Capitulo i Funciones III

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

Definición. Una funciónf : Df Cfes inyectiva o uno a uno yse denota como 11, si a diferentes elementos del dominio le corresponden diferentes elementos del codominio. En esta

función,parados valorescualesquieradominio se cumple que:

x1 y x2 desu

x1 x2f x1 f x2

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

Esta clasific ación obedece a la forma en que están relacionados los elementos del dominio con los del codominio. Conviene utilizar la notación:

f : Df Cf

“Función que mapea al dominioDf en el codominio Cf ”

Función Inyectiva (uno a uno)

. La función f x 3x 1

es 11 ya que si se define

como f : \ \ entonces se tendrá que a diferenteselementos del dominio les corresponden diferentes elementos del codominio.

Ejemplo. Sea M el conjunto de mujeres con hijos, H el conjunto de los hijos y f la función que asocia a cada mujercon su hijo primogénito. Es una función 11 o inyectiva.

Ejempl

2

ING. PABLO GARCÍA Y

H hijos

M 1

M 2

M 3

M 4

M mujeres

HP M2

H MP1

H MP3

H MP4

HP

Ejemplo

x1 x2

x1,f x1 x2 , f x2

x1 x2

f x1 f x2

. Sea la función f : \ \ dada pory

f x x2 .

x

Para comprobar analític amente si una función es 11 sedespeja, cuando esto es posible, la variable independiente" x "

en términosde la variable dependiente " y "

y se

comprueba que para cada valor de " y "de " x " .

exista un solo valor

Para comprobar gráfic amente que una función es 11 bastacon comprobar que toda recta paralela al eje " x "gráfic a de la función en un solo punto.

corta a la

Si en el ejemplo anterior se limita el dominio de la función es evidente que se obtienen funciones inyectivas:

3


o bienf : \ 0 \ dada por f x x2

D f

4


1 ab

2c

d

3 e

1a

2

3b

f : \ 0 \ dada por f x x2

. Sea la función f : ⎡ , ⎤ \ ; f x cos x . Si

se⎢ 2 2 ⎥⎣ ⎦grafic a se observa que no es 11. Sin embargo, si se cambia su dominio y ahora se define como:

f : ⎡⎣0, ⎤⎦ \ ; f x cos xse verá que cualquier recta horizontal corta a la gráfic a en un solo punto por lo que sí es 11.

D ⎡ y

, ⎤

y

D ⎡0, ⎤f ⎢ 2 2 ⎥ f ⎣ ⎦

⎣ ⎦

x x 0

2 2

" no inye ctiva" " sí inyectiva"

. Dos funciones, una que sí es 11 y otra que noCf D C

f

sí es 1-1 no es 1-1

Ejemplo. Verific ar analític amente que la función f : ⎡⎣0, \

Ejempl

Ejempl

f

5


dada por Solución.

f x x2 4 , es inyectiva.

Definición. Unafunciónessuprayectivaosobresitodoelemento de su Codominio es imagen de por lo menos unelemento de su Dominio, lo que se expresa como:

Seaf : Df Cf

Si b Cfexistea Dftal quef a b,entonces f es sobre

6


Función Suprayectiva (sobre)

Otra forma de expresar que una función es sobre es decir que debe cumplir con que su Codominio y su Recorrido seaniguales, esto es, Rf Cf

. Sea la función f x 3x 1

definida como

f : \ \ . En este caso se ve que todo número real es imagen de algún otro número real bajo la función f . Esto signific a que el recorrido es igual al codominio y por lo tanto la función dada es suprayectiva o sobre.

Ejemplo. Analizar si la función definida como f : \ \ dadapor f x

x2

es suprayectiva y, en caso de no serlo,

Ejempl

7


determinar bajo qué condiciones podría serlo. Solución.

Ejempl

1 ab

2c

d

3 e

1a

2

3b

x

8


Ejemplo. se presentan en este ejemplo dos casos, uno en que la función es sobre y otra en la que no lo es:

Df Cf Df Cf

sí es sobre no es sobre

. Verific ar que la función definida comof : 0,

,0y dada por f x , es suprayectiva.

Solución.

a 1

c 2

b 3

a 1

b

c 2

9


Función Biyectiva (1-1 y sobre)

Una función puede ser:i) 1-1 y sobre (biyectiva)ii) 1-1, pero no sobreiii) No 1-1, pero sí sobreiv) Ni 1-1 ni sobre

. Aquí se presentan los casos antes citados:

Biye ctiva 1-1 y sobre

1-1 no y sobre sí

Definición. Una función es biyectiva si al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, y la relación entre los elementos del dominio y los del codominio es biunívoc a.

