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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios

Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 96

FORMULÁRIO

Anuidades Periódicas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P. A.

1 1 1 1n n

PAC n i n i

i iG GS R n R s s n

i i i i

1 1

1 1 1 1

1n n

n n

PAC n i n in

i iG G nC n R a R a

i ii ii i i

Anuidades Gradientes Postecipadas

1 1n

GP

iGS n

i i

;

1

1 1n

GP n

iGC n

iii

Anuidades Gradientes Antecipadas

(1 ) 1(1 )

n

GA

G iS n i

i i

;

1

(1 ) 1

(1 )

n

GA n

G iC n

i i i

(1 )GA GPS S i ; (1 )GA GPC C i

Anuidades Gradientes, Decrescentes e Postecipadas

2

1 11 1 1 1

n

n n

GDP

iG GS n i n i i

i i i

2

1 111

1 1

n

GDP n n

iG GC n i n

i ii i i

Anuidades Gradientes, Decrescentes e Antecipadas

2

11 (1 )

1GDA n

GC n i i

i i

e o montante correspondente, na época n-1, é dado por:

2

11 (1 )

1

n

GDA n

GS n i i

i i

e o montante correspondente, na época n, é dado por:

1 1GDA GDA GDPS S i S i



FORMULÁRIO

Anuidades Infinitas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P. A.

, 2a

G RC

i i

Anuidades Periódicas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P.G.

Para 1 GG

Ri C

qq

n

;

11

n

GGS n R i

Para

1 11 1

G

n

nG

R qq i

i q iC

;

11

GG

n nSR

i qi q

Anuidades Periódicas, Infinitas, Crescentes e Postecipadas, com Termos em P.G.

se ,1

1G

Rq i C

i q



8.10 — Exercícios Propostos

1) Quanto devemos aplicar, no dia de hoje, em um investimento que rende 5% a.m. para que

possamos sacar dez parcelas mensais, considerando que as mesmas formem:

a) Uma anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a

R$ 300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês?

b) Uma anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 2.000,00 e razão igual a

R$ 200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses?

c) Uma anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a

R$ 300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês?

d) Uma anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 4.000,00 e razão igual a

R$ 200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses?

e) Uma anuidade crescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 1,06 (6%

de crescimento mensal), com a primeira parcela daqui a 2 meses?

f) Uma anuidade decrescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 0,94,

com a primeira parcela daqui a 2 meses?

Solução

1) anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a R$

300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês

10 1

1

0

0 10

1 1 1 1

1 0,05 1 1 0,05 130010

1 1

1 0,05 1 0,05

3683,47952 $ 32.6

30000,050,05 0,05

2,57789 23165,20479 60,81

n n

n n

PAC

i iGC C n R

ii ii i

R

C

C

A planilha a seguir mostra a resolução usando a função VPL do Excel.



b) anuidade crescente em P.A., com termo inicial de R$ 2.000,00 e razão igual a R$

200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses

10 10

10 10

1 1

1 11 1

1

1 0,051 0,05 1 0,0

1 1 1 1

1 0,05 1 1 0,05 120010 2000

0,050,05 0,05

2,

5

2455,65301 57789 15443

n n

PA nC n

i iGC C n R

ii i

C

C

i ii i

1$ 20.737,02

1 0,05,46986 R


c) anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão igual a

R$ 300,00, com a primeira parcela daqui a 1 mês

Observando que o termo inicial é igual a 10 vezes a razão, e que temos 10 termos,

podemos lançar mão da expressão do valor atual de uma anuidade gradiente,

decrescente e postecipada; ou seja:

10

10

1 1 1 0,05 130010 $13.669,59

0,051 0,05 1 0,05

n

GDP n

iGC n R

i i i




d) anuidade decrescente em P.A., com termo inicial de R$ 4.000,00 e razão igual a

R$ 200,00, com a primeira parcela daqui a 2 meses

Note que neste caso podemos considerar essa anuidade como a soma de uma

anuidade uniforme, diferida em 1 período e com termo igual a R$ 2.000,00, com uma

anuidade gradiente, decrescente e postecipada, diferida em 1 período. Logo, seu valor

atual pode ser calculado como a soma dos valores atuais de cada uma das duas

anuidades.

