste en multiplicar la ecuación por el término del denominador (푧 − ½ ) y se evalúa ( )para 푧 = ½ . Así, obtenemos

3 푧 − 12

푧 − 12 푧 + 1

4

½

= 퐴 푧 − 1

2푧 − 1

2

½

+ 퐴 푧 − 1

2푧 + 1

4

½

3

푧 + 14

½

= 퐴 + 퐴 푧 − 1

2푧 + 1

4

½

312 + 1

4

½

= 퐴 + 퐴 1

2−12

12 + 1

4

½

Por lo tanto, tenemos que 퐴 = 4. Para evaluar 퐴 se multiplica la ecuación ( )por el término (푧 + ¼) y se evalúa la ecuación para 푧 = −¼ .

170

3 푧 + 14

푧 − 12 푧 + 1

4

¼

= 퐴 푧 + 1

4푧 − 1

2

¼

+퐴 푧 + 1

4푧 + 1

4

¼

3

푧 − 12

¼

=퐴 푧 + 1

4푧 − 1

2

¼

+ 퐴

3

−14 −

12

=퐴 −1

4 + 14

−14 −

12

+ 퐴

Y de aquí 퐴 = −4. Por consiguiente, el resultado de la expansión en fracciones simples es de la forma

푋(푧)푧 =

4

푧 − 12

−4

푧 + 14

Se multiplica toda la ecuación por 푧, la expansión en fracciones simples de 푋(푧).

푋(푧) =4푧

푧 − 12

−4푧

푧 + 14

푋(푧) =4

1 − 12 푧

−4

1 + 14 푧

Utilizando Matlab para encontrar polos, ceros y la transformada 푧 inversa del ejemplo anterior. A continuación indicamos las siguientes instrucciones en Matlab. bx=[3]; % Vector de coeficientes del numerador ay=[1 -0.25 -0.125]; % Vector de coeficientes del denominador [r,p,k]=residue(bx,ay); % Instrucción para calcular los coeficiente y los polos disp('Residuos');disp(r');% Coeficientes de las fracciones parciales (Ai) disp('Polos');disp(p'); % Valores de los polos (pi) disp('Ganancia');disp(k'); % Ganancia Residuos 4 -4 Polos 0.5000 -0.2500 Ganancia

171

Para invertir 푋(푧) debemos aplicar las relaciones estudiadas e indicadas a continuación, con los polos 푝 = ½ y 푝 = −¼. Sin embargo, esto exige la especificación de la RDC correspondiente.

푍1

1− 푝 푧 =(푝 ) 푢(푛),푠푖RDC: |푧| > |푝 |(푠푒ñ푎푙푒푠푐푎푢푠푎푙푒푠)

−(푝 ) 푢(−푛 − 1),푠푖RDC: |푧| < |푝 |(푠푒ñ푎푙푒푠푎푛푡푖푐푎푢푠푎푙푒푠)

a) En el caso de que la RDC sea |푧| > , la señal 푥(푛) es causal y los dos términos de 푋(푧) son causales. Por lo que obtenemos la transformada inversa,

푥(푛) = 412 휇(푛) − 4 −

14 휇(푛)

Podemos utilizar las siguientes instrucciones en Matlab para calcular la secuencia causal del ejemplo anterior. syms z, x = iztrans(3*z/(z^2-0.25*z-1/8)) % Transformada inversa x = 4*(1/2)^n - 4*(-1/4)^n

b) Cuando la RDC es|푧| < , la señal 푥(푛) es anticausal. Por tanto, los dos términos son anticausales, obtenemos.

푥(푛) = −412 휇(−푛 − 1) + 4 −

14 휇(−푛 − 1)

c) En este caso, la RDC < |푧| < es un anillo, lo que implica que la señal 푥(푛) es bilateral. Por lo tanto, uno de los términos se corresponde con una señal causal y el otro, con una anticausal. Evidentemente, la RDC es como resultado del solapamiento de las regiones |푧| > y |푧| < . De aquí que el polo 푝 = −¼ da lugar a la parte causal y el polo 푝 = ½ a la anticausal. Por lo tanto,

푥(푛) = −412 휇(−푛 − 1)− 4 −

14 휇(푛)

Ejemplo 3.30 Considere la siguiente función de transferencia

퐻(푧) =2푧 − 12푧

(푧 − 0,3)(푧 + 0,2)(푧 − 3)

Encuentre la respuesta impulsional ℎ(푛) con las siguientes RDC e indique la estabilidad del sistema.