Ejempl

a 1

2b

3

c 4

a 12

b

c 34

1


1 x2

1-1 sí y sobre no

Ejemplo. Dada la funcióninvestigar si es biyectiva: Solución.

1-1 no y sobre no

f : ⎡⎣0, ⎡⎣0, d a d a por f x x2 ,

Ejemplo. Decir si la siguiente función es biyectiva y, en caso de serlo, hacer un trazo de su gráfic a:

Solución.f : ⎡⎣0,1⎤⎦ ⎡⎣0,1⎦⎤

d a d a por

f x

1


FUNCIÓN INVERSA

Si en unafunción biyectiva se cambian " x " por " y " y"y " por " x " , y sedespeja la nueva variable dependiente"y " , la relación resultante es una nueva función que se llama“función inversa” y se denota con

" f 1 " .

El dominio de f se convierte en el recorrido def 1 y el

recorrido de f en el dominio de f 1, esto es, R y R DDf f 1 f f 1

Las gráfic as de f y f

1son simétric as con respecto a la

gráfic a de la función identidad y x .

Como se dijo, para que una función admita función inversa, debe ser biyectiva, aunque cabe decir que lo importante para que esta exista es que sea inyectiva, ya que para ser suprayectiva bastará considerar siempre que el codominio es igual al recorrido.

. Investigar si la función dada por:f : x, y y 2x 1; x ⎡⎣2,2⎤⎦ ; x \

Ejempl

Definición. Seaf una función biyectiva. Entonces su función inversa es " f 1 " y está definida por la siguiente condición:

1


es biyectiva y, en caso de serlo, obtener su función inversa ydar dominio, recorrido y trazo de la gráfic a de

f y f 1.

Solución.

Ejemplo. Dadas las seis funciones trigonométric as, explic ar las condiciones que deben guardar sus respectivos dominios para que tengan funciones inversas y definir éstas.

Solución.f x senx . Se limita su dominio al intervalo ⎡ ,

⎤ , y⎢ 2 2 ⎥⎣ ⎦

entonces sí tiene función inversa:y senx ; x seny y angsenx f 1 x

angsenx ; D 1 ⎡1,1⎤ R

f ⎣ ⎦ f

f x cos x

. Se limita su dominio al intervalo sí tiene función inversa:

⎡⎣0, ⎤⎦, entonces

y cos x ; x cos y y ang cos x f 1 x ang

cos x; D 1 ⎡⎣1,1⎤⎦ R

1


f x tan x

f

. Se limita su dominio al intervalo

f

⎛

, ⎞ y de

⎜ 2 2 ⎟⎝ ⎠esta forma admite función inversa:

y tan x ; x tan y

y ang tan x

2

1


f 1 x ang tan x

; D 1 , R

f f

f x cot x

. Si se fija el dominio al intervalo 0, , entonces tiene función inversa:

y cot x ; x cot y y ang cot x f 1 x ang

cot x; D 1 , R

f x se c x

f

. Selimita su dominioal intervalo

f

⎡0, ⎤ ⎧ ⎫ ,⎣ ⎦ ⎨ ⎬

⎩ ⎭tendrá función inversa, la que se define como:

y se c x ; x se c y y ang se c x f 1 x ang se

c x; D 1 ,1⎤⎦ ⎡⎣1,

f x csc x

f

. Se limita su dominio al intervalo ⎡ ,

⎤ 0 y

⎢ 2 2 ⎥⎣ ⎦su función inversa será:

y csc x ; x csc y y ang csc x f 1 x ang

csc x; D 1 ,1⎤⎦ ⎡⎣1,

f

Como ilustra ción de esto, considérese el siguiente ejercicio:

Ejemplo. Dada la función definida como f : ⎡⎣0, ⎤⎦ ⎡⎣1,1⎤⎦

dada por f x cos x , dar dominio y recorrido de

f y f 1 y

grafic arlas.

Solución.Se trabaja con la tabla siguiente para grafic ar las dos funciones (directa e inversa):

1


x 06

3

2

23

56

y f 1 x

y f x

1 0.866 0.5 0 0.5 0.866 1 x

f 1

1 f

1 1

1

1


y

x

Ejemplo. Dada la siguiente función, decir si es biyectiva y silo es, dar dominio, recorrido y gráfic a de f y f

1y definir

la regla de correspondencia de la función inversa.⎧x2 2 si 2 x 0

f x ⎪ x 6⎨ ⎪ si 0 x 6⎩ 3

Solución.