O primeiro valor atual, C1 , da anuidade uniforme, é dado por:

1

1

1 1

1 1n m

n

i

iC R

i i

, onde m é o prazo do diferimento

10

10

1

114708,06653

1 0,051

1 0,05 1200

0,050

0,05C

O segundo valor atual, C2 , da anuidade gradiente decrescente, é dado por:

2

1 1

1

1

1

n

mn

iGn

i iC

i i


10

2 10

1 0,05 120010 8679,105029

0,05 0,05 1 0,

1

1 0,0505C

Logo o valor atual da anuidade original, C , é dado por:

1 2 14708,06653 8679,10503 $ 23.387,17C C C R




e) anuidade crescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 1,06 (6% de

crescimento mensal), com a primeira parcela daqui a 2 meses

11 1

1 1 1nGG

n

m

R qCq i

i q i i


10

10

3000 1,06 11 $ 28.407,18

1 0,05 1,06 1 0,051 0,05GG RC


f) anuidade decrescente em P.G., com termo inicial de R$ 3.000,00 e razão 0,94, com a

primeira parcela daqui a 2 meses

11 1

1 1 1nGG

n

m

R qCq i

i q i i


10

10

3000 0,94 11 $17.385,38

1 0,05 0,94 1 0,051 0,05GG RC




2) Pedro contraiu um empréstimo de R$ 10.000,00 que será pago em 10 parcelas mensais,

que formam uma anuidade gradiente, crescente com o primeiro pagamento ao final de 6

meses. Se a taxa de juros que o banco cobra de Pedro é de 5% a.m., quais os valores da

primeira e décima parcelas?

Solução

O fluxo de caixa representativo do problema é:

Logo, a equação de valor é dada por:

11

1 41

1 0,05 1 110000 11

0,051 0,050,05 1 0,05

G

Vale ressaltar que o último pagamento de uma anuidade gradiente crescente e

postecipada, tem o valor 1n G ; o que acarretou fazermos n = 11, na equação acima.

10000 3,206787 0,822702 $ 324,140,085517

GG R

Portanto o valor da 1ª parcela é R$ 324,14; e o da última parcela corresponde a

R$ 3.241,40.

Podemos modelar este problema de diversas maneiras. Vamos, neste caso, utilizar as

funções VPL e Solver do Excel; como mostrado nas planilhas abaixo



3) Thiago pretende fazer dez retiradas mensais, formando uma anuidade gradiente,

crescente, com termo inicial e razão de R$ 500,00; com a primeira retirada devendo

ser realizada daqui a 6 meses.

Sabendo que Thiago tem uma caderneta de poupança, com aniversário no dia de hoje,

e saldo de R$ 1.000,00, quanto deverá depositar regularmente (depósitos uniformes e

mensais), de hoje até a data de sua última retirada, para que o saldo final da caderneta

(juros de 6%a.a.c.m.) seja R$ 2.000,00, imediatamente após a última retirada?

Solução

Como o saldo final na época 15 (data da última retirada) deve ser R$ 2.000,00,

consideraremos esta data como a data focal para estabelecimento da equação de

valor. Representando retiradas como setas para cima, e depósitos como setas para

baixo, temos a seguinte ilustração para o fluxo de caixa:

Logo, temos a seguinte equação de valor:1

15 11

15 1 0,005 1 1 0,005 15001000 1 0,005 2000 11

0,005 0,005 0,005R R

onde, para o emprego da fórmula do montante da anuidade gradiente, crescente,

tendo em vista 10 retiradas, fez-se 1 10 11n n .

Assim:

1077,682738 1,077683 15,536548 2000 27916,66

16,614231 28838,97726 $1.735,80

R R

R R R

A planilha a seguir mostra uma das possíveis modelagens para resolução do problema

no Excel.