172

a)|z| > |3| b)|z| < |0,2| c)|0.2| < |z| < |0,3| d)|0.3| < |z| < |3| e)|0.2| < |z| < |3| Solución. Los polos del sistema son 푝 = 0,3, 푝 = −0,2y푝 = 3. Para este caso se aplica el caso de polos diferentes. Ya que uno de los polos es mayor a uno, el sistema es inestable a) Para |푧| > |3| corresponde para una señal causal, la RDC debe ser |푧| > p , donde 푝 = 푚푎푥{|푝 |, |푝 |, … , |푝 |}. Si RDC > 3, los polos 푝 = 0,3, 푝 = −0,2 y 푝 = 3 se encuentran dentro de este círculo y el círculo unitario no se encuentra dentro de la RDC. Por lo tanto el sistema es causal. La respuesta impulsional es la siguiente

ℎ(푛) = 푐 (0,3) 휇(푛) + 푐 (−0,2) 휇(푛) + 푐 (3) 휇(푛) b) En este caso, |z| < |0,2|, el sistema es no causal y la intercepción de los polos se encuentran dentro del anillo |z| = |0,2|. La respuesta impulsional es la siguiente

ℎ(푛) = 푐 (0,3) 휇(−푛 − 1) + 푐 (−0,2) 휇(−푛 − 1) + 푐 (3) 휇(−푛 − 1)

c) Esto corresponde a un anillo, |0,2| < |푧| < |0,3|, la RDC se encuentra entre los anillos |푧| = |0,2| y |푧| = |0,3|. La respuesta impulsional es la siguiente

ℎ(푛) = 푐 (0,3) 휇(−푛 − 1) + 푐 (−0,2) 휇(푛) + 푐 (3) 휇(−푛 − 1) d) Este caso es un anillo, |0,3| < |푧| < |3|, la RDC se encuentra entre los anillos |푧| = |0,3| y |푧| = |3|. La respuesta impulsional es la siguiente.

ℎ(푛) = 푐 (−0,2) 휇(푛) + 푐 (0,3) 휇(푛) + 푐 (3) 휇(−푛 − 1) e) Anillo |0,2| < |푧| < |3|, la RDC se encuentra entre los anillos |푧| = |0,2| y |푧| = |3|. La respuesta impulsional tiene la siguiente expresión.

ℎ(푛) = 푐 (−0,2) 휇(푛) + 푐 (0,3) 휇(−푛 − 1) + 푐 (3) 휇(−푛 − 1) En tiempo real ecuación en diferencia de orden 푁 se puede ser representada como 푦(푛) + 푎 푦(푛 − 1) + ⋯+ 푎 푦(푛 − 푁) = 푏 푥(푛) + 푏 푥(푛 − 1) + ⋯+ 푏 푥(푛 −푀)

Con la función filter de Matlab se puede encontrar la respuesta de un sistema discreto descrito con una ecuación en diferencia, con condiciones iniciales que diferentes de cero para la señales de salidas y entradas.

173

xi = (y(−1)y(−2)y(−3)y(−4)… y(−M))%Condicionesinicialesdelaentrada. yi = y(−1)y(−2)y(−3)y(−4) … y(−N) %Condicionesinicialesdelasalida bx = []; % Vector de coeficientes del numerador ay= []; % Vector de coeficientes del denominador yo= filtic(bx, ay, xi, yi) % Calcula condiciones para n 0 x = []; % Vector de entrada de datos y = filter(bx, ay, x, yo) % Instrucción para calcular la salida del sistema Donde y es el vector salida del sistema, bx es el vector coeficientes del numerador, ay es el vector coeficientes del denominador, x es el vector de la señal de entrada, yo es el vector de las condiciones iníciales calculadas con la instrucción filtic(bx,ay,xi,yi). Ejemplo 3.31 Considere el siguiente sistema

푦(푛)− 0,5푦(푛 − 1)− 0,1푦(푛 − 2) + 0,2푦(푛 − 3) = 푥(푛)

Con la entrada 푥(푛) = 휇(푛) y condiciones iniciales, y(-1) = 1, y(-2) = 2 y(-3) = 3. a) Encuentre la salida 푦(푛) usando Matlab b) Encuentre la función de transferencia. c) ¿Es el sistema estable? Solución. a) Instrucciones en Matlab para encontrar la salida del sistema n = [0:15];% Variable independiente bx = [ 1 ];% Coeficientes del vector x ay = [ 1 -.5 -.1 .2 ]; % Coeficientes del vector y y0 = [ 1 2 3];% Condiciones iniciales ic=filtic(bx,ay,y0); %Condiciones iniciales derivada de la E.D para n>=0 x = [ones(length(n))];% Señale entrada, impulso y = filter(bx, ay, x, ic);% Calculo de la respuesta del sisietma subplot(1, 2, 1); stem(n, x); xlabel('n'), ylabel('Señal de entrada'); subplot(1, 2, 2); stem(n, y); xlabel('n'), ylabel('Señal de salida');

Figura3.17 Salida de la ecuación en diferencias 푦(푛) − 0.5푦(푛 − 1) − 0.1푦(푛 − 2) + 0.2푦(푛 − 3) = 푥(푛)

Cuando la señal de entrada es un impulso.