⎨

1


Ejemplo. Investigar si la siguiente función es biyectiva y en caso de serlo, obtener su función inversa y determinardominio, recorrido y gráfic a de

⎧1 x2 sif x ⎪

f y f 1. 2 x 0

Solución.

⎪1 senx si⎩

0 x 2

⎨

1


. Sea la función:⎧⎪ x 2

⎪ 4 x 1 s i

4 x 2

f x ⎪⎪

1

x 62

s i 2 x 0

⎪ x 24 ⎩⎪ 4

si 0

x 4

Investigar si es biyectiva y en caso afirmativo, obtener su función inversa, así como dominio, recorrido y gráfic a de f y f 1.

Solución.

Ejempl

1


x f f 1 x f 1 x x f 1 f x f x

Composición de una función con su función inversa

Coma ya se vio, las gráfic as de una función y su inversa son simétric as con respecto a la gráfic a de la función identidad y x . Es por ello que resulta sencillo probar los resultados de las siguientes composiciones de funciones:

f ○ f 1 f f 1 x xf 1 ○ f f 1 f x x

x Rf

x Df

La verific ación gráfic a de estas expresiones se muestra en la siguiente figura:

f f 1

f 1 f

FORMULACIÓN DE FUNCIONES

Secuela para formular funciones:

2


- Lectura e identific ación de magnitudes e incógnitas- Modelo geométrico con magnitudes

2


- Modelo matemático preliminar- Ecuaciones auxiliares- Modelo matemático definitivo

Ejemplo. Si se supone que la resistencia a la flexión de una viga es directamente proporcional al ancho y al cuadrado del peralte de su secc ión, formular una expresión matemátic a que represente a la resistencia de dicha viga en términos únic amente de su ancho. La viga se saca de un tronco de secc ión circular cuyo diámetro es de 50 cm .

Solución.

Ejemplo. Un ingeniero desea construir un tanque cilíndrico con tapas semiesféric as como el que se muestra en la figura. El costo del material con el que se construye el cilindro es de120 pesos por m2 y el de las tapas es de 140 pesos por

2


m2 . Si el volumen del tanque debe ser de 15000 litros , el

x

x

2


ingeniero se pregunta: ¿Cuáles serán las dimensiones" x " y " y " del tanque para que el costo de los materiales seael mínimo? Para responder a esta pregunta, decide formular la función que relaciona al costo del cilindro en términos deuna de las variables, ya sea " x " o " y " . Se pideahoraformular un modelo teórico del costo de los materiales paraconstruir el tanque, en términos únic amente del radio " x " de las semiesferas de los lados.

ySolución.

Ejemplo. Obtener una expresión que defina el volumen de un cilindro circular recto, inscrito en un cono circular recto de radio 5 m y altura 12 m , en función exclusivamente del

2


radio del cilindro.

2


Solución.

Ejemplo. Se trata de inscribir un cono circular recto, cuyoradio de la base es " x " y su altura " y " , en una esfera deradio " R " . Obtener una expresión para el volumen del cono, en función únic amente de su altura.

Solución.

2


Ejemplo. El lado de un terreno rectangular debe colindar con un muro de piedra. Si un ingeniero cuenta con 1000 m de cerca line al, pretende saber qué dimensiones debe tener el terreno para que el área sea máxima. Y para ello, el ingeniero construye un modelo matemático con una función a optimizar que considere como variable únic amente a lalongitud de los lados que no colindan con el muro. ¿Cómo define este modelo?

Solución.

. Una recta que pasa por el punto3,4 forma con

los ejes coordenados, en el primer cuadrante, un triángulo rectángulo. Definir una expresión del área del triángulo formado en términos exclusivamente de la longitud desde el

Ejempl

2


origen de coordenadas al punto donde la recta corta el eje de las ordenadas, es decir, en términos de la ordenada al origen.

Solución.

Ejemplo. Un tanque en forma de cilindro recto con tapa debe contener 10,000 litros de una determinada substancia químic a. Los materiales para su construcción tienen el costosiguiente: $200 /

m2para la base, $100 /

m2para la tapa y

$180 / m2

para la superficie lateral. Obtener una expresión

que defina al costo de la cantidad de material empleado en la construcción del tanque en función solamente del radio de su base.

2


Solución.

2


Documents

Capitulo i Funciones III