1 Como estudado na seção 10.2.1 do capítulo 10, as cadernetas de poupança, além de pagarem juros à

taxa de 6% a.a.c.m, consideram também a taxa referencial, TR. No caso, estaremos supondo que a TR fique nula durante todo o prazo considerado.



4) João fez um financiamento para compra de um carro no valor de R$ 50.000,00. O

vendedor apresentou diversas opções de pagamento, descritas a seguir, nas quais a

primeira parcela tem carência de 3 meses:

a. 50 parcelas mensais iguais no valor de R$ 1.500,00

b. 50 parcelas mensais formando uma anuidade com termos em P.A., com termo inicial

de R$ 500,00 e razão de R$ 50,00.

c. 30 parcelas mensais formando uma anuidade com termos em P.G., com termo inicial

de R$ 2000,00 e taxa de crescimento de 2% a.m.

Se João quer pagar a menor taxa de juros, qual das três opções deve escolher?

Solução

Por se tratar, em cada opção, de um fluxo de caixa com apenas uma variação de sinal,

podemos garantir que existe apenas uma taxa interna de retorno. Isso possibilita que a

análise possa ser feita através da escolha do financiamento com a menor taxa interna de

retorno.

Financiamento do tipo (a)

A equação de valor é:

50

52

50

2

50

1 1 150000 1500

1

1 133,333333 0

1

1

i i

i

i

i

ou

i

i

Por se tratar de uma função muito complexa, utilizaremos a análise gráfica da função para

saber uma estimativa da taxa interna de retorno. Para tal, chamaremos de f (i) a função



representada pelo lado esquerdo da equação. O gráfico de f (i) é representado a seguir,

para dois intervalos ( 0 ; 1) e (0 ; 0,1), nos qual podemos verificar a existência de apenas

uma raiz e ter uma boa estimativa de seu valor.

Logo, a raiz da equação está no intervalo aberto (1% ; 2%). Portanto, lançando mão do

método da bisseção, começaremos nossa análise pela taxa 1,5%a.m..

Para i = 1,5%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,63953; isto é, maior que zero,

indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 2%.

Para i = 1,75%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -1,32231; isto é, menor que zero,

indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 1,75%.

Para i = 1,625%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a -0,36161; isto é, menor que

zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5% e 1,625%.

Para i = 1,5625%a.m. o lado esquerdo da equação é igual a 0,13378; isto é, menor que

zero, indicando que a nova tentativa deve ser um valor entre 1,5625% e 1,625%.

Realizando mais algumas iterações chegaríamos a i = 1,57925%a.m. que tem uma

aproximação da ordem de 10-6.

Este mesmo problema poderia ser resolvido utilizando o Excel, de diversas maneiras.

Mostraremos aqui apenas duas delas. Na primeira, utilizamos a função TIR do Excel e

explicitamos o fluxo de caixa. Na segunda, utilizamos as funções financeiras e a função

Solver do Excel.

Vale ressaltar que como a função TIR exige apenas uma sequência de valores para indicar

o fluxo de caixa, tivemos que dividir a figura em duas partes; mostradas a seguir, uma ao

lado da outra. Como de costume, a fórmula apresentada na célula D2 representa a

efetivamente inserida na célula D1.



Solução 1

Solução 2



Alternativamente, usando a função [TIR] da HP 12C, tem-se:

[f][REG]50000[CHS][g][CF0]0[g][CFj][g][CFj]1500[g][CFj]50[g][Nj][f][IRR]1,579251

Financiamento do tipo (b)

Tendo em vista a fórmula para CPAC e o diferimento de 2 meses tem-se:

50 50

5

50 50 2

5 52

0 5

2

0

1 1 1 1

1 1 1

1 1

15050000 50 500

1 1 1 15050 500 50000 0

i i

ii i

i i

ii i

i i i

ou

i i

Como já observado o fluxo de caixa só troca de sinal uma vez; podemos, pois, garantir que

só existirá uma taxa interna de retorno. Portanto, fazendo o gráfico da função f (i),

formada pelo lado esquerdo da equação, podemos ter uma estimativa do seu valor. O

gráfico abaixo representa f (i) no intervalo (0 ; 0,1).