174

b) El sistema de transferencia se obtiene al tomar la transformada 푧 de la ecuación en diferencias con condiciones iníciales cero

푌(푧) − 0,5푧 푌(푧) − 0,1푧 푌(푧) + 0,2푧 푌(푧) = 푋(푧) reagrupando términos semejantes podemos obtener

푌(푧)[1− 0,5푧 − 0,1푧 + 0,2푧 ] = 푋(푧) La función de transferencia es

푌(푧)푋(푧) = 퐻(푧) =

11 − 0,5푧 − 0,1푧 + 0,2푧

c) El sistema es estable si los polos se encuentran dentro del círculo unitario. Usaremos Matlab para encontrar las raíces del polinomio del denominador. r=roots([1 -0.5 -0.1 0.2]); abs(r) % Magnitud de las raíces Se obtiene los valores 0.5000, 0.6325, 0.6325. Las raíces se encuentran dentro del círculo unitario, por lo tanto el sistema es estable. 3.8.3.2 Caso 2: Polos de orden múltiple Si 푋(푧) tiene un polo de multiplicidad 푙, esto es, si en su denominador aparece un factor de la forma (푧 −푝 ) , entonces la expansión dada para polos diferentes no es válida. Por lo que se necesita una expansión diferente. La expresión en fracciones simple ha de contener los términos

푋(푧)푧 =

퐴푧 − 푝 +

퐴(푧 − 푝) + ⋯+

퐴(푧 − 푝)

Los coeficientes {퐴 } pueden obtenerse tras derivaciones sucesivas, del término

(푧 − 푝) 푋(푧)푧

el último coeficiente {퐴 } se obtiene aplicando el caso para polos diferentes. Solamente estudiaremos el caso de polos dobles, por lo que es útil el siguiente par de transformadas

푍푝푧

(1− 푝푧 ) = 푛푝 휇(푛)

válido si la RDC es |푧| > |푝|.

175

Para el caso de polos repetidos ver la tabla 3.3.

Tabla 3.3 Pares de transformada polos repetidos

푛푎 휇(푛) 푎푧

(1− 푎푧 ) 푎푧

(푧 − 푎) |푧| > 푎

(푛 + 1)푎 휇(푛) 1

(1− 푎푧 ) 푧

(푧 − 푎) |푧| > 푎

12 (푛 + 1)(푛 + 2)푎 휇(푛)

1(1− 푎푧 )

푧(푧 − 푎) |푧| > 푎

1(푛 − 1)!

(푛 + 1)(푛 + 2) … (푁 + 푛 − 1)훼 휇(푛) 1

(1 − 푎푧 ) 푧

(푧 − 푎) |푧| > 푎

Ejemplo 3.32 Determine la señal causal 푥(푛) que tiene por transformada 푧. Con RDC |푧| > |1|.

푋(푧) =푧

푧 − 2푧 + 54 푧 − 1/4

Solución Factorizando tenemos

푋(푧) =푧

푧 − 2푧 + 54 푧 − 1/4

=푧

(푧 − 1)(푧 − 12)

푋(푧)tiene un polo simple en 푝 = 1 y un polo doble en 푝 = 푝 = ½. En este caso tenemos un polo de multiplicidad 2. Dividimos por 푧 y expandimos en fracciones parciales.

푋(푧)푧 =

1

(푧 − 1)(푧 − 12)

=퐴

(푧 − 1) +퐴

(푧 − 12)

+퐴

푧 − 12

Para calcular 퐴 y 퐴 se procede de la misma manera que en el caso de polos diferentes. Para determinar 퐴 , multiplicamos ambos lados por (푧 − 1) y calculamos el resultado evaluando para 푧 = 1. Así, la ecuación anterior se convierte en.

(푧 − 1)푋(푧)푧 =

(푧 − 1)

(푧 − 1)(푧 − 12)

= 퐴 +퐴 (푧 − 1)

(푧 − 12)

+퐴 (푧 − 1)

푧 − 12

que, evaluada en 푧 = 1, da

176

1

(푧 − 12)

= 퐴 = 4

A continuación se procede a determinar 퐴 , multiplicando ambos lados por(푧 − ½) y evaluando en 푧 = ½.

(푧 − 12)

(푧 − 1)(푧 − 12)

= 퐴 = 1

푧 − 1 /= −2

El coeficiente 퐴 se puede obtener primero multiplicando ambos lados por (푧 − ½) , luego se deriva ambos lados de la ecuación con respecto 푧 y calculando el resultado en 푧 = ½. No es necesario derivar la parte derecha, ya que todos los términos, excepto 퐴 , desaparecen cuando derivamos y evaluamos para 푧 = ½.

(푧 −12)

푋(푧)푧 =

(푧 − 12)

(푧 − 1)(푧 − 12)

=퐴 (푧 − 1

2)(푧 − 1) +

퐴 (푧 − 12)

(푧 − 12)

+퐴 (푧 − 1

2)

푧 − 12

1(푧 − 1) =

퐴 (푧 − 12)

푧 − 1 + 퐴 (푧 −12) + 퐴

Tomamos la derivada de ambos lados de la ecuación con respecto 푧 y posteriormente se evalúa el resultado en 푧 = ½.

푑푑푧 [

1(푧 − 1)]

/=푑푑푧 [

퐴 (푧 − 12)

푧 − 1 + 퐴 (푧 −12) + 퐴 ]

/

(−1)

(푧 − 1) /

= 퐴 ⇒ 퐴 = −4

La señal 푋(푧) será de la forma:

푋(푧)푧 =

4(푧 − 1) −

4

(푧 − 12)−

2

푧 − 12

푋(푧) =4푧

(푧 − 1) −4푧

(푧 − 12)−

2푧

푧 − 12

177

푋(푧) = 4푧

푧 − 1 − 4푧

푧 − 1/2− 412 푧

푧 − 12

Aplicando las relaciones para la transformación inversa de la tabla 3.3, obtenemos

푥(푛) = 4휇(푛)− 412 휇(푛)− 4푛

12 휇(푛)