Pela comparação dos gráficos de f (i), dos financiamentos (a) e (b), poderíamos constatar,

por inspeção visual, que o financiamento (a) apresenta uma taxa interna de retorno

inferior a do financiamento (b); sendo, portanto, uma melhor opção que o financiamento

(b).

Poderíamos utilizar o método iterativo para descobrir o valor da TIR. Porém, resolveremos

o problema utilizando o Excel e sua função TIR, a partir do fluxo de caixa. A planilha a

seguir mostra, portanto, apenas um possível encaminhamento para a solução.

Vale ressaltar que como a função TIR exige apenas uma sequência de valores para indicar

o fluxo de caixa, tivemos que dividir a figura em duas partes; mostradas a seguir, uma ao



lado da outra. Como de costume, a fórmula apresentada na célula D2 representa a

efetivamente inserida na célula D1.

Financiamento do tipo (c)

Em casos tais como este, o primeiro passo é testar a solução 1q i . Se esta fosse

válida, deveríamos ter, considerando o diferimento de 2 meses:

2 2000 30

50000 1 0,02 52020 58823,52941102

GG

R nC

q

Como a igualdade não é satisfeita, sabemos que teremos

1 1 1,02 1 0,02.q i i q Portanto, a equação de valor que define a taxa i

cobrada no financiamento é:



30

30 2

30 30

32

1700 1,02 11

1 1,02 1 1

1 1,02170050000 0

1 1

50

,0 1

000

2

i i i

ou

i

i i

Como o fluxo de caixa só troca de sinal uma vez, podemos garantir que só existirá uma

taxa interna de retorno. Portanto, fazendo o gráfico da função f (i), formada pelo lado

esquerdo da equação, podemos ter uma estimativa do seu valor. O gráfico abaixo

representa f (i) no intervalo (0 ; 0,1).

Poderíamos utilizar o método iterativo para descobrir o valor da TIR. Porém, resolveremos

o problema utilizando o Excel e sua função TIR, a partir do fluxo de caixa. A planilha a

seguir mostra esse encaminhamento.

Pela comparação dos gráficos de f (i), dos financiamentos (a) e (c), poderíamos constatar,

por inspeção visual, que o financiamento (a) apresenta uma taxa interna de retorno

inferior à do financiamento (c); sendo, portanto, uma melhor opção que o financiamento



(c); Logo, João deveria optar pelo financiamento (a), pois é o que apresenta a menor taxa

interna de retorno.

5) O Governo do Estado do Rio de Janeiro deve realizar obras para revitalização na Av.

Brasil, principal acesso rodoviário à cidade do Rio de Janeiro. Existem duas propostas

para tal obra. A primeira, utilizando asfalto normal, com vida útil de cinco anos, ao

custo inicial de R$ 500.000,00/km, e custo anual de manutenção formando uma P.A.,

postecipada, com termo inicial de R$ 50.000,00 e razão de R$10.000,00. A segunda,

utilizando um novo tipo de asfalto, denominado asfalto emborrachado, que utiliza

pneus velhos em sua composição; sendo, portanto, ecologicamente correto e com

vida útil de 12 anos. Seu custo inicial é de R$ 1.000.000,00/km, e custo anual de

manutenção formando uma P.G., postecipada, com termo inicial de R$ 30.000,00 e

taxa de crescimento de 1%a.a. Considerando que existe disponibilidade orçamentária

para ambas as opções, qual deve ser a escolhida, considerando um custo de capital de

5%a.a.?

Solução

Como as duas opções têm vidas úteis distintas devemos comparar o custo médio de cada

opção, nas suas respectivas vidas úteis.2 Para tal, devemos encontrar o valor atual de cada

uma das anuidades e soma-los com seu respectivo custo inicial; e a seguir, e ai distriuí-lo

uniformemente pela duração de sua vida útil.

Opção do Asfalto Normal (custo médio RAN )

5

5 5

51 0,05 1 1 0,05 110000

5 50000 $ 21 0,05 1 0,05

98.843,000,050,05 0,05

PACC R

Logo

5

5

0,05298843 500000 $184.512,60

1 0,05 1

1 0,05ANR R

Opção do Asfalto Emborrachado (custo médio RAE )

12

12

30000 1,011 1 $ 279.406,24

1 0,05 1,01 1 0,05GGCq i R

Logo

12

12

0,0 151000000 $144.349,53

1 0,0

0,

5

05279406,24

1AER R

Portanto, a opção pelo asfalto emborrachado deve ser a preferida.

2 Justificaremos tal critério de seleção no capítulo 11.



A planilha abaixo mostra os cálculos, para ambas as opções, utilizando as funções VPL e

PGTO do Excel. Mais uma vez, as fórmulas apresentadas nas colunas C e F representam as

efetivamente inseridas nas respectivas células das colunas B e E.

6) Reconsidere o exercício 5, na hipótese de previsão de inflação futura à taxa de 3%a.a. Qual

seria, nesse caso, a opção preferível?

Solução

Primeiramente, deveremos explicitar a taxa de juros real iR , a partir da taxa de juros

aparente (i=5%a.a.) e da taxa de inflação (I=3%a.a.).

1,05

1 1 1 1,05 1,03 1 1 0,019417 1,9417% . .1,03

R R Ri i I i i ou a a

Por outro lado, supondo que os custos de manutenção não sejam reajustados, devemos

calcular o fluxo de caixa real de ambos os casos deflacionando os fluxos do exercício 5. Os

fluxos reais, isto é, os fluxos a preços da data atual, são os apresentados na tabela abaixo

(onde a coluna “ Valores Aparentes” representam os custos de manutenção a preços

correntes).

Período Val.Aparentes Valores Reais Período Val.Aparentes Valores Reais

0

0 1 50000 48543,68932 1 30000 29126,21359

2 60000 56555,75455 2 30300 28560,65605

3 70000 64059,91615 3 30603 28006,0802

4 80000 71078,96383 4 30909,03 27462,27282

5 90000 77634,79059 5 31218,1203 26929,0248

6 31530,3015 26406,13112

7 31845,60452 25893,39071

8 32164,06056 25390,60642

9 32485,70117 24897,58494

10 32810,55818 24414,13669

11 33138,66376 23940,07578

12 33470,0504 23475,21994



Matematicamente, as expressões que representam as parcelas reais de manutenção do

asfalto normal RNj e do asfalto emborrachado REj , são dadas por:

50000 10000 1, 1,2,...,5

1j j

jRN j

I

130000 1 0,01

, 1,2,...,121

j

j jRE j

I

Devemos, agora, descontar os respectivos fluxos reais à taxa real, para somar com o

respectivo custo inicial; e, a seguir, expressa-los em termos de custos médios, ao longo das

respectivas vidas úteis. Comparando, então, seus custo médios reais.

Vale notar que os valores atuais na época zero, considerando os fluxos aparentes, à taxa

aparente, se igualam aos dos respectivos fluxos reais, à taxa real. Portanto, os valores

atuais calculados no exercício 5 podem ser utilizados para obter os custos médios reais de

cada opção. Ou seja, o custo médio real do asfalto normal (RAN ) e do emborrachado (RAE )

são, tendo em vista a taxa real de 1,9417%a.a.

5

5

0,019417 0,019417298843 500000 $169.194,58

1 0,01941

1

7 1ANR R

1

12

20,019417 0,019417

1000000 $120.547,391 0,01

1279406,2

9417 14AER R

A planilha abaixo mostra os cálculos, para ambas as opções, utilizando as funções VPL e

PGTO do Excel. Mais uma vez, as fórmulas apresentadas nas colunas D e H representam as

efetivamente inseridas nas respectivas células das colunas C e G.