Podemos utilizar las siguientes instrucciones en Matlab para calcular la secuencia causal del ejemplo anterior. Donde

푋(푧) =푧

푧 − 2푧 + 54 푧 − 1/4

syms z, x=iztrans(z/(z^3-2*z^2+1.25*z-0.25)) x = 4 - 4*(1/2)^n*(n - 1) - 8*(1/2)^n 4 - 4*(1/2)^n - 4*n*(1/2)^n 3.8.3.3 Caso 3: Polos Complejos Supongamos ahora que todos los polos son diferentes, pero que algunos de ellos son complejos y los polos complejos conjugados producen coeficientes de la expansión en fracciones simples que son complejos conjugados. En este caso, algunos de los términos de dan lugar a exponenciales complejas. Sin embargo, si la señal, 푥(푛)es real debemos ser capaces de reducir estos términos a componentes reales. Si 푥(푛) es real, los polinomios de 푋(푧) tienen coeficientes reales. Si 푝 es un polo, su complejo conjugado 푝∗ también es un polo. Como demostramos, los coeficientes correspondientes de la expansión en fracciones simples también son complejos conjugados. Para un par de polos complejos conjugados de una señal causal, la transformada 푧 푋(푧) es.

푋(푧)푧 =

푁(푧)(푧 − 푝)(푧 − 푝∗) =

퐴(푧 − 푝) +

퐴∗

(푧 − 푝∗)

Por tanto, la transformada 푧 inversa de un par de polos complejos conjugados para una señal causal es de la forma.

푥(푛) = 푍퐴

1− 푝푧 +퐴∗

1 − 푝∗푧 = [퐴푝 + 퐴∗(푝∗) ]휇(푛)

Estos dos términos pueden combinarse para formar una señal real. En primer lugar, expresemos 퐴, 퐴∗, 푝 y 푝∗,en forma polar (esto es, amplitud y fase) como

178

퐴 = |퐴|푒 ; 퐴∗ = |A|푒 푝 = |푝|푒 ; 푝∗ = |푝|푒

donde 훼 y 훽 son las fases de 퐴 y 푝 sustituyendo estas relaciones en la transformada inversa anterior obtenemos

푥(푛) = [퐴푝 + 퐴∗(푝∗) ]휇(푛) 푥(푛) = |퐴|푒 |푝|푒 + |퐴|푒 (|푝|푒 ) 휇(푛)

푥(푛) = |A||푝| 푒 ( ) + 푒 ( ) 휇(푛) o equivalentemente,

푥(푛) = 2|퐴||푝| cos(훽푛 + 훼)휇(푛) Por lo tanto, concluimos que

푥(푛) = 푍퐴

1− 푝푧 +퐴∗

1 − 푝∗푧

푥(푛) = 2|퐴||푝| cos(훽푛 + 훼)휇(푛),RDCes|푧| > |푝| A partir de la ecuación anterior vemos que cada par de polos complejos conjugados en el dominio discreto produce una señal sinusoidal causal con envolvente exponencial. La distancia 푝 del polo al origen determina la variación de la exponencial (creciente si 푝 > 1, decreciente si 푝 < 1, y constante si 푝 = 1). El ángulo de los polos respecto del eje real positivo determina la frecuencia de la sinusoide. Los ceros o el numerador de la transformada racional, afectan indirectamente a la amplitud y a la fase de 푥(푛) a través de 퐴. Ejemplo 3.33 Determine la señal causal 푥(푛) cuya transformada 푧 está dada por

푋(푧) =2(1 + 푧 )

1 − 푧 + 0,5푧

Solución. Para eliminar las potencias negativas de 푧, multiplicamos numerador y denominador por 푧 . Así

푋(푧)푧 =

2(푧 + 1)푧 − 푧 + 0,5

Los polos de 푋(푧) son complejos conjugados

푝 =12 + 푗

12 y푝

∗ =12 − 푗

12

179

Dado que 푝 ≠ 푝 , buscamos una expansión de la forma de polos diferentes.

푋(푧)푧 =

2(푧 + 1)(푧 − 푝 )(푧 − 푝 ) =

퐴(푧 − 푝 ) +

퐴(푧 − 푝 )

Para obtener 퐴 y 퐴 , usamos la fórmula general para calcular los coeficientes 퐴 Así obtenemos

퐴 =2(푧 + 1)(푧 − 푝 )(푧 − 푝 )(푧 − 푝 ) =

2(푧 + 1)푧 − 푝 =

2(12 + 푗 1

2 + 1)12 + 푗 1

2−12 + 푗 1

2

퐴 = 1 − 푗3

퐴 =2(푧 + 1)(푧 − 푝 )(푧 − 푝 )(푧 − 푝 ) =

2(푧 + 1)푧 − 푝 =

2(12− 푗 1

2 + 1)12 − 푗 1

2−12 − 푗 1

2

퐴 = 1 + 푗3

Resumiendo

퐴 = 1 − 푗3; 퐴 = 퐴∗ = 1 + 푗3

푝 =12 + 푗

12 ; 푝 = 푝∗ =

12− 푗

12

Tenemos un par de polos complejos conjugados, usaremos la ecuación demostrada. La forma polar de 퐴 y 푝 son

퐴 = √10푒 , °

푝 =1√2

푒 °

푥(푛) = √10√22 cos(푛45°− 71,57°)휇(푛)

3.9 La transformada풛 unilateral La transformada 푧 bilateral exige que las señales correspondientes estén especificadas en todo el dominio del tiempo −∞ < 푛 < ∞. Lo que permite su uso en numerosos problemas prácticos, en concreto, para el cálculo de la salida de sistemas que no están en reposo. Estos sistemas están descritos por ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales distintas de cero. Dado que la entrada se aplica en un determinado instante 푛 , tanto la entrada como la salida están especificadas para 푛 ≥ 푛 , lo que no significa que sean cero para 푛 < 푛 . Por lo tanto, no se puede usar la transformada z bilateral. En esta sección, desarrollaremos la

180

transformada 푧 unilateral que se puede emplear para resolver ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales distintas de cero. Definición. La transformada 푧 unilateral de una señal 푥(푛) se define como

푋 (푧) = 푥(푛)푧

Usaremos las notaciones 푍 {푥(푛)}ó 푥(푛)↔푋(푧). La transformada 푧 unilateral se diferencia de la transformada 푧 bilateral en el límite inferior del sumatorio, que es siempre cero, independientemente de si la señal 푥(푛)es cero para 푛 < 0 (es decir, causal). Debido a esta elección del límite inferior, la transformada unilateral presenta las siguientes características: 1.- No contiene información sobre la señal 푥(푛) para valores negativos del tiempo; es

decir, para 푛 < 0). 2.- Para señales anticausales, 푋 (푧) es siempre cero. 3.- La RDC de 푋 (푧), es siempre exterior a un círculo. De ahí que cuando tratemos con

transformadas 푧 unilaterales no necesitaremos referirnos a su RDC. Ejemplo 3.34 Determine las transformadas 푧 unilaterales de las señales. Solución.

푥 = {1, 2,5,7,0,1} ↔푋 (푧) = 1 − 2푧 + 5푧 + 7푧 + 푧

푥 = {1,2, 5, 7,0,1} ↔푋 (푧) = 5 + 7푧 + 푧

푥 = {0, 0,1,2,5,7,0,1} ↔푋 (푧) = 푧 + 2푧 + 5푧 + 7푧 + 푧

푥 = {2,4, 5, 7,0,1} ↔푋 (푧) = 5 + 7푧 + 푧 La transformada 푧 unilateral de 푋 (푧) = 푋 (푧) sin embargo 푥 (푛) ≠ 푥 (푛). Todas las propiedades de la transformada 푧 bilateral, se extienden a la transformada 푧 unilateral, con la excepción de la propiedad del desplazamiento temporal. 3.9.1 Propiedades Retardo temporal. Si

푥(푛)

푋 (푧)

181

entonces

푥(푛 − 푘)

푧 푋 (푧) + 푥(−푛) 푧 , para푘 > 0

Demostración.

푍 {푥(푛 − 푘)} = 푥(푛 − 푘)푧 = 푧 푥(푙)푧

donde hemos realizado el cambio de variable 푙 = 푛 − 푘. De la definición de la transformada 푧 unilateral obtenemos.

푥(푙)푧 = 푥(푙)푧 + 푥(푙)푧

Realizamos el cambio de variable 푙 = −푚

푥(푙)푧 = 푥(−푚)푧 + 푥(푙)푧

푥(푙)푧 = 푥(−푚)푧 + 푥(푙)푧

Sabemos por definición que

푋 (푧) = 푥(푙)푧

푥(푙)푧 = 푥(−푚)푧 + 푋 (푧)

푧 푥(푙)푧 = 푧 푋 (푧) + 푥(−푚)푧

Ejemplo 3.35 Determine la transformada z unilateral de las señales

182

a) 푥(푛) = 푎 휇(푛) b) 푥 (푛) = 푥(푛 − 2) donde 푥(푛) = 푎 Solución. a) La transformada unilateral de 푥(푛)

푥(푛) = 푎

푋 (푧) =1

1 − 푎푧 b) Aplicaremos la propiedad del desplazamiento para 푘 = 2. De hecho, tenemos

푍 {푥(푛 − 2)} = 푧 [푋 (푧) + 푥(−1)푧 + 푥(−2)푧 ] 푍 {푥(푛 − 2)} = 푧 푋 (푧) + 푥(−1)푧 + 푥(−2)

Dado que 푥(−1) = 푎 , 푥(−2) = 푎 , obtenemos

푋 =푧

1 − 푎푧 + 푎 푧 + 푎 Avance temporal. Si

푥(푛)

푋 (푧) Entonces

푥(푛 + 푘)⎯ 푧 푋 (푧) − 푥(푛)푧 para푘 > 0

Demostración.

푍 {푥(푛 + 푘)} = 푥(푛 + 푘)푧 = 푧 푥(푙)푧

Hemos realizado el cambio de variable 푙 = 푛 + 푘. De la definición transformada 푧.

푋 (푧) = 푥(푙)푧

푥(푙)푧 = 푥(푙)푧 + 푥(푙)푧

183

푥(푙)푧 − 푥(푙)푧 = 푥(푙)푧

푧 푥(푙)푧 = 푧 푥(푙)푧 − 푥(푙)푧

푧 푥(푙)푧 = 푧 푋 (푧) − 푥(푙)푧

Ejemplo 3.36 Con 푥(푛) = 푎 휇(푛), determine la transformada z unilateral de la señal

푥 (푛) = 푥(푛 + 2) Solución. La transformada unilateral de 푥(푛)

푥(푛) = 푎

푋 (푧) =1

1 − 푎푧 Aplicaremos el teorema del desplazamiento en el tiempo para 푘 = 2.

푍 {푥(푛 + 2)} = 푧 [푋 (푧)− (푥(0)푧 + 푥(1)푧 ] 푍 {푥(푛 + 2)} = 푧 푋 (푧)− 푥(0)푧 + 푥(1)푧

En esta caso 푥(0) = 1, 푥(1) = 푎 La transformada 푧 será

푍 {푥(푛 + 2)} = 푧1

1 − 푎푧 푧 + 푎푧

La propiedad del desplazamiento temporal se aplica a la solución de ecuaciones en diferencias con coeficientes constantes y condiciones iniciales distintas de cero. Esto hace de la transformada 푧 unilateral una herramienta muy útil en el análisis de sistemas discretos recursivos lineales e invariantes en el tiempo. Un teorema muy importante y útil en el análisis de señales y sistemas es el Teorema del valor final. Teorema del valor final. Si

푥(푛)

푋 (푧)

184

Entonces

lim→

푥(푛) = lim→

(푧 − 1)푋 (푧)

El límite de la ecuación anterior existe si la RDC de (푧 − 1)푋 (푧) incluye a la circunferencia unidad. Este teorema es útil cuando estemos interesados en el comportamiento asintótico de la señal 푥(푛)y conocemos su transformada pero no la señal en sí misma. En estos casos, especialmente si es complicado invertir 푋 (푧), podemos usar el teorema del valor final para determinar el límite de 푥(푛) cuando n tiende a infinito. Ejemplo 3.37 La respuesta impulsional de un sistema en reposo, lineal e invariante en el tiempo, es ℎ(푛) = 푎 휇(푛) con |푎| < 1. Determine el valor de la respuesta del sistema al escalón unitario. Solución. La respuesta al escalón del sistema es 푦(푛) = ℎ(푛) ∗ 푥(푛), donde 푥(푛) = 휇(푛). Si excitamos un sistema causal con una entrada causal, la salida será causal. Dado que ℎ(푛), 푦(푛) son señales causales, la transformada 푧 unilateral es idéntica a la bilateral. De la propiedad de la convolución sabemos que las transformadas 푧 de ℎ(푛) y 푥(푛) deben multiplicarse para obtener la transformada 푧 de la salida, por lo tanto, 푌(푧) = 퐻(푧).푋(푧).

푌(푧) =1

1 − 푎푧 1

1 − 푎푧 =푧

(푧 − 1)(푧 − 푎) RDC: |푧| > |푎|

Podemos hacer

(푧 − 1)푌(푧) =푧

(푧 − 푎) RDC: |푧| > |푎|

Dado que |푎| < 1, la RDC de (푧 − 1)푌(푧) incluye a la circunferencia unidad. Como conse-cuencia, podemos aplicar Teorema del valor final y obtenemos

lim→

푦(푛) = lim→

푧(푧 − 푎) =

1(1 − 푎)

3.9.2 Ecuaciones en diferencias con condiciones iníciales distintas de cero La transformada 푧 unilateral es una herramienta muy efectiva para la solución de ecuaciones en diferencias con condiciones iniciales distintas de cero. Se consigue reduciendo la ecuación en diferencias que relaciona las dos señales en el dominio del tiempo a una ecuación algebraica equivalente que relaciona sus transformadas 푧

185

unilaterales. Esta ecuación se resuelve para obtener la transformada de la señal deseada. La señal en el dominio del tiempo se obtiene invirtiendo la transformada resultante. Ejemplo 3.38 La conocida secuencia de Fibonacci de números enteros se obtiene calculando cada término como la suma de los dos anteriores. Los primeros términos de la secuencia son: 1,1,2,3,5,8,13... Determine una expresión para el término n-ésimo de la secuencia de Fibonacci. Solución. Sea 푦(푛) el n-ésimo término de la secuencia de Fibonacci. Evidentemente, 푦(푛)verifica la ecuación en diferencias.

푦(푛) = 푦(푛 − 1) + 푦(푛 − 2) con condiciones iniciales

y(0) = y(−1) + y(−2) = 1 y(1) = y(0) + y(−1) = 1

Sabemos que y(0) = 0, de la ultima ecuación verificamos que 푦(−1) = 0 para que 푦(1) = 1, esto implica que 푦(−2) = 1. Por tanto, tenemos que determinar 푦(푛) = 푛 ≥ 0, con las condiciones iniciales 푦(−1) = 0 y 푦(−2) = 1. Tomando la transformada 푧 unilateral de la ecuación en diferencias y usando la propiedad de desplazamiento temporal, obtenemos.

푌 (z) = [z 푌 (z) + y(−1)] + [z Y (z) + y(−2) + y(−1)z ]

푌 (z) =1

1 − z − z =z

z − z − 1 Podemos invertir 푌 (푧) mediante el método de la expansión en fracciones simples. Los polos de 푌 (푧)son

푝 =1 + √5

2 , 푝 =1 − √5

2

y los coeficientes correspondientes son 퐴 = 푝 /√5y 퐴 = −푝 /√5. Por lo que la transformada inversa es,

푦(푛) =1 + √5

2√5(1 + √5

2 ) −1 − √5

2√5(1− √5

2 ) 휇(푛)

o, equivalentemente,

186

푦(푛) =1√5

(12) (1 + 5) − (1 − 5) 휇(푛)

Ejemplo 3.39 Determine la respuesta 푦(푛), 푛 ≥ 0, del sistema descrito por la ecuación en diferencias de segundo orden del ejemplo 2.26 del capítulo II.

푦(푛)−32푦

(푛 − 1) +12푦

(푛 − 2) = 푥(푛),푛 ≥ 0 cuando la secuencia de entrada es 푥(푛) = ( ) 휇(푛). Con las condiciones iniciales 푦(−1) = 4, 푦(−2) = 10. Solución. Tomando la transformada 푧 unilateral de ambos lados de la ecuación en diferencias y usando la propiedad de desplazamiento temporal, obtenemos

푥(푛) = (14) 휇(푛)↔ 푋 (푧) =

1

1− 14 푧

푌 (z)−32 z [y(−1)z + 푌 (z)] +

12 z [y(−1)z + y(−2)z + 푌 (z)] = 푋 (z)

푌 (z) + −32 y

(−1) −32 z 푌 (z) +

12 y(−1)z +

12 y(−2) +

12 z 푌 (z) = 푋 (z)

푌 (z)−32 . 4 −

32 z 푌 (z) +

12 4z +

12 . 10 +

12 z 푌 (z) = 푋 (z)

푌 (z) 1 −32 z +

12 z =

1

1 − 14 푧

+ (1 − 2z )

푌 (z) =

11− 1

4 푧+ (1 − 2z )

1 − 32 z + 1

2 z

푌 (z) =

1 + (1 − 14 푧 )(1 − 2z )

1 − 14 푧

1 − 32 z + 1

2 z

푌 (z) =1 + (1 − 1

4 푧 )(1 − 2z )

1 − 14 푧 1 − 3

2 z + 12 z

187

푌 (z) =1 + 1 − 2z − 1

4 푧 + 12 푧

1 − 32 z + 1

2 z − 14 푧 + 3

8 푧 − 18 푧

푌 (z) =2 − 9

4 푧 + 12 푧

1 − 74 z + 7

8 푧 − 18 푧

Utilizando Matlab para calcular la transformada inversa. syms z,x=iztrans((2*z^3-(9/4)*z^2+(1/2)*z + 0)/(z^3-(7/4)*z^2+(7/8)*z-1/8)) x =(1/2)^n + (1/4)^n/3 + 2/3 Utilizando el método de expansión en fracciones parciales utilizando Matlab. bx=[2 -9/4 1/2]; % Vector de coeficientes del numerador ay=[1 -7/4 7/8 -1/8]; % Vector de coeficientes del denominador [r,p,k]=residue(bx,ay) % Instrucción para calcular coeficiente y polos r =0.6667 1.0000 0.3333 p =1.0000 0.5000 0.2500 k = [] Sustituyendo los coeficientes y los polos en la expansión de fracciones simples.

푌 (z) =0,6667

1 − 푧 +1

1 − 0,5푧 +0,3333

1 − 0,25푧

Tomando la transformada inversa, tenemos.

푦(푛) = 0,6667휇(푛) + (0,5) 휇(푛) + 0,3333(0,25) 휇(푛)

Ejemplo 3.40 Determine la respuesta 푦(푛), 푛 ≥ 0, del sistema descrito por la ecuación en diferencias 푦(푛)− 0,95푦(푛 − 1) + 0,9025푦(푛 − 2) = [푥(푛) + 푥(푛 − 1) + 푥(푛 − 2)],푛 ≥ 0 cuando la secuencia de entrada es 푥(푛) = 푐표푠(휋푛/3)휇(푛). Con las condiciones iniciales 푦(−1) = −2, 푦(−2) = −3,푥(−1) = 1, 푥(−2) = 1 Solución.La transformada z unilateral de la entrada, será.

188

푥(푛) = 푐표푠(푤 푛)휇(푛)↔푋 (푧) =1 − 푧 푐표푠(푤 )

1 − 2푧 푐표푠(푤 ) + 푧

푥(푛) = 푐표푠(휋푛/3)휇(푛) ↔푋 (푧) =1 − 0,5푧

1 − 푧 + 푧

Tomando la transformada 푧 unilateral de ambos lados de la ecuación en diferencias y usando la propiedad de desplazamiento temporal, obtenemos 푌 (z)− 0,95z [y(−1)z + Y (z)] + 0,9025z [y(−1)z + y(−2)z + 푌 (z)] =

[푋 (z) + z [푥(−1)z + 푋 (z)] + z [푥(−1)z + 푥(−2)z + 푋 (z)]] 푌 (z)− 0,95z [−2z + 푌 (z)] + 0,9025z [−2z − 3z + 푌 (z)] = [푋 (z) +z [z + X (z)] + z [z + z + 푋 (z)]]

푌 (z) + 1,9 − 0,95z 푌 (z) − 1,805z − 2,7075 + 0,9025z 푌 (z) = [푋 (z) + 1 +z X (z) + z + 1 + z 푋 (z)]

푌 (z)[1− 0,95z + 0,9025z ] + 1,9− 2,7075− 1,805z = 푋 (z)[1 + z +

z ] + [2 + z ]

푌 (z)[1− 0,95z + 0,9025z ] =13푋

(z)[1 + z + z ] + 1,4772 + 2,1383z

푌 (z) =13 [1 + z + z ]푋 (z)

[1− 0,95z + 0,9025z ] +1,47721 + 2,1383z

[1− 0,95z + 0,9025z ]

Sustituyendo

푋 (푧) =1 − 0.5푧

1 − 푧 + 푧

푌 (z) =

13 [1 + z + z ] 1 − 0.5푧

1 − 푧 + 푧[1− 0,95z + 0,9025z ] +

1,4772 + 2,1383z[1− 0,95z + 0,9025z ]

=

0,333 + 0,1667푧 + 0,1667푧 − 0,1667푧1 − 푧 + 푧

[1− 0,95z + 0,9025z ] +1,4772 + 2,1383z

[1 − 0,95z + 0,9025z ]

=

0,333 + 0,1667푧 + 0,1667푧 − 0,1667푧1 − 푧 + 푧 + 1,4772 + 2,1383z

[1 − 0,95z + 0,9025z ]

189

=

0,33 + 0,1667푧 + 0,1667푧 − 0,1667푧 + (1,4772 + 2,1383z )(1− 푧 + 푧 )1 − 푧 + 푧

[1− 0,95z + 0,9025z ]

푌 (z) =[1,8075 + 0,8308z − 0,4975z + 1,9717z ]

(1 − 푧−1 + 푧−2)[1 − 0,95z−1 + 0,9025z−2]

Desarrollando, obtenemos.

푌 (z) =[1,8075 + 0,8308z − 0,4975z + 1,9717z ]

[1− 1,95z + 2,8525z − 1,8525z + 0,9025z ]

Podemos partir de la siguiente ecuación para encontrar los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador de la ecuación anterior usando Matlab.

푌 (z) =13 [1 + z + z ][1− 0,5푧 ] + [1− 푧 + 푧 ][1,4772 + 2,1383z ]

[1− 푧 + 푧 ][1− 0,95z + 0.9025z ]

% Coeficientes polinomio numerador N=conv([1/3 1/3 1 /3],[1 -0.5]) + conv([1 -1 1 ],[1.4742 2.1383]) % Coeficientes polinomio denominador D=conv([1 -1 1 ],[ 1 -0.95 0.9025]) % Convoluciòn N = 1.8075 0.8308 -0.4974 1.9716 D = 1.0000 -1.9500 2.8525 -1.8525 0.9025 Como vemos los coeficientes calculados con Matlab concuerdan con los resultados finales. Usaremos Matlab para encontrar las raíces y los coeficientes para realizar la expansión de fracciones parciales. bx=[1.8075 0.8308 -0.4975 1.9717];%Vector coeficientes numerador ay=[1 -1.95 2.8525 -1.8525 0.9025];%Vector coef denominador [r,p,k]=residue(bx,ay)%Instrucción para calcular coeficiente y polos Mr=abs(r),Ar=angle(r)*180/pi % Valor abs. y ángulo Mp=abs(p),Ap=angle(p)*180/pi % Valor absoluto y ángulo polos r =0.0584 - 3.9464i 0.0584 + 3.9464i 0.8453 + 2.0307i 0.8453 - 2.0307i p =0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660i 0.4750 + 0.8227i 0.4750 - 0.8227i

190 Mr =3.9469 3.9469 2.1997 2.1997 Ar =-89.1519 89.1519 67.3997 -67.3997 Mp =1.0000 1.0000 0.9500 0.9500 Ap =60.0000 -60.0000 60.0000 -60.0000 Utilizando el resultado para el caso de un par de polos complejos.

푥(푛) = 2|퐴|(|푝|) cos(훽푛 + 훼) 휇(푛),RDC|푧| > |푝| Donde 퐴 y 훽 es la magnitud y el ángulo de los coeficientes de expansión y 푝 y 훼 es la magnitud y el ángulo de los polos. 퐴 = 3,9469, 훽 = −89,1519°, 푝 = 1,0000, 훼 = 60,00° 퐴 = 2,1997, 훽 = 67,3997°, 푝 = 0,9500, 훼 = 60,00°

푥(푛) = 2 ∗ 3,9469 ∗ (1) cos(−89,1519° ∗ 푛 + 60.00°)휇(푛) + 2 ∗ 2,1997 ∗ (0,95) cos(67,3997° ∗ 푛 + 60.00°)휇(푛)

푥(푛) = 7,8938 cos(−89,1519 ∗ 푛 ∗ 푝푖/180 + 60,00 ∗ 푝푖/180)휇(푛) +

4,3994 ∗ (0,95) cos(67,3997 ∗ 푛 ∗ 푝푖/180 + 60,00 ∗ 푝푖/180)휇(푛), RDC|푧| > |1|