Mais uma vez, o asfalto emborrachado seria o preferido; já que apresenta o menor custo

médio anual.

7) Calcular o primeiro termo de uma anuidade mensal, postecipada e de 10 termos, cujo

valor presente é R$ 40.000,00, à uma taxa de juros de 5% a.m. , nos casos em que:

a) a anuidade é em P.A. com razão R$ 200,00.

b) a anuidade é em P.G. com taxa de decrescimento de 5%a.m.



Solução

a) Anuidade em P.A. com razão R$ 200,00.

A equação de valor é dada por:

1 10

10

0

101 0,05 1 1 0,05 1200

40000 100,050,05 0,051 0,05 1 0

40000 6330,409585 7,72173

,0

5

5R

ou

R

Logo o primeiro termo, R , é:

40000 6330,409585$ 4.360,37

7,721735R R

b) Anuidade em P.G. com taxa de decrescimento de 5%a.m.

Como 1 0,05 0,95 1 1,05q i , tem-se

10

0,9540000 1

1 0,05 0,95 1 0,05

40000 6,324275

R

ou

R

Logo o primeiro termo, R , é dado por:

40000$ 6.324,84

6.324275R R

8) Um financiamento deve ser pago em cinco parcelas mensais, que formam uma P.A.,

postecipada, com termo inicial e razão iguais a R$ 1.000,00. O tomador do empréstimo

pretende sugerir que o financiamento seja pago em cinco parcelas iguais. Calcular o valor

das parcelas se o banco trabalha com taxa de juros compostos de 12%a.a., e a primeira

parcela tem vencimento de hoje a 1 mês.

Solução

5

1 1

12 12

5 5

5

1 1 1,12 1 0,009489 0,9489% . .

0,009489 0,009489

0,0094890,009489 1 0,009489 0,009489 1 0,009

1 1 1 110005 1000

14490,465

4 9

81

8GAP

GA

m a

P

i i ou a m

C

C

Queremos que:

5

5

0,00949

0,00949 1

1 14,8

0,0094960758GAPC R R



Logo, temos:

14490,40794 4,86074 $ 2.981,11R R R

9) Um financiamento deve ser pago em cinco parcelas mensais, que formam uma P.G. com

termo inicial igual a R$ 1.000,00 e taxa de decrescimento de 5%. O tomador do

empréstimo pretende sugerir que o financiamento seja pago em dez parcelas iguais.

Calcular o valor das parcelas constantes se o banco trabalha com taxa de juros compostos

de 2%a.m., e as primeiras prestações, em ambos os casos, têm vencimento de hoje a 1

mês.

Solução

5

5

1000 0,951 1 4273,753784

1 0,02 0,95 1 0,02GGq i C

Queremos que:

0

10

10,02

0,02 1 0

1 18,9

,82585

02GGC R R

Logo, temos:

4273,753784 8,982585 $ 475,78R R R

10) Uma empresa está fazendo seu planejamento financeiro de curto prazo (12 meses, de

janeiro a dezembro), e projeta que os custos com a folha de pessoal, prevista para janeiro,

no valor de R$ 100.000,00, decresçam à taxa de 5%a.m., durante o ano; devido a uma

política de aposentadorias incentivadas. Sabendo-se que o diretor financeiro pretende

fazer uma aplicação que rende 1%a.m., que valor C deve depositar no dia 26 de dezembro

para fazer frente às despesas com a folha de pessoal no próximo ano, paga no dia 26 de

cada mês, considerando o pagamento do 13º salario junto com o salário de dezembro?

Solução

Como 0,95 1 1 0,01q i , tem-se:

1112

12 12

100000 0,95100000 0,951 $ 917.907,88

1 0,01 0,95 1 0,01 1 0,01C R

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Capitulo 8 – Resolução de Exercícios - fgv.br · PDF fileCapitulo 8 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão